diff options
Diffstat (limited to 'notes.tex')
| -rw-r--r-- | notes.tex | 3143 |
1 files changed, 3143 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes.tex b/notes.tex new file mode 100644 index 0000000..695f74c --- /dev/null +++ b/notes.tex @@ -0,0 +1,3143 @@ +%% LyX 2.1.1 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/. +%% Do not edit unless you really know what you are doing. +\documentclass[english,hebrew]{article} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[latin9,cp1255]{inputenc} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem} +\usepackage{ulem} + +\makeatletter + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands. +%% Because html converters don't know tabularnewline +\providecommand{\tabularnewline}{\\} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands. +\usepackage{theorem} +\theorembodyfont{\upshape} +\newtheorem{theorem}{\R{משפט}}[section] +\AtBeginDocument{\make@lr\thetheorem} + +% The following chunk fixes export with XeTeX. +% It is needed because polyglossia is used by default +% and \make@lr is only defined by babel. +\@ifundefined{make@lr} +{\def\make@lr#1{\begingroup + \toks@=\expandafter{#1}% + \edef\x{\endgroup + \def\noexpand#1{\noexpand\@number{\the\toks@}}}% + \x}}{\relax} +\newtheorem{claim}[theorem]{\R{טענה}} +\newenvironment{proof}% +{\R{\textbf{הוכחה:}}}% +{\hfill\rule{2mm}{2mm}\par\vspace{2mm}} +\newtheorem{definition}[theorem]{\R{הגדרה}} +\newtheorem{lemma}[theorem]{\R{למה}} +\newtheorem{corollary}[theorem]{\R{מסקנה}} +\newtheorem{remark}[theorem]{\R{הערה}} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands. +\date{} + +\makeatother + +\usepackage{babel} +\begin{document} + +\title{אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות\\ +ד\char`\"{}ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב} + + +\author{יובל אדם} + +\maketitle +\selectlanguage{english}% +\inputencoding{latin9}\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}% +\selectlanguage{english}% +\begin{quote} +Young man, in mathematics you don't understand things.\\ +You just get used to them. +\begin{quote} +- John von Neumann\end{quote} +\end{quote} +% +\end{minipage} + +\selectlanguage{hebrew}% +\inputencoding{cp1255}\tableofcontents{} + + +\section{פרולוג} +\begin{itemize} +\item מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות. )נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין +מה זה אומר על פרק זה...( +\item נא להתחשב בסביבה. נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח +העמודים הנדרש. +\item תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים. +\item הערות/טענות/בקשות - כתובת המייל שלי היא \L{$yuv.adm$} ולאחר מכן \L{$gmail.com$} +\item שאו ברכה, עלו והצליחו. +\end{itemize} + +\section{הגדרות} +\begin{itemize} +\item יהי \L{$\mathcal{M}$} מבנה לשפה מסדר ראשון \L{$L$}, \L{$s$} השמה +ל\L{$\mathcal{M}$} ו-\L{$t$} שם עצם. אז הערך של \L{$t$} ב-\L{$\mathcal{M}$} +עבור ההשמה \L{$s$} הוא: +\item אם \L{$t$} קבוע אישי \L{$c$} אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$} +\item אם \L{$t$} משתנה אישי \L{$x$} אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$} +\item אם \L{$t=f(t_{1},...,t_{n})$} אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$} +\item \noindent יהיו \L{$\mathcal{M}$}, \L{$L$} , ו-\L{$s$} כנ\char`\"{}ל +ותהי \L{$\varphi$} נוסחה ב-\L{$L$} אז ערך האמת של )\inputencoding{latin9}\L{TRUE}\inputencoding{cp1255} +או \inputencoding{latin9}\L{FALSE}\inputencoding{cp1255}( של \L{$\varphi$} +ב\L{$\mathcal{M}$} עבור ההשמה \L{$s$} מוגדר באינדוקציה באופן הבא: + +\begin{itemize} +\item \noindent אם \L{$\varphi$} נוסחה אטומית, כלומר \L{$\varphi$} מהצורה +\L{$R(t_{1},...,t_{n})$} עבור הסימן יחס n-מקומי \L{$R$} ושמות עצם +\L{$t_{1},...,t_{n}$} אזי \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}} +\end{eqnarray*} +}. +\item \noindent אם \L{$\varphi=\neg\psi$} עבור נוסחה \L{$\psi$} אז \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE +\end{eqnarray*} +} +\item \noindent באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים +\item \noindent אם \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} )כלומר הנוסחה היא מסוג +\char`\"{}קיים איקס\char`\"{} וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר( אז \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE +\end{eqnarray*} +} כאשר \L{$s\left[{x\atop a}\right]$} הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה +אישי \L{$y$} שאינו \L{$x$} את הערך \L{$s(y)$} ולמשתנה האישי \L{$x$} +את הערך \L{$a$} )כלומר רק מחליפה את \L{$x$}(. הגדרה שקולה: \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} +\end{eqnarray*} +} כאשר נגדיר שרירותית \L{$F<T$}. +\item \noindent אם \L{$\varphi=(\forall x)\psi$} אז \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE +\end{eqnarray*} +}הגדרה שקולה: \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} +\end{eqnarray*} +}. +\end{itemize} +\end{itemize} +הערות: +\begin{enumerate} +\item בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס \L{$\approx$} +אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון +\item כמוסכמה: אם אומרים ש\L{$L$} שפה לתחשיב הפסוקים בד\char`\"{}כ לא נציין +במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח שהוא שם +\item בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון. יש משפטים +שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה. בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם +שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה.\end{enumerate} +\begin{itemize} +\item תהי \L{$L$} שפה לתחשיב הפסוקים ותהי \L{$\Gamma$} קבוצת נוסחאות ב\L{$L$} +)לאו דווקא סופית(. נאמר ש\L{$\Gamma$} ספיקה \inputencoding{latin9}\L{(satisfiable)}\inputencoding{cp1255} +אם קיים מבנה \L{$\mathcal{M}$} לשפה \L{$L$} וקיימת השמה \L{$s$} +ל\L{$\mathcal{M}$} כך ש\L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} לכל +\L{$\varphi\in\Gamma$}. נסמן \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$} +)לפעמים נשמיט את ההשמה \L{$s$} מן הסימונים(. דוגמאות: + +\begin{itemize} +\item \L{$L=\{R\}$} ו-\L{$\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $} +זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף \L{$G$} )לא מכוון( נגדיר מבנה \L{$M_{G}$} +ל\L{$L$} באופן הבא: העולם של \L{$M_{G}$} יהיה \L{$V(G)$} )קבוצת +הקודקודים של \L{$G$}( והיחס \L{$R^{M_{G}}$} יהיה \L{$E(G)$} )קבוצת +הקשתות(. +\item \L{$L=\{\approx\}$} ו-\L{$T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $} +אז \L{$T_{3}$} ספיקה כי כל קבוצה בת פחות מ-{\beginL 4\endL} איברים +מספקת אותה. +\item \L{$L=\{<\}$} ו- \L{ +\begin{eqnarray*} +DLO & = & \left\{ \begin{array}{c} +\forall x\neg(x,x),\\ +\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\ +\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\ +\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\ +\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y) +\end{array}\right\} +\end{eqnarray*} +} אשר הינו \inputencoding{latin9}\L{dense linear order}\inputencoding{cp1255} +אז מתקיים \L{$(\mathbb{Q},\le)\models DLO$}. +\end{itemize} +\item אם \L{$L$} ו-\L{$\Gamma$} כנ\char`\"{}ל ו- \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$} +אז נאמר ש\L{$\mathcal{M}$} מודל של \L{$\Gamma$}. +\item תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים. +\item פסוק בשפה \L{$L$} זו נוסחה ללא משתנים חופשיים +\item המשתנים החופשיים בשם עצם \L{$t$}, נסמנם \L{$Free(t)$}, הם אוסף כל +המשתנים המופיעים ב-\L{$t$}. + +\begin{itemize} +\item אם \L{$\varphi$} נוסחה אטומית \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} אז \L{$Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$}. +\item אם \L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$} )קשר לוגי דו מקומי +כלשהו( אז \L{$Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$} +\item אם \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} או \L{$\varphi=(\forall x)\psi$} +אז \L{$Free(\varphi)=Free(\psi)$} אם \L{$x\notin Free(\psi)$} ו- +\L{$Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$} אחרת. +\end{itemize} +\end{itemize} + +\section{תחשיב היחסים} +\begin{itemize} +\item לפסוק )שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה( יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה, +ללא כל תלות בהשמה +\item נוסחה \L{$\varphi$} תקרא \uline{אמיתית לוגית }אם לכל מבנה \L{$\mathcal{M}$} +)לשפה של \L{$\varphi$}( ולכל השמה \L{$s$} עבור \L{$\mathcal{M}$} +מתקיים \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$}. + +\begin{itemize} +\item דוגמה: אם \L{$P$} סימן יחס חד-מקומי אז \L{$P(x)\vee\neg P(x)$} אמיתי +לוגית. מדוע? יהי \L{$\mathcal{M}$}מבנה עבור \L{$\{P\}$} ו\L{$s$} +השמה עבור \L{$\mathcal{M}$}. \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\ + & & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\ + & & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\ + & & =TRUE +\end{eqnarray*} +} . +\item דוגמה: נניח ש\L{$\varphi(x)$} נוסחה עם משתנה חופשי \L{$x$} ו-\L{$c$} +קבוע אישי שאינו מופיע ב\L{$\varphi(x)$}. אז \L{$\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$} +אמיתי לוגית )אם \L{$\varphi(c)$} אמיתי לוגית - ייתכן שזה לא נדרש(. +\item דוגמה: \L{$\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$} - אז לפי הגדרת האמת ולפי +הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית. מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה +על היצירה של \L{$\psi$} )הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים( מראים: + +\begin{itemize} +\item אם \L{$\psi=\neg\psi^{\prime}$} אז \L{$\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$} +\item אם \L{$\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} עבור קשר לוגי דו מקומי אז \L{ +\begin{eqnarray*} +\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) +\end{eqnarray*} +} +\item אבל \L{$(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$} לפי משפט הקריאה היחידה אינו +מהצורה א' או ב' לכן אם הוא מתקבל ע\char`\"{}י החלפה כנ\char`\"{}ל +מפסוק \L{$\psi$} של תחשיב הפסוקים, \L{$\psi$} הוא בהכרח פסוק יסודי. +אבל פסוק יסודי )משתנה פסוקי( אינו טאוטולוגיה. +\end{itemize} +\end{itemize} +\item טאוטולוגיה )הגדרה שקולה לשאלה {\beginL 5\endL}(: נוסחה \L{$\varphi$}היא +טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה \L{$\psi(P_{1},...,P_{k})$} +של תחשיב הפסוקים )הסימון הזה אומר ש\L{$P_{1},...,P_{k}$} הם כל המשתנים +הפסוקיים המופיעים ב\L{$\psi$}( )למשל: \L{$\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$}( +ונוסחאות \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} )של תחשיב היחסים( כך ש- +\L{$\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$} ו-\L{$\varphi$} +מתקבלת ע\char`\"{}י החלפת כל מופע של \L{$P_{i}$} ב-\L{$\varphi_{i}$}. +\item משפט הקריאה היחידה: תהי \L{$\varphi$} נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק +אחד מן הבאים מתקיים: + +\begin{itemize} +\item \L{$\varphi$} נוסחה אטומית +\item קיימות נוסחאות \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}$} יחידות וקשר לוגי דו +מקומי יחיד \L{$\square$} כך ש-\L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$} +\item קיימת נוסחה יחידה \L{$\varphi_{1}$} כך ש-\L{$\varphi=\neg\varphi_{1}$} +\item קיימת נוסחה יחידה \L{$\varphi_{1}$} כך ש-\L{$\varphi=\exists x\varphi_{1}$} +\item קיימת נוסחה יחידה \L{$\varphi_{1}$} כך ש-\L{$\varphi=\forall x\varphi_{1}$} +\end{itemize} +\item תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב )בשפת התכנות החביבה +עליכם( שבהינתן נוסחה \L{$\varphi$} בתחשיב הפסוקים בודקת האם \L{$\varphi$} +טאוטולוגיה של תחשיב היחסים. +\item )רמז( בהינתן נוסחה \L{$\varphi$} של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע +האם \L{$\varphi$} טאוטולוגיה. +\end{itemize} +דברים שצריך בשביל העבודה: +\begin{itemize} +\item )שאלה {\beginL 4\endL}( תהיינה \L{$\Gamma,\Delta$} קבוצות פסוקים. +נסמן \L{$\Gamma\models\Delta$} )גורר( אם לכל מבנה \L{$\mathcal{M}$} +ולכל השמה \L{$s$} מתקיים: אם \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$} +אז \L{$(\mathcal{M},s)\models\Delta$}. + +\begin{itemize} +\item דוגמה: אם ב\L{$\Delta$} יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות +אז \L{$\Gamma\models\Delta$} לכל \L{$\Gamma$}. +\item ל\L{$\Delta$} כנ\char`\"{}ל אם \L{$\Delta\models\Gamma$} אז ב\L{$\Gamma$} +יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות. +\item אם \L{$\Gamma$} אינה ספיקה אז \L{$\Gamma\models\Delta$} לכל \L{$\Delta$} +)באופן ריק(. +\item אם \L{$\varphi\models\psi$} אז \L{$\models\varphi\rightarrow\psi$} +כלומר \L{$\varphi\models\psi$} אמיתי לוגית. הכיוון השני גם נכון. +\end{itemize} +\item )שאלה {\beginL 1\endL}( אפשר לחשוב על \L{$G$} כעל מבנה לשפה \L{$\{R\}$} +עבור יחס דו מקומי \L{$R$}. אם \L{$G$} גרף סופי קיים פסוק \L{$\varphi_{G}$} +בשפה הנ\char`\"{}ל כך שלכל מבנה \L{$\mathcal{M}$} בשפה , אם \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{G}$} +אז \L{$\mathcal{M}\cong G$} . +\item תזכורת: יהיו \L{$\mathcal{M},\mathcal{N}$} מבנים לשפה \L{$\mathcal{L}$} +של תחשיב היחסים. נאמר ש\L{$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$} )איזומורפיים( +אם קיימת פונקציה חח\char`\"{}ע ועל \L{$f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$} +כך ש: + +\begin{itemize} +\item \L{$f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$} לכל קבוע אישי \L{$c$} +\item לכל סימן יחס n-מקומי \L{$R$} ולכל \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$} +מתקיים \L{ +\begin{eqnarray*} +\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}} +\end{eqnarray*} +} +\item לכל סימן פונקציה n-מקומי \L{$G$} ולכל \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$} +מתקיים \L{ +\begin{eqnarray*} +f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n})) +\end{eqnarray*} +} +\end{itemize} +\end{itemize} +הכנה לשיעור הבא: +\begin{itemize} +\item אם \L{$\Gamma$} קבוצת נוסחאות ספיקה ו\L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} +אז \L{$\Gamma_{0}$} ספיקה +\item אם \L{$\Gamma$} ספיקה ו-\L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} אז +גם \L{$\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$} ספיקה +\item אם ב\L{$\Gamma$} יש פסוק \L{$\varphi$} שאינו ספיק אז בוודאי \L{$\Gamma$} +אינה ספיקה +\item משפט הקומפקטיות: תהי \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים סגורה תחת \L{$\wedge$} +)כלומר אם \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} אז גם \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}( +אז \L{$\Gamma$} ספיקה אם ורק אם כל \L{$\varphi\in\Gamma$} ספיקה. +\end{itemize} + +\section{קומפקטיות ומסננים} +\begin{theorem} +\textbf{\uline{משפט הקומפקטיות}}: תהי \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים +סגורה תחת \L{$\wedge$} )כלומר אם \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$}אז +גם \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}( אזי \L{$\Gamma$} +ספיקה אם ורק אם כל \L{$\varphi\in\Gamma$} ספיק.\end{theorem} +\begin{claim} +תהי \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים \L{$\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$} +כך ש- +\begin{enumerate} +\item \L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת \L{$\wedge$} +\item \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} כלומר כל מודל של \L{$\Gamma$} +הוא מודל של \L{$\Gamma^{\prime}$} ולהיפך +\end{enumerate} +\end{claim} +\begin{proof} +תהי \L{$\Gamma^{\prime}$} קבוצת הפסוקים המתקבלת מ\L{$\Gamma$} באופן +הבא: לכל \L{$1\le k\in\mathbb{N}$} ולכל \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$} +, ב\L{$\Gamma^{\prime}$} יהיה הפסוק \L{${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}. +נשים לב ש\L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת \L{$\wedge$}. מדוע? יהיו +\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$} לפי ההגדרה של \L{$\Gamma^{\prime}$} +יש מספרים טבעיים \L{$1\le k_{1},k_{2}$} ופסוקים \L{$\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$} +ו- \L{$\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$} כך ש- \L{ +\begin{eqnarray*} +{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}} +\end{eqnarray*} +} ו- \L{ +\begin{eqnarray*} +{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}} +\end{eqnarray*} +}אז \L{${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$} +כאשר \L{ +\begin{eqnarray*} +\Theta_{i} & = & \begin{cases} +\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\ +\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1} +\end{cases} +\end{eqnarray*} +}מכיוון ש-\L{$\Theta_{i}\in\Gamma$} לכל \L{$i$} גמרנו. \L{$\Gamma^{\prime}$} +היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש\L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$}. +מספיק להראות שאם \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}. +יהי \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ונניח כמו קודם \L{$\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$} +עבור \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$} כלשהו. + +אזי:\L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE +\end{eqnarray*} +} מתקיים אמ\char`\"{}ם לכל \L{$1\le i\le k$} \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$}. +כיוון ש\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$} +לכל \L{$i$} ולכן \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof} +\begin{definition} +קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית +שלה היא ספיקה.\end{definition} +\begin{theorem} +)משפט הקומפקטיות - נוסח שקול( קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} היא ספיקה +מקומית אם ורק אם היא ספיקה.\end{theorem} +\begin{proof} +נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה. תהי \L{$\Gamma$} קבוצת +פסוקים ספיקה מקומית. תהי \L{$\Gamma^{\prime}$} כמובטח בטענה, כלומר +\L{$\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$} ו\L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת +\L{$\wedge$}. מספיק להראות לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב\L{$\Gamma^{\prime}$} +הוא ספיק. יהי \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} אז \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$} +לאיזה \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$} . לפי ההנחה \L{$\Gamma$} +ספיקה מקומית. לכן \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} קבוצת פסוקים +ספיקה. לכן יש מודל \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$} לכל \L{$1\le i\le k$} +לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. לכן \L{$\Gamma^{\prime}$} +סגורה תחת חיתוך וכל \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ספיק. לפי משפט הקומפקטיות +עבור \L{$\Gamma^{\prime}$} יש \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$} +אבל \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} לכן \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}. + +נוכיח את הכיוון השני )שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות(. נניח \L{$\Gamma$} +מקיימת את ההנחות כלומר \L{$\Gamma^{\prime}$} סגורה תחת \L{$\wedge$} +וכל פסוק בה ספיק. יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול ש\L{$\Gamma$} ספיקה +מקומית. נוכיח באינדוקציה על \L{$k$} שכל קבוצת פסוקים מגודל \L{$k$} +ב-\L{$\Gamma$} היא ספיקה. עבור \L{$k=1$} - נתון. נניח ש\L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$} +והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל \L{$k-1$} שהיא ספיקה. כיוון ש\L{$\Gamma$} +סגורה תחת חיתוך \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$} . \L{$\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$} +היא קבוצה בגודל \L{$k-1$} ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה. אם +\L{$\mathcal{M}\models\Delta$} אז \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$} +לכל \L{$i\ge3$} וכן \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$} +. אבל \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$} +ולכן \L{$\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} כנדרש. +כלומר \L{$\Gamma$} ספיקה מקומית וע\char`\"{}ס הנוסח השקול - ספיקה.\end{proof} +\begin{definition} +תהי \L{$I$} קבוצה )בד\char`\"{}כ אינסופית אבל לא בהכרח(. מסנן )\inputencoding{latin9}\L{filter}\inputencoding{cp1255}( +על \L{$I$} זו קבוצה \L{$F\subseteq\mathbb{P}(I)$} )כלומר אוסף של +תת קבוצות של \L{$I$}( כך שמתקיים: +\begin{enumerate} +\item \L{$\emptyset\not\in F$} +\item אם \L{$J\in F$} ו-\L{$J\subseteq J^{\prime}$} אז \L{$J^{\prime}\in F$} +\item אם \L{$J,J^{\prime}\in F$} אז \L{$J\cap J^{\prime}\in F$} +\end{enumerate} + +אם בנוסף לכל \L{$J\subseteq I$} אם \L{$J\not\in F$} אז \L{$I\backslash J\in F$} +- אז \L{$F$} נקרא על מסנן. + +\end{definition} +דוגמאות: +\begin{itemize} +\item תהי \L{$I$} קבוצה כלשהי. לכל \L{$a\in I$} נגדיר על מסנן \L{$F_{a}$} +באופן הבא: \L{$J\subseteq I,J\in F$} אמ\char`\"{}ם \L{$a\in J$} +.)הערה: על מסנן \L{$F$} על \L{$I$} נקרא ראשי אם קיים \L{$I$} כך +ש-\L{$F=F_{a}$}(. +\item אם \L{$I$} סופית אז כל על מסנן על \L{$I$} הוא ראשי. יהי \L{$F$} +על מסנן על \L{$I$}. כיוון ש-\L{$I$} סופית גם \L{$F$} סופית ולכן +באינדוקציה לפי {\beginL 3\endL}: \L{$J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$} +ו-\L{$J_{F}\in F$}. אם \L{$J_{F}$} יחידון - גמרנו. נניח בשלילה שזה +לא המקרה. אחרת יש {\beginL 2\endL} איברים שונים ב\L{$J_{F}$} )לפחות(. +ניקח \L{$J\subseteq I$} שמכילה את הראשון אבל לא את השני. לא \L{$J$} +ולא המשלים של \L{$J$} יכולים להיות ב\L{$F$} כי כל קבוצה ב\L{$F$} +מכילה את \L{$J_{F}$}. +\item תהי \L{$I$} קבוצה אינסופית. נגדיר \L{$F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$}. +תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן. \end{itemize} +\begin{claim} +תהי \L{$I$} קבוצה לא ריקה. \L{$F$} מסנן על \L{$I$} אזי קיים על +מסנן \L{$F\subseteq F^{\prime}$}. במילים אחרות כל מסנן על \L{$I$} +ניתן להרחבה לעל מסנן. )הוכחה בשיעור הבא(. +\end{claim} + +\section{מסננים והלמה של צורן} +\begin{definition} +תהי \L{$I$} קבוצה )לא ריקה( אז \textbf{מסנן} \L{$F$} על \L{$I$} +זה אוסף של תת קבוצות של \L{$I$} כך ש: +\begin{enumerate} +\item \L{$\emptyset\not\in F$} +\item אם \L{$U_{1},U_{2}\in F$} אז \L{$U_{1}\wedge U_{2}\in F$} +\item אם \L{$U\in F$} ו- \L{$U\subseteq V$} אז \L{$V\in F$} +\end{enumerate} + +\L{$F$} הוא על-מסנן אם לכל \L{$V\subseteq I$} אם \L{$V\not\in F$} +אז \L{$I\backslash V\in F$} . + +\end{definition} +\begin{lemma} +\uline{הלמה של צורן} - תהי \L{$(I,\le)$} קבוצה סדורה חלקית. \L{$V\subseteq I$} +תקרא שרשרת אם לכל \L{$v_{1},v_{2}\in V$} או \L{$v_{1}\le v_{2}$} +או \L{$v_{2}\le v_{1}$}. אז נניח שלכל שרשרת \L{$V\subseteq I$} יש +חסם מלעיל, כלומר קיים \L{$w\in I$} כך ש-\L{$w\ge V$} )כלומר \L{$w\ge v$} +לכל \L{$v\in V$}(. אזי ב\L{$(I,\le)$} יש איבר מירבי, כלומר קיים +\L{$u\in I$} כך שלכל \L{$u\not=v\in I$} מתקיים \L{$u\not\le v$}.\end{lemma} +\begin{claim} +תהי \L{$I$} קבוצה לא ריקה ו- \L{$F$} מסנן על \L{$I$}. אזי קיים +על-מסנן \L{$F\subseteq U$}. במילים אחרות, כל מסנן \L{$F$} על \L{$I$} +ניתן להרחבה לעל-מסנן. +\begin{proof} +תהי \L{$\mathcal{H}$} קבוצת כל המסננים על \L{$I$}. לאינטואיציה: +\L{$F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$} אז \L{$\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$} +או \L{$\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$}. על +\L{$\mathcal{H}$} אפשר להגדיר סדר חלקי ע\char`\"{}י הכלה. כלומר, +ל-\L{$F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$} נאמר ש\L{$F_{1}\le F_{2}$} אם +לכל \L{$V\in F_{1}$} מתקיים גם \L{$V\in F_{2}$}. אפשר לכתוב גם \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$}. +נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם \L{$V\subseteq\mathcal{H}$} +שרשרת אז ל\L{$V$} יש חסם מלעיל ב\L{$\mathcal{H}$}. נגדיר \L{$F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$}. +נראה ש\L{$F_{V}$} הוא מסנן. +\begin{enumerate} +\item ברור כי \L{$\emptyset\not\in F_{V}$} +\item נניח ש \L{$U_{1},U_{2}\in F_{V}$}. קיימים \L{$F_{1},F_{2}\in V$} +כך ש \L{$U_{1}\in F_{1}$} וגם \L{$U_{2}\in F_{2}$}. כיוון ש-\L{$V$} +שרשרת, ב.ה.כ \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$} . לכן \L{$U_{1}\in F_{2}$} +לכן גם \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$} ולכן \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$}. +\item אם \L{$U\in F_{V}$} ו- \L{$U\subseteq W$} אז לפי הגדרה קיים איזה +\L{$F\in V$} כך ש- \L{$U\in F$}. לכן גם \L{$W\in F$} ולכן \L{$W\in F_{V}$}. +\end{enumerate} + +הראנו שלכל שרשרת ב\L{$\mathcal{H}$} יש חסם מלעיל, כי ברור \L{$F_{V}\in\mathcal{H}$} +ו- \L{$F\subseteq F_{V}$} לכל \L{$F\in V$} כלומר \L{$F_{V}$} חסם +מלעיל ל-\L{$V$}. לפי הלמה של צורן, ב-\L{$\mathcal{H}$} יש איבר מירבי, +נסמנו \L{$\mathcal{U}$}. נראה ש\L{$\mathcal{U}$} על מסנן. נניח בשלילה +שהוא לא. כיוון ש-\L{$\mathcal{U}\in\mathcal{H}$} הוא מסנן ולכן הנחת +השלילה מבטיחה שיש קבוצה \L{$U\subseteq I$} כך ש- \L{$U\not\in\mathcal{U}$} +ו- \L{$I\backslash U\not\in\mathcal{U}$}. נשים לב כי במקרה זה \L{$\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$} +הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של \L{$\mathcal{U}$} כי \L{$\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$}. +מדוע \L{$\mathcal{U}_{U}$} הוא מסנן? +\begin{enumerate} +\item נוכיח ש\L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}. אם \L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$} +הרי שהיא מהצורה \L{$U\cap V$} לאיזה \L{$V\in\mathcal{U}$}. אבל אז +\L{$V\subseteq I\backslash U$} ואז \L{$I\backslash U\in\mathcal{U}$} +בסתירה. +\item \L{$\mathcal{U}_{U}$} סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה. +\item נראה כי אם \L{$U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$} אז גם \L{$U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$}. +ב.ה.כ \L{$U_{1}\not\in\mathcal{U}$}. לכן \L{$U\cap V\subseteq U$} +לאיזה \L{$V\in\mathcal{U}$}. לכן \L{$U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$} +עבור \L{$V$} הזו. אם \L{$U_{2}\in\mathcal{U}$} אז \L{$V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$} +ולכן \L{$U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$} וכך גם \L{$U_{1}\cap U_{2}$}. +אחרת \L{$U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$} לאיזה \L{$V_{2}\in\mathcal{U}$} +. ואז \L{$U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$} וגם \L{$U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$}. +קיבלנו \L{$\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$} ו-\L{$\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$} +סתירה. לכן \L{$\mathcal{U}$} על מסנן. +\end{enumerate} + +)הרחבה( אם \L{$F$} מסנן על \L{$I$} נגדיר \L{$\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$} +אוסף המסננים המכילים את \L{$F$}. באופן טריויאלי לכל שרשרת ב-\L{$\mathcal{H}_{F}$} +יש חסם מלעיל ב-\L{$\mathcal{H_{F}}$})כי כל שרשרת כזו היא שרשרת של +איברים שגדולים מ-\L{$F$} ולכן אם יש לה חסם ב\L{$\mathcal{H}$} הרי +שהוא חסם ב\L{$\mathcal{H}_{F}$}. לכן \L{$\mathcal{H}_{F}$}מקיימת +את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם ב\L{$\mathcal{H}$}וראינו שאלו +על מסננים. + +\end{proof} +\begin{corollary} +לכל קבוצה אינסופית \L{$I$} יש על מסנן \L{$F$} על \L{$I$} כך שאם +\L{$|I\backslash U|<\aleph_{0}$} אז \L{$U\in F$}.\end{corollary} +\begin{definition} +\uline{מכפלות}: תהי \L{$\Gamma$}קבוצה לא ריקה כלשהי ו-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$} +אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +זה אוסף כל הפונקציות \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +המקיימות \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. הערה: אם \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$} +ו-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} לכל \L{$i,j$} אז \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.\end{definition} +\begin{theorem} +\uline{אקסיומת הבחירה}: אם \L{$\Gamma$}לא ריקה ו-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$} +לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} אז \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$}. +\end{theorem} + +\section{מכפלות} + +\end{claim} +\begin{definition} +\uline{מכפלות}: תהי \L{$\Gamma$} קבוצה לא ריקה כלשהי ו-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$} +אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +זה אוסף כל הפונקציות \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +המקיימות \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. הערה: אם \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$} +ו-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} לכל \L{$i,j$} אז \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}. + +דוגמה: אם \L{$\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$} לכל \L{$\mathcal{M}$} +אז \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$}זה +פשוט אוסף כל הפונקציות מ\L{$\Gamma$} ל\L{$\mathcal{M}$}. +\end{definition} +~ +\begin{definition} +אם \L{$\Gamma$}לא ריקה ו-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$} +לכל \L{$\gamma\in\Gamma$}. תהי \L{$\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$}. +ל\L{$\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$} נגדיר \L{$x\sim_{F}y$} עבור +על מסנן \L{$F$} על \L{$\Gamma$} אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$}. \end{definition} +\begin{claim} +בסימונים של ההגדרה האחרונה \L{$\sim_{F}$} הוא יחס שקילות. \end{claim} +\begin{proof} +~ +\begin{enumerate} +\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$} + +\begin{enumerate} +\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$} +\item נניח ש\L{$x\sim_{F}y$} ו-\L{$y\sim_{F}z$} אז \L{ +\begin{eqnarray*} +U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F +\end{eqnarray*} +} וגם \L{ +\begin{eqnarray*} +V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F +\end{eqnarray*} +} לכן \L{$U\cap V\in F$} אבל \L{$U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$}. +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{proof} +\begin{definition} +תהי \L{$\Gamma$} קבוצה לא ריקה ולכל \L{$\gamma\in\Gamma$} יהי \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$} +מבנה לשפה \L{$\mathcal{L}$}. יהי \L{$F$} על מסנן )לא ראשי( על \L{$\Gamma$} +אז העל מכפלה של \L{$\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$} +ביחס ל\L{$F$} שתסומן \L{$\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$} +היא המבנה המוגדר כלהלן: \end{definition} +\begin{enumerate} +\item העולם של העל מכפלה הוא \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$} +כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס \L{$\sim_{F}$} על המכפלה \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$} +\item לכל קבוע אישי \L{$c\in\mathcal{L}$} נפרש \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$} +מחלקת השקילות של הסדרה \L{$(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$} +ביחס ל \L{$\sim_{F}$}. +\item לכל סימן יחס n-מקומי \L{$R\in\mathcal{L}$} . נאמר ש\L{$[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$} +אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$} +. +\item לכל סימן פונקציה n-מקומי \L{$F$}נאמר ש\L{$F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$} +אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$} +. הערה: הנ\char`\"{}ל מוגדר היטב. כלומר אם \L{$[b]=[d]$} אז \L{ +\begin{eqnarray*} + & & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\ + & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}} +\end{eqnarray*} +} כי \L{$[b]=[d]$} כלומר \L{$b\sim_{F}d$} וזאת בדיוק ההגדרה. \end{enumerate} +\begin{theorem} +יהיו \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$} +ו-\L{$\varphi(x_{1},...,x_{n})$} נוסחה ו-\L{$s$} השמה ל\L{$\mathcal{M}$}. +אזי מתקיים \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} אם ורק אם לכל +השמות \L{$(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$} )עם \L{$s_{\gamma}$} +השמה ל\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}( כך ש \L{$[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$} +מתקיים ש \L{$\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$}.\end{theorem} +\begin{proof} +באינדוקציה על יצירת הנוסחאות. נתחיל משמות עצם: +\begin{itemize} +\item עבור \L{$t$} קבוע אישי \L{$c$} מתקיים \L{$Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$}. +לשם נוחות נקבע השמה \L{$s_{0}$} ל-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +כך ש-\L{$[s_{0}]=s$}. כלומר לכל משתנה אישי \L{$x$} מתקיים \L{$[s_{0}(x)]=s(x)$}. +\item עבור \L{$t$} משתנה אישי \L{$x$} : \L{$Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$} +\item עבור \L{$t$} פונקציה \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$} אז \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\ + & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\ + & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})] +\end{eqnarray*} +}עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:\end{itemize} +\begin{enumerate} +\item אם \L{$\varphi$} נוסחה אטומית \L{$R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$} +אז אם ורק אם \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\ + & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\ + & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F +\end{eqnarray*} +} אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם \L{$[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$} +לכל \L{$1\le i\le m$}. לכן, \L{ +\begin{eqnarray*} +\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\ + & & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F +\end{eqnarray*} +} וזה מה שהיינו צריכים . +\end{enumerate} +\end{proof} + +\section{משפט \L{Los} והוכחת קומפקטיות} +\begin{theorem} +\uline{משפט }\inputencoding{latin9}\L{\uline{Los}}\inputencoding{cp1255} +תהי \L{$\mathcal{L}$} שפה לתחשיב הפסוקים, \L{$\Gamma$} קבוצה לא +ריקה, לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} מבנה \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$} +לשפה \L{$\mathcal{L}$}. יהי \L{$F$} על מסנן על \L{$\Gamma$} ו-\L{$s$} +השמה עבור \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$} +ו- \L{$\varphi(x)$} נוסחה ב\L{$\mathcal{L}$}. אזי \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$}אם +ורק אם לכל השמה \L{$s$} ל-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +המקיימת \L{$\bar{s}(x)=[s(x)]$} מתקיים: \L{ +\begin{eqnarray*} +\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F +\end{eqnarray*} +} )כאשר \L{$s(\gamma)(x)$} זה הקואורדינטה ה\L{$\gamma$} של \L{$s(x)$}(. +\end{theorem} +תזכורת: כיצד מגדירין )\char`\"{}לכבוד פסח\char`\"{} - א. חסון, חג +שמח( מבנה לשפה \L{$\mathcal{L}$} על \L{${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}? +\begin{itemize} +\item עבור קבוע אישי \L{$c$} פשוט לוקחים את \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}. +\item עבור סימן יחס n-מקומי \L{$R$} נקבע ש-\L{$\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$} +אם קיימים \L{$a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +כך ש \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} כך ש-\L{ +\begin{eqnarray*} +\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F +\end{eqnarray*} +} +\item עבור סימן פונקציה n-מקומי \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$} +אם קיימים \L{$b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +כך ש \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$} כך ש +\L{ +\begin{eqnarray*} +\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F +\end{eqnarray*} +}. +\end{itemize} +\uline{תרגיל:} +\begin{enumerate} +\item להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר \L{$F^{\mathcal{M}}$} היא אכן פונקציה. +ז\char`\"{}א עבור \L{$\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$} +קיים \L{$b$} יחיד כך ש\L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$}. +\item אם \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} אז \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}\end{enumerate} +\begin{proof} +ראשית נראה: אם \L{$t$} שם עצם ב\L{$\mathcal{L}$}, \L{$\bar{s},s$} +השמות כבניסוח המשפט אז \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$} +באינדוקציה על יציאת \L{$t$}. +\begin{itemize} +\item עבור \L{$t$} קבוע אישי \L{$c$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$} +\item עבור \L{$t$} משתנה אישי \L{$x$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$} +\item עבור \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$}: \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\ + & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\ + & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\ + & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))] +\end{eqnarray*} +} +\end{itemize} + +הוכחנו עבור שמות עצם. כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה. +\begin{itemize} +\item עבור \L{$\varphi$} נוסחה אטומית \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} מתקיים +\L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}} +\end{eqnarray*} +} אם ורק אם קיימים נציגים ל-\L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$} נסמנם +\L{$a_{1},...,a_{n}$} כך ש\L{$\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$}. +את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את \L{$(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$} +בתור נציגים לכל \L{$i$}. ז\char`\"{}א \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\ + & & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\} +\end{eqnarray*} +} )וזה בדיוק מה שמשפט \inputencoding{latin9}\L{Los}\inputencoding{cp1255} +אומר(. +\item עבור \L{$\varphi=\neg\psi$} מתקיים \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\ + & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\ + & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\ + & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F +\end{eqnarray*} +} וזה מתקיים אם ורק אם \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE +\end{eqnarray*} +}. +\item המקרים של \L{$\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} דומים מאוד )משתמשים +בתכונות של על מסנן(. +\item נותר המקרה \L{$\varphi=\exists x\psi(x)$} )המקרה של \L{$\forall x$} +נובע מהמקרה הנ\char`\"{}ל וממה שעבר עשינו ע\char`\"{}י השקילות הלוגית +\L{$\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$}(. + +\begin{itemize} +\item כיוון אחד: נניח כי \L{$(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$} +ז\char`\"{}א שקיים \L{$\bar{a}\in\mathcal{M}$} כך ש\L{$(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$}. +נוסיף לשפה קבוע אישי חדש \L{$c$} ונרשום \L{$\psi(c)$} הנוסחה המתקבלת +מ\L{$\psi$}ע\char`\"{}י החלפת של מופע חופשי של \L{$x$} בנוסחה \L{$\psi$} +ב\L{$c$} . נרחב את \L{$\mathcal{M}$}למבנה לשפה המועשרת ע\char`\"{}י +כך שנגדיר \L{$c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$}. אזי \L{$Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$}. +אז לפי הנחת האינדוקציה: \L{ +\begin{eqnarray*} +Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\ + & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\ + & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\ + & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F +\end{eqnarray*} +} +\item כיוון שני: נניח כי \L{$\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$}. +נגדיר איבר \L{$a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$} +באופן הבא: לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} אם \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$} +אז נבחר \L{$a_{\gamma}$} שמעיד על כך. אם \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$} +נבחר \L{$a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$} שרירותי. נגדיר \L{$\bar{a}=[a]$} +. מההנחה שלנו \L{ +\begin{eqnarray*} +\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\ + & & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\ + & & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x) +\end{eqnarray*} +}. +\end{itemize} +\end{itemize} +\end{proof} +\begin{corollary} +נניח ש\L{$\Gamma$} לא ריקה ו\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}מבנים לשפה +\L{$\mathcal{L}$} לכל \L{$\gamma\in\Gamma$} ו-\L{$F$} על מסנן על +\L{$\Gamma$}, אזי לכל פסוק \L{$\psi$} ב\L{$\mathcal{L}$} מתקיים +\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$} +אם ורק אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}. +\begin{corollary} +\uline{משפט הקומפקטיות}: תהי \L{$\Gamma$} קבוצה פסוקים בשפה \L{$\mathcal{L}$}. +נניח שלכל \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} גם \L{$\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$} +ולכל \L{$\psi\in\Gamma$} קיים מודל \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$} +אזי \L{$\Gamma$} ספיקה כלומר קיים \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$}. \end{corollary} +\begin{proof} +לכל \L{$\psi\in\Gamma$} נבחר מבנה \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}. +תהי \L{$\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$} הקבוצה המקיימת קיים +\L{$\psi\in\Gamma$}כך ש: \L{$V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$}. +\end{proof} +\end{corollary} +\begin{claim} +\L{$\mathcal{U}$} מסנן על \L{$\Gamma$} .\end{claim} +\begin{proof} +לכל \L{$\psi\in\Gamma$} מהנחתנו \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$} +לכן \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$}. +לכן \L{$\mathcal{U}\not=\emptyset$}. ברור ש\L{$\mathcal{U}$} סגורה +כלפי מעלה. נניח ש\L{$v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$} אזי קיימים \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} +כך ש-\L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$} +וזה גורר..... \L{$V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$}. +\end{proof} +יהי \L{$F$} על מסנן שמרחיב את \L{$\mathcal{U}$} . לפי המסקנה מתקיים +\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$} +אם ורק אם \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}. +אבל מהגדרת \L{$\mathcal{U}$} לכל \L{$\psi\in\Gamma$} הקבוצה \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$} +ולכן ל-\L{$F$}. מש\char`\"{}ל. + + +\section{עקביות} +\begin{theorem} +תהי \L{$(P,\le)$} קס\char`\"{}ח, אזי קיים יחס \L{$R$} על \L{$P$} +)דו-מקומי( כך ש-\end{theorem} +\begin{enumerate} +\item \L{$R$} יחס סדר קווי + +\begin{enumerate} +\item לכל \L{$a,b\in P$} אם \L{$a\le b$} אז \L{$R(a,b)$}. +\end{enumerate} + +במילים אחרות, קיים סדר קווי \L{$R$} על \L{$P$} שמרחיב את \L{$\le$}. + +\end{enumerate} +\begin{theorem} +\uline{הערה:} המשפט עבור קבוצה סופית \L{$P$} איננו קשה. ההוכחה +באינדוקציה על \L{$|P|$}. עבור \L{$|P|=1$} אין מה להוכיח. נניח שהוכחנו +עבור כל \L{$P$} עם \L{$|P|=n$} ונוכיח עבור \L{$n+1$}: תהי \L{$(P,\le)$} +קס\char`\"{}ח עם \L{$n+1$} איברים. כיוון ש\L{$P$} סופית יש לה איבר +מינימלי \L{$a$}. תהי \L{$Q=P\backslash\{a\}$}. אז \L{$(Q,\le)$} +קס\char`\"{}ח עם \L{$n$} איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש \L{$R$} +סדר קווי על \L{$Q$} שמרחיב את \L{$\le$} על \L{$Q$}. עתה לא קשה +לבדוק שאם נגדיר \L{$R(a,b)$} לכל \L{$b\in Q$} נקבל את המבוקש.\end{theorem} +\begin{proof} +)מקרה כללי( תהי \L{$L$} שפה לתחשיב היחסים שבה: +\begin{enumerate} +\item לכל \L{$p\in P$} יש קבוע אישי \L{$c_{p}$} +\item יחס דו מקומי \L{$R$} +\end{enumerate} + +\uline{בלבד.} נגדיר קבוצת פסוקים \L{$T_{P}$} ב\L{$L$} באופן הבא: +\begin{enumerate} +\item \L{$c_{p}\not=c_{q}$} לכל \L{$p\not=q\in P$} +\item \L{$R$} יחס סדר קווי +\item לכל \L{$p,q\in P$} אם \L{$p\le q$} אזי יהיה פסוק \L{$R(c_{p},c_{q})$}.\end{enumerate} +\begin{claim} +\L{$T_{P}$} ספיקה )מקומית(. +\begin{proof} +ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש\L{$T_{P}$} ספיקה מקומית. תהי \L{$T_{0}\subseteq T_{P}$} +סופית. בה\char`\"{}כ האקסיומה ){\beginL 2\endL}( \char`\"{}\L{$R$} +יחס סדרי קווי\char`\"{} שייכת ל\L{$T_{0}$}. בנוסף נשים לב שב\L{$T_{0}$} +מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: \L{$c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$}. +נביט בקבוצה \L{$P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$}. אז \L{$(P_{0},\le)$} +קס\char`\"{}ח סופית. לכן לפי ההערה יש יחס \L{$R^{P_{0}}$} שהוא סדר +קווי על \L{$P_{0}$} המרחיב את \L{$\le$} על \L{$P_{0}$}. ברור שאם +נפרש את \L{$R$} ב\L{$P_{0}$} ע\char`\"{}י \L{$R^{P_{0}}$} כנ\char`\"{}ל +ו-\L{$c_{p_{i}}$} ע\char`\"{}י \L{$p_{i}$} אז נקבל מודל של \L{$T_{0}$}. +\end{proof} +\end{claim} + +יהי \L{$\mathcal{M}\models T_{P}$}, בפרט \L{$R^{\mathcal{M}}$} סדר +קווי על \L{$\mathcal{M}$}. יהי \L{$\mathcal{N}\le\mathcal{M}$} המבנה +שעולמו הוא הקבועים של \L{$\mathcal{M}$} )כלומר \L{$a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$} +לאיזה \L{$p\in P$}(. נגדיר יחס סדר חלקי \L{$\le^{\mathcal{N}}$}על +\L{$\mathcal{N}$} ע\char`\"{}י \L{$p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$} +לכל \L{$p,q\in P$} . אז \L{$(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$} +פשוט ע\char`\"{}י \L{$p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$}. לכן בה\char`\"{}כ +\L{$(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$}. עתה \L{$R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$} +)צמצום( סדר קווי על \L{$\mathcal{N}$}. )לפי \L{$\mathcal{M}\models(2)$} +מתקיים כי\L{$R^{\mathcal{M}}$} סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי(. +כיוון ש-\L{$\mathcal{M}\models(3)$} אז אם \L{$p\le q$} אזי \L{$p(c_{p},c_{q})$} +היא אקסיומה ב){\beginL 3\endL}( ולכן \L{$\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$} +ולכן \L{$\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$}. + +\end{proof} +\begin{theorem} +תהי \L{$L=\{G\}$} עבור יחס דו מקומי \L{$G$}. \L{$T_{G}$} התורה +שאומרת כי העולם הוא גרף. אזי אין פסוק \L{$\psi$} ב\L{$L$} כך ש\L{$\mathcal{M}\models\psi$} +אם ורק אם \L{$\mathcal{M}$} גרף קשיר.\end{theorem} +\begin{proof} +נניח בשלילה שיש פסוק \L{$\psi$} כזה. נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים +\L{$c_{1},c_{2}$}. יהי \L{$\varphi_{n}$} הפסור שאומר שאין מסילה +באורך קטן מ\L{$n$} בין \L{$c_{1}$} ל\L{$c_{2}$}:\L{ +\[ +\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})] +\] +} נשים לב ש\L{$\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$} +עיקבית מקומית. אם \L{$\Gamma_{0}$} קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה +הנ\char`\"{}ל יש \L{$n$} מירבי כך ש\L{$\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$}. +ברור שאם נמצא \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$} +אז \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}. אבל ברור שלכל \L{$n$} יש +גרך המקיים את \L{$\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$} +)פחות מ\L{$n$} קודקודים, בפרט אין מסילה מ\L{$c_{1}$}ל\L{$c_{2}$}(. +ולכן \L{$\Gamma$} ספיקה סופית. לפי קומפקטיות \L{$\Gamma$} עקבית. +אבל זה לא ייתכן: אם \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\psi$} +ולכן בין \L{$c_{1}$} ל\L{$c_{2}$} יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר +\L{$n$}. מצד שני \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}$} ולכן אין מסילה +באורך \L{$n$} בין \L{$c_{1}$} ל\L{$c_{2}$} וזוהי סתירה להנחת השלילה. +\end{proof} +\uline{הערה:} +\begin{enumerate} +\item באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק \L{$\psi$} בשפה \L{$L=\{\le\}$} +כך ש\L{$\mathcal{M}\models\psi$} אם ורק אם \L{$\{\le\}$} סדר טוב +)כלומר \L{$\le$} סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת(. +\item אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} כך +ש\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אם ורק אם \L{$\mathcal{M}$} גרף +קשיר/\L{$\mathcal{M}$} סדור היטב )סדר טוב(. +\end{enumerate} +\uline{תזכורת:} + +אם \L{$\Gamma$} קבוצת פסוקים אז \L{$\Gamma\models\psi$} אם לכל מבנה +\L{$\mathcal{M}$}: אם \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} אז \L{$\mathcal{M}\models\psi$} +. +\begin{corollary} +אם \L{$\Gamma\models\psi$} אז קיימת קבוצת פסוקים \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} +סופית כך ש\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}. \end{corollary} +\begin{proof} +נביט בקבוצה \L{$\Gamma\cup\{\neg\psi\}$} . מהנחתנו קבוצה זו איננה +ספיקה. מקומפקטיות יש \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$} +סופית כך ש\L{$\Gamma_{1}$} איננה ספיקה. ברור ש\L{$\neg\psi\in\Gamma_{1}$} +כי אחרת \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$} ו\L{$\Gamma$} עקבית. )אם +\L{$\Gamma$} איננה עקבית מקומפקטיות יש \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} +שאינה ספיקה ו\L{$\Gamma_{0}\models\varphi$} לכל פסוק \L{$\varphi$}(. +לכן \L{$\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$} +סופית ומקיימת \L{$\Gamma_{0}\models\psi$} )כי אחרת יש מודל \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$} +ו-\L{$\mathcal{M}\not\models\psi$} כלומר \L{$\mathcal{M}\models\neg\psi$} +כלומר \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$} בסתירה לבחירת \L{$\Gamma_{1}$}(. +במילים אחרות ליחס \L{$\models$} יש טבע סופי. +\end{proof} +\uline{שאלה מרכזית}: בהינתן שפה \L{$L$} וקבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} +ב\L{$L$}, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק \L{$\psi$} כלשהו האם \L{$\Gamma\models\psi$}? +בתור התחלה נשים לב שאם \L{$\psi\in\Gamma$} אז בוודאי \L{$\Gamma\models\psi$}. +ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם \L{$\psi\in\Gamma$}? נניח שהגדרנו +מתי קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה +מתי פסוק \L{$\psi$} שייך ל\L{$\Gamma$}. נניח ש\L{$\Gamma$} קבוצת +פסוקים חשיבה ונניח ש\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} אז \L{$\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$}. +נניח ש\L{$\psi_{1}\in\Gamma$} ו\L{$\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$} +אז \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}. באופן כללי יותר אם הראנו למשל \L{$\psi_{1}$} +ו-\L{$\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$} נגררים לוגית ע\char`\"{}י \L{$\Gamma$} +אז ניתן להראות \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}. + + +\section{מערכות היסק ויכיחות} + +\uline{בעיה מרכזית:} נתונה קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} ורוצים לדעת +עבור פסוק \L{$\psi$} האם \L{$\Gamma\models\psi$}. + +מקרה פרטי: \L{$\Gamma=\emptyset$}, כלומר רוצים לדעת האם פסוק \L{$\psi$} +אמיתי לוגית או לא. המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי. מדוע? בהינתן +קבוצת פסוקים \L{$\Gamma$} ו\L{$\psi$} כלשהו, אם \L{$\Gamma\models\psi$} +אז יש \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} סופית כך ש\L{$\Gamma_{0}\models\psi$} +)משפט הקומפקטיות( ולכן \L{$({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$} +אמיתי לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק. + +\uline{שאלה}: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית? +\begin{enumerate} +\item אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית. +\item אם \L{$\varphi$} אמיתי לוגית אז \L{$\forall x\varphi$} אמיתי לוגית. +אפשר לרשום גם: \L{$\varphi\rightarrow\forall x\varphi$} אמיתי לוגית. +\item אם \L{$\forall x\varphi(x)$} אמיתי לוגית אז \L{$\varphi(t)$} אמיתי +לוגית לכל שם עצם \L{$t$}. אפשר לרשום גם: \L{$\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$} +אמיתי לוגית. +\item \textbf{אם \L{$\varphi\rightarrow\psi$} אמיתי לוגית ו\L{$\varphi$} +אמיתי לוגית אז \L{$\psi$} אמיתי לוגית. })בכל מערכות ההיסק שנעבוד +איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד. זה נקרא \uline{כלל הניתוק} או \inputencoding{latin9}\L{Modus +Poneus}\inputencoding{cp1255}( +\end{enumerate} +\uline{סימון:} בהינתן שפה \L{$\mathcal{L}$} מסדר ראשון נסמן \L{$Def(\mathcal{L})$} +אוסף הנוסחאות בשפה \L{$\mathcal{L}$}. +\begin{definition} +מערכת היסק )לשפה \L{$\mathcal{L}$}( זה זוג סדור \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}כאשר: \end{definition} +\begin{enumerate} +\item \L{$\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$} )אולי ריקה( שנקראת קבוצת +האקסיומות הלוגיות +\item \L{${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$} +כאשר \L{$F_{n}$} זה אוסף הפונקציות \L{$f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$} +ו-\L{$\mathcal{I}$} נקראת אוסף כללי ההיסק. +\end{enumerate} +\uline{הערה:} תמיד נדרוש כי: +\begin{enumerate} +\item אם \L{$\varphi\in\mathcal{A}$} אז \L{$\varphi$} אמיתי לוגית. במקרה +זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות \uline{תקפות}. +\item אם \L{$f\in\mathcal{I}$} ו- \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$} +אז \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$}. +במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק \uline{נאותים}. +\end{enumerate} +\uline{סימון}: אם נרצה לומר ש\L{$\psi$}מתקבל מ\L{$\psi_{1},...,\psi_{n}$} +על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום \L{$\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$} +ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר. +\begin{definition} +בהינתן מערכת היסק \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $} +וקבוצת נוסחאות \L{$\Gamma$} נאמר שנוסחה \L{$\psi$} \textbf{יכיחה} +)כלומר, ניתנת להוכחה( מ\L{$\Gamma$} ,ונסמן \L{$\Gamma\vdash\psi$}, +אם קיימת סדרת נוסחאות \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} לאיזה \L{$k\in\mathbb{N}$} +כך ש:\end{definition} +\begin{enumerate} +\item \L{$\psi=\varphi_{k}$} +\item לכל \L{$1\le i\le k$} או: + +\begin{enumerate} +\item \L{$\varphi_{i}$} אקסיומה לוגית. או: +\item \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$}. או: +\item \L{$\varphi_{i}$} מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע\char`\"{}י אחד מכללי +ההיסק. במקרה שלנו יש \L{$j_{1},j_{2}<i$} כך ש\L{$\varphi_{i}$} מתקבל +מ-\L{$\varphi_{j_{1}}$}ו-\L{$\varphi_{j_{2}}$} ע\char`\"{}י כלל +הניתוק. +\end{enumerate} + +הסדרה \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} המקיימת את התנאים הנ\char`\"{}ל +נקראת הוכחה של \L{$\psi$} מ-\L{$\Gamma$}. + +\end{enumerate} +\uline{שאלה:} האם קיימת מערכת היסק \uline{חשיבה} )כלומר שבה +אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות +קודמות ע\char`\"{}י אחד מכללי ההיסק( כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה +)מ-\L{$\emptyset$}(. + +מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל +הטאוטולוגיות כאקסיומות לוגיות )אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות(. +\begin{claim} +תהי \L{$T$} תורה )קבוצת פסוקים ספיקה( כלשהי ו\L{$\psi$} נוסחה כך +ש-\L{$T\vdash\psi$} אזי \L{$T\cup\{\psi\}$} ספיקה. \end{claim} +\begin{proof} +יהי \L{$\mathcal{M}\models T$} נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של +\L{$\psi$} מ-\L{$T$} ש-\L{$\mathcal{M}\models\psi$}. אם ל-\L{$\psi$} +הוכחה באורך {\beginL 1\endL} אז או ש-\L{$\psi$} אקסיומה לוגית ולכן +אמיתי לוגית ולכן מסופק ב-\L{$\mathcal{M}$}, או ש-\L{$\psi\in T$} +ובוודאי ש-\L{$\mathcal{M}\models\psi$} )כי \L{$\mathcal{M}\models T$}(. +נניח ש-\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} הוכחה של \L{$\psi$} מ-\L{$T$} +ואפשר להניח ב.ה.כ ש-\L{$\psi=\varphi_{k}$} מתקבל מאיזה \L{$\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$} +עם \L{$j_{1},j_{2}<k$} ע\char`\"{}י כלל הניתוק. לפי הנחת האינדוקציה +\L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$} וגם \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$}. +מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט \L{$\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$} +ולכן \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof} +\begin{theorem} +\uline{משפט ההיסק: }תהי \L{$\Gamma$} קבוצת נוסחאות ו-\L{$\psi$} +נוסחה כלשהי, אז \L{$\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$} אם ורק אם \L{$\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$} +)\L{$\phi$} נוסחה(. +\end{theorem} +)ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט(. +\begin{definition} +קבוצת נוסחאות \L{$\Gamma$} תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה. )סתירה +היא המקבילה של טאוטולוגיה - כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה +של תחשיב הפסוקים(.\end{definition} +\begin{remark} +אם \L{$\Gamma$} אינה עקבית אז \L{$\Gamma\vdash\psi$} לכל נוסחה \L{$\psi$}. \end{remark} +\begin{proof} +מהנחתנו \L{$\Gamma\vdash\sigma$} לאיזו סתירה \L{$\sigma$}. אז \L{$\Gamma\rightarrow\psi$} +היא טאוטולוגיה )\L{$\sigma$} מתקבלת ע\char`\"{}י הצבה של פסוקים מתחשיב +היחסים בפסוק \L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})$} של תחשיב הפסוקים ו-\L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$} +היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים(. כיוון ש\L{$\Gamma\vdash\sigma$} +מכלל הניתוק \L{$\Gamma\vdash\psi$}. \end{proof} +\begin{corollary} +)ממשפט ההיסק( לכל תורה \L{$T$} ולכל נוסחה \L{$\varphi$} או ש-\L{$T\cup{\varphi}$} +עקבית או ש-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} עקבית.\end{corollary} +\begin{proof} +נניח ש-\L{$T\cup{\varphi}$} ו-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} שתיהן אינן +עקביות. לפי ההערה יש סתירה \L{$\sigma$} כך ש-\L{$T\cup{\varphi}\vdash\sigma$} +ו-\L{$T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$} . לפי משפט ההיסק \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$} +ו-\L{$T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$} . אבל: \L{$(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$} +זו טאוטולוגיה. שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של \L{$\sigma$} +מ-\L{$T$}. בסתירה להנחה ש-\L{$T$} ספיקה ולטענה הקודמת.\end{proof} +\begin{corollary} +לכל תורה \L{$T$} יש קבוצת פסוקים \L{$T\subseteq T^{\prime}$} כך +שלכל פסוק \L{$\psi$} או \L{$T^{\prime}\vdash\psi$} או \L{$T^{\prime}\vdash\neg\psi$}. \end{corollary} +\begin{definition} +תורה \L{$T$} המקיימת לכל פסוק \L{$\psi$} או \L{$T\vdash\psi$} או +\L{$T\vdash\neg\psi$} נקראת \uline{שלמה}.\end{definition} +\begin{proof} +)של המסקנה( תהי \L{$\mathcal{T}$} אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות +את \L{$T$} ביחס לסדר ההכלה. קל לבדוק שאם \L{$\{T_{i}\}$} שרשרת עולה +של תורות ב-\L{$\mathcal{T}$} אז \L{$\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$}. +למה? קומפקטיות )צריך לנמק(. לכן לפי הלמה של צורן יש \L{$T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$} +מירבית. לפי המסקנה הקודמת \L{$T^{\prime}$} עונה על הדרישות. +\end{proof} + +\section{מערכות היסק - המשך} +\begin{definition} +קבוצת פסוקים עקבית \L{$T$} היא \textbf{שלמה} אם לכל פסוק \L{$\psi$} +או ש-\L{$T\vdash\psi$} או ש-\L{$T\vdash\neg\psi$}. + +ראינו שאם \L{$T$} קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז \L{$T$} +שלמה.\end{definition} +\begin{claim} +לכל קבוצת פסוקים עקבית \L{$T$} יש קבוצת פסוקים שלמה \L{$T\subseteq T^{\prime}$}.\end{claim} +\begin{proof} +הלמה של צורן. כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם \L{$\{T_{i}\}$} +שרשרת )ביחס להכלה( של קבוצות פסוקים עקביות אז גם \L{$\tilde{T}=\bigcup T_{i}$} +עיקבית. מדוע? אם \L{$\tilde{T}\vdash\sigma$} לאיזו סתירה \L{$\sigma$} +אז יש סדרה \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$} שהיא הוכחה +של \L{$\sigma$} מ-\L{$\tilde{T}$}. כל \L{$\varphi_{i}$} הוא או +אקסיומה לוגית או שייך לאיזה \L{$T_{j_{i}}$} או נובע מאיברים קודמים +בסדרה ע\char`\"{}י כלל הניתוק. קיים \L{$j$} מירבי כך שלכל \L{$i$} +כנ\char`\"{}ל או \L{$\varphi_{i}$} אקסיומה לוגית או \L{$\varphi_{i}\in T_{j}$} +או \L{$\varphi_{i}$} מתקבל מכלל הניתוק. ז\char`\"{}א ש\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} +הוכחה של \L{$\sigma$} מתוך \L{$T_{j}$}. אבל \L{$T_{j}$} עקבית - +סתירה.\end{proof} +\begin{theorem} +קיימת מערכת היסק )שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד( וכך שמערכת ההיסק +\char`\"{}חשיבה\char`\"{} ומתקיים ש\L{$T$} עקבית אם ורק אם \L{$T$} +ספיקה.\end{theorem} +\begin{corollary} +{]}משפט השלמות{[} נקבע מערכת היסק כנ\char`\"{}ל. תהי \L{$T$} קבוצת +פסוקים עקבית, \L{$\psi$} פסוק כלשהו אזי \L{$T\vdash\psi$} אם ורק +אם \L{$T\models\psi$}.\end{corollary} +\begin{proof} +אם \L{$T\vdash\psi$} הראנו ש\L{$T\models\psi$} )שיעור שעבר(. בכיוון +השני, אם \L{$T\models\psi$} אבל \L{$T\not\vdash\psi$} אז \L{$T\cup{\neg\psi}$} +עקבית. לפי המשפט יש \L{$\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$} בסתירה +להנחה.\end{proof} +\begin{remark} +המשפט הנ\char`\"{}ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק \char`\"{}חשיבה\char`\"{} +כך שלכל \L{$\varphi$} אמיתי לוגית מתקיים \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.\end{remark} +\begin{proof} +נניח את המשפט ונוכיח את הטענה. \L{$\emptyset\models\varphi$}מתקיים +כי \L{$\varphi$} אמיתי לוגית ומן המסקנה \L{$\emptyset\vdash\varphi$}. +בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט. תהי \L{$T$} תורה עקבית. +עלינו להראות )בעזרת הטענה( של\L{$T$} יש מודל. נניח שלא. ז\char`\"{}א +מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית \L{$T_{0}\subseteq T$} שאין לה מודל. +יהי \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$}. +אז \L{$\psi$}שיקרי לוגית. אז \L{$\neg\psi$} אמיתי לוגית. אז \L{$T\vdash\neg\psi$}. +אבל \L{$T\vdash\psi$} אז \L{$T$} איננה עקבית.\end{proof} +\begin{remark} +ממשפט השלמות נובע ש\L{$T$} שלמה אם ורק אם \L{$T\models\varphi$} +או \L{$T\models\neg\varphi$} לכל פסוק \L{$\varphi$}. +\end{remark} +דוגמאות לתורות שלמות: +\begin{enumerate} +\item יהי \L{$\mathcal{M}$} מבנה כלשהו לשפה \L{$\mathcal{L}$}. התורה של +\L{$\mathcal{M}$} היא \L{$Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$}. +מהגדרת האמת, אם \L{$\mathcal{M}\not\models\varphi$} אז \L{$\mathcal{M}\models\neg\varphi$}. +כלומר \L{$\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$} ואז \L{$\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$}. \end{enumerate} +\begin{theorem} +)לוונהיים-סקולם היורד(: יהי \L{$\mathcal{M}$} מבנה אינסופי לשפה )בת +מניה( \L{$\mathcal{L}$}. תהי \L{$A\subseteq M$} )בעולם של \L{$\mathcal{M}$}( +אזי קיים \L{$A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$} וכך +ש-\L{$|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$}. \end{theorem} +\begin{corollary} +נניח ש\L{$T$} תורה בשפה בת מניה ול\L{$T$} יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם +בעוצמה \L{$\aleph_{0}$}. אזי \L{$T$} שלמה )סוג של קריטריון \inputencoding{latin9}\L{Vaught}\inputencoding{cp1255}(. \end{corollary} +\begin{proof} +נניח שלא. אזי יש פסוק \L{$\varphi$} כך ש\L{$T_{1}=T\cup{\varphi}$} +ו-\L{$T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$} עקביות. אזי קיימים \L{$\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$} +ו-\L{$\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$}. מהמשפט אנחנו יודעים )נשתמש +ב\L{$\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$}( שיש \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$}כך +ש\L{$\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$}עבור \L{$i=1,2$}. אבל +\L{$\mathcal{M}_{i}\models T$} ולכן \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$}. +לכן \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$})זאת +ההנחה(. לפי משפט האיזומורפיזם \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$} +אבל \L{$\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$} +וגם \L{$\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$} +- סתירה. \end{proof} +\begin{corollary} +~\end{corollary} +\begin{enumerate} +\item תהי \L{$T_{\approx}$} התורה בשפה הריקה )ז\char`\"{}א שוויון בלבד( +שאומרת שהעולם אינסופי. זו תורה שלמה. +\item תהי \L{$\mathcal{L}=\{\le\}$} ו- \L{$DLO$} היא התורה של סדר קווי +צפוף ללא קצוות. אז \L{$DLO$} תורה שלמה. +\item הגרף המקרי )שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל {\beginL 1\endL} שאלה {\beginL 2\endL}( +הוא קטגורי ב\L{$\aleph_{0}$} )כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה \L{$\aleph_{0}$} +איזומורפי לו( לפי תרגיל {\beginL 2\endL} שאלה {\beginL 5\endL}. +\end{enumerate} + +\section{מכונות טיורינג} + +\uline{תזכורת:} +\begin{itemize} +\item תורה \L{$T$} שלמה אם לכל פסוק \L{$\psi$} או \L{$T\vdash\psi$} או +\L{$T\vdash\neg\psi$} +\item אם \L{$T$} קטגורית ב\L{$\aleph_{0}$} )כלומר, יש לה מודל יחיד עד +כדי איזומורפיזם שעוצמתו \L{$\aleph_{0}$}( ול-\L{$T$} אין מודלים +סופיים אז \L{$T$} שלמה. +\end{itemize} +\uline{\L{$C$} - מחלקת הפונקציות החשיבות:} +\begin{itemize} +\item פונקציות חלקיות )דטרמיניסטיות( +\item ניתנות לתיאור סופי +\item הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים +\item חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית +\item כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות - \char`\"{}זיכרון\char`\"{} +\item זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד +של הזכרון +\item בכל שלב של החישוב \char`\"{}כמות סופית של אינפורמציה\char`\"{} - מספיקה +כדי לתאר את \char`\"{}מצב החישוב\char`\"{}\end{itemize} +\begin{definition} +יהיו \L{$S$} א\char`\"{}ב סופי עם תו מיוחד \L{$B$}, ו-\L{$Q$} קבוצה +סופית )זרה ל\L{$S$}( שנקרא לה \char`\"{}קבוצת המצבים הפנימיים\char`\"{} +עם מצב התחלתי \L{$q_{0}$}. \textbf{פקודה} זו רביעייה \L{$\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $} +כאשר \L{$r\in S$}, \L{$q,q^{\prime}\in Q$}, \L{$x\in\{L,R\}\cup S$}. +\textbf{מכונת טיורינג} זו רביעיה \L{$M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $} +כאשר \L{$I$} קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות. )הערה: \L{$I$} +חסרת סתירות אם \L{$rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$} אז \L{$y=x$} +ו-\L{$q^{\prime}=q^{\prime\prime}$}.( +\end{definition} +נחשוב בצורה גרפית על מ\char`\"{}ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים. +בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא\char`\"{}ב כאשר על \L{$B$} נחשוב +כעל תו המייצג תא ריק. למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים. +הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא. לפי המצב הפנימי +של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה תא אחד או +לכתוב תו אחר בא\char`\"{}ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש. על פקודה +נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו \L{$r$} והמצב הפנימי הוא \L{$q$} +אז אם \L{$x\in\{L,R\}$} זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי +\L{$q^{\prime}$}. אם \L{$x\in S$} כתוב בתא הנוכחי \L{$x$} ועבור +למצב פנימי \L{$q^{\prime}$}. לומר ש\L{$I$} היא סדרת פקודות חסרת +סתירה זה פשוט לומר ש\L{$I$} היא פונקציה חלקית: \L{$S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$}. +\begin{definition} +~ +\begin{enumerate} +\item \textbf{מצב} \L{$m$} של מכונת טיורינג \L{$T$} שו שלשה \L{$(n,q,h)$} +כאשר: + +\begin{enumerate} +\item \L{$n\in\mathbb{Z}$} מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי +\L{$n=0$}. +\item \L{$q\in Q$} המצב הפנימי של המכונה +\item \L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow S$} פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של +הסרט. +\end{enumerate} +\item בהינתן מ\char`\"{}ט \L{$T$} ומצב \L{$m$} של המכונה נגדיר את \textbf{המצב +העוקב} ל\L{$m$} לפי המכונה \L{$T$} להיות \L{$m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$} +כאשר: + +\begin{enumerate} +\item \L{$m=(n,q,h)$} ויש פקודה \L{$rqxq^{\prime}\in I$} כך ש\L{$r=h(n)$} +ו-\L{$q$} הוא אותו מצב פנימי +\item אם )א( מתקיים אז \L{$n^{*}=\begin{cases} +n & x\in S\\ +n+1 & x=R\\ +n-1 & x=L +\end{cases}$} +\item אם )א( מתקיים אז \L{$q^{*}=q^{\prime}$} +\item אם )א( מתקיים אז \L{$h^{*}(m)=\begin{cases} +h(m) & m\not=n\\ +y & m=n +\end{cases}$} כאשר \L{$y=h(n)$} אם \L{$x\in\{L,R\}$} ו-\L{$y=x$} אם \L{$x\in S$} +. +\end{enumerate} +\item \textbf{ריצה} של מ\char`\"{}ט \L{$T$} זו סדרה של מצבים \L{$m_{0},m_{1},m_{2},...$} +המקיימת: + +\begin{enumerate} +\item \L{$m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$} לאיזו \L{$h^{0}$} +\item לכל \L{$i>0$} מתקיים \L{$m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$}. +\end{enumerate} +\item ריצה של מ\char`\"{}ט \L{$T$} נקראת \textbf{סופית} )או מסתיימת( אם +היא מהצורה \L{$m_{0},m_{1},...,m_{n}$} לאיזה \L{$n\in\mathbb{N}$} +ו-\L{$M_{n}^{(T)}$} אינו מוגדר. +\end{enumerate} +~ +\begin{definition} +בהינתן מ\char`\"{}ט \L{$T$} ומספר טבעי \L{$n$} נגדיר פונקציה )חלקית( +\L{$f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} באופן הבא: \L{$n=0$}, +\L{$q=q_{0}$} , והסרט נראה כך: \L{ +\begin{eqnarray*} +...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB... +\end{eqnarray*} +}מתקיים \L{$m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} אם ריצה של \L{$T$} עם +המצב ההתחלתי הנ\char`\"{}ח מסתיימת )אחרת לא מוגדר( ו-\L{$m$} היא +מספר האחדות על הסרט בתום הריצה. +\end{definition} +\end{definition} +~ +\begin{definition} +פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} נקראת \textbf{חשיבה +ע\char`\"{}י מ\char`\"{}ט }אם קיימת מ\char`\"{}ט \L{$T$} כך ש\L{$f_{T}^{n}=f$}, +כלומר \L{$f$} מוגדרת בדיוק באותו התחום בו \L{$f_{T}^{n}$} מוגדרת +ובכל מקום שהן מוגדרות \L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$}. +\end{definition} + +\section{מכונות טיורינג - המשך} +\begin{definition} +תהי \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$} פונקציה \L{$f$} +נקראת \textbf{חשיבה} )ע\char`\"{}י מכונת טיורינג( אם קיימת מכונה \L{$T$} +כך שלכל \L{$(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$} הריצה של \L{$T$} +על סרט מהצורה \L{ +\begin{eqnarray*} +...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB... +\end{eqnarray*} +} מסתיימת אם ורק אם \L{$f(n_{1},...,n_{k})$} מוגדר ובמקרה זה מספר +האחדות על הסרט בתום הריצה הוא \L{$f(n_{1},...,n_{k})$}. + +\uline{תזכורת}: סימנו, בהינתן מ\char`\"{}ט \L{$T$} את הפונקציה +\L{$f_{T}^{n}$} להיות הפונקציה שעבור קלט כנ\char`\"{}ל מחזירה את +מספר האחדות בריצה סופית של המכונה )על הקלט(.\end{definition} +\begin{claim} +לכל מכונת טיורינג \L{$T$} יש מכונת טיורינג \L{$T^{*}$} כך ש: +\begin{enumerate} +\item \L{$f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$} לכל \L{$n$} +\item בא\char`\"{}ב של \L{$T^{*}$} יש שני תווים מיוחדים \L{$S,E$} כך שבכל +ריצה מסתיימת של \L{$T^{*}$} )על קלט תקני( הסרט לאחר הריצה נראה כך: +\L{$...BBS111...1EBB...$} +\item המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן ב\L{$S$} שמאלה +\item פרט ל\L{$S,E$} ל-\L{$T^{*}$} יש רק את התווים \L{$\{1,B\}$}. +\end{enumerate} +\end{claim} +\begin{proof} +~ +\begin{enumerate} +\item ~ +\item לכל מצב פנימי \L{$q\in Q(T)$} יהיה במכונה \L{$T^{*}$} מצב פנימי +\L{$q^{*}$}. כל פקודה \L{$rqxq^{\prime}\in I(T)$} נחליף בפקודה \L{$rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$}. +נוסיף ל\L{$T^{*}$} את הפקודות הבאות: + +\begin{itemize} +\item כותב \L{$S$} משמאל לקלט וחוזר ימינה + +\begin{itemize} +\item \L{$Bq_{0}Lq_{1}$} +\item \L{$1q_{0}Lq_{1}$} +\item \L{$Bq_{1}Sq_{2}$} +\item \L{$Bq_{2}Lq_{3}$} +\end{itemize} +\item מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב \L{$E$} וחוזר להתחלה + +\begin{itemize} +\item \L{$Bq_{3}Rq_{4}$} +\item \L{$Bq_{4}Lq_{5}$} +\item \L{$Bq_{5}Eq_{r}$} +\item \L{$*q_{r}Lq_{r}$} )\L{$*$} זה או \L{$B$} או \L{$1$}( +\item \L{$Sq_{r}Rq_{0}^{*}$} +\item שלב הסריקה + +\begin{itemize} +\item \L{$1q_{3}Rq_{3}$} +\item \L{$1q_{4}Rq_{3}$} +\end{itemize} +\end{itemize} +\end{itemize} + +נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת +ב\L{$S$} או ב\L{$E$} בשלב הריצה. נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי +\L{$q^{*}$} נוסיף פקודות: +\begin{itemize} +\item \L{$Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$} +\item \L{$B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$} +\item \L{$B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$} +\item \L{$S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$} +\item באופן אנלוגי מטפלים ב\L{$E$} +\end{itemize} + +נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות. נניח שכל ריצה מסתיימת של \L{$T$} +מסתיימת במצב פנימי \L{$\hat{q}$} )שאינו מופיע במהלך הריצה של \L{$T$}(. +נוסיף פקודות: +\begin{itemize} +\item \L{$*\hat{q}R\hat{q}$} )כאשר \L{$*$} הינו כל תו שאינו \L{$E$}( +\item \L{$E\hat{q}Bq_{w}$} +\item \L{$Bq_{w}Lq_{w}^{1}$} +\item \L{$*q_{w}^{1}E\hat{q}$} )כאשר \L{$*$} הינו כל תו שאינו \L{$1$} +ואינו \L{$S$}( +\item נטפל במקרה שראינו \L{$S$}אחרי שמחקנו את \L{$E$}: + +\begin{itemize} +\item \L{$Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$} +\item \L{$Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$} +\item \L{$Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$} - מצב סופי +\end{itemize} +\item וגם: + +\begin{itemize} +\item \L{$1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$} +\item \L{$1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$} +\item \L{$*q_{w}^{d}1\hat{q}$} )כאשר\L{$*$}- כל תו שאינו \L{$S$} או \L{$1$}( +\item \L{$Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$} +\item \L{$1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$} +\end{itemize} +\end{itemize} +\item הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים \L{$S$}. +כל פעם שהמכונה פוגשת \L{$S$} היא תיכנס ל\char`\"{}תת מכונה\char`\"{} +שמזיזה את כל הסרט שעד \L{$E$} ימינה בתו אחד, כותבת \L{$B$} במקום +הראשון שמימין ל-\L{$S$} וחוזרת לריצה של \L{$T$}. הדבר היחיד שצריך +להשתכנע: יש מכונה \L{$Sh$} שבהינתן קלט מן הצורה \L{$...BBS...EBBB...$} +מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה. נוסיף לא\char`\"{}ב שלנו +תו מיוחד \L{$B^{*}$} , המכונה תרוץ באופן הבא: + +\begin{enumerate} +\item תסרוק עד שתגיע ל\L{$E$} +\item לכל תו \L{$\alpha$} בא\char`\"{}ב המקורי )כלומר שאינו \L{$B^{*}$}( +יהיה מצב פנימי \L{$q_{\alpha}$}. סדרת הפקודות: + +\begin{itemize} +\item \L{$\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$} +\item \L{$Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$} +\item \L{$B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$} +\end{itemize} + +מעתיקה את התו \L{$\alpha$} תו אחד מימין למקומו המקורי. צריך טיפול +נפרד בתווים \L{$S,E$} אבל אין בעיה. + +\end{enumerate} +\item אם בא\char`\"{}ב שלנו יש \L{$n$} תווים נבנה מכונה \L{$T^{*}$} שבה +התו ה-\L{$i$} בא\char`\"{}ב של \L{$T$} ייוצג ע\char`\"{}י \L{$n$}-יה +של תאים \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$} +. קל לבדוק שכל פקודה מהצורה \char`\"{}זוז ימינה\char`\"{} או \char`\"{}זוז +שמאלה\char`\"{} ב\L{$T$} ניתן לתרגם בקלות לפקודה \char`\"{}זוז \L{$n$} +תווים ימינה/שמאלה\char`\"{} ב\L{$T^{*}$}. פקודה מהצורה \char`\"{}כתוב +את התו ה\L{$i$} בא\char`\"{}ב בתא הנוכחי\char`\"{} תתרגם לסדרה של +\L{$n$} פקודות כתיבה \char`\"{}כתוב במקום ה\L{$n$}-יה שאתה נמצא +בתחילתה את ה\L{$n$}-יה \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}. +כנ\char`\"{}ל לגבי הקריאה. לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו \L{$1$} +בא\char`\"{}ב של \L{$T$} ע\char`\"{}י \L{$\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$}אז +\L{$f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$} לכל \L{$n$}. +\end{enumerate} +\end{proof} +מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את התנאים {\beginL 2,3,4\endL} +. לפי {\beginL 1\endL} אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות +לחישוב ע\char`\"{}י מכונת טיורינג הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה. +בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך +הריצה. עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל-\L{$S$}. +\begin{claim} +נניח ש-\L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ו- \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +חשיבות טיורינג אז גם \L{$f\circ g$} חשיבה טיורינג.\end{claim} +\begin{proof} +תהינה \L{$T_{f},T_{g}$} מכונות כך ש\L{$f_{T_{f}}^{\prime}=f$} וגם +\L{$g_{T_{g}}^{\prime}=g$} . לכל מצב פנימי של \L{$f$} במכונה החדשה +יהיה מצב פנימי \L{$q^{*}$}. אז המכונה של ההרכבה תהיה: +\begin{enumerate} +\item רשימת הפקודות של \L{$T_{g}$}. +\item מוחקים את \L{$S$}, וכותבים במקומו \L{$1$}, מוחקים את \L{$E$}, חוזר +להתחלה ועובר למצב פנימי \L{$q_{0}^{*}$} +\item רשימת הפקודות של \L{$T_{f}$} עם השינוי שכל פקודה מהצורה \L{$*q\star q_{1}$} +משתנה לפקודה מהצורה \L{$*q^{*}\star q_{1}^{*}$}. +\end{enumerate} +\end{proof} +\begin{claim} +משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור \char`\"{}מיזער\char`\"{}: +\L{ +\begin{eqnarray*} +\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases} +a & (*)\\ +undefined & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +} כאשר {*} הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא.... +\end{claim} + +\section{פונקציות חשיבות} + +ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג: +\begin{itemize} +\item \L{$1$} - הפונקציה הקבועה {\beginL 1\endL} +\item \L{$0$} - הפונקציה הקבועה {\beginL 0\endL} +\item \L{$x+y$} - חיבור +\item קל לוודא ש\L{$\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$} עבור \L{$k<n\in\mathbb{N}$} +חשיבה טיורינג )לכל \L{$k,n$}( +\item מה לגבי \L{$x\cdot y$}? קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט \L{$y$} +מעתיקה את \L{$y$} בסוף הקלט. גם כפל פונקציה חשיבה - תרגיל קל. +\item מה לגבי הפונקציה \L{$C_{<}(x,y)=\begin{cases} +1 & x<y\\ +0 & else +\end{cases}$}? גם הפונקציה הזו חשיבה )מוחקים כל פעם תו מתחילת \L{$x$} ומסוף \L{$y$}...( +\item ראינו גם: אם \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} ו-\L{$g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$} +חשיבות טיורינג אז גם \L{$f\circ g$} חשיבה טיורינג.\end{itemize} +\begin{definition} +\L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} חשיבה טיורינג אם +\L{ +\begin{eqnarray*} +f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k})) +\end{eqnarray*} +} וכל אחת מהפונקציות \L{$f_{i}$} עבור \L{$1\le i\le m$} חשיבה טיורינג. + +ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל +הפונקציות המתקבלות מן הרשימה הנ\char`\"{}ל על ידי מספר סופי של הרכבות +הן פונקציות שלמות. כלומר מוגדרות על כל \L{$\mathbb{N}^{k}$} עבור +\L{$k$} מתאים. לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות, +למשל: \L{$1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$} )מכונה שלא +עוצרת על חלק מהקלטים - על \L{$0$} במקרה הזה(. \end{definition} +\begin{claim} +תהי \L{$g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$} +פונקציה כלשהי. נגדיר \L{ +\begin{eqnarray*} +h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases} +t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\ + & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\ +undefined & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +} אזי אם \L{$g$} חשיבה טיורינג גם \L{$h$} חשיבה טיורינג. \L{$\mu$} +נקרא אופרטור ה\char`\"{}מיזער\char`\"{}.\end{claim} +\begin{proof} +)רעיון( תהי \L{$T$} מכונת טיורינג המחשבת את \L{$g$} )כלומר \L{$f_{T}^{k}=g$}(. +\char`\"{}מטה רעיון\char`\"{} - נריץ את \L{$T$} על הקלט \L{$0,x_{2},...,x_{k}$}. +אם המכונה לא עוצרת זה אומר ש\L{$g$} לא מוגדרת ב\L{$(0,x_{2},...,x_{k})$} +ולכן גם \L{$h(x_{2},...,x_{k})$} לא מוגדרת כנדרש. אם הריצה מסתיימת +נבדוק האם היא הסתיימה ב\L{$0$}. אם כן, נחזיר \L{$0$} ואז \L{$h(0,x_{2},...,x_{k})=0$} +כנדרש. אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט \L{$1,x_{2},...,x_{k}$} +וכו'. אם המכונה הנ\char`\"{}ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר +\L{$t$} עבורו \L{$g(t,x_{2},...,x_{k})=0$}, בפרט \L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$} +מוגדרת לכל \L{$t^{\prime}<t$}. מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד +מהבאים מתקיים: +\begin{enumerate} +\item קיים \L{$t$} כך ש\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})$} לא מוגדר ו\L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$} +לכל \L{$t^{\prime}<t$}. +\item הסעיף הקודם לא מתקיים ו\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})>0$} לכל \L{$t$}. +ואילו במקומות בהם \L{$h$} לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון. +\end{enumerate} + +ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא. המכונה מסמנת את סוף הקלט +ב\L{$S$}. בשלב הראשון המכונה \L{$T^{*}$} תעתיק את הקלט \L{$x_{2},...,x_{k}$} +מימין ל\L{$S$} ותוסיף \L{$1B$} בהתחלה. בשלב הבא \L{$T^{*}$} תחקה +את הריצה של \L{$T$} על \L{$0,x_{2},...,x_{k}$} כאשר היא מקפידה )וזה +הרי \L{$T$} עושה ממילא( לא לזוז משמאל ל\L{$S$}. אם השלב הזה בריצה +הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין ל\L{$S$} יהיה כתוב \L{$E$} )כי +כך \L{$T$} עובדת(. אם בין \L{$S$} ל\L{$E$} לא מופיע התו \L{$1$}, +אז \L{$T^{*}$} תחזור עד להתחלת הקלט של \L{$T^{*}$} )משמאל ל\L{$S$}( +תמחק את כל הקלט ותעצור. אם בין \L{$S$} ל\L{$E$} מופיע התו \L{$1$} +המכונה תחזור לתחילת הקלט של \L{$T^{*}$}, תכתוב \L{$1$} לפני ה\L{$B$} +הראשון ותתחיל מההתחלה. + +\end{proof} +\begin{definition} +פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} תיקרא חשיבה/רקורסיבית +אם היא מתקבלת מן הפונקציות \L{$\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$} +על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור \L{$\mu_{x}$}. במילים +אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות +מ\L{$\mathbb{N}^{k}$} ל\L{$\mathbb{N}^{m}$} שמכיל/ה את הפונקציות +הנ\char`\"{}ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור \L{$\mu_{x}$}. \end{definition} +\begin{theorem} +פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} חשיבה אם +ורק אם היא חשיבה טיורינג. + +הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג. \uline{תרגיל:} הפונקציה +\L{$n\mapsto n!$} היא חשיבה טיורינג. הוכח שהפונקציה חשיבה. שאלה כמעט +זהה: מדוע הפונקציה \L{$f(m)=\begin{cases} +n & m=2^{n}\\ +0 & m=1\, or\, else +\end{cases}$} חשיבה?\end{theorem} +\begin{definition} +תהי \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} אזי \L{$\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$} +זו הפונקציה המוגדרת על ידי \L{ +\begin{eqnarray*} +\chi_{A}(x) & = & \begin{cases} +1 & x\in A\\ +0 & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +}. \L{$\chi_{A}$} נקראת \textbf{הפונקציה המציינת} של \L{$A$}. +\begin{definition} +יחס \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} נקרא \textbf{חשיב} אם \L{$\chi_{A}$} +פונקציה חשיבה.\end{definition} +\begin{claim} +משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים, +חיתוכים והשלמה. +\end{claim} +\end{definition} +\begin{proof} +~ +\begin{itemize} +\item אם \L{$A$} חשיבה אז \L{$\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$}. +\item אם \L{$A,B$} חשיבות אז \L{$\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$}. +\item \L{$\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$} או לפי דה-מורגן. +\end{itemize} + +יוצא, למשל, כי היחס \L{$A(x,y)=(x\le y)$} חשיב. זה פשוט איחוד היחסים +החשיבים \L{$C_{<}(x,y)$} ו-\L{$x=y$}. + +\end{proof} +\begin{claim} +)הגדרה לפי מקרים(: תהיינה \L{$f_{1},...,f_{n}$} פונקציות חשיבות \L{$k$}-מקומיות, +ו-\L{$A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$} זרות וחשיבות, כך ש\L{$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$}. +אזי הפונקציה \L{ +\begin{eqnarray*} +f(x) & = & \begin{cases} +f_{1}(x) & x\in A_{1}\\ +\vdots & \vdots\\ +f_{n}(x) & x\in A_{n} +\end{cases} +\end{eqnarray*} +} חשיבה. \end{claim} +\begin{proof} +\L{$\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$} וזו פונקציה חשיבה +כי \L{$\chi_{A_{i}}$} חשיבות, \L{$f_{i}$} חשיבות והחיבור והכפל חשיבים. +\end{proof} + +\section{פונקציות חשיבות - המשך} +\begin{definition} +יהי \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} יחס חשיב, \L{$k+1$} מקומי. +נגדיר אופרטור: \L{ +\begin{eqnarray*} +\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases} +t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\ +z & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +}.\end{definition} +\begin{claim} +אם \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} יחס חשיב אז הפונקציה \L{$h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$} +חשיבה.\end{claim} +\begin{proof} +פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים {]}אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם +המקרים?{[}. לחילופין אפשר נשים לב ש-\L{ +\begin{eqnarray*} +h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z)) +\end{eqnarray*} +} כאשר \L{$C_{=}(x,z)=0\iff x=z$}, וברור שזו פונקציה חשיבה. נשים לב +\L{$h(z,\bar{y})$} תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה. \end{proof} +\begin{corollary} +אם \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} יחס חשיב אז היחס \L{$B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$} +הוא חשיב.\end{corollary} +\begin{proof} +\L{$(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}. לכן זו פשוט הפונקציה +\L{$\chi_{B}$} ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה. מדוע \L{$C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$}? +כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים \L{$0,1$} יספיק להראות שלכל +\L{$(z,\bar{y})$} מתקיים \L{$\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$} +. לפי הגדרה \L{ +\begin{eqnarray*} +\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z +\end{eqnarray*} +}. +\end{proof} +במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום. +\uline{הערה חשובה מאוד}: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות +)שאינו חסום(. + +\uline{מטרה:} לבנות פונקציה חשיבה \L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$} +כך שלכל סדרה סופית \L{$\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} +של מספרים טבעיים קיים \L{$c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$} )קוד הסדרה( +המקיים: +\begin{enumerate} +\item \L{$\beta(c_{\bar{a}},0)=n$} +\item לכל \L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} מתקיים \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$} +\item )מסיבות טכניות נרצה גם( \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$} לכל +\L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} .\end{enumerate} +\begin{claim} +)טענת עזר {\beginL 1\endL}( קיימת פונקציה חשיבה \L{$Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$} +שהיא חח\char`\"{}ע ועל. {]}יהיה שימושי לשים לב ש\L{$Pr$} שנמצא מקיימת +\L{$Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$}{[}. +\begin{proof} +\L{$Pr(x,y)$} יהיה המקום של הזוג \L{$(x,y)$} במספור הזוגות: + +\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} +\hline + & \R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{6}\endL}}\tabularnewline +\hline +\hline +\R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL 0\endL}} & \R{{\beginL 1\endL}} & \R{{\beginL 3\endL}} & \R{{\beginL 6\endL}} & \R{{\beginL 10\endL}} & \R{{\beginL 15\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}}\tabularnewline +\hline +\R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL 2\endL}} & \R{{\beginL 4\endL}} & \R{{\beginL 7\endL}} & \R{{\beginL 11\endL}} & \R{{\beginL 16\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}}\tabularnewline +\hline +\R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL 5\endL}} & \R{{\beginL 8\endL}} & \R{{\beginL 12\endL}} & \R{{\beginL 17\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & \tabularnewline +\hline +\R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL 9\endL}} & \R{{\beginL 13\endL}} & \R{{\beginL 18\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & & \tabularnewline +\hline +\R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL 14\endL}} & \R{{\beginL 19\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & & & \tabularnewline +\hline +\R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL 20\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & & & & \tabularnewline +\hline +\R{{\beginL \textbf{6}\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & & & & & \tabularnewline +\hline +\end{tabular} + +לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט \L{$\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$}. +לפי התיאור הזה ברור ש: +\begin{enumerate} +\item \L{$Pr(x,y)$} חשיבה +\item מקיימת \L{$Pr(x,y)\ge x$} וגם \L{$Pr(x,y)\ge y$} +\item לפי התיאור הגרפי היא חח\char`\"{}ע ועל )הוכחה יותר אלגברית - מכירים +ממבוא ללוגיקה(. +\end{enumerate} +\end{proof} +\end{claim} +~ +\begin{claim} +)טענת עזר {\beginL 2\endL} - משפט השאריות הסיני( יהי \L{$n\in\mathbb{N}$}, +\L{$m_{1},...,m_{n}$} מספרים טבעיים זרים בזוגות. יהיו \L{$k_{1},...,k_{n}$} +מספרים טבעיים כלשהם )בד\char`\"{}כ מניחים \L{$k_{i}<m_{i}$} אבל זה +לא חשוב(. אזי קיים \L{$b\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$b\equiv_{m_{i}}k_{i}$} +לכל \L{$1\le i\le n$} . \end{claim} +\begin{proof} +ניקח \L{$d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$}. לכל \L{$b<d$} +נגדיר \L{$\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $}. +יש \L{$d$} n-יות כאלה. לכן אם נראה שההעתקה \L{$b\mapsto\bar{b}$} +חח\char`\"{}ע אזי היא בהכרח על )כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל \L{$d$}(. +נניח ש\L{$\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$} כלומר \L{$b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$} +לכל \L{$i$}, כלומר \L{$b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$}, בפרט \L{$m_{i}|b_{1-b_{2}}$} +)בה\char`\"{}כ \L{$b_{1}>b_{2}$}( לכל \L{$1\le i\le n$}. לכן \L{$b_{1}-b_{2}$} +מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה\L{$m_{i}$}. כיוון שה\L{$m_{i}$} +זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא \L{$d$}. אבל \L{$b_{1}-b_{2}<d$} +וזו סתירה. \end{proof} +\begin{claim} +)טענת עזר {\beginL 3\endL}( לכל \L{$n\in\mathbb{N}$} המספרים \L{$\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$}זרים +בזוגות. \end{claim} +\begin{proof} +נניח בשלילה ש\L{$p$} ראשוני מחלק את \L{$1+i(n!)$} ומחלק את \L{$1+j(n!)$} +לאיזה \L{$i>j$}. לכן: \L{$p|(i-j)\cdot(n!)$} . כיוון ש\L{$p$} ראשוני +הוא מחלק או את \L{$i-j$} או את \L{$n!$}. כיוון ש\L{$i-j<n$} בהכרח +\L{$p$} מחלק את \L{$n!$}. אבל \L{$p$} אמור לחלק את \L{$1+i(n!)$} +וזה לא ייתכן. \end{proof} +\begin{claim} +תהי \L{$\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} כאשר \L{$Rem(t_{1},t_{2})$} +היא השארית של \L{$t_{1}$} בחלוקה ב-\L{$t_{2}$}. אזי: +\begin{enumerate} +\item \L{$\gamma(z,y,i)$} חשיבה. מדוע? יספיק להראות ש\L{$Rem(t_{1},t_{2})$} +חשיבה. אבל \L{$Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$} והיחס \L{$t_{2}|t_{1}$} +הוא חשיב, למשל ע\char`\"{}י \L{$(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$}. +\item לכל סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} של +טבעיים יש \L{$y,z$} כך שלכל \L{$0<i\le n$} מתקיים \L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$}. +מדוע? נבחר \L{$k>n$} כלשהו ונבחר \L{$y=k!$}. לפי טענת עזר {\beginL 3\endL} +קיים \L{$z$} כך ש\L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$} לכל \L{$i\le n$}. +\item )טכני( \L{$\gamma(z,y,i)\le z$} לכל \L{$z,y,i$}. +\end{enumerate} +\end{claim} +הפונקציה \L{$\beta(b,i)$} המבוקשת תהיה \L{$\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$} +כאשר \L{$Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$} ו-\L{$Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$}. +הדבר היחיד שנותר לוודא \L{$Pr^{L},Pr^{R}$} הן פונקציות חשיבות. + + +\section{הצפנות} + +\uline{חזרה:} אם \L{$A(x,y)$} יחס חשיב אז \L{$(\exists x<z)A(x,\bar{y})$} +יחס חשיב. \L{ +\begin{eqnarray*} +(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases} +t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\ +z & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +} פונקציה שלמה. הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל\L{$\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$}. + +נאמר ש\L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$} מצפינה סדרות +סופיות אם לכל סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} +יש \L{$\bar{a}\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$\beta(\bar{a},0)=n$} ולכל +\L{$1\le1\le n$} מתקיים \L{$\beta(\bar{a},i)=a_{i}$}. +\begin{claim} +הפונקציה \L{$(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$} +היא חח\char`\"{}ע ועל מ\L{$\mathbb{N}^{2}$} ל\L{$\mathbb{N}$}. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +לכל \L{$m_{1},...,m_{k}$} זרים בזוגות ולכל \L{$a_{1},...,a_{k}$} +טבעיים יש \L{$b\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$b\equiv_{m_{i}}a_{i}$} לכל +\L{$i$}. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +לכל \L{$n\in\mathbb{N}$} המספרים \L{$1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$} +זרים בזוגות. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +נגדיר \L{$\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} מקיימת: +\begin{enumerate} +\item \L{$\gamma$} חשיבה +\item לכל סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} קיימים +\L{$z,y$} כך שלכל \L{$1\le i\le n$} מתקיים \L{$a_{i}=\gamma(z,y,i)$} +\item \L{$\gamma(z,y,i)\le z$} +\end{enumerate} + +לגבי \L{$2$} ניקח את \L{$max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$} וניקח \L{$y=k!$} +. לפי טענה {\beginL 3\endL} מתקיים כי \L{$1+y(i+1)$} זרים בזוגות. +לפי הטענה השניה יש \L{$z$} שעונה על הדרישה. ביתר דיוק, יש \L{$z$} +כך שלכל \L{$i$} מתקיים \L{$z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$}. אבל בעצם \L{$a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$} +כי \L{$a_{i}<1+y(i+1)$}. + +\end{claim} +~ +\begin{claim} +הפונקציה \L{$\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$} היא פונקצית +זיווג חשיבה כאשר \L{$Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$} ו\L{$Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$} +. \end{claim} +\begin{proof} +מטענה {\beginL 4\endL} ברור כי \L{$\beta(y,i)$} מצפינה סדרות סופיות. +בהינתן סדרה סופית \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} +טענה {\beginL 4\endL} סעיף ){\beginL 2\endL}( מבטיחה \L{$t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$} +כך ש\L{$\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$} לכל \L{$1\le i\le n$}. נחליף +את הסדרה בסדרה \L{$\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}, +נמצא \L{$t_{1},t_{2}$} כמובטח ונגדיר \L{$y=Pr(t_{1},t_{2})$} אז +\L{$\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$} וגם \L{$\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$}. +נשאר רק לוודא ש\L{$\beta$} חשיבה. מספיק לוודא ש\L{$Pr^{-1}(y)$} +היא חשיבה ומלאה/שלמה. הפונקציה שלמה כי \L{$Pr$} היא על. הפונקציה +חשיבה פשוט כי \L{ +\begin{eqnarray*} +\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y) +\end{eqnarray*} +} +\end{proof} +מעתה ועד עולם נקבע פונקציה \L{$\beta$} כנ\char`\"{}ל. +\begin{definition} +נאמר ש\L{$x$} מצפין סדרה סופית אם אין \L{$x^{\prime}<x$} כך ש\L{$\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$} +ולכל \L{$i\le\beta(x,0)$} מתקיים \L{$\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$}. \end{definition} +\begin{claim} +היחס \L{$\theta(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} מצפין סדרה סופית\char`\"{} +הוא חשיב. \end{claim} +\begin{proof} +\L{$\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$} +. +\end{proof} +מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג \L{$T$} ו\L{$n\in\mathbb{N}$} +הפונקציה \L{$f_{T}^{n}$} חשיבה. נקבע אחת ולתמיד מכונת טיורינג \L{$T$} +ו\L{$n\in\mathbb{N}$} ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל\L{$f_{T}^{n}$}. +נזדקק להרבה טענות עזר. כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב\L{$f_{T}^{n}$} +ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את \L{$T$} איך שנרצה כל עוד לא נשנה +את הפונקציה שהיא מחשבת. לכן, בה\char`\"{}כ, \L{$T$} מכונת טיורניג +תקנית: +\begin{enumerate} +\item הא\char`\"{}ב של \L{$T$} כולל רק את \L{$\{1,B\}$} ונק' ההתחלה והסיום +\L{$\{S,E\}$}. +\item למכונה יש מצב פנימי יחיד \L{$\hat{q}$} שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו, +ו\L{$\hat{q}$} אינו מופיע במהלך הריצה. +\item בתום הריצה הראש הקורא נמצא על \L{$S$} ובין \L{$S$} ל\L{$E$} יש +רק אחדות. +\end{enumerate} +מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של \L{$T$} סופי לא יזיק להניח ש\L{$\{1,B\}$} +מיוצגים ע\char`\"{}י המספרים הטבעיים \L{$\{1,0\}$} בהתאמה ו\L{$\{S,E\}$} +ע\char`\"{}י \L{$\{2,3\}$} בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע\char`\"{}י +\L{$\{4,...,k\}$} כאשר \L{$q_{0}$} מיוצג ע\char`\"{}י \L{$4$} ו\L{$\hat{q}$} +מיוצג ע\char`\"{}י \L{$k$}. + +כזכור, מצב של \L{$T$} זו שלשה \L{$\left\langle n,q,h\right\rangle $} +כאשר \L{$n$} המיקום של הראש ביחס ל\L{$S$} שמיקומו \L{$0$}, \L{$q$} +המצב הפנימי, ו-\L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$} מתארת את +התאים במכונה. כמובן יספיק להניח ש\L{$h$} מתארת רק את המספר הסופי +של התאים שבין \L{$S$} ל\L{$E$}. אפשר לתאר מצב ע\char`\"{}י סדרה +מהצורה הבאה:\L{ +\[ +\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle +\] +} כאשר \L{$\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$} ולכל \L{$1<i<r$} מתקיים \L{$a_{i}\in\{0,1\}$}. +\begin{claim} +){\beginL 1\endL}( היחס \L{$\varphi(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} +מצפין מצב של המכונה \L{$T$}\char`\"{} חשיב. \end{claim} +\begin{proof} +היחס יתואר ע\char`\"{}י חיתוך של הדרישות הבאות: +\begin{enumerate} +\item \L{$\theta(x)$} - היחס האומר ש\L{$x$} מצפין סדרה. +\item לכל \L{$0<i\le\beta(x,0)$} מתקיים \L{$\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$} +\item \L{$\beta(x,1)=2$} וגם \L{$\beta(x,\beta(x,0))=3$} +\item קיים \L{$0<i\le\beta(x,0)$} יחיד כך ש\L{$\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$}. +\end{enumerate} + +כיוון שכל אלה חשיבים - גמרנו. + +\end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 2\endL}( היחסים \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$} +מצפין מצב התחלתי של \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} מצפין מצב +סופי של \L{$T$}\char`\"{} - כולם חשיבים.\end{claim} +\begin{proof} +\L{$\varphi_{S}(x)$} זה חיתוך של \L{$\varphi(x)$} עם הדרישה הנוספת +ש\L{$\beta(x,2)=4$}. \L{$\varphi_{E}(x)$} כנ\char`\"{}ל עם \L{$\beta(x,2)=k$}. \end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 3\endL}( היחס \L{$\varphi(x,y)$} האומר \char`\"{}\L{$x,y$} +מייצגים מצבים של \L{$T$} ו\L{$y$} המצב העוקב של \L{$x$} לפי \L{$T$}\char`\"{} +הוא יחס חשיב.\end{claim} +\begin{proof} +זה כמובן חיתוך של התנאים \L{$\varphi(x),\varphi(y)$} עם התנאי הנוסף +ש\L{$y$} המצב העוקב ל\L{$x$}. לכל \L{$p\in I(T)$} )לכל פקודה של +\L{$T$}( נגדיר יחס \L{$\varphi_{p}(x,y)$} האומר \L{$x,y$} מצבים +של \L{$T$} ו-\L{$y$} עוקב של \L{$x$} לפי \L{$p$} ובפרט \L{$x$} +מצב רלוונטי לפקודה \L{$p$}. \char`\"{}\L{$x$} מצב רלוונטי לפקודה +\L{$p$} \char`\"{} זה פשוט \L{$\varphi(x)$} וגם אם \L{$\beta(x,i)>3$} +ל\L{$i>1$} אז \L{$p$} פקודה מהצורה \L{$\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$}. +במילים אחרות אם \L{$p$} היא הרביעייה \L{$\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $} +אז \L{$x$} רלוונטי ל\L{$p$} אם \L{$\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$}. +נסמן זאת \L{$\varphi_{p}(x)$}. לומר ש\L{$y$} עוקב של \L{$x$} לפי +\L{$p$} זה לומר \L{$\varphi(x),\varphi(y)$}. \L{$\varphi_{p}(x)$} +עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה \L{$p$}. נטפל למשל במקרה ש\L{$p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $} +כאשר \L{$\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$}. מתי \L{$y$} יתקבל מ\L{$x$} +ע\char`\"{}י הפקודה \L{$p$}? אם \L{$x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $}. +פשוט צריך לדרוש: +\begin{enumerate} +\item נסמן \L{$i_{0}$} להיות ה\L{$i$} היחיד כך ש\L{$i\le\beta(x,0)$} +ו-\L{$\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$}. +\item נדרוש ש\L{$\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$} +ובכל מקרה אחר \L{$\beta(y,j)=\beta(x,j)$}. +\end{enumerate} + +הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה. זה מקרה ש\L{$\varphi_{p}(x,y)$} +חשיבה. לומר ש\L{$y$} עוקב של \L{$x$} זה פשוט \L{${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$} +. + +\end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 4\endL}( היחס \L{$\rho(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} מקודד +ריצה מסתיימת של \L{$T$}\char`\"{} הוא חשיב.\end{claim} +\begin{proof} +~ +\begin{enumerate} +\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} מצפין סדרה. +\item \L{$\varphi_{S}(\beta(x,1))$} כלומר האיבר הראשון בסדרה ש\L{$x$} +מצפין הוא מצב התחלתי של \L{$T$}. +\item \L{$\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$} - האיבר האחרון בסדרה הוא מצב +סופי של \L{$T$}. +\item לכל \L{$1\le i<\beta(x,0)$} מתקיים \L{$\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$} +כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע\char`\"{}י האיבר +הקודם לו. +\end{enumerate} +\end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 5\endL}( \L{$f_{E}(x)=n$} זו הפונקציה שמחזירה \L{$n$} +אם \L{$x$} מצפין מצב סופי של \L{$T$} ו\L{$n$} הפלט של המכונה במצב +זה. {\beginL 0\endL} אחרת. זו פונקציה חשיבה: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$} +. +\end{claim} + +\section{חשיבות} + +היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה. +\begin{claim} +){\beginL 1\endL}( היחס \L{$\varphi(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} +מצפין מצב של המכונה \L{$T$}\char`\"{} חשיב. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +){\beginL 2\endL}( היחסים \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$} +מצפין מצב התחלתי של \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} מצפין מצב +סופי של \L{$T$}\char`\"{} - כולם חשיבים. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +){\beginL 3\endL}( היחס \L{$\varphi(x,y)$} האומר \char`\"{}\L{$x,y$} +מייצגים מצבים של \L{$T$} ו\L{$y$} המצב העוקב של \L{$x$} לפי \L{$T$}\char`\"{} +הוא יחס חשיב. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +){\beginL 4\endL}( היחס \L{$\rho(x)$} האומר \char`\"{}\L{$x$} מקודד +ריצה מסתיימת של \L{$T$}\char`\"{} הוא חשיב. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +){\beginL 5\endL}( \L{$\varphi_{E}(x)=n$} זו הפונקציה שמחזירה \L{$n$} +אם \L{$x$} מצפין מצב סופי של \L{$T$} ו\L{$n-1$} הפלט של המכונה +במצב זה. {\beginL 0\endL} אחרת. זו פונקציה חשיבה: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$} +. נדרוש ש\L{$\varphi_{E}(x)=0$} אחרת. +\end{claim} +~ +\begin{claim} +היחס \char`\"{}\L{$x$} מקודד מצב התחלתי של \L{$T$} שבו הקלט הוא +\L{$x_{1},...,x_{n}$}\char`\"{} הוא יחס חשיב. נסמן זאת \L{$\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$}. +\end{claim} +כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש\L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} +פונקציה חשיבה. נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: \L{ +\begin{eqnarray*} +f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))) +\end{eqnarray*} +} כאשר \L{$\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$} - האיבר הראשון בסדרה ש\L{$x$} +מקודד, וכאשר \L{$\mu_{x}^{*}(A(x,y))$} זה ה\L{$x$} המזערי עבורו +\L{$\chi_{A}(x,y)=1$}. +\begin{claim} +\L{$f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} ובפרט \L{$f$} +מוגדרת אם ורק אם ריצת \L{$T$} על \L{$x_{1},...,x_{n}$} עוצרת.\end{claim} +\begin{proof} +ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים. אם \L{$T$} עוצרת +על \L{$x_{1},...,x_{n}$} אז קיים \L{$x$} כך ש\L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$} +- כלומר קיים \L{$x$} המקודד ריצה מסתיימת של \L{$T$} המתחילה בקלט +\L{$x_{1},...,x_{n}$}. אם נבחר \L{$x_{0}$} הקטן ביותר המקיים זאת +אז \L{ +\begin{eqnarray*} +x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})) +\end{eqnarray*} +} כי לכל \L{$x^{\prime}<x_{0}$} הפונקציה \L{$\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$} +מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור \L{$\mu_{x}^{*}$}, ואז \L{ +\begin{eqnarray*} +f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n}) +\end{eqnarray*} +}נניח ש\L{$T$} אינה עוצרת על \L{$x_{1},...,x_{n}$} אז \L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$} +לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה \L{$\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$} +אינה מוגדרת. +\end{proof} +עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד +גם את המכונות עצמן. מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות )טיורינג( +ולא במכונות עצמן, אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה. ומכיוון +שהא\char`\"{}ב סופי ורשימת הפקודות סופית )וכבר זיהינו את הא\char`\"{}ב +עם המספרים הטבעיים \L{$\{0..k\}$}(. אם רק נוסיף לזיהוי הזה את \L{$k+1$} +כפקודה \L{$L$} ואת \L{$k+2$} כפקודה \L{$R$} נוכל לקודד את המכונה +על ידי מספר טבעי. נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה +\L{$T$} נסמן \L{$\left\lceil T\right\rceil $} את הקוד של \L{$T$}. +אם \L{$e\in\mathbb{N}$} הוא קוד של מ\char`\"{}ט נסמן \L{$T_{e}$} +את המכונה ש-\L{$e$} מקודד. יהיה נוח להניח שאם \L{$n\in\mathbb{N}$} +אינו מקודד מ\char`\"{}ט אז נחליט ש\L{$n-e$} מקודד את המכונה שאינה +עוצרת על אף קלט. +\begin{theorem} +לא קיימת פונקציה חשיבה \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} כך +ש\L{ +\begin{eqnarray*} +f(e) & = & \begin{cases} +1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\ +0 & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +}\end{theorem} +\begin{proof} +נניח בשלילה שקיימת פונקציה \L{$f$} כנ\char`\"{}ל. נגדיר פונקציה \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +ע\char`\"{}י \L{ +\begin{eqnarray*} +g(e) & = & \begin{cases} +T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\ +0 & else +\end{cases} +\end{eqnarray*} +}מההנחה )ומהמשפט האחרון, ומהמשפט על ההגדרה לפי מקרים( \L{$g$} פונקציה +חשיבה )ואפילו שלמה(, ומקודדת, נאמר ע\char`\"{}י \L{$e_{0}$}. אז: +מצד אחד \L{$T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$} ומצד שני \L{$g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$}.\end{proof} +\begin{corollary} +היחס \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} המוגדר ע\char`\"{}י \L{$e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$} +אינו יחס חשיב. מצד שני \L{$A$} הנ\char`\"{}ל היא תחום של מכונת טיורינג +\L{$T$}. הרעיון? המכונה מריצה את \L{$T_{e}(e)$} ומחזירה את התשובה, +אם היא אי פעם מתקבלת. ביתר פירוט, ניקח \L{$\mathcal{U}$} מ\char`\"{}ט +אוניברסלית ונשים לב ש\L{$\mathcal{U}(e,e)$} עוצרת אם ורק אם \L{$e\in A$}. +לכן יש \L{$e$} בתחום של המכונה \L{$\mathcal{U}(x,x)$}. \end{corollary} +\begin{definition} +מכונת טיורינג \L{$T$} תיקרא אוניברסלית אם \L{$f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$} +לכל \L{$(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$} )ובפרט אם \L{$T_{e}$} לא עוצרת +על הקלט \L{$n$} אז \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} לא מוגדרת(.\end{definition} +\begin{theorem} +קיימת מכונת טיורינג אוניברסלית.\end{theorem} +\begin{proof} +הרעיון פשוט, ההוכחה מייגעת, ע\char`\"{}י תיאור המכונה. דרך אחרת: בעזרת +פונקציות חשיבות. נגדיר את \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} באופן הבא. נגדיר את +היחסים הבאים: +\begin{itemize} +\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} הוא קוד. +\item \L{$\theta_{1}(x)$} - \L{$x$} הוא קוד של מכונת טיורינג. כלומר \L{$x$} +מקודד סדרה סופית של רביעיות של מספרים טבעיים. כל רביעייה היא פקודה +ובין הפקודות אין סתירות. +\item \L{$\varphi(e,x)$} - \L{$e$} קוד של מכונת טיורינג ו-\L{$x$} מצב +קוד של מצב פנימי של המכונה המקודדת על ידי \L{$e$}. +\item \L{$\varphi(e,x,y)$}- \L{$e$} קוד של מ\char`\"{}ט, \L{$x,y$} קודים +של המכונה \L{$e$} ו-\L{$y$} הוא העוקב של \L{$x$} לפי \L{$e$}. +\end{itemize} + +ההמשך זהה בדיוק להוכחת משפט השקילות. + +\end{proof} +\begin{definition} +קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} תקרא ניתנת למניה חשיבה )נל\char`\"{}ח +או נל\char`\"{}ר - ניתנת למניה רקורסיבית( אם \L{$A$} היא התחום של +פונקציה חשיבה. + +ראינו שקיימות קבוצות נל\char`\"{}ח שאינן חשיבות.\end{definition} +\begin{theorem} +התנאים הבאים שקולים לקבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$}: +\begin{enumerate} +\item \L{$A$} נל\char`\"{}ח )תחום של פונקציה חשיבה( +\item \L{$A$} היא התמונה של פונקציה חשיבה +\item \L{$A$} היא התמונה של פונקציה חשיבה מלאה +\item \L{$A$} היא מהצורה \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $} +לאיזה יחס חשיב \L{$\varphi(x,y)$}. +\item \L{$A$} היא מהצורה \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $}לאיזה +יחס חשיב \L{$\varphi(x,y)$} +\end{enumerate} + +\section{מניה רקורסיבית} + +תהי \L{$\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$} אזי התנאים הבאים שקולים: +\begin{enumerate} +\item \L{$A$} נל\char`\"{}ח +\item \L{$A$} הטווח של פונקציה חשיבה +\item \L{$A$} הטווח של פונקציה מלאה +\item קיים יחס חשיב \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{2}$} כך ש\L{$A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$} +\item כנ\char`\"{}ל עבור \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} ו-\L{$A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$} +\end{enumerate} +\end{theorem} +\begin{proof} +~ +\begin{itemize} +\item \L{$(1)\Rightarrow(2)$}. תהי \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +כך ש\L{$A=dom(f)$}. תהי \L{$T_{f}$} מ\char`\"{}ט המחשבת את \L{$f$} +כלומר \L{$f=f_{T_{f}}^{1}$}. כיוון ש\L{$A\not=\emptyset$} אפשר לבחור +\L{$a\in A$}. נגדיר פונקציה חשיבה \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +באופן הבא: \L{ +\[ +g(n)=\begin{cases} +Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\ +a & else +\end{cases} +\] +}נסמן את התנאי הנ\char`\"{}ל ב\L{$*$}. אנחנו יודעים ש\L{$*$} הוא +יחס חשיב לכן גם המשלים חשיב. לכן לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים גם \L{$g$} +חשיבה. נראה ש\L{$g$} עונה על דרישותינו - \L{$g(\mathbb{N})=A$}. +אם \L{$l\in g(\mathbb{N})$} אז או ש\L{$l=a$} ואז \L{$l\in A$} . +או ש\L{$l=Pr^{L}(n)$} לאיזה \L{$n\in\mathbb{N}$}. אבל אז זה אומר +ש\L{$T_{f}$} עוצרת על הקלט \L{$l$} אחרי פחות מ\L{$Pr^{R}(n)$} צעדים. +כיוון ש\L{$f_{T_{f}}^{1}=f$} אם אגף שמאל מוגדר גם אגף ימין מוגדר, +כלומר \L{$l\in Dom(f)=A$}. בכיוון השני, אם \L{$l\in Dom(f)$} אז +\L{$T_{f}$} עוצרת על הקלט \L{$l$} אחרי איזה מספר \L{$k$} של צעדים. +אז \L{$n=Pr(l,k+1)$} ולפי הגדרה \L{$g(n)=Pr^{L}(n)=l$}, כלומר \L{$l\in Range(g)$}. +נשים לב: הפונקציה \L{$g$} שלמה. +\item \L{$(2)\Rightarrow(3)$} - מוכיחים באותו אופן. בוחרים \L{$a\in A$} +ומגדירים:\L{ +\[ +g(n)=\begin{cases} +f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\ +a & else +\end{cases} +\] +} +\item \L{$(3)\Rightarrow(4)$} - אם \L{$A=Range(f)$} עבור \L{$f$} חשיבה +)ושלמה( אז היחס \L{$B(x,f(x))$} חשיב. לכן, \L{$y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$}. +\item \L{$(4)\Rightarrow(5)$} - אין מה להוכיח )מקרה פרטי(. +\item \L{$(4)\Rightarrow(1)$} - פשוט: \L{$f(x)=\mu_{y}B(x,y)$}. +\item \L{$(5)\Rightarrow(4)$} - אם \L{$A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$} +אז נגדיר יחס \L{ +\begin{eqnarray*} +C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\} +\end{eqnarray*} +} +\end{itemize} +\end{proof} +\begin{theorem} +)משפט הרקורסיה( תהי \L{$C(x,y)$} פונקציה חשיבה. אזי קיימת מ\char`\"{}ט +\L{$T$} כך ש-\L{$C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$} +לכל \L{$y$}. \end{theorem} +\begin{claim} +קיימת מכונת טיורינג \L{$T$} כל שלכל \L{$n\in\mathbb{N}$} מתקיים +\L{$f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $} כאשר \L{$w_{n}$} +היא המכונה אשר על הקלט הריק כותבת את המספר \L{$n$}. )ההוכחה - בתרגיל +הבית(.\end{claim} +\begin{proof} +המכונה \L{$T$} תהיה הרכבה של {\beginL 3\endL} מכונות: \L{$ABC$} +)מפעילים קודם את \L{$A$} אח\char`\"{}כ את \L{$B$} אח\char`\"{}כ +את \L{$C$}(. המכונה \L{$A$} על הקלט \L{$y$} תחזיר את הפלט \L{$\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}. +מה עושה \L{$B$} על הקלט \L{$x,y$}? היא כותבת את הקוד של המכונה שכותבת +\L{$x$} {]}מטענת העזר{[} ואחריו את \L{$x,y$}. מה יהיה \L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}? +\L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}. +יוצא ש-\L{$C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$} +אבל זה בדיוק מה שהיינו צריכים. \end{proof} +\begin{corollary} +)משפט נקודת השבת( תהי \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} פונקציה +חשיבה ושלמה. אזי קיים \L{$e\in\mathbb{N}$} כך ש\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}. +\end{corollary} +~ +\begin{corollary} +)משפט \inputencoding{latin9}\L{Rice}\inputencoding{cp1255}( נגדיר +יחס שקילות של \L{$\mathbb{N}$} ע\char`\"{}י \L{$e_{1}\sim e_{2}$} +אם ורק אם \L{$f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$} . תהי \L{$L\subseteq\mathbb{N}$} +כך שלכל \L{$e\in L$} אם \L{$e^{\prime}\sim e$} אז \L{$e^{\prime}\in L$}. +אזי \L{$L$} חשיבה אם ורק אם \L{$L=\mathbb{N}$} או \L{$L=\emptyset$}. \end{corollary} +\begin{proof} +נניח בשלילה שלא. אז יש \L{$e_{0}\in L$} ו-\L{$e_{1}\not\in L$}. +נגדיר פונקציה חשיבה: \L{ +\[ +f(n)=\begin{cases} +e_{1} & n\in L\\ +e_{0} & n\not\in L +\end{cases} +\] +} אז \L{$f$} חשיבה ושלמה. לכן ממשפט נקודת השבת יש \L{$e$} כך ש-\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}. +אם \L{$e\in L$} אז גם \L{$f(e)\in L$} כי \L{$L$} סגורה תחת \L{$\sim$}. +אבל אם \L{$e\in L$} אז \L{$e_{1}=f(e)$} ו-\L{$e_{1}\not\in L$}. +באותו אופן בדיוק גם \L{$e\not\in L$} גורר סתירה. +\end{proof} +\uline{דוגמה:} בעיית העצירה אינה חשיבה. אין מכונת טיורינג המחליטה +האם \L{$e$} קוד של מכונה שעוצרת על הקלט הריק. במילים אחרות \L{ +\begin{eqnarray*} +L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\} +\end{eqnarray*} +} אינה חשיבה. ברור ש-\L{$L$} סגורה תחת \L{$\sim$}. לפי משפט רייס +כיוון ש-\L{$L\not=\emptyset$} )יש מ\char`\"{}ט שעוצרת על כל קלט ובפרט +על הקלט הריק( וגם \L{$\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$} )יש +מכונות שלא עוצרות על שום קלט(. לכן לפי משפט רייס \L{$L$} אינה חשיבה. +\begin{proof} +)משפט נקודת השבת( תהי \L{$\mathcal{U}(x,y)$} מ\char`\"{}ט אוניברסלית +ו-\L{$C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$}. אז \L{$C$} מ\char`\"{}ט. לכן +יש \L{$T$} כך ש-\L{$\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$}. +אז \L{$e=\left\lceil T\right\rceil $}. \end{proof} +\begin{remark} +~ +\begin{enumerate} +\item קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} חשיבה היא נל\char`\"{}ח +\item קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} נל\char`\"{}ח היא חשיבה אם ורק אם +גם המשלים של \L{$A$} נל\char`\"{}ח. \uline{הוכחה}: אם גם \L{$A$} +וגם \L{$\mathbb{N}\backslash A$} נל\char`\"{}ח אז יש מ\char`\"{}ט +\L{$T_{1},T_{2}$} שמחשבות את איבריהן. אפשר להניח שהן \L{$f_{T_{1}}^{1}$} +והן \L{$f_{T_{2}}^{1}$} פונקציות שלמות. לכל מספר \L{$n$} נתחיל לחשב +את \L{$T_{1}(1),T_{1}(2),...$} ובמקביל את \L{$T_{2}(1),T_{2}(2),...$} +)אפשר לסירוגין(. המכונה תעצור ברגע שיתקבל פלט \L{$n$}. כיוון ש\L{$A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$} +וגם \L{$\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$} קיים \L{$m\in\mathbb{N}$} +כך ש\L{$f_{T_{1}}^{1}(m)=n$} או \L{$f_{T_{2}}^{1}(m)=n$}. בכל מקרה +אחרי \L{$2m$} חישובים המכונה שלנו תיעצר. אם היא עצרה על הריצה של +\L{$T_{1}(m)$} אז \L{$n\in A$} אחרת \L{$n\not\in A$}. +\end{enumerate} + +\section{פונקציות יציגות} + +\end{remark} +\uline{תרגיל:} תהיינה \L{$A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$} נל\char`\"{}ח +אז: +\begin{enumerate} +\item גם \L{$A_{1}\cup A_{2}$} נל\char`\"{}ח +\item גם \L{$A_{1}\cap A_{2}$} נל\char`\"{}ח +\item יש דרך אחת סבירה להגדיר מתי \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k}$} נל\char`\"{}ח +ואז הטלה של קבוצה נל\char`\"{}ח היא נל\char`\"{}ח\end{enumerate} +\begin{definition} +תהי שפה \L{$\mathcal{L}$} חשיבה. \uline{מספור גדל} של הנוסחאות +\L{$F(\mathcal{L})$} ב-\L{$\mathcal{L}$}זו פונקציה \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$} +המוגדרת באינדוקציה באופן הבא: +\begin{enumerate} +\item שם עצם \L{$x_{i}$} יקודד ע\char`\"{}י \L{$g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$} +\item קבוע אישי \L{$c_{i}$} יקודד ע\char`\"{}י \L{$g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$} +\item שם עצם מהצורה \L{$F_{i}(t_{1},...,t_{n})$} יקודד ע\char`\"{}י \L{ +\begin{eqnarray*} +g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})} +\end{eqnarray*} +} +\item נוסחה מהצורה \L{$R_{i}(t_{1},...,t_{n})$} יקודד ע\char`\"{}י \L{ +\begin{eqnarray*} +g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})} +\end{eqnarray*} +} +\item נוסחה \L{$\varphi$} מהצורה \L{$\varphi=\neg\psi$} תקודד ע\char`\"{}י +\L{$g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$} +\item נוסחה \L{$\varphi$} מהצורה \L{$\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$} +תקודד ע\char`\"{}י \L{$g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$} +\item נוסחה \L{$\varphi$} מהצורה \L{$\varphi=(\exists x_{i})\psi$} תקודד +ע\char`\"{}י \L{$g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$} )הכמת +\L{$\forall$} בדומה( +\end{enumerate} +\end{definition} +~ +\begin{definition} +~ +\begin{enumerate} +\item תורה \L{$T$} בשפה \L{$\mathcal{L}$} היא \uline{כריעה} אם הקבוצה +\L{$\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$} חשיבה. +\item תורה היא חשיבה אם \L{$\{g(\varphi):\varphi\in T\}$} חשיבה. +\end{enumerate} +\end{definition} +\begin{claim} +~ +\begin{enumerate} +\item מספור גדל הוא חח\char`\"{}ע )באינדוקציה על יצירת הנוסחה( +\item בהינתן שפה חשיבה )או סופית( \L{$\mathcal{L}$} היחס \char`\"{}\L{$n$} +מקודד נוסחה בשפה \L{$\mathcal{L}$}\char`\"{} הוא חשיב. +\end{enumerate} +\end{claim} +\begin{proof} +)רעיון כללי( נשים לב )קל לראות באינדוקציה( שאם \L{$\varphi$} נוסחה +באורך \L{$n$} אז \L{$g(\varphi)>n$}. בנוסף, אם ב-\L{$\varphi$} +מופיע סימן פונקציה, סימן יחס, קבוע אישי או משתנה עם אינדקס \L{$i>n$} +אז )באינדוקציה( \L{$g(\varphi)>n$}. + +לכן השאלה האם \L{$n$} מספר גדל של נוסחה שקולה לשאלה האם קיימת נוסחה +\L{$\varphi$} באורך קטן-שווה ל-\L{$n$}, שכל הסימנים הלא-לוגיים המופיעים +בה הם עם אינדקס קטן או שווה ל-\L{$n$}. ומספר גדל של \L{$\varphi$} +הוא \L{$n$}. + +אבל קבוצת הנוסחאות \L{$\varphi$} מאורך קטן-שווה ל-\L{$n$} , שכל +הסימנים בה עם אינדקס קטן-שווה ל-\L{$n$} היא סופית, כלומר זהו כימות +חסום. לכן מספיק לבדוק שהפונקציה ששולחת נוסחה למספר גדל שלה היא חשיבה +טיורינג. )זה עסק מייגע, אבל לא קשה.(\end{proof} +\begin{definition} +~ +\begin{enumerate} +\item תהי \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} , נאמר שתורה \L{$T$} +בשפה המרחיבה את \L{$(0,s)$} מייצגת )חלש( את \L{$f$} אם קיימת נוסחה +\L{$\varphi(x,y)$} בשפה \L{$\mathcal{L}$} כל שלכל \L{$n\in Dom(f)$} +מתקיים \L{$T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$} +כאשר הסימון \L{$\underline{n}:=s^{n}(0)$} עבור \L{$s$} פונקציית +העוקב. +\item יחס \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} \uline{מיוצג} ב-\L{$T$} אם \L{$\chi_{A}$} +מיוצגת ב\L{$T$}. +\end{enumerate} +\end{definition} +~ +\begin{definition} +\uline{תורת פיאנו} \inputencoding{latin9}\L{(Peano Arithmetic)}\inputencoding{cp1255} +זו קבוצת הפסוקים הבאה בשפה \L{$\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$}: +\begin{enumerate} +\item \L{$(\forall x)(s(x)\not=0)$} +\item \L{$(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$} +\item \L{$(\forall x)(x+0=x)$} +\item \L{$(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$} +\item \L{$(\forall x)(x\cdot0=0)$} +\item \L{$(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$} +\item \uline{סכימת האינדוקציה:} לכל נוסחה \L{$\varphi(x,y)$} אקסיומה +מהצורה:\L{ +\[ +(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))] +\] +} +\end{enumerate} +\end{definition} +\begin{theorem} +כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-\L{$PA$}. יתר על כן, קיימת תורה \L{$N$} +סופית כך ש-\L{$PA\vdash N$} וכל פונקציה חשיבה מיוצגת ב-\L{$N$}. +\end{theorem} +\uline{תרגיל}: אם \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} שלמה +ומיוצגת ב-\L{$PA$} אז \L{$f$} חשיבה. +\begin{corollary} +התורה \L{$N$} שמובטחת במשפט, אינה כריעה.\end{corollary} +\begin{proof} +תהי \L{$\varphi(e,z,n)$} הנוסחה האומרת שמ\char`\"{}ט \L{$T_{e}$} +)שהקוד שלה הוא \L{$e$}( עוצרת על הקלט \L{$n$} אחרי \L{$z$} צעדים. + +היחס \L{$\varphi(e,z,n)$} חשיב {]}הוכחנו{[}, לכן לפי המשפט מיוצג +ב-\L{$N$}. כלומר אם \L{$T_{e}(n)$} \uline{לא עוצרת} אז לכל \L{$z$} +מתקיים \L{$N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$}. + +מצד שני, אם \L{$T_{e}(n)$} \uline{עוצרת} אז \L{$N\vdash\varphi(e,z,n)$} +לאיזה \L{$z$}. נניח בשלילה ש-\L{$N$} כריעה אז \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$} +אם ורק אם \L{$T_{e}(n)$} עוצרת. + +אבל מכריעות נקבל שלכל זוג \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} אפשר +לדעם האם \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$} או \L{$N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$}. +כלומר אפשר להכריע האם \L{$T_{e}(n)$} עוצרת או לא. אבל לפי משפט רייס +זו איננה קבוצה חשיבה. סתירה. +\end{proof} +\uline{הערה}: אם \L{$N\subseteq T$} )\L{$N$} התורה המובטחת במשפט( +אז: +\begin{enumerate} +\item כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-\L{$T$} +\item לכן, \L{$T$} איננה כריעה, כי אותה ההוכחה ש-\L{$N$} אינה כריעה תעבוד +עבור \L{$T$}. +\end{enumerate} +\uline{הערה}: אם תורה \L{$T$} היא חשיבה ושלמה אז \L{$T$} כריעה. +להלן אלגוריתם הכרעה: + +נראה בהמשך שאם \L{$T$} חשיבה אז \L{$C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$} +נל\char`\"{}ח. כיוון ש-\L{$T$} שלמה, כדי לבדוק האם \L{$T\vdash\varphi$} +נפעיל את המכונה המונה את \L{$C_{T}$}. בכל שלב נבדוק האם האיבר שהמכונה +פלטה הוא הוכחה של \L{$\varphi$} או הוכחה של \L{$\neg\varphi$} . +השלמות מבטיחה לנו שאחד מהם יתקבל בזמן סופי. אם מתקבל \L{$\varphi$} +- ניצחנו. אם מתקבל \L{$\neg\varphi$} - גם ניצחנו. +\begin{corollary} +כל תורה \L{$T$} כך ש-\L{$N\subseteq T\subseteq PA$} מהמסקנה הקודמת +אינה כריעה. )למשל תורת המספרים איננה כריעה(. +\end{corollary} + +\section{פונקציות יציגות} + +\uline{תזכורת:} פונקציה \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$} +תקרא מיוצגת )חלש( בתורה \L{$T$} )בשפה עם סימן קבוע {\beginL 0\endL} +וסימן פונקציה חד מקומי \L{$s$}( אם קיימת נוסחה \L{$\varphi(x,y)$} +כך שלכל \L{$\bar{n}\in Dom(f)$} מתקיים\L{ +\begin{eqnarray*} +T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y) +\end{eqnarray*} +}כאשר \L{$\underline{n}=s^{n}(0)$}. +\begin{theorem} +כל פונקציה חשיבה יציגה בתורת פאנו ואפילו יש תת-תורה סופית של \L{$PA$} +שבה כל פונקציה חשיבה יציגה.\end{theorem} +\begin{corollary} +תהי \L{$N\subseteq PA$} כמובטח במשפט. אזי \L{$N$} אינה כריעה. \end{corollary} +\begin{proof} +יהי \L{$\varphi(e,n,z)$} היחס האומר \char`\"{}המכונה שהקוד שלה \L{$e$} +עצרה על הקלט \L{$n$} אחרי לכל היותר \L{$z$} מהלכים\char`\"{}. אז +ברור ש-\L{$\varphi(e,n,z)$} הוא יחס חשיב. מהמשפט נובע שלכל שלשה \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$} +מתקיים \L{$N\vdash\varphi(e,n,z)$} אם ורק אם \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle $} +עומדת ביחס, כלומר המכונה \L{$e$} עוצרת על \L{$n$} אחרי לא יותר מ\L{$z$} +צעדים. לכן אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת יש \L{$z_{0}$} +כך ש\L{$N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}. +לכן אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת אז \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}. +מצד שני, אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} לא עוצרת אז \L{$N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$} +לכל \L{$\underline{z_{0}}$}. אבל \L{$\mathbb{N}\models PA$} ולכן +\L{$\mathbb{N}\models N$} . לכן לא ייתכן ש\L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$} +אבל מהנחתנו זה לא מתקיים. יוצא \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$} +אם ורק אם \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת. לכן אילו הייתה +\L{$N$} כריעה היינו יכולים להכריע את בעיית העצירה: בהינתן זוג \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} +היינו פשוט שואלים אם \L{$N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$}. +אם כן - \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} עוצרת, ואם לא אז \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} +לא עוצרת.\end{proof} +\begin{corollary} +כל תורה \L{$N\subseteq T\subseteq PA$} מהמסקנה הקודמת אינה כריעה. + +ניגש להוכחת המשפט עצמו. +\end{corollary} +תהי \L{$N\subseteq PA$} התורה הבאה: +\begin{itemize} +\item \L{$PA(1)-PA(6)$} +\item \L{$(N7)$}: \L{$(\forall x)(\neg x<0)$} +\item \L{$(N8)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$} +\item \L{$(N9)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$} +\item כאשר \L{$x<y$} זה קיצור לנוסחה \L{$(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$}\end{itemize} +\begin{claim} +\L{$PA\vdash N$}. +\begin{proof} +צריך להוכיח רק את \L{$PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$}. כלומר צריך להוכיח:\L{ +\begin{eqnarray*} +PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\ + & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\ + & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\ + & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0) +\end{eqnarray*} +} אבל \L{$PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$}. לכן יספיק +להוכיח ש-\L{$PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$}. זה יספיק כי אז נקבל \L{$(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$}. +ההוכחה ל-\L{$N8$} ו-\L{$N9$} דומה מאוד. +\end{proof} +\end{claim} +\begin{proof} +נראה שכל פונקציה חשיבה יציגה ב-\L{$N$}. לשם כך יספיק להראות: משפחת +הפונקציות היציגות ב-\L{$N$} מכילה מכילה את הפונקציות החשיבות הבסיסיות +וסגורה תחת הרכבות ותחת מזעור. +\begin{claim} +){\beginL 1\endL}( פונקציית ההיטל \L{$P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$} +יציגה ע\char`\"{}י \L{ +\[ +\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y +\] +} \end{claim} +\begin{proof} +יש להראות ש\L{$N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$} +לכל \L{$k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$}. אבל זה שקול ל \L{$N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$}.\end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 2\endL}( הפונקציה \L{$c_{0}(x)=0$} יציגה ב-\L{$N$} ע\char`\"{}י +\L{$\varphi(x,y):=y\approx0$}. ההוכחה קשה באותה מידה. +\end{claim} + +~ + +\end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 3\endL}( הפונקציה \L{$x+y$} יציגה ב-\L{$N$} ע\char`\"{}י +\L{$\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$}. +\begin{proof} +עלינו להראות \L{$N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$}. +באינדוקציה על \L{$n_{2}$} . עבור \L{$n_{2}=0$} מקבלים \L{$\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$}. +נניח עבור \L{$n_{2}$} ונוכיח עבור \L{$n_{2}+1$}:\L{ +\[ +\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1} +\] +} +\end{proof} + +לגבי כפל זה בדיוק אותו דבר. +\begin{claim} +){\beginL 4\endL}( \L{$c_{<}(x,y)$} יציגה ב-\L{$N$} ע\char`\"{}י +\L{$\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$}.\end{claim} +\begin{proof} +ראשית מראים שלכל \L{$n,m\in\mathbb{N}$} אם \L{$n<m$} אז \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$} +. באותו אופן אם \L{$\neg(n<m)$} אז \L{$N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$}. +{]}למשל באינדוקציה על \L{$m$}: מ\L{$N7$} אנחנו יודעים ש\L{$N\vdash\neg(n<0)$} +לכל \L{$n\in N$}. אז נניח שהוכחנו ל\L{$n$} נתון עבור \L{$m$} ונוכיח +עבור \L{$m+1$}. אז אם \L{$n<m$} מהנחת האינדוקציה \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$} +ולפי \L{$N8$} גם \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$}. +המקרה ההפוך דומה{[}.\end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 5\endL}( משפחת הפונקציות היציגות ב\L{$N$} סגורה תחת הרכבה. \end{claim} +\begin{proof} +נניח ש\L{$G(x_{1},...x_{n})$} יציגה ב\L{$N$} ו\L{$h_{i}(y_{1},...,y_{m})$} +יציגות ב\L{$N$} ל\L{$1\le i\le n$}. עלינו להראות ש\L{$G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$} +יציגה ב\L{$N$}. נניח ש\L{$\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$} מייצגות +את \L{$h_{i}$} ל\L{$1\le i\le n$} , ו\L{$\psi(z_{1},..,z_{n},t)$} +את \L{$G$}. נראה ש \L{ +\begin{eqnarray*} +\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t) +\end{eqnarray*} +} מייצגת את ההרכבה. כלומר עלינו להראות שלכל \L{$p_{1},...,p_{m}$} +טבעיים {]}ובתחום של הפונקציות \L{$h_{i}$}{[} מתקיים ש\L{ +\begin{eqnarray*} +N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})}) +\end{eqnarray*} +}. אם נסמן \L{$q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$} ו-\L{$r=G(q_{1},...,q_{n})$} +{]}בהנחה שהכל מוגדר{[} מה שעלינו להראות זה ש\L{$N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$}. +על ידי שנחליף את \L{$t$} בקבוע שאינו מופיע ב\L{$N$} יספיק להוכיח +\L{$N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$}. יספיק +להוכיח כל כיוון בנפרד. כזכור \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$}. +לכן עלינו להוכיח: +\begin{enumerate} +\item \L{$N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$} +\item \L{$N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$} +\end{enumerate} + +נתחיל מ{\beginL 2\endL}. \L{$\varphi_{i}$} מייצגת את \L{$h_{i}$} +ו\L{$p_{1},...,p_{m}$} בתחום של \L{$h_{i}$} לכן \L{$N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$}. +באותו אופן \L{$\psi$} מייצגת את \L{$G$} ו-\L{$q_{1},...,q_{n}$} +בתחום של \L{$G$} לכן \L{ +\begin{eqnarray*} +N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r}) +\end{eqnarray*} +}לכן \L{ +\begin{eqnarray*} +N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r}) +\end{eqnarray*} +} ולכן \L{ +\begin{eqnarray*} +N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t) +\end{eqnarray*} +} + +נסיים עם {\beginL 1\endL}. כיוון ש\L{$\varphi_{i}$} מייצגות את \L{$h_{i}$} +אנחנו יודעים שמההנחה \L{$\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$} אפשר +להסיק \L{$z_{i}=q_{i}$}. כלומר \L{$N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$}. +כיוון ש\L{$\psi$} מייצגת את \L{$G$} אז מ\L{$z_{i}=q_{i}$} עבור +\L{$1\le i\le n$} אפשר להסיק מההנחה \L{$\psi(z_{1},...,z_{n},t)$} +ש\L{$t=\underline{r}$}. לכן \L{$N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$} +כנדרש. \end{proof} +\begin{claim} +){\beginL 6\endL}( משפחת הפונקציות היציגות ב\L{$N$} סגורה תחת מזעור.\end{claim} +\begin{proof} +)רעיון ההוכחה( תהי \L{$G(x_{1},...,x_{n},y)$} פונקציה יציגה ע\char`\"{}י +נוסחה \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$}. תהי \L{$H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$} +. איזו נוסחה תייצג את \L{$H$}? \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$}. +ההוכחה שזה אכן מייצג דומה למה שעשינו עד כה. +\end{proof} + +\section{הוכחת משפטי אי השלמות של גדל} + +\end{claim} +\uline{תזכורת}: הוכחנו אם \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +חשיבה )חלקית( אז \L{$f$} יציגה )חלש( ב\L{$N$}. + +\uline{תרגיל )מתוך תרגיל }{\beginL \uline{10}\endL}\uline{(: +}אם \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} יחס חשיב אז הוא יציג ולכן יש נוסחה +\L{$\varphi(x)$} כך ש: +\begin{enumerate} +\item \L{$N\vdash\varphi(\underline{n})$} אם \L{$n\in A$} +\item \L{$N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$} אם \L{$n\not\in A$} +\end{enumerate} +\uline{תזכורת}: הגדרנו פונקציה \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$} +\char`\"{}מספור גדל\char`\"{} של הנוסחאות בשפה \L{$\mathcal{L}$} +של \L{$PA$} וראינו שזו פונקציה חשיבה. לשם נוחות הסימון בהינתן נוסחה +\L{$\varphi\in F(\mathcal{L})$} נסמן \L{$\left\lceil \varphi\right\rceil $} +מספר הגדל של \L{$\varphi$}. +\begin{theorem} +)משפט נקודת השבת של גדל(: לכל נוסחה \L{$\varphi(x)$} בשפה של \L{$PA$} +קיימת נוסחה \L{$\psi$} כך ש-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}. \end{theorem} +\begin{definition} +תהי \L{$\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$} +)נוסחאות עם משתנה חופשי אחד לנוסחאות ללא משתנים חופשיים( הפונקציה +המקיימת \L{$\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$}. +אז \L{$\Delta$} נקראת פונקציית האלכסון. + +קל להשתכנע ש-\L{$\Delta$} ניתנת לחישוב ע\char`\"{}י מכונת טיורינג. +לכן הפונקציה הבאה חשיבה: \L{$\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +המוגדרת ע\char`\"{}י \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$} אם ורק אם \L{$n$} +מספר גדל של נוסחה במשתנה חופשי אחד, ואם \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$} +אז \L{$n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $} ו\L{$\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $}. +לכן היחס \L{$\tilde{\Delta}(n,m)$} המוגדר ע\char`\"{}י \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta})$} +ו-\L{$\tilde{\Delta}(n)=m$} הוא יחס חשיב. לכן \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$} +יציג ב\L{$N$}. לפי התרגיל יש נוסחה \L{$\delta(x,y)$} כך ש-\L{$N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$} +אם \L{$(n,m)\in\tilde{\Delta}$} ו-\L{$N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$} +אם \L{$(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$}. + +תהי \L{$\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$}. יהי +\L{$\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$}. \end{definition} +\begin{claim} +\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}.\end{claim} +\begin{proof} +נניח ש-\L{$N\vdash\psi$}. צריך להראות ש-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. +אבל \L{$\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}. +נזכור ש\L{$\left\lceil \chi\right\rceil $} מספר גדל של נוסחה במשתנה +אחד. בנוסף, \L{$\delta(x,y)$} היא יצוג של היחס \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}. +לכן \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$} אם ורק אם +\L{$y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}. לכן אם \L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$} +המועמד היחיד שיכול להעיד על כך הוא \L{$\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}. +לכן \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} . בכיוון +השני, נניח ש\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} ועלינו +להוכיח \L{$N\vdash\psi$} . עלינו להראות ש-\L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}. +יספיק להוכיח ש-\L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$} +עבור \L{$y_{0}$} כלשהו. אבל \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$} +- כי \L{$\delta(x,y)$} מייצגת את \L{$\tilde{\Delta}$} ומהנתון \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. +נשים \L{$y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $} וגמרנו.\end{proof} +\begin{theorem} +)משפט השלמות הראשון של גדל( תהי \L{$T\supseteq N$} תורה חשיבה ו-\L{$\omega$}-שלמה +, אז \L{$T$} אינה שלמה. \end{theorem} +\begin{definition} +תורה \L{$T$} נקראת \L{$\omega$}-שלמה אם \L{$T\vdash(\exists x)\varphi(x)$} +לאיזה נוסחה \L{$\varphi(x)$} גורר ש\L{$T\vdash\varphi(\underline{n})$} +לאיזה \L{$n\in\mathbb{N}$}. +\begin{definition} +נוסחה \L{$Pr(x)$} נקראת \uline{יחס יכיחות} אם היא מקיימת את התכונות +הבאות: +\begin{enumerate} +\item אם \L{$T\vdash\phi$} אז \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} +\item אם \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} אז \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$}. +\item אם \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$} +אז \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. +\end{enumerate} +\end{definition} +\end{definition} +\begin{claim} +ב\L{$N$} יש יחס יכיחות ואם מניחים ש\L{$N$} היא \L{$\omega$}-שלמה +אז בנוסף מתקיים: אם \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} +אז \L{$N\vdash\phi$}. \end{claim} +\begin{proof} +נגדיר יחס דו מקומי \L{$\tilde{Pr}(x,y)$} כך ש \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$} +אם: +\begin{enumerate} +\item \L{$n$} מספר גדל של נוסחה \L{$\varphi$}, ו- +\item \L{$n$} מקודד הוכחה של \L{$\varphi$} מתוך \L{$N$} . +\end{enumerate} + +אז \L{$\tilde{Pr}$} יחס חשיב. לכן יש נוסחה \L{$Pr(x,y)$} שמייצגת +את \L{$\tilde{Pr}$}. כלומר \L{$N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$} +אם \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$} ומוכיח את השלילה - אחרת. + +נגדיר \L{$Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$}. מדוע, למשל \L{$N\vdash\phi$} +אז \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}? משום שאם \L{$N\vdash\phi$} +אז יש הוכחה של \L{$\phi$} מ\L{$N$} ויהי \L{$m$} קידוד של ההוכחה +הזו. אז \L{$\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}. בגלל ש\L{$Pr(x,y)$} +מייצגת את \L{$\tilde{Pr}$} אז \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$} +לכן \L{$N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$}. +{\beginL 2\endL} נובע מ-{\beginL 1\endL}, ו-{\beginL 3\endL} הוכח +באופן דומה )תרגיל(. + +כדי לקבל את {\beginL 4\endL}: אם \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} +ו-\L{$N$} \L{$\omega$}-שלמה אז \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$} +לאיזה \L{$m\in\mathbb{N}$}. אבל אז מהגדרת היציגות \L{$N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$} +כלומר \L{$m$} מקודד הוכחה של \L{$\phi$} מ\L{$N$}. +\end{proof} +~ +\begin{proof} +)למשפט השלמות הראשון של גדל( לפי משפט נקודת השבת יש \L{$\phi$} כך +ש\L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$}. +\begin{itemize} +\item מקרה א': \L{ +\[ +T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow +\] +} +\item מקרה ב': \L{ +\[ +T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow +\] +}יוצא \L{$\psi,\neg\varphi$} אינם יכיחים ב\L{$T$} ולכן \L{$T$} אינה +שלמה. +\end{itemize} +\end{proof} +\uline{סימון:} תהי \L{$T$} תורה חשיבה. נגדיר \L{$Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$}. +\begin{theorem} +)משפט אי השלמות השני של גדל( אם \L{$T\supseteq N$} חשיבה ועקבית אז +\L{$T\not\vdash Con_{T}$}. במילים אחרות \L{$T$} עקבית לא יודעת את +זה על עצמה. \end{theorem} +\begin{proof} +נבחר \L{$\psi$} כמו בהוכחת המשפט הראשון. \L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. +אז: +\begin{enumerate} +\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$}. +מ-{\beginL 2\endL} ומ-{\beginL 3\endL} נקבל: +\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$} +\item לפי {\beginL 2\endL} \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$}. +\item מ-{\beginL 2\endL} ו-{\beginL 3\endL} ביחד נקבל \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}. +\end{enumerate} + +אבל \L{$\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$} +היא אקסיומה לוגית )ואפילו טאוטולוגיה(. לכן \L{$T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}. +לפי {\beginL 1\endL} ו-{\beginL 3\endL} מקבלים: \L{ +\[ +T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil )) +\] +} לפי כלל {\beginL 4\endL} וכלל הניתוק \L{ +\[ +T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T} +\] +} כלומר \L{ +\[ +T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil ) +\] +} אבל לפי בחירת \L{$\psi$}, אם מניחים ש\L{$T\vdash Con_{T}$} אז מכלל +הניתוק \L{$T\vdash\neg Pr(\psi)$} ולכן \L{$T\vdash\psi$}. אבל לפי +{\beginL 1\endL} זה גורר \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$} +- סתירה. + +\end{proof} + +\section{תורת רקורסיה} + +תהי \L{$H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}. פונקציה חלקית. מכונת +טיורינג עם אוב )אורקל( עבור \L{$H$} זו מכונת טיורינג רגילה שלה פקודה +נוספת: \char`\"{}חשב את הערך של \L{$H$} עבור \L{$n$} כלשהו\char`\"{}. +ואז הערך של \L{$H(n)$} מוחזר אם \L{$n\in Dom(H)$} ואחרת האוב אינו +מחזיר תשובה, והחישוב של המכונה אינו מסתיים. + +למשל, נוסיף למכונת טיורינג רגילה עוד סרט והפקודה \char`\"{}קרא מן +האוב\char`\"{} תתפרש כ-\char`\"{}חשב את \L{$H$} עבור הערך שכתוב בסרט +בתא מספר {\beginL 2\endL}\char`\"{}. מה שחשוב הוא שמ\char`\"{}ט עם +אוב \L{$H$} ניתנת לתיאור סופי. לכן בהינתן אוב \L{$H$} אפשר לקודד +את כל מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$H$} בדומה לקידוד של מ\char`\"{}ט רגילות. + +המושגים: +\begin{enumerate} +\item מצב של מכונה עם אוב \L{$H$} +\item ריצה של מכונה עם אוב \L{$H$} +\item ריצה מסתיימת +\item \L{$f_{T}^{n}(\bar{x})$} +\end{enumerate} +כולם מוגדרים באופן זהה להגדרה הרגילה. + +פונקציה \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} תקרא חשיבה עם אוב +\L{$H$} אם קיימת מ\char`\"{}ט \L{$T$} עם אוב \L{$H$} כך ש\L{$f=f_{T}^{1}$} +\begin{definition} +~ +\begin{enumerate} +\item יהיו \L{$H,G$} אובות. נאמר ש\L{$H\le_{R}G$} אם כל פונקציה חשיבה +מ\L{$H$} חשיבה מ\L{$G$}. +\item נאמר ש\L{$H\sim_{R}G$} אם \L{$H\le_{R}G$} ו-\L{$G\le_{R}H$}. +\end{enumerate} +\end{definition} +\begin{claim} +\L{$\sim_{R}$} הוא יחס שקילות.\end{claim} +\begin{proof} +צריך להראות רק שאם \L{$H\le_{R}G\le_{R}F$} אז \L{$H\le_{R}F$}. נניח +ש\L{$f$} חשיבה מ\L{$H$}. עלינו להראות ש\L{$f$} חשיבה מ\L{$F$}. +מהנחתנו \L{$f$} חשיבה מ\L{$G$}, אבל אז גם \L{$f$} חשיבה מ\L{$F$}. \end{proof} +\begin{definition} +~ +\begin{enumerate} +\item דרגת טיורינג של \L{$H$} הינה \L{$deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$}. +\item אם \L{$a,b$} דרגות אז נאמר ש\L{$a\le_{R}b$} אם לכל \L{$H,G$} כך +ש\L{$deg(H)=a,deg(G)=b$} מתקיים \L{$H\le_{R}G$}. {]}הערה: בהגדרה +אפשר להחליף \char`\"{}לכל\char`\"{} ב\char`\"{}קיים\char`\"{}{[}. +\end{enumerate} + +ברור ש\L{$\le_{R}$} הוא יחס סדר חלקי על הדרגות. מטרה ראשונה לחקור +את המבנה של הקבוצה סדורה חלקית של דרגות טיורינג. + +\end{definition} +תכונות בסיסיות של הדרגות: +\begin{enumerate} +\item אם \L{$F$} חשיבה אז \L{$deg(F)\le_{R}deg(G)$} לכל \L{$G$}. +\item בפרט: + +\begin{enumerate} +\item אם \L{$F,G$} חשיבות אז \L{$F\sim_{R}G$} +\item אם נסמן \L{$0=degF$} ל\L{$F$} חשיבה אז \L{$0\le_{R}a$} לכל דרגה +\L{$a$}. +\end{enumerate} +\item אם \L{$a_{1},...,a_{n}$} דרגות כלשהן אז יש להן חסם מלעיל משותף קטן +ביותר. + +\begin{proof} +יהיו \L{$F_{1},...,F_{n}$} כך ש\L{$degF_{i}=a_{i}$}. ברור שכל \L{$H$} +המקיימת \L{$F_{i}\le_{R}H$} לכל \L{$i$} מחשבת את \L{$F_{1},...,F_{n}$}. +לכן אם נקח בתור אוב את \L{$\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$} )\L{$n$}-אובות( +נקבל ש\L{$F_{i}\le_{R}\tilde{H}$} לכל \L{$i$} ומזערי כזה. עכשיו +פשוט נחליף את \L{$\tilde{H}$} ב-\L{$H$} הפועלת באופן הבא: \L{$H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$}. +\L{$H$} חשיבה מ\L{$\tilde{H}$} ולכן \L{$\tilde{H}$} היא החסם המבוקש. +\end{proof} +\item נאמר שסדרת פונקציות \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} היא חשיבה מ\L{$H$} +אם הפונקציה \L{$F(n,x)=F_{n}(x)$} חשיבה מ\L{$H$}. ברור שאם \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} +סדרת פונקציות אז \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} חשיבה מ\L{$F(n,x)$}. +לכן לכל סדרת פונקציות יש חסם מלעיל. \uline{אזהרה: }אבל זה לא נכון +שלכל סדרת פונקציות יש חסם עליון. \end{enumerate} +\begin{definition} +נאמר ש\L{$H$} נל\char`\"{}ח ב\L{$G$} )ונרשום \L{$H\le_{RE}G$}( +אם \L{$Dom(f)=H$} לאיזו \L{$f\le_{R}G$}. +\end{definition} +בדיוק כמו במקרה של פונקציות חשיבות לכל \L{$G$}יש \L{$H\le_{RE}G$} +כך ש\L{$H\not\le_{R}G$}. + +בהינתן \L{$G(x)$} נסמן ב\L{$G^{*}(e,x)$} זו מכונת טיורינג אשר )עם +אוב \L{$G$}( אשר בהינתן \L{$e$} קוד של מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$G$} +וקלט \L{$x$} מחשבת את \L{$T_{e}(x)$}. ברור ישירות מההגדרה ש: +\begin{enumerate} +\item אם \L{$H\le_{RE}G$} אז \L{$H\le_{R}G^{*}$} +\item \L{$G^{*}\le_{RE}G$}. +\end{enumerate} +מדוע? +\begin{enumerate} +\item אם \L{$H\le_{RE}G$} אז יש \L{$f\le_{R}G$} כך ש\L{$H=Im(f)$} ו-\L{$f$} +שלמה. אז \L{$H=Im(G^{*}(e_{f},x))$} כאשר על הקוד של \L{$f$}. וברור +ש\L{$G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$}. +\item ברור - כי \L{$G^{*}$} חשיבה מ\L{$G$} ולכן הגרף שלה נל\char`\"{}ח +מ\L{$G$}. \end{enumerate} +\begin{definition} +אם \L{$a$} דרגה ו-\L{$a=degH$} אז הקפיצה של \L{$a$} היא \L{$degH^{*}$} +ומסומנת \L{$a^{\prime}$}. + +שאלה: האם זה מוגדר היטב? אם \L{$H\sim G$} האם \L{$H^{*}\sim G^{*}$}? +מתקיים:\L{ +\[ +G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H +\] +} לכן יספיק להראות ש\L{$G^{*}$} נל\char`\"{}ח מירבית מ\L{$H$}. לפי +הטענה הקודמת עבור \L{$H,H^{*}$} יוצא ש\L{$G^{*}\le_{R}H^{*}$}. מסימטריה +בין \L{$H$}ו-\L{$G$} גם \L{$H^{*}\le_{R}G^{*}$} ולכן זה מוגדר היטב. + +\uline{שאלה}: האם קיימת דרגה \L{$0<a$} כך ש\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}? +תשובה: כן! +\end{definition} + +\section{תורת רקורסיה - המשך} + +\uline{תזכורת}: אם \L{$F,G$} פונקציות )מהטבעיים לטבעיים( אז \L{$F\le_{R}G$} +אם כל פונקציה חשיבה מ\L{$F$} חשיבה מ\L{$G$}. \L{$F\sim_{R}G$} אם +\L{$F\le_{R}G$} ו-\L{$G\le_{R}F$}. כמו כן נסמן \L{$F/_{\sim}=degF$}. + +אם \L{$a,b$} דרגות אז \L{$a\le b$} אם קיימות פונקציות \L{$F,G$} +כך ש\L{$degF=a,degG=b$} ו-\L{$F\le_{R}G$}. אמרנו: אפשר להחליף את +\char`\"{}קיימות \L{$F,G$}\char`\"{} ב\char`\"{}לכל \L{$F,G$}\char`\"{}. + +מתי נאמר ש\L{$F\le_{RE}G$}? אם \L{$a,b$} דרגות אז נגדיר \L{$a\le_{RE}b$} +בדיוק אם קיימות \L{$F,G$} כך ש\L{$degF=a,degG=b$} ו-\L{$F\le_{RE}G$}. +\uline{תרגיל}: \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} חשיבה ב\L{$G$} אם ורק +אם \L{$A$} נל\char`\"{}ח מ\L{$G$} ו-\L{$\mathbb{N}\backslash A$} +נל\char`\"{}ח מ\L{$G$}. + +אם \L{$H$} פונקציה כלשהי אז \L{$H^{*}$} היא הפונקציה המתאימה למכונת +טיורינג אוניברסלית עם אוב \L{$H$}. באופן פורמלי: \L{$H^{*}$} היא +הפונקציה המציינת של הקבוצה:\L{ +\[ +\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\} +\] +}ישירות מן ההגדרה נובע שאם \L{$G\le_{RE}H$} אז \L{$degG\le degH^{*}$}. +\uline{כמסקנה}: אם נגדיר לדרגה \L{$a$} את הדרגה \L{$a^{\prime}$} +ע\char`\"{}י \L{$a^{\prime}=degH^{*}$} עבור \L{$H$} כלשהי כך ש\L{$a=degH$} +אז: +\begin{enumerate} +\item \L{$a^{\prime}$} מוגדר היטב +\item \L{$a^{\prime}$} הוא הדרגה המירבית מעל \L{$a$} שהיא נל\char`\"{}ח +ב\L{$a$}. במילים אחרות, אם \L{$a\le b$} ו-\L{$b\le_{RE}a$} אז \L{$b\le a^{\prime}$}. +מדוע? אם \L{$b\le_{RE}a$} אז לפי הגדרה יש \L{$G$} כך ש\L{$degG=b$} +ו-\L{$G\le_{RE}H$}. לכן \L{$degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$}. +\end{enumerate} +ראינו: אם \L{$F,G$} חשיבות אז \L{$F\sim G$} וסימנו \L{$degF=0$}: +\begin{enumerate} +\item \L{$0\le a$} לכל דרגה \L{$a$} +\item אם \L{$a,b$} דרגות אז יש דרגה \L{$c$} כך ש-\L{$c$} חסם מלעיל קטן +ביותר ל\L{$a,b$}. +\item לכל סדרה \L{$F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$} יש חסם מלעיל )שהוא +פשוט \L{$F(y,x)$}( אבל אין חסם עליון. +\end{enumerate} +\uline{תרגיל}: אם \L{$a,b$} דרגות אז \L{$a<a^{\prime}$} )ללא +שיוויון( ואם \L{$a\le b$} אז \L{$a^{\prime}\le b^{\prime}$}. אבל +בהמשך נראה שיש \L{$a<b$} כך ש\L{$a^{\prime}=b^{\prime}$} . +\begin{theorem} +קיימות דרגות \L{$a,b\le0^{\prime}$} שאינן ניתנות להשוואה. \end{theorem} +\begin{corollary} +קיימת דרגה \L{$0<a<0^{\prime}$}. +\begin{proof} +לפי המשפט יש \L{$a,b\le0^{\prime}$} שאינן ניתנות להשוואה. אז \L{$a,b\not=0^{\prime}$} +ו-\L{$a,b\not=0$}. +\end{proof} +\end{corollary} +שאלה מרכזית: )הבעיה של \inputencoding{latin9}\L{Post}\inputencoding{cp1255}( +האם קיימת \L{$a$} כנ\char`\"{}ל שהיא נל\char`\"{}ח? + +\uline{אבחנה:} נניח ש\L{$f$} חשיבה עם אוב \L{$H$}. אז לכל \L{$n$} +יש \L{$\sigma\subseteq H$} פונקציה סופית )ז\char`\"{}א תחום של \L{$\sigma$} +סופי( כך ש\L{$f(n)$} ניתן לחישוב מ\L{$\sigma$}. +\begin{proof} +)למשפט( נשים לב שגם אם האוב \L{$F$} אינו ידוע לנו עדיין ניתן לרשום +את כל הקודים של מכונת טיורינג עם אוב \L{$F$}. בתור התחלה נבנה שתי +פונקציות \L{$F,G$} כך ש-\L{$G\not\le_{R}F$} וגם \L{$F\not\le_{R}G$}. +כדי למלא את הדרישה הזו עלינו לקיים שני אוספים של תנאים: +\begin{enumerate} +\item )e{\beginL 1\endL}( מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$G$} שהקוד שלה הוא \L{$e$} +אינה מחשבת את \L{$F$}. +\item )e{\beginL 2\endL}( מ\char`\"{}ט עם אוב \L{$F$} שהקוד שלה הוא \L{$e$} +אינה מחשבת \L{$G$}. +\end{enumerate} + +אז תהי \L{$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$} מניה חשיבה של התנאים הנ\char`\"{}ל. +נבנה באופן אינדוקטיבי פונקציות סופיות \L{$F_{i},G_{i}$} כך ש\L{$F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$} +ג לכל \L{$i$} ואם \L{$e_{i}$} היא תנאי מסוג {\beginL 1\endL}, למשל +אז \L{$F_{i+1}$} תבטיח שהפונקציה המחושבת ע\char`\"{}י המכונה \L{$e_{i}$} +עם האוב \L{$G$} לא תחשב את \L{$F_{i+1}$}. במילים אחרות המכונה \L{$e_{i}$} +עם האוב \L{$G$} על קלט מסויים \L{$n$} אז תתן ערך ששונה מ\L{$F_{i+1}(n)$}. +נניח שהגדרנו \L{$F_{i},G_{i}$} כך ש\L{$F_{i-1}\subseteq F_{i}$} +ו-\L{$G_{i-1}=G_{i}$} ונניח שבה\char`\"{}כ \L{$e_{i}$} הוא תנאי +מסוג {\beginL 1\endL} )התפקידים של \L{$F,G$} סימטריים לחלוטין בהוכחה(. +יהי \L{$n_{i}\in\mathbb{N}$} הקטן ביותר כך ש\L{$n_{i}\not\in dom(F_{i})$}. +נבחים בין שני מקרים: +\begin{enumerate} +\item מקרה א' - קיימת פונקציה סופית \L{$\sigma$} כך ש: + +\begin{enumerate} +\item \L{$\sigma$} מתיישבת עם \L{$G_{i}$} )כלומר אם \L{$x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$} +אז \L{$\sigma(x)=G_{i}(x)$}( +\item מ\char`\"{}ט \L{$e_{i}$} עם אוב \L{$\sigma$} עוצרת על הקלט \L{$n_{i}$}. +\end{enumerate} + +במקרה זה, נגדיר \L{$G_{i}\subseteq G_{i+1}$} עם \L{$G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$}. +בגלל הנחה ){\beginL 1\endL}( - זוהי פונקציה. נגדיר \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$} +)כאשר \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}$} הוא הערך שמ\char`\"{}ט \L{$e_{i}$} +עם אוב \L{$\sigma$} מחזירה עבור \L{$n_{i}$}( וזה מוגדר בגלל הנחה +){\beginL 2\endL}(. + +\item מקרה ב' - לא מקרה א'. אז נגדיר \L{$G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$}. +עתה נגדיר \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$}. +נראה ש\L{$F\not\le_{R}G$} )המקרה השני סימטרי לחלוטין(. תהי \L{$e$} +מ\char`\"{}ט כלשהי עם אוב \L{$G$}. נראה ש\L{$e$} אינה מחשבת את \L{$F$}. +לשם כך יספיק למצוא \L{$n\in\mathbb{N}$} כלשהו כך ש\L{$F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$} +{]}נשים לב ש\L{$F(n)$} מוגדרת לכל \L{$n$}, פשוט משום שהבניה מבטיחה +שנטפל בבניה של \L{$F$} אינסוף פעמים ובכל פעם אנחנו מגדירים את \L{$F_{i+1}(n_{i})$} +עבור \L{$n_{i}$} קטן ביותר עבורו הפונקציה טרם הוגדרה. לכן בהכרח \L{$dom(F)=\mathbb{N}$}{[}. +בפרט, אם \L{$T_{e}^{G}(n)$} לא עוצרת, נקבל את הדרישה. +\end{enumerate} + +יש שלב \L{$i$} שבו טיפלנו במכונה \L{$e$}. יש שתי אפשרויות. אם היינו +במקרה ב' אז \L{$T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$} אינה עוצרת. אילו הייתה עוצרת, +לפי האבחנה שרשמנו היה \L{$\sigma\subseteq G$} סופי כך ש\L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$} +עוצרת, ומכיוון של\L{$G_{i}$} ול\L{$\sigma$} הרחבה משותפת \L{$G$} +הן מתיישבות בסתירה להנחה שאנחנו במקרה ב'. אם היינו במקרה א' אז יש +\L{$\sigma_{i}\subseteq G$} סופית )שהיא זאת שמופיעה בבניה בשלב ה\L{$i$}( +כך ש\L{$F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$}. + +\end{proof} +\begin{corollary} +\L{$degG$} אינו ניתן להשוואה עם \L{$degF$}. נותר להראות \L{$degF\le0^{\prime}$}. +\end{corollary} + +\section{תורת רקורסיה - המשך} + +התחלנו להוכיח: קיימות דרגות \L{$0\le a,b\le0^{\prime}$} כך ש-\L{$a,b$} +אינן ניתנות להשוואה ונסמן \L{$a|b$}. בנינו שתי פונקציות \L{$F,G$} +כך ש-\L{$F\not\le_{R}G$} ו-\L{$G\not\le_{R}F$}. נותר לבדוק ש-\L{$degF,degG\le0^{\prime}$}. +כדי להבטיח שהפונקציות בלתי ניתנות להשוואה היה צריך להגשים שני סוגי +תנאים: +\begin{enumerate} +\item )e{\beginL 1\endL}( \L{$F\not=f_{T_{e}^{G}}$} +\item )e{\beginL 2\endL}( \L{$G\not=f_{T_{e}^{F}}$}\end{enumerate} +\begin{lemma} +)למת השימוש( תהי \L{$e$} מ\char`\"{}ט ו-\L{$H,G$} אובות. נניח שבריצה +של \L{$T_{e}^{H}(n)$} הפניות לאורקל \L{$H$} מבקשות בדיוק את הערכים +\L{$H(r_{1}),...,H(r_{k})$} לאיזה \L{$k\in\mathbb{N}$} ונניח ש-\L{$G(r_{i})=H(r_{i})$} +לכל \L{$1\le i\le k$}. אז \L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$}. בפרט: +אם \L{$T_{e}^{H}(n)$} עוצרת אז יש \L{$\sigma\subseteq H$} סופית +כך ש-\L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$}. + +כדי לבנות את \L{$F,G$} מספרנו את התנאים \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$} +בצורה חשיבה. אם בשלב \L{$n$} עלינו לטפל בתנאי מסוג e{\beginL 1\endL} +אז נבחר \L{$k$} להיות הראשון שאינו ב\L{$domF_{n}$} ונבחין בין שני +מקרים. \end{lemma} +\begin{enumerate} +\item מקרה א' - אם קיימת \L{$\sigma$} סופית כך ש: + +\begin{enumerate} +\item \L{$\sigma$} מתיישבת עם \L{$G_{n}$} ו- +\item \L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} עוצרת +\end{enumerate} + +אז נגדיר \L{$G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$} ו- \L{$F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$} +כאשר \L{$r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$}. + +\item מקרה ב' - אחרת )כלומר, אין \L{$\sigma$} כנ\char`\"{}ל( נגדיר \L{$F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$}. +אז ראינו ש-\L{$F\not\le_{R}G$}ו-\L{$G\not\le_{R}F$} כאשר \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$} +ו-\L{${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$}. נותר לבדוק +ש-\L{$degG,degF\le0^{\prime}$}. כלומר עלינו להראות שיש אוב נל\char`\"{}ח +שממנו \L{$F,G$} חשיבות. משיקולי סימטריה יספיק לבדוק שזה נכון עבור +\L{$F$}. +\end{enumerate} +נגדיר פונקציה \L{$s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} שהיא הבניה: +כלומר \L{$s(n)$} מחזיר לנו קוד עבור \L{$\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $}. +יספיק לוודא ש-\L{$s$} חשיבה מאיזה אוב נל\char`\"{}ח. נניח שאנחנו +יודעים את \L{$s(n)$} ואנחנו רוצים לחשב את \L{$s(n+1)$}. ב.ה.כ השלב +\L{$e_{n+1}$} הוא מסוג e{\beginL 1\endL} . דבר ראשון \L{$s$} צריכה +להכריע אם אנחנו במקרה א' או מקרה ב'. ז\char`\"{}א עלינו לדעת להכריע +אם קיימת \L{$\sigma$} שמתיישבת עם \L{$G_{n}$} ו-\L{$T_{e+1}^{\sigma}(k)$} +עוצרת )מיהו \L{$k$} ידוע מ\L{$s(n)$}(. דבר ראשון נשים לב שהתנאי +בתוך הסוגריים הוא נל\char`\"{}ח {]}ב\L{$\sigma$}, אבל מכיוון ש\L{$\sigma$} +סופית אז היא ממש נל\char`\"{}ח{[}. אבל לכל יחס נל\char`\"{}ח \L{$A(\bar{x},\bar{y})$} +אז גם \L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} נל\char`\"{}ח. לכן ההכרעה +האם אנחנו במקרה א' או במקרה ב' חשיבה מאוב נל\char`\"{}ח. אם נחנו במקרה +ב' - אין בעיה, הכל חשיב. אם אנחנו במקרה א' - עלינו למצוא את \L{$\sigma$}. +זה שוב דבר שהוא חשיב באופן כללי, כי אם \L{$A(\bar{x},\bar{y})$} נל\char`\"{}ח +ו-\L{$\bar{y}$} כזה ש-\L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} אז יש +פונקציה חשיבה שמחזירה \L{$\bar{x}$} שמעיד על כך. לכן בסה\char`\"{}כ +\L{$s(n+1)$} חשיבה מ\L{$s(n)$} בעזרת האוב הנל\char`\"{}ח \L{$(\exists\sigma)(...)$}. +\begin{corollary} +קיימת \L{$0<a<0^{\prime}$}. + +אותה הוכחה בדיוק תראה: לכל דרגה \L{$c$} קיימת דרגה \L{$a$} כך ש\L{$c<a<c^{\prime}$}. + +האם אפשר למצוא \L{$a$} כמו במסקנה שהיא נל\char`\"{}ח? תשובה: כן. +ואפשר אפילו לדרוש ש-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}. \end{corollary} +\begin{theorem} +קיימת דרגת טיורינג נל\char`\"{}ח \L{$a$} כך ש-\L{$a\not=0$} ו-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}.\end{theorem} +\begin{proof} +)רעיון( נבנה קבוצה \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} באינדוקציה. בכל שלב +\L{$n$} נוסיף לקבוצה שבנינו בשלבים הקודמים מספר של איברים. הבניה +תהיה כזו שלגבי כל איבר שהכנסנו ל-\L{$A$} אנחנו מתחייבים שהוא יישאר +ב-\L{$A$}. אבל באופן כללי בשום שלב סופי לא נתחייב לגבי שום מספר טבעי +שהוא לא ייכנס ל-\L{$A$} מתישהו בעתיד. לפי מה אנחנו מחליטים האם להכניס +איבר ל-\L{$A$} או לא )שזה דבר שלא יקרה(? כדי להבטיח את התנאים נרצה +לוודא שהקבוצה \L{$A$} שאנחנו בונים אינה חשיבה. לכן נרצה להבטיח ש-\L{$\chi_{A}$} +שונה מ\L{$\chi_{E}$} לכל קבוצה חשיבה \L{$E$}. + +הצרה היא שאנחנו לא יכולים להתמקד בפונקציות מציינות של קבוצות חשיבות. +צריך לעבור על כל הפונקציות החשיבות - ובכלל זה אלו שאינן שלמות. מתי +נכניס איבר \L{$k$} ל-\L{$A$}? לכל מ\char`\"{}ט \L{$T_{e}$} נתאים +מספר טבעי \L{$k(e)$} ונריץ את \L{$T_{e}(k(e))$}. אם נקבל {\beginL 0\endL} +עולה החשד ש\L{$T_{e}$} פונקציה מציינת של איזו קבוצה ו-\L{$T_{e}$} +חושבת ש-\L{$k(e)$} לא בקבוצה. ליתר בטחון, נכניס את \L{$k(e)$} ל-\L{$A$} +וזה יבטיח ש\L{$A$} שונה מהקבוצה ש-\L{$T_{e}$} )אולי( מקודדת. הקושי +העיקרי - כיצד נדע אם \L{$T_{e}(k(e))$} אי פעם תעצור? + +כדי להבטיח ש-\L{$A$} שנבנה תהיה נל\char`\"{}ח נרצה לוודא שהבניה שאנחנו +מנהלים היא חשיבה. לכן שאלות מהסוג \char`\"{}האם \L{$T_{e}(k(e))$} +עוצרת\char`\"{} אינן באות בחשבון. מה הפתרון? נשים לב שאם \L{$T_{e}(k(e))$} +אינה עוצרת ומחזירה {\beginL 0\endL}, לא יקרה שום דבר רע אם אף פעם +לא נחליט להכניס את \L{$k(e)$} ל-\L{$A$} כי בסוף פשוט \L{$k(e)$} +לא יהיה ב\L{$A$} ואנחנו בסדר. השאלה היא איך לא לתקוע את הבניה אם +\L{$T_{e}(k(e))$} לא עוצרת. כמו תמיד, נדאג לחזור ל\L{$e$} אינסוף +פעמים ובכל פעם לבצע מספר חסום )אבל עולה לאינסוף( של צעדים. אם אי פעם +\L{$T_{e}(k(e))$} תעצור נדע אם עצרה על {\beginL 0\endL} או לא - אם +כן נכניס את \L{$k(e)$} ואם לא - לא נעשה כלום. בדיוק כמו במקרה שבו +\L{$T_{e}(k(e))$} בכלל לא עוצרת. + +הדרישה השניה, ש-\L{$(degA)^{\prime}=0^{\prime}$} מצריכה אותנו לטפל +בעוד משפחה של תנאים: \L{$(2_{e,k})$}- צריך להחליט האם \L{$T_{e}^{A}(k)$} +עוצרת או לא. נניח שרוצים לטפל בתנאים אלה. רוצים לדעת האם \L{$T_{e}^{A}(k)$} +עוצרת או לא. אבל איפה \L{$A$} ואיפה אנחנו?? )אליבא ד'חסון(. בשלב +סופי התחייבנו רק לגבי מספר סופי של \L{$A_{i}$} שהם ב\L{$A$}. ננסה +לחשב את \L{$T_{e}^{A}(k)$} - את זה גם כן אי אפשר לחשב. את זה נפתור +כמו קודם. נטפל בתנאי \L{$2_{e,k}$} אינסוף פעמים וכל פעם נריץ את המכונה +עוד קצת. כל זה יעזור בכלל במשהו אם בסוף, לגבי כל \L{$r$} שעליו \L{$T_{e}^{A}(k)$} +שאלה האם \L{$r\in A_{i}$} נקבל בדיוק את אותה התשובה גם ב\L{$A$} +)או לחלופין בכל שלב בעתיד בו נחזור לטפל ב\L{$(2_{e,k})$}. + +המכונה שואלת את האוב \L{$A_{i}$} שאלות מהצורה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} +או \char`\"{}האם \L{$r\not\in A_{i}$}?\char`\"{}. מהבניה - אם \L{$T_{e}^{A_{i}}$} +שאלה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} וקיבלה תשובה חיובית +אז היא תמיד תקבל תשובה חיובית לכל \L{$A_{j}$} עם \L{$i\le j$}. לכן +התשובות היחידות שיכולות להשתנות הן תשובות ש\L{$A_{i}$} חושב ש\L{$r\not\in A_{i}$}. +ל\L{$r$} יש שימוש שלילי בריצה של \L{$T_{e}^{A_{i}}$} אם \L{$T_{e}^{A_{i}}$} +פונה לאוב בשאלה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} ומקבלת +תשובה \L{$r\not\in A_{i}$}. לכל חישוב של ריצה עבור \L{$T_{e}^{A_{i}}$} +{]}במילים אחרות, לכל טיפול בתנאי \L{$2_{e,k}$}{[} נצוות רשימה \L{$N_{e,k}$} +של כל ה\L{$r\in\mathbb{N}$} בהם נעשה שימוש שלילי בזמן הריצה. + +כל עוד \L{$N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$} - אנחנו בסדר. מה שנרצה +הוא להשתדל שלא להכניס איברים מ-\L{$N_{e,k}$} ל-\L{$A$}. אבל מה נעשה +אם פתאום תנאי מסוג \L{$1$} מחליט שהוא רוצה להכניס ל-\L{$A$} איבר +ששייך לאיזה \L{$N_{e,k}$}? נחליט על סדר קדימויות. נמספר את כל התנאים +שלנו )כמו בהוכחת המשפט הקודם( ונרשה לתנאי מסוג \L{$1_{e}$} לפצוע +קבוצה מסוג \L{$N_{e,k}$} רק אם המספר הסידורי של \L{$1_{e}$} קטן +מזה של \L{$2_{e,k}$}. +\end{proof} + +\section{תורת רקורסיה - המשך} + +)המשך רעיון ההוכחה משיעור שעבר( +\begin{itemize} +\item תהי \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$} רשימה של כל התנאים \L{$1_{e},2_{e,k}$} +כך שכל תנאי מופיע אינסוף פעמים. אין בעיה לייצר רשימה כזו באופן חשיב. +\item נבחר פעם אחת ולתמיד חלוקה של \L{$\mathbb{N}$} לאינסוף קבוצות אינסופיות +זרות. גם את זה אפשר לעשות באופן חשיב. {]}למשל \L{$a\in A_{n}$} אם +\L{$n=Pr^{L}(a)$} - שיטת האלכסון של קושי{[}. +\item ראשית, נתאר בהינתן תנאי מהצורה \L{$1_{e}$} כיצד נבחר \L{$k$} שעבורו +ננסה לחשב את \L{$T_{e}(k)$}. אם \L{$e$} היא המכונה ה-\L{$n$}-ית +באיזה מספור )חשיב( של הפונקציות החשיבות אז נבחר את \L{$k$} מ-\L{$A_{n}$} +. שנית, נדרוש ש-\L{$k$} מספיק גדול כך שאינו מופיע בשום \L{$2_{e,k}$} +- הכרזה שהתקבלה עד כה בבניה. +\item עכשיו נתאר את השלב ה-\L{$n$} בבניה: + +\begin{itemize} +\item \uline{מקרה א'} - השלב ה-\L{$n$} הוא מהצורה \L{$1_{ei}$}. + +\begin{enumerate} +\item כבר הכנסנו מספר מ-\L{$R_{i}$} ל-\L{$A$} - לא עושים כלום. +\item אם קיים \L{$k\in R_{i}$} כך ש-\L{$k<n$} ו-\L{$T_{ei}(k)=0$}, מתקבל +אחרי פחות מ-\L{$n$} צעדים. בנוסף \L{$k$} לא שייך לשום \L{$2_{e,k}$} +- הכרזה שמספרה הסידורי קטן ממספור הסידורי של \L{$1_{ei}$}. {]}ברקע +יש לנו מספור חשיב של כל הדרישות שלנו, למשל המספור הסידורי של הדרישה +\L{$c_{i}$} - במספור שקבענו בהתחלה - יכול להיות האינדקס הראשון \L{$i_{0}$} +כך שהתנאי ב-\L{$c_{i}$} שווה לתנאי ב-\L{$c_{i_{0}}$}{[}. במקרה הזה +- נכניס את \L{$k$} ל-\L{$A$} וכמובן ש\char`\"{}נפצע\char`\"{} )נסמן( +כל \L{$2_{e,k}$} - הכרזה שהמספר הסידורי שלה גדול מזה של \L{$1_{ei}$} +ו-\L{$k$} שייך להכרזה. +\item אחרת - לא נעשה כלום. +\end{enumerate} +\item \uline{מקרה ב'} - אם \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} )כאשר \L{$A_{n-1}$} +הקבוצה שחיברנו עד כה( עוצרת אחרי \L{$n$} צעדים, אז נגיש \L{$2_{e,k}$} +- הכרזה שמתאימה לחישוב. {]}כלומר מכינים הכרזה ובה כל המספרים \L{$l\in\mathbb{N}$} +כך שבמהלך החישוב \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} פנתה לאוב ושאלה \char`\"{}האם +\L{$l\in A_{n-1}$}\char`\"{} וקיבלה תשובה שלילית{[}. +\end{itemize} +\end{itemize} +\begin{claim} +הקבוצה \L{$A$} שנקבל בסוף הבניה עונה על כל התנאים \L{$1_{e},2_{e,k}$}. \end{claim} +\begin{proof} +נניח שיש לנו תנאי \L{$1_{e_{i}}$}. אם בשלב כלשהו הכנסו ל-\L{$A$} +מספר \L{$k$} מ-\L{$R_{i}$} זה אומר שמצאנו ש-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$} +והכנסנו את \L{$k$} ל-\L{$A$} ולכן \L{$\chi_{A}(k)=1$} ואנחנו בסדר. + +אז נניח שאין \L{$k\in R_{i}$} שהוכנס ל-\L{$A$}. נבחר \L{$k\in R_{i}$} +גדול מספיק כדי ש-\L{$k$} אינו מופיע באף \L{$2_{e,k}$} - הכרזה עם +אינדקס קטן מהאינדקס של \L{$1_{ei}$}. + +מדוע יש \L{$k$} כזה? נשים לב שאם \L{$n$} הוא האינדקס של \L{$2_{e,l}$} +אז כל תנאי עם אינדקס \L{$m<n$} יכול \char`\"{}לפצוע\char`\"{} הכרזה +של \L{$n$} לכל היותר פעם אחת. אם התנאי עם אינדקס \L{$n$} פצע הכרזה +כלשהי ז\char`\"{}א שהתנאי הכניס איבר כלשהו ל-\L{$A$} ולפי ){\beginL 1\endL}( +של מקרה א' לעולם לא נחזור לטפל בתנאי עם אינדקס \L{$n$}. בסה\char`\"{}כ +את ה-\L{$2_{e,l}$} הכרזות ניתן \char`\"{}לפצוע\char`\"{} לכל היותר +\L{$n$} פעמים. לכן יש לכל היותר \L{$n+1$} הכרזות \L{$2_{e,l}$}. +בסה\char`\"{}כ לכל תנאי שהוא יש לכל היותר מספר סופי של הכרזות של תנאים +עם אינדקס קטן יותר. לכן יש \L{$k$} כמו שאנחנו רוצים ועבור \L{$k$} +כזה לא ייתכן ש-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}. מדוע? אילו זה היה מתקיים לפי +מקרה )א'{\beginL 2\endL}( היינו מכניסים את \L{$k$} ל-\L{$A$} בסתירה +להנחה. לכן על התנאים \L{$1_{e}$} מתקיימים. + +מה בקשר לתנאים \L{$2_{e,k}$} ? נאמר ש-\L{$2_{e,k}$} הכרזה היא קבועה +אם היא זרה ל-\L{$A$}. נראה ש-\L{$T_{e}^{A}(k)$} עוצרת אם ורק אם +קיימת \L{$2_{e,k}$} הכרזה קבועה. + +אם קיימת \L{$2_{e,k}$} הכרזה קבועה ז\char`\"{}א שקיים איזה שלב \L{$n$} +בבניה שבו \L{$T_{e}^{A_{n-1}}$} עצרה )אחרי \L{$n$} צעדים( ויצרה +את ההכרזה. כיוון שההכרזה קבועה, לכל \L{$r\in\mathbb{N}$} כך ש-\L{$T_{e}^{A_{n-1}}$} +פנתה לאוב בשאלה \char`\"{}האם \L{$r\in A_{n-1}$}?\char`\"{} האוב +\L{$A$} יחזיר את אותה התשובה. לכן לפי עקרון השימוש \L{$T_{e}^{A}(k)$} +עוצרת. + +בכיוון השני אם \L{$T_{e}^{A}(k)$} עוצרת )נאמר אחרי \L{$n$} צעדים( +אז לכל \L{$c_{i}$} כך שהתנאי ב-\L{$c_{i}$} הוא \L{$2_{e,k}$} ו-\L{$i>n$}, +הבניה במקרה ב' תייצר \L{$2_{e,k}$} - הכרזה. )ובתנאי שבשלב ה-\L{$i$} +כבר נכנסו ל-\L{$A$} כל האיברים שבהם נעשה שימוש חיובי בחישוב של \L{$T_{e}^{A}(k)$}. + +אבל מהדיון הקודם, כל תנאי יכול לייצר לכל היותר מספר סופי של הכרזות. +אז האחרונה מביניהן שהכרח לא תשתנה, ז\char`\"{}א תהיה קבועה. + +עד עתה: בנינו את \L{$A$}, הראנו ש-\L{$A$} מקיימת את התנאים \L{$1_{e}$} +ואת \L{$2_{e,k}$} )לפי א' הנ\char`\"{}ל( וברור שהבניה חשיבה. כיוון +ש-\L{$A$} מקיימת את \L{$1_{e}$} לכל \L{$e$}, ברור ש-\L{$A$} אינה +חשיבה. כיוון שהבניה חשיבה, אם נגדיר \L{$s(n)$} להיות הקבוצה \L{$A_{n}$} +שהתקבלה בשלב ה-\L{$n$} של הבנייה נקבל ש-\L{$A$} נל\char`\"{}ח, כי +\L{$s(n)$} חשיבה. + +נותר לוודא ש-\L{$deg(A^{*})\le0$}. ראינו בתרגיל {\beginL 11\endL} +טענה שאומרת שאם \L{$A^{*}=dim(B_{i})$} עבור \L{$i\in\mathbb{N}$} +כך ש-\L{$B_{i}$} חשיבה מ{\beginL -\endL}\L{$A$} אז \L{$deg(A^{*})\le0^{\prime}$}. +נגדיר \L{$\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$}אם ורק אם בשלב +ה-\L{$i$} של הבנייה יש \L{$2_{e,k}$} - הכרזה שאיננה פצועה. כיוון +שהבניה חשיבה \L{$B_{i}$} יחס חשיב. לפי )א( הנ\char`\"{}ל \L{$T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$} +עוצרת אם ורק אם \L{$dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$}.\end{proof} +\begin{theorem} +לכל דרגה \L{$0^{\prime}\le a$} קיימת דרגה \L{$b$} כך ש-\L{$b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$}. +\end{theorem} +\uline{רעיון ההוכחה}: נבחר \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +כך ש-\L{$deg(g)=a$}, אפשר לבחור \L{$g$} כזו שלמה. נרצה לבנות \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} +כך ש-\L{$f^{*}$} חשיבה מ-\L{$0^{\prime}\cup deg(f)$} ו-\L{$g$} +חשיבה מ-\L{$f^{*}$}. + +נרצה להגשים שני סוגים תנאים: +\begin{itemize} +\item \L{$1_{e,k}$} - להחליט האם \L{$T_{e}^{f}(k)$} עוצרת +\item \L{$2_{n}$} - לוודא ש-\L{$f(m)=g(n)$} לאיזה \L{$m\in\mathbb{N}$}. +\end{itemize} +כרגיל נמספר את התנאים \L{$\{c_{i}\}$}, ובשלב ה-\L{$i$} אם אנו בתנאי +\L{$1_{e,k}$} ויש \L{$\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} סופית +שמתיישבת עם \L{$f_{i-1}$} כך ש-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} עוצרת, נגדיר +\L{$f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$} ואחרת נגדיר \L{$f_{i}=f_{i-1}$}. ואם +בשלב ה-\L{$i$} אנו בתנאי \L{$2_{n}$} אז נבחר \L{$m$} מזערי כך שאינו +בתחום של \L{$f_{i-1}$} ונגדיר \L{$f_{i}(m)=g(n)$}. לסיכום: יוצא +שהבניה חשיבה מ-\L{$0^{\prime}\cup a=a$} וחשיבה גם מ-\L{$0^{\prime}\cup b$}. + +~ +\begin{proof} +תהי \L{$g$} כנ\char`\"{}ל ונמצא פונקציה \L{$f$} כך ש-\L{$deg(f)$} +תענה על הדרישות. + +\L{$b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$} ולכן יספיק למצוא \L{$b$} כך +ש-\L{$b^{\prime}\le a\le b$}. מזה נבטיח שיש שיוויונות לכל אורך הדרך. +אז צריך למצוא \L{$b$} כך ש-\L{$b^{\prime}$} חשיבה מ-\L{$b$} ומ-\L{$0^{\prime}$}. + +כרגיל נמספר את התנאים )כולם ביחד( במספור חשיב \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$} +ונניח שלכל \L{$i\le n$} בנינו פונקציה \L{$f_{i}$} )עם תחום סופי( +כך ש-\L{$f_{i}\subseteq f_{j}$} אם \L{$i\le j$}. + +\uline{בניית \L{$f_{n+1}$}:} +\begin{itemize} +\item אם \L{$e_{n+1}$} הוא תנאי מסוג \L{$1_{e,k}$}: נבדוק האם יש \L{$\sigma$} +סופית שמתיישבת עם \L{$f_{n}$} כך ש-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} עוצרת. +אם כן, נגדיר \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$} אחרת נגדיר \L{$f_{n+1}=f_{n}$}. +\item אם \L{$e_{n+1}$} הוא תנאי מסוג \L{$2_{k}$} אז נמצא \L{$m$} מזערי +שאיננו בתחום של \L{$f_{n}$} ונגדיר \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $}. +נגדיר \L{$f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$} ואז \L{$f$} +פונקציה שלמה. +\end{itemize} + +כדי לממש את הבניה: +\begin{itemize} +\item אם אנחנו בתנאי \L{$1_{e,k}$} צריך לדעת האם קיים \L{$\sigma$} כזה. +כדי לענות על השאלה הזו אנו יכולים מ-\L{$0^{\prime}$}. +\item אם אנחנו בתנאי מסוג \L{$2_{k}$}, אין בעיה למצוא את \L{$m$}. כל מה +שצריך זה לחשב את \L{$g(k)$} ואת זה אפשר לעשות מ-\L{$g$}. +\end{itemize} + +נשאר להראות כי את \L{$b^{\prime}$} ניתן לחשב מ-\L{$b$} ומ-\L{$0^{\prime}$} +אבל \L{$b^{\prime}=deg(f^{*})$} ו-\L{$f^{*}$} זהו האוב שעונה לכל +שאלה מהצורה \char`\"{}האם \L{$T_{e}^{f}(k)$} עוצרת?\char`\"{}. ראשית +אם אנו יודעים את הבניה של \L{$t$} אז אנו יודעים לענות על כל השאלות +מהצורה הנ\char`\"{}ל. אבל הבניה חשיבה גם מ-\L{$0^{\prime}$} וגם מ-\L{$b^{\prime}$} +)ביחד( ולכן \L{$b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$} כנדרש. + +\end{proof} +\begin{corollary} +הפונקציה \L{$a\rightarrow a^{\prime}$} איננה חח\char`\"{}ע.\end{corollary} + +\end{document} |