Initial Lyx, LaTeX and PDF files

1 files changed, 19565 insertions, 0 deletions

diff --git a/notes.lyx b/notes.lyx
new file mode 100644
index 0000000..99e5308
--- /dev/null
+++ b/notes.lyx
@@ -0,0 +1,19565 @@
+#LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 474
+\begin_document
+\begin_header
+\textclass heb-article
+\begin_preamble
+\date{}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language hebrew
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman default
+\font_sans default
+\font_typewriter default
+\font_math auto
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100
+\font_tt_scale 100
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 0
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 0
+\index אינדקס
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\quotes_language english
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+ד"ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב
+\end_layout
+
+\begin_layout Author
+יובל אדם
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\lang english
+\begin_inset Box Frameless
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+status open
+
+\begin_layout Quote
+
+\lang english
+Young man, in mathematics you don't understand things.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+You just get used to them.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Quote
+
+\lang english
+- John von Neumann
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset toc
+LatexCommand tableofcontents
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פרולוג
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות.
+ )נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין מה זה אומר על פרק זה...(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נא להתחשב בסביבה.
+ נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח העמודים הנדרש.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+הערות/טענות/בקשות - כתובת המייל שלי היא 
+\begin_inset Formula $yuv.adm$
+\end_inset
+
+ ולאחר מכן 
+\begin_inset Formula $gmail.com$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+שאו ברכה, עלו והצליחו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+הגדרות
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מבנה לשפה מסדר ראשון 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ שם עצם.
+ אז הערך של 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ עבור ההשמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ הוא:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ אז
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $t=f(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+יהיו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ , ו-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ותהי 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה ב-
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ אז ערך האמת של )
+\lang english
+TRUE
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ או 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+FALSE
+\lang hebrew
+( של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ עבור ההשמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ מוגדר באינדוקציה באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית, כלומר 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ עבור הסימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ ושמות עצם 
+\begin_inset Formula $t_{1},...,t_{n}$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
+\end_inset
+
+ עבור נוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x)\psi$
+\end_inset
+
+ )כלומר הנוסחה היא מסוג "קיים איקס" וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר( אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $s\left[{x\atop a}\right]$
+\end_inset
+
+ הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ שאינו 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ את הערך 
+\begin_inset Formula $s(y)$
+\end_inset
+
+ ולמשתנה האישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ את הערך 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ )כלומר רק מחליפה את 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+(.
+ הגדרה שקולה: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר נגדיר שרירותית 
+\begin_inset Formula $F<T$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\forall x)\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+הגדרה שקולה: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+הערות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס 
+\begin_inset Formula $\approx$
+\end_inset
+
+ אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+כמוסכמה: אם אומרים ש
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב הפסוקים בד"כ לא נציין במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח
+ שהוא שם
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון.
+ יש משפטים שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה.
+ בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב הפסוקים ותהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת נוסחאות ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ )לאו דווקא סופית(.
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+(satisfiable)
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ אם קיים מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ לשפה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ וקיימת השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ )לפעמים נשמיט את ההשמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ מן הסימונים(.
+ דוגמאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $L=\{R\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $
+\end_inset
+
+ זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ )לא מכוון( נגדיר מבנה 
+\begin_inset Formula $M_{G}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: העולם של 
+\begin_inset Formula $M_{G}$
+\end_inset
+
+ יהיה 
+\begin_inset Formula $V(G)$
+\end_inset
+
+ )קבוצת הקודקודים של 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+( והיחס 
+\begin_inset Formula $R^{M_{G}}$
+\end_inset
+
+ יהיה 
+\begin_inset Formula $E(G)$
+\end_inset
+
+ )קבוצת הקשתות(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $L=\{\approx\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T_{3}$
+\end_inset
+
+ ספיקה כי כל קבוצה בת פחות מ-
+\numeric on
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+איברים מספקת אותה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $L=\{<\}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+DLO & = & \left\{ \begin{array}{c}
+\forall x\neg(x,x),\\
+\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\
+\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\
+\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\
+\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y)
+\end{array}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אשר הינו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+dense linear order
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ אז מתקיים 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{Q},\le)\models DLO$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ו- 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז נאמר ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מודל של 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+פסוק בשפה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ זו נוסחה ללא משתנים חופשיים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+המשתנים החופשיים בשם עצם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, נסמנם 
+\begin_inset Formula $Free(t)$
+\end_inset
+
+, הם אוסף כל המשתנים המופיעים ב-
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ )קשר לוגי דו מקומי כלשהו( אז 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x)\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\forall x)\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\psi)$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\notin Free(\psi)$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$
+\end_inset
+
+ אחרת.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+תחשיב היחסים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+לפסוק )שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה( יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה, ללא
+ כל תלות בהשמה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ תקרא 
+\bar under
+אמיתית לוגית 
+\bar default
+אם לכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ )לשפה של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+( ולכל השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: אם 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ סימן יחס חד-מקומי אז 
+\begin_inset Formula $P(x)\vee\neg P(x)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ מדוע? יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+מבנה עבור 
+\begin_inset Formula $\{P\}$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה עבור 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\
+ &  & =TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: נניח ש
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ נוסחה עם משתנה חופשי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי שאינו מופיע ב
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית )אם 
+\begin_inset Formula $\varphi(c)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית - ייתכן שזה לא נדרש(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: 
+\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$
+\end_inset
+
+ - אז לפי הגדרת האמת ולפי הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית.
+ מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה על היצירה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ )הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים( מראים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\psi=\neg\psi^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ עבור קשר לוגי דו מקומי אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אבל 
+\begin_inset Formula $(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$
+\end_inset
+
+ לפי משפט הקריאה היחידה אינו מהצורה א' או ב' לכן אם הוא מתקבל ע"י החלפה
+ כנ"ל מפסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים, 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ הוא בהכרח פסוק יסודי.
+ אבל פסוק יסודי )משתנה פסוקי( אינו טאוטולוגיה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+טאוטולוגיה )הגדרה שקולה לשאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+5
+\numeric off
+(: נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+היא טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה 
+\begin_inset Formula $\psi(P_{1},...,P_{k})$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים )הסימון הזה אומר ש
+\begin_inset Formula $P_{1},...,P_{k}$
+\end_inset
+
+ הם כל המשתנים הפסוקיים המופיעים ב
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+( )למשל: 
+\begin_inset Formula $\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$
+\end_inset
+
+( ונוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ )של תחשיב היחסים( כך ש- 
+\begin_inset Formula $\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מתקבלת ע"י החלפת כל מופע של 
+\begin_inset Formula $P_{i}$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+משפט הקריאה היחידה: תהי 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק אחד מן הבאים מתקיים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימות נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ יחידות וקשר לוגי דו מקומי יחיד 
+\begin_inset Formula $\square$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימת נוסחה יחידה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימת נוסחה יחידה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\exists x\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימת נוסחה יחידה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\forall x\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב )בשפת התכנות החביבה עליכם(
+ שבהינתן נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ בתחשיב הפסוקים בודקת האם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ טאוטולוגיה של תחשיב היחסים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+)רמז( בהינתן נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע האם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ טאוטולוגיה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+דברים שצריך בשביל העבודה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+)שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\numeric off
+( תהיינה 
+\begin_inset Formula $\Gamma,\Delta$
+\end_inset
+
+ קבוצות פסוקים.
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
+\end_inset
+
+ )גורר( אם לכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ ולכל השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ מתקיים: אם 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Delta$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: אם ב
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ל
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ כנ"ל אם 
+\begin_inset Formula $\Delta\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז ב
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אינה ספיקה אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ )באופן ריק(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi\models\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\models\varphi\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\varphi\models\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ הכיוון השני גם נכון.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+)שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+( אפשר לחשוב על 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ כעל מבנה לשפה 
+\begin_inset Formula $\{R\}$
+\end_inset
+
+ עבור יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ גרף סופי קיים פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi_{G}$
+\end_inset
+
+ בשפה הנ"ל כך שלכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ בשפה , אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{G}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\cong G$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תזכורת: יהיו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M},\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ מבנים לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ של תחשיב היחסים.
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ )איזומורפיים( אם קיימת פונקציה חח"ע ועל 
+\begin_inset Formula $f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ לכל קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+לכל סימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle  & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+לכל סימן פונקציה n-מקומי 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n}))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+הכנה לשיעור הבא:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת נוסחאות ספיקה ו
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+ ספיקה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה ו-
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$
+\end_inset
+
+ ספיקה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם ב
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ יש פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ שאינו ספיק אז בוודאי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אינה ספיקה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+משפט הקומפקטיות: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ )כלומר אם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+( אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה אם ורק אם כל 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+קומפקטיות ומסננים
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\series bold
+\bar under
+משפט הקומפקטיות
+\series default
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ )כלומר אם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+אז גם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+( אזי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה אם ורק אם כל 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כלומר כל מודל של 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ הוא מודל של 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ולהיפך
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ קבוצת הפסוקים המתקבלת מ
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: לכל 
+\begin_inset Formula $1\le k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ , ב
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ יהיה הפסוק 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ נשים לב ש
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? יהיו 
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ לפי ההגדרה של 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ יש מספרים טבעיים 
+\begin_inset Formula $1\le k_{1},k_{2}$
+\end_inset
+
+ ופסוקים 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$
+\end_inset
+
+ כך ש- 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\Theta_{i} & = & \begin{cases}
+\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\
+\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+מכיוון ש-
+\begin_inset Formula $\Theta_{i}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ גמרנו.
+ 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש
+\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ מספיק להראות שאם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ונניח כמו קודם 
+\begin_inset Formula $\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ כלשהו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אזי:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ מתקיים אמ"ם לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית שלה היא ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט הקומפקטיות - נוסח שקול( קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ היא ספיקה מקומית אם ורק אם היא ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים ספיקה מקומית.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כמובטח בטענה, כלומר 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+.
+ מספיק להראות לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ הוא ספיק.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי ההנחה 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים ספיקה.
+ לכן יש מודל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+ לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת חיתוך וכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ספיק.
+ לפי משפט הקומפקטיות עבור 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ יש 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נוכיח את הכיוון השני )שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות(.
+ נניח 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ מקיימת את ההנחות כלומר 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ וכל פסוק בה ספיק.
+ יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית.
+ נוכיח באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ שכל קבוצת פסוקים מגודל 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ היא ספיקה.
+ עבור 
+\begin_inset Formula $k=1$
+\end_inset
+
+ - נתון.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל 
+\begin_inset Formula $k-1$
+\end_inset
+
+ שהיא ספיקה.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת חיתוך 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\begin_inset Formula $\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$
+\end_inset
+
+ היא קבוצה בגודל 
+\begin_inset Formula $k-1$
+\end_inset
+
+ ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה.
+ אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Delta$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i\ge3$
+\end_inset
+
+ וכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ .
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית וע"ס הנוסח השקול - ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה )בד"כ אינסופית אבל לא בהכרח(.
+ מסנן )
+\lang english
+filter
+\lang hebrew
+( על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ זו קבוצה 
+\begin_inset Formula $F\subseteq\mathbb{P}(I)$
+\end_inset
+
+ )כלומר אוסף של תת קבוצות של 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+( כך שמתקיים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $J\in F$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $J\subseteq J^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $J^{\prime}\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $J,J^{\prime}\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $J\cap J^{\prime}\in F$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם בנוסף לכל 
+\begin_inset Formula $J\subseteq I$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $J\not\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $I\backslash J\in F$
+\end_inset
+
+ - אז 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ נקרא על מסנן.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+דוגמאות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה כלשהי.
+ לכל 
+\begin_inset Formula $a\in I$
+\end_inset
+
+ נגדיר על מסנן 
+\begin_inset Formula $F_{a}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: 
+\begin_inset Formula $J\subseteq I,J\in F$
+\end_inset
+
+ אמ"ם 
+\begin_inset Formula $a\in J$
+\end_inset
+
+ .)הערה: על מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ נקרא ראשי אם קיים 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $F=F_{a}$
+\end_inset
+
+(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ סופית אז כל על מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ הוא ראשי.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ סופית גם 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ סופית ולכן באינדוקציה לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\numeric off
+: 
+\begin_inset Formula $J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $J_{F}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $J_{F}$
+\end_inset
+
+ יחידון - גמרנו.
+ נניח בשלילה שזה לא המקרה.
+ אחרת יש
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+איברים שונים ב
+\begin_inset Formula $J_{F}$
+\end_inset
+
+ )לפחות(.
+ ניקח 
+\begin_inset Formula $J\subseteq I$
+\end_inset
+
+ שמכילה את הראשון אבל לא את השני.
+ לא 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ ולא המשלים של 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ יכולים להיות ב
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ כי כל קבוצה ב
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מכילה את 
+\begin_inset Formula $J_{F}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה אינסופית.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$
+\end_inset
+
+.
+ תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה.
+ 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ אזי קיים על מסנן 
+\begin_inset Formula $F\subseteq F^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות כל מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ ניתן להרחבה לעל מסנן.
+ )הוכחה בשיעור הבא(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מסננים והלמה של צורן
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה )לא ריקה( אז 
+\series bold
+מסנן
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ זה אוסף של תת קבוצות של 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $U_{1}\wedge U_{2}\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $U\in F$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $U\subseteq V$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $V\in F$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ הוא על-מסנן אם לכל 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $V\not\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $I\backslash V\in F$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Lemma
+
+\bar under
+הלמה של צורן
+\bar default
+ - תהי 
+\begin_inset Formula $(I,\le)$
+\end_inset
+
+ קבוצה סדורה חלקית.
+ 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I$
+\end_inset
+
+ תקרא שרשרת אם לכל 
+\begin_inset Formula $v_{1},v_{2}\in V$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $v_{1}\le v_{2}$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $v_{2}\le v_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ אז נניח שלכל שרשרת 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל, כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $w\in I$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $w\ge V$
+\end_inset
+
+ )כלומר 
+\begin_inset Formula $w\ge v$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+(.
+ אזי ב
+\begin_inset Formula $(I,\le)$
+\end_inset
+
+ יש איבר מירבי, כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $u\in I$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $u\not=v\in I$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $u\not\le v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה ו- 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ אזי קיים על-מסנן 
+\begin_inset Formula $F\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות, כל מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ ניתן להרחבה לעל-מסנן.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ קבוצת כל המסננים על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ לאינטואיציה: 
+\begin_inset Formula $F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$
+\end_inset
+
+.
+ על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ אפשר להגדיר סדר חלקי ע"י הכלה.
+ כלומר, ל-
+\begin_inset Formula $F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $F_{1}\le F_{2}$
+\end_inset
+
+ אם לכל 
+\begin_inset Formula $V\in F_{1}$
+\end_inset
+
+ מתקיים גם 
+\begin_inset Formula $V\in F_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ אפשר לכתוב גם 
+\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם 
+\begin_inset Formula $V\subseteq\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ שרשרת אז ל
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $F_{V}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+ברור כי 
+\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F_{V}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נניח ש 
+\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in F_{V}$
+\end_inset
+
+.
+ קיימים 
+\begin_inset Formula $F_{1},F_{2}\in V$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $U_{1}\in F_{1}$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $U_{2}\in F_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ שרשרת, ב.ה.כ 
+\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}$
+\end_inset
+
+ .
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U_{1}\in F_{2}$
+\end_inset
+
+ לכן גם 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $U\in F_{V}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $U\subseteq W$
+\end_inset
+
+ אז לפי הגדרה קיים איזה 
+\begin_inset Formula $F\in V$
+\end_inset
+
+ כך ש- 
+\begin_inset Formula $U\in F$
+\end_inset
+
+.
+ לכן גם 
+\begin_inset Formula $W\in F$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $W\in F_{V}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הראנו שלכל שרשרת ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל, כי ברור 
+\begin_inset Formula $F_{V}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $F\subseteq F_{V}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $F\in V$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $F_{V}$
+\end_inset
+
+ חסם מלעיל ל-
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ לפי הלמה של צורן, ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ יש איבר מירבי, נסמנו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ על מסנן.
+ נניח בשלילה שהוא לא.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן ולכן הנחת השלילה מבטיחה שיש קבוצה 
+\begin_inset Formula $U\subseteq I$
+\end_inset
+
+ כך ש- 
+\begin_inset Formula $U\not\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $I\backslash U\not\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ נשים לב כי במקרה זה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן? 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוכיח ש
+\begin_inset Formula $\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ הרי שהיא מהצורה 
+\begin_inset Formula $U\cap V$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אז 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I\backslash U$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $I\backslash U\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ בסתירה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נראה כי אם 
+\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ ב.ה.כ 
+\begin_inset Formula $U_{1}\not\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U\cap V\subseteq U$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ הזו.
+ אם 
+\begin_inset Formula $U_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ וכך גם 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ אחרת 
+\begin_inset Formula $U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $V_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ .
+ ואז 
+\begin_inset Formula $U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ קיבלנו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ סתירה.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ על מסנן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+)הרחבה( אם 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ אוסף המסננים המכילים את 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ באופן טריויאלי לכל שרשרת ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{H_{F}}$
+\end_inset
+
+)כי כל שרשרת כזו היא שרשרת של איברים שגדולים מ-
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ ולכן אם יש לה חסם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ הרי שהוא חסם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
+\end_inset
+
+מקיימת את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+וראינו שאלו על מסננים.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+לכל קבוצה אינסופית 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ יש על מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ כך שאם 
+\begin_inset Formula $|I\backslash U|<\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $U\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+מכפלות
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+קבוצה לא ריקה כלשהי ו-
+\begin_inset Formula $\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ אוסף של קבוצות לא ריקות.
+ אז המכפלה 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ זה אוסף כל הפונקציות 
+\begin_inset Formula $f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ המקיימות 
+\begin_inset Formula $f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+.
+ הערה: אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma=\{1,...,n\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i,j$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+אקסיומת הבחירה
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+לא ריקה ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מכפלות
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+מכפלות
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה כלשהי ו-
+\begin_inset Formula $\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ אוסף של קבוצות לא ריקות.
+ אז המכפלה 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ זה אוסף כל הפונקציות 
+\begin_inset Formula $f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ המקיימות 
+\begin_inset Formula $f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+.
+ הערה: אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma=\{1,...,n\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i,j$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+דוגמה: אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$
+\end_inset
+
+זה פשוט אוסף כל הפונקציות מ
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+לא ריקה ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+.
+ ל
+\begin_inset Formula $\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $x\sim_{F}y$
+\end_inset
+
+ עבור על מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+בסימונים של ההגדרה האחרונה 
+\begin_inset Formula $\sim_{F}$
+\end_inset
+
+ הוא יחס שקילות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נניח ש
+\begin_inset Formula $x\sim_{F}y$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y\sim_{F}z$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U\cap V\in F$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה ולכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ מבנה לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן )לא ראשי( על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז העל מכפלה של 
+\begin_inset Formula $\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ ביחס ל
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ שתסומן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$
+\end_inset
+
+ היא המבנה המוגדר כלהלן: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+העולם של העל מכפלה הוא 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$
+\end_inset
+
+ כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס 
+\begin_inset Formula $\sim_{F}$
+\end_inset
+
+ על המכפלה 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c\in\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ נפרש 
+\begin_inset Formula $[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+ מחלקת השקילות של הסדרה 
+\begin_inset Formula $(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ ביחס ל 
+\begin_inset Formula $\sim_{F}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R\in\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ .
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סימן פונקציה n-מקומי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$
+\end_inset
+
+ .
+ הערה: הנ"ל מוגדר היטב.
+ כלומר אם 
+\begin_inset Formula $[b]=[d]$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+ &  & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\
+ & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $[b]=[d]$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $b\sim_{F}d$
+\end_inset
+
+ וזאת בדיוק ההגדרה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+יהיו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ נוסחה ו-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי מתקיים 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם לכל השמות 
+\begin_inset Formula $(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ )עם 
+\begin_inset Formula $s_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ השמה ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+( כך ש 
+\begin_inset Formula $[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$
+\end_inset
+
+ מתקיים ש 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+באינדוקציה על יצירת הנוסחאות.
+ נתחיל משמות עצם:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+.
+ לשם נוחות נקבע השמה 
+\begin_inset Formula $s_{0}$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $[s_{0}]=s$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר לכל משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $[s_{0}(x)]=s(x)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ פונקציה 
+\begin_inset Formula $t=F(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})]
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית 
+\begin_inset Formula $R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$
+\end_inset
+
+ אז אם ורק אם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\
+ & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם 
+\begin_inset Formula $[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le m$
+\end_inset
+
+.
+ לכן, 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וזה מה שהיינו צריכים .
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+משפט
+\family roman
+\series bold
+\shape up
+\size larger
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Los
+\family roman
+\series bold
+\shape up
+\size larger
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+והוכחת קומפקטיות
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+משפט
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Los
+\bar default
+\lang hebrew
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב הפסוקים, 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה, לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה עבור 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ נוסחה ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$
+\end_inset
+
+אם ורק אם לכל השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ המקיימת 
+\begin_inset Formula $\bar{s}(x)=[s(x)]$
+\end_inset
+
+ מתקיים: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $s(\gamma)(x)$
+\end_inset
+
+ זה הקואורדינטה ה
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+ של 
+\begin_inset Formula $s(x)$
+\end_inset
+
+(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+תזכורת: כיצד מגדירין )"לכבוד פסח" - א.
+ חסון, חג שמח( מבנה לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$
+\end_inset
+
+?
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ פשוט לוקחים את 
+\begin_inset Formula $[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור סימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ נקבע ש-
+\begin_inset Formula $\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ אם קיימים 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור סימן פונקציה n-מקומי 
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$
+\end_inset
+
+ אם קיימים 
+\begin_inset Formula $b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר 
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ היא אכן פונקציה.
+ ז"א עבור 
+\begin_inset Formula $\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ קיים 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ יחיד כך ש
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ראשית נראה: אם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ שם עצם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\bar{s},s$
+\end_inset
+
+ השמות כבניסוח המשפט אז 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+ באינדוקציה על יציאת 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t=F(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))]
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הוכחנו עבור שמות עצם.
+ כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אם ורק אם קיימים נציגים ל-
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$
+\end_inset
+
+ נסמנם 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את 
+\begin_inset Formula $(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ בתור נציגים לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+ ז"א 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ )וזה בדיוק מה שמשפט
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Los
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אומר(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וזה מתקיים 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+אם ורק אם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+המקרים של 
+\begin_inset Formula $\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ דומים מאוד )משתמשים בתכונות של על מסנן(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נותר המקרה 
+\begin_inset Formula $\varphi=\exists x\psi(x)$
+\end_inset
+
+ )המקרה של 
+\begin_inset Formula $\forall x$
+\end_inset
+
+ נובע מהמקרה הנ"ל וממה שעבר עשינו ע"י השקילות הלוגית 
+\begin_inset Formula $\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$
+\end_inset
+
+(.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+כיוון אחד: נניח כי 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$
+\end_inset
+
+ ז"א שקיים 
+\begin_inset Formula $\bar{a}\in\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$
+\end_inset
+
+.
+ נוסיף לשפה קבוע אישי חדש 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ ונרשום 
+\begin_inset Formula $\psi(c)$
+\end_inset
+
+ הנוסחה המתקבלת מ
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ע"י החלפת של מופע חופשי של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ בנוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ .
+ נרחב את 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+למבנה לשפה המועשרת ע"י כך שנגדיר 
+\begin_inset Formula $c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$
+\end_inset
+
+.
+ אז לפי הנחת האינדוקציה: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\
+ & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+כיוון שני: נניח כי 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר איבר 
+\begin_inset Formula $a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$
+\end_inset
+
+ אז נבחר 
+\begin_inset Formula $a_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ שמעיד על כך.
+ אם 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$
+\end_inset
+
+ נבחר 
+\begin_inset Formula $a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ שרירותי.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\bar{a}=[a]$
+\end_inset
+
+ .
+ מההנחה שלנו 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+נניח ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ לא ריקה ו
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+מבנים לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+, אזי לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Corollary
+
+\bar under
+משפט הקומפקטיות
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה פסוקים בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ נניח שלכל 
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ גם 
+\begin_inset Formula $\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ קיים מודל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ נבחר מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$
+\end_inset
+
+ הקבוצה המקיימת קיים 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+כך ש: 
+\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ מהנחתנו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ ברור ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ סגורה כלפי מעלה.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ אזי קיימים 
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$
+\end_inset
+
+ וזה גורר.....
+ 
+\begin_inset Formula $V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן שמרחיב את 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי המסקנה מתקיים 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ אבל מהגדרת 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ הקבוצה 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ ולכן ל-
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ מש"ל.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+עקביות
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+תהי 
+\begin_inset Formula $(P,\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח, אזי קיים יחס 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ )דו-מקומי( כך ש-
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ יחס סדר קווי
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $a,b\in P$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $R(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+במילים אחרות, קיים סדר קווי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ שמרחיב את 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+הערה:
+\bar default
+ המשפט עבור קבוצה סופית 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ איננו קשה.
+ ההוכחה באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $|P|$
+\end_inset
+
+.
+ עבור 
+\begin_inset Formula $|P|=1$
+\end_inset
+
+ אין מה להוכיח.
+ נניח שהוכחנו עבור כל 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $|P|=n$
+\end_inset
+
+ ונוכיח עבור 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+: תהי 
+\begin_inset Formula $(P,\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח עם 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+ איברים.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ סופית יש לה איבר מינימלי 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $Q=P\backslash\{a\}$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $(Q,\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח עם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ שמרחיב את 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+.
+ עתה לא קשה לבדוק שאם נגדיר 
+\begin_inset Formula $R(a,b)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $b\in Q$
+\end_inset
+
+ נקבל את המבוקש.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)מקרה כללי( תהי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב היחסים שבה:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $p\in P$
+\end_inset
+
+ יש קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c_{p}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+בלבד.
+
+\bar default
+ נגדיר קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $T_{P}$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c_{p}\not=c_{q}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $p\not=q\in P$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ יחס סדר קווי
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $p,q\in P$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $p\le q$
+\end_inset
+
+ אזי יהיה פסוק 
+\begin_inset Formula $R(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $T_{P}$
+\end_inset
+
+ ספיקה )מקומית(.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש
+\begin_inset Formula $T_{P}$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T_{0}\subseteq T_{P}$
+\end_inset
+
+ סופית.
+ בה"כ האקסיומה )
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( "
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ יחס סדרי קווי" שייכת ל
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ בנוסף נשים לב שב
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+ מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: 
+\begin_inset Formula $c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ נביט בקבוצה 
+\begin_inset Formula $P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $(P_{0},\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח סופית.
+ לכן לפי ההערה יש יחס 
+\begin_inset Formula $R^{P_{0}}$
+\end_inset
+
+ שהוא סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+ המרחיב את 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שאם נפרש את 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $R^{P_{0}}$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ו-
+\begin_inset Formula $c_{p_{i}}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $p_{i}$
+\end_inset
+
+ אז נקבל מודל של 
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T_{P}$
+\end_inset
+
+, בפרט 
+\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}\le\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ המבנה שעולמו הוא הקבועים של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ )כלומר 
+\begin_inset Formula $a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $p\in P$
+\end_inset
+
+(.
+ נגדיר יחס סדר חלקי 
+\begin_inset Formula $\le^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $p,q\in P$
+\end_inset
+
+ .
+ אז 
+\begin_inset Formula $(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$
+\end_inset
+
+ פשוט ע"י 
+\begin_inset Formula $p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן בה"כ 
+\begin_inset Formula $(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$
+\end_inset
+
+.
+ עתה 
+\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ )צמצום( סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+.
+ )לפי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models(2)$
+\end_inset
+
+ מתקיים כי
+\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי(.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models(3)$
+\end_inset
+
+ אז אם 
+\begin_inset Formula $p\le q$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $p(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+ היא אקסיומה ב)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+תהי 
+\begin_inset Formula $L=\{G\}$
+\end_inset
+
+ עבור יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $T_{G}$
+\end_inset
+
+ התורה שאומרת כי העולם הוא גרף.
+ אזי אין פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ גרף קשיר.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה שיש פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כזה.
+ נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים 
+\begin_inset Formula $c_{1},c_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\varphi_{n}$
+\end_inset
+
+ הפסור שאומר שאין מסילה באורך קטן מ
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בין 
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})]
+\]
+
+\end_inset
+
+ נשים לב ש
+\begin_inset Formula $\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ עיקבית מקומית.
+ אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+ קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה הנ"ל יש 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מירבי כך ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שאם נמצא 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל ברור שלכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ יש גרך המקיים את 
+\begin_inset Formula $\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$
+\end_inset
+
+ )פחות מ
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ קודקודים, בפרט אין מסילה מ
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+(.
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה סופית.
+ לפי קומפקטיות 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+ אבל זה לא ייתכן: אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ ולכן בין 
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+ יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ מצד שני 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{n}$
+\end_inset
+
+ ולכן אין מסילה באורך 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בין 
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+ וזוהי סתירה להנחת השלילה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ בשפה 
+\begin_inset Formula $L=\{\le\}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\{\le\}$
+\end_inset
+
+ סדר טוב )כלומר 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+ סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ גרף קשיר/
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ סדור היטב )סדר טוב(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם לכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+: אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+ אז קיימת קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נביט בקבוצה 
+\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\neg\psi\}$
+\end_inset
+
+ .
+ מהנחתנו קבוצה זו איננה ספיקה.
+ מקומפקטיות יש 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+ איננה ספיקה.
+ ברור ש
+\begin_inset Formula $\neg\psi\in\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+ כי אחרת 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+ )אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ איננה עקבית מקומפקטיות יש 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ שאינה ספיקה ו
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\varphi$
+\end_inset
+
+ לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+(.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$
+\end_inset
+
+ סופית ומקיימת 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
+\end_inset
+
+ )כי אחרת יש מודל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\not\models\psi$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\neg\psi$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+ בסתירה לבחירת 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+(.
+ במילים אחרות ליחס 
+\begin_inset Formula $\models$
+\end_inset
+
+ יש טבע סופי.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+שאלה מרכזית
+\bar default
+: בהינתן שפה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ וקבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כלשהו האם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+? בתור התחלה נשים לב שאם 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז בוודאי 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+? נניח שהגדרנו מתי קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה מתי פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ שייך ל
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים חשיבה ונניח ש
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\psi_{1}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ באופן כללי יותר אם הראנו למשל 
+\begin_inset Formula $\psi_{1}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ נגררים לוגית ע"י 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז ניתן להראות 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מערכות היסק ויכיחות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+בעיה מרכזית:
+\bar default
+ נתונה קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ורוצים לדעת עבור פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ האם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מקרה פרטי: 
+\begin_inset Formula $\Gamma=\emptyset$
+\end_inset
+
+, כלומר רוצים לדעת האם פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית או לא.
+ המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי.
+ מדוע? בהינתן קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כלשהו, אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+ אז יש 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
+\end_inset
+
+ )משפט הקומפקטיות( ולכן 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+שאלה
+\bar default
+: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית?
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית אז 
+\begin_inset Formula $\forall x\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ אפשר לרשום גם: 
+\begin_inset Formula $\varphi\rightarrow\forall x\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\forall x\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית אז 
+\begin_inset Formula $\varphi(t)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית לכל שם עצם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ אפשר לרשום גם: 
+\begin_inset Formula $\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית ו
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית אז 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ 
+\series default
+)בכל מערכות ההיסק שנעבוד איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד.
+ זה נקרא 
+\bar under
+כלל הניתוק
+\bar default
+ או
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Modus Poneus
+\lang hebrew
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+סימון:
+\bar default
+ בהינתן שפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ מסדר ראשון נסמן 
+\begin_inset Formula $Def(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ אוסף הנוסחאות בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+מערכת היסק )לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+( זה זוג סדור 
+\begin_inset Formula $\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $
+\end_inset
+
+כאשר: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ )אולי ריקה( שנקראת קבוצת האקסיומות הלוגיות
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $F_{n}$
+\end_inset
+
+ זה אוסף הפונקציות 
+\begin_inset Formula $f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{I}$
+\end_inset
+
+ נקראת אוסף כללי ההיסק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה:
+\bar default
+ תמיד נדרוש כי:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\mathcal{A}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ במקרה זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות 
+\bar under
+תקפות
+\bar default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $f\in\mathcal{I}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק 
+\bar under
+נאותים
+\bar default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+סימון
+\bar default
+: אם נרצה לומר ש
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+מתקבל מ
+\begin_inset Formula $\psi_{1},...,\psi_{n}$
+\end_inset
+
+ על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום 
+\begin_inset Formula $\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$
+\end_inset
+
+ ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+בהינתן מערכת היסק 
+\begin_inset Formula $\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ וקבוצת נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ נאמר שנוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+יכיחה
+\series default
+ )כלומר, ניתנת להוכחה( מ
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ,ונסמן 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
+\end_inset
+
+, אם קיימת סדרת נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\psi=\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+ או:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ אקסיומה לוגית.
+ או:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ או:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע"י אחד מכללי ההיסק.
+ במקרה שלנו יש 
+\begin_inset Formula $j_{1},j_{2}<i$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מ-
+\begin_inset Formula $\varphi_{j_{1}}$
+\end_inset
+
+ו-
+\begin_inset Formula $\varphi_{j_{2}}$
+\end_inset
+
+ ע"י כלל הניתוק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הסדרה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ המקיימת את התנאים הנ"ל נקראת הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+שאלה:
+\bar default
+ האם קיימת מערכת היסק 
+\bar under
+חשיבה
+\bar default
+ )כלומר שבה אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות
+ קודמות ע"י אחד מכללי ההיסק( כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה )מ-
+\begin_inset Formula $\emptyset$
+\end_inset
+
+(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל הטאוטולוגיות
+ כאקסיומות לוגיות )אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה )קבוצת פסוקים ספיקה( כלשהי ו
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ נוסחה כך ש-
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $T\cup\{\psi\}$
+\end_inset
+
+ ספיקה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T$
+\end_inset
+
+ נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ אם ל-
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ הוכחה באורך
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אז או ש-
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אקסיומה לוגית ולכן אמיתי לוגית ולכן מסופק ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+, או ש-
+\begin_inset Formula $\psi\in T$
+\end_inset
+
+ ובוודאי ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ )כי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T$
+\end_inset
+
+(.
+ נניח ש-
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ואפשר להניח ב.ה.כ ש-
+\begin_inset Formula $\psi=\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מאיזה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $j_{1},j_{2}<k$
+\end_inset
+
+ ע"י כלל הניתוק.
+ לפי הנחת האינדוקציה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+משפט ההיסק: 
+\bar default
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת נוסחאות ו-
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ נוסחה כלשהי, אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ נוסחה(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+)ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קבוצת נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה.
+ )סתירה היא המקבילה של טאוטולוגיה - כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה
+ של תחשיב הפסוקים(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אינה עקבית אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ לכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מהנחתנו 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ לאיזו סתירה 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ היא טאוטולוגיה )
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתקבלת ע"י הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בפסוק 
+\begin_inset Formula $\Sigma(P_{1},...,P_{n})$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים ו-
+\begin_inset Formula $\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$
+\end_inset
+
+ היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים(.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ מכלל הניתוק 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+)ממשפט ההיסק( לכל תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ולכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ או ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}$
+\end_inset
+
+ עקבית או ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\varphi}$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\varphi}$
+\end_inset
+
+ שתיהן אינן עקביות.
+ לפי ההערה יש סתירה 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי משפט ההיסק 
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$
+\end_inset
+
+ .
+ אבל: 
+\begin_inset Formula $(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$
+\end_inset
+
+ זו טאוטולוגיה.
+ שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ בסתירה להנחה ש-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ספיקה ולטענה הקודמת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+לכל תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כך שלכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T^{\prime}\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T^{\prime}\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ המקיימת לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\bar under
+שלמה
+\bar default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)של המסקנה( תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+ אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות את 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ביחס לסדר ההכלה.
+ קל לבדוק שאם 
+\begin_inset Formula $\{T_{i}\}$
+\end_inset
+
+ שרשרת עולה של תורות ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+.
+ למה? קומפקטיות )צריך לנמק(.
+ לכן לפי הלמה של צורן יש 
+\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+ מירבית.
+ לפי המסקנה הקודמת 
+\begin_inset Formula $T^{\prime}$
+\end_inset
+
+ עונה על הדרישות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מערכות היסק - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קבוצת פסוקים עקבית 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ היא 
+\series bold
+שלמה
+\series default
+ אם לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או ש-
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או ש-
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+ראינו שאם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל קבוצת פסוקים עקבית 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש קבוצת פסוקים שלמה 
+\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הלמה של צורן.
+ כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם 
+\begin_inset Formula $\{T_{i}\}$
+\end_inset
+
+ שרשרת )ביחס להכלה( של קבוצות פסוקים עקביות אז גם 
+\begin_inset Formula $\tilde{T}=\bigcup T_{i}$
+\end_inset
+
+ עיקבית.
+ מדוע? אם 
+\begin_inset Formula $\tilde{T}\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ לאיזו סתירה 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ אז יש סדרה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$
+\end_inset
+
+ שהיא הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $\tilde{T}$
+\end_inset
+
+.
+ כל 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ הוא או אקסיומה לוגית או שייך לאיזה 
+\begin_inset Formula $T_{j_{i}}$
+\end_inset
+
+ או נובע מאיברים קודמים בסדרה ע"י כלל הניתוק.
+ קיים 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ מירבי כך שלכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ כנ"ל או 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ אקסיומה לוגית או 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in T_{j}$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מכלל הניתוק.
+ ז"א ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתוך 
+\begin_inset Formula $T_{j}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $T_{j}$
+\end_inset
+
+ עקבית - סתירה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימת מערכת היסק )שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד( וכך שמערכת ההיסק "חשיבה"
+ ומתקיים ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עקבית אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+]משפט השלמות[ נקבע מערכת היסק כנ"ל.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים עקבית, 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ פסוק כלשהו אזי 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ הראנו ש
+\begin_inset Formula $T\models\psi$
+\end_inset
+
+ )שיעור שעבר(.
+ בכיוון השני, אם 
+\begin_inset Formula $T\models\psi$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $T\not\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\psi}$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+ לפי המשפט יש 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$
+\end_inset
+
+ בסתירה להנחה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+המשפט הנ"ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק "חשיבה" כך שלכל 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית מתקיים 
+\begin_inset Formula $\emptyset\vdash\varphi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח את המשפט ונוכיח את הטענה.
+ 
+\begin_inset Formula $\emptyset\models\varphi$
+\end_inset
+
+מתקיים כי 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית ומן המסקנה 
+\begin_inset Formula $\emptyset\vdash\varphi$
+\end_inset
+
+.
+ בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה עקבית.
+ עלינו להראות )בעזרת הטענה( של
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש מודל.
+ נניח שלא.
+ ז"א מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית 
+\begin_inset Formula $T_{0}\subseteq T$
+\end_inset
+
+ שאין לה מודל.
+ יהי 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+שיקרי לוגית.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\neg\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ איננה עקבית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+ממשפט השלמות נובע ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T\models\varphi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\models\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+דוגמאות לתורות שלמות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מבנה כלשהו לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ התורה של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ היא 
+\begin_inset Formula $Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$
+\end_inset
+
+.
+ מהגדרת האמת, אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\not\models\varphi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\neg\varphi$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)לוונהיים-סקולם היורד(: יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מבנה אינסופי לשפה )בת מניה( 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq M$
+\end_inset
+
+ )בעולם של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+( אזי קיים 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ וכך ש-
+\begin_inset Formula $|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+נניח ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה בשפה בת מניה ול
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם בעוצמה 
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה )סוג של קריטריון
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Vaught
+\lang hebrew
+(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח שלא.
+ אזי יש פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $T_{1}=T\cup{\varphi}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$
+\end_inset
+
+ עקביות.
+ אזי קיימים 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ מהמשפט אנחנו יודעים )נשתמש ב
+\begin_inset Formula $\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$
+\end_inset
+
+( שיש 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$
+\end_inset
+
+כך ש
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$
+\end_inset
+
+עבור 
+\begin_inset Formula $i=1,2$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}\models T$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$
+\end_inset
+
+)זאת ההנחה(.
+ לפי משפט האיזומורפיזם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ - סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+תהי 
+\begin_inset Formula $T_{\approx}$
+\end_inset
+
+ התורה בשפה הריקה )ז"א שוויון בלבד( שאומרת שהעולם אינסופי.
+ זו תורה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}=\{\le\}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $DLO$
+\end_inset
+
+ היא התורה של סדר קווי צפוף ללא קצוות.
+ אז 
+\begin_inset Formula $DLO$
+\end_inset
+
+ תורה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+הגרף המקרי )שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\numeric off
+( הוא קטגורי ב
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ )כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה 
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ איזומורפי לו( לפי תרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+5
+\numeric off
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מכונות טיורינג
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה אם לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ קטגורית ב
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ )כלומר, יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם שעוצמתו 
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+( ול-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אין מודלים סופיים אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ - מחלקת הפונקציות החשיבות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+פונקציות חלקיות )דטרמיניסטיות(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ניתנות לתיאור סופי
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות - "זיכרון"
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד של הזכרון
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+בכל שלב של החישוב "כמות סופית של אינפורמציה" - מספיקה כדי לתאר את "מצב החישוב"
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+יהיו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ א"ב סופי עם תו מיוחד 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, ו-
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ קבוצה סופית )זרה ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+( שנקרא לה "קבוצת המצבים הפנימיים" עם מצב התחלתי 
+\begin_inset Formula $q_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+פקודה
+\series default
+ זו רביעייה 
+\begin_inset Formula $\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $r\in S$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $q,q^{\prime}\in Q$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}\cup S$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+מכונת טיורינג
+\series default
+ זו רביעיה 
+\begin_inset Formula $M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות.
+ )הערה: 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ חסרת סתירות אם 
+\begin_inset Formula $rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $y=x$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $q^{\prime}=q^{\prime\prime}$
+\end_inset
+
+.(
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נחשוב בצורה גרפית על מ"ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים.
+ בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא"ב כאשר על 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ נחשוב כעל תו המייצג תא ריק.
+ למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים.
+ הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא.
+ לפי המצב הפנימי של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה
+ תא אחד או לכתוב תו אחר בא"ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש.
+ על פקודה נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ והמצב הפנימי הוא 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ אז אם 
+\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}$
+\end_inset
+
+ זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\in S$
+\end_inset
+
+ כתוב בתא הנוכחי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ועבור למצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ לומר ש
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ היא סדרת פקודות חסרת סתירה זה פשוט לומר ש
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ היא פונקציה חלקית: 
+\begin_inset Formula $S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+מצב
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ של מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שו שלשה 
+\begin_inset Formula $(n,q,h)$
+\end_inset
+
+ כאשר:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $q\in Q$
+\end_inset
+
+ המצב הפנימי של המכונה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $h:\mathbb{Z}\rightarrow S$
+\end_inset
+
+ פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של הסרט.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+בהינתן מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ומצב 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ של המכונה נגדיר את 
+\series bold
+המצב העוקב
+\series default
+ ל
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ לפי המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ להיות 
+\begin_inset Formula $m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$
+\end_inset
+
+ כאשר:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $m=(n,q,h)$
+\end_inset
+
+ ויש פקודה 
+\begin_inset Formula $rqxq^{\prime}\in I$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $r=h(n)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ הוא אותו מצב פנימי
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם )א( מתקיים אז 
+\begin_inset Formula $n^{*}=\begin{cases}
+n & x\in S\\
+n+1 & x=R\\
+n-1 & x=L
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם )א( מתקיים אז 
+\begin_inset Formula $q^{*}=q^{\prime}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם )א( מתקיים אז 
+\begin_inset Formula $h^{*}(m)=\begin{cases}
+h(m) & m\not=n\\
+y & m=n
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $y=h(n)$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y=x$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\in S$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+ריצה
+\series default
+ של מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ זו סדרה של מצבים 
+\begin_inset Formula $m_{0},m_{1},m_{2},...$
+\end_inset
+
+ המקיימת:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$
+\end_inset
+
+ לאיזו 
+\begin_inset Formula $h^{0}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $i>0$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+ריצה של מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+סופית
+\series default
+ )או מסתיימת( אם היא מהצורה 
+\begin_inset Formula $m_{0},m_{1},...,m_{n}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $M_{n}^{(T)}$
+\end_inset
+
+ אינו מוגדר.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Definition
+בהינתן מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ומספר טבעי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נגדיר פונקציה )חלקית( 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $q=q_{0}$
+\end_inset
+
+ , והסרט נראה כך: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+מתקיים 
+\begin_inset Formula $m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ אם ריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עם המצב ההתחלתי הנ"ח מסתיימת )אחרת לא מוגדר( ו-
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ היא מספר האחדות על הסרט בתום הריצה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+חשיבה ע"י מ"ט 
+\series default
+אם קיימת מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=f$
+\end_inset
+
+, כלומר 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ מוגדרת בדיוק באותו התחום בו 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ מוגדרת ובכל מקום שהן מוגדרות 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מכונות טיורינג - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ פונקציה 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+חשיבה
+\series default
+ )ע"י מכונת טיורינג( אם קיימת מכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ הריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על סרט מהצורה 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ מסתיימת אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $f(n_{1},...,n_{k})$
+\end_inset
+
+ מוגדר ובמקרה זה מספר האחדות על הסרט בתום הריצה הוא 
+\begin_inset Formula $f(n_{1},...,n_{k})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: סימנו, בהינתן מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ את הפונקציה 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ להיות הפונקציה שעבור קלט כנ"ל מחזירה את מספר האחדות בריצה סופית של המכונה
+ )על הקלט(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בא"ב של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ יש שני תווים מיוחדים 
+\begin_inset Formula $S,E$
+\end_inset
+
+ כך שבכל ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ )על קלט תקני( הסרט לאחר הריצה נראה כך: 
+\begin_inset Formula $...BBS111...1EBB...$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן ב
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ שמאלה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+פרט ל
+\begin_inset Formula $S,E$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ יש רק את התווים 
+\begin_inset Formula $\{1,B\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q\in Q(T)$
+\end_inset
+
+ יהיה במכונה 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ כל פקודה 
+\begin_inset Formula $rqxq^{\prime}\in I(T)$
+\end_inset
+
+ נחליף בפקודה 
+\begin_inset Formula $rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ נוסיף ל
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ את הפקודות הבאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+כותב 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ משמאל לקלט וחוזר ימינה
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{0}Lq_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{0}Lq_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{1}Sq_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{2}Lq_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ וחוזר להתחלה
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{3}Rq_{4}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{4}Lq_{5}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{5}Eq_{r}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*q_{r}Lq_{r}$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ זה או 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq_{r}Rq_{0}^{*}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+שלב הסריקה
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{3}Rq_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{4}Rq_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת ב
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ או ב
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ בשלב הריצה.
+ נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{*}$
+\end_inset
+
+ נוסיף פקודות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+באופן אנלוגי מטפלים ב
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות.
+ נניח שכל ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ מסתיימת במצב פנימי 
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )שאינו מופיע במהלך הריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+(.
+ נוסיף פקודות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*\hat{q}R\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ הינו כל תו שאינו 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E\hat{q}Bq_{w}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{w}Lq_{w}^{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*q_{w}^{1}E\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ הינו כל תו שאינו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ ואינו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נטפל במקרה שראינו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+אחרי שמחקנו את 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$
+\end_inset
+
+ - מצב סופי
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+וגם:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*q_{w}^{d}1\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )כאשר
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+- כל תו שאינו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ כל פעם שהמכונה פוגשת 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ היא תיכנס ל"תת מכונה" שמזיזה את כל הסרט שעד 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ ימינה בתו אחד, כותבת 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ במקום הראשון שמימין ל-
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ וחוזרת לריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ הדבר היחיד שצריך להשתכנע: יש מכונה 
+\begin_inset Formula $Sh$
+\end_inset
+
+ שבהינתן קלט מן הצורה 
+\begin_inset Formula $...BBS...EBBB...$
+\end_inset
+
+ מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה.
+ נוסיף לא"ב שלנו תו מיוחד 
+\begin_inset Formula $B^{*}$
+\end_inset
+
+ , המכונה תרוץ באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+תסרוק עד שתגיע ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל תו 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ בא"ב המקורי )כלומר שאינו 
+\begin_inset Formula $B^{*}$
+\end_inset
+
+( יהיה מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q_{\alpha}$
+\end_inset
+
+.
+ סדרת הפקודות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מעתיקה את התו 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ תו אחד מימין למקומו המקורי.
+ צריך טיפול נפרד בתווים 
+\begin_inset Formula $S,E$
+\end_inset
+
+ אבל אין בעיה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם בא"ב שלנו יש 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ תווים נבנה מכונה 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ שבה התו ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ בא"ב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ייוצג ע"י 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-יה של תאים 
+\begin_inset Formula $\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$
+\end_inset
+
+ .
+ קל לבדוק שכל פקודה מהצורה "זוז ימינה" או "זוז שמאלה" ב
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ניתן לתרגם בקלות לפקודה "זוז 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ תווים ימינה/שמאלה" ב
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ פקודה מהצורה "כתוב את התו ה
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ בא"ב בתא הנוכחי" תתרגם לסדרה של 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ פקודות כתיבה "כתוב במקום ה
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-יה שאתה נמצא בתחילתה את ה
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-יה 
+\begin_inset Formula $\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$
+\end_inset
+
+.
+ כנ"ל לגבי הקריאה.
+ לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ בא"ב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$
+\end_inset
+
+אז 
+\begin_inset Formula $f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+התנאים
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2,3,4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+.
+ לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות לחישוב ע"י מכונת טיורינג
+ הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה.
+ בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך הריצה.
+ עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל-
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+נניח ש-
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבות טיורינג אז גם 
+\begin_inset Formula $f\circ g$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+תהינה 
+\begin_inset Formula $T_{f},T_{g}$
+\end_inset
+
+ מכונות כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{f}}^{\prime}=f$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $g_{T_{g}}^{\prime}=g$
+\end_inset
+
+ .
+ לכל מצב פנימי של 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ במכונה החדשה יהיה מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ אז המכונה של ההרכבה תהיה:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+רשימת הפקודות של 
+\begin_inset Formula $T_{g}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מוחקים את 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, וכותבים במקומו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, מוחקים את 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, חוזר להתחלה ועובר למצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q_{0}^{*}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+רשימת הפקודות של 
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ עם השינוי שכל פקודה מהצורה 
+\begin_inset Formula $*q\star q_{1}$
+\end_inset
+
+ משתנה לפקודה מהצורה 
+\begin_inset Formula $*q^{*}\star q_{1}^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור "מיזער": 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases}
+a & (*)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר * הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא....
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות חשיבות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ - הפונקציה הקבועה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ - הפונקציה הקבועה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $x+y$
+\end_inset
+
+ - חיבור
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קל לוודא ש
+\begin_inset Formula $\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $k<n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג )לכל 
+\begin_inset Formula $k,n$
+\end_inset
+
+( 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מה לגבי 
+\begin_inset Formula $x\cdot y$
+\end_inset
+
+? קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ מעתיקה את 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ בסוף הקלט.
+ גם כפל פונקציה חשיבה - תרגיל קל.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מה לגבי הפונקציה 
+\begin_inset Formula $C_{<}(x,y)=\begin{cases}
+1 & x<y\\
+0 & else
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+? גם הפונקציה הזו חשיבה )מוחקים כל פעם תו מתחילת 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ומסוף 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+...(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ראינו גם: אם 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$
+\end_inset
+
+ חשיבות טיורינג אז גם 
+\begin_inset Formula $f\circ g$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג אם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k}))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וכל אחת מהפונקציות 
+\begin_inset Formula $f_{i}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $1\le i\le m$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל הפונקציות
+ המתקבלות מן הרשימה הנ"ל על ידי מספר סופי של הרכבות הן פונקציות שלמות.
+ כלומר מוגדרות על כל 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מתאים.
+ לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות, למשל: 
+\begin_inset Formula $1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$
+\end_inset
+
+ )מכונה שלא עוצרת על חלק מהקלטים - על 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ במקרה הזה(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ פונקציה כלשהי.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases}
+t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\
+ & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אזי אם 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג גם 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+ 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ נקרא אופרטור ה"מיזער".
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)רעיון( תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ מכונת טיורינג המחשבת את 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ )כלומר 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{k}=g$
+\end_inset
+
+(.
+ "מטה רעיון" - נריץ את 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על הקלט 
+\begin_inset Formula $0,x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ אם המכונה לא עוצרת זה אומר ש
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת ב
+\begin_inset Formula $(0,x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ ולכן גם 
+\begin_inset Formula $h(x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת כנדרש.
+ אם הריצה מסתיימת נבדוק האם היא הסתיימה ב
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+.
+ אם כן, נחזיר 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $h(0,x_{2},...,x_{k})=0$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+ אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט 
+\begin_inset Formula $1,x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+ וכו'.
+ אם המכונה הנ"ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ עבורו 
+\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})=0$
+\end_inset
+
+, בפרט 
+\begin_inset Formula $g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ מוגדרת לכל 
+\begin_inset Formula $t^{\prime}<t$
+\end_inset
+
+.
+ מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד מהבאים מתקיים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+קיים 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ לא מוגדר ו
+\begin_inset Formula $g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $t^{\prime}<t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+הסעיף הקודם לא מתקיים ו
+\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})>0$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ ואילו במקומות בהם 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא.
+ המכונה מסמנת את סוף הקלט ב
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ בשלב הראשון המכונה 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ תעתיק את הקלט 
+\begin_inset Formula $x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+ מימין ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ותוסיף 
+\begin_inset Formula $1B$
+\end_inset
+
+ בהתחלה.
+ בשלב הבא 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ תחקה את הריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $0,x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+ כאשר היא מקפידה )וזה הרי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עושה ממילא( לא לזוז משמאל ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ אם השלב הזה בריצה הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ יהיה כתוב 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ )כי כך 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עובדת(.
+ אם בין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ לא מופיע התו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, אז 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ תחזור עד להתחלת הקלט של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ )משמאל ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+( תמחק את כל הקלט ותעצור.
+ אם בין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ מופיע התו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ המכונה תחזור לתחילת הקלט של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+, תכתוב 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ לפני ה
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ הראשון ותתחיל מההתחלה.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ תיקרא חשיבה/רקורסיבית אם היא מתקבלת מן הפונקציות 
+\begin_inset Formula $\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$
+\end_inset
+
+ על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות
+ מ
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ שמכיל/ה את הפונקציות הנ"ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ חשיבה אם ורק אם היא חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג.
+ 
+\bar under
+תרגיל:
+\bar default
+ הפונקציה 
+\begin_inset Formula $n\mapsto n!$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה טיורינג.
+ הוכח שהפונקציה חשיבה.
+ שאלה כמעט זהה: מדוע הפונקציה 
+\begin_inset Formula $f(m)=\begin{cases}
+n & m=2^{n}\\
+0 & m=1\, or\, else
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+ חשיבה?
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ זו הפונקציה המוגדרת על ידי 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{A}(x) & = & \begin{cases}
+1 & x\in A\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+הפונקציה המציינת
+\series default
+ של 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Definition
+יחס 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ נקרא 
+\series bold
+חשיב
+\series default
+ אם 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים, חיתוכים
+ והשלמה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $A,B$
+\end_inset
+
+ חשיבות אז 
+\begin_inset Formula $\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$
+\end_inset
+
+ או לפי דה-מורגן.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+יוצא, למשל, כי היחס 
+\begin_inset Formula $A(x,y)=(x\le y)$
+\end_inset
+
+ חשיב.
+ זה פשוט איחוד היחסים החשיבים 
+\begin_inset Formula $C_{<}(x,y)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $x=y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)הגדרה לפי מקרים(: תהיינה 
+\begin_inset Formula $f_{1},...,f_{n}$
+\end_inset
+
+ פונקציות חשיבות 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+-מקומיות, ו-
+\begin_inset Formula $A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ זרות וחשיבות, כך ש
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי הפונקציה 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x) & = & \begin{cases}
+f_{1}(x) & x\in A_{1}\\
+\vdots & \vdots\\
+f_{n}(x) & x\in A_{n}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$
+\end_inset
+
+ וזו פונקציה חשיבה כי 
+\begin_inset Formula $\chi_{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ חשיבות, 
+\begin_inset Formula $f_{i}$
+\end_inset
+
+ חשיבות והחיבור והכפל חשיבים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות חשיבות - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+יהי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב, 
+\begin_inset Formula $k+1$
+\end_inset
+
+ מקומי.
+ נגדיר אופרטור: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases}
+t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+אם 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז הפונקציה 
+\begin_inset Formula $h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים ]אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם המקרים?[.
+ לחילופין אפשר נשים לב ש-
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $C_{=}(x,z)=0\iff x=z$
+\end_inset
+
+, וברור שזו פונקציה חשיבה.
+ נשים לב 
+\begin_inset Formula $h(z,\bar{y})$
+\end_inset
+
+ תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+אם 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז היחס 
+\begin_inset Formula $B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$
+\end_inset
+
+ הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$
+\end_inset
+
+.
+ לכן זו פשוט הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\chi_{B}$
+\end_inset
+
+ ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה.
+ מדוע 
+\begin_inset Formula $C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$
+\end_inset
+
+? כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים 
+\begin_inset Formula $0,1$
+\end_inset
+
+ יספיק להראות שלכל 
+\begin_inset Formula $(z,\bar{y})$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי הגדרה 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום.
+ 
+\bar under
+הערה חשובה מאוד
+\bar default
+: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות )שאינו חסום(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+מטרה:
+\bar default
+ לבנות פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך שלכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ של מספרים טבעיים קיים 
+\begin_inset Formula $c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ )קוד הסדרה( המקיים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},0)=n$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)מסיבות טכניות נרצה גם( 
+\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+( קיימת פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ שהיא חח"ע ועל.
+ ]יהיה שימושי לשים לב ש
+\begin_inset Formula $Pr$
+\end_inset
+
+ שנמצא מקיימת 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$
+\end_inset
+
+[.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ יהיה המקום של הזוג 
+\begin_inset Formula $(x,y)$
+\end_inset
+
+ במספור הזוגות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="8" columns="8">
+<features rotate="0" tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+15
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+7
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+11
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+16
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+8
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+12
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+17
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+9
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+13
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+18
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+14
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+19
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+20
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$
+\end_inset
+
+.
+ לפי התיאור הזה ברור ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ חשיבה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מקיימת 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge x$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge y$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לפי התיאור הגרפי היא חח"ע ועל )הוכחה יותר אלגברית - מכירים ממבוא ללוגיקה(.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+- משפט השאריות הסיני( יהי 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $m_{1},...,m_{n}$
+\end_inset
+
+ מספרים טבעיים זרים בזוגות.
+ יהיו 
+\begin_inset Formula $k_{1},...,k_{n}$
+\end_inset
+
+ מספרים טבעיים כלשהם )בד"כ מניחים 
+\begin_inset Formula $k_{i}<m_{i}$
+\end_inset
+
+ אבל זה לא חשוב(.
+ אזי קיים 
+\begin_inset Formula $b\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $b\equiv_{m_{i}}k_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ניקח 
+\begin_inset Formula $d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ לכל 
+\begin_inset Formula $b<d$
+\end_inset
+
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ יש 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ n-יות כאלה.
+ לכן אם נראה שההעתקה 
+\begin_inset Formula $b\mapsto\bar{b}$
+\end_inset
+
+ חח"ע אזי היא בהכרח על )כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+(.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+, כלומר 
+\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$
+\end_inset
+
+, בפרט 
+\begin_inset Formula $m_{i}|b_{1-b_{2}}$
+\end_inset
+
+ )בה"כ 
+\begin_inset Formula $b_{1}>b_{2}$
+\end_inset
+
+( לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}$
+\end_inset
+
+ מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון שה
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}<d$
+\end_inset
+
+ וזו סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\numeric off
+( לכל 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המספרים 
+\begin_inset Formula $\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$
+\end_inset
+
+זרים בזוגות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה ש
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ ראשוני מחלק את 
+\begin_inset Formula $1+i(n!)$
+\end_inset
+
+ ומחלק את 
+\begin_inset Formula $1+j(n!)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $i>j$
+\end_inset
+
+.
+ לכן: 
+\begin_inset Formula $p|(i-j)\cdot(n!)$
+\end_inset
+
+ .
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ ראשוני הוא מחלק או את 
+\begin_inset Formula $i-j$
+\end_inset
+
+ או את 
+\begin_inset Formula $n!$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $i-j<n$
+\end_inset
+
+ בהכרח 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ מחלק את 
+\begin_inset Formula $n!$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ אמור לחלק את 
+\begin_inset Formula $1+i(n!)$
+\end_inset
+
+ וזה לא ייתכן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})$
+\end_inset
+
+ היא השארית של 
+\begin_inset Formula $t_{1}$
+\end_inset
+
+ בחלוקה ב-
+\begin_inset Formula $t_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ מדוע? יספיק להראות ש
+\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$
+\end_inset
+
+ והיחס 
+\begin_inset Formula $t_{2}|t_{1}$
+\end_inset
+
+ הוא חשיב, למשל ע"י 
+\begin_inset Formula $(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ של טבעיים יש 
+\begin_inset Formula $y,z$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $0<i\le n$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? נבחר 
+\begin_inset Formula $k>n$
+\end_inset
+
+ כלשהו ונבחר 
+\begin_inset Formula $y=k!$
+\end_inset
+
+.
+ לפי טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+קיים 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)טכני( 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)\le z$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $z,y,i$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\beta(b,i)$
+\end_inset
+
+ המבוקשת תהיה 
+\begin_inset Formula $\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$
+\end_inset
+
+.
+ הדבר היחיד שנותר לוודא 
+\begin_inset Formula $Pr^{L},Pr^{R}$
+\end_inset
+
+ הן פונקציות חשיבות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+הצפנות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+חזרה:
+\bar default
+ אם 
+\begin_inset Formula $A(x,y)$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז 
+\begin_inset Formula $(\exists x<z)A(x,\bar{y})$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב.
+ 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases}
+t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ פונקציה שלמה.
+ הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל
+\begin_inset Formula $\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ מצפינה סדרות סופיות אם לכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ יש 
+\begin_inset Formula $\bar{a}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\beta(\bar{a},0)=n$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $1\le1\le n$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(\bar{a},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$
+\end_inset
+
+ היא חח"ע ועל מ
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{2}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל 
+\begin_inset Formula $m_{1},...,m_{k}$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות ולכל 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{k}$
+\end_inset
+
+ טבעיים יש 
+\begin_inset Formula $b\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $b\equiv_{m_{i}}a_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המספרים 
+\begin_inset Formula $1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+נגדיר 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$
+\end_inset
+
+ מקיימת:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+ חשיבה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ קיימים 
+\begin_inset Formula $z,y$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $a_{i}=\gamma(z,y,i)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)\le z$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+לגבי 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+ ניקח את 
+\begin_inset Formula $max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$
+\end_inset
+
+ וניקח 
+\begin_inset Formula $y=k!$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי טענה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+מתקיים כי 
+\begin_inset Formula $1+y(i+1)$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות.
+ לפי הטענה השניה יש 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ שעונה על הדרישה.
+ ביתר דיוק, יש 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל בעצם 
+\begin_inset Formula $a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $a_{i}<1+y(i+1)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$
+\end_inset
+
+ היא פונקצית זיווג חשיבה כאשר 
+\begin_inset Formula $Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מטענה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ברור כי 
+\begin_inset Formula $\beta(y,i)$
+\end_inset
+
+ מצפינה סדרות סופיות.
+ בהינתן סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ טענה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+סעיף )
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( מבטיחה 
+\begin_inset Formula $t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ נחליף את הסדרה בסדרה 
+\begin_inset Formula $\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+, נמצא 
+\begin_inset Formula $t_{1},t_{2}$
+\end_inset
+
+ כמובטח ונגדיר 
+\begin_inset Formula $y=Pr(t_{1},t_{2})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ נשאר רק לוודא ש
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ מספיק לוודא ש
+\begin_inset Formula $Pr^{-1}(y)$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה ומלאה/שלמה.
+ הפונקציה שלמה כי 
+\begin_inset Formula $Pr$
+\end_inset
+
+ היא על.
+ הפונקציה חשיבה פשוט כי 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מעתה ועד עולם נקבע פונקציה 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ כנ"ל.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה סופית אם אין 
+\begin_inset Formula $x^{\prime}<x$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+היחס 
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה סופית" הוא חשיב.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ הפונקציה 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ נקבע אחת ולתמיד מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ נזדקק להרבה טענות עזר.
+ כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ איך שנרצה כל עוד לא נשנה את הפונקציה שהיא מחשבת.
+ לכן, בה"כ, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ מכונת טיורניג תקנית:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+הא"ב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כולל רק את 
+\begin_inset Formula $\{1,B\}$
+\end_inset
+
+ ונק' ההתחלה והסיום 
+\begin_inset Formula $\{S,E\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+למכונה יש מצב פנימי יחיד 
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו, ו
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ אינו מופיע במהלך הריצה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בתום הריצה הראש הקורא נמצא על 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ובין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ יש רק אחדות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ סופי לא יזיק להניח ש
+\begin_inset Formula $\{1,B\}$
+\end_inset
+
+ מיוצגים ע"י המספרים הטבעיים 
+\begin_inset Formula $\{1,0\}$
+\end_inset
+
+ בהתאמה ו
+\begin_inset Formula $\{S,E\}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\{2,3\}$
+\end_inset
+
+ בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע"י 
+\begin_inset Formula $\{4,...,k\}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $q_{0}$
+\end_inset
+
+ מיוצג ע"י 
+\begin_inset Formula $4$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ מיוצג ע"י 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כזכור, מצב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ זו שלשה 
+\begin_inset Formula $\left\langle n,q,h\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ המיקום של הראש ביחס ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ שמיקומו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ המצב הפנימי, ו-
+\begin_inset Formula $h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$
+\end_inset
+
+ מתארת את התאים במכונה.
+ כמובן יספיק להניח ש
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ מתארת רק את המספר הסופי של התאים שבין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+ אפשר לתאר מצב ע"י סדרה מהצורה הבאה:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle 
+\]
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $1<i<r$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in\{0,1\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב של המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" חשיב.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+היחס יתואר ע"י חיתוך של הדרישות הבאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ - היחס האומר ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $0<i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\beta(x,1)=2$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,\beta(x,0))=3$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קיים 
+\begin_inset Formula $0<i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ יחיד כך ש
+\begin_inset Formula $\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כיוון שכל אלה חשיבים - גמרנו.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( היחסים 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x)$
+\end_inset
+
+, "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+", "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" - כולם חשיבים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $\varphi_{S}(x)$
+\end_inset
+
+ זה חיתוך של 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ עם הדרישה הנוספת ש
+\begin_inset Formula $\beta(x,2)=4$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)$
+\end_inset
+
+ כנ"ל עם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,2)=k$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ מייצגים מצבים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ המצב העוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא יחס חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+זה כמובן חיתוך של התנאים 
+\begin_inset Formula $\varphi(x),\varphi(y)$
+\end_inset
+
+ עם התנאי הנוסף ש
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ המצב העוקב ל
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ לכל 
+\begin_inset Formula $p\in I(T)$
+\end_inset
+
+ )לכל פקודה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+( נגדיר יחס 
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x,y)$
+\end_inset
+
+ האומר 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ מצבים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ עוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ ובפרט 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצב רלוונטי לפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצב רלוונטי לפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ " זה פשוט 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ וגם אם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i)>3$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $i>1$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ פקודה מהצורה 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות אם 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ היא הרביעייה 
+\begin_inset Formula $\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ רלוונטי ל
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$
+\end_inset
+
+.
+ נסמן זאת 
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x)$
+\end_inset
+
+.
+ לומר ש
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ עוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ זה לומר 
+\begin_inset Formula $\varphi(x),\varphi(y)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x)$
+\end_inset
+
+ עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ נטפל למשל במקרה ש
+\begin_inset Formula $p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$
+\end_inset
+
+.
+ מתי 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ יתקבל מ
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ע"י הפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+? אם 
+\begin_inset Formula $x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ פשוט צריך לדרוש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+נסמן 
+\begin_inset Formula $i_{0}$
+\end_inset
+
+ להיות ה
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ היחיד כך ש
+\begin_inset Formula $i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נדרוש ש
+\begin_inset Formula $\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ובכל מקרה אחר 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+
+\begin_inset Formula $\beta(y,j)=\beta(x,j)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה.
+ זה מקרה ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x,y)$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ לומר ש
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ עוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ זה פשוט 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+4
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\rho(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{S}(\beta(x,1))$
+\end_inset
+
+ כלומר האיבר הראשון בסדרה ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין הוא מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$
+\end_inset
+
+ - האיבר האחרון בסדרה הוא מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i<\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$
+\end_inset
+
+ כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע"י האיבר הקודם לו.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+5
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $f_{E}(x)=n$
+\end_inset
+
+ זו הפונקציה שמחזירה 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ הפלט של המכונה במצב זה.
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אחרת.
+ זו פונקציה חשיבה: 
+\begin_inset Formula $\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+חשיבות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב של המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" חשיב.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( היחסים 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x)$
+\end_inset
+
+, "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+", "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" - כולם חשיבים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ מייצגים מצבים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ המצב העוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא יחס חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+4
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\rho(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+5
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)=n$
+\end_inset
+
+ זו הפונקציה שמחזירה 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ הפלט של המכונה במצב זה.
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אחרת.
+ זו פונקציה חשיבה: 
+\begin_inset Formula $\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$
+\end_inset
+
+ .
+ נדרוש ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)=0$
+\end_inset
+
+ אחרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+היחס "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שבו הקלט הוא 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+" הוא יחס חשיב.
+ נסמן זאת 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה.
+ נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$
+\end_inset
+
+ - האיבר הראשון בסדרה ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד, וכאשר 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}(A(x,y))$
+\end_inset
+
+ זה ה
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ המזערי עבורו 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}(x,y)=1$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ ובפרט 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ מוגדרת אם ורק אם ריצת 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים.
+ אם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עוצרת על 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+ אז קיים 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$
+\end_inset
+
+ - כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ המקודד ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ המתחילה בקלט 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ אם נבחר 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ הקטן ביותר המקיים זאת אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כי לכל 
+\begin_inset Formula $x^{\prime}<x_{0}$
+\end_inset
+
+ הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$
+\end_inset
+
+ מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}$
+\end_inset
+
+, ואז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+נניח ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אינה עוצרת על 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$
+\end_inset
+
+ אינה מוגדרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד גם
+ את המכונות עצמן.
+ מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות )טיורינג( ולא במכונות עצמן,
+ אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה.
+ ומכיוון שהא"ב סופי ורשימת הפקודות סופית )וכבר זיהינו את הא"ב עם המספרים
+ הטבעיים 
+\begin_inset Formula $\{0..k\}$
+\end_inset
+
+(.
+ אם רק נוסיף לזיהוי הזה את 
+\begin_inset Formula $k+1$
+\end_inset
+
+ כפקודה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ ואת 
+\begin_inset Formula $k+2$
+\end_inset
+
+ כפקודה 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ נוכל לקודד את המכונה על ידי מספר טבעי.
+ נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $\left\lceil T\right\rceil $
+\end_inset
+
+ את הקוד של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $e\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ הוא קוד של מ"ט נסמן 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ את המכונה ש-
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ מקודד.
+ יהיה נוח להניח שאם 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ אינו מקודד מ"ט אז נחליט ש
+\begin_inset Formula $n-e$
+\end_inset
+
+ מקודד את המכונה שאינה עוצרת על אף קלט.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+לא קיימת פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(e) & = & \begin{cases}
+1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה שקיימת פונקציה 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ כנ"ל.
+ נגדיר פונקציה 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(e) & = & \begin{cases}
+T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+מההנחה )ומהמשפט האחרון, ומהמשפט על ההגדרה לפי מקרים( 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה )ואפילו שלמה(, ומקודדת, נאמר ע"י 
+\begin_inset Formula $e_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ אז: מצד אחד 
+\begin_inset Formula $T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$
+\end_inset
+
+ ומצד שני 
+\begin_inset Formula $g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+היחס 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המוגדר ע"י 
+\begin_inset Formula $e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$
+\end_inset
+
+ אינו יחס חשיב.
+ מצד שני 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ הנ"ל היא תחום של מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ הרעיון? המכונה מריצה את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(e)$
+\end_inset
+
+ ומחזירה את התשובה, אם היא אי פעם מתקבלת.
+ ביתר פירוט, ניקח 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ מ"ט אוניברסלית ונשים לב ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(e,e)$
+\end_inset
+
+ עוצרת אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $e\in A$
+\end_inset
+
+.
+ לכן יש 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ בתחום של המכונה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(x,x)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תיקרא אוניברסלית אם 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$
+\end_inset
+
+ )ובפרט אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ לא עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימת מכונת טיורינג אוניברסלית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הרעיון פשוט, ההוכחה מייגעת, ע"י תיאור המכונה.
+ דרך אחרת: בעזרת פונקציות חשיבות.
+ נגדיר את 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)$
+\end_inset
+
+ באופן הבא.
+ נגדיר את היחסים הבאים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ הוא קוד.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\theta_{1}(x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ הוא קוד של מכונת טיורינג.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד סדרה סופית של רביעיות של מספרים טבעיים.
+ כל רביעייה היא פקודה ובין הפקודות אין סתירות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\varphi(e,x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מכונת טיורינג ו-
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצב קוד של מצב פנימי של המכונה המקודדת על ידי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\varphi(e,x,y)$
+\end_inset
+
+- 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מ"ט, 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ קודים של המכונה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ הוא העוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ההמשך זהה בדיוק להוכחת משפט השקילות.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ תקרא ניתנת למניה חשיבה )נל"ח או נל"ר - ניתנת למניה רקורסיבית( אם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא התחום של פונקציה חשיבה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+ראינו שקיימות קבוצות נל"ח שאינן חשיבות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+התנאים הבאים שקולים לקבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח )תחום של פונקציה חשיבה(
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא התמונה של פונקציה חשיבה 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא התמונה של פונקציה חשיבה מלאה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא מהצורה 
+\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $
+\end_inset
+
+ לאיזה יחס חשיב 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא מהצורה 
+\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $
+\end_inset
+
+לאיזה יחס חשיב 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מניה רקורסיבית
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+תהי 
+\begin_inset Formula $\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ אזי התנאים הבאים שקולים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ הטווח של פונקציה חשיבה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ הטווח של פונקציה מלאה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קיים יחס חשיב 
+\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{N}^{2}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+כנ"ל עבור 
+\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $A=dom(f)$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ מ"ט המחשבת את 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $f=f_{T_{f}}^{1}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $A\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ אפשר לבחור 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+נסמן את התנאי הנ"ל ב
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+.
+ אנחנו יודעים ש
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ הוא יחס חשיב לכן גם המשלים חשיב.
+ לכן לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים גם 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ עונה על דרישותינו - 
+\begin_inset Formula $g(\mathbb{N})=A$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $l\in g(\mathbb{N})$
+\end_inset
+
+ אז או ש
+\begin_inset Formula $l=a$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $l\in A$
+\end_inset
+
+ .
+ או ש
+\begin_inset Formula $l=Pr^{L}(n)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אז זה אומר ש
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ אחרי פחות מ
+\begin_inset Formula $Pr^{R}(n)$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{f}}^{1}=f$
+\end_inset
+
+ אם אגף שמאל מוגדר גם אגף ימין מוגדר, כלומר 
+\begin_inset Formula $l\in Dom(f)=A$
+\end_inset
+
+.
+ בכיוון השני, אם 
+\begin_inset Formula $l\in Dom(f)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ אחרי איזה מספר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ של צעדים.
+ אז 
+\begin_inset Formula $n=Pr(l,k+1)$
+\end_inset
+
+ ולפי הגדרה 
+\begin_inset Formula $g(n)=Pr^{L}(n)=l$
+\end_inset
+
+, כלומר 
+\begin_inset Formula $l\in Range(g)$
+\end_inset
+
+.
+ נשים לב: הפונקציה 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
+\end_inset
+
+ - מוכיחים באותו אופן.
+ בוחרים 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ ומגדירים:
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
+\end_inset
+
+ - אם 
+\begin_inset Formula $A=Range(f)$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה )ושלמה( אז היחס 
+\begin_inset Formula $B(x,f(x))$
+\end_inset
+
+ חשיב.
+ לכן, 
+\begin_inset Formula $y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(5)$
+\end_inset
+
+ - אין מה להוכיח )מקרה פרטי(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
+\end_inset
+
+ - פשוט: 
+\begin_inset Formula $f(x)=\mu_{y}B(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(5)\Rightarrow(4)$
+\end_inset
+
+ - אם 
+\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$
+\end_inset
+
+ אז נגדיר יחס 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+)משפט הרקורסיה( תהי 
+\begin_inset Formula $C(x,y)$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה.
+ אזי קיימת מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+קיימת מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כל שלכל 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $w_{n}$
+\end_inset
+
+ היא המכונה אשר על הקלט הריק כותבת את המספר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ )ההוכחה - בתרגיל הבית(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תהיה הרכבה של
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ מכונות: 
+\begin_inset Formula $ABC$
+\end_inset
+
+ )מפעילים קודם את 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אח"כ את 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ אח"כ את 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+(.
+ המכונה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ על הקלט 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ תחזיר את הפלט 
+\begin_inset Formula $\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$
+\end_inset
+
+.
+ מה עושה 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ על הקלט 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+? היא כותבת את הקוד של המכונה שכותבת 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ]מטענת העזר[ ואחריו את 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+.
+ מה יהיה 
+\begin_inset Formula $B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+? 
+\begin_inset Formula $B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$
+\end_inset
+
+.
+ יוצא ש-
+\begin_inset Formula $C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+ אבל זה בדיוק מה שהיינו צריכים.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+)משפט נקודת השבת( תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה ושלמה.
+ אזי קיים 
+\begin_inset Formula $e\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+)משפט
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Rice
+\lang hebrew
+( נגדיר יחס שקילות של 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $e_{1}\sim e_{2}$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$
+\end_inset
+
+ .
+ תהי 
+\begin_inset Formula $L\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $e\in L$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $e^{\prime}\sim e$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $e^{\prime}\in L$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ חשיבה אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $L=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $L=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה שלא.
+ אז יש 
+\begin_inset Formula $e_{0}\in L$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $e_{1}\not\in L$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר פונקציה חשיבה: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(n)=\begin{cases}
+e_{1} & n\in L\\
+e_{0} & n\not\in L
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה ושלמה.
+ לכן ממשפט נקודת השבת יש 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $e\in L$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $f(e)\in L$
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\sim$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אם 
+\begin_inset Formula $e\in L$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $e_{1}=f(e)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $e_{1}\not\in L$
+\end_inset
+
+.
+ באותו אופן בדיוק גם 
+\begin_inset Formula $e\not\in L$
+\end_inset
+
+ גורר סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+דוגמה:
+\bar default
+ בעיית העצירה אינה חשיבה.
+ אין מכונת טיורינג המחליטה האם 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מכונה שעוצרת על הקלט הריק.
+ במילים אחרות 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אינה חשיבה.
+ ברור ש-
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\sim$
+\end_inset
+
+.
+ לפי משפט רייס כיוון ש-
+\begin_inset Formula $L\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ )יש מ"ט שעוצרת על כל קלט ובפרט על הקלט הריק( וגם 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ )יש מכונות שלא עוצרות על שום קלט(.
+ לכן לפי משפט רייס 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ אינה חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)משפט נקודת השבת( תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(x,y)$
+\end_inset
+
+ מ"ט אוניברסלית ו-
+\begin_inset Formula $C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ מ"ט.
+ לכן יש 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $e=\left\lceil T\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה היא נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ נל"ח היא חשיבה אם ורק אם גם המשלים של 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח.
+ 
+\bar under
+הוכחה
+\bar default
+: אם גם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A$
+\end_inset
+
+ נל"ח אז יש מ"ט 
+\begin_inset Formula $T_{1},T_{2}$
+\end_inset
+
+ שמחשבות את איבריהן.
+ אפשר להניח שהן 
+\begin_inset Formula $f_{T_{1}}^{1}$
+\end_inset
+
+ והן 
+\begin_inset Formula $f_{T_{2}}^{1}$
+\end_inset
+
+ פונקציות שלמות.
+ לכל מספר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נתחיל לחשב את 
+\begin_inset Formula $T_{1}(1),T_{1}(2),...$
+\end_inset
+
+ ובמקביל את 
+\begin_inset Formula $T_{2}(1),T_{2}(2),...$
+\end_inset
+
+ )אפשר לסירוגין(.
+ המכונה תעצור ברגע שיתקבל פלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$
+\end_inset
+
+ קיים 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{1}}^{1}(m)=n$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $f_{T_{2}}^{1}(m)=n$
+\end_inset
+
+.
+ בכל מקרה אחרי 
+\begin_inset Formula $2m$
+\end_inset
+
+ חישובים המכונה שלנו תיעצר.
+ אם היא עצרה על הריצה של 
+\begin_inset Formula $T_{1}(m)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $n\in A$
+\end_inset
+
+ אחרת 
+\begin_inset Formula $n\not\in A$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות יציגות
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל:
+\bar default
+ תהיינה 
+\begin_inset Formula $A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ נל"ח אז:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+גם 
+\begin_inset Formula $A_{1}\cup A_{2}$
+\end_inset
+
+ נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+גם 
+\begin_inset Formula $A_{1}\cap A_{2}$
+\end_inset
+
+ נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יש דרך אחת סבירה להגדיר מתי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ נל"ח ואז הטלה של קבוצה נל"ח היא נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי שפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ 
+\bar under
+מספור גדל
+\bar default
+ של הנוסחאות 
+\begin_inset Formula $F(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+זו פונקציה 
+\begin_inset Formula $g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המוגדרת באינדוקציה באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+שם עצם 
+\begin_inset Formula $x_{i}$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+שם עצם מהצורה 
+\begin_inset Formula $F_{i}(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה מהצורה 
+\begin_inset Formula $R_{i}(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
+\end_inset
+
+ תקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ תקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x_{i})\psi$
+\end_inset
+
+ תקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$
+\end_inset
+
+ )הכמת 
+\begin_inset Formula $\forall$
+\end_inset
+
+ בדומה(
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ היא 
+\bar under
+כריעה
+\bar default
+ אם הקבוצה 
+\begin_inset Formula $\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+תורה היא חשיבה אם 
+\begin_inset Formula $\{g(\varphi):\varphi\in T\}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+מספור גדל הוא חח"ע )באינדוקציה על יצירת הנוסחה(
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בהינתן שפה חשיבה )או סופית( 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ היחס "
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מקודד נוסחה בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+" הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+)רעיון כללי( נשים לב )קל לראות באינדוקציה( שאם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה באורך 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)>n$
+\end_inset
+
+.
+ בנוסף, אם ב-
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מופיע סימן פונקציה, סימן יחס, קבוע אישי או משתנה עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $i>n$
+\end_inset
+
+ אז )באינדוקציה( 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)>n$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לכן השאלה האם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה שקולה לשאלה האם קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ באורך קטן-שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, שכל הסימנים הלא-לוגיים המופיעים בה הם עם אינדקס קטן או שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ ומספר גדל של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ הוא 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אבל קבוצת הנוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מאורך קטן-שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ , שכל הסימנים בה עם אינדקס קטן-שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ היא סופית, כלומר זהו כימות חסום.
+ לכן מספיק לבדוק שהפונקציה ששולחת נוסחה למספר גדל שלה היא חשיבה טיורינג.
+ )זה עסק מייגע, אבל לא קשה.(
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ , נאמר שתורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ בשפה המרחיבה את 
+\begin_inset Formula $(0,s)$
+\end_inset
+
+ מייצגת )חלש( את 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ אם קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ כל שלכל 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(f)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$
+\end_inset
+
+ כאשר הסימון 
+\begin_inset Formula $\underline{n}:=s^{n}(0)$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ פונקציית העוקב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יחס 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ 
+\bar under
+מיוצג
+\bar default
+ ב-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ מיוצגת ב
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+תורת פיאנו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+(Peano Arithmetic)
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ זו קבוצת הפסוקים הבאה בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x)(s(x)\not=0)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x)(x+0=x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x)(x\cdot0=0)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\bar under
+סכימת האינדוקציה:
+\bar default
+ לכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ אקסיומה מהצורה:
+\begin_inset Formula 
+\[
+(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))]
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+.
+ יתר על כן, קיימת תורה 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש-
+\begin_inset Formula $PA\vdash N$
+\end_inset
+
+ וכל פונקציה חשיבה מיוצגת ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ שלמה ומיוצגת ב-
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+התורה 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ שמובטחת במשפט, אינה כריעה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ הנוסחה האומרת שמ"ט 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ )שהקוד שלה הוא 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+( עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אחרי 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ חשיב ]הוכחנו[, לכן לפי המשפט מיוצג ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ 
+\bar under
+לא עוצרת
+\bar default
+ אז לכל 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מצד שני, אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ 
+\bar under
+עוצרת
+\bar default
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+.
+ נניח בשלילה ש-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ כריעה אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אבל מכריעות נקבל שלכל זוג 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ אפשר לדעם האם 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר אפשר להכריע האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ עוצרת או לא.
+ אבל לפי משפט רייס זו איננה קבוצה חשיבה.
+ סתירה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $N\subseteq T$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ התורה המובטחת במשפט( אז:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכן, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ איננה כריעה, כי אותה ההוכחה ש-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ אינה כריעה תעבוד עבור 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה
+\bar default
+: אם תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה ושלמה אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כריעה.
+ להלן אלגוריתם הכרעה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נראה בהמשך שאם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$
+\end_inset
+
+ נל"ח.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה, כדי לבדוק האם 
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi$
+\end_inset
+
+ נפעיל את המכונה המונה את 
+\begin_inset Formula $C_{T}$
+\end_inset
+
+.
+ בכל שלב נבדוק האם האיבר שהמכונה פלטה הוא הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ או הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ .
+ השלמות מבטיחה לנו שאחד מהם יתקבל בזמן סופי.
+ אם מתקבל 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ - ניצחנו.
+ אם מתקבל 
+\begin_inset Formula $\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ - גם ניצחנו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+כל תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $N\subseteq T\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.
+ )למשל תורת המספרים איננה כריעה(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות יציגות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת:
+\bar default
+ פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ תקרא מיוצגת )חלש( בתורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ )בשפה עם סימן קבוע
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+וסימן פונקציה חד מקומי 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+( אם קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $\bar{n}\in Dom(f)$
+\end_inset
+
+ מתקיים
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+כאשר 
+\begin_inset Formula $\underline{n}=s^{n}(0)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+כל פונקציה חשיבה יציגה בתורת פאנו ואפילו יש תת-תורה סופית של 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ שבה כל פונקציה חשיבה יציגה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+תהי 
+\begin_inset Formula $N\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ כמובטח במשפט.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ אינה כריעה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+יהי 
+\begin_inset Formula $\varphi(e,n,z)$
+\end_inset
+
+ היחס האומר "המכונה שהקוד שלה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ עצרה על הקלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אחרי לכל היותר 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ מהלכים".
+ אז ברור ש-
+\begin_inset Formula $\varphi(e,n,z)$
+\end_inset
+
+ הוא יחס חשיב.
+ מהמשפט נובע שלכל שלשה 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(e,n,z)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n,z\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עומדת ביחס, כלומר המכונה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ עוצרת על 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אחרי לא יותר מ
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+ לכן אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת יש 
+\begin_inset Formula $z_{0}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$
+\end_inset
+
+.
+ לכן אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת אז 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+.
+ מצד שני, אם 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ לא עוצרת אז 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+
+\begin_inset Formula $N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\underline{z_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\models PA$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\models N$
+\end_inset
+
+ .
+ לכן לא ייתכן ש
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+ אבל מהנחתנו זה לא מתקיים.
+ יוצא 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+ לכן אילו הייתה 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ כריעה היינו יכולים להכריע את בעיית העצירה: בהינתן זוג 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ היינו פשוט שואלים אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+.
+ אם כן - 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת, ואם לא אז 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ לא עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+כל תורה 
+\begin_inset Formula $N\subseteq T\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+ניגש להוכחת המשפט עצמו.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+תהי 
+\begin_inset Formula $N\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ התורה הבאה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $PA(1)-PA(6)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(N7)$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(\forall x)(\neg x<0)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(N8)$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(N9)$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+כאשר 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+ זה קיצור לנוסחה 
+\begin_inset Formula $(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $PA\vdash N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+צריך להוכיח רק את 
+\begin_inset Formula $PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר צריך להוכיח:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$
+\end_inset
+
+.
+ לכן יספיק להוכיח ש-
+\begin_inset Formula $PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$
+\end_inset
+
+.
+ זה יספיק כי אז נקבל 
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$
+\end_inset
+
+.
+ ההוכחה ל-
+\begin_inset Formula $N8$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $N9$
+\end_inset
+
+ דומה מאוד.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+נראה שכל פונקציה חשיבה יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ לשם כך יספיק להראות: משפחת הפונקציות היציגות ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ מכילה מכילה את הפונקציות החשיבות הבסיסיות וסגורה תחת הרכבות ותחת מזעור.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( פונקציית ההיטל 
+\begin_inset Formula $P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$
+\end_inset
+
+ יציגה ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y
+\]
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+יש להראות ש
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל זה שקול ל 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( הפונקציה 
+\begin_inset Formula $c_{0}(x)=0$
+\end_inset
+
+ יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y):=y\approx0$
+\end_inset
+
+.
+ ההוכחה קשה באותה מידה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( הפונקציה 
+\begin_inset Formula $x+y$
+\end_inset
+
+ יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+עלינו להראות 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$
+\end_inset
+
+.
+ באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $n_{2}$
+\end_inset
+
+ .
+ עבור 
+\begin_inset Formula $n_{2}=0$
+\end_inset
+
+ מקבלים 
+\begin_inset Formula $\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$
+\end_inset
+
+.
+ נניח עבור 
+\begin_inset Formula $n_{2}$
+\end_inset
+
+ ונוכיח עבור 
+\begin_inset Formula $n_{2}+1$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+לגבי כפל זה בדיוק אותו דבר.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+4
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $c_{<}(x,y)$
+\end_inset
+
+ יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ראשית מראים שלכל 
+\begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n<m$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m}$
+\end_inset
+
+ .
+ באותו אופן אם 
+\begin_inset Formula $\neg(n<m)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$
+\end_inset
+
+.
+ ]למשל באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+: מ
+\begin_inset Formula $N7$
+\end_inset
+
+ אנחנו יודעים ש
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg(n<0)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $n\in N$
+\end_inset
+
+.
+ אז נניח שהוכחנו ל
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נתון עבור 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ ונוכיח עבור 
+\begin_inset Formula $m+1$
+\end_inset
+
+.
+ אז אם 
+\begin_inset Formula $n<m$
+\end_inset
+
+ מהנחת האינדוקציה 
+\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m}$
+\end_inset
+
+ ולפי 
+\begin_inset Formula $N8$
+\end_inset
+
+ גם 
+\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$
+\end_inset
+
+.
+ המקרה ההפוך דומה[.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+5
+\numeric off
+( משפחת הפונקציות היציגות ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת הרכבה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח ש
+\begin_inset Formula $G(x_{1},...x_{n})$
+\end_inset
+
+ יציגה ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $h_{i}(y_{1},...,y_{m})$
+\end_inset
+
+ יציגות ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ עלינו להראות ש
+\begin_inset Formula $G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$
+\end_inset
+
+ יציגה ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$
+\end_inset
+
+ מייצגות את 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ , ו
+\begin_inset Formula $\psi(z_{1},..,z_{n},t)$
+\end_inset
+
+ את 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ מייצגת את ההרכבה.
+ כלומר עלינו להראות שלכל 
+\begin_inset Formula $p_{1},...,p_{m}$
+\end_inset
+
+ טבעיים ]ובתחום של הפונקציות 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+[ מתקיים ש
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ אם נסמן 
+\begin_inset Formula $q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $r=G(q_{1},...,q_{n})$
+\end_inset
+
+ ]בהנחה שהכל מוגדר[ מה שעלינו להראות זה ש
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$
+\end_inset
+
+.
+ על ידי שנחליף את 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ בקבוע שאינו מופיע ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ יספיק להוכיח 
+\begin_inset Formula $N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+.
+ יספיק להוכיח כל כיוון בנפרד.
+ כזכור 
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ לכן עלינו להוכיח:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נתחיל מ
+\numeric on
+2
+\numeric off
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $p_{1},...,p_{m}$
+\end_inset
+
+ בתחום של 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ באותו אופן 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $q_{1},...,q_{n}$
+\end_inset
+
+ בתחום של 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+לכן 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+נסיים עם
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מייצגות את 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ אנחנו יודעים שמההנחה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$
+\end_inset
+
+ אפשר להסיק 
+\begin_inset Formula $z_{i}=q_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ אז מ
+\begin_inset Formula $z_{i}=q_{i}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ אפשר להסיק מההנחה 
+\begin_inset Formula $\psi(z_{1},...,z_{n},t)$
+\end_inset
+
+ ש
+\begin_inset Formula $t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+6
+\numeric off
+( משפחת הפונקציות היציגות ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת מזעור.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)רעיון ההוכחה( תהי 
+\begin_inset Formula $G(x_{1},...,x_{n},y)$
+\end_inset
+
+ פונקציה יציגה ע"י נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$
+\end_inset
+
+ .
+ איזו נוסחה תייצג את 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+? 
+\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$
+\end_inset
+
+.
+ ההוכחה שזה אכן מייצג דומה למה שעשינו עד כה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+הוכחת משפטי אי השלמות של גדל
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: הוכחנו אם 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה )חלקית( אז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ יציגה )חלש( ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל )מתוך תרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\noun default
+\color inherit
+10
+\numeric off
+(: 
+\bar default
+אם 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז הוא יציג ולכן יש נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\underline{n})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n\in A$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n\not\in A$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: הגדרנו פונקציה 
+\begin_inset Formula $g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ "מספור גדל" של הנוסחאות בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ של 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ וראינו שזו פונקציה חשיבה.
+ לשם נוחות הסימון בהינתן נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi\in F(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $\left\lceil \varphi\right\rceil $
+\end_inset
+
+ מספר הגדל של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט נקודת השבת של גדל(: לכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ בשפה של 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ )נוסחאות עם משתנה חופשי אחד לנוסחאות ללא משתנים חופשיים( הפונקציה המקיימת
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ נקראת פונקציית האלכסון.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קל להשתכנע ש-
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ ניתנת לחישוב ע"י מכונת טיורינג.
+ לכן הפונקציה הבאה חשיבה: 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המוגדרת ע"י 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta)}$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה במשתנה חופשי אחד, ואם 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta)}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ לכן היחס 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n,m)$
+\end_inset
+
+ המוגדר ע"י 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n)=m$
+\end_inset
+
+ הוא יחס חשיב.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(x,y)$
+\end_inset
+
+ יציג ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ לפי התרגיל יש נוסחה 
+\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{\Delta}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ צריך להראות ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+.
+ נזכור ש
+\begin_inset Formula $\left\lceil \chi\right\rceil $
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה במשתנה אחד.
+ בנוסף, 
+\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
+\end_inset
+
+ היא יצוג של היחס 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ לכן אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+ המועמד היחיד שיכול להעיד על כך הוא 
+\begin_inset Formula $\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ .
+ בכיוון השני, נניח ש
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ ועלינו להוכיח 
+\begin_inset Formula $N\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ .
+ עלינו להראות ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+.
+ יספיק להוכיח ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $y_{0}$
+\end_inset
+
+ כלשהו.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ - כי 
+\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}$
+\end_inset
+
+ ומהנתון 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ נשים 
+\begin_inset Formula $y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $
+\end_inset
+
+ וגמרנו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט השלמות הראשון של גדל( תהי 
+\begin_inset Formula $T\supseteq N$
+\end_inset
+
+ תורה חשיבה ו-
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה , אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אינה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash(\exists x)\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ לאיזה נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ גורר ש
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi(\underline{n})$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Definition
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $Pr(x)$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\bar under
+יחס יכיחות
+\bar default
+ אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ יש יחס יכיחות ואם מניחים ש
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ היא 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה אז בנוסף מתקיים: אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נגדיר יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}(x,y)$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ אם:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+, ו-
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מקודד הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מתוך 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אז 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב.
+ לכן יש נוסחה 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ שמייצגת את 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ ומוכיח את השלילה - אחרת.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+נגדיר 
+\begin_inset Formula $Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע, למשל 
+\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+? משום שאם 
+\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אז יש הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ מ
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ויהי 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ קידוד של ההוכחה הזו.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
+\end_inset
+
+.
+ בגלל ש
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+.
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+נובע מ-
+\numeric on
+1
+\numeric off
+, ו-
+\numeric on
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+הוכח באופן דומה )תרגיל(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כדי לקבל את
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\numeric off
+: אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אז מהגדרת היציגות 
+\begin_inset Formula $N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ מקודד הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ מ
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)למשפט השלמות הראשון של גדל( לפי משפט נקודת השבת יש 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+מקרה א': 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מקרה ב': 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+
+\end_inset
+
+יוצא 
+\begin_inset Formula $\psi,\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ אינם יכיחים ב
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אינה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+סימון:
+\bar default
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה חשיבה.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט אי השלמות השני של גדל( אם 
+\begin_inset Formula $T\supseteq N$
+\end_inset
+
+ חשיבה ועקבית אז 
+\begin_inset Formula $T\not\vdash Con_{T}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עקבית לא יודעת את זה על עצמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נבחר 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כמו בהוכחת המשפט הראשון.
+ 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ אז:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+ מ-
+\numeric on
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ומ-
+\numeric on
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+נקבל:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\numeric off
+ 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מ-
+\numeric on
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ו-
+\numeric on
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ביחד נקבל 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אבל 
+\begin_inset Formula $\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$
+\end_inset
+
+ היא אקסיומה לוגית )ואפילו טאוטולוגיה(.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$
+\end_inset
+
+.
+ לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ ו-
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+מקבלים: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil ))
+\]
+
+\end_inset
+
+ לפי כלל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+וכלל הניתוק 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T}
+\]
+
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )
+\]
+
+\end_inset
+
+ אבל לפי בחירת 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+, אם מניחים ש
+\begin_inset Formula $T\vdash Con_{T}$
+\end_inset
+
+ אז מכלל הניתוק 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg Pr(\psi)$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ אבל לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+זה גורר 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ - סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+תהי 
+\begin_inset Formula $H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ פונקציה חלקית.
+ מכונת טיורינג עם אוב )אורקל( עבור 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ זו מכונת טיורינג רגילה שלה פקודה נוספת: "חשב את הערך של 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ כלשהו".
+ ואז הערך של 
+\begin_inset Formula $H(n)$
+\end_inset
+
+ מוחזר אם 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(H)$
+\end_inset
+
+ ואחרת האוב אינו מחזיר תשובה, והחישוב של המכונה אינו מסתיים.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+למשל, נוסיף למכונת טיורינג רגילה עוד סרט והפקודה "קרא מן האוב" תתפרש כ-"חשב
+ את 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ עבור הערך שכתוב בסרט בתא מספר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\numeric off
+".
+ מה שחשוב הוא שמ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ ניתנת לתיאור סופי.
+ לכן בהינתן אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ אפשר לקודד את כל מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ בדומה לקידוד של מ"ט רגילות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+המושגים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מצב של מכונה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+ריצה של מכונה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+ריצה מסתיימת
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(\bar{x})$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כולם מוגדרים באופן זהה להגדרה הרגילה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ תקרא חשיבה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ אם קיימת מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f=f_{T}^{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+יהיו 
+\begin_inset Formula $H,G$
+\end_inset
+
+ אובות.
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם כל פונקציה חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $H\sim_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\le_{R}H$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $\sim_{R}$
+\end_inset
+
+ הוא יחס שקילות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+צריך להראות רק שאם 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G\le_{R}F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}F$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ עלינו להראות ש
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ מהנחתנו 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+, אבל אז גם 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+דרגת טיורינג של 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ הינה 
+\begin_inset Formula $deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז נאמר ש
+\begin_inset Formula $a\le_{R}b$
+\end_inset
+
+ אם לכל 
+\begin_inset Formula $H,G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $deg(H)=a,deg(G)=b$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+ ]הערה: בהגדרה אפשר להחליף "לכל" ב"קיים"[.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ברור ש
+\begin_inset Formula $\le_{R}$
+\end_inset
+
+ הוא יחס סדר חלקי על הדרגות.
+ מטרה ראשונה לחקור את המבנה של הקבוצה סדורה חלקית של דרגות טיורינג.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+תכונות בסיסיות של הדרגות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $deg(F)\le_{R}deg(G)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בפרט:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ חשיבות אז 
+\begin_inset Formula $F\sim_{R}G$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם נסמן 
+\begin_inset Formula $0=degF$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $0\le_{R}a$
+\end_inset
+
+ לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}$
+\end_inset
+
+ דרגות כלשהן אז יש להן חסם מלעיל משותף קטן ביותר.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+יהיו 
+\begin_inset Formula $F_{1},...,F_{n}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degF_{i}=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שכל 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ המקיימת 
+\begin_inset Formula $F_{i}\le_{R}H$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ מחשבת את 
+\begin_inset Formula $F_{1},...,F_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן אם נקח בתור אוב את 
+\begin_inset Formula $\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-אובות( נקבל ש
+\begin_inset Formula $F_{i}\le_{R}\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ ומזערי כזה.
+ עכשיו פשוט נחליף את 
+\begin_inset Formula $\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ הפועלת באופן הבא: 
+\begin_inset Formula $H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ היא החסם המבוקש.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+נאמר שסדרת פונקציות 
+\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ אם הפונקציה 
+\begin_inset Formula $F(n,x)=F_{n}(x)$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שאם 
+\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ סדרת פונקציות אז 
+\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F(n,x)$
+\end_inset
+
+.
+ לכן לכל סדרת פונקציות יש חסם מלעיל.
+ 
+\bar under
+אזהרה: 
+\bar default
+אבל זה לא נכון שלכל סדרת פונקציות יש חסם עליון.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ נל"ח ב
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ )ונרשום 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+( אם 
+\begin_inset Formula $Dom(f)=H$
+\end_inset
+
+ לאיזו 
+\begin_inset Formula $f\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+בדיוק כמו במקרה של פונקציות חשיבות לכל 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+יש 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $H\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+בהינתן 
+\begin_inset Formula $G(x)$
+\end_inset
+
+ נסמן ב
+\begin_inset Formula $G^{*}(e,x)$
+\end_inset
+
+ זו מכונת טיורינג אשר )עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+( אשר בהינתן 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ וקלט 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מחשבת את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(x)$
+\end_inset
+
+.
+ ברור ישירות מההגדרה ש:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G^{*}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $G^{*}\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מדוע?
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+ אז יש 
+\begin_inset Formula $f\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $H=Im(f)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+ אז 
+\begin_inset Formula $H=Im(G^{*}(e_{f},x))$
+\end_inset
+
+ כאשר על הקוד של 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ וברור ש
+\begin_inset Formula $G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+ברור - כי 
+\begin_inset Formula $G^{*}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ולכן הגרף שלה נל"ח מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+אם 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ דרגה ו-
+\begin_inset Formula $a=degH$
+\end_inset
+
+ אז הקפיצה של 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ היא 
+\begin_inset Formula $degH^{*}$
+\end_inset
+
+ ומסומנת 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+שאלה: האם זה מוגדר היטב? אם 
+\begin_inset Formula $H\sim G$
+\end_inset
+
+ האם 
+\begin_inset Formula $H^{*}\sim G^{*}$
+\end_inset
+
+? מתקיים:
+\begin_inset Formula 
+\[
+G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H
+\]
+
+\end_inset
+
+ לכן יספיק להראות ש
+\begin_inset Formula $G^{*}$
+\end_inset
+
+ נל"ח מירבית מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ לפי הטענה הקודמת עבור 
+\begin_inset Formula $H,H^{*}$
+\end_inset
+
+ יוצא ש
+\begin_inset Formula $G^{*}\le_{R}H^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ מסימטריה בין 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ו-
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ גם 
+\begin_inset Formula $H^{*}\le_{R}G^{*}$
+\end_inset
+
+ ולכן זה מוגדר היטב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+שאלה
+\bar default
+: האם קיימת דרגה 
+\begin_inset Formula $0<a$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+? תשובה: כן!
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ פונקציות )מהטבעיים לטבעיים( אז 
+\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם כל פונקציה חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $F\sim_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\le_{R}F$
+\end_inset
+
+.
+ כמו כן נסמן 
+\begin_inset Formula $F/_{\sim}=degF$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ אם קיימות פונקציות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degF=a,degG=b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+ אמרנו: אפשר להחליף את "קיימות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+" ב"לכל 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+".
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מתי נאמר ש
+\begin_inset Formula $F\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+? אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז נגדיר 
+\begin_inset Formula $a\le_{RE}b$
+\end_inset
+
+ בדיוק אם קיימות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degF=a,degG=b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $F\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\bar under
+תרגיל
+\bar default
+: 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה ב
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A$
+\end_inset
+
+ נל"ח מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ פונקציה כלשהי אז 
+\begin_inset Formula $H^{*}$
+\end_inset
+
+ היא הפונקציה המתאימה למכונת טיורינג אוניברסלית עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ באופן פורמלי: 
+\begin_inset Formula $H^{*}$
+\end_inset
+
+ היא הפונקציה המציינת של הקבוצה:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\}
+\]
+
+\end_inset
+
+ישירות מן ההגדרה נובע שאם 
+\begin_inset Formula $G\le_{RE}H$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $degG\le degH^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\bar under
+כמסקנה
+\bar default
+: אם נגדיר לדרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ את הדרגה 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=degH^{*}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ כלשהי כך ש
+\begin_inset Formula $a=degH$
+\end_inset
+
+ אז:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ מוגדר היטב
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ הוא הדרגה המירבית מעל 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ שהיא נל"ח ב
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות, אם 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $b\le_{RE}a$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $b\le a^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? אם 
+\begin_inset Formula $b\le_{RE}a$
+\end_inset
+
+ אז לפי הגדרה יש 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degG=b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\le_{RE}H$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ראינו: אם 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ חשיבות אז 
+\begin_inset Formula $F\sim G$
+\end_inset
+
+ וסימנו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\begin_inset Formula $degF=0$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0\le a$
+\end_inset
+
+ לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז יש דרגה 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ חסם מלעיל קטן ביותר ל
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סדרה 
+\begin_inset Formula $F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל )שהוא פשוט 
+\begin_inset Formula $F(y,x)$
+\end_inset
+
+( אבל אין חסם עליון.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז 
+\begin_inset Formula $a<a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ )ללא שיוויון( ואם 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}\le b^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל בהמשך נראה שיש 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימות דרגות 
+\begin_inset Formula $a,b\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ שאינן ניתנות להשוואה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+קיימת דרגה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $0<a<0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+לפי המשפט יש 
+\begin_inset Formula $a,b\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ שאינן ניתנות להשוואה.
+ אז 
+\begin_inset Formula $a,b\not=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $a,b\not=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+שאלה מרכזית: )הבעיה של
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Post
+\lang hebrew
+( האם קיימת 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כנ"ל שהיא נל"ח?
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+אבחנה:
+\bar default
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ אז לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ יש 
+\begin_inset Formula $\sigma\subseteq H$
+\end_inset
+
+ פונקציה סופית )ז"א תחום של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופי( כך ש
+\begin_inset Formula $f(n)$
+\end_inset
+
+ ניתן לחישוב מ
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)למשפט( נשים לב שגם אם האוב 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ אינו ידוע לנו עדיין ניתן לרשום את כל הקודים של מכונת טיורינג עם אוב 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ בתור התחלה נבנה שתי פונקציות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+ כדי למלא את הדרישה הזו עלינו לקיים שני אוספים של תנאים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ שהקוד שלה הוא 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינה מחשבת את 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ שהקוד שלה הוא 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינה מחשבת 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אז תהי 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ מניה חשיבה של התנאים הנ"ל.
+ נבנה באופן אינדוקטיבי פונקציות סופיות 
+\begin_inset Formula $F_{i},G_{i}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$
+\end_inset
+
+ ג לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ ואם 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ היא תנאי מסוג
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+, למשל אז 
+\begin_inset Formula $F_{i+1}$
+\end_inset
+
+ תבטיח שהפונקציה המחושבת ע"י המכונה 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם האוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ לא תחשב את 
+\begin_inset Formula $F_{i+1}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות המכונה 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם האוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ על קלט מסויים 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אז תתן ערך ששונה מ
+\begin_inset Formula $F_{i+1}(n)$
+\end_inset
+
+.
+ נניח שהגדרנו 
+\begin_inset Formula $F_{i},G_{i}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $F_{i-1}\subseteq F_{i}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G_{i-1}=G_{i}$
+\end_inset
+
+ ונניח שבה"כ 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ הוא תנאי מסוג
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+)התפקידים של 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ סימטריים לחלוטין בהוכחה(.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $n_{i}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ הקטן ביותר כך ש
+\begin_inset Formula $n_{i}\not\in dom(F_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ נבחים בין שני מקרים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מקרה א' - קיימת פונקציה סופית 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $G_{i}$
+\end_inset
+
+ )כלומר אם 
+\begin_inset Formula $x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\sigma(x)=G_{i}(x)$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מ"ט 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם אוב 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+במקרה זה, נגדיר 
+\begin_inset Formula $G_{i}\subseteq G_{i+1}$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+.
+ בגלל הנחה )
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( - זוהי פונקציה.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}$
+\end_inset
+
+ הוא הערך שמ"ט 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם אוב 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מחזירה עבור 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+( וזה מוגדר בגלל הנחה )
+\numeric on
+2
+\numeric off
+(.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+מקרה ב' - לא מקרה א'.
+ אז נגדיר 
+\begin_inset Formula $G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$
+\end_inset
+
+.
+ עתה נגדיר 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ )המקרה השני סימטרי לחלוטין(.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ מ"ט כלשהי עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינה מחשבת את 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ לשם כך יספיק למצוא 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כלשהו כך ש
+\begin_inset Formula $F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$
+\end_inset
+
+ ]נשים לב ש
+\begin_inset Formula $F(n)$
+\end_inset
+
+ מוגדרת לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, פשוט משום שהבניה מבטיחה שנטפל בבניה של 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ אינסוף פעמים ובכל פעם אנחנו מגדירים את 
+\begin_inset Formula $F_{i+1}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+ קטן ביותר עבורו הפונקציה טרם הוגדרה.
+ לכן בהכרח 
+\begin_inset Formula $dom(F)=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+[.
+ בפרט, אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{G}(n)$
+\end_inset
+
+ לא עוצרת, נקבל את הדרישה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+יש שלב 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ שבו טיפלנו במכונה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+ יש שתי אפשרויות.
+ אם היינו במקרה ב' אז 
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ אינה עוצרת.
+ אילו הייתה עוצרת, לפי האבחנה שרשמנו היה 
+\begin_inset Formula $\sigma\subseteq G$
+\end_inset
+
+ סופי כך ש
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ עוצרת, ומכיוון של
+\begin_inset Formula $G_{i}$
+\end_inset
+
+ ול
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ הרחבה משותפת 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ הן מתיישבות בסתירה להנחה שאנחנו במקרה ב'.
+ אם היינו במקרה א' אז יש 
+\begin_inset Formula $\sigma_{i}\subseteq G$
+\end_inset
+
+ סופית )שהיא זאת שמופיעה בבניה בשלב ה
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+( כך ש
+\begin_inset Formula $F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+\begin_inset Formula $degG$
+\end_inset
+
+ אינו ניתן להשוואה עם 
+\begin_inset Formula $degF$
+\end_inset
+
+.
+ נותר להראות 
+\begin_inset Formula $degF\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+התחלנו להוכיח: קיימות דרגות 
+\begin_inset Formula $0\le a,b\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ אינן ניתנות להשוואה ונסמן 
+\begin_inset Formula $a|b$
+\end_inset
+
+.
+ בנינו שתי פונקציות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
+\end_inset
+
+.
+ נותר לבדוק ש-
+\begin_inset Formula $degF,degG\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ כדי להבטיח שהפונקציות בלתי ניתנות להשוואה היה צריך להגשים שני סוגי תנאים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $F\not=f_{T_{e}^{G}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $G\not=f_{T_{e}^{F}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Lemma
+)למת השימוש( תהי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ מ"ט ו-
+\begin_inset Formula $H,G$
+\end_inset
+
+ אובות.
+ נניח שבריצה של 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)$
+\end_inset
+
+ הפניות לאורקל 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ מבקשות בדיוק את הערכים 
+\begin_inset Formula $H(r_{1}),...,H(r_{k})$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ונניח ש-
+\begin_inset Formula $G(r_{i})=H(r_{i})$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$
+\end_inset
+
+.
+ בפרט: אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)$
+\end_inset
+
+ עוצרת אז יש 
+\begin_inset Formula $\sigma\subseteq H$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Lemma
+כדי לבנות את 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ מספרנו את התנאים 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ בצורה חשיבה.
+ אם בשלב 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ עלינו לטפל בתנאי מסוג e
+\numeric on
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ אז נבחר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ להיות הראשון שאינו ב
+\begin_inset Formula $domF_{n}$
+\end_inset
+
+ ונבחין בין שני מקרים.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+מקרה א' - אם קיימת 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $G_{n}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אז נגדיר 
+\begin_inset Formula $G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+מקרה ב' - אחרת )כלומר, אין 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כנ"ל( נגדיר 
+\begin_inset Formula $F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ אז ראינו ש-
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ו-
+\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula ${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ נותר לבדוק ש-
+\begin_inset Formula $degG,degF\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר עלינו להראות שיש אוב נל"ח שממנו 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ חשיבות.
+ משיקולי סימטריה יספיק לבדוק שזה נכון עבור 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נגדיר פונקציה 
+\begin_inset Formula $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ שהיא הבניה: כלומר 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ מחזיר לנו קוד עבור 
+\begin_inset Formula $\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ יספיק לוודא ש-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ חשיבה מאיזה אוב נל"ח.
+ נניח שאנחנו יודעים את 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ ואנחנו רוצים לחשב את 
+\begin_inset Formula $s(n+1)$
+\end_inset
+
+.
+ ב.ה.כ השלב 
+\begin_inset Formula $e_{n+1}$
+\end_inset
+
+ הוא מסוג e
+\numeric on
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+.
+ דבר ראשון 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ צריכה להכריע אם אנחנו במקרה א' או מקרה ב'.
+ ז"א עלינו לדעת להכריע אם קיימת 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ שמתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $G_{n}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{e+1}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת )מיהו 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ידוע מ
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+(.
+ דבר ראשון נשים לב שהתנאי בתוך הסוגריים הוא נל"ח ]ב
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+, אבל מכיוון ש
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופית אז היא ממש נל"ח[.
+ אבל לכל יחס נל"ח 
+\begin_inset Formula $A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ נל"ח.
+ לכן ההכרעה האם אנחנו במקרה א' או במקרה ב' חשיבה מאוב נל"ח.
+ אם נחנו במקרה ב' - אין בעיה, הכל חשיב.
+ אם אנחנו במקרה א' - עלינו למצוא את 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+.
+ זה שוב דבר שהוא חשיב באופן כללי, כי אם 
+\begin_inset Formula $A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ נל"ח ו-
+\begin_inset Formula $\bar{y}$
+\end_inset
+
+ כזה ש-
+\begin_inset Formula $(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ אז יש פונקציה חשיבה שמחזירה 
+\begin_inset Formula $\bar{x}$
+\end_inset
+
+ שמעיד על כך.
+ לכן בסה"כ 
+\begin_inset Formula $s(n+1)$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ בעזרת האוב הנל"ח 
+\begin_inset Formula $(\exists\sigma)(...)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+קיימת 
+\begin_inset Formula $0<a<0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+אותה הוכחה בדיוק תראה: לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ קיימת דרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $c<a<c^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+האם אפשר למצוא 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כמו במסקנה שהיא נל"ח? תשובה: כן.
+ ואפשר אפילו לדרוש ש-
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימת דרגת טיורינג נל"ח 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $a\not=0$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)רעיון( נבנה קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ באינדוקציה.
+ בכל שלב 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נוסיף לקבוצה שבנינו בשלבים הקודמים מספר של איברים.
+ הבניה תהיה כזו שלגבי כל איבר שהכנסנו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אנחנו מתחייבים שהוא יישאר ב-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ אבל באופן כללי בשום שלב סופי לא נתחייב לגבי שום מספר טבעי שהוא לא ייכנס
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מתישהו בעתיד.
+ לפי מה אנחנו מחליטים האם להכניס איבר ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ או לא )שזה דבר שלא יקרה(? כדי להבטיח את התנאים נרצה לוודא שהקבוצה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שאנחנו בונים אינה חשיבה.
+ לכן נרצה להבטיח ש-
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ שונה מ
+\begin_inset Formula $\chi_{E}$
+\end_inset
+
+ לכל קבוצה חשיבה 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הצרה היא שאנחנו לא יכולים להתמקד בפונקציות מציינות של קבוצות חשיבות.
+ צריך לעבור על כל הפונקציות החשיבות - ובכלל זה אלו שאינן שלמות.
+ מתי נכניס איבר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+? לכל מ"ט 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ נתאים מספר טבעי 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ונריץ את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+.
+ אם נקבל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+עולה החשד ש
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ פונקציה מציינת של איזו קבוצה ו-
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ חושבת ש-
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ לא בקבוצה.
+ ליתר בטחון, נכניס את 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ וזה יבטיח ש
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שונה מהקבוצה ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ )אולי( מקודדת.
+ הקושי העיקרי - כיצד נדע אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ אי פעם תעצור?
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כדי להבטיח ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שנבנה תהיה נל"ח נרצה לוודא שהבניה שאנחנו מנהלים היא חשיבה.
+ לכן שאלות מהסוג "האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ עוצרת" אינן באות בחשבון.
+ מה הפתרון? נשים לב שאם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ אינה עוצרת ומחזירה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\numeric off
+, לא יקרה שום דבר רע אם אף פעם לא נחליט להכניס את 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ כי בסוף פשוט 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ לא יהיה ב
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ואנחנו בסדר.
+ השאלה היא איך לא לתקוע את הבניה אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ לא עוצרת.
+ כמו תמיד, נדאג לחזור ל
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינסוף פעמים ובכל פעם לבצע מספר חסום )אבל עולה לאינסוף( של צעדים.
+ אם אי פעם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ תעצור נדע אם עצרה על
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+או לא - אם כן נכניס את 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ואם לא - לא נעשה כלום.
+ בדיוק כמו במקרה שבו 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ בכלל לא עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הדרישה השניה, ש-
+\begin_inset Formula $(degA)^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ מצריכה אותנו לטפל בעוד משפחה של תנאים: 
+\begin_inset Formula $(2_{e,k})$
+\end_inset
+
+- צריך להחליט האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת או לא.
+ נניח שרוצים לטפל בתנאים אלה.
+ רוצים לדעת האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת או לא.
+ אבל איפה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ואיפה אנחנו?? )אליבא ד'חסון(.
+ בשלב סופי התחייבנו רק לגבי מספר סופי של 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ שהם ב
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ ננסה לחשב את 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ - את זה גם כן אי אפשר לחשב.
+ את זה נפתור כמו קודם.
+ נטפל בתנאי 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ אינסוף פעמים וכל פעם נריץ את המכונה עוד קצת.
+ כל זה יעזור בכלל במשהו אם בסוף, לגבי כל 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ שעליו 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ שאלה האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+ נקבל בדיוק את אותה התשובה גם ב
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ )או לחלופין בכל שלב בעתיד בו נחזור לטפל ב
+\begin_inset Formula $(2_{e,k})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+המכונה שואלת את האוב 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ שאלות מהצורה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?" או "האם 
+\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?".
+ מהבניה - אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ שאלה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?" וקיבלה תשובה חיובית אז היא תמיד תקבל תשובה חיובית לכל 
+\begin_inset Formula $A_{j}$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $i\le j$
+\end_inset
+
+.
+ לכן התשובות היחידות שיכולות להשתנות הן תשובות ש
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ חושב ש
+\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ ל
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ יש שימוש שלילי בריצה של 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ פונה לאוב בשאלה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?" ומקבלת תשובה 
+\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ לכל חישוב של ריצה עבור 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ ]במילים אחרות, לכל טיפול בתנאי 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+[ נצוות רשימה 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+ של כל ה
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ בהם נעשה שימוש שלילי בזמן הריצה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כל עוד 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$
+\end_inset
+
+ - אנחנו בסדר.
+ מה שנרצה הוא להשתדל שלא להכניס איברים מ-
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ אבל מה נעשה אם פתאום תנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ מחליט שהוא רוצה להכניס ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ איבר ששייך לאיזה 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+? נחליט על סדר קדימויות.
+ נמספר את כל התנאים שלנו )כמו בהוכחת המשפט הקודם( ונרשה לתנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ לפצוע קבוצה מסוג 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+ רק אם המספר הסידורי של 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ קטן מזה של 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+)המשך רעיון ההוכחה משיעור שעבר(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ רשימה של כל התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e},2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ כך שכל תנאי מופיע אינסוף פעמים.
+ אין בעיה לייצר רשימה כזו באופן חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נבחר פעם אחת ולתמיד חלוקה של 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ לאינסוף קבוצות אינסופיות זרות.
+ גם את זה אפשר לעשות באופן חשיב.
+ ]למשל 
+\begin_inset Formula $a\in A_{n}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n=Pr^{L}(a)$
+\end_inset
+
+ - שיטת האלכסון של קושי[.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ראשית, נתאר בהינתן תנאי מהצורה 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ כיצד נבחר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ שעבורו ננסה לחשב את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k)$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ היא המכונה ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ית באיזה מספור )חשיב( של הפונקציות החשיבות אז נבחר את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $A_{n}$
+\end_inset
+
+ .
+ שנית, נדרוש ש-
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מספיק גדול כך שאינו מופיע בשום 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שהתקבלה עד כה בבניה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עכשיו נתאר את השלב ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בבניה:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\bar under
+מקרה א'
+\bar default
+ - השלב ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ הוא מהצורה 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+כבר הכנסנו מספר מ-
+\begin_inset Formula $R_{i}$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ - לא עושים כלום.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם קיים 
+\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $k<n$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{ei}(k)=0$
+\end_inset
+
+, מתקבל אחרי פחות מ-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+ בנוסף 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ לא שייך לשום 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שמספרה הסידורי קטן ממספור הסידורי של 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+.
+ ]ברקע יש לנו מספור חשיב של כל הדרישות שלנו, למשל המספור הסידורי של הדרישה
+ 
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ - במספור שקבענו בהתחלה - יכול להיות האינדקס הראשון 
+\begin_inset Formula $i_{0}$
+\end_inset
+
+ כך שהתנאי ב-
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ שווה לתנאי ב-
+\begin_inset Formula $c_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+[.
+ במקרה הזה - נכניס את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ וכמובן ש"נפצע" )נסמן( כל 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שהמספר הסידורי שלה גדול מזה של 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ שייך להכרזה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אחרת - לא נעשה כלום.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\bar under
+מקרה ב'
+\bar default
+ - אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}(k)$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $A_{n-1}$
+\end_inset
+
+ הקבוצה שחיברנו עד כה( עוצרת אחרי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים, אז נגיש 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שמתאימה לחישוב.
+ ]כלומר מכינים הכרזה ובה כל המספרים 
+\begin_inset Formula $l\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך שבמהלך החישוב 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}(k)$
+\end_inset
+
+ פנתה לאוב ושאלה "האם 
+\begin_inset Formula $l\in A_{n-1}$
+\end_inset
+
+" וקיבלה תשובה שלילית[.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+הקבוצה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שנקבל בסוף הבניה עונה על כל התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e},2_{e,k}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח שיש לנו תנאי 
+\begin_inset Formula $1_{e_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ אם בשלב כלשהו הכנסו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מספר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $R_{i}$
+\end_inset
+
+ זה אומר שמצאנו ש-
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}(k)=0$
+\end_inset
+
+ והכנסנו את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}(k)=1$
+\end_inset
+
+ ואנחנו בסדר.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אז נניח שאין 
+\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
+\end_inset
+
+ שהוכנס ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ נבחר 
+\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
+\end_inset
+
+ גדול מספיק כדי ש-
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ אינו מופיע באף 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה עם אינדקס קטן מהאינדקס של 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מדוע יש 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ כזה? נשים לב שאם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ הוא האינדקס של 
+\begin_inset Formula $2_{e,l}$
+\end_inset
+
+ אז כל תנאי עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $m<n$
+\end_inset
+
+ יכול "לפצוע" הכרזה של 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ לכל היותר פעם אחת.
+ אם התנאי עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ פצע הכרזה כלשהי ז"א שהתנאי הכניס איבר כלשהו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ולפי )
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( של מקרה א' לעולם לא נחזור לטפל בתנאי עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ בסה"כ את ה-
+\begin_inset Formula $2_{e,l}$
+\end_inset
+
+ הכרזות ניתן "לפצוע" לכל היותר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ פעמים.
+ לכן יש לכל היותר 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+ הכרזות 
+\begin_inset Formula $2_{e,l}$
+\end_inset
+
+.
+ בסה"כ לכל תנאי שהוא יש לכל היותר מספר סופי של הכרזות של תנאים עם אינדקס
+ קטן יותר.
+ לכן יש 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ כמו שאנחנו רוצים ועבור 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ כזה לא ייתכן ש-
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}(k)=0$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? אילו זה היה מתקיים לפי מקרה )א'
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( היינו מכניסים את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ בסתירה להנחה.
+ לכן על התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ מתקיימים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מה בקשר לתנאים 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ? נאמר ש-
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ הכרזה היא קבועה אם היא זרה ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת אם ורק אם קיימת 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ הכרזה קבועה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אם קיימת 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ הכרזה קבועה ז"א שקיים איזה שלב 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בבניה שבו 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}$
+\end_inset
+
+ עצרה )אחרי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים( ויצרה את ההכרזה.
+ כיוון שההכרזה קבועה, לכל 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}$
+\end_inset
+
+ פנתה לאוב בשאלה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{n-1}$
+\end_inset
+
+?" האוב 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ יחזיר את אותה התשובה.
+ לכן לפי עקרון השימוש 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+בכיוון השני אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת )נאמר אחרי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים( אז לכל 
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ כך שהתנאי ב-
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ הוא 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $i>n$
+\end_inset
+
+, הבניה במקרה ב' תייצר 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה.
+ )ובתנאי שבשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ כבר נכנסו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ כל האיברים שבהם נעשה שימוש חיובי בחישוב של 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אבל מהדיון הקודם, כל תנאי יכול לייצר לכל היותר מספר סופי של הכרזות.
+ אז האחרונה מביניהן שהכרח לא תשתנה, ז"א תהיה קבועה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+עד עתה: בנינו את 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, הראנו ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מקיימת את התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ ואת 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ )לפי א' הנ"ל( וברור שהבניה חשיבה.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מקיימת את
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+, ברור ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אינה חשיבה.
+ כיוון שהבניה חשיבה, אם נגדיר 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ להיות הקבוצה 
+\begin_inset Formula $A_{n}$
+\end_inset
+
+ שהתקבלה בשלב ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ של הבנייה נקבל ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח, כי 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נותר לוודא ש-
+\begin_inset Formula $deg(A^{*})\le0$
+\end_inset
+
+.
+ ראינו בתרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+11
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+טענה שאומרת שאם 
+\begin_inset Formula $A^{*}=dim(B_{i})$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $B_{i}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\numeric on
+-
+\numeric off
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $deg(A^{*})\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$
+\end_inset
+
+אם ורק אם בשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ של הבנייה יש 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שאיננה פצועה.
+ כיוון שהבניה חשיבה 
+\begin_inset Formula $B_{i}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב.
+ לפי )א( הנ"ל 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$
+\end_inset
+
+ עוצרת אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\le a$
+\end_inset
+
+ קיימת דרגה 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+רעיון ההוכחה
+\bar default
+: נבחר 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $deg(g)=a$
+\end_inset
+
+, אפשר לבחור 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ כזו שלמה.
+ נרצה לבנות 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $f^{*}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup deg(f)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $f^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נרצה להגשים שני סוגים תנאים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - להחליט האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{f}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $2_{n}$
+\end_inset
+
+ - לוודא ש-
+\begin_inset Formula $f(m)=g(n)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כרגיל נמספר את התנאים 
+\begin_inset Formula $\{c_{i}\}$
+\end_inset
+
+, ובשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ אם אנו בתנאי 
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ויש 
+\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ סופית שמתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $f_{i-1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת, נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+ ואחרת נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{i}=f_{i-1}$
+\end_inset
+
+.
+ ואם בשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ אנו בתנאי 
+\begin_inset Formula $2_{n}$
+\end_inset
+
+ אז נבחר 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ מזערי כך שאינו בתחום של 
+\begin_inset Formula $f_{i-1}$
+\end_inset
+
+ ונגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{i}(m)=g(n)$
+\end_inset
+
+.
+ לסיכום: יוצא שהבניה חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup a=a$
+\end_inset
+
+ וחשיבה גם מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ונמצא פונקציה 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $deg(f)$
+\end_inset
+
+ תענה על הדרישות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ולכן יספיק למצוא 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}\le a\le b$
+\end_inset
+
+.
+ מזה נבטיח שיש שיוויונות לכל אורך הדרך.
+ אז צריך למצוא 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ ומ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כרגיל נמספר את התנאים )כולם ביחד( במספור חשיב 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ ונניח שלכל 
+\begin_inset Formula $i\le n$
+\end_inset
+
+ בנינו פונקציה 
+\begin_inset Formula $f_{i}$
+\end_inset
+
+ )עם תחום סופי( כך ש-
+\begin_inset Formula $f_{i}\subseteq f_{j}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $i\le j$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+
+\bar under
+בניית 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $e_{n+1}$
+\end_inset
+
+ הוא תנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+: נבדוק האם יש 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופית שמתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $f_{n}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+ אם כן, נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+ אחרת נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $e_{n+1}$
+\end_inset
+
+ הוא תנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $2_{k}$
+\end_inset
+
+ אז נמצא 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ מזערי שאיננו בתחום של 
+\begin_inset Formula $f_{n}$
+\end_inset
+
+ ונגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ פונקציה שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כדי לממש את הבניה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם אנחנו בתנאי 
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+ צריך לדעת האם קיים 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כזה.
+ כדי לענות על השאלה הזו אנו יכולים מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם אנחנו בתנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $2_{k}$
+\end_inset
+
+, אין בעיה למצוא את 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+.
+ כל מה שצריך זה לחשב את 
+\begin_inset Formula $g(k)$
+\end_inset
+
+ ואת זה אפשר לעשות מ-
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נשאר להראות כי את 
+\begin_inset Formula $b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ניתן לחשב מ-
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ ומ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $b^{\prime}=deg(f^{*})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $f^{*}$
+\end_inset
+
+ זהו האוב שעונה לכל שאלה מהצורה "האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{f}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת?".
+ ראשית אם אנו יודעים את הבניה של 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ אז אנו יודעים לענות על כל השאלות מהצורה הנ"ל.
+ אבל הבניה חשיבה גם מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ וגם מ-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ )ביחד( ולכן 
+\begin_inset Formula $b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $a\rightarrow a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ איננה חח"ע.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document