path: root/notes.tex

%% LyX 2.1.1 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[english,hebrew]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin9,cp1255]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
\usepackage{ulem}

\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
%% Because html converters don't know tabularnewline
\providecommand{\tabularnewline}{\\}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\usepackage{theorem}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{theorem}{\R{משפט}}[section]
\AtBeginDocument{\make@lr\thetheorem}

% The following chunk fixes export with XeTeX.
% It is needed because polyglossia is used by default
% and \make@lr is only defined by babel.
\@ifundefined{make@lr}
{\def\make@lr#1{\begingroup
    \toks@=\expandafter{#1}%
    \edef\x{\endgroup
  \def\noexpand#1{\noexpand\@number{\the\toks@}}}%
  \x}}{\relax}
\newtheorem{claim}[theorem]{\R{טענה}}
\newenvironment{proof}%
{\R{\textbf{הוכחה:}}}%
{\hfill\rule{2mm}{2mm}\par\vspace{2mm}}
\newtheorem{definition}[theorem]{\R{הגדרה}}
\newtheorem{lemma}[theorem]{\R{למה}}
\newtheorem{corollary}[theorem]{\R{מסקנה}}
\newtheorem{remark}[theorem]{\R{הערה}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\date{}

\makeatother

\usepackage{babel}
\begin{document}

\title{אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות\\
ד\char`\"{}ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב}


\author{יובל אדם}

\maketitle
\selectlanguage{english}%
\inputencoding{latin9}\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}%
\selectlanguage{english}%
\begin{quote}
Young man, in mathematics you don't understand things.\\
You just get used to them.
\begin{quote}
- John von Neumann\end{quote}
\end{quote}
%
\end{minipage}

\selectlanguage{hebrew}%
\inputencoding{cp1255}\tableofcontents{}


\section{פרולוג}
\begin{itemize}
\item מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות. )נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין
מה זה אומר על פרק זה...(
\item נא להתחשב בסביבה. נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח
העמודים הנדרש.
\item תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים.
\item הערות/טענות/בקשות - כתובת המייל שלי היא \L{$yuv.adm$} ולאחר מכן \L{$gmail.com$}
\item שאו ברכה, עלו והצליחו.
\end{itemize}

\section{הגדרות}
\begin{itemize}
\item יהי \L{$\mathcal{M}$} מבנה לשפה מסדר ראשון \L{$L$}, \L{$s$} השמה
ל\L{$\mathcal{M}$} ו-\L{$t$} שם עצם. אז הערך של \L{$t$} ב-\L{$\mathcal{M}$}
עבור ההשמה \L{$s$} הוא:
\item אם \L{$t$} קבוע אישי \L{$c$} אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$}
\item אם \L{$t$} משתנה אישי \L{$x$} אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$}
\item אם \L{$t=f(t_{1},...,t_{n})$} אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$}
\item \noindent יהיו \L{$\mathcal{M}$}, \L{$L$} , ו-\L{$s$} כנ\char`\"{}ל
ותהי \L{$\varphi$} נוסחה ב-\L{$L$} אז ערך האמת של )\inputencoding{latin9}\L{TRUE}\inputencoding{cp1255}
או \inputencoding{latin9}\L{FALSE}\inputencoding{cp1255}( של \L{$\varphi$}
ב\L{$\mathcal{M}$} עבור ההשמה \L{$s$} מוגדר באינדוקציה באופן הבא:

\begin{itemize}
\item \noindent אם \L{$\varphi$} נוסחה אטומית, כלומר \L{$\varphi$} מהצורה
\L{$R(t_{1},...,t_{n})$} עבור הסימן יחס n-מקומי \L{$R$} ושמות עצם
\L{$t_{1},...,t_{n}$} אזי \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}
\end{eqnarray*}
}.
\item \noindent אם \L{$\varphi=\neg\psi$} עבור נוסחה \L{$\psi$} אז \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE
\end{eqnarray*}
}
\item \noindent באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים
\item \noindent אם \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} )כלומר הנוסחה היא מסוג
\char`\"{}קיים איקס\char`\"{} וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר( אז \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
\end{eqnarray*}
} כאשר \L{$s\left[{x\atop a}\right]$} הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה
אישי \L{$y$} שאינו \L{$x$} את הערך \L{$s(y)$} ולמשתנה האישי \L{$x$}
את הערך \L{$a$} )כלומר רק מחליפה את \L{$x$}(. הגדרה שקולה: \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
\end{eqnarray*}
} כאשר נגדיר שרירותית \L{$F<T$}. 
\item \noindent אם \L{$\varphi=(\forall x)\psi$} אז \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
\end{eqnarray*}
}הגדרה שקולה: \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
\end{eqnarray*}
}. 
\end{itemize}
\end{itemize}
הערות:
\begin{enumerate}
\item בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס \L{$\approx$}
אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון
\item כמוסכמה: אם אומרים ש\L{$L$} שפה לתחשיב הפסוקים בד\char`\"{}כ לא נציין
במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח שהוא שם
\item בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון. יש משפטים
שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה. בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם
שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה.\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item תהי \L{$L$} שפה לתחשיב הפסוקים ותהי \L{$\Gamma$} קבוצת נוסחאות ב\L{$L$}
)לאו דווקא סופית(. נאמר ש\L{$\Gamma$} ספיקה \inputencoding{latin9}\L{(satisfiable)}\inputencoding{cp1255}
אם קיים מבנה \L{$\mathcal{M}$} לשפה \L{$L$} וקיימת השמה \L{$s$}
ל\L{$\mathcal{M}$} כך ש\L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} לכל
\L{$\varphi\in\Gamma$}. נסמן \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
)לפעמים נשמיט את ההשמה \L{$s$} מן הסימונים(. דוגמאות:

\begin{itemize}
\item \L{$L=\{R\}$} ו-\L{$\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $}
זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף \L{$G$} )לא מכוון( נגדיר מבנה \L{$M_{G}$}
ל\L{$L$} באופן הבא: העולם של \L{$M_{G}$} יהיה \L{$V(G)$} )קבוצת
הקודקודים של \L{$G$}( והיחס \L{$R^{M_{G}}$} יהיה \L{$E(G)$} )קבוצת
הקשתות(. 
\item \L{$L=\{\approx\}$} ו-\L{$T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $}
אז \L{$T_{3}$} ספיקה כי כל קבוצה בת פחות מ-{\beginL 4\endL} איברים
מספקת אותה. 
\item \L{$L=\{<\}$} ו- \L{
\begin{eqnarray*}
DLO & = & \left\{ \begin{array}{c}
\forall x\neg(x,x),\\
\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\
\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\
\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\
\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y)
\end{array}\right\} 
\end{eqnarray*}
} אשר הינו \inputencoding{latin9}\L{dense linear order}\inputencoding{cp1255}
אז מתקיים \L{$(\mathbb{Q},\le)\models DLO$}. 
\end{itemize}
\item אם \L{$L$} ו-\L{$\Gamma$} כנ\char`\"{}ל ו- \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
אז נאמר ש\L{$\mathcal{M}$} מודל של \L{$\Gamma$}.
\item תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים.
\item פסוק בשפה \L{$L$} זו נוסחה ללא משתנים חופשיים
\item המשתנים החופשיים בשם עצם \L{$t$}, נסמנם \L{$Free(t)$}, הם אוסף כל
המשתנים המופיעים ב-\L{$t$}. 

\begin{itemize}
\item אם \L{$\varphi$} נוסחה אטומית \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} אז \L{$Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$}.
\item אם \L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$} )קשר לוגי דו מקומי
כלשהו( אז \L{$Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$}
\item אם \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} או \L{$\varphi=(\forall x)\psi$}
אז \L{$Free(\varphi)=Free(\psi)$} אם \L{$x\notin Free(\psi)$} ו-
\L{$Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$} אחרת.
\end{itemize}
\end{itemize}

\section{תחשיב היחסים}
\begin{itemize}
\item לפסוק )שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה( יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה,
ללא כל תלות בהשמה
\item נוסחה \L{$\varphi$} תקרא \uline{אמיתית לוגית }אם לכל מבנה \L{$\mathcal{M}$}
)לשפה של \L{$\varphi$}( ולכל השמה \L{$s$} עבור \L{$\mathcal{M}$}
מתקיים \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$}. 

\begin{itemize}
\item דוגמה: אם \L{$P$} סימן יחס חד-מקומי אז \L{$P(x)\vee\neg P(x)$} אמיתי
לוגית. מדוע? יהי \L{$\mathcal{M}$}מבנה עבור \L{$\{P\}$} ו\L{$s$}
השמה עבור \L{$\mathcal{M}$}. \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\
 &  & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\
 &  & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\
 &  & =TRUE
\end{eqnarray*}
} . 
\item דוגמה: נניח ש\L{$\varphi(x)$} נוסחה עם משתנה חופשי \L{$x$} ו-\L{$c$}
קבוע אישי שאינו מופיע ב\L{$\varphi(x)$}. אז \L{$\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$}
אמיתי לוגית )אם \L{$\varphi(c)$} אמיתי לוגית - ייתכן שזה לא נדרש(.
\item דוגמה: \L{$\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$} - אז לפי הגדרת האמת ולפי
הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית. מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה
על היצירה של \L{$\psi$} )הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים( מראים:

\begin{itemize}
\item אם \L{$\psi=\neg\psi^{\prime}$} אז \L{$\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$}
\item אם \L{$\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} עבור קשר לוגי דו מקומי אז \L{
\begin{eqnarray*}
\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})
\end{eqnarray*}
}
\item אבל \L{$(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$} לפי משפט הקריאה היחידה אינו
מהצורה א' או ב' לכן אם הוא מתקבל ע\char`\"{}י החלפה כנ\char`\"{}ל
מפסוק \L{$\psi$} של תחשיב הפסוקים, \L{$\psi$} הוא בהכרח פסוק יסודי.
אבל פסוק יסודי )משתנה פסוקי( אינו טאוטולוגיה.
\end{itemize}
\end{itemize}
\item טאוטולוגיה )הגדרה שקולה לשאלה {\beginL 5\endL}(: נוסחה \L{$\varphi$}היא
טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה \L{$\psi(P_{1},...,P_{k})$}
של תחשיב הפסוקים )הסימון הזה אומר ש\L{$P_{1},...,P_{k}$} הם כל המשתנים
הפסוקיים המופיעים ב\L{$\psi$}( )למשל: \L{$\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$}(
ונוסחאות \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} )של תחשיב היחסים( כך ש-
\L{$\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$} ו-\L{$\varphi$}
מתקבלת ע\char`\"{}י החלפת כל מופע של \L{$P_{i}$} ב-\L{$\varphi_{i}$}.
\item משפט הקריאה היחידה: תהי \L{$\varphi$} נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק
אחד מן הבאים מתקיים:

\begin{itemize}
\item \L{$\varphi$} נוסחה אטומית
\item קיימות נוסחאות \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}$} יחידות וקשר לוגי דו
מקומי יחיד \L{$\square$} כך ש-\L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$}
\item קיימת נוסחה יחידה \L{$\varphi_{1}$} כך ש-\L{$\varphi=\neg\varphi_{1}$}
\item קיימת נוסחה יחידה \L{$\varphi_{1}$} כך ש-\L{$\varphi=\exists x\varphi_{1}$}
\item קיימת נוסחה יחידה \L{$\varphi_{1}$} כך ש-\L{$\varphi=\forall x\varphi_{1}$} 
\end{itemize}
\item תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב )בשפת התכנות החביבה
עליכם( שבהינתן נוסחה \L{$\varphi$} בתחשיב הפסוקים בודקת האם \L{$\varphi$}
טאוטולוגיה של תחשיב היחסים.
\item )רמז( בהינתן נוסחה \L{$\varphi$} של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע
האם \L{$\varphi$} טאוטולוגיה.
\end{itemize}
דברים שצריך בשביל העבודה:
\begin{itemize}
\item )שאלה {\beginL 4\endL}( תהיינה \L{$\Gamma,\Delta$} קבוצות פסוקים.
נסמן \L{$\Gamma\models\Delta$} )גורר( אם לכל מבנה \L{$\mathcal{M}$}
ולכל השמה \L{$s$} מתקיים: אם \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
אז \L{$(\mathcal{M},s)\models\Delta$}. 

\begin{itemize}
\item דוגמה: אם ב\L{$\Delta$} יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות
אז \L{$\Gamma\models\Delta$} לכל \L{$\Gamma$}. 
\item ל\L{$\Delta$} כנ\char`\"{}ל אם \L{$\Delta\models\Gamma$} אז ב\L{$\Gamma$}
יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות.
\item אם \L{$\Gamma$} אינה ספיקה אז \L{$\Gamma\models\Delta$} לכל \L{$\Delta$}
)באופן ריק(.
\item אם \L{$\varphi\models\psi$} אז \L{$\models\varphi\rightarrow\psi$}
כלומר \L{$\varphi\models\psi$} אמיתי לוגית. הכיוון השני גם נכון.
\end{itemize}
\item )שאלה {\beginL 1\endL}( אפשר לחשוב על \L{$G$} כעל מבנה לשפה \L{$\{R\}$}
עבור יחס דו מקומי \L{$R$}. אם \L{$G$} גרף סופי קיים פסוק \L{$\varphi_{G}$}
בשפה הנ\char`\"{}ל כך שלכל מבנה \L{$\mathcal{M}$} בשפה , אם \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{G}$}
אז \L{$\mathcal{M}\cong G$} .
\item תזכורת: יהיו \L{$\mathcal{M},\mathcal{N}$} מבנים לשפה \L{$\mathcal{L}$}
של תחשיב היחסים. נאמר ש\L{$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$} )איזומורפיים(
אם קיימת פונקציה חח\char`\"{}ע ועל \L{$f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$}
כך ש:

\begin{itemize}
\item \L{$f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$} לכל קבוע אישי \L{$c$}
\item לכל סימן יחס n-מקומי \L{$R$} ולכל \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$}
מתקיים \L{
\begin{eqnarray*}
\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle  & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}}
\end{eqnarray*}
}
\item לכל סימן פונקציה n-מקומי \L{$G$} ולכל \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$}
מתקיים \L{
\begin{eqnarray*}
f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n}))
\end{eqnarray*}
}
\end{itemize}
\end{itemize}
הכנה לשיעור הבא:
\begin{itemize}
\item אם \L{$\Gamma$} קבוצת נוסחאות ספיקה ו\L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
אז \L{$\Gamma_{0}$} ספיקה
\item אם \L{$\Gamma$} ספיקה ו-\L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} אז
גם \L{$\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$} ספיקה
\item אם ב\L{$\Gamma$} יש פסוק \L{$\varphi$} שאינו ספיק אז בוודאי \L{$\Gamma$}
אינה ספיקה
\item משפט הקומפקטיות: תהי \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים סגורה תחת \L{$\wedge$}
)כלומר אם \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} אז גם \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}(
אז \L{$\Gamma$} ספיקה אם ורק אם כל \L{$\varphi\in\Gamma$} ספיקה.
\end{itemize}

\section{קומפקטיות ומסננים}
\begin{theorem}
\textbf{\uline{משפט הקומפקטיות}}: תהי \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים
סגורה תחת \L{$\wedge$} )כלומר אם \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$}אז
גם \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}( אזי \L{$\Gamma$}
ספיקה אם ורק אם כל \L{$\varphi\in\Gamma$} ספיק.\end{theorem}
\begin{claim}
תהי \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים \L{$\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$}
כך ש-
\begin{enumerate}
\item \L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת \L{$\wedge$} 
\item \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} כלומר כל מודל של \L{$\Gamma$}
הוא מודל של \L{$\Gamma^{\prime}$} ולהיפך
\end{enumerate}
\end{claim}
\begin{proof}
תהי \L{$\Gamma^{\prime}$} קבוצת הפסוקים המתקבלת מ\L{$\Gamma$} באופן
הבא: לכל \L{$1\le k\in\mathbb{N}$} ולכל \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$}
, ב\L{$\Gamma^{\prime}$} יהיה הפסוק \L{${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}.
נשים לב ש\L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת \L{$\wedge$}. מדוע? יהיו
\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$} לפי ההגדרה של \L{$\Gamma^{\prime}$}
יש מספרים טבעיים \L{$1\le k_{1},k_{2}$} ופסוקים \L{$\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$}
ו- \L{$\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$} כך ש- \L{
\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}}
\end{eqnarray*}
} ו- \L{
\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}
}אז \L{${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$}
כאשר \L{
\begin{eqnarray*}
\Theta_{i} & = & \begin{cases}
\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\
\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1}
\end{cases}
\end{eqnarray*}
}מכיוון ש-\L{$\Theta_{i}\in\Gamma$} לכל \L{$i$} גמרנו. \L{$\Gamma^{\prime}$}
היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש\L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$}.
מספיק להראות שאם \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}.
יהי \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ונניח כמו קודם \L{$\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$}
עבור \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$} כלשהו.

אזי:\L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE
\end{eqnarray*}
} מתקיים אמ\char`\"{}ם לכל \L{$1\le i\le k$} \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$}.
כיוון ש\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$}
לכל \L{$i$} ולכן \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof}
\begin{definition}
קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית
שלה היא ספיקה.\end{definition}
\begin{theorem}
)משפט הקומפקטיות - נוסח שקול( קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} היא ספיקה
מקומית אם ורק אם היא ספיקה.\end{theorem}
\begin{proof}
נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה. תהי \L{$\Gamma$} קבוצת
פסוקים ספיקה מקומית. תהי \L{$\Gamma^{\prime}$} כמובטח בטענה, כלומר
\L{$\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$} ו\L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת
\L{$\wedge$}. מספיק להראות לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב\L{$\Gamma^{\prime}$}
הוא ספיק. יהי \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} אז \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}
לאיזה \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$} . לפי ההנחה \L{$\Gamma$}
ספיקה מקומית. לכן \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} קבוצת פסוקים
ספיקה. לכן יש מודל \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$} לכל \L{$1\le i\le k$}
לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. לכן \L{$\Gamma^{\prime}$}
סגורה תחת חיתוך וכל \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ספיק. לפי משפט הקומפקטיות
עבור \L{$\Gamma^{\prime}$} יש \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}
אבל \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} לכן \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}. 

נוכיח את הכיוון השני )שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות(. נניח \L{$\Gamma$}
מקיימת את ההנחות כלומר \L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת \L{$\wedge$}
וכל פסוק בה ספיק. יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול ש\L{$\Gamma$} ספיקה
מקומית. נוכיח באינדוקציה על \L{$k$} שכל קבוצת פסוקים מגודל \L{$k$}
ב-\L{$\Gamma$} היא ספיקה. עבור \L{$k=1$} - נתון. נניח ש\L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$}
והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל \L{$k-1$} שהיא ספיקה. כיוון ש\L{$\Gamma$}
סגורה תחת חיתוך \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$} . \L{$\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$}
היא קבוצה בגודל \L{$k-1$} ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה. אם
\L{$\mathcal{M}\models\Delta$} אז \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$}
לכל \L{$i\ge3$} וכן \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$}
. אבל \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$}
ולכן \L{$\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} כנדרש.
כלומר \L{$\Gamma$} ספיקה מקומית וע\char`\"{}ס הנוסח השקול - ספיקה.\end{proof}
\begin{definition}
תהי \L{$I$} קבוצה )בד\char`\"{}כ אינסופית אבל לא בהכרח(. מסנן )\inputencoding{latin9}\L{filter}\inputencoding{cp1255}(
על \L{$I$} זו קבוצה \L{$F\subseteq\mathbb{P}(I)$} )כלומר אוסף של
תת קבוצות של \L{$I$}( כך שמתקיים:
\begin{enumerate}
\item \L{$\emptyset\not\in F$}
\item אם \L{$J\in F$} ו-\L{$J\subseteq J^{\prime}$} אז \L{$J^{\prime}\in F$}
\item אם \L{$J,J^{\prime}\in F$} אז \L{$J\cap J^{\prime}\in F$} 
\end{enumerate}

אם בנוסף לכל \L{$J\subseteq I$} אם \L{$J\not\in F$} אז \L{$I\backslash J\in F$}
- אז \L{$F$} נקרא על מסנן.

\end{definition}
דוגמאות:
\begin{itemize}
\item תהי \L{$I$} קבוצה כלשהי. לכל \L{$a\in I$} נגדיר על מסנן \L{$F_{a}$}
באופן הבא: \L{$J\subseteq I,J\in F$} אמ\char`\"{}ם \L{$a\in J$}
.)הערה: על מסנן \L{$F$} על \L{$I$} נקרא ראשי אם קיים \L{$I$} כך
ש-\L{$F=F_{a}$}(.
\item אם \L{$I$} סופית אז כל על מסנן על \L{$I$} הוא ראשי. יהי \L{$F$}
על מסנן על \L{$I$}. כיוון ש-\L{$I$} סופית גם \L{$F$} סופית ולכן
באינדוקציה לפי {\beginL 3\endL}: \L{$J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$}
ו-\L{$J_{F}\in F$}. אם \L{$J_{F}$} יחידון - גמרנו. נניח בשלילה שזה
לא המקרה. אחרת יש {\beginL 2\endL} איברים שונים ב\L{$J_{F}$} )לפחות(.
ניקח \L{$J\subseteq I$} שמכילה את הראשון אבל לא את השני. לא \L{$J$}
ולא המשלים של \L{$J$} יכולים להיות ב\L{$F$} כי כל קבוצה ב\L{$F$}
מכילה את \L{$J_{F}$}. 
\item תהי \L{$I$} קבוצה אינסופית. נגדיר \L{$F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$}.
תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן. \end{itemize}
\begin{claim}
תהי \L{$I$} קבוצה לא ריקה. \L{$F$} מסנן על \L{$I$} אזי קיים על
מסנן \L{$F\subseteq F^{\prime}$}. במילים אחרות כל מסנן על \L{$I$}
ניתן להרחבה לעל מסנן. )הוכחה בשיעור הבא(.
\end{claim}

\section{מסננים והלמה של צורן}
\begin{definition}
תהי \L{$I$} קבוצה )לא ריקה( אז \textbf{מסנן} \L{$F$} על \L{$I$}
זה אוסף של תת קבוצות של \L{$I$} כך ש:
\begin{enumerate}
\item \L{$\emptyset\not\in F$}
\item אם \L{$U_{1},U_{2}\in F$} אז \L{$U_{1}\wedge U_{2}\in F$}
\item אם \L{$U\in F$} ו- \L{$U\subseteq V$} אז \L{$V\in F$} 
\end{enumerate}

\L{$F$} הוא על-מסנן אם לכל \L{$V\subseteq I$} אם \L{$V\not\in F$}
אז \L{$I\backslash V\in F$} .

\end{definition}
\begin{lemma}
\uline{הלמה של צורן} - תהי \L{$(I,\le)$} קבוצה סדורה חלקית. \L{$V\subseteq I$}
תקרא שרשרת אם לכל \L{$v_{1},v_{2}\in V$} או \L{$v_{1}\le v_{2}$}
או \L{$v_{2}\le v_{1}$}. אז נניח שלכל שרשרת \L{$V\subseteq I$} יש
חסם מלעיל, כלומר קיים \L{$w\in I$} כך ש-\L{$w\ge V$} )כלומר \L{$w\ge v$}
לכל \L{$v\in V$}(. אזי ב\L{$(I,\le)$} יש איבר מירבי, כלומר קיים
\L{$u\in I$} כך שלכל \L{$u\not=v\in I$} מתקיים \L{$u\not\le v$}.\end{lemma}
\begin{claim}
תהי \L{$I$} קבוצה לא ריקה ו- \L{$F$} מסנן על \L{$I$}. אזי קיים
על-מסנן \L{$F\subseteq U$}. במילים אחרות, כל מסנן \L{$F$} על \L{$I$}
ניתן להרחבה לעל-מסנן.
\begin{proof}
תהי \L{$\mathcal{H}$} קבוצת כל המסננים על \L{$I$}. לאינטואיציה:
\L{$F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$} אז \L{$\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$}
או \L{$\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$}. על
\L{$\mathcal{H}$} אפשר להגדיר סדר חלקי ע\char`\"{}י הכלה. כלומר,
ל-\L{$F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$} נאמר ש\L{$F_{1}\le F_{2}$} אם
לכל \L{$V\in F_{1}$} מתקיים גם \L{$V\in F_{2}$}. אפשר לכתוב גם \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$}.
נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם \L{$V\subseteq\mathcal{H}$}
שרשרת אז ל\L{$V$} יש חסם מלעיל ב\L{$\mathcal{H}$}. נגדיר \L{$F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$}.
נראה ש\L{$F_{V}$} הוא מסנן. 
\begin{enumerate}
\item ברור כי \L{$\emptyset\not\in F_{V}$}
\item נניח ש \L{$U_{1},U_{2}\in F_{V}$}. קיימים \L{$F_{1},F_{2}\in V$}
כך ש \L{$U_{1}\in F_{1}$} וגם \L{$U_{2}\in F_{2}$}. כיוון ש-\L{$V$}
שרשרת, ב.ה.כ \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$} . לכן \L{$U_{1}\in F_{2}$}
לכן גם \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$} ולכן \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$}.
\item אם \L{$U\in F_{V}$} ו- \L{$U\subseteq W$} אז לפי הגדרה קיים איזה
\L{$F\in V$} כך ש- \L{$U\in F$}. לכן גם \L{$W\in F$} ולכן \L{$W\in F_{V}$}.
\end{enumerate}

הראנו שלכל שרשרת ב\L{$\mathcal{H}$} יש חסם מלעיל, כי ברור \L{$F_{V}\in\mathcal{H}$}
ו- \L{$F\subseteq F_{V}$} לכל \L{$F\in V$} כלומר \L{$F_{V}$} חסם
מלעיל ל-\L{$V$}. לפי הלמה של צורן, ב-\L{$\mathcal{H}$} יש איבר מירבי,
נסמנו \L{$\mathcal{U}$}. נראה ש\L{$\mathcal{U}$} על מסנן. נניח בשלילה
שהוא לא. כיוון ש-\L{$\mathcal{U}\in\mathcal{H}$} הוא מסנן ולכן הנחת
השלילה מבטיחה שיש קבוצה \L{$U\subseteq I$} כך ש- \L{$U\not\in\mathcal{U}$}
ו- \L{$I\backslash U\not\in\mathcal{U}$}. נשים לב כי במקרה זה \L{$\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$}
הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של \L{$\mathcal{U}$} כי \L{$\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$}.
מדוע \L{$\mathcal{U}_{U}$} הוא מסנן? 
\begin{enumerate}
\item נוכיח ש\L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}. אם \L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}
הרי שהיא מהצורה \L{$U\cap V$} לאיזה \L{$V\in\mathcal{U}$}. אבל אז
\L{$V\subseteq I\backslash U$} ואז \L{$I\backslash U\in\mathcal{U}$}
בסתירה.
\item \L{$\mathcal{U}_{U}$} סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה. 
\item נראה כי אם \L{$U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$} אז גם \L{$U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$}.
ב.ה.כ \L{$U_{1}\not\in\mathcal{U}$}. לכן \L{$U\cap V\subseteq U$}
לאיזה \L{$V\in\mathcal{U}$}. לכן \L{$U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$}
עבור \L{$V$} הזו. אם \L{$U_{2}\in\mathcal{U}$} אז \L{$V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$}
ולכן \L{$U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$} וכך גם \L{$U_{1}\cap U_{2}$}.
אחרת \L{$U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$} לאיזה \L{$V_{2}\in\mathcal{U}$}
. ואז \L{$U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$} וגם \L{$U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$}.
קיבלנו \L{$\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$} ו-\L{$\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$}
סתירה. לכן \L{$\mathcal{U}$} על מסנן. 
\end{enumerate}

)הרחבה( אם \L{$F$} מסנן על \L{$I$} נגדיר \L{$\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$}
אוסף המסננים המכילים את \L{$F$}. באופן טריויאלי לכל שרשרת ב-\L{$\mathcal{H}_{F}$}
יש חסם מלעיל ב-\L{$\mathcal{H_{F}}$})כי כל שרשרת כזו היא שרשרת של
איברים שגדולים מ-\L{$F$} ולכן אם יש לה חסם ב\L{$\mathcal{H}$} הרי
שהוא חסם ב\L{$\mathcal{H}_{F}$}. לכן \L{$\mathcal{H}_{F}$}מקיימת
את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם ב\L{$\mathcal{H}$}וראינו שאלו
על מסננים.

\end{proof}
\begin{corollary}
לכל קבוצה אינסופית \L{$I$} יש על מסנן \L{$F$} על \L{$I$} כך שאם
\L{$|I\backslash U|<\aleph_{0}$} אז \L{$U\in F$}.\end{corollary}
\begin{definition}
\uline{מכפלות}: תהי \L{$\Gamma$}קבוצה לא ריקה כלשהי ו-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
זה אוסף כל הפונקציות \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
המקיימות \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. הערה: אם \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$}
ו-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} לכל \L{$i,j$} אז \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.\end{definition}
\begin{theorem}
\uline{אקסיומת הבחירה}: אם \L{$\Gamma$}לא ריקה ו-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$}
לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} אז \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$}.
\end{theorem}

\section{מכפלות}

\end{claim}
\begin{definition}
\uline{מכפלות}: תהי \L{$\Gamma$} קבוצה לא ריקה כלשהי ו-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
זה אוסף כל הפונקציות \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
המקיימות \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. הערה: אם \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$}
ו-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} לכל \L{$i,j$} אז \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.

דוגמה: אם \L{$\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$} לכל \L{$\mathcal{M}$}
אז \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$}זה
פשוט אוסף כל הפונקציות מ\L{$\Gamma$} ל\L{$\mathcal{M}$}. 
\end{definition}
~
\begin{definition}
אם \L{$\Gamma$}לא ריקה ו-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$}
לכל \L{$\gamma\in\Gamma$}. תהי \L{$\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$}.
ל\L{$\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$} נגדיר \L{$x\sim_{F}y$} עבור
על מסנן \L{$F$} על \L{$\Gamma$} אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$}. \end{definition}
\begin{claim}
בסימונים של ההגדרה האחרונה \L{$\sim_{F}$} הוא יחס שקילות. \end{claim}
\begin{proof}
~
\begin{enumerate}
\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$}

\begin{enumerate}
\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$}
\item נניח ש\L{$x\sim_{F}y$} ו-\L{$y\sim_{F}z$} אז \L{
\begin{eqnarray*}
U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F
\end{eqnarray*}
} וגם \L{
\begin{eqnarray*}
V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F
\end{eqnarray*}
} לכן \L{$U\cap V\in F$} אבל \L{$U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}
תהי \L{$\Gamma$} קבוצה לא ריקה ולכל \L{$\gamma\in\Gamma$} יהי \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}
מבנה לשפה \L{$\mathcal{L}$}. יהי \L{$F$} על מסנן )לא ראשי( על \L{$\Gamma$}
אז העל מכפלה של \L{$\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
ביחס ל\L{$F$} שתסומן \L{$\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$}
היא המבנה המוגדר כלהלן: \end{definition}
\begin{enumerate}
\item העולם של העל מכפלה הוא \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$}
כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס \L{$\sim_{F}$} על המכפלה \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$}
\item לכל קבוע אישי \L{$c\in\mathcal{L}$} נפרש \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}
מחלקת השקילות של הסדרה \L{$(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$}
ביחס ל \L{$\sim_{F}$}.
\item לכל סימן יחס n-מקומי \L{$R\in\mathcal{L}$} . נאמר ש\L{$[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$}
אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$}
. 
\item לכל סימן פונקציה n-מקומי \L{$F$}נאמר ש\L{$F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$}
אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$}
. הערה: הנ\char`\"{}ל מוגדר היטב. כלומר אם \L{$[b]=[d]$} אז \L{
\begin{eqnarray*}
 &  & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\
 & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}}
\end{eqnarray*}
} כי \L{$[b]=[d]$} כלומר \L{$b\sim_{F}d$} וזאת בדיוק ההגדרה. \end{enumerate}
\begin{theorem}
יהיו \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$}
ו-\L{$\varphi(x_{1},...,x_{n})$} נוסחה ו-\L{$s$} השמה ל\L{$\mathcal{M}$}.
אזי מתקיים \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} אם ורק אם לכל
השמות \L{$(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$} )עם \L{$s_{\gamma}$}
השמה ל\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}( כך ש \L{$[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$}
מתקיים ש \L{$\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$}.\end{theorem}
\begin{proof}
באינדוקציה על יצירת הנוסחאות. נתחיל משמות עצם:
\begin{itemize}
\item עבור \L{$t$} קבוע אישי \L{$c$} מתקיים \L{$Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$}.
לשם נוחות נקבע השמה \L{$s_{0}$} ל-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
כך ש-\L{$[s_{0}]=s$}. כלומר לכל משתנה אישי \L{$x$} מתקיים \L{$[s_{0}(x)]=s(x)$}. 
\item עבור \L{$t$} משתנה אישי \L{$x$} : \L{$Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$}
\item עבור \L{$t$} פונקציה \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$} אז \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
 & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\
 & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})]
\end{eqnarray*}
}עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item אם \L{$\varphi$} נוסחה אטומית \L{$R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$}
אז אם ורק אם \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\
 & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
\end{eqnarray*}
} אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם \L{$[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}
לכל \L{$1\le i\le m$}. לכן, \L{
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\
 &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
\end{eqnarray*}
} וזה מה שהיינו צריכים .
\end{enumerate}
\end{proof}

\section{משפט \L{Los} והוכחת קומפקטיות}
\begin{theorem}
\uline{משפט }\inputencoding{latin9}\L{\uline{Los}}\inputencoding{cp1255}
תהי \L{$\mathcal{L}$} שפה לתחשיב הפסוקים, \L{$\Gamma$} קבוצה לא
ריקה, לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} מבנה \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}
לשפה \L{$\mathcal{L}$}. יהי \L{$F$} על מסנן על \L{$\Gamma$} ו-\L{$s$}
השמה עבור \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}
ו- \L{$\varphi(x)$} נוסחה ב\L{$\mathcal{L}$}. אזי \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$}אם
ורק אם לכל השמה \L{$s$} ל-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
המקיימת \L{$\bar{s}(x)=[s(x)]$} מתקיים: \L{
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F
\end{eqnarray*}
} )כאשר \L{$s(\gamma)(x)$} זה הקואורדינטה ה\L{$\gamma$} של \L{$s(x)$}(. 
\end{theorem}
תזכורת: כיצד מגדירין )\char`\"{}לכבוד פסח\char`\"{} - א. חסון, חג
שמח( מבנה לשפה \L{$\mathcal{L}$} על \L{${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}?
\begin{itemize}
\item עבור קבוע אישי \L{$c$} פשוט לוקחים את \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}.
\item עבור סימן יחס n-מקומי \L{$R$} נקבע ש-\L{$\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$}
אם קיימים \L{$a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
כך ש \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} כך ש-\L{
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
\end{eqnarray*}
}
\item עבור סימן פונקציה n-מקומי \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$}
אם קיימים \L{$b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
כך ש \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$} כך ש
\L{
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F
\end{eqnarray*}
}.
\end{itemize}
\uline{תרגיל:}
\begin{enumerate}
\item להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר \L{$F^{\mathcal{M}}$} היא אכן פונקציה.
ז\char`\"{}א עבור \L{$\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$}
קיים \L{$b$} יחיד כך ש\L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$}.
\item אם \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} אז \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}\end{enumerate}
\begin{proof}
ראשית נראה: אם \L{$t$} שם עצם ב\L{$\mathcal{L}$}, \L{$\bar{s},s$}
השמות כבניסוח המשפט אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
באינדוקציה על יציאת \L{$t$}.
\begin{itemize}
\item עבור \L{$t$} קבוע אישי \L{$c$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
\item עבור \L{$t$} משתנה אישי \L{$x$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
\item עבור \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$}: \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\
 & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
 & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\
 & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))]
\end{eqnarray*}
}
\end{itemize}

הוכחנו עבור שמות עצם. כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה.
\begin{itemize}
\item עבור \L{$\varphi$} נוסחה אטומית \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} מתקיים
\L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}}
\end{eqnarray*}
} אם ורק אם קיימים נציגים ל-\L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$} נסמנם
\L{$a_{1},...,a_{n}$} כך ש\L{$\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$}.
את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את \L{$(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$}
בתור נציגים לכל \L{$i$}. ז\char`\"{}א \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\
 &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}
\end{eqnarray*}
} )וזה בדיוק מה שמשפט \inputencoding{latin9}\L{Los}\inputencoding{cp1255}
אומר(.
\item עבור \L{$\varphi=\neg\psi$} מתקיים \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F
\end{eqnarray*}
} וזה מתקיים אם ורק אם \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE
\end{eqnarray*}
}.
\item המקרים של \L{$\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} דומים מאוד )משתמשים
בתכונות של על מסנן(.
\item נותר המקרה \L{$\varphi=\exists x\psi(x)$} )המקרה של \L{$\forall x$}
נובע מהמקרה הנ\char`\"{}ל וממה שעבר עשינו ע\char`\"{}י השקילות הלוגית
\L{$\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$}(.

\begin{itemize}
\item כיוון אחד: נניח כי \L{$(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$}
ז\char`\"{}א שקיים \L{$\bar{a}\in\mathcal{M}$} כך ש\L{$(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$}.
נוסיף לשפה קבוע אישי חדש \L{$c$} ונרשום \L{$\psi(c)$} הנוסחה המתקבלת
מ\L{$\psi$}ע\char`\"{}י החלפת של מופע חופשי של \L{$x$} בנוסחה \L{$\psi$}
ב\L{$c$} . נרחב את \L{$\mathcal{M}$}למבנה לשפה המועשרת ע\char`\"{}י
כך שנגדיר \L{$c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$}. אזי \L{$Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$}.
אז לפי הנחת האינדוקציה: \L{
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\
 & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F
\end{eqnarray*}
} 
\item כיוון שני: נניח כי \L{$\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$}.
נגדיר איבר \L{$a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
באופן הבא: לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} אם \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$}
אז נבחר \L{$a_{\gamma}$} שמעיד על כך. אם \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$}
נבחר \L{$a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$} שרירותי. נגדיר \L{$\bar{a}=[a]$}
. מההנחה שלנו \L{
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\
 &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\
 &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x)
\end{eqnarray*}
}. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{corollary}
נניח ש\L{$\Gamma$} לא ריקה ו\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}מבנים לשפה
\L{$\mathcal{L}$} לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} ו-\L{$F$} על מסנן על
\L{$\Gamma$}, אזי לכל פסוק \L{$\psi$} ב\L{$\mathcal{L}$} מתקיים
\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$}
אם ורק אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}.
\begin{corollary}
\uline{משפט הקומפקטיות}: תהי \L{$\Gamma$} קבוצה פסוקים בשפה \L{$\mathcal{L}$}.
נניח שלכל \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} גם \L{$\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$}
ולכל \L{$\psi\in\Gamma$} קיים מודל \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}
אזי \L{$\Gamma$} ספיקה כלומר קיים \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$}. \end{corollary}
\begin{proof}
לכל \L{$\psi\in\Gamma$} נבחר מבנה \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}.
תהי \L{$\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$} הקבוצה המקיימת קיים
\L{$\psi\in\Gamma$}כך ש: \L{$V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$}. 
\end{proof}
\end{corollary}
\begin{claim}
\L{$\mathcal{U}$} מסנן על \L{$\Gamma$} .\end{claim}
\begin{proof}
לכל \L{$\psi\in\Gamma$} מהנחתנו \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}
לכן \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$}.
לכן \L{$\mathcal{U}\not=\emptyset$}. ברור ש\L{$\mathcal{U}$} סגורה
כלפי מעלה. נניח ש\L{$v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$} אזי קיימים \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$}
כך ש-\L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$}
וזה גורר..... \L{$V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$}. 
\end{proof}
יהי \L{$F$} על מסנן שמרחיב את \L{$\mathcal{U}$} . לפי המסקנה מתקיים
\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$}
אם ורק אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}.
אבל מהגדרת \L{$\mathcal{U}$} לכל \L{$\psi\in\Gamma$} הקבוצה \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$}
ולכן ל-\L{$F$}. מש\char`\"{}ל.


\section{עקביות}
\begin{theorem}
תהי \L{$(P,\le)$} קס\char`\"{}ח, אזי קיים יחס \L{$R$} על \L{$P$}
)דו-מקומי( כך ש-\end{theorem}
\begin{enumerate}
\item \L{$R$} יחס סדר קווי

\begin{enumerate}
\item לכל \L{$a,b\in P$} אם \L{$a\le b$} אז \L{$R(a,b)$}.
\end{enumerate}

במילים אחרות, קיים סדר קווי \L{$R$} על \L{$P$} שמרחיב את \L{$\le$}.

\end{enumerate}
\begin{theorem}
\uline{הערה:} המשפט עבור קבוצה סופית \L{$P$} איננו קשה. ההוכחה
באינדוקציה על \L{$|P|$}. עבור \L{$|P|=1$} אין מה להוכיח. נניח שהוכחנו
עבור כל \L{$P$} עם \L{$|P|=n$} ונוכיח עבור \L{$n+1$}: תהי \L{$(P,\le)$}
קס\char`\"{}ח עם \L{$n+1$} איברים. כיוון ש\L{$P$} סופית יש לה איבר
מינימלי \L{$a$}. תהי \L{$Q=P\backslash\{a\}$}. אז \L{$(Q,\le)$}
קס\char`\"{}ח עם \L{$n$} איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש \L{$R$}
סדר קווי על \L{$Q$} שמרחיב את \L{$\le$} על \L{$Q$}. עתה לא קשה
לבדוק שאם נגדיר \L{$R(a,b)$} לכל \L{$b\in Q$} נקבל את המבוקש.\end{theorem}
\begin{proof}
)מקרה כללי( תהי \L{$L$} שפה לתחשיב היחסים שבה:
\begin{enumerate}
\item לכל \L{$p\in P$} יש קבוע אישי \L{$c_{p}$}
\item יחס דו מקומי \L{$R$}
\end{enumerate}

\uline{בלבד.} נגדיר קבוצת פסוקים \L{$T_{P}$} ב\L{$L$} באופן הבא:
\begin{enumerate}
\item \L{$c_{p}\not=c_{q}$} לכל \L{$p\not=q\in P$} 
\item \L{$R$} יחס סדר קווי
\item לכל \L{$p,q\in P$} אם \L{$p\le q$} אזי יהיה פסוק \L{$R(c_{p},c_{q})$}.\end{enumerate}
\begin{claim}
\L{$T_{P}$} ספיקה )מקומית(.
\begin{proof}
ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש\L{$T_{P}$} ספיקה מקומית. תהי \L{$T_{0}\subseteq T_{P}$}
סופית. בה\char`\"{}כ האקסיומה ){\beginL 2\endL}( \char`\"{}\L{$R$}
יחס סדרי קווי\char`\"{} שייכת ל\L{$T_{0}$}. בנוסף נשים לב שב\L{$T_{0}$}
מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: \L{$c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$}.
נביט בקבוצה \L{$P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$}. אז \L{$(P_{0},\le)$}
קס\char`\"{}ח סופית. לכן לפי ההערה יש יחס \L{$R^{P_{0}}$} שהוא סדר
קווי על \L{$P_{0}$} המרחיב את \L{$\le$} על \L{$P_{0}$}. ברור שאם
נפרש את \L{$R$} ב\L{$P_{0}$} ע\char`\"{}י \L{$R^{P_{0}}$} כנ\char`\"{}ל
ו-\L{$c_{p_{i}}$} ע\char`\"{}י \L{$p_{i}$} אז נקבל מודל של \L{$T_{0}$}.
\end{proof}
\end{claim}

יהי \L{$\mathcal{M}\models T_{P}$}, בפרט \L{$R^{\mathcal{M}}$} סדר
קווי על \L{$\mathcal{M}$}. יהי \L{$\mathcal{N}\le\mathcal{M}$} המבנה
שעולמו הוא הקבועים של \L{$\mathcal{M}$} )כלומר \L{$a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$}
לאיזה \L{$p\in P$}(. נגדיר יחס סדר חלקי \L{$\le^{\mathcal{N}}$}על
\L{$\mathcal{N}$} ע\char`\"{}י \L{$p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$}
לכל \L{$p,q\in P$} . אז \L{$(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$}
פשוט ע\char`\"{}י \L{$p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$}. לכן בה\char`\"{}כ
\L{$(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$}. עתה \L{$R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$}
)צמצום( סדר קווי על \L{$\mathcal{N}$}. )לפי \L{$\mathcal{M}\models(2)$}
מתקיים כי\L{$R^{\mathcal{M}}$} סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי(.
כיוון ש-\L{$\mathcal{M}\models(3)$} אז אם \L{$p\le q$} אזי \L{$p(c_{p},c_{q})$}
היא אקסיומה ב){\beginL 3\endL}( ולכן \L{$\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$}
ולכן \L{$\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$}. 

\end{proof}
\begin{theorem}
תהי \L{$L=\{G\}$} עבור יחס דו מקומי \L{$G$}. \L{$T_{G}$} התורה
שאומרת כי העולם הוא גרף. אזי אין פסוק \L{$\psi$} ב\L{$L$} כך ש\L{$\mathcal{M}\models\psi$}
אם ורק אם \L{$\mathcal{M}$} גרף קשיר.\end{theorem}
\begin{proof}
נניח בשלילה שיש פסוק \L{$\psi$} כזה. נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים
\L{$c_{1},c_{2}$}. יהי \L{$\varphi_{n}$} הפסור שאומר שאין מסילה
באורך קטן מ\L{$n$} בין \L{$c_{1}$} ל\L{$c_{2}$}:\L{
\[
\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})]
\]
} נשים לב ש\L{$\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$}
עיקבית מקומית. אם \L{$\Gamma_{0}$} קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה
הנ\char`\"{}ל יש \L{$n$} מירבי כך ש\L{$\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$}.
ברור שאם נמצא \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$}
אז \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}. אבל ברור שלכל \L{$n$} יש
גרך המקיים את \L{$\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$}
)פחות מ\L{$n$} קודקודים, בפרט אין מסילה מ\L{$c_{1}$}ל\L{$c_{2}$}(.
ולכן \L{$\Gamma$} ספיקה סופית. לפי קומפקטיות \L{$\Gamma$} עקבית.
אבל זה לא ייתכן: אם \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\psi$}
ולכן בין \L{$c_{1}$} ל\L{$c_{2}$} יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר
\L{$n$}. מצד שני \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}$} ולכן אין מסילה
באורך \L{$n$} בין \L{$c_{1}$} ל\L{$c_{2}$} וזוהי סתירה להנחת השלילה.
\end{proof}
\uline{הערה:}
\begin{enumerate}
\item באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק \L{$\psi$} בשפה \L{$L=\{\le\}$}
כך ש\L{$\mathcal{M}\models\psi$} אם ורק אם \L{$\{\le\}$} סדר טוב
)כלומר \L{$\le$} סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת(. 
\item אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} כך
ש\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אם ורק אם \L{$\mathcal{M}$} גרף
קשיר/\L{$\mathcal{M}$} סדור היטב )סדר טוב(.
\end{enumerate}
\uline{תזכורת:}

אם \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים אז \L{$\Gamma\models\psi$} אם לכל מבנה
\L{$\mathcal{M}$}: אם \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\psi$}
.
\begin{corollary}
אם \L{$\Gamma\models\psi$} אז קיימת קבוצת פסוקים \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
סופית כך ש\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}. \end{corollary}
\begin{proof}
נביט בקבוצה \L{$\Gamma\cup\{\neg\psi\}$} . מהנחתנו קבוצה זו איננה
ספיקה. מקומפקטיות יש \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$}
סופית כך ש\L{$\Gamma_{1}$} איננה ספיקה. ברור ש\L{$\neg\psi\in\Gamma_{1}$}
כי אחרת \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$} ו\L{$\Gamma$} עקבית. )אם
\L{$\Gamma$} איננה עקבית מקומפקטיות יש \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
שאינה ספיקה ו\L{$\Gamma_{0}\models\varphi$} לכל פסוק \L{$\varphi$}(.
לכן \L{$\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$}
סופית ומקיימת \L{$\Gamma_{0}\models\psi$} )כי אחרת יש מודל \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}
ו-\L{$\mathcal{M}\not\models\psi$} כלומר \L{$\mathcal{M}\models\neg\psi$}
כלומר \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$} בסתירה לבחירת \L{$\Gamma_{1}$}(.
במילים אחרות ליחס \L{$\models$} יש טבע סופי.
\end{proof}
\uline{שאלה מרכזית}: בהינתן שפה \L{$L$} וקבוצת פסוקים \L{$\Gamma$}
ב\L{$L$}, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק \L{$\psi$} כלשהו האם \L{$\Gamma\models\psi$}?
בתור התחלה נשים לב שאם \L{$\psi\in\Gamma$} אז בוודאי \L{$\Gamma\models\psi$}.
ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם \L{$\psi\in\Gamma$}? נניח שהגדרנו
מתי קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה
מתי פסוק \L{$\psi$} שייך ל\L{$\Gamma$}. נניח ש\L{$\Gamma$} קבוצת
פסוקים חשיבה ונניח ש\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} אז \L{$\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$}.
נניח ש\L{$\psi_{1}\in\Gamma$} ו\L{$\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$}
אז \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}. באופן כללי יותר אם הראנו למשל \L{$\psi_{1}$}
ו-\L{$\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$} נגררים לוגית ע\char`\"{}י \L{$\Gamma$}
אז ניתן להראות \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}.


\section{מערכות היסק ויכיחות}

\uline{בעיה מרכזית:} נתונה קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} ורוצים לדעת
עבור פסוק \L{$\psi$} האם \L{$\Gamma\models\psi$}. 

מקרה פרטי: \L{$\Gamma=\emptyset$}, כלומר רוצים לדעת האם פסוק \L{$\psi$}
אמיתי לוגית או לא. המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי. מדוע? בהינתן
קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} ו\L{$\psi$} כלשהו, אם \L{$\Gamma\models\psi$}
אז יש \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} סופית כך ש\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}
)משפט הקומפקטיות( ולכן \L{$({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$}
אמיתי לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק.

\uline{שאלה}: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית?
\begin{enumerate}
\item אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית.
\item אם \L{$\varphi$} אמיתי לוגית אז \L{$\forall x\varphi$} אמיתי לוגית.
אפשר לרשום גם: \L{$\varphi\rightarrow\forall x\varphi$} אמיתי לוגית.
\item אם \L{$\forall x\varphi(x)$} אמיתי לוגית אז \L{$\varphi(t)$} אמיתי
לוגית לכל שם עצם \L{$t$}. אפשר לרשום גם: \L{$\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$}
אמיתי לוגית.
\item \textbf{אם \L{$\varphi\rightarrow\psi$} אמיתי לוגית ו\L{$\varphi$}
אמיתי לוגית אז \L{$\psi$} אמיתי לוגית. })בכל מערכות ההיסק שנעבוד
איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד. זה נקרא \uline{כלל הניתוק} או \inputencoding{latin9}\L{Modus
Poneus}\inputencoding{cp1255}(
\end{enumerate}
\uline{סימון:} בהינתן שפה \L{$\mathcal{L}$} מסדר ראשון נסמן \L{$Def(\mathcal{L})$}
אוסף הנוסחאות בשפה \L{$\mathcal{L}$}.
\begin{definition}
מערכת היסק )לשפה \L{$\mathcal{L}$}( זה זוג סדור \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}כאשר: \end{definition}
\begin{enumerate}
\item \L{$\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$} )אולי ריקה( שנקראת קבוצת
האקסיומות הלוגיות
\item \L{${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$}
כאשר \L{$F_{n}$} זה אוסף הפונקציות \L{$f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$}
ו-\L{$\mathcal{I}$} נקראת אוסף כללי ההיסק.
\end{enumerate}
\uline{הערה:} תמיד נדרוש כי:
\begin{enumerate}
\item אם \L{$\varphi\in\mathcal{A}$} אז \L{$\varphi$} אמיתי לוגית. במקרה
זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות \uline{תקפות}.
\item אם \L{$f\in\mathcal{I}$} ו- \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$}
אז \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$}.
במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק \uline{נאותים}.
\end{enumerate}
\uline{סימון}: אם נרצה לומר ש\L{$\psi$}מתקבל מ\L{$\psi_{1},...,\psi_{n}$}
על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום \L{$\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$}
ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר. 
\begin{definition}
בהינתן מערכת היסק \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}
וקבוצת נוסחאות \L{$\Gamma$} נאמר שנוסחה \L{$\psi$} \textbf{יכיחה}
)כלומר, ניתנת להוכחה( מ\L{$\Gamma$} ,ונסמן \L{$\Gamma\vdash\psi$},
אם קיימת סדרת נוסחאות \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} לאיזה \L{$k\in\mathbb{N}$}
כך ש:\end{definition}
\begin{enumerate}
\item \L{$\psi=\varphi_{k}$}
\item לכל \L{$1\le i\le k$} או:

\begin{enumerate}
\item \L{$\varphi_{i}$} אקסיומה לוגית. או:
\item \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$}. או:
\item \L{$\varphi_{i}$} מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע\char`\"{}י אחד מכללי
ההיסק. במקרה שלנו יש \L{$j_{1},j_{2}<i$} כך ש\L{$\varphi_{i}$} מתקבל
מ-\L{$\varphi_{j_{1}}$}ו-\L{$\varphi_{j_{2}}$} ע\char`\"{}י כלל
הניתוק.
\end{enumerate}

הסדרה \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} המקיימת את התנאים הנ\char`\"{}ל
נקראת הוכחה של \L{$\psi$} מ-\L{$\Gamma$}.

\end{enumerate}
\uline{שאלה:} האם קיימת מערכת היסק \uline{חשיבה} )כלומר שבה
אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות
קודמות ע\char`\"{}י אחד מכללי ההיסק( כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה
)מ-\L{$\emptyset$}(.

מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל
הטאוטולוגיות כאקסיומות לוגיות )אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות(. 
\begin{claim}
תהי \L{$T$} תורה )קבוצת פסוקים ספיקה( כלשהי ו\L{$\psi$} נוסחה כך
ש-\L{$T\vdash\psi$} אזי \L{$T\cup\{\psi\}$} ספיקה. \end{claim}
\begin{proof}
יהי \L{$\mathcal{M}\models T$} נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של
\L{$\psi$} מ-\L{$T$} ש-\L{$\mathcal{M}\models\psi$}. אם ל-\L{$\psi$}
הוכחה באורך {\beginL 1\endL} אז או ש-\L{$\psi$} אקסיומה לוגית ולכן
אמיתי לוגית ולכן מסופק ב-\L{$\mathcal{M}$}, או ש-\L{$\psi\in T$}
ובוודאי ש-\L{$\mathcal{M}\models\psi$} )כי \L{$\mathcal{M}\models T$}(.
נניח ש-\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} הוכחה של \L{$\psi$} מ-\L{$T$}
ואפשר להניח ב.ה.כ ש-\L{$\psi=\varphi_{k}$} מתקבל מאיזה \L{$\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$}
עם \L{$j_{1},j_{2}<k$} ע\char`\"{}י כלל הניתוק. לפי הנחת האינדוקציה
\L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$} וגם \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$}.
מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט \L{$\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$}
ולכן \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof}
\begin{theorem}
\uline{משפט ההיסק: }תהי \L{$\Gamma$} קבוצת נוסחאות ו-\L{$\psi$}
נוסחה כלשהי, אז \L{$\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$} אם ורק אם \L{$\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$}
)\L{$\phi$} נוסחה(. 
\end{theorem}
)ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט(.
\begin{definition}
קבוצת נוסחאות \L{$\Gamma$} תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה. )סתירה
היא המקבילה של טאוטולוגיה - כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה
של תחשיב הפסוקים(.\end{definition}
\begin{remark}
אם \L{$\Gamma$} אינה עקבית אז \L{$\Gamma\vdash\psi$} לכל נוסחה \L{$\psi$}. \end{remark}
\begin{proof}
מהנחתנו \L{$\Gamma\vdash\sigma$} לאיזו סתירה \L{$\sigma$}. אז \L{$\Gamma\rightarrow\psi$}
היא טאוטולוגיה )\L{$\sigma$} מתקבלת ע\char`\"{}י הצבה של פסוקים מתחשיב
היחסים בפסוק \L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})$} של תחשיב הפסוקים ו-\L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$}
היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים(. כיוון ש\L{$\Gamma\vdash\sigma$}
מכלל הניתוק \L{$\Gamma\vdash\psi$}. \end{proof}
\begin{corollary}
)ממשפט ההיסק( לכל תורה \L{$T$} ולכל נוסחה \L{$\varphi$} או ש-\L{$T\cup{\varphi}$}
עקבית או ש-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} עקבית.\end{corollary}
\begin{proof}
נניח ש-\L{$T\cup{\varphi}$} ו-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} שתיהן אינן
עקביות. לפי ההערה יש סתירה \L{$\sigma$} כך ש-\L{$T\cup{\varphi}\vdash\sigma$}
ו-\L{$T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$} . לפי משפט ההיסק \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$}
ו-\L{$T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$} . אבל: \L{$(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$}
זו טאוטולוגיה. שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של \L{$\sigma$}
מ-\L{$T$}. בסתירה להנחה ש-\L{$T$} ספיקה ולטענה הקודמת.\end{proof}
\begin{corollary}
לכל תורה \L{$T$} יש קבוצת פסוקים \L{$T\subseteq T^{\prime}$} כך
שלכל פסוק \L{$\psi$} או \L{$T^{\prime}\vdash\psi$} או \L{$T^{\prime}\vdash\neg\psi$}. \end{corollary}
\begin{definition}
תורה \L{$T$} המקיימת לכל פסוק \L{$\psi$} או \L{$T\vdash\psi$} או
\L{$T\vdash\neg\psi$} נקראת \uline{שלמה}.\end{definition}
\begin{proof}
)של המסקנה( תהי \L{$\mathcal{T}$} אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות
את \L{$T$} ביחס לסדר ההכלה. קל לבדוק שאם \L{$\{T_{i}\}$} שרשרת עולה
של תורות ב-\L{$\mathcal{T}$} אז \L{$\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$}.
למה? קומפקטיות )צריך לנמק(. לכן לפי הלמה של צורן יש \L{$T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$}
מירבית. לפי המסקנה הקודמת \L{$T^{\prime}$} עונה על הדרישות.
\end{proof}

\section{מערכות היסק - המשך}
\begin{definition}
קבוצת פסוקים עקבית \L{$T$} היא \textbf{שלמה} אם לכל פסוק \L{$\psi$}
או ש-\L{$T\vdash\psi$} או ש-\L{$T\vdash\neg\psi$}.

ראינו שאם \L{$T$} קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז \L{$T$}
שלמה.\end{definition}
\begin{claim}
לכל קבוצת פסוקים עקבית \L{$T$} יש קבוצת פסוקים שלמה \L{$T\subseteq T^{\prime}$}.\end{claim}
\begin{proof}
הלמה של צורן. כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם \L{$\{T_{i}\}$}
שרשרת )ביחס להכלה( של קבוצות פסוקים עקביות אז גם \L{$\tilde{T}=\bigcup T_{i}$}
עיקבית. מדוע? אם \L{$\tilde{T}\vdash\sigma$} לאיזו סתירה \L{$\sigma$}
אז יש סדרה \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$} שהיא הוכחה
של \L{$\sigma$} מ-\L{$\tilde{T}$}. כל \L{$\varphi_{i}$} הוא או
אקסיומה לוגית או שייך לאיזה \L{$T_{j_{i}}$} או נובע מאיברים קודמים
בסדרה ע\char`\"{}י כלל הניתוק. קיים \L{$j$} מירבי כך שלכל \L{$i$}
כנ\char`\"{}ל או \L{$\varphi_{i}$} אקסיומה לוגית או \L{$\varphi_{i}\in T_{j}$}
או \L{$\varphi_{i}$} מתקבל מכלל הניתוק. ז\char`\"{}א ש\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$}
הוכחה של \L{$\sigma$} מתוך \L{$T_{j}$}. אבל \L{$T_{j}$} עקבית -
סתירה.\end{proof}
\begin{theorem}
קיימת מערכת היסק )שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד( וכך שמערכת ההיסק
\char`\"{}חשיבה\char`\"{} ומתקיים ש\L{$T$} עקבית אם ורק אם \L{$T$}
ספיקה.\end{theorem}
\begin{corollary}
{]}משפט השלמות{[} נקבע מערכת היסק כנ\char`\"{}ל. תהי \L{$T$} קבוצת
פסוקים עקבית, \L{$\psi$} פסוק כלשהו אזי \L{$T\vdash\psi$} אם ורק
אם \L{$T\models\psi$}.\end{corollary}
\begin{proof}
אם \L{$T\vdash\psi$} הראנו ש\L{$T\models\psi$} )שיעור שעבר(. בכיוון
השני, אם \L{$T\models\psi$} אבל \L{$T\not\vdash\psi$} אז \L{$T\cup{\neg\psi}$}
עקבית. לפי המשפט יש \L{$\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$} בסתירה
להנחה.\end{proof}
\begin{remark}
המשפט הנ\char`\"{}ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק \char`\"{}חשיבה\char`\"{}
כך שלכל \L{$\varphi$} אמיתי לוגית מתקיים \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.\end{remark}
\begin{proof}
נניח את המשפט ונוכיח את הטענה. \L{$\emptyset\models\varphi$}מתקיים
כי \L{$\varphi$} אמיתי לוגית ומן המסקנה \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.
בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט. תהי \L{$T$} תורה עקבית.
עלינו להראות )בעזרת הטענה( של\L{$T$} יש מודל. נניח שלא. ז\char`\"{}א
מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית \L{$T_{0}\subseteq T$} שאין לה מודל.
יהי \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$}.
אז \L{$\psi$}שיקרי לוגית. אז \L{$\neg\psi$} אמיתי לוגית. אז \L{$T\vdash\neg\psi$}.
אבל \L{$T\vdash\psi$} אז \L{$T$} איננה עקבית.\end{proof}
\begin{remark}
ממשפט השלמות נובע ש\L{$T$} שלמה אם ורק אם \L{$T\models\varphi$}
או \L{$T\models\neg\varphi$} לכל פסוק \L{$\varphi$}. 
\end{remark}
דוגמאות לתורות שלמות:
\begin{enumerate}
\item יהי \L{$\mathcal{M}$} מבנה כלשהו לשפה \L{$\mathcal{L}$}. התורה של
\L{$\mathcal{M}$} היא \L{$Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$}.
מהגדרת האמת, אם \L{$\mathcal{M}\not\models\varphi$} אז \L{$\mathcal{M}\models\neg\varphi$}.
כלומר \L{$\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$} ואז \L{$\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$}. \end{enumerate}
\begin{theorem}
)לוונהיים-סקולם היורד(: יהי \L{$\mathcal{M}$} מבנה אינסופי לשפה )בת
מניה( \L{$\mathcal{L}$}. תהי \L{$A\subseteq M$} )בעולם של \L{$\mathcal{M}$}(
אזי קיים \L{$A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$} וכך
ש-\L{$|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$}. \end{theorem}
\begin{corollary}
נניח ש\L{$T$} תורה בשפה בת מניה ול\L{$T$} יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם
בעוצמה \L{$\aleph_{0}$}. אזי \L{$T$} שלמה )סוג של קריטריון \inputencoding{latin9}\L{Vaught}\inputencoding{cp1255}(. \end{corollary}
\begin{proof}
נניח שלא. אזי יש פסוק \L{$\varphi$} כך ש\L{$T_{1}=T\cup{\varphi}$}
ו-\L{$T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$} עקביות. אזי קיימים \L{$\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$}
ו-\L{$\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$}. מהמשפט אנחנו יודעים )נשתמש
ב\L{$\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$}( שיש \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$}כך
ש\L{$\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$}עבור \L{$i=1,2$}. אבל
\L{$\mathcal{M}_{i}\models T$} ולכן \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$}.
לכן \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$})זאת
ההנחה(. לפי משפט האיזומורפיזם \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$}
אבל \L{$\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$}
וגם \L{$\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$}
- סתירה. \end{proof}
\begin{corollary}
~\end{corollary}
\begin{enumerate}
\item תהי \L{$T_{\approx}$} התורה בשפה הריקה )ז\char`\"{}א שוויון בלבד(
שאומרת שהעולם אינסופי. זו תורה שלמה. 
\item תהי \L{$\mathcal{L}=\{\le\}$} ו- \L{$DLO$} היא התורה של סדר קווי
צפוף ללא קצוות. אז \L{$DLO$} תורה שלמה. 
\item הגרף המקרי )שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל {\beginL 1\endL} שאלה {\beginL 2\endL}(
הוא קטגורי ב\L{$\aleph_{0}$} )כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה \L{$\aleph_{0}$}
איזומורפי לו( לפי תרגיל {\beginL 2\endL} שאלה {\beginL 5\endL}. 
\end{enumerate}

\section{מכונות טיורינג}

\uline{תזכורת:}
\begin{itemize}
\item תורה \L{$T$} שלמה אם לכל פסוק \L{$\psi$} או \L{$T\vdash\psi$} או
\L{$T\vdash\neg\psi$}
\item אם \L{$T$} קטגורית ב\L{$\aleph_{0}$} )כלומר, יש לה מודל יחיד עד
כדי איזומורפיזם שעוצמתו \L{$\aleph_{0}$}( ול-\L{$T$} אין מודלים
סופיים אז \L{$T$} שלמה.
\end{itemize}
\uline{\L{$C$} - מחלקת הפונקציות החשיבות:}
\begin{itemize}
\item פונקציות חלקיות )דטרמיניסטיות(
\item ניתנות לתיאור סופי
\item הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים
\item חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית
\item כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות - \char`\"{}זיכרון\char`\"{}
\item זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד
של הזכרון
\item בכל שלב של החישוב \char`\"{}כמות סופית של אינפורמציה\char`\"{} - מספיקה
כדי לתאר את \char`\"{}מצב החישוב\char`\"{}\end{itemize}
\begin{definition}
יהיו \L{$S$} א\char`\"{}ב סופי עם תו מיוחד \L{$B$}, ו-\L{$Q$} קבוצה
סופית )זרה ל\L{$S$}( שנקרא לה \char`\"{}קבוצת המצבים הפנימיים\char`\"{}
עם מצב התחלתי \L{$q_{0}$}. \textbf{פקודה} זו רביעייה \L{$\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $}
כאשר \L{$r\in S$}, \L{$q,q^{\prime}\in Q$}, \L{$x\in\{L,R\}\cup S$}.
\textbf{מכונת טיורינג} זו רביעיה \L{$M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $}
כאשר \L{$I$} קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות. )הערה: \L{$I$}
חסרת סתירות אם \L{$rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$} אז \L{$y=x$}
ו-\L{$q^{\prime}=q^{\prime\prime}$}.(
\end{definition}
נחשוב בצורה גרפית על מ\char`\"{}ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים.
בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא\char`\"{}ב כאשר על \L{$B$} נחשוב
כעל תו המייצג תא ריק. למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים.
הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא. לפי המצב הפנימי
של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה תא אחד או
לכתוב תו אחר בא\char`\"{}ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש. על פקודה
נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו \L{$r$} והמצב הפנימי הוא \L{$q$}
אז אם \L{$x\in\{L,R\}$} זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי
\L{$q^{\prime}$}. אם \L{$x\in S$} כתוב בתא הנוכחי \L{$x$} ועבור
למצב פנימי \L{$q^{\prime}$}. לומר ש\L{$I$} היא סדרת פקודות חסרת
סתירה זה פשוט לומר ש\L{$I$} היא פונקציה חלקית: \L{$S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$}. 
\begin{definition}
~
\begin{enumerate}
\item \textbf{מצב} \L{$m$} של מכונת טיורינג \L{$T$} שו שלשה \L{$(n,q,h)$}
כאשר:

\begin{enumerate}
\item \L{$n\in\mathbb{Z}$} מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי
\L{$n=0$}.
\item \L{$q\in Q$} המצב הפנימי של המכונה
\item \L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow S$} פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של
הסרט.
\end{enumerate}
\item בהינתן מ\char`\"{}ט \L{$T$} ומצב \L{$m$} של המכונה נגדיר את \textbf{המצב
העוקב} ל\L{$m$} לפי המכונה \L{$T$} להיות \L{$m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$}
כאשר:

\begin{enumerate}
\item \L{$m=(n,q,h)$} ויש פקודה \L{$rqxq^{\prime}\in I$} כך ש\L{$r=h(n)$}
ו-\L{$q$} הוא אותו מצב פנימי
\item אם )א( מתקיים אז \L{$n^{*}=\begin{cases}
n & x\in S\\
n+1 & x=R\\
n-1 & x=L
\end{cases}$}
\item אם )א( מתקיים אז \L{$q^{*}=q^{\prime}$}
\item אם )א( מתקיים אז \L{$h^{*}(m)=\begin{cases}
h(m) & m\not=n\\
y & m=n
\end{cases}$} כאשר \L{$y=h(n)$} אם \L{$x\in\{L,R\}$} ו-\L{$y=x$} אם \L{$x\in S$}
.
\end{enumerate}
\item \textbf{ריצה} של מ\char`\"{}ט \L{$T$} זו סדרה של מצבים \L{$m_{0},m_{1},m_{2},...$}
המקיימת:

\begin{enumerate}
\item \L{$m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$} לאיזו \L{$h^{0}$}
\item לכל \L{$i>0$} מתקיים \L{$m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$}.
\end{enumerate}
\item ריצה של מ\char`\"{}ט \L{$T$} נקראת \textbf{סופית} )או מסתיימת( אם
היא מהצורה \L{$m_{0},m_{1},...,m_{n}$} לאיזה \L{$n\in\mathbb{N}$}
ו-\L{$M_{n}^{(T)}$} אינו מוגדר.
\end{enumerate}
~
\begin{definition}
בהינתן מ\char`\"{}ט \L{$T$} ומספר טבעי \L{$n$} נגדיר פונקציה )חלקית(
\L{$f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} באופן הבא: \L{$n=0$},
\L{$q=q_{0}$} , והסרט נראה כך: \L{
\begin{eqnarray*}
...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB...
\end{eqnarray*}
}מתקיים \L{$m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} אם ריצה של \L{$T$} עם
המצב ההתחלתי הנ\char`\"{}ח מסתיימת )אחרת לא מוגדר( ו-\L{$m$} היא
מספר האחדות על הסרט בתום הריצה.
\end{definition}
\end{definition}
~
\begin{definition}
פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} נקראת \textbf{חשיבה
ע\char`\"{}י מ\char`\"{}ט }אם קיימת מ\char`\"{}ט \L{$T$} כך ש\L{$f_{T}^{n}=f$},
כלומר \L{$f$} מוגדרת בדיוק באותו התחום בו \L{$f_{T}^{n}$} מוגדרת
ובכל מקום שהן מוגדרות \L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$}. 
\end{definition}

\section{מכונות טיורינג - המשך}
\begin{definition}
תהי \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$} פונקציה \L{$f$}
נקראת \textbf{חשיבה} )ע\char`\"{}י מכונת טיורינג( אם קיימת מכונה \L{$T$}
כך שלכל \L{$(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$} הריצה של \L{$T$}
על סרט מהצורה \L{
\begin{eqnarray*}
...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB...
\end{eqnarray*}
} מסתיימת אם ורק אם \L{$f(n_{1},...,n_{k})$} מוגדר ובמקרה זה מספר
האחדות על הסרט בתום הריצה הוא \L{$f(n_{1},...,n_{k})$}.

\uline{תזכורת}: סימנו, בהינתן מ\char`\"{}ט \L{$T$} את הפונקציה
\L{$f_{T}^{n}$} להיות הפונקציה שעבור קלט כנ\char`\"{}ל מחזירה את
מספר האחדות בריצה סופית של המכונה )על הקלט(.\end{definition}
\begin{claim}
לכל מכונת טיורינג \L{$T$} יש מכונת טיורינג \L{$T^{*}$} כך ש:
\begin{enumerate}
\item \L{$f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$} לכל \L{$n$}
\item בא\char`\"{}ב של \L{$T^{*}$} יש שני תווים מיוחדים \L{$S,E$} כך שבכל
ריצה מסתיימת של \L{$T^{*}$} )על קלט תקני( הסרט לאחר הריצה נראה כך:
\L{$...BBS111...1EBB...$}
\item המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן ב\L{$S$} שמאלה
\item פרט ל\L{$S,E$} ל-\L{$T^{*}$} יש רק את התווים \L{$\{1,B\}$}.
\end{enumerate}
\end{claim}
\begin{proof}
~
\begin{enumerate}
\item ~
\item לכל מצב פנימי \L{$q\in Q(T)$} יהיה במכונה \L{$T^{*}$} מצב פנימי
\L{$q^{*}$}. כל פקודה \L{$rqxq^{\prime}\in I(T)$} נחליף בפקודה \L{$rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$}.
נוסיף ל\L{$T^{*}$} את הפקודות הבאות:

\begin{itemize}
\item כותב \L{$S$} משמאל לקלט וחוזר ימינה

\begin{itemize}
\item \L{$Bq_{0}Lq_{1}$}
\item \L{$1q_{0}Lq_{1}$}
\item \L{$Bq_{1}Sq_{2}$}
\item \L{$Bq_{2}Lq_{3}$}
\end{itemize}
\item מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב \L{$E$} וחוזר להתחלה

\begin{itemize}
\item \L{$Bq_{3}Rq_{4}$}
\item \L{$Bq_{4}Lq_{5}$}
\item \L{$Bq_{5}Eq_{r}$}
\item \L{$*q_{r}Lq_{r}$} )\L{$*$} זה או \L{$B$} או \L{$1$}(
\item \L{$Sq_{r}Rq_{0}^{*}$} 
\item שלב הסריקה

\begin{itemize}
\item \L{$1q_{3}Rq_{3}$}
\item \L{$1q_{4}Rq_{3}$}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}

נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת
ב\L{$S$} או ב\L{$E$} בשלב הריצה. נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי
\L{$q^{*}$} נוסיף פקודות:
\begin{itemize}
\item \L{$Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$}
\item \L{$B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$}
\item \L{$B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$}
\item \L{$S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$}
\item באופן אנלוגי מטפלים ב\L{$E$}
\end{itemize}

נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות. נניח שכל ריצה מסתיימת של \L{$T$}
מסתיימת במצב פנימי \L{$\hat{q}$} )שאינו מופיע במהלך הריצה של \L{$T$}(.
נוסיף פקודות:
\begin{itemize}
\item \L{$*\hat{q}R\hat{q}$} )כאשר \L{$*$} הינו כל תו שאינו \L{$E$}(
\item \L{$E\hat{q}Bq_{w}$} 
\item \L{$Bq_{w}Lq_{w}^{1}$}
\item \L{$*q_{w}^{1}E\hat{q}$} )כאשר \L{$*$} הינו כל תו שאינו \L{$1$}
ואינו \L{$S$}(
\item נטפל במקרה שראינו \L{$S$}אחרי שמחקנו את \L{$E$}:

\begin{itemize}
\item \L{$Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$}
\item \L{$Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$}
\item \L{$Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$} - מצב סופי
\end{itemize}
\item וגם:

\begin{itemize}
\item \L{$1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$}
\item \L{$1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$}
\item \L{$*q_{w}^{d}1\hat{q}$} )כאשר\L{$*$}- כל תו שאינו \L{$S$} או \L{$1$}(
\item \L{$Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$}
\item \L{$1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$} 
\end{itemize}
\end{itemize}
\item הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים \L{$S$}.
כל פעם שהמכונה פוגשת \L{$S$} היא תיכנס ל\char`\"{}תת מכונה\char`\"{}
שמזיזה את כל הסרט שעד \L{$E$} ימינה בתו אחד, כותבת \L{$B$} במקום
הראשון שמימין ל-\L{$S$} וחוזרת לריצה של \L{$T$}. הדבר היחיד שצריך
להשתכנע: יש מכונה \L{$Sh$} שבהינתן קלט מן הצורה \L{$...BBS...EBBB...$}
מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה. נוסיף לא\char`\"{}ב שלנו
תו מיוחד \L{$B^{*}$} , המכונה תרוץ באופן הבא:

\begin{enumerate}
\item תסרוק עד שתגיע ל\L{$E$} 
\item לכל תו \L{$\alpha$} בא\char`\"{}ב המקורי )כלומר שאינו \L{$B^{*}$}(
יהיה מצב פנימי \L{$q_{\alpha}$}. סדרת הפקודות:

\begin{itemize}
\item \L{$\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$}
\item \L{$Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$}
\item \L{$B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$} 
\end{itemize}

מעתיקה את התו \L{$\alpha$} תו אחד מימין למקומו המקורי. צריך טיפול
נפרד בתווים \L{$S,E$} אבל אין בעיה.

\end{enumerate}
\item אם בא\char`\"{}ב שלנו יש \L{$n$} תווים נבנה מכונה \L{$T^{*}$} שבה
התו ה-\L{$i$} בא\char`\"{}ב של \L{$T$} ייוצג ע\char`\"{}י \L{$n$}-יה
של תאים \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}
. קל לבדוק שכל פקודה מהצורה \char`\"{}זוז ימינה\char`\"{} או \char`\"{}זוז
שמאלה\char`\"{} ב\L{$T$} ניתן לתרגם בקלות לפקודה \char`\"{}זוז \L{$n$}
תווים ימינה/שמאלה\char`\"{} ב\L{$T^{*}$}. פקודה מהצורה \char`\"{}כתוב
את התו ה\L{$i$} בא\char`\"{}ב בתא הנוכחי\char`\"{} תתרגם לסדרה של
\L{$n$} פקודות כתיבה \char`\"{}כתוב במקום ה\L{$n$}-יה שאתה נמצא
בתחילתה את ה\L{$n$}-יה \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}.
כנ\char`\"{}ל לגבי הקריאה. לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו \L{$1$}
בא\char`\"{}ב של \L{$T$} ע\char`\"{}י \L{$\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$}אז
\L{$f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$} לכל \L{$n$}. 
\end{enumerate}
\end{proof}
מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את התנאים {\beginL 2,3,4\endL}
. לפי {\beginL 1\endL} אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות
לחישוב ע\char`\"{}י מכונת טיורינג הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה.
בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך
הריצה. עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל-\L{$S$}.
\begin{claim}
נניח ש-\L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ו- \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
חשיבות טיורינג אז גם \L{$f\circ g$} חשיבה טיורינג.\end{claim}
\begin{proof}
תהינה \L{$T_{f},T_{g}$} מכונות כך ש\L{$f_{T_{f}}^{\prime}=f$} וגם
\L{$g_{T_{g}}^{\prime}=g$} . לכל מצב פנימי של \L{$f$} במכונה החדשה
יהיה מצב פנימי \L{$q^{*}$}. אז המכונה של ההרכבה תהיה:
\begin{enumerate}
\item רשימת הפקודות של \L{$T_{g}$}. 
\item מוחקים את \L{$S$}, וכותבים במקומו \L{$1$}, מוחקים את \L{$E$}, חוזר
להתחלה ועובר למצב פנימי \L{$q_{0}^{*}$}
\item רשימת הפקודות של \L{$T_{f}$} עם השינוי שכל פקודה מהצורה \L{$*q\star q_{1}$}
משתנה לפקודה מהצורה \L{$*q^{*}\star q_{1}^{*}$}.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{claim}
משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור \char`\"{}מיזער\char`\"{}:
\L{
\begin{eqnarray*}
\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases}
a & (*)\\
undefined & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
} כאשר {*} הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא....
\end{claim}

\section{פונקציות חשיבות}

ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג:
\begin{itemize}
\item \L{$1$} - הפונקציה הקבועה {\beginL 1\endL}
\item \L{$0$} - הפונקציה הקבועה {\beginL 0\endL}
\item \L{$x+y$} - חיבור
\item קל לוודא ש\L{$\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$} עבור \L{$k<n\in\mathbb{N}$}
חשיבה טיורינג )לכל \L{$k,n$}( 
\item מה לגבי \L{$x\cdot y$}? קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט \L{$y$}
מעתיקה את \L{$y$} בסוף הקלט. גם כפל פונקציה חשיבה - תרגיל קל.
\item מה לגבי הפונקציה \L{$C_{<}(x,y)=\begin{cases}
1 & x<y\\
0 & else
\end{cases}$}? גם הפונקציה הזו חשיבה )מוחקים כל פעם תו מתחילת \L{$x$} ומסוף \L{$y$}...(
\item ראינו גם: אם \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} ו-\L{$g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$}
חשיבות טיורינג אז גם \L{$f\circ g$} חשיבה טיורינג.\end{itemize}
\begin{definition}
\L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} חשיבה טיורינג אם
\L{
\begin{eqnarray*}
f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k}))
\end{eqnarray*}
} וכל אחת מהפונקציות \L{$f_{i}$} עבור \L{$1\le i\le m$} חשיבה טיורינג.

ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל
הפונקציות המתקבלות מן הרשימה הנ\char`\"{}ל על ידי מספר סופי של הרכבות
הן פונקציות שלמות. כלומר מוגדרות על כל \L{$\mathbb{N}^{k}$} עבור
\L{$k$} מתאים. לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות,
למשל: \L{$1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$} )מכונה שלא
עוצרת על חלק מהקלטים - על \L{$0$} במקרה הזה(. \end{definition}
\begin{claim}
תהי \L{$g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$}
פונקציה כלשהי. נגדיר \L{
\begin{eqnarray*}
h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases}
t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\
 & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\
undefined & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
} אזי אם \L{$g$} חשיבה טיורינג גם \L{$h$} חשיבה טיורינג. \L{$\mu$}
נקרא אופרטור ה\char`\"{}מיזער\char`\"{}.\end{claim}
\begin{proof}
)רעיון( תהי \L{$T$} מכונת טיורינג המחשבת את \L{$g$} )כלומר \L{$f_{T}^{k}=g$}(.
\char`\"{}מטה רעיון\char`\"{} - נריץ את \L{$T$} על הקלט \L{$0,x_{2},...,x_{k}$}.
אם המכונה לא עוצרת זה אומר ש\L{$g$} לא מוגדרת ב\L{$(0,x_{2},...,x_{k})$}
ולכן גם \L{$h(x_{2},...,x_{k})$} לא מוגדרת כנדרש. אם הריצה מסתיימת
נבדוק האם היא הסתיימה ב\L{$0$}. אם כן, נחזיר \L{$0$} ואז \L{$h(0,x_{2},...,x_{k})=0$}
כנדרש. אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט \L{$1,x_{2},...,x_{k}$}
וכו'. אם המכונה הנ\char`\"{}ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר
\L{$t$} עבורו \L{$g(t,x_{2},...,x_{k})=0$}, בפרט \L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$}
מוגדרת לכל \L{$t^{\prime}<t$}. מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד
מהבאים מתקיים:
\begin{enumerate}
\item קיים \L{$t$} כך ש\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})$} לא מוגדר ו\L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$}
לכל \L{$t^{\prime}<t$}.
\item הסעיף הקודם לא מתקיים ו\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})>0$} לכל \L{$t$}.
ואילו במקומות בהם \L{$h$} לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון.
\end{enumerate}

ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא. המכונה מסמנת את סוף הקלט
ב\L{$S$}. בשלב הראשון המכונה \L{$T^{*}$} תעתיק את הקלט \L{$x_{2},...,x_{k}$}
מימין ל\L{$S$} ותוסיף \L{$1B$} בהתחלה. בשלב הבא \L{$T^{*}$} תחקה
את הריצה של \L{$T$} על \L{$0,x_{2},...,x_{k}$} כאשר היא מקפידה )וזה
הרי \L{$T$} עושה ממילא( לא לזוז משמאל ל\L{$S$}. אם השלב הזה בריצה
הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין ל\L{$S$} יהיה כתוב \L{$E$} )כי
כך \L{$T$} עובדת(. אם בין \L{$S$} ל\L{$E$} לא מופיע התו \L{$1$},
אז \L{$T^{*}$} תחזור עד להתחלת הקלט של \L{$T^{*}$} )משמאל ל\L{$S$}(
תמחק את כל הקלט ותעצור. אם בין \L{$S$} ל\L{$E$} מופיע התו \L{$1$}
המכונה תחזור לתחילת הקלט של \L{$T^{*}$}, תכתוב \L{$1$} לפני ה\L{$B$}
הראשון ותתחיל מההתחלה. 

\end{proof}
\begin{definition}
פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} תיקרא חשיבה/רקורסיבית
אם היא מתקבלת מן הפונקציות \L{$\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$}
על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור \L{$\mu_{x}$}. במילים
אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות
מ\L{$\mathbb{N}^{k}$} ל\L{$\mathbb{N}^{m}$} שמכיל/ה את הפונקציות
הנ\char`\"{}ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור \L{$\mu_{x}$}. \end{definition}
\begin{theorem}
פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} חשיבה אם
ורק אם היא חשיבה טיורינג.

הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג. \uline{תרגיל:} הפונקציה
\L{$n\mapsto n!$} היא חשיבה טיורינג. הוכח שהפונקציה חשיבה. שאלה כמעט
זהה: מדוע הפונקציה \L{$f(m)=\begin{cases}
n & m=2^{n}\\
0 & m=1\, or\, else
\end{cases}$} חשיבה?\end{theorem}
\begin{definition}
תהי \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} אזי \L{$\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$}
זו הפונקציה המוגדרת על ידי \L{
\begin{eqnarray*}
\chi_{A}(x) & = & \begin{cases}
1 & x\in A\\
0 & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
}. \L{$\chi_{A}$} נקראת \textbf{הפונקציה המציינת} של \L{$A$}.
\begin{definition}
יחס \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} נקרא \textbf{חשיב} אם \L{$\chi_{A}$}
פונקציה חשיבה.\end{definition}
\begin{claim}
משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים,
חיתוכים והשלמה.
\end{claim}
\end{definition}
\begin{proof}
~
\begin{itemize}
\item אם \L{$A$} חשיבה אז \L{$\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$}.
\item אם \L{$A,B$} חשיבות אז \L{$\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$}.
\item \L{$\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$} או לפי דה-מורגן.
\end{itemize}

יוצא, למשל, כי היחס \L{$A(x,y)=(x\le y)$} חשיב. זה פשוט איחוד היחסים
החשיבים \L{$C_{<}(x,y)$} ו-\L{$x=y$}. 

\end{proof}
\begin{claim}
)הגדרה לפי מקרים(: תהיינה \L{$f_{1},...,f_{n}$} פונקציות חשיבות \L{$k$}-מקומיות,
ו-\L{$A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$} זרות וחשיבות, כך ש\L{$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$}.
אזי הפונקציה \L{
\begin{eqnarray*}
f(x) & = & \begin{cases}
f_{1}(x) & x\in A_{1}\\
\vdots & \vdots\\
f_{n}(x) & x\in A_{n}
\end{cases}
\end{eqnarray*}
} חשיבה. \end{claim}
\begin{proof}
\L{$\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$} וזו פונקציה חשיבה
כי \L{$\chi_{A_{i}}$} חשיבות, \L{$f_{i}$} חשיבות והחיבור והכפל חשיבים.
\end{proof}

\section{פונקציות חשיבות - המשך}
\begin{definition}
יהי \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} יחס חשיב, \L{$k+1$} מקומי.
נגדיר אופרטור: \L{
\begin{eqnarray*}
\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases}
t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\
z & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
}.\end{definition}
\begin{claim}
אם \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} יחס חשיב אז הפונקציה \L{$h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$}
חשיבה.\end{claim}
\begin{proof}
פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים {]}אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם
המקרים?{[}. לחילופין אפשר נשים לב ש-\L{
\begin{eqnarray*}
h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z))
\end{eqnarray*}
} כאשר \L{$C_{=}(x,z)=0\iff x=z$}, וברור שזו פונקציה חשיבה. נשים לב
\L{$h(z,\bar{y})$} תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה. \end{proof}
\begin{corollary}
אם \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} יחס חשיב אז היחס \L{$B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$}
הוא חשיב.\end{corollary}
\begin{proof}
\L{$(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}. לכן זו פשוט הפונקציה
\L{$\chi_{B}$} ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה. מדוע \L{$C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$}?
כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים \L{$0,1$} יספיק להראות שלכל
\L{$(z,\bar{y})$} מתקיים \L{$\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}
. לפי הגדרה \L{
\begin{eqnarray*}
\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z
\end{eqnarray*}
}.
\end{proof}
במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום.
\uline{הערה חשובה מאוד}: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות
)שאינו חסום(. 

\uline{מטרה:} לבנות פונקציה חשיבה \L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$}
כך שלכל סדרה סופית \L{$\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
של מספרים טבעיים קיים \L{$c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$} )קוד הסדרה(
המקיים:
\begin{enumerate}
\item \L{$\beta(c_{\bar{a}},0)=n$}
\item לכל \L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} מתקיים \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$}
\item )מסיבות טכניות נרצה גם( \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$} לכל
\L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} .\end{enumerate}
\begin{claim}
)טענת עזר {\beginL 1\endL}( קיימת פונקציה חשיבה \L{$Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$}
שהיא חח\char`\"{}ע ועל. {]}יהיה שימושי לשים לב ש\L{$Pr$} שנמצא מקיימת
\L{$Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$}{[}. 
\begin{proof}
\L{$Pr(x,y)$} יהיה המקום של הזוג \L{$(x,y)$} במספור הזוגות:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
 & \R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{6}\endL}}\tabularnewline
\hline 
\hline 
\R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL 0\endL}} & \R{{\beginL 1\endL}} & \R{{\beginL 3\endL}} & \R{{\beginL 6\endL}} & \R{{\beginL 10\endL}} & \R{{\beginL 15\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}}\tabularnewline
\hline 
\R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL 2\endL}} & \R{{\beginL 4\endL}} & \R{{\beginL 7\endL}} & \R{{\beginL 11\endL}} & \R{{\beginL 16\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}}\tabularnewline
\hline 
\R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL 5\endL}} & \R{{\beginL 8\endL}} & \R{{\beginL 12\endL}} & \R{{\beginL 17\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & \tabularnewline
\hline 
\R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL 9\endL}} & \R{{\beginL 13\endL}} & \R{{\beginL 18\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  & \tabularnewline
\hline 
\R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL 14\endL}} & \R{{\beginL 19\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  & \tabularnewline
\hline 
\R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL 20\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  &  & \tabularnewline
\hline 
\R{{\beginL \textbf{6}\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  &  &  & \tabularnewline
\hline 
\end{tabular}

לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט \L{$\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$}.
לפי התיאור הזה ברור ש:
\begin{enumerate}
\item \L{$Pr(x,y)$} חשיבה
\item מקיימת \L{$Pr(x,y)\ge x$} וגם \L{$Pr(x,y)\ge y$} 
\item לפי התיאור הגרפי היא חח\char`\"{}ע ועל )הוכחה יותר אלגברית - מכירים
ממבוא ללוגיקה(.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{claim}
~
\begin{claim}
)טענת עזר {\beginL 2\endL} - משפט השאריות הסיני( יהי \L{$n\in\mathbb{N}$},
\L{$m_{1},...,m_{n}$} מספרים טבעיים זרים בזוגות. יהיו \L{$k_{1},...,k_{n}$}
מספרים טבעיים כלשהם )בד\char`\"{}כ מניחים \L{$k_{i}<m_{i}$} אבל זה
לא חשוב(. אזי קיים \L{$b\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$b\equiv_{m_{i}}k_{i}$}
לכל \L{$1\le i\le n$} . \end{claim}
\begin{proof}
ניקח \L{$d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$}. לכל \L{$b<d$}
נגדיר \L{$\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $}.
יש \L{$d$} n-יות כאלה. לכן אם נראה שההעתקה \L{$b\mapsto\bar{b}$}
חח\char`\"{}ע אזי היא בהכרח על )כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל \L{$d$}(.
נניח ש\L{$\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$} כלומר \L{$b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$}
לכל \L{$i$}, כלומר \L{$b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$}, בפרט \L{$m_{i}|b_{1-b_{2}}$}
)בה\char`\"{}כ \L{$b_{1}>b_{2}$}( לכל \L{$1\le i\le n$}. לכן \L{$b_{1}-b_{2}$}
מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה\L{$m_{i}$}. כיוון שה\L{$m_{i}$}
זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא \L{$d$}. אבל \L{$b_{1}-b_{2}<d$}
וזו סתירה. \end{proof}
\begin{claim}
)טענת עזר {\beginL 3\endL}( לכל \L{$n\in\mathbb{N}$} המספרים \L{$\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$}זרים
בזוגות. \end{claim}
\begin{proof}
נניח בשלילה ש\L{$p$} ראשוני מחלק את \L{$1+i(n!)$} ומחלק את \L{$1+j(n!)$}
לאיזה \L{$i>j$}. לכן: \L{$p|(i-j)\cdot(n!)$} . כיוון ש\L{$p$} ראשוני
הוא מחלק או את \L{$i-j$} או את \L{$n!$}. כיוון ש\L{$i-j<n$} בהכרח
\L{$p$} מחלק את \L{$n!$}. אבל \L{$p$} אמור לחלק את \L{$1+i(n!)$}
וזה לא ייתכן. \end{proof}
\begin{claim}
תהי \L{$\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} כאשר \L{$Rem(t_{1},t_{2})$}
היא השארית של \L{$t_{1}$} בחלוקה ב-\L{$t_{2}$}. אזי:
\begin{enumerate}
\item \L{$\gamma(z,y,i)$} חשיבה. מדוע? יספיק להראות ש\L{$Rem(t_{1},t_{2})$}
חשיבה. אבל \L{$Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$} והיחס \L{$t_{2}|t_{1}$}
הוא חשיב, למשל ע\char`\"{}י \L{$(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$}. 
\item לכל סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} של
טבעיים יש \L{$y,z$} כך שלכל \L{$0<i\le n$} מתקיים \L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$}.
מדוע? נבחר \L{$k>n$} כלשהו ונבחר \L{$y=k!$}. לפי טענת עזר {\beginL 3\endL}
קיים \L{$z$} כך ש\L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$} לכל \L{$i\le n$}. 
\item )טכני( \L{$\gamma(z,y,i)\le z$} לכל \L{$z,y,i$}. 
\end{enumerate}
\end{claim}
הפונקציה \L{$\beta(b,i)$} המבוקשת תהיה \L{$\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$}
כאשר \L{$Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$} ו-\L{$Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$}.
הדבר היחיד שנותר לוודא \L{$Pr^{L},Pr^{R}$} הן פונקציות חשיבות. 


\section{הצפנות}

\uline{חזרה:} אם \L{$A(x,y)$} יחס חשיב אז \L{$(\exists x<z)A(x,\bar{y})$}
יחס חשיב. \L{
\begin{eqnarray*}
(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases}
t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\
z & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
} פונקציה שלמה. הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל\L{$\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$}.

נאמר ש\L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$} מצפינה סדרות
סופיות אם לכל סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
יש \L{$\bar{a}\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$\beta(\bar{a},0)=n$} ולכל
\L{$1\le1\le n$} מתקיים \L{$\beta(\bar{a},i)=a_{i}$}.
\begin{claim}
הפונקציה \L{$(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$}
היא חח\char`\"{}ע ועל מ\L{$\mathbb{N}^{2}$} ל\L{$\mathbb{N}$}.
\end{claim}
~
\begin{claim}
לכל \L{$m_{1},...,m_{k}$} זרים בזוגות ולכל \L{$a_{1},...,a_{k}$}
טבעיים יש \L{$b\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$b\equiv_{m_{i}}a_{i}$} לכל
\L{$i$}.
\end{claim}
~
\begin{claim}
לכל \L{$n\in\mathbb{N}$} המספרים \L{$1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$}
זרים בזוגות.
\end{claim}
~
\begin{claim}
נגדיר \L{$\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} מקיימת:
\begin{enumerate}
\item \L{$\gamma$} חשיבה
\item לכל סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} קיימים
\L{$z,y$} כך שלכל \L{$1\le i\le n$} מתקיים \L{$a_{i}=\gamma(z,y,i)$}
\item \L{$\gamma(z,y,i)\le z$}
\end{enumerate}

לגבי \L{$2$} ניקח את \L{$max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$} וניקח \L{$y=k!$}
. לפי טענה {\beginL 3\endL} מתקיים כי \L{$1+y(i+1)$} זרים בזוגות.
לפי הטענה השניה יש \L{$z$} שעונה על הדרישה. ביתר דיוק, יש \L{$z$}
כך שלכל \L{$i$} מתקיים \L{$z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$}. אבל בעצם \L{$a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$}
כי \L{$a_{i}<1+y(i+1)$}. 

\end{claim}
~
\begin{claim}
הפונקציה \L{$\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$} היא פונקצית
זיווג חשיבה כאשר \L{$Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$} ו\L{$Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$}
. \end{claim}
\begin{proof}
מטענה {\beginL 4\endL} ברור כי \L{$\beta(y,i)$} מצפינה סדרות סופיות.
בהינתן סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
טענה {\beginL 4\endL} סעיף ){\beginL 2\endL}( מבטיחה \L{$t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$}
כך ש\L{$\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$} לכל \L{$1\le i\le n$}. נחליף
את הסדרה בסדרה \L{$\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $},
נמצא \L{$t_{1},t_{2}$} כמובטח ונגדיר \L{$y=Pr(t_{1},t_{2})$} אז
\L{$\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$} וגם \L{$\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$}.
נשאר רק לוודא ש\L{$\beta$} חשיבה. מספיק לוודא ש\L{$Pr^{-1}(y)$}
היא חשיבה ומלאה/שלמה. הפונקציה שלמה כי \L{$Pr$} היא על. הפונקציה
חשיבה פשוט כי \L{
\begin{eqnarray*}
\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y)
\end{eqnarray*}
}
\end{proof}
מעתה ועד עולם נקבע פונקציה \L{$\beta$} כנ\char`\"{}ל.
\begin{definition}
נאמר ש\L{$x$} מצפין סדרה סופית אם אין \L{$x^{\prime}<x$} כך ש\L{$\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$}
ולכל \L{$i\le\beta(x,0)$} מתקיים \L{$\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$}. \end{definition}
\begin{claim}
היחס \L{$\theta(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} מצפין סדרה סופית\char`\"{}
הוא חשיב. \end{claim}
\begin{proof}
\L{$\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$}
.
\end{proof}
מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג \L{$T$} ו\L{$n\in\mathbb{N}$}
הפונקציה \L{$f_{T}^{n}$} חשיבה. נקבע אחת ולתמיד מכונת טיורינג \L{$T$}
ו\L{$n\in\mathbb{N}$} ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל\L{$f_{T}^{n}$}.
נזדקק להרבה טענות עזר. כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב\L{$f_{T}^{n}$}
ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את \L{$T$} איך שנרצה כל עוד לא נשנה
את הפונקציה שהיא מחשבת. לכן, בה\char`\"{}כ, \L{$T$} מכונת טיורניג
תקנית:
\begin{enumerate}
\item הא\char`\"{}ב של \L{$T$} כולל רק את \L{$\{1,B\}$} ונק' ההתחלה והסיום
\L{$\{S,E\}$}. 
\item למכונה יש מצב פנימי יחיד \L{$\hat{q}$} שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו,
ו\L{$\hat{q}$} אינו מופיע במהלך הריצה.
\item בתום הריצה הראש הקורא נמצא על \L{$S$} ובין \L{$S$} ל\L{$E$} יש
רק אחדות. 
\end{enumerate}
מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של \L{$T$} סופי לא יזיק להניח ש\L{$\{1,B\}$}
מיוצגים ע\char`\"{}י המספרים הטבעיים \L{$\{1,0\}$} בהתאמה ו\L{$\{S,E\}$}
ע\char`\"{}י \L{$\{2,3\}$} בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע\char`\"{}י
\L{$\{4,...,k\}$} כאשר \L{$q_{0}$} מיוצג ע\char`\"{}י \L{$4$} ו\L{$\hat{q}$}
מיוצג ע\char`\"{}י \L{$k$}. 

כזכור, מצב של \L{$T$} זו שלשה \L{$\left\langle n,q,h\right\rangle $}
כאשר \L{$n$} המיקום של הראש ביחס ל\L{$S$} שמיקומו \L{$0$}, \L{$q$}
המצב הפנימי, ו-\L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$} מתארת את
התאים במכונה. כמובן יספיק להניח ש\L{$h$} מתארת רק את המספר הסופי
של התאים שבין \L{$S$} ל\L{$E$}. אפשר לתאר מצב ע\char`\"{}י סדרה
מהצורה הבאה:\L{
\[
\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle 
\]
} כאשר \L{$\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$} ולכל \L{$1<i<r$} מתקיים \L{$a_{i}\in\{0,1\}$}. 
\begin{claim}
){\beginL 1\endL}( היחס \L{$\varphi(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$}
מצפין מצב של המכונה \L{$T$}\char`\"{} חשיב. \end{claim}
\begin{proof}
היחס יתואר ע\char`\"{}י חיתוך של הדרישות הבאות:
\begin{enumerate}
\item \L{$\theta(x)$} - היחס האומר ש\L{$x$} מצפין סדרה.
\item לכל \L{$0<i\le\beta(x,0)$} מתקיים \L{$\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$}
\item \L{$\beta(x,1)=2$} וגם \L{$\beta(x,\beta(x,0))=3$}
\item קיים \L{$0<i\le\beta(x,0)$} יחיד כך ש\L{$\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$}.
\end{enumerate}

כיוון שכל אלה חשיבים - גמרנו.

\end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 2\endL}( היחסים \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$}
מצפין מצב התחלתי של \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} מצפין מצב
סופי של \L{$T$}\char`\"{} - כולם חשיבים.\end{claim}
\begin{proof}
\L{$\varphi_{S}(x)$} זה חיתוך של \L{$\varphi(x)$} עם הדרישה הנוספת
ש\L{$\beta(x,2)=4$}. \L{$\varphi_{E}(x)$} כנ\char`\"{}ל עם \L{$\beta(x,2)=k$}. \end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 3\endL}( היחס \L{$\varphi(x,y)$} האומר \char`\"{}\L{$x,y$}
מייצגים מצבים של \L{$T$} ו\L{$y$} המצב העוקב של \L{$x$} לפי \L{$T$}\char`\"{}
הוא יחס חשיב.\end{claim}
\begin{proof}
זה כמובן חיתוך של התנאים \L{$\varphi(x),\varphi(y)$} עם התנאי הנוסף
ש\L{$y$} המצב העוקב ל\L{$x$}. לכל \L{$p\in I(T)$} )לכל פקודה של
\L{$T$}( נגדיר יחס \L{$\varphi_{p}(x,y)$} האומר \L{$x,y$} מצבים
של \L{$T$} ו-\L{$y$} עוקב של \L{$x$} לפי \L{$p$} ובפרט \L{$x$}
מצב רלוונטי לפקודה \L{$p$}. \char`\"{}\L{$x$} מצב רלוונטי לפקודה
\L{$p$} \char`\"{} זה פשוט \L{$\varphi(x)$} וגם אם \L{$\beta(x,i)>3$}
ל\L{$i>1$} אז \L{$p$} פקודה מהצורה \L{$\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$}.
במילים אחרות אם \L{$p$} היא הרביעייה \L{$\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $}
אז \L{$x$} רלוונטי ל\L{$p$} אם \L{$\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$}.
נסמן זאת \L{$\varphi_{p}(x)$}. לומר ש\L{$y$} עוקב של \L{$x$} לפי
\L{$p$} זה לומר \L{$\varphi(x),\varphi(y)$}. \L{$\varphi_{p}(x)$}
עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה \L{$p$}. נטפל למשל במקרה ש\L{$p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $}
כאשר \L{$\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$}. מתי \L{$y$} יתקבל מ\L{$x$}
ע\char`\"{}י הפקודה \L{$p$}? אם \L{$x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $}.
פשוט צריך לדרוש:
\begin{enumerate}
\item נסמן \L{$i_{0}$} להיות ה\L{$i$} היחיד כך ש\L{$i\le\beta(x,0)$}
ו-\L{$\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$}. 
\item נדרוש ש\L{$\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$}
ובכל מקרה אחר \L{$\beta(y,j)=\beta(x,j)$}.
\end{enumerate}

הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה. זה מקרה ש\L{$\varphi_{p}(x,y)$}
חשיבה. לומר ש\L{$y$} עוקב של \L{$x$} זה פשוט \L{${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$}
. 

\end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 4\endL}( היחס \L{$\rho(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} מקודד
ריצה מסתיימת של \L{$T$}\char`\"{} הוא חשיב.\end{claim}
\begin{proof}
~
\begin{enumerate}
\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} מצפין סדרה.
\item \L{$\varphi_{S}(\beta(x,1))$} כלומר האיבר הראשון בסדרה ש\L{$x$}
מצפין הוא מצב התחלתי של \L{$T$}.
\item \L{$\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$} - האיבר האחרון בסדרה הוא מצב
סופי של \L{$T$}.
\item לכל \L{$1\le i<\beta(x,0)$} מתקיים \L{$\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$}
כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע\char`\"{}י האיבר
הקודם לו.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 5\endL}( \L{$f_{E}(x)=n$} זו הפונקציה שמחזירה \L{$n$}
אם \L{$x$} מצפין מצב סופי של \L{$T$} ו\L{$n$} הפלט של המכונה במצב
זה. {\beginL 0\endL} אחרת. זו פונקציה חשיבה: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$}
.
\end{claim}

\section{חשיבות}

היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה.
\begin{claim}
){\beginL 1\endL}( היחס \L{$\varphi(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$}
מצפין מצב של המכונה \L{$T$}\char`\"{} חשיב. 
\end{claim}
~
\begin{claim}
){\beginL 2\endL}( היחסים \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$}
מצפין מצב התחלתי של \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} מצפין מצב
סופי של \L{$T$}\char`\"{} - כולם חשיבים.
\end{claim}
~
\begin{claim}
){\beginL 3\endL}( היחס \L{$\varphi(x,y)$} האומר \char`\"{}\L{$x,y$}
מייצגים מצבים של \L{$T$} ו\L{$y$} המצב העוקב של \L{$x$} לפי \L{$T$}\char`\"{}
הוא יחס חשיב.
\end{claim}
~
\begin{claim}
){\beginL 4\endL}( היחס \L{$\rho(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} מקודד
ריצה מסתיימת של \L{$T$}\char`\"{} הוא חשיב.
\end{claim}
~
\begin{claim}
){\beginL 5\endL}( \L{$\varphi_{E}(x)=n$} זו הפונקציה שמחזירה \L{$n$}
אם \L{$x$} מצפין מצב סופי של \L{$T$} ו\L{$n-1$} הפלט של המכונה
במצב זה. {\beginL 0\endL} אחרת. זו פונקציה חשיבה: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$}
. נדרוש ש\L{$\varphi_{E}(x)=0$} אחרת.
\end{claim}
~
\begin{claim}
היחס \char`\"{}\L{$x$} מקודד מצב התחלתי של \L{$T$} שבו הקלט הוא
\L{$x_{1},...,x_{n}$}\char`\"{} הוא יחס חשיב. נסמן זאת \L{$\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$}.
\end{claim}
כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש\L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$}
פונקציה חשיבה. נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: \L{
\begin{eqnarray*}
f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})))
\end{eqnarray*}
} כאשר \L{$\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$} - האיבר הראשון בסדרה ש\L{$x$}
מקודד, וכאשר \L{$\mu_{x}^{*}(A(x,y))$} זה ה\L{$x$} המזערי עבורו
\L{$\chi_{A}(x,y)=1$}. 
\begin{claim}
\L{$f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} ובפרט \L{$f$}
מוגדרת אם ורק אם ריצת \L{$T$} על \L{$x_{1},...,x_{n}$} עוצרת.\end{claim}
\begin{proof}
ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים. אם \L{$T$} עוצרת
על \L{$x_{1},...,x_{n}$} אז קיים \L{$x$} כך ש\L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$}
- כלומר קיים \L{$x$} המקודד ריצה מסתיימת של \L{$T$} המתחילה בקלט
\L{$x_{1},...,x_{n}$}. אם נבחר \L{$x_{0}$} הקטן ביותר המקיים זאת
אז \L{
\begin{eqnarray*}
x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))
\end{eqnarray*}
} כי לכל \L{$x^{\prime}<x_{0}$} הפונקציה \L{$\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$}
מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור \L{$\mu_{x}^{*}$}, ואז \L{
\begin{eqnarray*}
f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})
\end{eqnarray*}
}נניח ש\L{$T$} אינה עוצרת על \L{$x_{1},...,x_{n}$} אז \L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$}
לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה \L{$\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$}
אינה מוגדרת.
\end{proof}
עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד
גם את המכונות עצמן. מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות )טיורינג(
ולא במכונות עצמן, אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה. ומכיוון
שהא\char`\"{}ב סופי ורשימת הפקודות סופית )וכבר זיהינו את הא\char`\"{}ב
עם המספרים הטבעיים \L{$\{0..k\}$}(. אם רק נוסיף לזיהוי הזה את \L{$k+1$}
כפקודה \L{$L$} ואת \L{$k+2$} כפקודה \L{$R$} נוכל לקודד את המכונה
על ידי מספר טבעי. נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה
\L{$T$} נסמן \L{$\left\lceil T\right\rceil $} את הקוד של \L{$T$}.
אם \L{$e\in\mathbb{N}$} הוא קוד של מ\char`\"{}ט נסמן \L{$T_{e}$}
את המכונה ש-\L{$e$} מקודד. יהיה נוח להניח שאם \L{$n\in\mathbb{N}$}
אינו מקודד מ\char`\"{}ט אז נחליט ש\L{$n-e$} מקודד את המכונה שאינה
עוצרת על אף קלט.
\begin{theorem}
לא קיימת פונקציה חשיבה \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} כך
ש\L{
\begin{eqnarray*}
f(e) & = & \begin{cases}
1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\
0 & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
}\end{theorem}
\begin{proof}
נניח בשלילה שקיימת פונקציה \L{$f$} כנ\char`\"{}ל. נגדיר פונקציה \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
ע\char`\"{}י \L{
\begin{eqnarray*}
g(e) & = & \begin{cases}
T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\
0 & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}
}מההנחה )ומהמשפט האחרון, ומהמשפט על ההגדרה לפי מקרים( \L{$g$} פונקציה
חשיבה )ואפילו שלמה(, ומקודדת, נאמר ע\char`\"{}י \L{$e_{0}$}. אז:
מצד אחד \L{$T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$} ומצד שני \L{$g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$}.\end{proof}
\begin{corollary}
היחס \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} המוגדר ע\char`\"{}י \L{$e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$}
אינו יחס חשיב. מצד שני \L{$A$} הנ\char`\"{}ל היא תחום של מכונת טיורינג
\L{$T$}. הרעיון? המכונה מריצה את \L{$T_{e}(e)$} ומחזירה את התשובה,
אם היא אי פעם מתקבלת. ביתר פירוט, ניקח \L{$\mathcal{U}$} מ\char`\"{}ט
אוניברסלית ונשים לב ש\L{$\mathcal{U}(e,e)$} עוצרת אם ורק אם \L{$e\in A$}.
לכן יש \L{$e$} בתחום של המכונה \L{$\mathcal{U}(x,x)$}. \end{corollary}
\begin{definition}
מכונת טיורינג \L{$T$} תיקרא אוניברסלית אם \L{$f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$}
לכל \L{$(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$} )ובפרט אם \L{$T_{e}$} לא עוצרת
על הקלט \L{$n$} אז \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} לא מוגדרת(.\end{definition}
\begin{theorem}
קיימת מכונת טיורינג אוניברסלית.\end{theorem}
\begin{proof}
הרעיון פשוט, ההוכחה מייגעת, ע\char`\"{}י תיאור המכונה. דרך אחרת: בעזרת
פונקציות חשיבות. נגדיר את \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} באופן הבא. נגדיר את
היחסים הבאים:
\begin{itemize}
\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} הוא קוד.
\item \L{$\theta_{1}(x)$} - \L{$x$} הוא קוד של מכונת טיורינג. כלומר \L{$x$}
מקודד סדרה סופית של רביעיות של מספרים טבעיים. כל רביעייה היא פקודה
ובין הפקודות אין סתירות. 
\item \L{$\varphi(e,x)$} - \L{$e$} קוד של מכונת טיורינג ו-\L{$x$} מצב
קוד של מצב פנימי של המכונה המקודדת על ידי \L{$e$}. 
\item \L{$\varphi(e,x,y)$}- \L{$e$} קוד של מ\char`\"{}ט, \L{$x,y$} קודים
של המכונה \L{$e$} ו-\L{$y$} הוא העוקב של \L{$x$} לפי \L{$e$}. 
\end{itemize}

ההמשך זהה בדיוק להוכחת משפט השקילות.

\end{proof}
\begin{definition}
קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} תקרא ניתנת למניה חשיבה )נל\char`\"{}ח
או נל\char`\"{}ר - ניתנת למניה רקורסיבית( אם \L{$A$} היא התחום של
פונקציה חשיבה. 

ראינו שקיימות קבוצות נל\char`\"{}ח שאינן חשיבות.\end{definition}
\begin{theorem}
התנאים הבאים שקולים לקבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$}:
\begin{enumerate}
\item \L{$A$} נל\char`\"{}ח )תחום של פונקציה חשיבה(
\item \L{$A$} היא התמונה של פונקציה חשיבה 
\item \L{$A$} היא התמונה של פונקציה חשיבה מלאה
\item \L{$A$} היא מהצורה \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $}
לאיזה יחס חשיב \L{$\varphi(x,y)$}. 
\item \L{$A$} היא מהצורה \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $}לאיזה
יחס חשיב \L{$\varphi(x,y)$}
\end{enumerate}

\section{מניה רקורסיבית}

תהי \L{$\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$} אזי התנאים הבאים שקולים:
\begin{enumerate}
\item \L{$A$} נל\char`\"{}ח
\item \L{$A$} הטווח של פונקציה חשיבה
\item \L{$A$} הטווח של פונקציה מלאה
\item קיים יחס חשיב \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{2}$} כך ש\L{$A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$}
\item כנ\char`\"{}ל עבור \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} ו-\L{$A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
~
\begin{itemize}
\item \L{$(1)\Rightarrow(2)$}. תהי \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
כך ש\L{$A=dom(f)$}. תהי \L{$T_{f}$} מ\char`\"{}ט המחשבת את \L{$f$}
כלומר \L{$f=f_{T_{f}}^{1}$}. כיוון ש\L{$A\not=\emptyset$} אפשר לבחור
\L{$a\in A$}. נגדיר פונקציה חשיבה \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
באופן הבא: \L{
\[
g(n)=\begin{cases}
Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
a & else
\end{cases}
\]
}נסמן את התנאי הנ\char`\"{}ל ב\L{$*$}. אנחנו יודעים ש\L{$*$} הוא
יחס חשיב לכן גם המשלים חשיב. לכן לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים גם \L{$g$}
חשיבה. נראה ש\L{$g$} עונה על דרישותינו - \L{$g(\mathbb{N})=A$}.
אם \L{$l\in g(\mathbb{N})$} אז או ש\L{$l=a$} ואז \L{$l\in A$} .
או ש\L{$l=Pr^{L}(n)$} לאיזה \L{$n\in\mathbb{N}$}. אבל אז זה אומר
ש\L{$T_{f}$} עוצרת על הקלט \L{$l$} אחרי פחות מ\L{$Pr^{R}(n)$} צעדים.
כיוון ש\L{$f_{T_{f}}^{1}=f$} אם אגף שמאל מוגדר גם אגף ימין מוגדר,
כלומר \L{$l\in Dom(f)=A$}. בכיוון השני, אם \L{$l\in Dom(f)$} אז
\L{$T_{f}$} עוצרת על הקלט \L{$l$} אחרי איזה מספר \L{$k$} של צעדים.
אז \L{$n=Pr(l,k+1)$} ולפי הגדרה \L{$g(n)=Pr^{L}(n)=l$}, כלומר \L{$l\in Range(g)$}.
נשים לב: הפונקציה \L{$g$} שלמה.
\item \L{$(2)\Rightarrow(3)$} - מוכיחים באותו אופן. בוחרים \L{$a\in A$}
ומגדירים:\L{
\[
g(n)=\begin{cases}
f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
a & else
\end{cases}
\]
} 
\item \L{$(3)\Rightarrow(4)$} - אם \L{$A=Range(f)$} עבור \L{$f$} חשיבה
)ושלמה( אז היחס \L{$B(x,f(x))$} חשיב. לכן, \L{$y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$}.
\item \L{$(4)\Rightarrow(5)$} - אין מה להוכיח )מקרה פרטי(. 
\item \L{$(4)\Rightarrow(1)$} - פשוט: \L{$f(x)=\mu_{y}B(x,y)$}.
\item \L{$(5)\Rightarrow(4)$} - אם \L{$A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$}
אז נגדיר יחס \L{
\begin{eqnarray*}
C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\}
\end{eqnarray*}
}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{theorem}
)משפט הרקורסיה( תהי \L{$C(x,y)$} פונקציה חשיבה. אזי קיימת מ\char`\"{}ט
\L{$T$} כך ש-\L{$C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$}
לכל \L{$y$}. \end{theorem}
\begin{claim}
קיימת מכונת טיורינג \L{$T$} כל שלכל \L{$n\in\mathbb{N}$} מתקיים
\L{$f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $} כאשר \L{$w_{n}$}
היא המכונה אשר על הקלט הריק כותבת את המספר \L{$n$}. )ההוכחה - בתרגיל
הבית(.\end{claim}
\begin{proof}
המכונה \L{$T$} תהיה הרכבה של {\beginL 3\endL} מכונות: \L{$ABC$}
)מפעילים קודם את \L{$A$} אח\char`\"{}כ את \L{$B$} אח\char`\"{}כ
את \L{$C$}(. המכונה \L{$A$} על הקלט \L{$y$} תחזיר את הפלט \L{$\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}.
מה עושה \L{$B$} על הקלט \L{$x,y$}? היא כותבת את הקוד של המכונה שכותבת
\L{$x$} {]}מטענת העזר{[} ואחריו את \L{$x,y$}. מה יהיה \L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}?
\L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}.
יוצא ש-\L{$C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}
אבל זה בדיוק מה שהיינו צריכים. \end{proof}
\begin{corollary}
)משפט נקודת השבת( תהי \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} פונקציה
חשיבה ושלמה. אזי קיים \L{$e\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}.
\end{corollary}
~
\begin{corollary}
)משפט \inputencoding{latin9}\L{Rice}\inputencoding{cp1255}( נגדיר
יחס שקילות של \L{$\mathbb{N}$} ע\char`\"{}י \L{$e_{1}\sim e_{2}$}
אם ורק אם \L{$f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$} . תהי \L{$L\subseteq\mathbb{N}$}
כך שלכל \L{$e\in L$} אם \L{$e^{\prime}\sim e$} אז \L{$e^{\prime}\in L$}.
אזי \L{$L$} חשיבה אם ורק אם \L{$L=\mathbb{N}$} או \L{$L=\emptyset$}. \end{corollary}
\begin{proof}
נניח בשלילה שלא. אז יש \L{$e_{0}\in L$} ו-\L{$e_{1}\not\in L$}.
נגדיר פונקציה חשיבה: \L{
\[
f(n)=\begin{cases}
e_{1} & n\in L\\
e_{0} & n\not\in L
\end{cases}
\]
} אז \L{$f$} חשיבה ושלמה. לכן ממשפט נקודת השבת יש \L{$e$} כך ש-\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}.
אם \L{$e\in L$} אז גם \L{$f(e)\in L$} כי \L{$L$} סגורה תחת \L{$\sim$}.
אבל אם \L{$e\in L$} אז \L{$e_{1}=f(e)$} ו-\L{$e_{1}\not\in L$}.
באותו אופן בדיוק גם \L{$e\not\in L$} גורר סתירה. 
\end{proof}
\uline{דוגמה:} בעיית העצירה אינה חשיבה. אין מכונת טיורינג המחליטה
האם \L{$e$} קוד של מכונה שעוצרת על הקלט הריק. במילים אחרות \L{
\begin{eqnarray*}
L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\}
\end{eqnarray*}
} אינה חשיבה. ברור ש-\L{$L$} סגורה תחת \L{$\sim$}. לפי משפט רייס
כיוון ש-\L{$L\not=\emptyset$} )יש מ\char`\"{}ט שעוצרת על כל קלט ובפרט
על הקלט הריק( וגם \L{$\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$} )יש
מכונות שלא עוצרות על שום קלט(. לכן לפי משפט רייס \L{$L$} אינה חשיבה.
\begin{proof}
)משפט נקודת השבת( תהי \L{$\mathcal{U}(x,y)$} מ\char`\"{}ט אוניברסלית
ו-\L{$C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$}. אז \L{$C$} מ\char`\"{}ט. לכן
יש \L{$T$} כך ש-\L{$\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$}.
אז \L{$e=\left\lceil T\right\rceil $}. \end{proof}
\begin{remark}
~
\begin{enumerate}
\item קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} חשיבה היא נל\char`\"{}ח
\item קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} נל\char`\"{}ח היא חשיבה אם ורק אם
גם המשלים של \L{$A$} נל\char`\"{}ח. \uline{הוכחה}: אם גם \L{$A$}
וגם \L{$\mathbb{N}\backslash A$} נל\char`\"{}ח אז יש מ\char`\"{}ט
\L{$T_{1},T_{2}$} שמחשבות את איבריהן. אפשר להניח שהן \L{$f_{T_{1}}^{1}$}
והן \L{$f_{T_{2}}^{1}$} פונקציות שלמות. לכל מספר \L{$n$} נתחיל לחשב
את \L{$T_{1}(1),T_{1}(2),...$} ובמקביל את \L{$T_{2}(1),T_{2}(2),...$}
)אפשר לסירוגין(. המכונה תעצור ברגע שיתקבל פלט \L{$n$}. כיוון ש\L{$A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$}
וגם \L{$\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$} קיים \L{$m\in\mathbb{N}$}
כך ש\L{$f_{T_{1}}^{1}(m)=n$} או \L{$f_{T_{2}}^{1}(m)=n$}. בכל מקרה
אחרי \L{$2m$} חישובים המכונה שלנו תיעצר. אם היא עצרה על הריצה של
\L{$T_{1}(m)$} אז \L{$n\in A$} אחרת \L{$n\not\in A$}. 
\end{enumerate}

\section{פונקציות יציגות}

\end{remark}
\uline{תרגיל:} תהיינה \L{$A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$} נל\char`\"{}ח
אז:
\begin{enumerate}
\item גם \L{$A_{1}\cup A_{2}$} נל\char`\"{}ח
\item גם \L{$A_{1}\cap A_{2}$} נל\char`\"{}ח
\item יש דרך אחת סבירה להגדיר מתי \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k}$} נל\char`\"{}ח
ואז הטלה של קבוצה נל\char`\"{}ח היא נל\char`\"{}ח\end{enumerate}
\begin{definition}
תהי שפה \L{$\mathcal{L}$} חשיבה. \uline{מספור גדל} של הנוסחאות
\L{$F(\mathcal{L})$} ב-\L{$\mathcal{L}$}זו פונקציה \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$}
המוגדרת באינדוקציה באופן הבא:
\begin{enumerate}
\item שם עצם \L{$x_{i}$} יקודד ע\char`\"{}י \L{$g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$} 
\item קבוע אישי \L{$c_{i}$} יקודד ע\char`\"{}י \L{$g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$} 
\item שם עצם מהצורה \L{$F_{i}(t_{1},...,t_{n})$} יקודד ע\char`\"{}י \L{
\begin{eqnarray*}
g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
\end{eqnarray*}
}
\item נוסחה מהצורה \L{$R_{i}(t_{1},...,t_{n})$} יקודד ע\char`\"{}י \L{
\begin{eqnarray*}
g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
\end{eqnarray*}
}
\item נוסחה \L{$\varphi$} מהצורה \L{$\varphi=\neg\psi$} תקודד ע\char`\"{}י
\L{$g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$}
\item נוסחה \L{$\varphi$} מהצורה \L{$\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$}
תקודד ע\char`\"{}י \L{$g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$}
\item נוסחה \L{$\varphi$} מהצורה \L{$\varphi=(\exists x_{i})\psi$} תקודד
ע\char`\"{}י \L{$g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$} )הכמת
\L{$\forall$} בדומה(
\end{enumerate}
\end{definition}
~
\begin{definition}
~
\begin{enumerate}
\item תורה \L{$T$} בשפה \L{$\mathcal{L}$} היא \uline{כריעה} אם הקבוצה
\L{$\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$} חשיבה.
\item תורה היא חשיבה אם \L{$\{g(\varphi):\varphi\in T\}$} חשיבה.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{claim}
~
\begin{enumerate}
\item מספור גדל הוא חח\char`\"{}ע )באינדוקציה על יצירת הנוסחה(
\item בהינתן שפה חשיבה )או סופית( \L{$\mathcal{L}$} היחס \char`\"{}\L{$n$}
מקודד נוסחה בשפה \L{$\mathcal{L}$}\char`\"{} הוא חשיב.
\end{enumerate}
\end{claim}
\begin{proof}
)רעיון כללי( נשים לב )קל לראות באינדוקציה( שאם \L{$\varphi$} נוסחה
באורך \L{$n$} אז \L{$g(\varphi)>n$}. בנוסף, אם ב-\L{$\varphi$}
מופיע סימן פונקציה, סימן יחס, קבוע אישי או משתנה עם אינדקס \L{$i>n$}
אז )באינדוקציה( \L{$g(\varphi)>n$}.

לכן השאלה האם \L{$n$} מספר גדל של נוסחה שקולה לשאלה האם קיימת נוסחה
\L{$\varphi$} באורך קטן-שווה ל-\L{$n$}, שכל הסימנים הלא-לוגיים המופיעים
בה הם עם אינדקס קטן או שווה ל-\L{$n$}. ומספר גדל של \L{$\varphi$}
הוא \L{$n$}. 

אבל קבוצת הנוסחאות \L{$\varphi$} מאורך קטן-שווה ל-\L{$n$} , שכל
הסימנים בה עם אינדקס קטן-שווה ל-\L{$n$} היא סופית, כלומר זהו כימות
חסום. לכן מספיק לבדוק שהפונקציה ששולחת נוסחה למספר גדל שלה היא חשיבה
טיורינג. )זה עסק מייגע, אבל לא קשה.(\end{proof}
\begin{definition}
~
\begin{enumerate}
\item תהי \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} , נאמר שתורה \L{$T$}
בשפה המרחיבה את \L{$(0,s)$} מייצגת )חלש( את \L{$f$} אם קיימת נוסחה
\L{$\varphi(x,y)$} בשפה \L{$\mathcal{L}$} כל שלכל \L{$n\in Dom(f)$}
מתקיים \L{$T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$}
כאשר הסימון \L{$\underline{n}:=s^{n}(0)$} עבור \L{$s$} פונקציית
העוקב.
\item יחס \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} \uline{מיוצג} ב-\L{$T$} אם \L{$\chi_{A}$}
מיוצגת ב\L{$T$}.
\end{enumerate}
\end{definition}
~
\begin{definition}
\uline{תורת פיאנו} \inputencoding{latin9}\L{(Peano Arithmetic)}\inputencoding{cp1255}
זו קבוצת הפסוקים הבאה בשפה \L{$\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$}:
\begin{enumerate}
\item \L{$(\forall x)(s(x)\not=0)$}
\item \L{$(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$}
\item \L{$(\forall x)(x+0=x)$}
\item \L{$(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$}
\item \L{$(\forall x)(x\cdot0=0)$}
\item \L{$(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$}
\item \uline{סכימת האינדוקציה:} לכל נוסחה \L{$\varphi(x,y)$} אקסיומה
מהצורה:\L{
\[
(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))]
\]
}
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{theorem}
כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-\L{$PA$}. יתר על כן, קיימת תורה \L{$N$}
סופית כך ש-\L{$PA\vdash N$} וכל פונקציה חשיבה מיוצגת ב-\L{$N$}.
\end{theorem}
\uline{תרגיל}: אם \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} שלמה
ומיוצגת ב-\L{$PA$} אז \L{$f$} חשיבה.
\begin{corollary}
התורה \L{$N$} שמובטחת במשפט, אינה כריעה.\end{corollary}
\begin{proof}
תהי \L{$\varphi(e,z,n)$} הנוסחה האומרת שמ\char`\"{}ט \L{$T_{e}$}
)שהקוד שלה הוא \L{$e$}( עוצרת על הקלט \L{$n$} אחרי \L{$z$} צעדים.

היחס \L{$\varphi(e,z,n)$} חשיב {]}הוכחנו{[}, לכן לפי המשפט מיוצג
ב-\L{$N$}. כלומר אם \L{$T_{e}(n)$} \uline{לא עוצרת} אז לכל \L{$z$}
מתקיים \L{$N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$}. 

מצד שני, אם \L{$T_{e}(n)$} \uline{עוצרת} אז \L{$N\vdash\varphi(e,z,n)$}
לאיזה \L{$z$}. נניח בשלילה ש-\L{$N$} כריעה אז \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$}
אם ורק אם \L{$T_{e}(n)$} עוצרת.

אבל מכריעות נקבל שלכל זוג \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} אפשר
לדעם האם \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$} או \L{$N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$}.
כלומר אפשר להכריע האם \L{$T_{e}(n)$} עוצרת או לא. אבל לפי משפט רייס
זו איננה קבוצה חשיבה. סתירה.
\end{proof}
\uline{הערה}: אם \L{$N\subseteq T$} )\L{$N$} התורה המובטחת במשפט(
אז:
\begin{enumerate}
\item כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-\L{$T$}
\item לכן, \L{$T$} איננה כריעה, כי אותה ההוכחה ש-\L{$N$} אינה כריעה תעבוד
עבור \L{$T$}.
\end{enumerate}
\uline{הערה}: אם תורה \L{$T$} היא חשיבה ושלמה אז \L{$T$} כריעה.
להלן אלגוריתם הכרעה:

נראה בהמשך שאם \L{$T$} חשיבה אז \L{$C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$}
נל\char`\"{}ח. כיוון ש-\L{$T$} שלמה, כדי לבדוק האם \L{$T\vdash\varphi$}
נפעיל את המכונה המונה את \L{$C_{T}$}. בכל שלב נבדוק האם האיבר שהמכונה
פלטה הוא הוכחה של \L{$\varphi$} או הוכחה של \L{$\neg\varphi$} .
השלמות מבטיחה לנו שאחד מהם יתקבל בזמן סופי. אם מתקבל \L{$\varphi$}
- ניצחנו. אם מתקבל \L{$\neg\varphi$} - גם ניצחנו.
\begin{corollary}
כל תורה \L{$T$} כך ש-\L{$N\subseteq T\subseteq PA$} מהמסקנה הקודמת
אינה כריעה. )למשל תורת המספרים איננה כריעה(.
\end{corollary}

\section{פונקציות יציגות}

\uline{תזכורת:} פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$}
תקרא מיוצגת )חלש( בתורה \L{$T$} )בשפה עם סימן קבוע {\beginL 0\endL}
וסימן פונקציה חד מקומי \L{$s$}( אם קיימת נוסחה \L{$\varphi(x,y)$}
כך שלכל \L{$\bar{n}\in Dom(f)$} מתקיים\L{
\begin{eqnarray*}
T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y)
\end{eqnarray*}
}כאשר \L{$\underline{n}=s^{n}(0)$}. 
\begin{theorem}
כל פונקציה חשיבה יציגה בתורת פאנו ואפילו יש תת-תורה סופית של \L{$PA$}
שבה כל פונקציה חשיבה יציגה.\end{theorem}
\begin{corollary}
תהי \L{$N\subseteq PA$} כמובטח במשפט. אזי \L{$N$} אינה כריעה. \end{corollary}
\begin{proof}
יהי \L{$\varphi(e,n,z)$} היחס האומר \char`\"{}המכונה שהקוד שלה \L{$e$}
עצרה על הקלט \L{$n$} אחרי לכל היותר \L{$z$} מהלכים\char`\"{}. אז
ברור ש-\L{$\varphi(e,n,z)$} הוא יחס חשיב. מהמשפט נובע שלכל שלשה \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$}
מתקיים \L{$N\vdash\varphi(e,n,z)$} אם ורק אם \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle $}
עומדת ביחס, כלומר המכונה \L{$e$} עוצרת על \L{$n$} אחרי לא יותר מ\L{$z$}
צעדים. לכן אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת יש \L{$z_{0}$}
כך ש\L{$N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}.
לכן אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת אז \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}.
מצד שני, אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} לא עוצרת אז \L{$N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}
לכל \L{$\underline{z_{0}}$}. אבל \L{$\mathbb{N}\models PA$} ולכן
\L{$\mathbb{N}\models N$} . לכן לא ייתכן ש\L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}
אבל מהנחתנו זה לא מתקיים. יוצא \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}
אם ורק אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת. לכן אילו הייתה
\L{$N$} כריעה היינו יכולים להכריע את בעיית העצירה: בהינתן זוג \L{$\left\langle e,n\right\rangle $}
היינו פשוט שואלים אם \L{$N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$}.
אם כן - \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת, ואם לא אז \L{$\left\langle e,n\right\rangle $}
לא עוצרת.\end{proof}
\begin{corollary}
כל תורה \L{$N\subseteq T\subseteq PA$} מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.

ניגש להוכחת המשפט עצמו. 
\end{corollary}
תהי \L{$N\subseteq PA$} התורה הבאה:
\begin{itemize}
\item \L{$PA(1)-PA(6)$}
\item \L{$(N7)$}: \L{$(\forall x)(\neg x<0)$}
\item \L{$(N8)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$}
\item \L{$(N9)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$}
\item כאשר \L{$x<y$} זה קיצור לנוסחה \L{$(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$}\end{itemize}
\begin{claim}
\L{$PA\vdash N$}.
\begin{proof}
צריך להוכיח רק את \L{$PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$}. כלומר צריך להוכיח:\L{
\begin{eqnarray*}
PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\
 & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\
 & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\
 & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0)
\end{eqnarray*}
} אבל \L{$PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$}. לכן יספיק
להוכיח ש-\L{$PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$}. זה יספיק כי אז נקבל \L{$(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$}.
ההוכחה ל-\L{$N8$} ו-\L{$N9$} דומה מאוד. 
\end{proof}
\end{claim}
\begin{proof}
נראה שכל פונקציה חשיבה יציגה ב-\L{$N$}. לשם כך יספיק להראות: משפחת
הפונקציות היציגות ב-\L{$N$} מכילה מכילה את הפונקציות החשיבות הבסיסיות
וסגורה תחת הרכבות ותחת מזעור.
\begin{claim}
){\beginL 1\endL}( פונקציית ההיטל \L{$P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$}
יציגה ע\char`\"{}י \L{
\[
\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y
\]
} \end{claim}
\begin{proof}
יש להראות ש\L{$N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$}
לכל \L{$k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$}. אבל זה שקול ל \L{$N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$}.\end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 2\endL}( הפונקציה \L{$c_{0}(x)=0$} יציגה ב-\L{$N$} ע\char`\"{}י
\L{$\varphi(x,y):=y\approx0$}. ההוכחה קשה באותה מידה.
\end{claim}

~

\end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 3\endL}( הפונקציה \L{$x+y$} יציגה ב-\L{$N$} ע\char`\"{}י
\L{$\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$}.
\begin{proof}
עלינו להראות \L{$N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$}.
באינדוקציה על \L{$n_{2}$} . עבור \L{$n_{2}=0$} מקבלים \L{$\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$}.
נניח עבור \L{$n_{2}$} ונוכיח עבור \L{$n_{2}+1$}:\L{
\[
\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1}
\]
}
\end{proof}

לגבי כפל זה בדיוק אותו דבר.
\begin{claim}
){\beginL 4\endL}( \L{$c_{<}(x,y)$} יציגה ב-\L{$N$} ע\char`\"{}י
\L{$\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$}.\end{claim}
\begin{proof}
ראשית מראים שלכל \L{$n,m\in\mathbb{N}$} אם \L{$n<m$} אז \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$}
. באותו אופן אם \L{$\neg(n<m)$} אז \L{$N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$}.
{]}למשל באינדוקציה על \L{$m$}: מ\L{$N7$} אנחנו יודעים ש\L{$N\vdash\neg(n<0)$}
לכל \L{$n\in N$}. אז נניח שהוכחנו ל\L{$n$} נתון עבור \L{$m$} ונוכיח
עבור \L{$m+1$}. אז אם \L{$n<m$} מהנחת האינדוקציה \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$}
ולפי \L{$N8$} גם \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$}.
המקרה ההפוך דומה{[}.\end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 5\endL}( משפחת הפונקציות היציגות ב\L{$N$} סגורה תחת הרכבה. \end{claim}
\begin{proof}
נניח ש\L{$G(x_{1},...x_{n})$} יציגה ב\L{$N$} ו\L{$h_{i}(y_{1},...,y_{m})$}
יציגות ב\L{$N$} ל\L{$1\le i\le n$}. עלינו להראות ש\L{$G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$}
יציגה ב\L{$N$}. נניח ש\L{$\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$} מייצגות
את \L{$h_{i}$} ל\L{$1\le i\le n$} , ו\L{$\psi(z_{1},..,z_{n},t)$}
את \L{$G$}. נראה ש \L{
\begin{eqnarray*}
\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t)
\end{eqnarray*}
} מייצגת את ההרכבה. כלומר עלינו להראות שלכל \L{$p_{1},...,p_{m}$}
טבעיים {]}ובתחום של הפונקציות \L{$h_{i}$}{[} מתקיים ש\L{
\begin{eqnarray*}
N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})})
\end{eqnarray*}
}. אם נסמן \L{$q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$} ו-\L{$r=G(q_{1},...,q_{n})$}
{]}בהנחה שהכל מוגדר{[} מה שעלינו להראות זה ש\L{$N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$}.
על ידי שנחליף את \L{$t$} בקבוע שאינו מופיע ב\L{$N$} יספיק להוכיח
\L{$N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$}. יספיק
להוכיח כל כיוון בנפרד. כזכור \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$}.
לכן עלינו להוכיח:
\begin{enumerate}
\item \L{$N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$}
\item \L{$N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$}
\end{enumerate}

נתחיל מ{\beginL 2\endL}. \L{$\varphi_{i}$} מייצגת את \L{$h_{i}$}
ו\L{$p_{1},...,p_{m}$} בתחום של \L{$h_{i}$} לכן \L{$N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$}.
באותו אופן \L{$\psi$} מייצגת את \L{$G$} ו-\L{$q_{1},...,q_{n}$}
בתחום של \L{$G$} לכן \L{
\begin{eqnarray*}
N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r})
\end{eqnarray*}
}לכן \L{
\begin{eqnarray*}
N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r})
\end{eqnarray*}
} ולכן \L{
\begin{eqnarray*}
N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t)
\end{eqnarray*}
}

נסיים עם {\beginL 1\endL}. כיוון ש\L{$\varphi_{i}$} מייצגות את \L{$h_{i}$}
אנחנו יודעים שמההנחה \L{$\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$} אפשר
להסיק \L{$z_{i}=q_{i}$}. כלומר \L{$N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$}.
כיוון ש\L{$\psi$} מייצגת את \L{$G$} אז מ\L{$z_{i}=q_{i}$} עבור
\L{$1\le i\le n$} אפשר להסיק מההנחה \L{$\psi(z_{1},...,z_{n},t)$}
ש\L{$t=\underline{r}$}. לכן \L{$N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$}
כנדרש. \end{proof}
\begin{claim}
){\beginL 6\endL}( משפחת הפונקציות היציגות ב\L{$N$} סגורה תחת מזעור.\end{claim}
\begin{proof}
)רעיון ההוכחה( תהי \L{$G(x_{1},...,x_{n},y)$} פונקציה יציגה ע\char`\"{}י
נוסחה \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$}. תהי \L{$H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$}
. איזו נוסחה תייצג את \L{$H$}? \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$}.
ההוכחה שזה אכן מייצג דומה למה שעשינו עד כה.
\end{proof}

\section{הוכחת משפטי אי השלמות של גדל}

\end{claim}
\uline{תזכורת}: הוכחנו אם \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
חשיבה )חלקית( אז \L{$f$} יציגה )חלש( ב\L{$N$}.

\uline{תרגיל )מתוך תרגיל }{\beginL \uline{10}\endL}\uline{(:
}אם \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} יחס חשיב אז הוא יציג ולכן יש נוסחה
\L{$\varphi(x)$} כך ש:
\begin{enumerate}
\item \L{$N\vdash\varphi(\underline{n})$} אם \L{$n\in A$} 
\item \L{$N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$} אם \L{$n\not\in A$}
\end{enumerate}
\uline{תזכורת}: הגדרנו פונקציה \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$}
\char`\"{}מספור גדל\char`\"{} של הנוסחאות בשפה \L{$\mathcal{L}$}
של \L{$PA$} וראינו שזו פונקציה חשיבה. לשם נוחות הסימון בהינתן נוסחה
\L{$\varphi\in F(\mathcal{L})$} נסמן \L{$\left\lceil \varphi\right\rceil $}
מספר הגדל של \L{$\varphi$}.
\begin{theorem}
)משפט נקודת השבת של גדל(: לכל נוסחה \L{$\varphi(x)$} בשפה של \L{$PA$}
קיימת נוסחה \L{$\psi$} כך ש-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}. \end{theorem}
\begin{definition}
תהי \L{$\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$}
)נוסחאות עם משתנה חופשי אחד לנוסחאות ללא משתנים חופשיים( הפונקציה
המקיימת \L{$\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$}.
אז \L{$\Delta$} נקראת פונקציית האלכסון.

קל להשתכנע ש-\L{$\Delta$} ניתנת לחישוב ע\char`\"{}י מכונת טיורינג.
לכן הפונקציה הבאה חשיבה: \L{$\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
המוגדרת ע\char`\"{}י \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$} אם ורק אם \L{$n$}
מספר גדל של נוסחה במשתנה חופשי אחד, ואם \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$}
אז \L{$n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $} ו\L{$\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $}.
לכן היחס \L{$\tilde{\Delta}(n,m)$} המוגדר ע\char`\"{}י \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta})$}
ו-\L{$\tilde{\Delta}(n)=m$} הוא יחס חשיב. לכן \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}
יציג ב\L{$N$}. לפי התרגיל יש נוסחה \L{$\delta(x,y)$} כך ש-\L{$N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$}
אם \L{$(n,m)\in\tilde{\Delta}$} ו-\L{$N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$}
אם \L{$(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$}.

תהי \L{$\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$}. יהי
\L{$\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$}. \end{definition}
\begin{claim}
\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}.\end{claim}
\begin{proof}
נניח ש-\L{$N\vdash\psi$}. צריך להראות ש-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
אבל \L{$\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}.
נזכור ש\L{$\left\lceil \chi\right\rceil $} מספר גדל של נוסחה במשתנה
אחד. בנוסף, \L{$\delta(x,y)$} היא יצוג של היחס \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}.
לכן \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$} אם ורק אם
\L{$y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}. לכן אם \L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}
המועמד היחיד שיכול להעיד על כך הוא \L{$\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}.
לכן \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} . בכיוון
השני, נניח ש\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} ועלינו
להוכיח \L{$N\vdash\psi$} . עלינו להראות ש-\L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}.
יספיק להוכיח ש-\L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$}
עבור \L{$y_{0}$} כלשהו. אבל \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$}
- כי \L{$\delta(x,y)$} מייצגת את \L{$\tilde{\Delta}$} ומהנתון \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
נשים \L{$y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $} וגמרנו.\end{proof}
\begin{theorem}
)משפט השלמות הראשון של גדל( תהי \L{$T\supseteq N$} תורה חשיבה ו-\L{$\omega$}-שלמה
, אז \L{$T$} אינה שלמה. \end{theorem}
\begin{definition}
תורה \L{$T$} נקראת \L{$\omega$}-שלמה אם \L{$T\vdash(\exists x)\varphi(x)$}
לאיזה נוסחה \L{$\varphi(x)$} גורר ש\L{$T\vdash\varphi(\underline{n})$}
לאיזה \L{$n\in\mathbb{N}$}.
\begin{definition}
נוסחה \L{$Pr(x)$} נקראת \uline{יחס יכיחות} אם היא מקיימת את התכונות
הבאות:
\begin{enumerate}
\item אם \L{$T\vdash\phi$} אז \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
\item אם \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} אז \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$}.
\item אם \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$}
אז \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. 
\end{enumerate}
\end{definition}
\end{definition}
\begin{claim}
ב\L{$N$} יש יחס יכיחות ואם מניחים ש\L{$N$} היא \L{$\omega$}-שלמה
אז בנוסף מתקיים: אם \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
אז \L{$N\vdash\phi$}. \end{claim}
\begin{proof}
נגדיר יחס דו מקומי \L{$\tilde{Pr}(x,y)$} כך ש \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$}
אם:
\begin{enumerate}
\item \L{$n$} מספר גדל של נוסחה \L{$\varphi$}, ו-
\item \L{$n$} מקודד הוכחה של \L{$\varphi$} מתוך \L{$N$} . 
\end{enumerate}

אז \L{$\tilde{Pr}$} יחס חשיב. לכן יש נוסחה \L{$Pr(x,y)$} שמייצגת
את \L{$\tilde{Pr}$}. כלומר \L{$N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$}
אם \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$} ומוכיח את השלילה - אחרת. 

נגדיר \L{$Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$}. מדוע, למשל \L{$N\vdash\phi$}
אז \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}? משום שאם \L{$N\vdash\phi$}
אז יש הוכחה של \L{$\phi$} מ\L{$N$} ויהי \L{$m$} קידוד של ההוכחה
הזו. אז \L{$\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}. בגלל ש\L{$Pr(x,y)$}
מייצגת את \L{$\tilde{Pr}$} אז \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}
לכן \L{$N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$}.
{\beginL 2\endL} נובע מ-{\beginL 1\endL}, ו-{\beginL 3\endL} הוכח
באופן דומה )תרגיל(. 

כדי לקבל את {\beginL 4\endL}: אם \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
ו-\L{$N$} \L{$\omega$}-שלמה אז \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$}
לאיזה \L{$m\in\mathbb{N}$}. אבל אז מהגדרת היציגות \L{$N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}
כלומר \L{$m$} מקודד הוכחה של \L{$\phi$} מ\L{$N$}. 
\end{proof}
~
\begin{proof}
)למשפט השלמות הראשון של גדל( לפי משפט נקודת השבת יש \L{$\phi$} כך
ש\L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$}.
\begin{itemize}
\item מקרה א': \L{
\[
T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow
\]
}
\item מקרה ב': \L{
\[
T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow
\]
}יוצא \L{$\psi,\neg\varphi$} אינם יכיחים ב\L{$T$} ולכן \L{$T$} אינה
שלמה. 
\end{itemize}
\end{proof}
\uline{סימון:} תהי \L{$T$} תורה חשיבה. נגדיר \L{$Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$}.
\begin{theorem}
)משפט אי השלמות השני של גדל( אם \L{$T\supseteq N$} חשיבה ועקבית אז
\L{$T\not\vdash Con_{T}$}. במילים אחרות \L{$T$} עקבית לא יודעת את
זה על עצמה. \end{theorem}
\begin{proof}
נבחר \L{$\psi$} כמו בהוכחת המשפט הראשון. \L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
אז:
\begin{enumerate}
\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$}.
מ-{\beginL 2\endL} ומ-{\beginL 3\endL} נקבל:
\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}
\item לפי {\beginL 2\endL} \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$}.
\item מ-{\beginL 2\endL} ו-{\beginL 3\endL} ביחד נקבל \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}.
\end{enumerate}

אבל \L{$\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}
היא אקסיומה לוגית )ואפילו טאוטולוגיה(. לכן \L{$T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}.
לפי {\beginL 1\endL} ו-{\beginL 3\endL} מקבלים: \L{
\[
T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil ))
\]
} לפי כלל {\beginL 4\endL} וכלל הניתוק \L{
\[
T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T}
\]
} כלומר \L{
\[
T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )
\]
} אבל לפי בחירת \L{$\psi$}, אם מניחים ש\L{$T\vdash Con_{T}$} אז מכלל
הניתוק \L{$T\vdash\neg Pr(\psi)$} ולכן \L{$T\vdash\psi$}. אבל לפי
{\beginL 1\endL} זה גורר \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}
- סתירה. 

\end{proof}

\section{תורת רקורסיה}

תהי \L{$H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}. פונקציה חלקית. מכונת
טיורינג עם אוב )אורקל( עבור \L{$H$} זו מכונת טיורינג רגילה שלה פקודה
נוספת: \char`\"{}חשב את הערך של \L{$H$} עבור \L{$n$} כלשהו\char`\"{}.
ואז הערך של \L{$H(n)$} מוחזר אם \L{$n\in Dom(H)$} ואחרת האוב אינו
מחזיר תשובה, והחישוב של המכונה אינו מסתיים. 

למשל, נוסיף למכונת טיורינג רגילה עוד סרט והפקודה \char`\"{}קרא מן
האוב\char`\"{} תתפרש כ-\char`\"{}חשב את \L{$H$} עבור הערך שכתוב בסרט
בתא מספר {\beginL 2\endL}\char`\"{}. מה שחשוב הוא שמ\char`\"{}ט עם
אוב \L{$H$} ניתנת לתיאור סופי. לכן בהינתן אוב \L{$H$} אפשר לקודד
את כל מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$H$} בדומה לקידוד של מ\char`\"{}ט רגילות. 

המושגים:
\begin{enumerate}
\item מצב של מכונה עם אוב \L{$H$}
\item ריצה של מכונה עם אוב \L{$H$}
\item ריצה מסתיימת
\item \L{$f_{T}^{n}(\bar{x})$} 
\end{enumerate}
כולם מוגדרים באופן זהה להגדרה הרגילה.

פונקציה \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} תקרא חשיבה עם אוב
\L{$H$} אם קיימת מ\char`\"{}ט \L{$T$} עם אוב \L{$H$} כך ש\L{$f=f_{T}^{1}$}
\begin{definition}
~
\begin{enumerate}
\item יהיו \L{$H,G$} אובות. נאמר ש\L{$H\le_{R}G$} אם כל פונקציה חשיבה
מ\L{$H$} חשיבה מ\L{$G$}. 
\item נאמר ש\L{$H\sim_{R}G$} אם \L{$H\le_{R}G$} ו-\L{$G\le_{R}H$}.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{claim}
\L{$\sim_{R}$} הוא יחס שקילות.\end{claim}
\begin{proof}
צריך להראות רק שאם \L{$H\le_{R}G\le_{R}F$} אז \L{$H\le_{R}F$}. נניח
ש\L{$f$} חשיבה מ\L{$H$}. עלינו להראות ש\L{$f$} חשיבה מ\L{$F$}.
מהנחתנו \L{$f$} חשיבה מ\L{$G$}, אבל אז גם \L{$f$} חשיבה מ\L{$F$}. \end{proof}
\begin{definition}
~
\begin{enumerate}
\item דרגת טיורינג של \L{$H$} הינה \L{$deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$}. 
\item אם \L{$a,b$} דרגות אז נאמר ש\L{$a\le_{R}b$} אם לכל \L{$H,G$} כך
ש\L{$deg(H)=a,deg(G)=b$} מתקיים \L{$H\le_{R}G$}. {]}הערה: בהגדרה
אפשר להחליף \char`\"{}לכל\char`\"{} ב\char`\"{}קיים\char`\"{}{[}.
\end{enumerate}

ברור ש\L{$\le_{R}$} הוא יחס סדר חלקי על הדרגות. מטרה ראשונה לחקור
את המבנה של הקבוצה סדורה חלקית של דרגות טיורינג. 

\end{definition}
תכונות בסיסיות של הדרגות:
\begin{enumerate}
\item אם \L{$F$} חשיבה אז \L{$deg(F)\le_{R}deg(G)$} לכל \L{$G$}.
\item בפרט:

\begin{enumerate}
\item אם \L{$F,G$} חשיבות אז \L{$F\sim_{R}G$}
\item אם נסמן \L{$0=degF$} ל\L{$F$} חשיבה אז \L{$0\le_{R}a$} לכל דרגה
\L{$a$}.
\end{enumerate}
\item אם \L{$a_{1},...,a_{n}$} דרגות כלשהן אז יש להן חסם מלעיל משותף קטן
ביותר.

\begin{proof}
יהיו \L{$F_{1},...,F_{n}$} כך ש\L{$degF_{i}=a_{i}$}. ברור שכל \L{$H$}
המקיימת \L{$F_{i}\le_{R}H$} לכל \L{$i$} מחשבת את \L{$F_{1},...,F_{n}$}.
לכן אם נקח בתור אוב את \L{$\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$} )\L{$n$}-אובות(
נקבל ש\L{$F_{i}\le_{R}\tilde{H}$} לכל \L{$i$} ומזערי כזה. עכשיו
פשוט נחליף את \L{$\tilde{H}$} ב-\L{$H$} הפועלת באופן הבא: \L{$H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$}.
\L{$H$} חשיבה מ\L{$\tilde{H}$} ולכן \L{$\tilde{H}$} היא החסם המבוקש.
\end{proof}
\item נאמר שסדרת פונקציות \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} היא חשיבה מ\L{$H$}
אם הפונקציה \L{$F(n,x)=F_{n}(x)$} חשיבה מ\L{$H$}. ברור שאם \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$}
סדרת פונקציות אז \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} חשיבה מ\L{$F(n,x)$}.
לכן לכל סדרת פונקציות יש חסם מלעיל. \uline{אזהרה: }אבל זה לא נכון
שלכל סדרת פונקציות יש חסם עליון. \end{enumerate}
\begin{definition}
נאמר ש\L{$H$} נל\char`\"{}ח ב\L{$G$} )ונרשום \L{$H\le_{RE}G$}(
אם \L{$Dom(f)=H$} לאיזו \L{$f\le_{R}G$}.
\end{definition}
בדיוק כמו במקרה של פונקציות חשיבות לכל \L{$G$}יש \L{$H\le_{RE}G$}
כך ש\L{$H\not\le_{R}G$}.

בהינתן \L{$G(x)$} נסמן ב\L{$G^{*}(e,x)$} זו מכונת טיורינג אשר )עם
אוב \L{$G$}( אשר בהינתן \L{$e$} קוד של מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$G$}
וקלט \L{$x$} מחשבת את \L{$T_{e}(x)$}. ברור ישירות מההגדרה ש:
\begin{enumerate}
\item אם \L{$H\le_{RE}G$} אז \L{$H\le_{R}G^{*}$}
\item \L{$G^{*}\le_{RE}G$}.
\end{enumerate}
מדוע?
\begin{enumerate}
\item אם \L{$H\le_{RE}G$} אז יש \L{$f\le_{R}G$} כך ש\L{$H=Im(f)$} ו-\L{$f$}
שלמה. אז \L{$H=Im(G^{*}(e_{f},x))$} כאשר על הקוד של \L{$f$}. וברור
ש\L{$G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$}. 
\item ברור - כי \L{$G^{*}$} חשיבה מ\L{$G$} ולכן הגרף שלה נל\char`\"{}ח
מ\L{$G$}. \end{enumerate}
\begin{definition}
אם \L{$a$} דרגה ו-\L{$a=degH$} אז הקפיצה של \L{$a$} היא \L{$degH^{*}$}
ומסומנת \L{$a^{\prime}$}.

שאלה: האם זה מוגדר היטב? אם \L{$H\sim G$} האם \L{$H^{*}\sim G^{*}$}?
מתקיים:\L{
\[
G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H
\]
} לכן יספיק להראות ש\L{$G^{*}$} נל\char`\"{}ח מירבית מ\L{$H$}. לפי
הטענה הקודמת עבור \L{$H,H^{*}$} יוצא ש\L{$G^{*}\le_{R}H^{*}$}. מסימטריה
בין \L{$H$}ו-\L{$G$} גם \L{$H^{*}\le_{R}G^{*}$} ולכן זה מוגדר היטב.

\uline{שאלה}: האם קיימת דרגה \L{$0<a$} כך ש\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}?
תשובה: כן!
\end{definition}

\section{תורת רקורסיה - המשך}

\uline{תזכורת}: אם \L{$F,G$} פונקציות )מהטבעיים לטבעיים( אז \L{$F\le_{R}G$}
אם כל פונקציה חשיבה מ\L{$F$} חשיבה מ\L{$G$}. \L{$F\sim_{R}G$} אם
\L{$F\le_{R}G$} ו-\L{$G\le_{R}F$}. כמו כן נסמן \L{$F/_{\sim}=degF$}.

אם \L{$a,b$} דרגות אז \L{$a\le b$} אם קיימות פונקציות \L{$F,G$}
כך ש\L{$degF=a,degG=b$} ו-\L{$F\le_{R}G$}. אמרנו: אפשר להחליף את
\char`\"{}קיימות \L{$F,G$}\char`\"{} ב\char`\"{}לכל \L{$F,G$}\char`\"{}.

מתי נאמר ש\L{$F\le_{RE}G$}? אם \L{$a,b$} דרגות אז נגדיר \L{$a\le_{RE}b$}
בדיוק אם קיימות \L{$F,G$} כך ש\L{$degF=a,degG=b$} ו-\L{$F\le_{RE}G$}.
\uline{תרגיל}: \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} חשיבה ב\L{$G$} אם ורק
אם \L{$A$} נל\char`\"{}ח מ\L{$G$} ו-\L{$\mathbb{N}\backslash A$}
נל\char`\"{}ח מ\L{$G$}.

אם \L{$H$} פונקציה כלשהי אז \L{$H^{*}$} היא הפונקציה המתאימה למכונת
טיורינג אוניברסלית עם אוב \L{$H$}. באופן פורמלי: \L{$H^{*}$} היא
הפונקציה המציינת של הקבוצה:\L{
\[
\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\}
\]
}ישירות מן ההגדרה נובע שאם \L{$G\le_{RE}H$} אז \L{$degG\le degH^{*}$}.
\uline{כמסקנה}: אם נגדיר לדרגה \L{$a$} את הדרגה \L{$a^{\prime}$}
ע\char`\"{}י \L{$a^{\prime}=degH^{*}$} עבור \L{$H$} כלשהי כך ש\L{$a=degH$}
אז:
\begin{enumerate}
\item \L{$a^{\prime}$} מוגדר היטב
\item \L{$a^{\prime}$} הוא הדרגה המירבית מעל \L{$a$} שהיא נל\char`\"{}ח
ב\L{$a$}. במילים אחרות, אם \L{$a\le b$} ו-\L{$b\le_{RE}a$} אז \L{$b\le a^{\prime}$}.
מדוע? אם \L{$b\le_{RE}a$} אז לפי הגדרה יש \L{$G$} כך ש\L{$degG=b$}
ו-\L{$G\le_{RE}H$}. לכן \L{$degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$}.
\end{enumerate}
ראינו: אם \L{$F,G$} חשיבות אז \L{$F\sim G$} וסימנו \L{$degF=0$}:
\begin{enumerate}
\item \L{$0\le a$} לכל דרגה \L{$a$}
\item אם \L{$a,b$} דרגות אז יש דרגה \L{$c$} כך ש-\L{$c$} חסם מלעיל קטן
ביותר ל\L{$a,b$}.
\item לכל סדרה \L{$F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$} יש חסם מלעיל )שהוא
פשוט \L{$F(y,x)$}( אבל אין חסם עליון.
\end{enumerate}
\uline{תרגיל}: אם \L{$a,b$} דרגות אז \L{$a<a^{\prime}$} )ללא
שיוויון( ואם \L{$a\le b$} אז \L{$a^{\prime}\le b^{\prime}$}. אבל
בהמשך נראה שיש \L{$a<b$} כך ש\L{$a^{\prime}=b^{\prime}$} .
\begin{theorem}
קיימות דרגות \L{$a,b\le0^{\prime}$} שאינן ניתנות להשוואה. \end{theorem}
\begin{corollary}
קיימת דרגה \L{$0<a<0^{\prime}$}.
\begin{proof}
לפי המשפט יש \L{$a,b\le0^{\prime}$} שאינן ניתנות להשוואה. אז \L{$a,b\not=0^{\prime}$}
ו-\L{$a,b\not=0$}.
\end{proof}
\end{corollary}
שאלה מרכזית: )הבעיה של \inputencoding{latin9}\L{Post}\inputencoding{cp1255}(
האם קיימת \L{$a$} כנ\char`\"{}ל שהיא נל\char`\"{}ח?

\uline{אבחנה:} נניח ש\L{$f$} חשיבה עם אוב \L{$H$}. אז לכל \L{$n$}
יש \L{$\sigma\subseteq H$} פונקציה סופית )ז\char`\"{}א תחום של \L{$\sigma$}
סופי( כך ש\L{$f(n)$} ניתן לחישוב מ\L{$\sigma$}.
\begin{proof}
)למשפט( נשים לב שגם אם האוב \L{$F$} אינו ידוע לנו עדיין ניתן לרשום
את כל הקודים של מכונת טיורינג עם אוב \L{$F$}. בתור התחלה נבנה שתי
פונקציות \L{$F,G$} כך ש-\L{$G\not\le_{R}F$} וגם \L{$F\not\le_{R}G$}.
כדי למלא את הדרישה הזו עלינו לקיים שני אוספים של תנאים:
\begin{enumerate}
\item )e{\beginL 1\endL}( מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$G$} שהקוד שלה הוא \L{$e$}
אינה מחשבת את \L{$F$}.
\item )e{\beginL 2\endL}( מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$F$} שהקוד שלה הוא \L{$e$}
אינה מחשבת \L{$G$}.
\end{enumerate}

אז תהי \L{$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$} מניה חשיבה של התנאים הנ\char`\"{}ל.
נבנה באופן אינדוקטיבי פונקציות סופיות \L{$F_{i},G_{i}$} כך ש\L{$F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$}
ג לכל \L{$i$} ואם \L{$e_{i}$} היא תנאי מסוג {\beginL 1\endL}, למשל
אז \L{$F_{i+1}$} תבטיח שהפונקציה המחושבת ע\char`\"{}י המכונה \L{$e_{i}$}
עם האוב \L{$G$} לא תחשב את \L{$F_{i+1}$}. במילים אחרות המכונה \L{$e_{i}$}
עם האוב \L{$G$} על קלט מסויים \L{$n$} אז תתן ערך ששונה מ\L{$F_{i+1}(n)$}.
נניח שהגדרנו \L{$F_{i},G_{i}$} כך ש\L{$F_{i-1}\subseteq F_{i}$}
ו-\L{$G_{i-1}=G_{i}$} ונניח שבה\char`\"{}כ \L{$e_{i}$} הוא תנאי
מסוג {\beginL 1\endL} )התפקידים של \L{$F,G$} סימטריים לחלוטין בהוכחה(.
יהי \L{$n_{i}\in\mathbb{N}$} הקטן ביותר כך ש\L{$n_{i}\not\in dom(F_{i})$}.
נבחים בין שני מקרים:
\begin{enumerate}
\item מקרה א' - קיימת פונקציה סופית \L{$\sigma$} כך ש:

\begin{enumerate}
\item \L{$\sigma$} מתיישבת עם \L{$G_{i}$} )כלומר אם \L{$x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$}
אז \L{$\sigma(x)=G_{i}(x)$}(
\item מ\char`\"{}ט \L{$e_{i}$} עם אוב \L{$\sigma$} עוצרת על הקלט \L{$n_{i}$}.
\end{enumerate}

במקרה זה, נגדיר \L{$G_{i}\subseteq G_{i+1}$} עם \L{$G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$}.
בגלל הנחה ){\beginL 1\endL}( - זוהי פונקציה. נגדיר \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$}
)כאשר \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}$} הוא הערך שמ\char`\"{}ט \L{$e_{i}$}
עם אוב \L{$\sigma$} מחזירה עבור \L{$n_{i}$}( וזה מוגדר בגלל הנחה
){\beginL 2\endL}(.

\item מקרה ב' - לא מקרה א'. אז נגדיר \L{$G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$}.
עתה נגדיר \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$}.
נראה ש\L{$F\not\le_{R}G$} )המקרה השני סימטרי לחלוטין(. תהי \L{$e$}
מ\char`\"{}ט כלשהי עם אוב \L{$G$}. נראה ש\L{$e$} אינה מחשבת את \L{$F$}.
לשם כך יספיק למצוא \L{$n\in\mathbb{N}$} כלשהו כך ש\L{$F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$}
{]}נשים לב ש\L{$F(n)$} מוגדרת לכל \L{$n$}, פשוט משום שהבניה מבטיחה
שנטפל בבניה של \L{$F$} אינסוף פעמים ובכל פעם אנחנו מגדירים את \L{$F_{i+1}(n_{i})$}
עבור \L{$n_{i}$} קטן ביותר עבורו הפונקציה טרם הוגדרה. לכן בהכרח \L{$dom(F)=\mathbb{N}$}{[}.
בפרט, אם \L{$T_{e}^{G}(n)$} לא עוצרת, נקבל את הדרישה.
\end{enumerate}

יש שלב \L{$i$} שבו טיפלנו במכונה \L{$e$}. יש שתי אפשרויות. אם היינו
במקרה ב' אז \L{$T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$} אינה עוצרת. אילו הייתה עוצרת,
לפי האבחנה שרשמנו היה \L{$\sigma\subseteq G$} סופי כך ש\L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$}
עוצרת, ומכיוון של\L{$G_{i}$} ול\L{$\sigma$} הרחבה משותפת \L{$G$}
הן מתיישבות בסתירה להנחה שאנחנו במקרה ב'. אם היינו במקרה א' אז יש
\L{$\sigma_{i}\subseteq G$} סופית )שהיא זאת שמופיעה בבניה בשלב ה\L{$i$}(
כך ש\L{$F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$}. 

\end{proof}
\begin{corollary}
\L{$degG$} אינו ניתן להשוואה עם \L{$degF$}. נותר להראות \L{$degF\le0^{\prime}$}.
\end{corollary}

\section{תורת רקורסיה - המשך}

התחלנו להוכיח: קיימות דרגות \L{$0\le a,b\le0^{\prime}$} כך ש-\L{$a,b$}
אינן ניתנות להשוואה ונסמן \L{$a|b$}. בנינו שתי פונקציות \L{$F,G$}
כך ש-\L{$F\not\le_{R}G$} ו-\L{$G\not\le_{R}F$}. נותר לבדוק ש-\L{$degF,degG\le0^{\prime}$}.
כדי להבטיח שהפונקציות בלתי ניתנות להשוואה היה צריך להגשים שני סוגי
תנאים:
\begin{enumerate}
\item )e{\beginL 1\endL}( \L{$F\not=f_{T_{e}^{G}}$}
\item )e{\beginL 2\endL}( \L{$G\not=f_{T_{e}^{F}}$}\end{enumerate}
\begin{lemma}
)למת השימוש( תהי \L{$e$} מ\char`\"{}ט ו-\L{$H,G$} אובות. נניח שבריצה
של \L{$T_{e}^{H}(n)$} הפניות לאורקל \L{$H$} מבקשות בדיוק את הערכים
\L{$H(r_{1}),...,H(r_{k})$} לאיזה \L{$k\in\mathbb{N}$} ונניח ש-\L{$G(r_{i})=H(r_{i})$}
לכל \L{$1\le i\le k$}. אז \L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$}. בפרט:
אם \L{$T_{e}^{H}(n)$} עוצרת אז יש \L{$\sigma\subseteq H$} סופית
כך ש-\L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$}. 

כדי לבנות את \L{$F,G$} מספרנו את התנאים \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$}
בצורה חשיבה. אם בשלב \L{$n$} עלינו לטפל בתנאי מסוג e{\beginL 1\endL}
אז נבחר \L{$k$} להיות הראשון שאינו ב\L{$domF_{n}$} ונבחין בין שני
מקרים. \end{lemma}
\begin{enumerate}
\item מקרה א' - אם קיימת \L{$\sigma$} סופית כך ש:

\begin{enumerate}
\item \L{$\sigma$} מתיישבת עם \L{$G_{n}$} ו-
\item \L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} עוצרת
\end{enumerate}

אז נגדיר \L{$G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$} ו- \L{$F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$}
כאשר \L{$r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$}.

\item מקרה ב' - אחרת )כלומר, אין \L{$\sigma$} כנ\char`\"{}ל( נגדיר \L{$F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$}.
אז ראינו ש-\L{$F\not\le_{R}G$}ו-\L{$G\not\le_{R}F$} כאשר \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$}
ו-\L{${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$}. נותר לבדוק
ש-\L{$degG,degF\le0^{\prime}$}. כלומר עלינו להראות שיש אוב נל\char`\"{}ח
שממנו \L{$F,G$} חשיבות. משיקולי סימטריה יספיק לבדוק שזה נכון עבור
\L{$F$}.
\end{enumerate}
נגדיר פונקציה \L{$s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} שהיא הבניה:
כלומר \L{$s(n)$} מחזיר לנו קוד עבור \L{$\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $}.
יספיק לוודא ש-\L{$s$} חשיבה מאיזה אוב נל\char`\"{}ח. נניח שאנחנו
יודעים את \L{$s(n)$} ואנחנו רוצים לחשב את \L{$s(n+1)$}. ב.ה.כ השלב
\L{$e_{n+1}$} הוא מסוג e{\beginL 1\endL} . דבר ראשון \L{$s$} צריכה
להכריע אם אנחנו במקרה א' או מקרה ב'. ז\char`\"{}א עלינו לדעת להכריע
אם קיימת \L{$\sigma$} שמתיישבת עם \L{$G_{n}$} ו-\L{$T_{e+1}^{\sigma}(k)$}
עוצרת )מיהו \L{$k$} ידוע מ\L{$s(n)$}(. דבר ראשון נשים לב שהתנאי
בתוך הסוגריים הוא נל\char`\"{}ח {]}ב\L{$\sigma$}, אבל מכיוון ש\L{$\sigma$}
סופית אז היא ממש נל\char`\"{}ח{[}. אבל לכל יחס נל\char`\"{}ח \L{$A(\bar{x},\bar{y})$}
אז גם \L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} נל\char`\"{}ח. לכן ההכרעה
האם אנחנו במקרה א' או במקרה ב' חשיבה מאוב נל\char`\"{}ח. אם נחנו במקרה
ב' - אין בעיה, הכל חשיב. אם אנחנו במקרה א' - עלינו למצוא את \L{$\sigma$}.
זה שוב דבר שהוא חשיב באופן כללי, כי אם \L{$A(\bar{x},\bar{y})$} נל\char`\"{}ח
ו-\L{$\bar{y}$} כזה ש-\L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} אז יש
פונקציה חשיבה שמחזירה \L{$\bar{x}$} שמעיד על כך. לכן בסה\char`\"{}כ
\L{$s(n+1)$} חשיבה מ\L{$s(n)$} בעזרת האוב הנל\char`\"{}ח \L{$(\exists\sigma)(...)$}.
\begin{corollary}
קיימת \L{$0<a<0^{\prime}$}.

אותה הוכחה בדיוק תראה: לכל דרגה \L{$c$} קיימת דרגה \L{$a$} כך ש\L{$c<a<c^{\prime}$}. 

האם אפשר למצוא \L{$a$} כמו במסקנה שהיא נל\char`\"{}ח? תשובה: כן.
ואפשר אפילו לדרוש ש-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}. \end{corollary}
\begin{theorem}
קיימת דרגת טיורינג נל\char`\"{}ח \L{$a$} כך ש-\L{$a\not=0$} ו-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}.\end{theorem}
\begin{proof}
)רעיון( נבנה קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} באינדוקציה. בכל שלב
\L{$n$} נוסיף לקבוצה שבנינו בשלבים הקודמים מספר של איברים. הבניה
תהיה כזו שלגבי כל איבר שהכנסנו ל-\L{$A$} אנחנו מתחייבים שהוא יישאר
ב-\L{$A$}. אבל באופן כללי בשום שלב סופי לא נתחייב לגבי שום מספר טבעי
שהוא לא ייכנס ל-\L{$A$} מתישהו בעתיד. לפי מה אנחנו מחליטים האם להכניס
איבר ל-\L{$A$} או לא )שזה דבר שלא יקרה(? כדי להבטיח את התנאים נרצה
לוודא שהקבוצה \L{$A$} שאנחנו בונים אינה חשיבה. לכן נרצה להבטיח ש-\L{$\chi_{A}$}
שונה מ\L{$\chi_{E}$} לכל קבוצה חשיבה \L{$E$}. 

הצרה היא שאנחנו לא יכולים להתמקד בפונקציות מציינות של קבוצות חשיבות.
צריך לעבור על כל הפונקציות החשיבות - ובכלל זה אלו שאינן שלמות. מתי
נכניס איבר \L{$k$} ל-\L{$A$}? לכל מ\char`\"{}ט \L{$T_{e}$} נתאים
מספר טבעי \L{$k(e)$} ונריץ את \L{$T_{e}(k(e))$}. אם נקבל {\beginL 0\endL}
עולה החשד ש\L{$T_{e}$} פונקציה מציינת של איזו קבוצה ו-\L{$T_{e}$}
חושבת ש-\L{$k(e)$} לא בקבוצה. ליתר בטחון, נכניס את \L{$k(e)$} ל-\L{$A$}
וזה יבטיח ש\L{$A$} שונה מהקבוצה ש-\L{$T_{e}$} )אולי( מקודדת. הקושי
העיקרי - כיצד נדע אם \L{$T_{e}(k(e))$} אי פעם תעצור?

כדי להבטיח ש-\L{$A$} שנבנה תהיה נל\char`\"{}ח נרצה לוודא שהבניה שאנחנו
מנהלים היא חשיבה. לכן שאלות מהסוג \char`\"{}האם \L{$T_{e}(k(e))$}
עוצרת\char`\"{} אינן באות בחשבון. מה הפתרון? נשים לב שאם \L{$T_{e}(k(e))$}
אינה עוצרת ומחזירה {\beginL 0\endL}, לא יקרה שום דבר רע אם אף פעם
לא נחליט להכניס את \L{$k(e)$} ל-\L{$A$} כי בסוף פשוט \L{$k(e)$}
לא יהיה ב\L{$A$} ואנחנו בסדר. השאלה היא איך לא לתקוע את הבניה אם
\L{$T_{e}(k(e))$} לא עוצרת. כמו תמיד, נדאג לחזור ל\L{$e$} אינסוף
פעמים ובכל פעם לבצע מספר חסום )אבל עולה לאינסוף( של צעדים. אם אי פעם
\L{$T_{e}(k(e))$} תעצור נדע אם עצרה על {\beginL 0\endL} או לא - אם
כן נכניס את \L{$k(e)$} ואם לא - לא נעשה כלום. בדיוק כמו במקרה שבו
\L{$T_{e}(k(e))$} בכלל לא עוצרת.

הדרישה השניה, ש-\L{$(degA)^{\prime}=0^{\prime}$} מצריכה אותנו לטפל
בעוד משפחה של תנאים: \L{$(2_{e,k})$}- צריך להחליט האם \L{$T_{e}^{A}(k)$}
עוצרת או לא. נניח שרוצים לטפל בתנאים אלה. רוצים לדעת האם \L{$T_{e}^{A}(k)$}
עוצרת או לא. אבל איפה \L{$A$} ואיפה אנחנו?? )אליבא ד'חסון(. בשלב
סופי התחייבנו רק לגבי מספר סופי של \L{$A_{i}$} שהם ב\L{$A$}. ננסה
לחשב את \L{$T_{e}^{A}(k)$} - את זה גם כן אי אפשר לחשב. את זה נפתור
כמו קודם. נטפל בתנאי \L{$2_{e,k}$} אינסוף פעמים וכל פעם נריץ את המכונה
עוד קצת. כל זה יעזור בכלל במשהו אם בסוף, לגבי כל \L{$r$} שעליו \L{$T_{e}^{A}(k)$}
שאלה האם \L{$r\in A_{i}$} נקבל בדיוק את אותה התשובה גם ב\L{$A$}
)או לחלופין בכל שלב בעתיד בו נחזור לטפל ב\L{$(2_{e,k})$}.

המכונה שואלת את האוב \L{$A_{i}$} שאלות מהצורה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{}
או \char`\"{}האם \L{$r\not\in A_{i}$}?\char`\"{}. מהבניה - אם \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
שאלה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} וקיבלה תשובה חיובית
אז היא תמיד תקבל תשובה חיובית לכל \L{$A_{j}$} עם \L{$i\le j$}. לכן
התשובות היחידות שיכולות להשתנות הן תשובות ש\L{$A_{i}$} חושב ש\L{$r\not\in A_{i}$}.
ל\L{$r$} יש שימוש שלילי בריצה של \L{$T_{e}^{A_{i}}$} אם \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
פונה לאוב בשאלה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} ומקבלת
תשובה \L{$r\not\in A_{i}$}. לכל חישוב של ריצה עבור \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
{]}במילים אחרות, לכל טיפול בתנאי \L{$2_{e,k}$}{[} נצוות רשימה \L{$N_{e,k}$}
של כל ה\L{$r\in\mathbb{N}$} בהם נעשה שימוש שלילי בזמן הריצה.

כל עוד \L{$N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$} - אנחנו בסדר. מה שנרצה
הוא להשתדל שלא להכניס איברים מ-\L{$N_{e,k}$} ל-\L{$A$}. אבל מה נעשה
אם פתאום תנאי מסוג \L{$1$} מחליט שהוא רוצה להכניס ל-\L{$A$} איבר
ששייך לאיזה \L{$N_{e,k}$}? נחליט על סדר קדימויות. נמספר את כל התנאים
שלנו )כמו בהוכחת המשפט הקודם( ונרשה לתנאי מסוג \L{$1_{e}$} לפצוע
קבוצה מסוג \L{$N_{e,k}$} רק אם המספר הסידורי של \L{$1_{e}$} קטן
מזה של \L{$2_{e,k}$}. 
\end{proof}

\section{תורת רקורסיה - המשך}

)המשך רעיון ההוכחה משיעור שעבר(
\begin{itemize}
\item תהי \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$} רשימה של כל התנאים \L{$1_{e},2_{e,k}$}
כך שכל תנאי מופיע אינסוף פעמים. אין בעיה לייצר רשימה כזו באופן חשיב.
\item נבחר פעם אחת ולתמיד חלוקה של \L{$\mathbb{N}$} לאינסוף קבוצות אינסופיות
זרות. גם את זה אפשר לעשות באופן חשיב. {]}למשל \L{$a\in A_{n}$} אם
\L{$n=Pr^{L}(a)$} - שיטת האלכסון של קושי{[}.
\item ראשית, נתאר בהינתן תנאי מהצורה \L{$1_{e}$} כיצד נבחר \L{$k$} שעבורו
ננסה לחשב את \L{$T_{e}(k)$}. אם \L{$e$} היא המכונה ה-\L{$n$}-ית
באיזה מספור )חשיב( של הפונקציות החשיבות אז נבחר את \L{$k$} מ-\L{$A_{n}$}
. שנית, נדרוש ש-\L{$k$} מספיק גדול כך שאינו מופיע בשום \L{$2_{e,k}$}
- הכרזה שהתקבלה עד כה בבניה.
\item עכשיו נתאר את השלב ה-\L{$n$} בבניה:

\begin{itemize}
\item \uline{מקרה א'} - השלב ה-\L{$n$} הוא מהצורה \L{$1_{ei}$}.

\begin{enumerate}
\item כבר הכנסנו מספר מ-\L{$R_{i}$} ל-\L{$A$} - לא עושים כלום.
\item אם קיים \L{$k\in R_{i}$} כך ש-\L{$k<n$} ו-\L{$T_{ei}(k)=0$}, מתקבל
אחרי פחות מ-\L{$n$} צעדים. בנוסף \L{$k$} לא שייך לשום \L{$2_{e,k}$}
- הכרזה שמספרה הסידורי קטן ממספור הסידורי של \L{$1_{ei}$}. {]}ברקע
יש לנו מספור חשיב של כל הדרישות שלנו, למשל המספור הסידורי של הדרישה
\L{$c_{i}$} - במספור שקבענו בהתחלה - יכול להיות האינדקס הראשון \L{$i_{0}$}
כך שהתנאי ב-\L{$c_{i}$} שווה לתנאי ב-\L{$c_{i_{0}}$}{[}. במקרה הזה
- נכניס את \L{$k$} ל-\L{$A$} וכמובן ש\char`\"{}נפצע\char`\"{} )נסמן(
כל \L{$2_{e,k}$} - הכרזה שהמספר הסידורי שלה גדול מזה של \L{$1_{ei}$}
ו-\L{$k$} שייך להכרזה.
\item אחרת - לא נעשה כלום.
\end{enumerate}
\item \uline{מקרה ב'} - אם \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} )כאשר \L{$A_{n-1}$}
הקבוצה שחיברנו עד כה( עוצרת אחרי \L{$n$} צעדים, אז נגיש \L{$2_{e,k}$}
- הכרזה שמתאימה לחישוב. {]}כלומר מכינים הכרזה ובה כל המספרים \L{$l\in\mathbb{N}$}
כך שבמהלך החישוב \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} פנתה לאוב ושאלה \char`\"{}האם
\L{$l\in A_{n-1}$}\char`\"{} וקיבלה תשובה שלילית{[}.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{claim}
הקבוצה \L{$A$} שנקבל בסוף הבניה עונה על כל התנאים \L{$1_{e},2_{e,k}$}. \end{claim}
\begin{proof}
נניח שיש לנו תנאי \L{$1_{e_{i}}$}. אם בשלב כלשהו הכנסו ל-\L{$A$}
מספר \L{$k$} מ-\L{$R_{i}$} זה אומר שמצאנו ש-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}
והכנסנו את \L{$k$} ל-\L{$A$} ולכן \L{$\chi_{A}(k)=1$} ואנחנו בסדר.

אז נניח שאין \L{$k\in R_{i}$} שהוכנס ל-\L{$A$}. נבחר \L{$k\in R_{i}$}
גדול מספיק כדי ש-\L{$k$} אינו מופיע באף \L{$2_{e,k}$} - הכרזה עם
אינדקס קטן מהאינדקס של \L{$1_{ei}$}. 

מדוע יש \L{$k$} כזה? נשים לב שאם \L{$n$} הוא האינדקס של \L{$2_{e,l}$}
אז כל תנאי עם אינדקס \L{$m<n$} יכול \char`\"{}לפצוע\char`\"{} הכרזה
של \L{$n$} לכל היותר פעם אחת. אם התנאי עם אינדקס \L{$n$} פצע הכרזה
כלשהי ז\char`\"{}א שהתנאי הכניס איבר כלשהו ל-\L{$A$} ולפי ){\beginL 1\endL}(
של מקרה א' לעולם לא נחזור לטפל בתנאי עם אינדקס \L{$n$}. בסה\char`\"{}כ
את ה-\L{$2_{e,l}$} הכרזות ניתן \char`\"{}לפצוע\char`\"{} לכל היותר
\L{$n$} פעמים. לכן יש לכל היותר \L{$n+1$} הכרזות \L{$2_{e,l}$}.
בסה\char`\"{}כ לכל תנאי שהוא יש לכל היותר מספר סופי של הכרזות של תנאים
עם אינדקס קטן יותר. לכן יש \L{$k$} כמו שאנחנו רוצים ועבור \L{$k$}
כזה לא ייתכן ש-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}. מדוע? אילו זה היה מתקיים לפי
מקרה )א'{\beginL 2\endL}( היינו מכניסים את \L{$k$} ל-\L{$A$} בסתירה
להנחה. לכן על התנאים \L{$1_{e}$} מתקיימים.

מה בקשר לתנאים \L{$2_{e,k}$} ? נאמר ש-\L{$2_{e,k}$} הכרזה היא קבועה
אם היא זרה ל-\L{$A$}. נראה ש-\L{$T_{e}^{A}(k)$} עוצרת אם ורק אם
קיימת \L{$2_{e,k}$} הכרזה קבועה. 

אם קיימת \L{$2_{e,k}$} הכרזה קבועה ז\char`\"{}א שקיים איזה שלב \L{$n$}
בבניה שבו \L{$T_{e}^{A_{n-1}}$} עצרה )אחרי \L{$n$} צעדים( ויצרה
את ההכרזה. כיוון שההכרזה קבועה, לכל \L{$r\in\mathbb{N}$} כך ש-\L{$T_{e}^{A_{n-1}}$}
פנתה לאוב בשאלה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{n-1}$}?\char`\"{} האוב
\L{$A$} יחזיר את אותה התשובה. לכן לפי עקרון השימוש \L{$T_{e}^{A}(k)$}
עוצרת. 

בכיוון השני אם \L{$T_{e}^{A}(k)$} עוצרת )נאמר אחרי \L{$n$} צעדים(
אז לכל \L{$c_{i}$} כך שהתנאי ב-\L{$c_{i}$} הוא \L{$2_{e,k}$} ו-\L{$i>n$},
הבניה במקרה ב' תייצר \L{$2_{e,k}$} - הכרזה. )ובתנאי שבשלב ה-\L{$i$}
כבר נכנסו ל-\L{$A$} כל האיברים שבהם נעשה שימוש חיובי בחישוב של \L{$T_{e}^{A}(k)$}.

אבל מהדיון הקודם, כל תנאי יכול לייצר לכל היותר מספר סופי של הכרזות.
אז האחרונה מביניהן שהכרח לא תשתנה, ז\char`\"{}א תהיה קבועה.

עד עתה: בנינו את \L{$A$}, הראנו ש-\L{$A$} מקיימת את התנאים \L{$1_{e}$}
ואת \L{$2_{e,k}$} )לפי א' הנ\char`\"{}ל( וברור שהבניה חשיבה. כיוון
ש-\L{$A$} מקיימת את \L{$1_{e}$} לכל \L{$e$}, ברור ש-\L{$A$} אינה
חשיבה. כיוון שהבניה חשיבה, אם נגדיר \L{$s(n)$} להיות הקבוצה \L{$A_{n}$}
שהתקבלה בשלב ה-\L{$n$} של הבנייה נקבל ש-\L{$A$} נל\char`\"{}ח, כי
\L{$s(n)$} חשיבה.

נותר לוודא ש-\L{$deg(A^{*})\le0$}. ראינו בתרגיל {\beginL 11\endL}
טענה שאומרת שאם \L{$A^{*}=dim(B_{i})$} עבור \L{$i\in\mathbb{N}$}
כך ש-\L{$B_{i}$} חשיבה מ{\beginL -\endL}\L{$A$} אז \L{$deg(A^{*})\le0^{\prime}$}.
נגדיר \L{$\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$}אם ורק אם בשלב
ה-\L{$i$} של הבנייה יש \L{$2_{e,k}$} - הכרזה שאיננה פצועה. כיוון
שהבניה חשיבה \L{$B_{i}$} יחס חשיב. לפי )א( הנ\char`\"{}ל \L{$T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$}
עוצרת אם ורק אם \L{$dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$}.\end{proof}
\begin{theorem}
לכל דרגה \L{$0^{\prime}\le a$} קיימת דרגה \L{$b$} כך ש-\L{$b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$}.
\end{theorem}
\uline{רעיון ההוכחה}: נבחר \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
כך ש-\L{$deg(g)=a$}, אפשר לבחור \L{$g$} כזו שלמה. נרצה לבנות \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
כך ש-\L{$f^{*}$} חשיבה מ-\L{$0^{\prime}\cup deg(f)$} ו-\L{$g$}
חשיבה מ-\L{$f^{*}$}.

נרצה להגשים שני סוגים תנאים:
\begin{itemize}
\item \L{$1_{e,k}$} - להחליט האם \L{$T_{e}^{f}(k)$} עוצרת
\item \L{$2_{n}$} - לוודא ש-\L{$f(m)=g(n)$} לאיזה \L{$m\in\mathbb{N}$}.
\end{itemize}
כרגיל נמספר את התנאים \L{$\{c_{i}\}$}, ובשלב ה-\L{$i$} אם אנו בתנאי
\L{$1_{e,k}$} ויש \L{$\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} סופית
שמתיישבת עם \L{$f_{i-1}$} כך ש-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} עוצרת, נגדיר
\L{$f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$} ואחרת נגדיר \L{$f_{i}=f_{i-1}$}. ואם
בשלב ה-\L{$i$} אנו בתנאי \L{$2_{n}$} אז נבחר \L{$m$} מזערי כך שאינו
בתחום של \L{$f_{i-1}$} ונגדיר \L{$f_{i}(m)=g(n)$}. לסיכום: יוצא
שהבניה חשיבה מ-\L{$0^{\prime}\cup a=a$} וחשיבה גם מ-\L{$0^{\prime}\cup b$}.

~
\begin{proof}
תהי \L{$g$} כנ\char`\"{}ל ונמצא פונקציה \L{$f$} כך ש-\L{$deg(f)$}
תענה על הדרישות.

\L{$b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$} ולכן יספיק למצוא \L{$b$} כך
ש-\L{$b^{\prime}\le a\le b$}. מזה נבטיח שיש שיוויונות לכל אורך הדרך.
אז צריך למצוא \L{$b$} כך ש-\L{$b^{\prime}$} חשיבה מ-\L{$b$} ומ-\L{$0^{\prime}$}. 

כרגיל נמספר את התנאים )כולם ביחד( במספור חשיב \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$}
ונניח שלכל \L{$i\le n$} בנינו פונקציה \L{$f_{i}$} )עם תחום סופי(
כך ש-\L{$f_{i}\subseteq f_{j}$} אם \L{$i\le j$}.

\uline{בניית \L{$f_{n+1}$}:}
\begin{itemize}
\item אם \L{$e_{n+1}$} הוא תנאי מסוג \L{$1_{e,k}$}: נבדוק האם יש \L{$\sigma$}
סופית שמתיישבת עם \L{$f_{n}$} כך ש-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} עוצרת.
אם כן, נגדיר \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$} אחרת נגדיר \L{$f_{n+1}=f_{n}$}.
\item אם \L{$e_{n+1}$} הוא תנאי מסוג \L{$2_{k}$} אז נמצא \L{$m$} מזערי
שאיננו בתחום של \L{$f_{n}$} ונגדיר \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $}.
נגדיר \L{$f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$} ואז \L{$f$}
פונקציה שלמה.
\end{itemize}

כדי לממש את הבניה:
\begin{itemize}
\item אם אנחנו בתנאי \L{$1_{e,k}$} צריך לדעת האם קיים \L{$\sigma$} כזה.
כדי לענות על השאלה הזו אנו יכולים מ-\L{$0^{\prime}$}.
\item אם אנחנו בתנאי מסוג \L{$2_{k}$}, אין בעיה למצוא את \L{$m$}. כל מה
שצריך זה לחשב את \L{$g(k)$} ואת זה אפשר לעשות מ-\L{$g$}.
\end{itemize}

נשאר להראות כי את \L{$b^{\prime}$} ניתן לחשב מ-\L{$b$} ומ-\L{$0^{\prime}$}
אבל \L{$b^{\prime}=deg(f^{*})$} ו-\L{$f^{*}$} זהו האוב שעונה לכל
שאלה מהצורה \char`\"{}האם \L{$T_{e}^{f}(k)$} עוצרת?\char`\"{}. ראשית
אם אנו יודעים את הבניה של \L{$t$} אז אנו יודעים לענות על כל השאלות
מהצורה הנ\char`\"{}ל. אבל הבניה חשיבה גם מ-\L{$0^{\prime}$} וגם מ-\L{$b^{\prime}$}
)ביחד( ולכן \L{$b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$} כנדרש.

\end{proof}
\begin{corollary}
הפונקציה \L{$a\rightarrow a^{\prime}$} איננה חח\char`\"{}ע.\end{corollary}

\end{document}