#LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 474
\begin_document
\begin_header
\textclass heb-article
\begin_preamble
\date{}
\end_preamble
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language hebrew
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman default
\font_sans default
\font_typewriter default
\font_math auto
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100
\font_tt_scale 100
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\spacing single
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 0
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\biblio_style plain
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 0
\index אינדקס
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\quotes_language english
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Title
אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות
\begin_inset Newline newline
\end_inset

ד"ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב
\end_layout

\begin_layout Author
יובל אדם
\end_layout

\begin_layout Standard

\lang english
\begin_inset Box Frameless
position "t"
hor_pos "c"
has_inner_box 1
inner_pos "t"
use_parbox 0
use_makebox 0
width "100col%"
special "none"
height "1in"
height_special "totalheight"
status open

\begin_layout Quote

\lang english
Young man, in mathematics you don't understand things.
\begin_inset Newline newline
\end_inset

You just get used to them.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Quote

\lang english
- John von Neumann
\end_layout

\end_deeper
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
פרולוג
\end_layout

\begin_layout Itemize
מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות.
 )נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין מה זה אומר על פרק זה...(
\end_layout

\begin_layout Itemize
נא להתחשב בסביבה.
 נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח העמודים הנדרש.
\end_layout

\begin_layout Itemize
תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים.
\end_layout

\begin_layout Itemize
הערות/טענות/בקשות - כתובת המייל שלי היא 
\begin_inset Formula $yuv.adm$
\end_inset

 ולאחר מכן 
\begin_inset Formula $gmail.com$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
שאו ברכה, עלו והצליחו.
\end_layout

\begin_layout Section
הגדרות
\end_layout

\begin_layout Itemize
יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 מבנה לשפה מסדר ראשון 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 השמה ל
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 שם עצם.
 אז הערך של 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 עבור ההשמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 הוא:
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 אז
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 משתנה אישי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $t=f(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
יהיו 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 , ו-
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 כנ"ל ותהי 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה ב-
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 אז ערך האמת של )
\lang english
TRUE
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
 או 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
FALSE
\lang hebrew
( של 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 עבור ההשמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 מוגדר באינדוקציה באופן הבא:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\noindent
אם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה אטומית, כלומר 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מהצורה 
\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 עבור הסימן יחס n-מקומי 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 ושמות עצם 
\begin_inset Formula $t_{1},...,t_{n}$
\end_inset

 אזי 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
אם 
\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
\end_inset

 עבור נוסחה 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים
\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
אם 
\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x)\psi$
\end_inset

 )כלומר הנוסחה היא מסוג "קיים איקס" וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר( אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $s\left[{x\atop a}\right]$
\end_inset

 הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה אישי 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 שאינו 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 את הערך 
\begin_inset Formula $s(y)$
\end_inset

 ולמשתנה האישי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 את הערך 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 )כלומר רק מחליפה את 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

(.
 הגדרה שקולה: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כאשר נגדיר שרירותית 
\begin_inset Formula $F<T$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\noindent
אם 
\begin_inset Formula $\varphi=(\forall x)\psi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
\end{eqnarray*}

\end_inset

הגדרה שקולה: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
הערות:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס 
\begin_inset Formula $\approx$
\end_inset

 אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון
\end_layout

\begin_layout Enumerate
כמוסכמה: אם אומרים ש
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 שפה לתחשיב הפסוקים בד"כ לא נציין במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח
 שהוא שם
\end_layout

\begin_layout Enumerate
בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון.
 יש משפטים שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה.
 בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה.
\end_layout

\begin_layout Itemize
תהי 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 שפה לתחשיב הפסוקים ותהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת נוסחאות ב
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 )לאו דווקא סופית(.
 נאמר ש
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
(satisfiable)
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
 אם קיים מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 לשפה 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 וקיימת השמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
\end_inset

.
 נסמן 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
\end_inset

 )לפעמים נשמיט את ההשמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 מן הסימונים(.
 דוגמאות:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $L=\{R\}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $
\end_inset

 זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 )לא מכוון( נגדיר מבנה 
\begin_inset Formula $M_{G}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 באופן הבא: העולם של 
\begin_inset Formula $M_{G}$
\end_inset

 יהיה 
\begin_inset Formula $V(G)$
\end_inset

 )קבוצת הקודקודים של 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

( והיחס 
\begin_inset Formula $R^{M_{G}}$
\end_inset

 יהיה 
\begin_inset Formula $E(G)$
\end_inset

 )קבוצת הקשתות(.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $L=\{\approx\}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T_{3}$
\end_inset

 ספיקה כי כל קבוצה בת פחות מ-
\numeric on
4
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
איברים מספקת אותה.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $L=\{<\}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
DLO & = & \left\{ \begin{array}{c}
\forall x\neg(x,x),\\
\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\
\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\
\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\
\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y)
\end{array}\right\} 
\end{eqnarray*}

\end_inset

 אשר הינו
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
dense linear order
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
 אז מתקיים 
\begin_inset Formula $(\mathbb{Q},\le)\models DLO$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 כנ"ל ו- 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
\end_inset

 אז נאמר ש
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 מודל של 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים.
\end_layout

\begin_layout Itemize
פסוק בשפה 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 זו נוסחה ללא משתנים חופשיים
\end_layout

\begin_layout Itemize
המשתנים החופשיים בשם עצם 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

, נסמנם 
\begin_inset Formula $Free(t)$
\end_inset

, הם אוסף כל המשתנים המופיעים ב-
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה אטומית 
\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$
\end_inset

 )קשר לוגי דו מקומי כלשהו( אז 
\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x)\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $\varphi=(\forall x)\psi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\psi)$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $x\notin Free(\psi)$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$
\end_inset

 אחרת.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
תחשיב היחסים
\end_layout

\begin_layout Itemize
לפסוק )שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה( יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה, ללא
 כל תלות בהשמה
\end_layout

\begin_layout Itemize
נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 תקרא 
\bar under
אמיתית לוגית 
\bar default
אם לכל מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 )לשפה של 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

( ולכל השמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
דוגמה: אם 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 סימן יחס חד-מקומי אז 
\begin_inset Formula $P(x)\vee\neg P(x)$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
 מדוע? יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

מבנה עבור 
\begin_inset Formula $\{P\}$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 השמה עבור 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\
 &  & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\
 &  & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\
 &  & =TRUE
\end{eqnarray*}

\end_inset

 .
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
דוגמה: נניח ש
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 נוסחה עם משתנה חופשי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 קבוע אישי שאינו מופיע ב
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$
\end_inset

 אמיתי לוגית )אם 
\begin_inset Formula $\varphi(c)$
\end_inset

 אמיתי לוגית - ייתכן שזה לא נדרש(.
\end_layout

\begin_layout Itemize
דוגמה: 
\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$
\end_inset

 - אז לפי הגדרת האמת ולפי הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית.
 מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה על היצירה של 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 )הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים( מראים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\psi=\neg\psi^{\prime}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$
\end_inset

 עבור קשר לוגי דו מקומי אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
אבל 
\begin_inset Formula $(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$
\end_inset

 לפי משפט הקריאה היחידה אינו מהצורה א' או ב' לכן אם הוא מתקבל ע"י החלפה
 כנ"ל מפסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 של תחשיב הפסוקים, 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 הוא בהכרח פסוק יסודי.
 אבל פסוק יסודי )משתנה פסוקי( אינו טאוטולוגיה.
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Itemize
טאוטולוגיה )הגדרה שקולה לשאלה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
5
\numeric off
(: נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

היא טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה 
\begin_inset Formula $\psi(P_{1},...,P_{k})$
\end_inset

 של תחשיב הפסוקים )הסימון הזה אומר ש
\begin_inset Formula $P_{1},...,P_{k}$
\end_inset

 הם כל המשתנים הפסוקיים המופיעים ב
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

( )למשל: 
\begin_inset Formula $\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$
\end_inset

( ונוסחאות 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
\end_inset

 )של תחשיב היחסים( כך ש- 
\begin_inset Formula $\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מתקבלת ע"י החלפת כל מופע של 
\begin_inset Formula $P_{i}$
\end_inset

 ב-
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
משפט הקריאה היחידה: תהי 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק אחד מן הבאים מתקיים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה אטומית
\end_layout

\begin_layout Itemize
קיימות נוסחאות 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}$
\end_inset

 יחידות וקשר לוגי דו מקומי יחיד 
\begin_inset Formula $\square$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
קיימת נוסחה יחידה 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $\varphi=\neg\varphi_{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
קיימת נוסחה יחידה 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $\varphi=\exists x\varphi_{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
קיימת נוסחה יחידה 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $\varphi=\forall x\varphi_{1}$
\end_inset

 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב )בשפת התכנות החביבה עליכם(
 שבהינתן נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 בתחשיב הפסוקים בודקת האם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 טאוטולוגיה של תחשיב היחסים.
\end_layout

\begin_layout Itemize
)רמז( בהינתן נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע האם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 טאוטולוגיה.
\end_layout

\begin_layout Standard
דברים שצריך בשביל העבודה:
\end_layout

\begin_layout Itemize
)שאלה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
4
\numeric off
( תהיינה 
\begin_inset Formula $\Gamma,\Delta$
\end_inset

 קבוצות פסוקים.
 נסמן 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
\end_inset

 )גורר( אם לכל מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 ולכל השמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 מתקיים: אם 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Delta$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
דוגמה: אם ב
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset

 יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
ל
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset

 כנ"ל אם 
\begin_inset Formula $\Delta\models\Gamma$
\end_inset

 אז ב
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 אינה ספיקה אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset

 )באופן ריק(.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\varphi\models\psi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\models\varphi\rightarrow\psi$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $\varphi\models\psi$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
 הכיוון השני גם נכון.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
)שאלה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
( אפשר לחשוב על 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 כעל מבנה לשפה 
\begin_inset Formula $\{R\}$
\end_inset

 עבור יחס דו מקומי 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 גרף סופי קיים פסוק 
\begin_inset Formula $\varphi_{G}$
\end_inset

 בשפה הנ"ל כך שלכל מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 בשפה , אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{G}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\cong G$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Itemize
תזכורת: יהיו 
\begin_inset Formula $\mathcal{M},\mathcal{N}$
\end_inset

 מבנים לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 של תחשיב היחסים.
 נאמר ש
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$
\end_inset

 )איזומורפיים( אם קיימת פונקציה חח"ע ועל 
\begin_inset Formula $f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$
\end_inset

 כך ש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$
\end_inset

 לכל קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
לכל סימן יחס n-מקומי 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle  & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
לכל סימן פונקציה n-מקומי 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n}))
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
הכנה לשיעור הבא:
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת נוסחאות ספיקה ו
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}$
\end_inset

 ספיקה
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה ו-
\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 אז גם 
\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$
\end_inset

 ספיקה
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם ב
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 יש פסוק 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 שאינו ספיק אז בוודאי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 אינה ספיקה
\end_layout

\begin_layout Itemize
משפט הקומפקטיות: תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת פסוקים סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\wedge$
\end_inset

 )כלומר אם 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 אז גם 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

( אז 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה אם ורק אם כל 
\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
\end_inset

 ספיקה.
\end_layout

\begin_layout Section
קומפקטיות ומסננים
\end_layout

\begin_layout Theorem

\series bold
\bar under
משפט הקומפקטיות
\series default
\bar default
: תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת פסוקים סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\wedge$
\end_inset

 )כלומר אם 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

אז גם 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

( אזי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה אם ורק אם כל 
\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
\end_inset

 ספיק.
\end_layout

\begin_layout Claim
תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 כך ש-
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\wedge$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 כלומר כל מודל של 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 הוא מודל של 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 ולהיפך
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 קבוצת הפסוקים המתקבלת מ
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 באופן הבא: לכל 
\begin_inset Formula $1\le k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$
\end_inset

 , ב
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 יהיה הפסוק 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$
\end_inset

.
 נשים לב ש
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\wedge$
\end_inset

.
 מדוע? יהיו 
\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 לפי ההגדרה של 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 יש מספרים טבעיים 
\begin_inset Formula $1\le k_{1},k_{2}$
\end_inset

 ופסוקים 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$
\end_inset

 כך ש- 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}

\end_inset

אז 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\Theta_{i} & = & \begin{cases}
\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\
\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1}
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

מכיוון ש-
\begin_inset Formula $\Theta_{i}\in\Gamma$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 גמרנו.
 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש
\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
\end_inset

.
 מספיק להראות שאם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
\end_inset

.
 יהי 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 ונניח כמו קודם 
\begin_inset Formula $\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in\Gamma$
\end_inset

 כלשהו.
\end_layout

\begin_layout Proof
אזי:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE
\end{eqnarray*}

\end_inset

 מתקיים אמ"ם לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le k$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$
\end_inset

.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית שלה היא ספיקה.
\end_layout

\begin_layout Theorem
)משפט הקומפקטיות - נוסח שקול( קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 היא ספיקה מקומית אם ורק אם היא ספיקה.
\end_layout

\begin_layout Proof
נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה.
 תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת פסוקים ספיקה מקומית.
 תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 כמובטח בטענה, כלומר 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\wedge$
\end_inset

.
 מספיק להראות לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 הוא ספיק.
 יהי 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$
\end_inset

 .
 לפי ההנחה 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה מקומית.
 לכן 
\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$
\end_inset

 קבוצת פסוקים ספיקה.
 לכן יש מודל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le k$
\end_inset

 לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 סגורה תחת חיתוך וכל 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 ספיק.
 לפי משפט הקומפקטיות עבור 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 יש 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 אבל 
\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 לכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נוכיח את הכיוון השני )שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות(.
 נניח 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 מקיימת את ההנחות כלומר 
\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
\end_inset

 סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\wedge$
\end_inset

 וכל פסוק בה ספיק.
 יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול ש
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה מקומית.
 נוכיח באינדוקציה על 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 שכל קבוצת פסוקים מגודל 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ב-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 היא ספיקה.
 עבור 
\begin_inset Formula $k=1$
\end_inset

 - נתון.
 נניח ש
\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$
\end_inset

 והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

 שהיא ספיקה.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 סגורה תחת חיתוך 
\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 .
 
\begin_inset Formula $\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$
\end_inset

 היא קבוצה בגודל 
\begin_inset Formula $k-1$
\end_inset

 ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה.
 אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Delta$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i\ge3$
\end_inset

 וכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$
\end_inset

 .
 אבל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$
\end_inset

 כנדרש.
 כלומר 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה מקומית וע"ס הנוסח השקול - ספיקה.
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה )בד"כ אינסופית אבל לא בהכרח(.
 מסנן )
\lang english
filter
\lang hebrew
( על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 זו קבוצה 
\begin_inset Formula $F\subseteq\mathbb{P}(I)$
\end_inset

 )כלומר אוסף של תת קבוצות של 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

( כך שמתקיים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $J\in F$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $J\subseteq J^{\prime}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $J^{\prime}\in F$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $J,J^{\prime}\in F$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $J\cap J^{\prime}\in F$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
אם בנוסף לכל 
\begin_inset Formula $J\subseteq I$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $J\not\in F$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $I\backslash J\in F$
\end_inset

 - אז 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 נקרא על מסנן.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
דוגמאות:
\end_layout

\begin_layout Itemize
תהי 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה כלשהי.
 לכל 
\begin_inset Formula $a\in I$
\end_inset

 נגדיר על מסנן 
\begin_inset Formula $F_{a}$
\end_inset

 באופן הבא: 
\begin_inset Formula $J\subseteq I,J\in F$
\end_inset

 אמ"ם 
\begin_inset Formula $a\in J$
\end_inset

 .)הערה: על מסנן 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 נקרא ראשי אם קיים 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $F=F_{a}$
\end_inset

(.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 סופית אז כל על מסנן על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 הוא ראשי.
 יהי 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על מסנן על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 כיוון ש-
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 סופית גם 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 סופית ולכן באינדוקציה לפי
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\numeric off
: 
\begin_inset Formula $J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $J_{F}\in F$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $J_{F}$
\end_inset

 יחידון - גמרנו.
 נניח בשלילה שזה לא המקרה.
 אחרת יש
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
איברים שונים ב
\begin_inset Formula $J_{F}$
\end_inset

 )לפחות(.
 ניקח 
\begin_inset Formula $J\subseteq I$
\end_inset

 שמכילה את הראשון אבל לא את השני.
 לא 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 ולא המשלים של 
\begin_inset Formula $J$
\end_inset

 יכולים להיות ב
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 כי כל קבוצה ב
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 מכילה את 
\begin_inset Formula $J_{F}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
תהי 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה אינסופית.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$
\end_inset

.
 תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
תהי 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה לא ריקה.
 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 מסנן על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 אזי קיים על מסנן 
\begin_inset Formula $F\subseteq F^{\prime}$
\end_inset

.
 במילים אחרות כל מסנן על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 ניתן להרחבה לעל מסנן.
 )הוכחה בשיעור הבא(.
\end_layout

\begin_layout Section
מסננים והלמה של צורן
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה )לא ריקה( אז 
\series bold
מסנן
\series default
 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 זה אוסף של תת קבוצות של 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 כך ש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in F$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $U_{1}\wedge U_{2}\in F$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $U\in F$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $U\subseteq V$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $V\in F$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 הוא על-מסנן אם לכל 
\begin_inset Formula $V\subseteq I$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $V\not\in F$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $I\backslash V\in F$
\end_inset

 .
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Lemma

\bar under
הלמה של צורן
\bar default
 - תהי 
\begin_inset Formula $(I,\le)$
\end_inset

 קבוצה סדורה חלקית.
 
\begin_inset Formula $V\subseteq I$
\end_inset

 תקרא שרשרת אם לכל 
\begin_inset Formula $v_{1},v_{2}\in V$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $v_{1}\le v_{2}$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $v_{2}\le v_{1}$
\end_inset

.
 אז נניח שלכל שרשרת 
\begin_inset Formula $V\subseteq I$
\end_inset

 יש חסם מלעיל, כלומר קיים 
\begin_inset Formula $w\in I$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $w\ge V$
\end_inset

 )כלומר 
\begin_inset Formula $w\ge v$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $v\in V$
\end_inset

(.
 אזי ב
\begin_inset Formula $(I,\le)$
\end_inset

 יש איבר מירבי, כלומר קיים 
\begin_inset Formula $u\in I$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $u\not=v\in I$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $u\not\le v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Claim
תהי 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה לא ריקה ו- 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 מסנן על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 אזי קיים על-מסנן 
\begin_inset Formula $F\subseteq U$
\end_inset

.
 במילים אחרות, כל מסנן 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 ניתן להרחבה לעל-מסנן.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

 קבוצת כל המסננים על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

.
 לאינטואיציה: 
\begin_inset Formula $F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$
\end_inset

.
 על 
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

 אפשר להגדיר סדר חלקי ע"י הכלה.
 כלומר, ל-
\begin_inset Formula $F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$
\end_inset

 נאמר ש
\begin_inset Formula $F_{1}\le F_{2}$
\end_inset

 אם לכל 
\begin_inset Formula $V\in F_{1}$
\end_inset

 מתקיים גם 
\begin_inset Formula $V\in F_{2}$
\end_inset

.
 אפשר לכתוב גם 
\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}$
\end_inset

.
 נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם 
\begin_inset Formula $V\subseteq\mathcal{H}$
\end_inset

 שרשרת אז ל
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 יש חסם מלעיל ב
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$
\end_inset

.
 נראה ש
\begin_inset Formula $F_{V}$
\end_inset

 הוא מסנן.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
ברור כי 
\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F_{V}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
נניח ש 
\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in F_{V}$
\end_inset

.
 קיימים 
\begin_inset Formula $F_{1},F_{2}\in V$
\end_inset

 כך ש 
\begin_inset Formula $U_{1}\in F_{1}$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $U_{2}\in F_{2}$
\end_inset

.
 כיוון ש-
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 שרשרת, ב.ה.כ 
\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}$
\end_inset

 .
 לכן 
\begin_inset Formula $U_{1}\in F_{2}$
\end_inset

 לכן גם 
\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $U\in F_{V}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $U\subseteq W$
\end_inset

 אז לפי הגדרה קיים איזה 
\begin_inset Formula $F\in V$
\end_inset

 כך ש- 
\begin_inset Formula $U\in F$
\end_inset

.
 לכן גם 
\begin_inset Formula $W\in F$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $W\in F_{V}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
הראנו שלכל שרשרת ב
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

 יש חסם מלעיל, כי ברור 
\begin_inset Formula $F_{V}\in\mathcal{H}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $F\subseteq F_{V}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $F\in V$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $F_{V}$
\end_inset

 חסם מלעיל ל-
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

.
 לפי הלמה של צורן, ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

 יש איבר מירבי, נסמנו 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

.
 נראה ש
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 על מסנן.
 נניח בשלילה שהוא לא.
 כיוון ש-
\begin_inset Formula $\mathcal{U}\in\mathcal{H}$
\end_inset

 הוא מסנן ולכן הנחת השלילה מבטיחה שיש קבוצה 
\begin_inset Formula $U\subseteq I$
\end_inset

 כך ש- 
\begin_inset Formula $U\not\in\mathcal{U}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $I\backslash U\not\in\mathcal{U}$
\end_inset

.
 נשים לב כי במקרה זה 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$
\end_inset

 הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 כי 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

.
 מדוע 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

 הוא מסנן? 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
נוכיח ש
\begin_inset Formula $\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

 הרי שהיא מהצורה 
\begin_inset Formula $U\cap V$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}$
\end_inset

.
 אבל אז 
\begin_inset Formula $V\subseteq I\backslash U$
\end_inset

 ואז 
\begin_inset Formula $I\backslash U\in\mathcal{U}$
\end_inset

 בסתירה.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

 סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
נראה כי אם 
\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

 אז גם 
\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

.
 ב.ה.כ 
\begin_inset Formula $U_{1}\not\in\mathcal{U}$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $U\cap V\subseteq U$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $V$
\end_inset

 הזו.
 אם 
\begin_inset Formula $U_{2}\in\mathcal{U}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

 וכך גם 
\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
\end_inset

.
 אחרת 
\begin_inset Formula $U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $V_{2}\in\mathcal{U}$
\end_inset

 .
 ואז 
\begin_inset Formula $U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

.
 קיבלנו 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$
\end_inset

 סתירה.
 לכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 על מסנן.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
)הרחבה( אם 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 מסנן על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 נגדיר 
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$
\end_inset

 אוסף המסננים המכילים את 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 באופן טריויאלי לכל שרשרת ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
\end_inset

 יש חסם מלעיל ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{H_{F}}$
\end_inset

)כי כל שרשרת כזו היא שרשרת של איברים שגדולים מ-
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 ולכן אם יש לה חסם ב
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

 הרי שהוא חסם ב
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
\end_inset

מקיימת את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם ב
\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
\end_inset

וראינו שאלו על מסננים.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Corollary
לכל קבוצה אינסופית 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 יש על מסנן 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 כך שאם 
\begin_inset Formula $|I\backslash U|<\aleph_{0}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $U\in F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition

\bar under
מכפלות
\bar default
: תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

קבוצה לא ריקה כלשהי ו-
\begin_inset Formula $\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
\end_inset

 אוסף של קבוצות לא ריקות.
 אז המכפלה 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 זה אוסף כל הפונקציות 
\begin_inset Formula $f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 המקיימות 
\begin_inset Formula $f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

.
 הערה: אם 
\begin_inset Formula $\Gamma=\{1,...,n\}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i,j$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Theorem

\bar under
אקסיומת הבחירה
\bar default
: אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

לא ריקה ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
מכפלות
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Definition

\bar under
מכפלות
\bar default
: תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצה לא ריקה כלשהי ו-
\begin_inset Formula $\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
\end_inset

 אוסף של קבוצות לא ריקות.
 אז המכפלה 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 זה אוסף כל הפונקציות 
\begin_inset Formula $f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 המקיימות 
\begin_inset Formula $f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

.
 הערה: אם 
\begin_inset Formula $\Gamma=\{1,...,n\}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i,j$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition
דוגמה: אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$
\end_inset

זה פשוט אוסף כל הפונקציות מ
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

לא ריקה ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

.
 ל
\begin_inset Formula $\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$
\end_inset

 נגדיר 
\begin_inset Formula $x\sim_{F}y$
\end_inset

 עבור על מסנן 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
בסימונים של ההגדרה האחרונה 
\begin_inset Formula $\sim_{F}$
\end_inset

 הוא יחס שקילות.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
נניח ש
\begin_inset Formula $x\sim_{F}y$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $y\sim_{F}z$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 לכן 
\begin_inset Formula $U\cap V\in F$
\end_inset

 אבל 
\begin_inset Formula $U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצה לא ריקה ולכל 
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset

 יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

 מבנה לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
 יהי 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על מסנן )לא ראשי( על 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 אז העל מכפלה של 
\begin_inset Formula $\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
\end_inset

 ביחס ל
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 שתסומן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$
\end_inset

 היא המבנה המוגדר כלהלן: 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
העולם של העל מכפלה הוא 
\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$
\end_inset

 כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס 
\begin_inset Formula $\sim_{F}$
\end_inset

 על המכפלה 
\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c\in\mathcal{L}$
\end_inset

 נפרש 
\begin_inset Formula $[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset

 מחלקת השקילות של הסדרה 
\begin_inset Formula $(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$
\end_inset

 ביחס ל 
\begin_inset Formula $\sim_{F}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל סימן יחס n-מקומי 
\begin_inset Formula $R\in\mathcal{L}$
\end_inset

 .
 נאמר ש
\begin_inset Formula $[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 .
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל סימן פונקציה n-מקומי 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

נאמר ש
\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$
\end_inset

 .
 הערה: הנ"ל מוגדר היטב.
 כלומר אם 
\begin_inset Formula $[b]=[d]$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
 &  & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\
 & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כי 
\begin_inset Formula $[b]=[d]$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $b\sim_{F}d$
\end_inset

 וזאת בדיוק ההגדרה.
 
\end_layout

\begin_layout Theorem
יהיו 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

 נוסחה ו-
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 השמה ל
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

.
 אזי מתקיים 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
\end_inset

 אם ורק אם לכל השמות 
\begin_inset Formula $(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$
\end_inset

 )עם 
\begin_inset Formula $s_{\gamma}$
\end_inset

 השמה ל
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

( כך ש 
\begin_inset Formula $[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$
\end_inset

 מתקיים ש 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
באינדוקציה על יצירת הנוסחאות.
 נתחיל משמות עצם:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset

.
 לשם נוחות נקבע השמה 
\begin_inset Formula $s_{0}$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $[s_{0}]=s$
\end_inset

.
 כלומר לכל משתנה אישי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $[s_{0}(x)]=s(x)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 משתנה אישי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 : 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 פונקציה 
\begin_inset Formula $t=F(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
 & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\
 & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})]
\end{eqnarray*}

\end_inset

עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה אטומית 
\begin_inset Formula $R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$
\end_inset

 אז אם ורק אם 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\
 & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם 
\begin_inset Formula $[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le m$
\end_inset

.
 לכן, 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\
 &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 וזה מה שהיינו צריכים .
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
משפט
\family roman
\series bold
\shape up
\size larger
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Los
\family roman
\series bold
\shape up
\size larger
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
והוכחת קומפקטיות
\end_layout

\begin_layout Theorem

\bar under
משפט
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\noun default
\color inherit
\lang english
Los
\bar default
\lang hebrew
 תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 שפה לתחשיב הפסוקים, 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצה לא ריקה, לכל 
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset

 מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

 לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
 יהי 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על מסנן על 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 השמה עבור 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 נוסחה ב
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
 אזי 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$
\end_inset

אם ורק אם לכל השמה 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 המקיימת 
\begin_inset Formula $\bar{s}(x)=[s(x)]$
\end_inset

 מתקיים: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 )כאשר 
\begin_inset Formula $s(\gamma)(x)$
\end_inset

 זה הקואורדינטה ה
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 של 
\begin_inset Formula $s(x)$
\end_inset

(.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
תזכורת: כיצד מגדירין )"לכבוד פסח" - א.
 חסון, חג שמח( מבנה לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula ${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$
\end_inset

?
\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 פשוט לוקחים את 
\begin_inset Formula $[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור סימן יחס n-מקומי 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 נקבע ש-
\begin_inset Formula $\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$
\end_inset

 אם קיימים 
\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 כך ש 
\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור סימן פונקציה n-מקומי 
\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$
\end_inset

 אם קיימים 
\begin_inset Formula $b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 כך ש 
\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$
\end_inset

 כך ש 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תרגיל:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר 
\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}$
\end_inset

 היא אכן פונקציה.
 ז"א עבור 
\begin_inset Formula $\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$
\end_inset

 קיים 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 יחיד כך ש
\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Proof
ראשית נראה: אם 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 שם עצם ב
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\bar{s},s$
\end_inset

 השמות כבניסוח המשפט אז 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset

 באינדוקציה על יציאת 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 משתנה אישי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $t=F(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\
 & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
 & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\
 & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))]
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
הוכחנו עבור שמות עצם.
 כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה.
\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה אטומית 
\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 אם ורק אם קיימים נציגים ל-
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$
\end_inset

 נסמנם 
\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$
\end_inset

.
 את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את 
\begin_inset Formula $(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$
\end_inset

 בתור נציגים לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

.
 ז"א 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\
 &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 )וזה בדיוק מה שמשפט
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Los
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
אומר(.
\end_layout

\begin_layout Itemize
עבור 
\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 וזה מתקיים 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
אם ורק אם 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
המקרים של 
\begin_inset Formula $\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$
\end_inset

 דומים מאוד )משתמשים בתכונות של על מסנן(.
\end_layout

\begin_layout Itemize
נותר המקרה 
\begin_inset Formula $\varphi=\exists x\psi(x)$
\end_inset

 )המקרה של 
\begin_inset Formula $\forall x$
\end_inset

 נובע מהמקרה הנ"ל וממה שעבר עשינו ע"י השקילות הלוגית 
\begin_inset Formula $\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$
\end_inset

(.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
כיוון אחד: נניח כי 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$
\end_inset

 ז"א שקיים 
\begin_inset Formula $\bar{a}\in\mathcal{M}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$
\end_inset

.
 נוסיף לשפה קבוע אישי חדש 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 ונרשום 
\begin_inset Formula $\psi(c)$
\end_inset

 הנוסחה המתקבלת מ
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

ע"י החלפת של מופע חופשי של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 בנוסחה 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 .
 נרחב את 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

למבנה לשפה המועשרת ע"י כך שנגדיר 
\begin_inset Formula $c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$
\end_inset

.
 אזי 
\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$
\end_inset

.
 אז לפי הנחת האינדוקציה: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
 & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\
 & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F
\end{eqnarray*}

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
כיוון שני: נניח כי 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$
\end_inset

.
 נגדיר איבר 
\begin_inset Formula $a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
\end_inset

 באופן הבא: לכל 
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$
\end_inset

 אז נבחר 
\begin_inset Formula $a_{\gamma}$
\end_inset

 שמעיד על כך.
 אם 
\begin_inset Formula $(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$
\end_inset

 נבחר 
\begin_inset Formula $a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

 שרירותי.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $\bar{a}=[a]$
\end_inset

 .
 מההנחה שלנו 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\
 &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\
 &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x)
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Corollary
נניח ש
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 לא ריקה ו
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
\end_inset

מבנים לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על מסנן על 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

, אזי לכל פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Corollary

\bar under
משפט הקומפקטיות
\bar default
: תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצה פסוקים בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
 נניח שלכל 
\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 גם 
\begin_inset Formula $\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

 קיים מודל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
\end_inset

 אזי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה כלומר קיים 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
לכל 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

 נבחר מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$
\end_inset

 הקבוצה המקיימת קיים 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

כך ש: 
\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 מסנן על 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Proof
לכל 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

 מהנחתנו 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
\end_inset

 לכן 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not=\emptyset$
\end_inset

.
 ברור ש
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 סגורה כלפי מעלה.
 נניח ש
\begin_inset Formula $v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$
\end_inset

 אזי קיימים 
\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$
\end_inset

 וזה גורר.....
 
\begin_inset Formula $V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
יהי 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 על מסנן שמרחיב את 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 .
 לפי המסקנה מתקיים 
\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$
\end_inset

.
 אבל מהגדרת 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

 הקבוצה 
\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$
\end_inset

 ולכן ל-
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 מש"ל.
\end_layout

\begin_layout Section
עקביות
\end_layout

\begin_layout Theorem
תהי 
\begin_inset Formula $(P,\le)$
\end_inset

 קס"ח, אזי קיים יחס 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 )דו-מקומי( כך ש-
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 יחס סדר קווי
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $a,b\in P$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $a\le b$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $R(a,b)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
במילים אחרות, קיים סדר קווי 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 שמרחיב את 
\begin_inset Formula $\le$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Theorem

\bar under
הערה:
\bar default
 המשפט עבור קבוצה סופית 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 איננו קשה.
 ההוכחה באינדוקציה על 
\begin_inset Formula $|P|$
\end_inset

.
 עבור 
\begin_inset Formula $|P|=1$
\end_inset

 אין מה להוכיח.
 נניח שהוכחנו עבור כל 
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 עם 
\begin_inset Formula $|P|=n$
\end_inset

 ונוכיח עבור 
\begin_inset Formula $n+1$
\end_inset

: תהי 
\begin_inset Formula $(P,\le)$
\end_inset

 קס"ח עם 
\begin_inset Formula $n+1$
\end_inset

 איברים.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $P$
\end_inset

 סופית יש לה איבר מינימלי 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $Q=P\backslash\{a\}$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $(Q,\le)$
\end_inset

 קס"ח עם 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 סדר קווי על 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 שמרחיב את 
\begin_inset Formula $\le$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

.
 עתה לא קשה לבדוק שאם נגדיר 
\begin_inset Formula $R(a,b)$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $b\in Q$
\end_inset

 נקבל את המבוקש.
\end_layout

\begin_layout Proof
)מקרה כללי( תהי 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 שפה לתחשיב היחסים שבה:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $p\in P$
\end_inset

 יש קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c_{p}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
יחס דו מקומי 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
בלבד.

\bar default
 נגדיר קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $T_{P}$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 באופן הבא:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $c_{p}\not=c_{q}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $p\not=q\in P$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 יחס סדר קווי
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $p,q\in P$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $p\le q$
\end_inset

 אזי יהיה פסוק 
\begin_inset Formula $R(c_{p},c_{q})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $T_{P}$
\end_inset

 ספיקה )מקומית(.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש
\begin_inset Formula $T_{P}$
\end_inset

 ספיקה מקומית.
 תהי 
\begin_inset Formula $T_{0}\subseteq T_{P}$
\end_inset

 סופית.
 בה"כ האקסיומה )
\numeric on
2
\numeric off
( "
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 יחס סדרי קווי" שייכת ל
\begin_inset Formula $T_{0}$
\end_inset

.
 בנוסף נשים לב שב
\begin_inset Formula $T_{0}$
\end_inset

 מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: 
\begin_inset Formula $c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$
\end_inset

.
 נביט בקבוצה 
\begin_inset Formula $P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $(P_{0},\le)$
\end_inset

 קס"ח סופית.
 לכן לפי ההערה יש יחס 
\begin_inset Formula $R^{P_{0}}$
\end_inset

 שהוא סדר קווי על 
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

 המרחיב את 
\begin_inset Formula $\le$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

.
 ברור שאם נפרש את 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $P_{0}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $R^{P_{0}}$
\end_inset

 כנ"ל ו-
\begin_inset Formula $c_{p_{i}}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $p_{i}$
\end_inset

 אז נקבל מודל של 
\begin_inset Formula $T_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T_{P}$
\end_inset

, בפרט 
\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}$
\end_inset

 סדר קווי על 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

.
 יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\le\mathcal{M}$
\end_inset

 המבנה שעולמו הוא הקבועים של 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 )כלומר 
\begin_inset Formula $a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $p\in P$
\end_inset

(.
 נגדיר יחס סדר חלקי 
\begin_inset Formula $\le^{\mathcal{N}}$
\end_inset

על 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $p,q\in P$
\end_inset

 .
 אז 
\begin_inset Formula $(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$
\end_inset

 פשוט ע"י 
\begin_inset Formula $p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$
\end_inset

.
 לכן בה"כ 
\begin_inset Formula $(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$
\end_inset

.
 עתה 
\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$
\end_inset

 )צמצום( סדר קווי על 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}$
\end_inset

.
 )לפי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models(2)$
\end_inset

 מתקיים כי
\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}$
\end_inset

 סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי(.
 כיוון ש-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models(3)$
\end_inset

 אז אם 
\begin_inset Formula $p\le q$
\end_inset

 אזי 
\begin_inset Formula $p(c_{p},c_{q})$
\end_inset

 היא אקסיומה ב)
\numeric on
3
\numeric off
( ולכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Theorem
תהי 
\begin_inset Formula $L=\{G\}$
\end_inset

 עבור יחס דו מקומי 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $T_{G}$
\end_inset

 התורה שאומרת כי העולם הוא גרף.
 אזי אין פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 גרף קשיר.
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח בשלילה שיש פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 כזה.
 נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים 
\begin_inset Formula $c_{1},c_{2}$
\end_inset

.
 יהי 
\begin_inset Formula $\varphi_{n}$
\end_inset

 הפסור שאומר שאין מסילה באורך קטן מ
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 בין 
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $c_{2}$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})]
\]

\end_inset

 נשים לב ש
\begin_inset Formula $\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
\end_inset

 עיקבית מקומית.
 אם 
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}$
\end_inset

 קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה הנ"ל יש 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 מירבי כך ש
\begin_inset Formula $\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$
\end_inset

.
 ברור שאם נמצא 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$
\end_inset

.
 אבל ברור שלכל 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 יש גרך המקיים את 
\begin_inset Formula $\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$
\end_inset

 )פחות מ
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 קודקודים, בפרט אין מסילה מ
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

ל
\begin_inset Formula $c_{2}$
\end_inset

(.
 ולכן 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ספיקה סופית.
 לפי קומפקטיות 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 עקבית.
 אבל זה לא ייתכן: אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

 ולכן בין 
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $c_{2}$
\end_inset

 יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 מצד שני 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{n}$
\end_inset

 ולכן אין מסילה באורך 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 בין 
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $c_{2}$
\end_inset

 וזוהי סתירה להנחת השלילה.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
הערה:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 בשפה 
\begin_inset Formula $L=\{\le\}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\{\le\}$
\end_inset

 סדר טוב )כלומר 
\begin_inset Formula $\le$
\end_inset

 סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת(.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 גרף קשיר/
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 סדור היטב )סדר טוב(.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תזכורת:
\end_layout

\begin_layout Standard
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת פסוקים אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
\end_inset

 אם לכל מבנה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

: אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Corollary
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
\end_inset

 אז קיימת קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
\end_inset

 סופית כך ש
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נביט בקבוצה 
\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\neg\psi\}$
\end_inset

 .
 מהנחתנו קבוצה זו איננה ספיקה.
 מקומפקטיות יש 
\begin_inset Formula $\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$
\end_inset

 סופית כך ש
\begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
\end_inset

 איננה ספיקה.
 ברור ש
\begin_inset Formula $\neg\psi\in\Gamma_{1}$
\end_inset

 כי אחרת 
\begin_inset Formula $\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 עקבית.
 )אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 איננה עקבית מקומפקטיות יש 
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
\end_inset

 שאינה ספיקה ו
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\varphi$
\end_inset

 לכל פסוק 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

(.
 לכן 
\begin_inset Formula $\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$
\end_inset

 סופית ומקיימת 
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
\end_inset

 )כי אחרת יש מודל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\not\models\psi$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\neg\psi$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$
\end_inset

 בסתירה לבחירת 
\begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
\end_inset

(.
 במילים אחרות ליחס 
\begin_inset Formula $\models$
\end_inset

 יש טבע סופי.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
שאלה מרכזית
\bar default
: בהינתן שפה 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 וקבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ב
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 כלשהו האם 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
\end_inset

? בתור התחלה נשים לב שאם 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

 אז בוודאי 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
\end_inset

.
 ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם 
\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
\end_inset

? נניח שהגדרנו מתי קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה מתי פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 שייך ל
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

.
 נניח ש
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת פסוקים חשיבה ונניח ש
\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$
\end_inset

.
 נניח ש
\begin_inset Formula $\psi_{1}\in\Gamma$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{2}$
\end_inset

.
 באופן כללי יותר אם הראנו למשל 
\begin_inset Formula $\psi_{1}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
\end_inset

 נגררים לוגית ע"י 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 אז ניתן להראות 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{2}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
מערכות היסק ויכיחות
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
בעיה מרכזית:
\bar default
 נתונה קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ורוצים לדעת עבור פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 האם 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
מקרה פרטי: 
\begin_inset Formula $\Gamma=\emptyset$
\end_inset

, כלומר רוצים לדעת האם פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 אמיתי לוגית או לא.
 המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי.
 מדוע? בהינתן קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 כלשהו, אם 
\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
\end_inset

 אז יש 
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
\end_inset

 סופית כך ש
\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
\end_inset

 )משפט הקומפקטיות( ולכן 
\begin_inset Formula $({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$
\end_inset

 אמיתי לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
שאלה
\bar default
: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית?
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית אז 
\begin_inset Formula $\forall x\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
 אפשר לרשום גם: 
\begin_inset Formula $\varphi\rightarrow\forall x\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $\forall x\varphi(x)$
\end_inset

 אמיתי לוגית אז 
\begin_inset Formula $\varphi(t)$
\end_inset

 אמיתי לוגית לכל שם עצם 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 אפשר לרשום גם: 
\begin_inset Formula $\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\series bold
אם 
\begin_inset Formula $\varphi\rightarrow\psi$
\end_inset

 אמיתי לוגית ו
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית אז 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
 
\series default
)בכל מערכות ההיסק שנעבוד איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד.
 זה נקרא 
\bar under
כלל הניתוק
\bar default
 או
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Modus Poneus
\lang hebrew
(
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
סימון:
\bar default
 בהינתן שפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 מסדר ראשון נסמן 
\begin_inset Formula $Def(\mathcal{L})$
\end_inset

 אוסף הנוסחאות בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition
מערכת היסק )לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

( זה זוג סדור 
\begin_inset Formula $\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $
\end_inset

כאשר: 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$
\end_inset

 )אולי ריקה( שנקראת קבוצת האקסיומות הלוגיות
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula ${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $F_{n}$
\end_inset

 זה אוסף הפונקציות 
\begin_inset Formula $f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{I}$
\end_inset

 נקראת אוסף כללי ההיסק.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
הערה:
\bar default
 תמיד נדרוש כי:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $\varphi\in\mathcal{A}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
 במקרה זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות 
\bar under
תקפות
\bar default
.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $f\in\mathcal{I}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$
\end_inset

.
 במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק 
\bar under
נאותים
\bar default
.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
סימון
\bar default
: אם נרצה לומר ש
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

מתקבל מ
\begin_inset Formula $\psi_{1},...,\psi_{n}$
\end_inset

 על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום 
\begin_inset Formula $\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$
\end_inset

 ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
בהינתן מערכת היסק 
\begin_inset Formula $\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $
\end_inset

 וקבוצת נוסחאות 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 נאמר שנוסחה 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 
\series bold
יכיחה
\series default
 )כלומר, ניתנת להוכחה( מ
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 ,ונסמן 
\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
\end_inset

, אם קיימת סדרת נוסחאות 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\psi=\varphi_{k}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le k$
\end_inset

 או:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 אקסיומה לוגית.
 או:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in\Gamma$
\end_inset

.
 או:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע"י אחד מכללי ההיסק.
 במקרה שלנו יש 
\begin_inset Formula $j_{1},j_{2}<i$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 מתקבל מ-
\begin_inset Formula $\varphi_{j_{1}}$
\end_inset

ו-
\begin_inset Formula $\varphi_{j_{2}}$
\end_inset

 ע"י כלל הניתוק.
\end_layout

\begin_layout Standard
הסדרה 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
\end_inset

 המקיימת את התנאים הנ"ל נקראת הוכחה של 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\bar under
שאלה:
\bar default
 האם קיימת מערכת היסק 
\bar under
חשיבה
\bar default
 )כלומר שבה אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות
 קודמות ע"י אחד מכללי ההיסק( כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה )מ-
\begin_inset Formula $\emptyset$
\end_inset

(.
\end_layout

\begin_layout Standard
מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל הטאוטולוגיות
 כאקסיומות לוגיות )אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות(.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
תהי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 תורה )קבוצת פסוקים ספיקה( כלשהי ו
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 נוסחה כך ש-
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 אזי 
\begin_inset Formula $T\cup\{\psi\}$
\end_inset

 ספיקה.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T$
\end_inset

 נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ש-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

.
 אם ל-
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 הוכחה באורך
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
אז או ש-
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 אקסיומה לוגית ולכן אמיתי לוגית ולכן מסופק ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

, או ש-
\begin_inset Formula $\psi\in T$
\end_inset

 ובוודאי ש-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

 )כי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T$
\end_inset

(.
 נניח ש-
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
\end_inset

 הוכחה של 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ואפשר להניח ב.ה.כ ש-
\begin_inset Formula $\psi=\varphi_{k}$
\end_inset

 מתקבל מאיזה 
\begin_inset Formula $\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$
\end_inset

 עם 
\begin_inset Formula $j_{1},j_{2}<k$
\end_inset

 ע"י כלל הניתוק.
 לפי הנחת האינדוקציה 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$
\end_inset

.
 מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט 
\begin_inset Formula $\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Theorem

\bar under
משפט ההיסק: 
\bar default
תהי 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 קבוצת נוסחאות ו-
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 נוסחה כלשהי, אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$
\end_inset

 )
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 נוסחה(.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
)ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט(.
\end_layout

\begin_layout Definition
קבוצת נוסחאות 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה.
 )סתירה היא המקבילה של טאוטולוגיה - כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה
 של תחשיב הפסוקים(.
\end_layout

\begin_layout Remarks
אם 
\begin_inset Formula $\Gamma$
\end_inset

 אינה עקבית אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
\end_inset

 לכל נוסחה 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
מהנחתנו 
\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\sigma$
\end_inset

 לאיזו סתירה 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $\Gamma\rightarrow\psi$
\end_inset

 היא טאוטולוגיה )
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מתקבלת ע"י הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בפסוק 
\begin_inset Formula $\Sigma(P_{1},...,P_{n})$
\end_inset

 של תחשיב הפסוקים ו-
\begin_inset Formula $\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$
\end_inset

 היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים(.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\sigma$
\end_inset

 מכלל הניתוק 
\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
)ממשפט ההיסק( לכל תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ולכל נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 או ש-
\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}$
\end_inset

 עקבית או ש-
\begin_inset Formula $T\cup{\neg\varphi}$
\end_inset

 עקבית.
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח ש-
\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T\cup{\neg\varphi}$
\end_inset

 שתיהן אינן עקביות.
 לפי ההערה יש סתירה 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}\vdash\sigma$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$
\end_inset

 .
 לפי משפט ההיסק 
\begin_inset Formula $T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$
\end_inset

 .
 אבל: 
\begin_inset Formula $(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$
\end_inset

 זו טאוטולוגיה.
 שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
 בסתירה להנחה ש-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ספיקה ולטענה הקודמת.
\end_layout

\begin_layout Corollary
לכל תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 יש קבוצת פסוקים 
\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}$
\end_inset

 כך שלכל פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T^{\prime}\vdash\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T^{\prime}\vdash\neg\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 המקיימת לכל פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
\end_inset

 נקראת 
\bar under
שלמה
\bar default
.
\end_layout

\begin_layout Proof
)של המסקנה( תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{T}$
\end_inset

 אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות את 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ביחס לסדר ההכלה.
 קל לבדוק שאם 
\begin_inset Formula $\{T_{i}\}$
\end_inset

 שרשרת עולה של תורות ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{T}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$
\end_inset

.
 למה? קומפקטיות )צריך לנמק(.
 לכן לפי הלמה של צורן יש 
\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$
\end_inset

 מירבית.
 לפי המסקנה הקודמת 
\begin_inset Formula $T^{\prime}$
\end_inset

 עונה על הדרישות.
\end_layout

\begin_layout Section
מערכות היסק - המשך
\end_layout

\begin_layout Definition
קבוצת פסוקים עקבית 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 היא 
\series bold
שלמה
\series default
 אם לכל פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 או ש-
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 או ש-
\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition
ראינו שאם 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שלמה.
\end_layout

\begin_layout Claim
לכל קבוצת פסוקים עקבית 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 יש קבוצת פסוקים שלמה 
\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
הלמה של צורן.
 כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם 
\begin_inset Formula $\{T_{i}\}$
\end_inset

 שרשרת )ביחס להכלה( של קבוצות פסוקים עקביות אז גם 
\begin_inset Formula $\tilde{T}=\bigcup T_{i}$
\end_inset

 עיקבית.
 מדוע? אם 
\begin_inset Formula $\tilde{T}\vdash\sigma$
\end_inset

 לאיזו סתירה 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 אז יש סדרה 
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$
\end_inset

 שהיא הוכחה של 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $\tilde{T}$
\end_inset

.
 כל 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 הוא או אקסיומה לוגית או שייך לאיזה 
\begin_inset Formula $T_{j_{i}}$
\end_inset

 או נובע מאיברים קודמים בסדרה ע"י כלל הניתוק.
 קיים 
\begin_inset Formula $j$
\end_inset

 מירבי כך שלכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 כנ"ל או 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 אקסיומה לוגית או 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in T_{j}$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 מתקבל מכלל הניתוק.
 ז"א ש
\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
\end_inset

 הוכחה של 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מתוך 
\begin_inset Formula $T_{j}$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $T_{j}$
\end_inset

 עקבית - סתירה.
\end_layout

\begin_layout Theorem
קיימת מערכת היסק )שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד( וכך שמערכת ההיסק "חשיבה"
 ומתקיים ש
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עקבית אם ורק אם 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ספיקה.
\end_layout

\begin_layout Corollary
]משפט השלמות[ נקבע מערכת היסק כנ"ל.
 תהי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 קבוצת פסוקים עקבית, 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 פסוק כלשהו אזי 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $T\models\psi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
אם 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 הראנו ש
\begin_inset Formula $T\models\psi$
\end_inset

 )שיעור שעבר(.
 בכיוון השני, אם 
\begin_inset Formula $T\models\psi$
\end_inset

 אבל 
\begin_inset Formula $T\not\vdash\psi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T\cup{\neg\psi}$
\end_inset

 עקבית.
 לפי המשפט יש 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$
\end_inset

 בסתירה להנחה.
\end_layout

\begin_layout Remarks
המשפט הנ"ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק "חשיבה" כך שלכל 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית מתקיים 
\begin_inset Formula $\emptyset\vdash\varphi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח את המשפט ונוכיח את הטענה.
 
\begin_inset Formula $\emptyset\models\varphi$
\end_inset

מתקיים כי 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 אמיתי לוגית ומן המסקנה 
\begin_inset Formula $\emptyset\vdash\varphi$
\end_inset

.
 בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט.
 תהי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 תורה עקבית.
 עלינו להראות )בעזרת הטענה( של
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 יש מודל.
 נניח שלא.
 ז"א מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית 
\begin_inset Formula $T_{0}\subseteq T$
\end_inset

 שאין לה מודל.
 יהי 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

שיקרי לוגית.
 אז 
\begin_inset Formula $\neg\psi$
\end_inset

 אמיתי לוגית.
 אז 
\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 איננה עקבית.
\end_layout

\begin_layout Remarks
ממשפט השלמות נובע ש
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שלמה אם ורק אם 
\begin_inset Formula $T\models\varphi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T\models\neg\varphi$
\end_inset

 לכל פסוק 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
דוגמאות לתורות שלמות:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 מבנה כלשהו לשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
 התורה של 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 היא 
\begin_inset Formula $Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$
\end_inset

.
 מהגדרת האמת, אם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\not\models\varphi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\neg\varphi$
\end_inset

.
 כלומר 
\begin_inset Formula $\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$
\end_inset

 ואז 
\begin_inset Formula $\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Theorem
)לוונהיים-סקולם היורד(: יהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

 מבנה אינסופי לשפה )בת מניה( 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $A\subseteq M$
\end_inset

 )בעולם של 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
\end_inset

( אזי קיים 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$
\end_inset

 וכך ש-
\begin_inset Formula $|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
נניח ש
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 תורה בשפה בת מניה ול
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם בעוצמה 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

.
 אזי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שלמה )סוג של קריטריון
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Vaught
\lang hebrew
(.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח שלא.
 אזי יש פסוק 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $T_{1}=T\cup{\varphi}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$
\end_inset

 עקביות.
 אזי קיימים 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$
\end_inset

.
 מהמשפט אנחנו יודעים )נשתמש ב
\begin_inset Formula $\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$
\end_inset

( שיש 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$
\end_inset

כך ש
\begin_inset Formula $\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$
\end_inset

עבור 
\begin_inset Formula $i=1,2$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}\models T$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$
\end_inset

)זאת ההנחה(.
 לפי משפט האיזומורפיזם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$
\end_inset

 אבל 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$
\end_inset

 - סתירה.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
תהי 
\begin_inset Formula $T_{\approx}$
\end_inset

 התורה בשפה הריקה )ז"א שוויון בלבד( שאומרת שהעולם אינסופי.
 זו תורה שלמה.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}=\{\le\}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $DLO$
\end_inset

 היא התורה של סדר קווי צפוף ללא קצוות.
 אז 
\begin_inset Formula $DLO$
\end_inset

 תורה שלמה.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
הגרף המקרי )שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
שאלה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
( הוא קטגורי ב
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 )כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 איזומורפי לו( לפי תרגיל
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
שאלה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
5
\numeric off
.
 
\end_layout

\begin_layout Section
מכונות טיורינג
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תזכורת:
\end_layout

\begin_layout Itemize
תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שלמה אם לכל פסוק 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 קטגורית ב
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 )כלומר, יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם שעוצמתו 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

( ול-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 אין מודלים סופיים אז 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שלמה.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 - מחלקת הפונקציות החשיבות:
\end_layout

\begin_layout Itemize
פונקציות חלקיות )דטרמיניסטיות(
\end_layout

\begin_layout Itemize
ניתנות לתיאור סופי
\end_layout

\begin_layout Itemize
הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים
\end_layout

\begin_layout Itemize
חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית
\end_layout

\begin_layout Itemize
כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות - "זיכרון"
\end_layout

\begin_layout Itemize
זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד של הזכרון
\end_layout

\begin_layout Itemize
בכל שלב של החישוב "כמות סופית של אינפורמציה" - מספיקה כדי לתאר את "מצב החישוב"
\end_layout

\begin_layout Definition
יהיו 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 א"ב סופי עם תו מיוחד 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

, ו-
\begin_inset Formula $Q$
\end_inset

 קבוצה סופית )זרה ל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

( שנקרא לה "קבוצת המצבים הפנימיים" עם מצב התחלתי 
\begin_inset Formula $q_{0}$
\end_inset

.
 
\series bold
פקודה
\series default
 זו רביעייה 
\begin_inset Formula $\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $r\in S$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q,q^{\prime}\in Q$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}\cup S$
\end_inset

.
 
\series bold
מכונת טיורינג
\series default
 זו רביעיה 
\begin_inset Formula $M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות.
 )הערה: 
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 חסרת סתירות אם 
\begin_inset Formula $rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $y=x$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $q^{\prime}=q^{\prime\prime}$
\end_inset

.(
\end_layout

\begin_layout Standard
נחשוב בצורה גרפית על מ"ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים.
 בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא"ב כאשר על 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 נחשוב כעל תו המייצג תא ריק.
 למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים.
 הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא.
 לפי המצב הפנימי של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה
 תא אחד או לכתוב תו אחר בא"ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש.
 על פקודה נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 והמצב הפנימי הוא 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 אז אם 
\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}$
\end_inset

 זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי 
\begin_inset Formula $q^{\prime}$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $x\in S$
\end_inset

 כתוב בתא הנוכחי 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 ועבור למצב פנימי 
\begin_inset Formula $q^{\prime}$
\end_inset

.
 לומר ש
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 היא סדרת פקודות חסרת סתירה זה פשוט לומר ש
\begin_inset Formula $I$
\end_inset

 היא פונקציה חלקית: 
\begin_inset Formula $S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate

\series bold
מצב
\series default
 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 של מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שו שלשה 
\begin_inset Formula $(n,q,h)$
\end_inset

 כאשר:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
\end_inset

 מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $q\in Q$
\end_inset

 המצב הפנימי של המכונה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $h:\mathbb{Z}\rightarrow S$
\end_inset

 פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של הסרט.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
בהינתן מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ומצב 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 של המכונה נגדיר את 
\series bold
המצב העוקב
\series default
 ל
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 לפי המכונה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 להיות 
\begin_inset Formula $m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$
\end_inset

 כאשר:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $m=(n,q,h)$
\end_inset

 ויש פקודה 
\begin_inset Formula $rqxq^{\prime}\in I$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $r=h(n)$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 הוא אותו מצב פנימי
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם )א( מתקיים אז 
\begin_inset Formula $n^{*}=\begin{cases}
n & x\in S\\
n+1 & x=R\\
n-1 & x=L
\end{cases}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם )א( מתקיים אז 
\begin_inset Formula $q^{*}=q^{\prime}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם )א( מתקיים אז 
\begin_inset Formula $h^{*}(m)=\begin{cases}
h(m) & m\not=n\\
y & m=n
\end{cases}$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $y=h(n)$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $y=x$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $x\in S$
\end_inset

 .
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate

\series bold
ריצה
\series default
 של מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 זו סדרה של מצבים 
\begin_inset Formula $m_{0},m_{1},m_{2},...$
\end_inset

 המקיימת:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$
\end_inset

 לאיזו 
\begin_inset Formula $h^{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $i>0$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
ריצה של מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 נקראת 
\series bold
סופית
\series default
 )או מסתיימת( אם היא מהצורה 
\begin_inset Formula $m_{0},m_{1},...,m_{n}$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $M_{n}^{(T)}$
\end_inset

 אינו מוגדר.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Definition
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Definition
בהינתן מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ומספר טבעי 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 נגדיר פונקציה )חלקית( 
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 באופן הבא: 
\begin_inset Formula $n=0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q=q_{0}$
\end_inset

 , והסרט נראה כך: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB...
\end{eqnarray*}

\end_inset

מתקיים 
\begin_inset Formula $m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

 אם ריצה של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עם המצב ההתחלתי הנ"ח מסתיימת )אחרת לא מוגדר( ו-
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 היא מספר האחדות על הסרט בתום הריצה.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition
פונקציה 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 נקראת 
\series bold
חשיבה ע"י מ"ט 
\series default
אם קיימת מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=f$
\end_inset

, כלומר 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 מוגדרת בדיוק באותו התחום בו 
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
\end_inset

 מוגדרת ובכל מקום שהן מוגדרות 
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Section
מכונות טיורינג - המשך
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 פונקציה 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 נקראת 
\series bold
חשיבה
\series default
 )ע"י מכונת טיורינג( אם קיימת מכונה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$
\end_inset

 הריצה של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 על סרט מהצורה 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB...
\end{eqnarray*}

\end_inset

 מסתיימת אם ורק אם 
\begin_inset Formula $f(n_{1},...,n_{k})$
\end_inset

 מוגדר ובמקרה זה מספר האחדות על הסרט בתום הריצה הוא 
\begin_inset Formula $f(n_{1},...,n_{k})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition

\bar under
תזכורת
\bar default
: סימנו, בהינתן מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 את הפונקציה 
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
\end_inset

 להיות הפונקציה שעבור קלט כנ"ל מחזירה את מספר האחדות בריצה סופית של המכונה
 )על הקלט(.
\end_layout

\begin_layout Claim
לכל מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 יש מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 כך ש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
בא"ב של 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 יש שני תווים מיוחדים 
\begin_inset Formula $S,E$
\end_inset

 כך שבכל ריצה מסתיימת של 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 )על קלט תקני( הסרט לאחר הריצה נראה כך: 
\begin_inset Formula $...BBS111...1EBB...$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן ב
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 שמאלה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
פרט ל
\begin_inset Formula $S,E$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 יש רק את התווים 
\begin_inset Formula $\{1,B\}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל מצב פנימי 
\begin_inset Formula $q\in Q(T)$
\end_inset

 יהיה במכונה 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 מצב פנימי 
\begin_inset Formula $q^{*}$
\end_inset

.
 כל פקודה 
\begin_inset Formula $rqxq^{\prime}\in I(T)$
\end_inset

 נחליף בפקודה 
\begin_inset Formula $rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$
\end_inset

.
 נוסיף ל
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 את הפקודות הבאות:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
כותב 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 משמאל לקלט וחוזר ימינה
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{0}Lq_{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1q_{0}Lq_{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{1}Sq_{2}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{2}Lq_{3}$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 וחוזר להתחלה
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{3}Rq_{4}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{4}Lq_{5}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{5}Eq_{r}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $*q_{r}Lq_{r}$
\end_inset

 )
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 זה או 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

(
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Sq_{r}Rq_{0}^{*}$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
שלב הסריקה
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1q_{3}Rq_{3}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1q_{4}Rq_{3}$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Standard
נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת ב
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 או ב
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 בשלב הריצה.
 נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי 
\begin_inset Formula $q^{*}$
\end_inset

 נוסיף פקודות:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
באופן אנלוגי מטפלים ב
\begin_inset Formula $E$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות.
 נניח שכל ריצה מסתיימת של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 מסתיימת במצב פנימי 
\begin_inset Formula $\hat{q}$
\end_inset

 )שאינו מופיע במהלך הריצה של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

(.
 נוסיף פקודות:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $*\hat{q}R\hat{q}$
\end_inset

 )כאשר 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 הינו כל תו שאינו 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

(
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $E\hat{q}Bq_{w}$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{w}Lq_{w}^{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $*q_{w}^{1}E\hat{q}$
\end_inset

 )כאשר 
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 הינו כל תו שאינו
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 ואינו 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

(
\end_layout

\begin_layout Itemize
נטפל במקרה שראינו 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

אחרי שמחקנו את 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$
\end_inset

 - מצב סופי
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize
וגם:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $*q_{w}^{d}1\hat{q}$
\end_inset

 )כאשר
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

- כל תו שאינו 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

(
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$
\end_inset

 
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 כל פעם שהמכונה פוגשת 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 היא תיכנס ל"תת מכונה" שמזיזה את כל הסרט שעד 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 ימינה בתו אחד, כותבת 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 במקום הראשון שמימין ל-
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 וחוזרת לריצה של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
 הדבר היחיד שצריך להשתכנע: יש מכונה 
\begin_inset Formula $Sh$
\end_inset

 שבהינתן קלט מן הצורה 
\begin_inset Formula $...BBS...EBBB...$
\end_inset

 מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה.
 נוסיף לא"ב שלנו תו מיוחד 
\begin_inset Formula $B^{*}$
\end_inset

 , המכונה תרוץ באופן הבא:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
תסרוק עד שתגיע ל
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל תו 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 בא"ב המקורי )כלומר שאינו 
\begin_inset Formula $B^{*}$
\end_inset

( יהיה מצב פנימי 
\begin_inset Formula $q_{\alpha}$
\end_inset

.
 סדרת הפקודות:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
מעתיקה את התו 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 תו אחד מימין למקומו המקורי.
 צריך טיפול נפרד בתווים 
\begin_inset Formula $S,E$
\end_inset

 אבל אין בעיה.
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Enumerate
אם בא"ב שלנו יש 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 תווים נבנה מכונה 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 שבה התו ה-
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 בא"ב של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ייוצג ע"י 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-יה של תאים 
\begin_inset Formula $\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$
\end_inset

 .
 קל לבדוק שכל פקודה מהצורה "זוז ימינה" או "זוז שמאלה" ב
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ניתן לתרגם בקלות לפקודה "זוז 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 תווים ימינה/שמאלה" ב
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

.
 פקודה מהצורה "כתוב את התו ה
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 בא"ב בתא הנוכחי" תתרגם לסדרה של 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 פקודות כתיבה "כתוב במקום ה
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-יה שאתה נמצא בתחילתה את ה
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-יה 
\begin_inset Formula $\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$
\end_inset

.
 כנ"ל לגבי הקריאה.
 לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 בא"ב של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$
\end_inset

אז 
\begin_inset Formula $f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
התנאים
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2,3,4
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
.
 לפי
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות לחישוב ע"י מכונת טיורינג
 הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה.
 בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך הריצה.
 עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל-
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Claim
נניח ש-
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 חשיבות טיורינג אז גם 
\begin_inset Formula $f\circ g$
\end_inset

 חשיבה טיורינג.
\end_layout

\begin_layout Proof
תהינה 
\begin_inset Formula $T_{f},T_{g}$
\end_inset

 מכונות כך ש
\begin_inset Formula $f_{T_{f}}^{\prime}=f$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $g_{T_{g}}^{\prime}=g$
\end_inset

 .
 לכל מצב פנימי של 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 במכונה החדשה יהיה מצב פנימי 
\begin_inset Formula $q^{*}$
\end_inset

.
 אז המכונה של ההרכבה תהיה:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
רשימת הפקודות של 
\begin_inset Formula $T_{g}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
מוחקים את 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

, וכותבים במקומו 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, מוחקים את 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

, חוזר להתחלה ועובר למצב פנימי 
\begin_inset Formula $q_{0}^{*}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
רשימת הפקודות של 
\begin_inset Formula $T_{f}$
\end_inset

 עם השינוי שכל פקודה מהצורה 
\begin_inset Formula $*q\star q_{1}$
\end_inset

 משתנה לפקודה מהצורה 
\begin_inset Formula $*q^{*}\star q_{1}^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור "מיזער": 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases}
a & (*)\\
undefined & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כאשר * הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא....
\end_layout

\begin_layout Section
פונקציות חשיבות
\end_layout

\begin_layout Standard
ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 - הפונקציה הקבועה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 - הפונקציה הקבועה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $x+y$
\end_inset

 - חיבור
\end_layout

\begin_layout Itemize
קל לוודא ש
\begin_inset Formula $\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $k<n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 חשיבה טיורינג )לכל 
\begin_inset Formula $k,n$
\end_inset

( 
\end_layout

\begin_layout Itemize
מה לגבי 
\begin_inset Formula $x\cdot y$
\end_inset

? קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 מעתיקה את 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 בסוף הקלט.
 גם כפל פונקציה חשיבה - תרגיל קל.
\end_layout

\begin_layout Itemize
מה לגבי הפונקציה 
\begin_inset Formula $C_{<}(x,y)=\begin{cases}
1 & x<y\\
0 & else
\end{cases}$
\end_inset

? גם הפונקציה הזו חשיבה )מוחקים כל פעם תו מתחילת 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 ומסוף 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

...(
\end_layout

\begin_layout Itemize
ראינו גם: אם 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$
\end_inset

 חשיבות טיורינג אז גם 
\begin_inset Formula $f\circ g$
\end_inset

 חשיבה טיורינג.
\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 חשיבה טיורינג אם 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k}))
\end{eqnarray*}

\end_inset

 וכל אחת מהפונקציות 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $1\le i\le m$
\end_inset

 חשיבה טיורינג.
\end_layout

\begin_layout Definition
ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל הפונקציות
 המתקבלות מן הרשימה הנ"ל על ידי מספר סופי של הרכבות הן פונקציות שלמות.
 כלומר מוגדרות על כל 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{k}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 מתאים.
 לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות, למשל: 
\begin_inset Formula $1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$
\end_inset

 )מכונה שלא עוצרת על חלק מהקלטים - על 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 במקרה הזה(.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
תהי 
\begin_inset Formula $g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 פונקציה כלשהי.
 נגדיר 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases}
t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\
 & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\
undefined & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 אזי אם 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 חשיבה טיורינג גם 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 חשיבה טיורינג.
 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 נקרא אופרטור ה"מיזער".
\end_layout

\begin_layout Proof
)רעיון( תהי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 מכונת טיורינג המחשבת את 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 )כלומר 
\begin_inset Formula $f_{T}^{k}=g$
\end_inset

(.
 "מטה רעיון" - נריץ את 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 על הקלט 
\begin_inset Formula $0,x_{2},...,x_{k}$
\end_inset

.
 אם המכונה לא עוצרת זה אומר ש
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 לא מוגדרת ב
\begin_inset Formula $(0,x_{2},...,x_{k})$
\end_inset

 ולכן גם 
\begin_inset Formula $h(x_{2},...,x_{k})$
\end_inset

 לא מוגדרת כנדרש.
 אם הריצה מסתיימת נבדוק האם היא הסתיימה ב
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

.
 אם כן, נחזיר 
\begin_inset Formula $0$
\end_inset

 ואז 
\begin_inset Formula $h(0,x_{2},...,x_{k})=0$
\end_inset

 כנדרש.
 אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט 
\begin_inset Formula $1,x_{2},...,x_{k}$
\end_inset

 וכו'.
 אם המכונה הנ"ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 עבורו 
\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})=0$
\end_inset

, בפרט 
\begin_inset Formula $g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$
\end_inset

 מוגדרת לכל 
\begin_inset Formula $t^{\prime}<t$
\end_inset

.
 מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד מהבאים מתקיים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
קיים 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})$
\end_inset

 לא מוגדר ו
\begin_inset Formula $g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $t^{\prime}<t$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
הסעיף הקודם לא מתקיים ו
\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})>0$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

.
 ואילו במקומות בהם 
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון.
\end_layout

\begin_layout Standard
ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא.
 המכונה מסמנת את סוף הקלט ב
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 בשלב הראשון המכונה 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 תעתיק את הקלט 
\begin_inset Formula $x_{2},...,x_{k}$
\end_inset

 מימין ל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ותוסיף 
\begin_inset Formula $1B$
\end_inset

 בהתחלה.
 בשלב הבא 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 תחקה את הריצה של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $0,x_{2},...,x_{k}$
\end_inset

 כאשר היא מקפידה )וזה הרי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עושה ממילא( לא לזוז משמאל ל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

.
 אם השלב הזה בריצה הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין ל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 יהיה כתוב 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 )כי כך 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עובדת(.
 אם בין 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 לא מופיע התו 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

, אז 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 תחזור עד להתחלת הקלט של 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

 )משמאל ל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

( תמחק את כל הקלט ותעצור.
 אם בין 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 מופיע התו 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 המכונה תחזור לתחילת הקלט של 
\begin_inset Formula $T^{*}$
\end_inset

, תכתוב 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 לפני ה
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 הראשון ותתחיל מההתחלה.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Definition
פונקציה 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 תיקרא חשיבה/רקורסיבית אם היא מתקבלת מן הפונקציות 
\begin_inset Formula $\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$
\end_inset

 על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור 
\begin_inset Formula $\mu_{x}$
\end_inset

.
 במילים אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות
 מ
\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{k}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 שמכיל/ה את הפונקציות הנ"ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור 
\begin_inset Formula $\mu_{x}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Theorem
פונקציה 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 חשיבה אם ורק אם היא חשיבה טיורינג.
\end_layout

\begin_layout Theorem
הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג.
 
\bar under
תרגיל:
\bar default
 הפונקציה 
\begin_inset Formula $n\mapsto n!$
\end_inset

 היא חשיבה טיורינג.
 הוכח שהפונקציה חשיבה.
 שאלה כמעט זהה: מדוע הפונקציה 
\begin_inset Formula $f(m)=\begin{cases}
n & m=2^{n}\\
0 & m=1\, or\, else
\end{cases}$
\end_inset

 חשיבה?
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 אזי 
\begin_inset Formula $\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 זו הפונקציה המוגדרת על ידי 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\chi_{A}(x) & = & \begin{cases}
1 & x\in A\\
0 & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\chi_{A}$
\end_inset

 נקראת 
\series bold
הפונקציה המציינת
\series default
 של 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Definition
יחס 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{m}$
\end_inset

 נקרא 
\series bold
חשיב
\series default
 אם 
\begin_inset Formula $\chi_{A}$
\end_inset

 פונקציה חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Claim
משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים, חיתוכים
 והשלמה.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 חשיבה אז 
\begin_inset Formula $\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $A,B$
\end_inset

 חשיבות אז 
\begin_inset Formula $\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$
\end_inset

 או לפי דה-מורגן.
\end_layout

\begin_layout Standard
יוצא, למשל, כי היחס 
\begin_inset Formula $A(x,y)=(x\le y)$
\end_inset

 חשיב.
 זה פשוט איחוד היחסים החשיבים 
\begin_inset Formula $C_{<}(x,y)$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $x=y$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
)הגדרה לפי מקרים(: תהיינה 
\begin_inset Formula $f_{1},...,f_{n}$
\end_inset

 פונקציות חשיבות 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

-מקומיות, ו-
\begin_inset Formula $A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$
\end_inset

 זרות וחשיבות, כך ש
\begin_inset Formula $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$
\end_inset

.
 אזי הפונקציה 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f(x) & = & \begin{cases}
f_{1}(x) & x\in A_{1}\\
\vdots & \vdots\\
f_{n}(x) & x\in A_{n}
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 חשיבה.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$
\end_inset

 וזו פונקציה חשיבה כי 
\begin_inset Formula $\chi_{A_{i}}$
\end_inset

 חשיבות, 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 חשיבות והחיבור והכפל חשיבים.
\end_layout

\begin_layout Section
פונקציות חשיבות - המשך
\end_layout

\begin_layout Definition
יהי 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
\end_inset

 יחס חשיב, 
\begin_inset Formula $k+1$
\end_inset

 מקומי.
 נגדיר אופרטור: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases}
t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\
z & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Claim
אם 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
\end_inset

 יחס חשיב אז הפונקציה 
\begin_inset Formula $h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$
\end_inset

 חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Proof
פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים ]אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם המקרים?[.
 לחילופין אפשר נשים לב ש-
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z))
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $C_{=}(x,z)=0\iff x=z$
\end_inset

, וברור שזו פונקציה חשיבה.
 נשים לב 
\begin_inset Formula $h(z,\bar{y})$
\end_inset

 תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
אם 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
\end_inset

 יחס חשיב אז היחס 
\begin_inset Formula $B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$
\end_inset

 הוא חשיב.
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$
\end_inset

.
 לכן זו פשוט הפונקציה 
\begin_inset Formula $\chi_{B}$
\end_inset

 ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה.
 מדוע 
\begin_inset Formula $C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$
\end_inset

? כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים 
\begin_inset Formula $0,1$
\end_inset

 יספיק להראות שלכל 
\begin_inset Formula $(z,\bar{y})$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$
\end_inset

 .
 לפי הגדרה 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום.
 
\bar under
הערה חשובה מאוד
\bar default
: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות )שאינו חסום(.
 
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
מטרה:
\bar default
 לבנות פונקציה חשיבה 
\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 כך שלכל סדרה סופית 
\begin_inset Formula $\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
\end_inset

 של מספרים טבעיים קיים 
\begin_inset Formula $c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 )קוד הסדרה( המקיים:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},0)=n$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
)מסיבות טכניות נרצה גם( 
\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Claim
)טענת עזר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
( קיימת פונקציה חשיבה 
\begin_inset Formula $Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 שהיא חח"ע ועל.
 ]יהיה שימושי לשים לב ש
\begin_inset Formula $Pr$
\end_inset

 שנמצא מקיימת 
\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$
\end_inset

[.
 
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
\end_inset

 יהיה המקום של הזוג 
\begin_inset Formula $(x,y)$
\end_inset

 במספור הזוגות:
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Tabular
<lyxtabular version="3" rows="8" columns="8">
<features rotate="0" tabularvalignment="middle">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<column alignment="center" valignment="top">
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
0
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
0
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
0
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
10
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
15
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
1
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
7
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
11
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
16
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
2
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
8
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
12
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
17
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
3
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
9
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
13
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
18
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
4
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
14
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
19
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
5
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\numeric on
20
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
<row>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\series bold
\numeric on
6
\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\swarrow$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout
\begin_inset Formula $\vdots$
\end_inset


\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
\begin_inset Text

\begin_layout Plain Layout

\end_layout

\end_inset
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Proof
לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט 
\begin_inset Formula $\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$
\end_inset

.
 לפי התיאור הזה ברור ש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
\end_inset

 חשיבה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
מקיימת 
\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge x$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge y$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לפי התיאור הגרפי היא חח"ע ועל )הוכחה יותר אלגברית - מכירים ממבוא ללוגיקה(.
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
)טענת עזר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
- משפט השאריות הסיני( יהי 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $m_{1},...,m_{n}$
\end_inset

 מספרים טבעיים זרים בזוגות.
 יהיו 
\begin_inset Formula $k_{1},...,k_{n}$
\end_inset

 מספרים טבעיים כלשהם )בד"כ מניחים 
\begin_inset Formula $k_{i}<m_{i}$
\end_inset

 אבל זה לא חשוב(.
 אזי קיים 
\begin_inset Formula $b\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $b\equiv_{m_{i}}k_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

 .
 
\end_layout

\begin_layout Proof
ניקח 
\begin_inset Formula $d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$
\end_inset

.
 לכל 
\begin_inset Formula $b<d$
\end_inset

 נגדיר 
\begin_inset Formula $\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $
\end_inset

.
 יש 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

 n-יות כאלה.
 לכן אם נראה שההעתקה 
\begin_inset Formula $b\mapsto\bar{b}$
\end_inset

 חח"ע אזי היא בהכרח על )כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

(.
 נניח ש
\begin_inset Formula $\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

, כלומר 
\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$
\end_inset

, בפרט 
\begin_inset Formula $m_{i}|b_{1-b_{2}}$
\end_inset

 )בה"כ 
\begin_inset Formula $b_{1}>b_{2}$
\end_inset

( לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}$
\end_inset

 מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

.
 כיוון שה
\begin_inset Formula $m_{i}$
\end_inset

 זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא 
\begin_inset Formula $d$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}<d$
\end_inset

 וזו סתירה.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
)טענת עזר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\numeric off
( לכל 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 המספרים 
\begin_inset Formula $\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$
\end_inset

זרים בזוגות.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח בשלילה ש
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 ראשוני מחלק את 
\begin_inset Formula $1+i(n!)$
\end_inset

 ומחלק את 
\begin_inset Formula $1+j(n!)$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $i>j$
\end_inset

.
 לכן: 
\begin_inset Formula $p|(i-j)\cdot(n!)$
\end_inset

 .
 כיוון ש
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 ראשוני הוא מחלק או את 
\begin_inset Formula $i-j$
\end_inset

 או את 
\begin_inset Formula $n!$
\end_inset

.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $i-j<n$
\end_inset

 בהכרח 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 מחלק את 
\begin_inset Formula $n!$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 אמור לחלק את 
\begin_inset Formula $1+i(n!)$
\end_inset

 וזה לא ייתכן.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
תהי 
\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})$
\end_inset

 היא השארית של 
\begin_inset Formula $t_{1}$
\end_inset

 בחלוקה ב-
\begin_inset Formula $t_{2}$
\end_inset

.
 אזי:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)$
\end_inset

 חשיבה.
 מדוע? יספיק להראות ש
\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})$
\end_inset

 חשיבה.
 אבל 
\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$
\end_inset

 והיחס 
\begin_inset Formula $t_{2}|t_{1}$
\end_inset

 הוא חשיב, למשל ע"י 
\begin_inset Formula $(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל סדרה סופית 
\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
\end_inset

 של טבעיים יש 
\begin_inset Formula $y,z$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $0<i\le n$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=a_{i}$
\end_inset

.
 מדוע? נבחר 
\begin_inset Formula $k>n$
\end_inset

 כלשהו ונבחר 
\begin_inset Formula $y=k!$
\end_inset

.
 לפי טענת עזר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
קיים 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=a_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i\le n$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
)טכני( 
\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)\le z$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $z,y,i$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
הפונקציה 
\begin_inset Formula $\beta(b,i)$
\end_inset

 המבוקשת תהיה 
\begin_inset Formula $\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$
\end_inset

.
 הדבר היחיד שנותר לוודא 
\begin_inset Formula $Pr^{L},Pr^{R}$
\end_inset

 הן פונקציות חשיבות.
 
\end_layout

\begin_layout Section
הצפנות
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
חזרה:
\bar default
 אם 
\begin_inset Formula $A(x,y)$
\end_inset

 יחס חשיב אז 
\begin_inset Formula $(\exists x<z)A(x,\bar{y})$
\end_inset

 יחס חשיב.
 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases}
t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\
z & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 פונקציה שלמה.
 הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל
\begin_inset Formula $\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
נאמר ש
\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 מצפינה סדרות סופיות אם לכל סדרה סופית 
\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
\end_inset

 יש 
\begin_inset Formula $\bar{a}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\beta(\bar{a},0)=n$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $1\le1\le n$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\beta(\bar{a},i)=a_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Claim
הפונקציה 
\begin_inset Formula $(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$
\end_inset

 היא חח"ע ועל מ
\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{2}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
לכל 
\begin_inset Formula $m_{1},...,m_{k}$
\end_inset

 זרים בזוגות ולכל 
\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{k}$
\end_inset

 טבעיים יש 
\begin_inset Formula $b\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $b\equiv_{m_{i}}a_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
לכל 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 המספרים 
\begin_inset Formula $1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$
\end_inset

 זרים בזוגות.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
נגדיר 
\begin_inset Formula $\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$
\end_inset

 מקיימת:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 חשיבה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל סדרה סופית 
\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
\end_inset

 קיימים 
\begin_inset Formula $z,y$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $a_{i}=\gamma(z,y,i)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)\le z$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
לגבי 
\begin_inset Formula $2$
\end_inset

 ניקח את 
\begin_inset Formula $max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$
\end_inset

 וניקח 
\begin_inset Formula $y=k!$
\end_inset

 .
 לפי טענה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
מתקיים כי 
\begin_inset Formula $1+y(i+1)$
\end_inset

 זרים בזוגות.
 לפי הטענה השניה יש 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 שעונה על הדרישה.
 ביתר דיוק, יש 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$
\end_inset

.
 אבל בעצם 
\begin_inset Formula $a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$
\end_inset

 כי 
\begin_inset Formula $a_{i}<1+y(i+1)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
הפונקציה 
\begin_inset Formula $\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$
\end_inset

 היא פונקצית זיווג חשיבה כאשר 
\begin_inset Formula $Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$
\end_inset

 .
 
\end_layout

\begin_layout Proof
מטענה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
4
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ברור כי 
\begin_inset Formula $\beta(y,i)$
\end_inset

 מצפינה סדרות סופיות.
 בהינתן סדרה סופית 
\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
\end_inset

 טענה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
4
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
סעיף )
\numeric on
2
\numeric off
( מבטיחה 
\begin_inset Formula $t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

.
 נחליף את הסדרה בסדרה 
\begin_inset Formula $\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
\end_inset

, נמצא 
\begin_inset Formula $t_{1},t_{2}$
\end_inset

 כמובטח ונגדיר 
\begin_inset Formula $y=Pr(t_{1},t_{2})$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$
\end_inset

.
 נשאר רק לוודא ש
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 חשיבה.
 מספיק לוודא ש
\begin_inset Formula $Pr^{-1}(y)$
\end_inset

 היא חשיבה ומלאה/שלמה.
 הפונקציה שלמה כי 
\begin_inset Formula $Pr$
\end_inset

 היא על.
 הפונקציה חשיבה פשוט כי 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
מעתה ועד עולם נקבע פונקציה 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 כנ"ל.
\end_layout

\begin_layout Definition
נאמר ש
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין סדרה סופית אם אין 
\begin_inset Formula $x^{\prime}<x$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $i\le\beta(x,0)$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
היחס 
\begin_inset Formula $\theta(x)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין סדרה סופית" הוא חשיב.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Standard
מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 הפונקציה 
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
\end_inset

 חשיבה.
 נקבע אחת ולתמיד מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
\end_inset

.
 נזדקק להרבה טענות עזר.
 כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
\end_inset

 ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 איך שנרצה כל עוד לא נשנה את הפונקציה שהיא מחשבת.
 לכן, בה"כ, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 מכונת טיורניג תקנית:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
הא"ב של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כולל רק את 
\begin_inset Formula $\{1,B\}$
\end_inset

 ונק' ההתחלה והסיום 
\begin_inset Formula $\{S,E\}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
למכונה יש מצב פנימי יחיד 
\begin_inset Formula $\hat{q}$
\end_inset

 שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו, ו
\begin_inset Formula $\hat{q}$
\end_inset

 אינו מופיע במהלך הריצה.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
בתום הריצה הראש הקורא נמצא על 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ובין 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

 יש רק אחדות.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 סופי לא יזיק להניח ש
\begin_inset Formula $\{1,B\}$
\end_inset

 מיוצגים ע"י המספרים הטבעיים 
\begin_inset Formula $\{1,0\}$
\end_inset

 בהתאמה ו
\begin_inset Formula $\{S,E\}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $\{2,3\}$
\end_inset

 בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע"י 
\begin_inset Formula $\{4,...,k\}$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $q_{0}$
\end_inset

 מיוצג ע"י 
\begin_inset Formula $4$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $\hat{q}$
\end_inset

 מיוצג ע"י 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
כזכור, מצב של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 זו שלשה 
\begin_inset Formula $\left\langle n,q,h\right\rangle $
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 המיקום של הראש ביחס ל
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 שמיקומו
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula $0$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $q$
\end_inset

 המצב הפנימי, ו-
\begin_inset Formula $h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$
\end_inset

 מתארת את התאים במכונה.
 כמובן יספיק להניח ש
\begin_inset Formula $h$
\end_inset

 מתארת רק את המספר הסופי של התאים שבין 
\begin_inset Formula $S$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
 אפשר לתאר מצב ע"י סדרה מהצורה הבאה:
\begin_inset Formula 
\[
\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle 
\]

\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$
\end_inset

 ולכל 
\begin_inset Formula $1<i<r$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $a_{i}\in\{0,1\}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
1
\numeric off
( היחס 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב של המכונה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" חשיב.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
היחס יתואר ע"י חיתוך של הדרישות הבאות:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\theta(x)$
\end_inset

 - היחס האומר ש
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין סדרה.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $0<i\le\beta(x,0)$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\beta(x,1)=2$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $\beta(x,\beta(x,0))=3$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
קיים 
\begin_inset Formula $0<i\le\beta(x,0)$
\end_inset

 יחיד כך ש
\begin_inset Formula $\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
כיוון שכל אלה חשיבים - גמרנו.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
)
\numeric on
2
\numeric off
( היחסים 
\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x)$
\end_inset

, "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב התחלתי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

", "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב סופי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" - כולם חשיבים.
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $\varphi_{S}(x)$
\end_inset

 זה חיתוך של 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 עם הדרישה הנוספת ש
\begin_inset Formula $\beta(x,2)=4$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)$
\end_inset

 כנ"ל עם 
\begin_inset Formula $\beta(x,2)=k$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
3
\numeric off
( היחס 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 מייצגים מצבים של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 המצב העוקב של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 לפי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" הוא יחס חשיב.
\end_layout

\begin_layout Proof
זה כמובן חיתוך של התנאים 
\begin_inset Formula $\varphi(x),\varphi(y)$
\end_inset

 עם התנאי הנוסף ש
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 המצב העוקב ל
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

.
 לכל 
\begin_inset Formula $p\in I(T)$
\end_inset

 )לכל פקודה של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

( נגדיר יחס 
\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x,y)$
\end_inset

 האומר 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 מצבים של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 עוקב של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 לפי 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 ובפרט 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצב רלוונטי לפקודה 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצב רלוונטי לפקודה 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 " זה פשוט 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 וגם אם 
\begin_inset Formula $\beta(x,i)>3$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $i>1$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 פקודה מהצורה 
\begin_inset Formula $\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$
\end_inset

.
 במילים אחרות אם 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 היא הרביעייה 
\begin_inset Formula $\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 רלוונטי ל
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$
\end_inset

.
 נסמן זאת 
\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x)$
\end_inset

.
 לומר ש
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 עוקב של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 לפי 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

 זה לומר 
\begin_inset Formula $\varphi(x),\varphi(y)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x)$
\end_inset

 עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

.
 נטפל למשל במקרה ש
\begin_inset Formula $p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$
\end_inset

.
 מתי 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 יתקבל מ
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 ע"י הפקודה 
\begin_inset Formula $p$
\end_inset

? אם 
\begin_inset Formula $x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $
\end_inset

.
 פשוט צריך לדרוש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
נסמן 
\begin_inset Formula $i_{0}$
\end_inset

 להיות ה
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 היחיד כך ש
\begin_inset Formula $i\le\beta(x,0)$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
נדרוש ש
\begin_inset Formula $\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$
\end_inset

 ובכל מקרה אחר 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none

\begin_inset Formula $\beta(y,j)=\beta(x,j)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה.
 זה מקרה ש
\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x,y)$
\end_inset

 חשיבה.
 לומר ש
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 עוקב של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 זה פשוט 
\begin_inset Formula ${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$
\end_inset

 .
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
)
\numeric on
4
\numeric off
( היחס 
\begin_inset Formula $\rho(x)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מקודד ריצה מסתיימת של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" הוא חשיב.
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\theta(x)$
\end_inset

 - 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין סדרה.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\varphi_{S}(\beta(x,1))$
\end_inset

 כלומר האיבר הראשון בסדרה ש
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין הוא מצב התחלתי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$
\end_inset

 - האיבר האחרון בסדרה הוא מצב סופי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל 
\begin_inset Formula $1\le i<\beta(x,0)$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$
\end_inset

 כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע"י האיבר הקודם לו.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
)
\numeric on
5
\numeric off
( 
\begin_inset Formula $f_{E}(x)=n$
\end_inset

 זו הפונקציה שמחזירה 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב סופי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 הפלט של המכונה במצב זה.

\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
אחרת.
 זו פונקציה חשיבה: 
\begin_inset Formula $\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Section
חשיבות
\end_layout

\begin_layout Standard
היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
1
\numeric off
( היחס 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב של המכונה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" חשיב.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
2
\numeric off
( היחסים 
\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x)$
\end_inset

, "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב התחלתי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

", "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב סופי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" - כולם חשיבים.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
3
\numeric off
( היחס 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 מייצגים מצבים של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 המצב העוקב של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 לפי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" הוא יחס חשיב.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
4
\numeric off
( היחס 
\begin_inset Formula $\rho(x)$
\end_inset

 האומר "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מקודד ריצה מסתיימת של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

" הוא חשיב.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
5
\numeric off
( 
\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)=n$
\end_inset

 זו הפונקציה שמחזירה 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצפין מצב סופי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $n-1$
\end_inset

 הפלט של המכונה במצב זה.

\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
אחרת.
 זו פונקציה חשיבה: 
\begin_inset Formula $\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$
\end_inset

 .
 נדרוש ש
\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)=0$
\end_inset

 אחרת.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
היחס "
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מקודד מצב התחלתי של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שבו הקלט הוא 
\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
\end_inset

" הוא יחס חשיב.
 נסמן זאת 
\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

 פונקציה חשיבה.
 נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})))
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$
\end_inset

 - האיבר הראשון בסדרה ש
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מקודד, וכאשר 
\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}(A(x,y))$
\end_inset

 זה ה
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 המזערי עבורו 
\begin_inset Formula $\chi_{A}(x,y)=1$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

 ובפרט 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 מוגדרת אם ורק אם ריצת 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 על 
\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
\end_inset

 עוצרת.
\end_layout

\begin_layout Proof
ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים.
 אם 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עוצרת על 
\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
\end_inset

 אז קיים 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$
\end_inset

 - כלומר קיים 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 המקודד ריצה מסתיימת של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 המתחילה בקלט 
\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
\end_inset

.
 אם נבחר 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 הקטן ביותר המקיים זאת אז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))
\end{eqnarray*}

\end_inset

 כי לכל 
\begin_inset Formula $x^{\prime}<x_{0}$
\end_inset

 הפונקציה 
\begin_inset Formula $\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$
\end_inset

 מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור 
\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}$
\end_inset

, ואז 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})
\end{eqnarray*}

\end_inset

נניח ש
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 אינה עוצרת על 
\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$
\end_inset

 לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה 
\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$
\end_inset

 אינה מוגדרת.
\end_layout

\begin_layout Standard
עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד גם
 את המכונות עצמן.
 מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות )טיורינג( ולא במכונות עצמן,
 אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה.
 ומכיוון שהא"ב סופי ורשימת הפקודות סופית )וכבר זיהינו את הא"ב עם המספרים
 הטבעיים 
\begin_inset Formula $\{0..k\}$
\end_inset

(.
 אם רק נוסיף לזיהוי הזה את 
\begin_inset Formula $k+1$
\end_inset

 כפקודה 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 ואת 
\begin_inset Formula $k+2$
\end_inset

 כפקודה 
\begin_inset Formula $R$
\end_inset

 נוכל לקודד את המכונה על ידי מספר טבעי.
 נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 נסמן 
\begin_inset Formula $\left\lceil T\right\rceil $
\end_inset

 את הקוד של 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $e\in\mathbb{N}$
\end_inset

 הוא קוד של מ"ט נסמן 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 את המכונה ש-
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 מקודד.
 יהיה נוח להניח שאם 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 אינו מקודד מ"ט אז נחליט ש
\begin_inset Formula $n-e$
\end_inset

 מקודד את המכונה שאינה עוצרת על אף קלט.
\end_layout

\begin_layout Theorem
לא קיימת פונקציה חשיבה 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
f(e) & = & \begin{cases}
1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\
0 & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Proof
נניח בשלילה שקיימת פונקציה 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 כנ"ל.
 נגדיר פונקציה 
\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
g(e) & = & \begin{cases}
T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\
0 & else
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\end_inset

מההנחה )ומהמשפט האחרון, ומהמשפט על ההגדרה לפי מקרים( 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 פונקציה חשיבה )ואפילו שלמה(, ומקודדת, נאמר ע"י 
\begin_inset Formula $e_{0}$
\end_inset

.
 אז: מצד אחד 
\begin_inset Formula $T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$
\end_inset

 ומצד שני 
\begin_inset Formula $g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Corollary
היחס 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 המוגדר ע"י 
\begin_inset Formula $e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$
\end_inset

 אינו יחס חשיב.
 מצד שני 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 הנ"ל היא תחום של מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
 הרעיון? המכונה מריצה את 
\begin_inset Formula $T_{e}(e)$
\end_inset

 ומחזירה את התשובה, אם היא אי פעם מתקבלת.
 ביתר פירוט, ניקח 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
\end_inset

 מ"ט אוניברסלית ונשים לב ש
\begin_inset Formula $\mathcal{U}(e,e)$
\end_inset

 עוצרת אם ורק אם 
\begin_inset Formula $e\in A$
\end_inset

.
 לכן יש 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 בתחום של המכונה 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}(x,x)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 תיקרא אוניברסלית אם 
\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$
\end_inset

 )ובפרט אם 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 לא עוצרת על הקלט 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)$
\end_inset

 לא מוגדרת(.
\end_layout

\begin_layout Theorem
קיימת מכונת טיורינג אוניברסלית.
\end_layout

\begin_layout Proof
הרעיון פשוט, ההוכחה מייגעת, ע"י תיאור המכונה.
 דרך אחרת: בעזרת פונקציות חשיבות.
 נגדיר את 
\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)$
\end_inset

 באופן הבא.
 נגדיר את היחסים הבאים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\theta(x)$
\end_inset

 - 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 הוא קוד.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\theta_{1}(x)$
\end_inset

 - 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 הוא קוד של מכונת טיורינג.
 כלומר 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מקודד סדרה סופית של רביעיות של מספרים טבעיים.
 כל רביעייה היא פקודה ובין הפקודות אין סתירות.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\varphi(e,x)$
\end_inset

 - 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 קוד של מכונת טיורינג ו-
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מצב קוד של מצב פנימי של המכונה המקודדת על ידי 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $\varphi(e,x,y)$
\end_inset

- 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 קוד של מ"ט, 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

 קודים של המכונה 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 הוא העוקב של 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 לפי 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
ההמשך זהה בדיוק להוכחת משפט השקילות.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Definition
קבוצה 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 תקרא ניתנת למניה חשיבה )נל"ח או נל"ר - ניתנת למניה רקורסיבית( אם 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 היא התחום של פונקציה חשיבה.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
ראינו שקיימות קבוצות נל"ח שאינן חשיבות.
\end_layout

\begin_layout Theorem
התנאים הבאים שקולים לקבוצה 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 נל"ח )תחום של פונקציה חשיבה(
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 היא התמונה של פונקציה חשיבה 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 היא התמונה של פונקציה חשיבה מלאה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 היא מהצורה 
\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $
\end_inset

 לאיזה יחס חשיב 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 היא מהצורה 
\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $
\end_inset

לאיזה יחס חשיב 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
מניה רקורסיבית
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Theorem
תהי 
\begin_inset Formula $\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 אזי התנאים הבאים שקולים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 נל"ח
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 הטווח של פונקציה חשיבה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 הטווח של פונקציה מלאה
\end_layout

\begin_layout Enumerate
קיים יחס חשיב 
\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{N}^{2}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
כנ"ל עבור 
\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $A=dom(f)$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $T_{f}$
\end_inset

 מ"ט המחשבת את 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $f=f_{T_{f}}^{1}$
\end_inset

.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $A\not=\emptyset$
\end_inset

 אפשר לבחור 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

.
 נגדיר פונקציה חשיבה 
\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 באופן הבא: 
\begin_inset Formula 
\[
g(n)=\begin{cases}
Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
a & else
\end{cases}
\]

\end_inset

נסמן את התנאי הנ"ל ב
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

.
 אנחנו יודעים ש
\begin_inset Formula $*$
\end_inset

 הוא יחס חשיב לכן גם המשלים חשיב.
 לכן לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים גם 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 חשיבה.
 נראה ש
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 עונה על דרישותינו - 
\begin_inset Formula $g(\mathbb{N})=A$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $l\in g(\mathbb{N})$
\end_inset

 אז או ש
\begin_inset Formula $l=a$
\end_inset

 ואז 
\begin_inset Formula $l\in A$
\end_inset

 .
 או ש
\begin_inset Formula $l=Pr^{L}(n)$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 אבל אז זה אומר ש
\begin_inset Formula $T_{f}$
\end_inset

 עוצרת על הקלט 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 אחרי פחות מ
\begin_inset Formula $Pr^{R}(n)$
\end_inset

 צעדים.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $f_{T_{f}}^{1}=f$
\end_inset

 אם אגף שמאל מוגדר גם אגף ימין מוגדר, כלומר 
\begin_inset Formula $l\in Dom(f)=A$
\end_inset

.
 בכיוון השני, אם 
\begin_inset Formula $l\in Dom(f)$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T_{f}$
\end_inset

 עוצרת על הקלט 
\begin_inset Formula $l$
\end_inset

 אחרי איזה מספר 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 של צעדים.
 אז 
\begin_inset Formula $n=Pr(l,k+1)$
\end_inset

 ולפי הגדרה 
\begin_inset Formula $g(n)=Pr^{L}(n)=l$
\end_inset

, כלומר 
\begin_inset Formula $l\in Range(g)$
\end_inset

.
 נשים לב: הפונקציה 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 שלמה.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
\end_inset

 - מוכיחים באותו אופן.
 בוחרים 
\begin_inset Formula $a\in A$
\end_inset

 ומגדירים:
\begin_inset Formula 
\[
g(n)=\begin{cases}
f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
a & else
\end{cases}
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
\end_inset

 - אם 
\begin_inset Formula $A=Range(f)$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה )ושלמה( אז היחס 
\begin_inset Formula $B(x,f(x))$
\end_inset

 חשיב.
 לכן, 
\begin_inset Formula $y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(5)$
\end_inset

 - אין מה להוכיח )מקרה פרטי(.
 
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
\end_inset

 - פשוט: 
\begin_inset Formula $f(x)=\mu_{y}B(x,y)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(5)\Rightarrow(4)$
\end_inset

 - אם 
\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$
\end_inset

 אז נגדיר יחס 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Theorem
)משפט הרקורסיה( תהי 
\begin_inset Formula $C(x,y)$
\end_inset

 פונקציה חשיבה.
 אזי קיימת מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
קיימת מכונת טיורינג 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כל שלכל 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $w_{n}$
\end_inset

 היא המכונה אשר על הקלט הריק כותבת את המספר 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 )ההוכחה - בתרגיל הבית(.
\end_layout

\begin_layout Proof
המכונה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 תהיה הרכבה של
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 מכונות: 
\begin_inset Formula $ABC$
\end_inset

 )מפעילים קודם את 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 אח"כ את 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 אח"כ את 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

(.
 המכונה 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 על הקלט 
\begin_inset Formula $y$
\end_inset

 תחזיר את הפלט 
\begin_inset Formula $\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$
\end_inset

.
 מה עושה 
\begin_inset Formula $B$
\end_inset

 על הקלט 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

? היא כותבת את הקוד של המכונה שכותבת 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 ]מטענת העזר[ ואחריו את 
\begin_inset Formula $x,y$
\end_inset

.
 מה יהיה 
\begin_inset Formula $B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$
\end_inset

? 
\begin_inset Formula $B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$
\end_inset

.
 יוצא ש-
\begin_inset Formula $C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$
\end_inset

 אבל זה בדיוק מה שהיינו צריכים.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
)משפט נקודת השבת( תהי 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 פונקציה חשיבה ושלמה.
 אזי קיים 
\begin_inset Formula $e\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Corollary
)משפט
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Rice
\lang hebrew
( נגדיר יחס שקילות של 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $e_{1}\sim e_{2}$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$
\end_inset

 .
 תהי 
\begin_inset Formula $L\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $e\in L$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $e^{\prime}\sim e$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $e^{\prime}\in L$
\end_inset

.
 אזי 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 חשיבה אם ורק אם 
\begin_inset Formula $L=\mathbb{N}$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $L=\emptyset$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח בשלילה שלא.
 אז יש 
\begin_inset Formula $e_{0}\in L$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $e_{1}\not\in L$
\end_inset

.
 נגדיר פונקציה חשיבה: 
\begin_inset Formula 
\[
f(n)=\begin{cases}
e_{1} & n\in L\\
e_{0} & n\not\in L
\end{cases}
\]

\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה ושלמה.
 לכן ממשפט נקודת השבת יש 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $e\in L$
\end_inset

 אז גם 
\begin_inset Formula $f(e)\in L$
\end_inset

 כי 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\sim$
\end_inset

.
 אבל אם 
\begin_inset Formula $e\in L$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $e_{1}=f(e)$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $e_{1}\not\in L$
\end_inset

.
 באותו אופן בדיוק גם 
\begin_inset Formula $e\not\in L$
\end_inset

 גורר סתירה.
 
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
דוגמה:
\bar default
 בעיית העצירה אינה חשיבה.
 אין מכונת טיורינג המחליטה האם 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 קוד של מכונה שעוצרת על הקלט הריק.
 במילים אחרות 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\}
\end{eqnarray*}

\end_inset

 אינה חשיבה.
 ברור ש-
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 סגורה תחת 
\begin_inset Formula $\sim$
\end_inset

.
 לפי משפט רייס כיוון ש-
\begin_inset Formula $L\not=\emptyset$
\end_inset

 )יש מ"ט שעוצרת על כל קלט ובפרט על הקלט הריק( וגם 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$
\end_inset

 )יש מכונות שלא עוצרות על שום קלט(.
 לכן לפי משפט רייס 
\begin_inset Formula $L$
\end_inset

 אינה חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Proof
)משפט נקודת השבת( תהי 
\begin_inset Formula $\mathcal{U}(x,y)$
\end_inset

 מ"ט אוניברסלית ו-
\begin_inset Formula $C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $C$
\end_inset

 מ"ט.
 לכן יש 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $e=\left\lceil T\right\rceil $
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Remarks
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
קבוצה 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 חשיבה היא נל"ח
\end_layout

\begin_layout Enumerate
קבוצה 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 נל"ח היא חשיבה אם ורק אם גם המשלים של 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 נל"ח.
 
\bar under
הוכחה
\bar default
: אם גם 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A$
\end_inset

 נל"ח אז יש מ"ט 
\begin_inset Formula $T_{1},T_{2}$
\end_inset

 שמחשבות את איבריהן.
 אפשר להניח שהן 
\begin_inset Formula $f_{T_{1}}^{1}$
\end_inset

 והן 
\begin_inset Formula $f_{T_{2}}^{1}$
\end_inset

 פונקציות שלמות.
 לכל מספר 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 נתחיל לחשב את 
\begin_inset Formula $T_{1}(1),T_{1}(2),...$
\end_inset

 ובמקביל את 
\begin_inset Formula $T_{2}(1),T_{2}(2),...$
\end_inset

 )אפשר לסירוגין(.
 המכונה תעצור ברגע שיתקבל פלט 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$
\end_inset

 קיים 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $f_{T_{1}}^{1}(m)=n$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $f_{T_{2}}^{1}(m)=n$
\end_inset

.
 בכל מקרה אחרי 
\begin_inset Formula $2m$
\end_inset

 חישובים המכונה שלנו תיעצר.
 אם היא עצרה על הריצה של 
\begin_inset Formula $T_{1}(m)$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $n\in A$
\end_inset

 אחרת 
\begin_inset Formula $n\not\in A$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Section
פונקציות יציגות
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\bar under
תרגיל:
\bar default
 תהיינה 
\begin_inset Formula $A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 נל"ח אז:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
גם 
\begin_inset Formula $A_{1}\cup A_{2}$
\end_inset

 נל"ח
\end_layout

\begin_layout Enumerate
גם 
\begin_inset Formula $A_{1}\cap A_{2}$
\end_inset

 נל"ח
\end_layout

\begin_layout Enumerate
יש דרך אחת סבירה להגדיר מתי 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k}$
\end_inset

 נל"ח ואז הטלה של קבוצה נל"ח היא נל"ח
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי שפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 חשיבה.
 
\bar under
מספור גדל
\bar default
 של הנוסחאות 
\begin_inset Formula $F(\mathcal{L})$
\end_inset

 ב-
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

זו פונקציה 
\begin_inset Formula $g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 המוגדרת באינדוקציה באופן הבא:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
שם עצם 
\begin_inset Formula $x_{i}$
\end_inset

 יקודד ע"י 
\begin_inset Formula $g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
קבוע אישי 
\begin_inset Formula $c_{i}$
\end_inset

 יקודד ע"י 
\begin_inset Formula $g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
שם עצם מהצורה 
\begin_inset Formula $F_{i}(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 יקודד ע"י 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
נוסחה מהצורה 
\begin_inset Formula $R_{i}(t_{1},...,t_{n})$
\end_inset

 יקודד ע"י 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מהצורה 
\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
\end_inset

 תקודד ע"י 
\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מהצורה 
\begin_inset Formula $\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
\end_inset

 תקודד ע"י 
\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מהצורה 
\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x_{i})\psi$
\end_inset

 תקודד ע"י 
\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$
\end_inset

 )הכמת 
\begin_inset Formula $\forall$
\end_inset

 בדומה(
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 היא 
\bar under
כריעה
\bar default
 אם הקבוצה 
\begin_inset Formula $\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$
\end_inset

 חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
תורה היא חשיבה אם 
\begin_inset Formula $\{g(\varphi):\varphi\in T\}$
\end_inset

 חשיבה.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
מספור גדל הוא חח"ע )באינדוקציה על יצירת הנוסחה(
\end_layout

\begin_layout Enumerate
בהינתן שפה חשיבה )או סופית( 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 היחס "
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 מקודד נוסחה בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

" הוא חשיב.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
)רעיון כללי( נשים לב )קל לראות באינדוקציה( שאם 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 נוסחה באורך 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $g(\varphi)>n$
\end_inset

.
 בנוסף, אם ב-
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מופיע סימן פונקציה, סימן יחס, קבוע אישי או משתנה עם אינדקס 
\begin_inset Formula $i>n$
\end_inset

 אז )באינדוקציה( 
\begin_inset Formula $g(\varphi)>n$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
לכן השאלה האם 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 מספר גדל של נוסחה שקולה לשאלה האם קיימת נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 באורך קטן-שווה ל-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, שכל הסימנים הלא-לוגיים המופיעים בה הם עם אינדקס קטן או שווה ל-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 ומספר גדל של 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 הוא 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
אבל קבוצת הנוסחאות 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מאורך קטן-שווה ל-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 , שכל הסימנים בה עם אינדקס קטן-שווה ל-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 היא סופית, כלומר זהו כימות חסום.
 לכן מספיק לבדוק שהפונקציה ששולחת נוסחה למספר גדל שלה היא חשיבה טיורינג.
 )זה עסק מייגע, אבל לא קשה.(
\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
תהי 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 , נאמר שתורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 בשפה המרחיבה את 
\begin_inset Formula $(0,s)$
\end_inset

 מייצגת )חלש( את 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 אם קיימת נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset

 בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 כל שלכל 
\begin_inset Formula $n\in Dom(f)$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$
\end_inset

 כאשר הסימון 
\begin_inset Formula $\underline{n}:=s^{n}(0)$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 פונקציית העוקב.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
יחס 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 
\bar under
מיוצג
\bar default
 ב-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $\chi_{A}$
\end_inset

 מיוצגת ב
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition

\bar under
תורת פיאנו
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
(Peano Arithmetic)
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
\lang hebrew
 זו קבוצת הפסוקים הבאה בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\forall x)(s(x)\not=0)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\forall x)(x+0=x)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\forall x)(x\cdot0=0)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate

\bar under
סכימת האינדוקציה:
\bar default
 לכל נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset

 אקסיומה מהצורה:
\begin_inset Formula 
\[
(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))]
\]

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Theorem
כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-
\begin_inset Formula $PA$
\end_inset

.
 יתר על כן, קיימת תורה 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 סופית כך ש-
\begin_inset Formula $PA\vdash N$
\end_inset

 וכל פונקציה חשיבה מיוצגת ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תרגיל
\bar default
: אם 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 שלמה ומיוצגת ב-
\begin_inset Formula $PA$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Corollary
התורה 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 שמובטחת במשפט, אינה כריעה.
\end_layout

\begin_layout Proof
תהי 
\begin_inset Formula $\varphi(e,z,n)$
\end_inset

 הנוסחה האומרת שמ"ט 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 )שהקוד שלה הוא 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

( עוצרת על הקלט 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אחרי 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 צעדים.
\end_layout

\begin_layout Proof
היחס 
\begin_inset Formula $\varphi(e,z,n)$
\end_inset

 חשיב ]הוכחנו[, לכן לפי המשפט מיוצג ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 כלומר אם 
\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
\end_inset

 
\bar under
לא עוצרת
\bar default
 אז לכל 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
מצד שני, אם 
\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
\end_inset

 
\bar under
עוצרת
\bar default
 אז 
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(e,z,n)$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

.
 נניח בשלילה ש-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 כריעה אז 
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
\end_inset

 עוצרת.
\end_layout

\begin_layout Proof
אבל מכריעות נקבל שלכל זוג 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 אפשר לדעם האם 
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$
\end_inset

 או 
\begin_inset Formula $N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$
\end_inset

.
 כלומר אפשר להכריע האם 
\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
\end_inset

 עוצרת או לא.
 אבל לפי משפט רייס זו איננה קבוצה חשיבה.
 סתירה.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
הערה
\bar default
: אם 
\begin_inset Formula $N\subseteq T$
\end_inset

 )
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 התורה המובטחת במשפט( אז:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכן, 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 איננה כריעה, כי אותה ההוכחה ש-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 אינה כריעה תעבוד עבור 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
הערה
\bar default
: אם תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 היא חשיבה ושלמה אז 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כריעה.
 להלן אלגוריתם הכרעה:
\end_layout

\begin_layout Standard
נראה בהמשך שאם 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 חשיבה אז 
\begin_inset Formula $C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$
\end_inset

 נל"ח.
 כיוון ש-
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 שלמה, כדי לבדוק האם 
\begin_inset Formula $T\vdash\varphi$
\end_inset

 נפעיל את המכונה המונה את 
\begin_inset Formula $C_{T}$
\end_inset

.
 בכל שלב נבדוק האם האיבר שהמכונה פלטה הוא הוכחה של 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 או הוכחה של 
\begin_inset Formula $\neg\varphi$
\end_inset

 .
 השלמות מבטיחה לנו שאחד מהם יתקבל בזמן סופי.
 אם מתקבל 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 - ניצחנו.
 אם מתקבל 
\begin_inset Formula $\neg\varphi$
\end_inset

 - גם ניצחנו.
\end_layout

\begin_layout Corollary
כל תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $N\subseteq T\subseteq PA$
\end_inset

 מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.
 )למשל תורת המספרים איננה כריעה(.
\end_layout

\begin_layout Section
פונקציות יציגות
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תזכורת:
\bar default
 פונקציה 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 תקרא מיוצגת )חלש( בתורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 )בשפה עם סימן קבוע
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
וסימן פונקציה חד מקומי 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

( אם קיימת נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
\end_inset

 כך שלכל 
\begin_inset Formula $\bar{n}\in Dom(f)$
\end_inset

 מתקיים
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y)
\end{eqnarray*}

\end_inset

כאשר 
\begin_inset Formula $\underline{n}=s^{n}(0)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Theorem
כל פונקציה חשיבה יציגה בתורת פאנו ואפילו יש תת-תורה סופית של 
\begin_inset Formula $PA$
\end_inset

 שבה כל פונקציה חשיבה יציגה.
\end_layout

\begin_layout Corollary
תהי 
\begin_inset Formula $N\subseteq PA$
\end_inset

 כמובטח במשפט.
 אזי 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 אינה כריעה.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
יהי 
\begin_inset Formula $\varphi(e,n,z)$
\end_inset

 היחס האומר "המכונה שהקוד שלה 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 עצרה על הקלט 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אחרי לכל היותר 
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 מהלכים".
 אז ברור ש-
\begin_inset Formula $\varphi(e,n,z)$
\end_inset

 הוא יחס חשיב.
 מהמשפט נובע שלכל שלשה 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(e,n,z)$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n,z\right\rangle $
\end_inset

 עומדת ביחס, כלומר המכונה 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 עוצרת על 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אחרי לא יותר מ
\begin_inset Formula $z$
\end_inset

 צעדים.
 לכן אם 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 עוצרת יש 
\begin_inset Formula $z_{0}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$
\end_inset

.
 לכן אם 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 עוצרת אז 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none

\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
\end_inset

.
 מצד שני, אם 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 לא עוצרת אז 
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none

\begin_inset Formula $N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $\underline{z_{0}}$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\models PA$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\models N$
\end_inset

 .
 לכן לא ייתכן ש
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
\end_inset

 אבל מהנחתנו זה לא מתקיים.
 יוצא 
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 עוצרת.
 לכן אילו הייתה 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 כריעה היינו יכולים להכריע את בעיית העצירה: בהינתן זוג 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 היינו פשוט שואלים אם 
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$
\end_inset

.
 אם כן - 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 עוצרת, ואם לא אז 
\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
\end_inset

 לא עוצרת.
\end_layout

\begin_layout Corollary
כל תורה 
\begin_inset Formula $N\subseteq T\subseteq PA$
\end_inset

 מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.
\end_layout

\begin_layout Corollary
ניגש להוכחת המשפט עצמו.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
תהי 
\begin_inset Formula $N\subseteq PA$
\end_inset

 התורה הבאה:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $PA(1)-PA(6)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(N7)$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $(\forall x)(\neg x<0)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(N8)$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $(N9)$
\end_inset

: 
\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
כאשר 
\begin_inset Formula $x<y$
\end_inset

 זה קיצור לנוסחה 
\begin_inset Formula $(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $PA\vdash N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
צריך להוכיח רק את 
\begin_inset Formula $PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$
\end_inset

.
 כלומר צריך להוכיח:
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\
 & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\
 & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\
 & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0)
\end{eqnarray*}

\end_inset

 אבל 
\begin_inset Formula $PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$
\end_inset

.
 לכן יספיק להוכיח ש-
\begin_inset Formula $PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$
\end_inset

.
 זה יספיק כי אז נקבל 
\begin_inset Formula $(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$
\end_inset

.
 ההוכחה ל-
\begin_inset Formula $N8$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $N9$
\end_inset

 דומה מאוד.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
נראה שכל פונקציה חשיבה יציגה ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 לשם כך יספיק להראות: משפחת הפונקציות היציגות ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 מכילה מכילה את הפונקציות החשיבות הבסיסיות וסגורה תחת הרכבות ותחת מזעור.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Claim
)
\numeric on
1
\numeric off
( פונקציית ההיטל 
\begin_inset Formula $P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$
\end_inset

 יציגה ע"י 
\begin_inset Formula 
\[
\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y
\]

\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Proof
יש להראות ש
\begin_inset Formula $N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 אבל זה שקול ל 
\begin_inset Formula $N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
2
\numeric off
( הפונקציה 
\begin_inset Formula $c_{0}(x)=0$
\end_inset

 יציגה ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y):=y\approx0$
\end_inset

.
 ההוכחה קשה באותה מידה.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
)
\numeric on
3
\numeric off
( הפונקציה 
\begin_inset Formula $x+y$
\end_inset

 יציגה ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
עלינו להראות 
\begin_inset Formula $N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$
\end_inset

.
 באינדוקציה על 
\begin_inset Formula $n_{2}$
\end_inset

 .
 עבור 
\begin_inset Formula $n_{2}=0$
\end_inset

 מקבלים 
\begin_inset Formula $\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$
\end_inset

.
 נניח עבור 
\begin_inset Formula $n_{2}$
\end_inset

 ונוכיח עבור 
\begin_inset Formula $n_{2}+1$
\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\[
\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1}
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
לגבי כפל זה בדיוק אותו דבר.
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
4
\numeric off
( 
\begin_inset Formula $c_{<}(x,y)$
\end_inset

 יציגה ב-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
ראשית מראים שלכל 
\begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $n<m$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m}$
\end_inset

 .
 באותו אופן אם 
\begin_inset Formula $\neg(n<m)$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$
\end_inset

.
 ]למשל באינדוקציה על 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

: מ
\begin_inset Formula $N7$
\end_inset

 אנחנו יודעים ש
\begin_inset Formula $N\vdash\neg(n<0)$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $n\in N$
\end_inset

.
 אז נניח שהוכחנו ל
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 נתון עבור 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 ונוכיח עבור 
\begin_inset Formula $m+1$
\end_inset

.
 אז אם 
\begin_inset Formula $n<m$
\end_inset

 מהנחת האינדוקציה 
\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m}$
\end_inset

 ולפי 
\begin_inset Formula $N8$
\end_inset

 גם 
\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$
\end_inset

.
 המקרה ההפוך דומה[.
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
5
\numeric off
( משפחת הפונקציות היציגות ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 סגורה תחת הרכבה.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח ש
\begin_inset Formula $G(x_{1},...x_{n})$
\end_inset

 יציגה ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $h_{i}(y_{1},...,y_{m})$
\end_inset

 יציגות ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

.
 עלינו להראות ש
\begin_inset Formula $G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$
\end_inset

 יציגה ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 נניח ש
\begin_inset Formula $\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$
\end_inset

 מייצגות את 
\begin_inset Formula $h_{i}$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

 , ו
\begin_inset Formula $\psi(z_{1},..,z_{n},t)$
\end_inset

 את 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 נראה ש 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t)
\end{eqnarray*}

\end_inset

 מייצגת את ההרכבה.
 כלומר עלינו להראות שלכל 
\begin_inset Formula $p_{1},...,p_{m}$
\end_inset

 טבעיים ]ובתחום של הפונקציות 
\begin_inset Formula $h_{i}$
\end_inset

[ מתקיים ש
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})})
\end{eqnarray*}

\end_inset

.
 אם נסמן 
\begin_inset Formula $q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $r=G(q_{1},...,q_{n})$
\end_inset

 ]בהנחה שהכל מוגדר[ מה שעלינו להראות זה ש
\begin_inset Formula $N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$
\end_inset

.
 על ידי שנחליף את 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 בקבוע שאינו מופיע ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 יספיק להוכיח 
\begin_inset Formula $N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$
\end_inset

.
 יספיק להוכיח כל כיוון בנפרד.
 כזכור 
\begin_inset Formula $T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$
\end_inset

.
 לכן עלינו להוכיח:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
נתחיל מ
\numeric on
2
\numeric off
.
 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 מייצגת את 
\begin_inset Formula $h_{i}$
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $p_{1},...,p_{m}$
\end_inset

 בתחום של 
\begin_inset Formula $h_{i}$
\end_inset

 לכן 
\begin_inset Formula $N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$
\end_inset

.
 באותו אופן 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 מייצגת את 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $q_{1},...,q_{n}$
\end_inset

 בתחום של 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 לכן 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r})
\end{eqnarray*}

\end_inset

לכן 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r})
\end{eqnarray*}

\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula 
\begin{eqnarray*}
N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t)
\end{eqnarray*}

\end_inset


\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
נסיים עם
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
\end_inset

 מייצגות את 
\begin_inset Formula $h_{i}$
\end_inset

 אנחנו יודעים שמההנחה 
\begin_inset Formula $\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$
\end_inset

 אפשר להסיק 
\begin_inset Formula $z_{i}=q_{i}$
\end_inset

.
 כלומר 
\begin_inset Formula $N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$
\end_inset

.
 כיוון ש
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 מייצגת את 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 אז מ
\begin_inset Formula $z_{i}=q_{i}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $1\le i\le n$
\end_inset

 אפשר להסיק מההנחה 
\begin_inset Formula $\psi(z_{1},...,z_{n},t)$
\end_inset

 ש
\begin_inset Formula $t=\underline{r}$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$
\end_inset

 כנדרש.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
)
\numeric on
6
\numeric off
( משפחת הפונקציות היציגות ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 סגורה תחת מזעור.
\end_layout

\begin_layout Proof
)רעיון ההוכחה( תהי 
\begin_inset Formula $G(x_{1},...,x_{n},y)$
\end_inset

 פונקציה יציגה ע"י נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$
\end_inset

.
 תהי 
\begin_inset Formula $H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$
\end_inset

 .
 איזו נוסחה תייצג את 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

? 
\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$
\end_inset

.
 ההוכחה שזה אכן מייצג דומה למה שעשינו עד כה.
\end_layout

\begin_layout Section
הוכחת משפטי אי השלמות של גדל
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\bar under
תזכורת
\bar default
: הוכחנו אם 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 חשיבה )חלקית( אז 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 יציגה )חלש( ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תרגיל )מתוך תרגיל
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\noun default
\color inherit
10
\numeric off
(: 
\bar default
אם 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 יחס חשיב אז הוא יציג ולכן יש נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 כך ש:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\underline{n})$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $n\in A$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $n\not\in A$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תזכורת
\bar default
: הגדרנו פונקציה 
\begin_inset Formula $g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 "מספור גדל" של הנוסחאות בשפה 
\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
\end_inset

 של 
\begin_inset Formula $PA$
\end_inset

 וראינו שזו פונקציה חשיבה.
 לשם נוחות הסימון בהינתן נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi\in F(\mathcal{L})$
\end_inset

 נסמן 
\begin_inset Formula $\left\lceil \varphi\right\rceil $
\end_inset

 מספר הגדל של 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Theorem
)משפט נקודת השבת של גדל(: לכל נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 בשפה של 
\begin_inset Formula $PA$
\end_inset

 קיימת נוסחה 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$
\end_inset

 )נוסחאות עם משתנה חופשי אחד לנוסחאות ללא משתנים חופשיים( הפונקציה המקיימת
 
\begin_inset Formula $\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset

 נקראת פונקציית האלכסון.
\end_layout

\begin_layout Definition
קל להשתכנע ש-
\begin_inset Formula $\Delta$
\end_inset

 ניתנת לחישוב ע"י מכונת טיורינג.
 לכן הפונקציה הבאה חשיבה: 
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 המוגדרת ע"י 
\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta)}$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 מספר גדל של נוסחה במשתנה חופשי אחד, ואם 
\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta)}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $
\end_inset

 ו
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $
\end_inset

.
 לכן היחס 
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n,m)$
\end_inset

 המוגדר ע"י 
\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta})$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n)=m$
\end_inset

 הוא יחס חשיב.
 לכן 
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(x,y)$
\end_inset

 יציג ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 לפי התרגיל יש נוסחה 
\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{\Delta}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition
תהי 
\begin_inset Formula $\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$
\end_inset

.
 יהי 
\begin_inset Formula $\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח ש-
\begin_inset Formula $N\vdash\psi$
\end_inset

.
 צריך להראות ש-
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

.
 אבל 
\begin_inset Formula $\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
\end_inset

.
 נזכור ש
\begin_inset Formula $\left\lceil \chi\right\rceil $
\end_inset

 מספר גדל של נוסחה במשתנה אחד.
 בנוסף, 
\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
\end_inset

 היא יצוג של היחס 
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(x,y)$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $
\end_inset

.
 לכן אם 
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
\end_inset

 המועמד היחיד שיכול להעיד על כך הוא 
\begin_inset Formula $\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

 .
 בכיוון השני, נניח ש
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

 ועלינו להוכיח 
\begin_inset Formula $N\vdash\psi$
\end_inset

 .
 עלינו להראות ש-
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
\end_inset

.
 יספיק להוכיח ש-
\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $y_{0}$
\end_inset

 כלשהו.
 אבל 
\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

 - כי 
\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
\end_inset

 מייצגת את 
\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}$
\end_inset

 ומהנתון 
\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

.
 נשים 
\begin_inset Formula $y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $
\end_inset

 וגמרנו.
\end_layout

\begin_layout Theorem
)משפט השלמות הראשון של גדל( תהי 
\begin_inset Formula $T\supseteq N$
\end_inset

 תורה חשיבה ו-
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

-שלמה , אז 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 אינה שלמה.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
תורה 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 נקראת 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

-שלמה אם 
\begin_inset Formula $T\vdash(\exists x)\varphi(x)$
\end_inset

 לאיזה נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi(x)$
\end_inset

 גורר ש
\begin_inset Formula $T\vdash\varphi(\underline{n})$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Definition
נוסחה 
\begin_inset Formula $Pr(x)$
\end_inset

 נקראת 
\bar under
יחס יכיחות
\bar default
 אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $T\vdash\phi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\end_deeper
\begin_layout Claim
ב
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 יש יחס יכיחות ואם מניחים ש
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 היא 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

-שלמה אז בנוסף מתקיים: אם 
\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נגדיר יחס דו מקומי 
\begin_inset Formula $\tilde{Pr}(x,y)$
\end_inset

 כך ש 
\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{Pr}$
\end_inset

 אם:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 מספר גדל של נוסחה 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

, ו-
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 מקודד הוכחה של 
\begin_inset Formula $\varphi$
\end_inset

 מתוך 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 .
 
\end_layout

\begin_layout Standard
אז 
\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
\end_inset

 יחס חשיב.
 לכן יש נוסחה 
\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
\end_inset

 שמייצגת את 
\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
\end_inset

.
 כלומר 
\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{Pr}$
\end_inset

 ומוכיח את השלילה - אחרת.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Proof
נגדיר 
\begin_inset Formula $Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$
\end_inset

.
 מדוע, למשל 
\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
\end_inset

? משום שאם 
\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
\end_inset

 אז יש הוכחה של 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 מ
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 ויהי 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 קידוד של ההוכחה הזו.
 אז 
\begin_inset Formula $\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
\end_inset

.
 בגלל ש
\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
\end_inset

 מייצגת את 
\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
\end_inset

 לכן 
\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$
\end_inset

.

\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
נובע מ-
\numeric on
1
\numeric off
, ו-
\numeric on
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
הוכח באופן דומה )תרגיל(.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
כדי לקבל את
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
4
\numeric off
: אם 
\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

-שלמה אז 
\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
 אבל אז מהגדרת היציגות 
\begin_inset Formula $N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 מקודד הוכחה של 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 מ
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Proof
)למשפט השלמות הראשון של גדל( לפי משפט נקודת השבת יש 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
מקרה א': 
\begin_inset Formula 
\[
T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow
\]

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Itemize
מקרה ב': 
\begin_inset Formula 
\[
T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow
\]

\end_inset

יוצא 
\begin_inset Formula $\psi,\neg\varphi$
\end_inset

 אינם יכיחים ב
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 אינה שלמה.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard

\bar under
סימון:
\bar default
 תהי 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 תורה חשיבה.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Theorem
)משפט אי השלמות השני של גדל( אם 
\begin_inset Formula $T\supseteq N$
\end_inset

 חשיבה ועקבית אז 
\begin_inset Formula $T\not\vdash Con_{T}$
\end_inset

.
 במילים אחרות 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עקבית לא יודעת את זה על עצמה.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נבחר 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 כמו בהוכחת המשפט הראשון.
 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

.
 אז:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$
\end_inset

.
 מ-
\numeric on
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ומ-
\numeric on
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
נקבל:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
לפי
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
מ-
\numeric on
2
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ו-
\numeric on
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
ביחד נקבל 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
אבל 
\begin_inset Formula $\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$
\end_inset

 היא אקסיומה לוגית )ואפילו טאוטולוגיה(.
 לכן 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$
\end_inset

.
 לפי
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 ו-
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
3
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
מקבלים: 
\begin_inset Formula 
\[
T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil ))
\]

\end_inset

 לפי כלל
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
4
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
וכלל הניתוק 
\begin_inset Formula 
\[
T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T}
\]

\end_inset

 כלומר 
\begin_inset Formula 
\[
T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )
\]

\end_inset

 אבל לפי בחירת 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

, אם מניחים ש
\begin_inset Formula $T\vdash Con_{T}$
\end_inset

 אז מכלל הניתוק 
\begin_inset Formula $T\vdash\neg Pr(\psi)$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
\end_inset

.
 אבל לפי
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
זה גורר 
\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
\end_inset

 - סתירה.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Section
תורת רקורסיה
\end_layout

\begin_layout Standard
תהי 
\begin_inset Formula $H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

.
 פונקציה חלקית.
 מכונת טיורינג עם אוב )אורקל( עבור 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 זו מכונת טיורינג רגילה שלה פקודה נוספת: "חשב את הערך של 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 כלשהו".
 ואז הערך של 
\begin_inset Formula $H(n)$
\end_inset

 מוחזר אם 
\begin_inset Formula $n\in Dom(H)$
\end_inset

 ואחרת האוב אינו מחזיר תשובה, והחישוב של המכונה אינו מסתיים.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
למשל, נוסיף למכונת טיורינג רגילה עוד סרט והפקודה "קרא מן האוב" תתפרש כ-"חשב
 את 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 עבור הערך שכתוב בסרט בתא מספר
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
2
\numeric off
".
 מה שחשוב הוא שמ"ט עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 ניתנת לתיאור סופי.
 לכן בהינתן אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 אפשר לקודד את כל מ"ט עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 בדומה לקידוד של מ"ט רגילות.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
המושגים:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
מצב של מכונה עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
ריצה של מכונה עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
ריצה מסתיימת
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(\bar{x})$
\end_inset

 
\end_layout

\begin_layout Standard
כולם מוגדרים באופן זהה להגדרה הרגילה.
\end_layout

\begin_layout Standard
פונקציה 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 תקרא חשיבה עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 אם קיימת מ"ט 
\begin_inset Formula $T$
\end_inset

 עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $f=f_{T}^{1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
יהיו 
\begin_inset Formula $H,G$
\end_inset

 אובות.
 נאמר ש
\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
\end_inset

 אם כל פונקציה חשיבה מ
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
נאמר ש
\begin_inset Formula $H\sim_{R}G$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $G\le_{R}H$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
\begin_inset Formula $\sim_{R}$
\end_inset

 הוא יחס שקילות.
\end_layout

\begin_layout Proof
צריך להראות רק שאם 
\begin_inset Formula $H\le_{R}G\le_{R}F$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $H\le_{R}F$
\end_inset

.
 נניח ש
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 עלינו להראות ש
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 מהנחתנו 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

, אבל אז גם 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
דרגת טיורינג של 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 הינה 
\begin_inset Formula $deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 דרגות אז נאמר ש
\begin_inset Formula $a\le_{R}b$
\end_inset

 אם לכל 
\begin_inset Formula $H,G$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $deg(H)=a,deg(G)=b$
\end_inset

 מתקיים 
\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
\end_inset

.
 ]הערה: בהגדרה אפשר להחליף "לכל" ב"קיים"[.
\end_layout

\begin_layout Standard
ברור ש
\begin_inset Formula $\le_{R}$
\end_inset

 הוא יחס סדר חלקי על הדרגות.
 מטרה ראשונה לחקור את המבנה של הקבוצה סדורה חלקית של דרגות טיורינג.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
תכונות בסיסיות של הדרגות:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 חשיבה אז 
\begin_inset Formula $deg(F)\le_{R}deg(G)$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
בפרט:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 חשיבות אז 
\begin_inset Formula $F\sim_{R}G$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם נסמן 
\begin_inset Formula $0=degF$
\end_inset

 ל
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 חשיבה אז 
\begin_inset Formula $0\le_{R}a$
\end_inset

 לכל דרגה 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}$
\end_inset

 דרגות כלשהן אז יש להן חסם מלעיל משותף קטן ביותר.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
יהיו 
\begin_inset Formula $F_{1},...,F_{n}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $degF_{i}=a_{i}$
\end_inset

.
 ברור שכל 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 המקיימת 
\begin_inset Formula $F_{i}\le_{R}H$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 מחשבת את 
\begin_inset Formula $F_{1},...,F_{n}$
\end_inset

.
 לכן אם נקח בתור אוב את 
\begin_inset Formula $\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$
\end_inset

 )
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-אובות( נקבל ש
\begin_inset Formula $F_{i}\le_{R}\tilde{H}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 ומזערי כזה.
 עכשיו פשוט נחליף את 
\begin_inset Formula $\tilde{H}$
\end_inset

 ב-
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 הפועלת באופן הבא: 
\begin_inset Formula $H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $\tilde{H}$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\tilde{H}$
\end_inset

 היא החסם המבוקש.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
נאמר שסדרת פונקציות 
\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 היא חשיבה מ
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 אם הפונקציה 
\begin_inset Formula $F(n,x)=F_{n}(x)$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 ברור שאם 
\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 סדרת פונקציות אז 
\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $F(n,x)$
\end_inset

.
 לכן לכל סדרת פונקציות יש חסם מלעיל.
 
\bar under
אזהרה: 
\bar default
אבל זה לא נכון שלכל סדרת פונקציות יש חסם עליון.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
נאמר ש
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 נל"ח ב
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 )ונרשום 
\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
\end_inset

( אם 
\begin_inset Formula $Dom(f)=H$
\end_inset

 לאיזו 
\begin_inset Formula $f\le_{R}G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
בדיוק כמו במקרה של פונקציות חשיבות לכל 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

יש 
\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $H\not\le_{R}G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
בהינתן 
\begin_inset Formula $G(x)$
\end_inset

 נסמן ב
\begin_inset Formula $G^{*}(e,x)$
\end_inset

 זו מכונת טיורינג אשר )עם אוב 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

( אשר בהינתן 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 קוד של מ"ט עם אוב 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 וקלט 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 מחשבת את 
\begin_inset Formula $T_{e}(x)$
\end_inset

.
 ברור ישירות מההגדרה ש:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $H\le_{R}G^{*}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $G^{*}\le_{RE}G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
מדוע?
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
\end_inset

 אז יש 
\begin_inset Formula $f\le_{R}G$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $H=Im(f)$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 שלמה.
 אז 
\begin_inset Formula $H=Im(G^{*}(e_{f},x))$
\end_inset

 כאשר על הקוד של 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

.
 וברור ש
\begin_inset Formula $G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate
ברור - כי 
\begin_inset Formula $G^{*}$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 ולכן הגרף שלה נל"ח מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Definition
אם 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 דרגה ו-
\begin_inset Formula $a=degH$
\end_inset

 אז הקפיצה של 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 היא 
\begin_inset Formula $degH^{*}$
\end_inset

 ומסומנת 
\begin_inset Formula $a^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Definition
שאלה: האם זה מוגדר היטב? אם 
\begin_inset Formula $H\sim G$
\end_inset

 האם 
\begin_inset Formula $H^{*}\sim G^{*}$
\end_inset

? מתקיים:
\begin_inset Formula 
\[
G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H
\]

\end_inset

 לכן יספיק להראות ש
\begin_inset Formula $G^{*}$
\end_inset

 נל"ח מירבית מ
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 לפי הטענה הקודמת עבור 
\begin_inset Formula $H,H^{*}$
\end_inset

 יוצא ש
\begin_inset Formula $G^{*}\le_{R}H^{*}$
\end_inset

.
 מסימטריה בין 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

ו-
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 גם 
\begin_inset Formula $H^{*}\le_{R}G^{*}$
\end_inset

 ולכן זה מוגדר היטב.
\end_layout

\begin_layout Definition

\bar under
שאלה
\bar default
: האם קיימת דרגה 
\begin_inset Formula $0<a$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
\end_inset

? תשובה: כן!
\end_layout

\begin_layout Section
תורת רקורסיה - המשך
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תזכורת
\bar default
: אם 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 פונקציות )מהטבעיים לטבעיים( אז 
\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
\end_inset

 אם כל פונקציה חשיבה מ
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $F\sim_{R}G$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $G\le_{R}F$
\end_inset

.
 כמו כן נסמן 
\begin_inset Formula $F/_{\sim}=degF$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
אם 
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 דרגות אז 
\begin_inset Formula $a\le b$
\end_inset

 אם קיימות פונקציות 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $degF=a,degG=b$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
\end_inset

.
 אמרנו: אפשר להחליף את "קיימות 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

" ב"לכל 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

".
\end_layout

\begin_layout Standard
מתי נאמר ש
\begin_inset Formula $F\le_{RE}G$
\end_inset

? אם 
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 דרגות אז נגדיר 
\begin_inset Formula $a\le_{RE}b$
\end_inset

 בדיוק אם קיימות 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $degF=a,degG=b$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $F\le_{RE}G$
\end_inset

.
 
\bar under
תרגיל
\bar default
: 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 חשיבה ב
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 אם ורק אם 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 נל"ח מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A$
\end_inset

 נל"ח מ
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
אם 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 פונקציה כלשהי אז 
\begin_inset Formula $H^{*}$
\end_inset

 היא הפונקציה המתאימה למכונת טיורינג אוניברסלית עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 באופן פורמלי: 
\begin_inset Formula $H^{*}$
\end_inset

 היא הפונקציה המציינת של הקבוצה:
\begin_inset Formula 
\[
\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\}
\]

\end_inset

ישירות מן ההגדרה נובע שאם 
\begin_inset Formula $G\le_{RE}H$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $degG\le degH^{*}$
\end_inset

.
 
\bar under
כמסקנה
\bar default
: אם נגדיר לדרגה 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 את הדרגה 
\begin_inset Formula $a^{\prime}$
\end_inset

 ע"י 
\begin_inset Formula $a^{\prime}=degH^{*}$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 כלשהי כך ש
\begin_inset Formula $a=degH$
\end_inset

 אז:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a^{\prime}$
\end_inset

 מוגדר היטב
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $a^{\prime}$
\end_inset

 הוא הדרגה המירבית מעל 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 שהיא נל"ח ב
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

.
 במילים אחרות, אם 
\begin_inset Formula $a\le b$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $b\le_{RE}a$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $b\le a^{\prime}$
\end_inset

.
 מדוע? אם 
\begin_inset Formula $b\le_{RE}a$
\end_inset

 אז לפי הגדרה יש 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $degG=b$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $G\le_{RE}H$
\end_inset

.
 לכן 
\begin_inset Formula $degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
ראינו: אם 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 חשיבות אז 
\begin_inset Formula $F\sim G$
\end_inset

 וסימנו
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\begin_inset Formula $degF=0$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $0\le a$
\end_inset

 לכל דרגה 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם 
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 דרגות אז יש דרגה 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 חסם מלעיל קטן ביותר ל
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
לכל סדרה 
\begin_inset Formula $F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
\end_inset

 יש חסם מלעיל )שהוא פשוט 
\begin_inset Formula $F(y,x)$
\end_inset

( אבל אין חסם עליון.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
תרגיל
\bar default
: אם 
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 דרגות אז 
\begin_inset Formula $a<a^{\prime}$
\end_inset

 )ללא שיוויון( ואם 
\begin_inset Formula $a\le b$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $a^{\prime}\le b^{\prime}$
\end_inset

.
 אבל בהמשך נראה שיש 
\begin_inset Formula $a<b$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $a^{\prime}=b^{\prime}$
\end_inset

 .
\end_layout

\begin_layout Theorem
קיימות דרגות 
\begin_inset Formula $a,b\le0^{\prime}$
\end_inset

 שאינן ניתנות להשוואה.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
קיימת דרגה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula $0<a<0^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Proof
לפי המשפט יש 
\begin_inset Formula $a,b\le0^{\prime}$
\end_inset

 שאינן ניתנות להשוואה.
 אז 
\begin_inset Formula $a,b\not=0^{\prime}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $a,b\not=0$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Standard
שאלה מרכזית: )הבעיה של
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
\lang english
Post
\lang hebrew
( האם קיימת 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 כנ"ל שהיא נל"ח?
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
אבחנה:
\bar default
 נניח ש
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 חשיבה עם אוב 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
 אז לכל 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 יש 
\begin_inset Formula $\sigma\subseteq H$
\end_inset

 פונקציה סופית )ז"א תחום של 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 סופי( כך ש
\begin_inset Formula $f(n)$
\end_inset

 ניתן לחישוב מ
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
)למשפט( נשים לב שגם אם האוב 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 אינו ידוע לנו עדיין ניתן לרשום את כל הקודים של מכונת טיורינג עם אוב 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 בתור התחלה נבנה שתי פונקציות 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
\end_inset

 וגם 
\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
\end_inset

.
 כדי למלא את הדרישה הזו עלינו לקיים שני אוספים של תנאים:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
)e
\numeric on
1
\numeric off
( מ"ט עם אוב 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 שהקוד שלה הוא 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 אינה מחשבת את 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
)e
\numeric on
2
\numeric off
( מ"ט עם אוב 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 שהקוד שלה הוא 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 אינה מחשבת 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
אז תהי 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$
\end_inset

 מניה חשיבה של התנאים הנ"ל.
 נבנה באופן אינדוקטיבי פונקציות סופיות 
\begin_inset Formula $F_{i},G_{i}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$
\end_inset

 ג לכל 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 ואם 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 היא תנאי מסוג
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\numeric off
, למשל אז 
\begin_inset Formula $F_{i+1}$
\end_inset

 תבטיח שהפונקציה המחושבת ע"י המכונה 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 עם האוב 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 לא תחשב את 
\begin_inset Formula $F_{i+1}$
\end_inset

.
 במילים אחרות המכונה 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 עם האוב 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 על קלט מסויים 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 אז תתן ערך ששונה מ
\begin_inset Formula $F_{i+1}(n)$
\end_inset

.
 נניח שהגדרנו 
\begin_inset Formula $F_{i},G_{i}$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $F_{i-1}\subseteq F_{i}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $G_{i-1}=G_{i}$
\end_inset

 ונניח שבה"כ 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 הוא תנאי מסוג
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
)התפקידים של 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 סימטריים לחלוטין בהוכחה(.
 יהי 
\begin_inset Formula $n_{i}\in\mathbb{N}$
\end_inset

 הקטן ביותר כך ש
\begin_inset Formula $n_{i}\not\in dom(F_{i})$
\end_inset

.
 נבחים בין שני מקרים:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
מקרה א' - קיימת פונקציה סופית 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 כך ש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מתיישבת עם 
\begin_inset Formula $G_{i}$
\end_inset

 )כלומר אם 
\begin_inset Formula $x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $\sigma(x)=G_{i}(x)$
\end_inset

(
\end_layout

\begin_layout Enumerate
מ"ט 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 עם אוב 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 עוצרת על הקלט 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
במקרה זה, נגדיר 
\begin_inset Formula $G_{i}\subseteq G_{i+1}$
\end_inset

 עם 
\begin_inset Formula $G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$
\end_inset

.
 בגלל הנחה )
\numeric on
1
\numeric off
( - זוהי פונקציה.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$
\end_inset

 )כאשר 
\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}$
\end_inset

 הוא הערך שמ"ט 
\begin_inset Formula $e_{i}$
\end_inset

 עם אוב 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מחזירה עבור 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

( וזה מוגדר בגלל הנחה )
\numeric on
2
\numeric off
(.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
מקרה ב' - לא מקרה א'.
 אז נגדיר 
\begin_inset Formula $G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$
\end_inset

.
 עתה נגדיר 
\begin_inset Formula ${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$
\end_inset

.
 נראה ש
\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
\end_inset

 )המקרה השני סימטרי לחלוטין(.
 תהי 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 מ"ט כלשהי עם אוב 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

.
 נראה ש
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 אינה מחשבת את 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
 לשם כך יספיק למצוא 
\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כלשהו כך ש
\begin_inset Formula $F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$
\end_inset

 ]נשים לב ש
\begin_inset Formula $F(n)$
\end_inset

 מוגדרת לכל 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

, פשוט משום שהבניה מבטיחה שנטפל בבניה של 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 אינסוף פעמים ובכל פעם אנחנו מגדירים את 
\begin_inset Formula $F_{i+1}(n_{i})$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $n_{i}$
\end_inset

 קטן ביותר עבורו הפונקציה טרם הוגדרה.
 לכן בהכרח 
\begin_inset Formula $dom(F)=\mathbb{N}$
\end_inset

[.
 בפרט, אם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{G}(n)$
\end_inset

 לא עוצרת, נקבל את הדרישה.
\end_layout

\begin_layout Standard
יש שלב 
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 שבו טיפלנו במכונה 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

.
 יש שתי אפשרויות.
 אם היינו במקרה ב' אז 
\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$
\end_inset

 אינה עוצרת.
 אילו הייתה עוצרת, לפי האבחנה שרשמנו היה 
\begin_inset Formula $\sigma\subseteq G$
\end_inset

 סופי כך ש
\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$
\end_inset

 עוצרת, ומכיוון של
\begin_inset Formula $G_{i}$
\end_inset

 ול
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 הרחבה משותפת 
\begin_inset Formula $G$
\end_inset

 הן מתיישבות בסתירה להנחה שאנחנו במקרה ב'.
 אם היינו במקרה א' אז יש 
\begin_inset Formula $\sigma_{i}\subseteq G$
\end_inset

 סופית )שהיא זאת שמופיעה בבניה בשלב ה
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

( כך ש
\begin_inset Formula $F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$
\end_inset

.
 
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Corollary
\begin_inset Formula $degG$
\end_inset

 אינו ניתן להשוואה עם 
\begin_inset Formula $degF$
\end_inset

.
 נותר להראות 
\begin_inset Formula $degF\le0^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
תורת רקורסיה - המשך
\end_layout

\begin_layout Standard
התחלנו להוכיח: קיימות דרגות 
\begin_inset Formula $0\le a,b\le0^{\prime}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $a,b$
\end_inset

 אינן ניתנות להשוואה ונסמן 
\begin_inset Formula $a|b$
\end_inset

.
 בנינו שתי פונקציות 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
\end_inset

.
 נותר לבדוק ש-
\begin_inset Formula $degF,degG\le0^{\prime}$
\end_inset

.
 כדי להבטיח שהפונקציות בלתי ניתנות להשוואה היה צריך להגשים שני סוגי תנאים:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
)e
\numeric on
1
\numeric off
( 
\begin_inset Formula $F\not=f_{T_{e}^{G}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Enumerate
)e
\numeric on
2
\numeric off
( 
\begin_inset Formula $G\not=f_{T_{e}^{F}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Lemma
)למת השימוש( תהי 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 מ"ט ו-
\begin_inset Formula $H,G$
\end_inset

 אובות.
 נניח שבריצה של 
\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)$
\end_inset

 הפניות לאורקל 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 מבקשות בדיוק את הערכים 
\begin_inset Formula $H(r_{1}),...,H(r_{k})$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
\end_inset

 ונניח ש-
\begin_inset Formula $G(r_{i})=H(r_{i})$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $1\le i\le k$
\end_inset

.
 אז 
\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$
\end_inset

.
 בפרט: אם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)$
\end_inset

 עוצרת אז יש 
\begin_inset Formula $\sigma\subseteq H$
\end_inset

 סופית כך ש-
\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Lemma
כדי לבנות את 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 מספרנו את התנאים 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
\end_inset

 בצורה חשיבה.
 אם בשלב 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 עלינו לטפל בתנאי מסוג e
\numeric on
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 אז נבחר 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 להיות הראשון שאינו ב
\begin_inset Formula $domF_{n}$
\end_inset

 ונבחין בין שני מקרים.
 
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
מקרה א' - אם קיימת 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 סופית כך ש:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 מתיישבת עם 
\begin_inset Formula $G_{n}$
\end_inset

 ו-
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
\end_inset

 עוצרת
\end_layout

\begin_layout Standard
אז נגדיר 
\begin_inset Formula $G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$
\end_inset

 ו- 
\begin_inset Formula $F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula $r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$
\end_inset

.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Enumerate
מקרה ב' - אחרת )כלומר, אין 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 כנ"ל( נגדיר 
\begin_inset Formula $F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$
\end_inset

.
 אז ראינו ש-
\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
\end_inset

ו-
\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
\end_inset

 כאשר 
\begin_inset Formula ${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula ${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$
\end_inset

.
 נותר לבדוק ש-
\begin_inset Formula $degG,degF\le0^{\prime}$
\end_inset

.
 כלומר עלינו להראות שיש אוב נל"ח שממנו 
\begin_inset Formula $F,G$
\end_inset

 חשיבות.
 משיקולי סימטריה יספיק לבדוק שזה נכון עבור 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
נגדיר פונקציה 
\begin_inset Formula $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 שהיא הבניה: כלומר 
\begin_inset Formula $s(n)$
\end_inset

 מחזיר לנו קוד עבור 
\begin_inset Formula $\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $
\end_inset

.
 יספיק לוודא ש-
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 חשיבה מאיזה אוב נל"ח.
 נניח שאנחנו יודעים את 
\begin_inset Formula $s(n)$
\end_inset

 ואנחנו רוצים לחשב את 
\begin_inset Formula $s(n+1)$
\end_inset

.
 ב.ה.כ השלב 
\begin_inset Formula $e_{n+1}$
\end_inset

 הוא מסוג e
\numeric on
1
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
.
 דבר ראשון 
\begin_inset Formula $s$
\end_inset

 צריכה להכריע אם אנחנו במקרה א' או מקרה ב'.
 ז"א עלינו לדעת להכריע אם קיימת 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 שמתיישבת עם 
\begin_inset Formula $G_{n}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T_{e+1}^{\sigma}(k)$
\end_inset

 עוצרת )מיהו 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ידוע מ
\begin_inset Formula $s(n)$
\end_inset

(.
 דבר ראשון נשים לב שהתנאי בתוך הסוגריים הוא נל"ח ]ב
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

, אבל מכיוון ש
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 סופית אז היא ממש נל"ח[.
 אבל לכל יחס נל"ח 
\begin_inset Formula $A(\bar{x},\bar{y})$
\end_inset

 אז גם 
\begin_inset Formula $(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$
\end_inset

 נל"ח.
 לכן ההכרעה האם אנחנו במקרה א' או במקרה ב' חשיבה מאוב נל"ח.
 אם נחנו במקרה ב' - אין בעיה, הכל חשיב.
 אם אנחנו במקרה א' - עלינו למצוא את 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

.
 זה שוב דבר שהוא חשיב באופן כללי, כי אם 
\begin_inset Formula $A(\bar{x},\bar{y})$
\end_inset

 נל"ח ו-
\begin_inset Formula $\bar{y}$
\end_inset

 כזה ש-
\begin_inset Formula $(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$
\end_inset

 אז יש פונקציה חשיבה שמחזירה 
\begin_inset Formula $\bar{x}$
\end_inset

 שמעיד על כך.
 לכן בסה"כ 
\begin_inset Formula $s(n+1)$
\end_inset

 חשיבה מ
\begin_inset Formula $s(n)$
\end_inset

 בעזרת האוב הנל"ח 
\begin_inset Formula $(\exists\sigma)(...)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Corollary
קיימת 
\begin_inset Formula $0<a<0^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Corollary
אותה הוכחה בדיוק תראה: לכל דרגה 
\begin_inset Formula $c$
\end_inset

 קיימת דרגה 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 כך ש
\begin_inset Formula $c<a<c^{\prime}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Corollary
האם אפשר למצוא 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 כמו במסקנה שהיא נל"ח? תשובה: כן.
 ואפשר אפילו לדרוש ש-
\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Theorem
קיימת דרגת טיורינג נל"ח 
\begin_inset Formula $a$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $a\not=0$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
)רעיון( נבנה קבוצה 
\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
\end_inset

 באינדוקציה.
 בכל שלב 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 נוסיף לקבוצה שבנינו בשלבים הקודמים מספר של איברים.
 הבניה תהיה כזו שלגבי כל איבר שהכנסנו ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 אנחנו מתחייבים שהוא יישאר ב-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 אבל באופן כללי בשום שלב סופי לא נתחייב לגבי שום מספר טבעי שהוא לא ייכנס
 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 מתישהו בעתיד.
 לפי מה אנחנו מחליטים האם להכניס איבר ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 או לא )שזה דבר שלא יקרה(? כדי להבטיח את התנאים נרצה לוודא שהקבוצה 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 שאנחנו בונים אינה חשיבה.
 לכן נרצה להבטיח ש-
\begin_inset Formula $\chi_{A}$
\end_inset

 שונה מ
\begin_inset Formula $\chi_{E}$
\end_inset

 לכל קבוצה חשיבה 
\begin_inset Formula $E$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
הצרה היא שאנחנו לא יכולים להתמקד בפונקציות מציינות של קבוצות חשיבות.
 צריך לעבור על כל הפונקציות החשיבות - ובכלל זה אלו שאינן שלמות.
 מתי נכניס איבר 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

? לכל מ"ט 
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 נתאים מספר טבעי 
\begin_inset Formula $k(e)$
\end_inset

 ונריץ את 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

.
 אם נקבל
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
עולה החשד ש
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 פונקציה מציינת של איזו קבוצה ו-
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 חושבת ש-
\begin_inset Formula $k(e)$
\end_inset

 לא בקבוצה.
 ליתר בטחון, נכניס את 
\begin_inset Formula $k(e)$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 וזה יבטיח ש
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 שונה מהקבוצה ש-
\begin_inset Formula $T_{e}$
\end_inset

 )אולי( מקודדת.
 הקושי העיקרי - כיצד נדע אם 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

 אי פעם תעצור?
\end_layout

\begin_layout Proof
כדי להבטיח ש-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 שנבנה תהיה נל"ח נרצה לוודא שהבניה שאנחנו מנהלים היא חשיבה.
 לכן שאלות מהסוג "האם 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

 עוצרת" אינן באות בחשבון.
 מה הפתרון? נשים לב שאם 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

 אינה עוצרת ומחזירה
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\numeric off
, לא יקרה שום דבר רע אם אף פעם לא נחליט להכניס את 
\begin_inset Formula $k(e)$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 כי בסוף פשוט 
\begin_inset Formula $k(e)$
\end_inset

 לא יהיה ב
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ואנחנו בסדר.
 השאלה היא איך לא לתקוע את הבניה אם 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

 לא עוצרת.
 כמו תמיד, נדאג לחזור ל
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 אינסוף פעמים ובכל פעם לבצע מספר חסום )אבל עולה לאינסוף( של צעדים.
 אם אי פעם 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

 תעצור נדע אם עצרה על
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
0
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
או לא - אם כן נכניס את 
\begin_inset Formula $k(e)$
\end_inset

 ואם לא - לא נעשה כלום.
 בדיוק כמו במקרה שבו 
\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
\end_inset

 בכלל לא עוצרת.
\end_layout

\begin_layout Proof
הדרישה השניה, ש-
\begin_inset Formula $(degA)^{\prime}=0^{\prime}$
\end_inset

 מצריכה אותנו לטפל בעוד משפחה של תנאים: 
\begin_inset Formula $(2_{e,k})$
\end_inset

- צריך להחליט האם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 עוצרת או לא.
 נניח שרוצים לטפל בתנאים אלה.
 רוצים לדעת האם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 עוצרת או לא.
 אבל איפה 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ואיפה אנחנו?? )אליבא ד'חסון(.
 בשלב סופי התחייבנו רק לגבי מספר סופי של 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 שהם ב
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 ננסה לחשב את 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 - את זה גם כן אי אפשר לחשב.
 את זה נפתור כמו קודם.
 נטפל בתנאי 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 אינסוף פעמים וכל פעם נריץ את המכונה עוד קצת.
 כל זה יעזור בכלל במשהו אם בסוף, לגבי כל 
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 שעליו 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 שאלה האם 
\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
\end_inset

 נקבל בדיוק את אותה התשובה גם ב
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 )או לחלופין בכל שלב בעתיד בו נחזור לטפל ב
\begin_inset Formula $(2_{e,k})$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
המכונה שואלת את האוב 
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 שאלות מהצורה "האם 
\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
\end_inset

?" או "האם 
\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
\end_inset

?".
 מהבניה - אם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
\end_inset

 שאלה "האם 
\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
\end_inset

?" וקיבלה תשובה חיובית אז היא תמיד תקבל תשובה חיובית לכל 
\begin_inset Formula $A_{j}$
\end_inset

 עם 
\begin_inset Formula $i\le j$
\end_inset

.
 לכן התשובות היחידות שיכולות להשתנות הן תשובות ש
\begin_inset Formula $A_{i}$
\end_inset

 חושב ש
\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
\end_inset

.
 ל
\begin_inset Formula $r$
\end_inset

 יש שימוש שלילי בריצה של 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
\end_inset

 פונה לאוב בשאלה "האם 
\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
\end_inset

?" ומקבלת תשובה 
\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
\end_inset

.
 לכל חישוב של ריצה עבור 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
\end_inset

 ]במילים אחרות, לכל טיפול בתנאי 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

[ נצוות רשימה 
\begin_inset Formula $N_{e,k}$
\end_inset

 של כל ה
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
\end_inset

 בהם נעשה שימוש שלילי בזמן הריצה.
\end_layout

\begin_layout Proof
כל עוד 
\begin_inset Formula $N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$
\end_inset

 - אנחנו בסדר.
 מה שנרצה הוא להשתדל שלא להכניס איברים מ-
\begin_inset Formula $N_{e,k}$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 אבל מה נעשה אם פתאום תנאי מסוג 
\begin_inset Formula $1$
\end_inset

 מחליט שהוא רוצה להכניס ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 איבר ששייך לאיזה 
\begin_inset Formula $N_{e,k}$
\end_inset

? נחליט על סדר קדימויות.
 נמספר את כל התנאים שלנו )כמו בהוכחת המשפט הקודם( ונרשה לתנאי מסוג 
\begin_inset Formula $1_{e}$
\end_inset

 לפצוע קבוצה מסוג 
\begin_inset Formula $N_{e,k}$
\end_inset

 רק אם המספר הסידורי של 
\begin_inset Formula $1_{e}$
\end_inset

 קטן מזה של 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Section
תורת רקורסיה - המשך
\end_layout

\begin_layout Standard
)המשך רעיון ההוכחה משיעור שעבר(
\end_layout

\begin_layout Itemize
תהי 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
\end_inset

 רשימה של כל התנאים 
\begin_inset Formula $1_{e},2_{e,k}$
\end_inset

 כך שכל תנאי מופיע אינסוף פעמים.
 אין בעיה לייצר רשימה כזו באופן חשיב.
\end_layout

\begin_layout Itemize
נבחר פעם אחת ולתמיד חלוקה של 
\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
\end_inset

 לאינסוף קבוצות אינסופיות זרות.
 גם את זה אפשר לעשות באופן חשיב.
 ]למשל 
\begin_inset Formula $a\in A_{n}$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $n=Pr^{L}(a)$
\end_inset

 - שיטת האלכסון של קושי[.
\end_layout

\begin_layout Itemize
ראשית, נתאר בהינתן תנאי מהצורה 
\begin_inset Formula $1_{e}$
\end_inset

 כיצד נבחר 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 שעבורו ננסה לחשב את 
\begin_inset Formula $T_{e}(k)$
\end_inset

.
 אם 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

 היא המכונה ה-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

-ית באיזה מספור )חשיב( של הפונקציות החשיבות אז נבחר את 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

 .
 שנית, נדרוש ש-
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 מספיק גדול כך שאינו מופיע בשום 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה שהתקבלה עד כה בבניה.
\end_layout

\begin_layout Itemize
עכשיו נתאר את השלב ה-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 בבניה:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize

\bar under
מקרה א'
\bar default
 - השלב ה-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 הוא מהצורה 
\begin_inset Formula $1_{ei}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Enumerate
כבר הכנסנו מספר מ-
\begin_inset Formula $R_{i}$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 - לא עושים כלום.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אם קיים 
\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $k<n$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $T_{ei}(k)=0$
\end_inset

, מתקבל אחרי פחות מ-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 צעדים.
 בנוסף 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 לא שייך לשום 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה שמספרה הסידורי קטן ממספור הסידורי של 
\begin_inset Formula $1_{ei}$
\end_inset

.
 ]ברקע יש לנו מספור חשיב של כל הדרישות שלנו, למשל המספור הסידורי של הדרישה
 
\begin_inset Formula $c_{i}$
\end_inset

 - במספור שקבענו בהתחלה - יכול להיות האינדקס הראשון 
\begin_inset Formula $i_{0}$
\end_inset

 כך שהתנאי ב-
\begin_inset Formula $c_{i}$
\end_inset

 שווה לתנאי ב-
\begin_inset Formula $c_{i_{0}}$
\end_inset

[.
 במקרה הזה - נכניס את 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 וכמובן ש"נפצע" )נסמן( כל 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה שהמספר הסידורי שלה גדול מזה של 
\begin_inset Formula $1_{ei}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 שייך להכרזה.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
אחרת - לא נעשה כלום.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Itemize

\bar under
מקרה ב'
\bar default
 - אם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}(k)$
\end_inset

 )כאשר 
\begin_inset Formula $A_{n-1}$
\end_inset

 הקבוצה שחיברנו עד כה( עוצרת אחרי 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 צעדים, אז נגיש 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה שמתאימה לחישוב.
 ]כלומר מכינים הכרזה ובה כל המספרים 
\begin_inset Formula $l\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך שבמהלך החישוב 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}(k)$
\end_inset

 פנתה לאוב ושאלה "האם 
\begin_inset Formula $l\in A_{n-1}$
\end_inset

" וקיבלה תשובה שלילית[.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Claim
הקבוצה 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 שנקבל בסוף הבניה עונה על כל התנאים 
\begin_inset Formula $1_{e},2_{e,k}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
נניח שיש לנו תנאי 
\begin_inset Formula $1_{e_{i}}$
\end_inset

.
 אם בשלב כלשהו הכנסו ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 מספר 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 מ-
\begin_inset Formula $R_{i}$
\end_inset

 זה אומר שמצאנו ש-
\begin_inset Formula $T_{e_{i}}(k)=0$
\end_inset

 והכנסנו את 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ולכן 
\begin_inset Formula $\chi_{A}(k)=1$
\end_inset

 ואנחנו בסדר.
\end_layout

\begin_layout Proof
אז נניח שאין 
\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
\end_inset

 שהוכנס ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 נבחר 
\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
\end_inset

 גדול מספיק כדי ש-
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 אינו מופיע באף 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה עם אינדקס קטן מהאינדקס של 
\begin_inset Formula $1_{ei}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
מדוע יש 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 כזה? נשים לב שאם 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 הוא האינדקס של 
\begin_inset Formula $2_{e,l}$
\end_inset

 אז כל תנאי עם אינדקס 
\begin_inset Formula $m<n$
\end_inset

 יכול "לפצוע" הכרזה של 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 לכל היותר פעם אחת.
 אם התנאי עם אינדקס 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 פצע הכרזה כלשהי ז"א שהתנאי הכניס איבר כלשהו ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 ולפי )
\numeric on
1
\numeric off
( של מקרה א' לעולם לא נחזור לטפל בתנאי עם אינדקס 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

.
 בסה"כ את ה-
\begin_inset Formula $2_{e,l}$
\end_inset

 הכרזות ניתן "לפצוע" לכל היותר 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 פעמים.
 לכן יש לכל היותר 
\begin_inset Formula $n+1$
\end_inset

 הכרזות 
\begin_inset Formula $2_{e,l}$
\end_inset

.
 בסה"כ לכל תנאי שהוא יש לכל היותר מספר סופי של הכרזות של תנאים עם אינדקס
 קטן יותר.
 לכן יש 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 כמו שאנחנו רוצים ועבור 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 כזה לא ייתכן ש-
\begin_inset Formula $T_{e_{i}}(k)=0$
\end_inset

.
 מדוע? אילו זה היה מתקיים לפי מקרה )א'
\numeric on
2
\numeric off
( היינו מכניסים את 
\begin_inset Formula $k$
\end_inset

 ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 בסתירה להנחה.
 לכן על התנאים 
\begin_inset Formula $1_{e}$
\end_inset

 מתקיימים.
\end_layout

\begin_layout Proof
מה בקשר לתנאים 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 ? נאמר ש-
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 הכרזה היא קבועה אם היא זרה ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

.
 נראה ש-
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 עוצרת אם ורק אם קיימת 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 הכרזה קבועה.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
אם קיימת 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 הכרזה קבועה ז"א שקיים איזה שלב 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 בבניה שבו 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}$
\end_inset

 עצרה )אחרי 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 צעדים( ויצרה את ההכרזה.
 כיוון שההכרזה קבועה, לכל 
\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}$
\end_inset

 פנתה לאוב בשאלה "האם 
\begin_inset Formula $r\in A_{n-1}$
\end_inset

?" האוב 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 יחזיר את אותה התשובה.
 לכן לפי עקרון השימוש 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 עוצרת.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
בכיוון השני אם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

 עוצרת )נאמר אחרי 
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 צעדים( אז לכל 
\begin_inset Formula $c_{i}$
\end_inset

 כך שהתנאי ב-
\begin_inset Formula $c_{i}$
\end_inset

 הוא 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $i>n$
\end_inset

, הבניה במקרה ב' תייצר 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה.
 )ובתנאי שבשלב ה-
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 כבר נכנסו ל-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 כל האיברים שבהם נעשה שימוש חיובי בחישוב של 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof
אבל מהדיון הקודם, כל תנאי יכול לייצר לכל היותר מספר סופי של הכרזות.
 אז האחרונה מביניהן שהכרח לא תשתנה, ז"א תהיה קבועה.
\end_layout

\begin_layout Proof
עד עתה: בנינו את 
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

, הראנו ש-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 מקיימת את התנאים 
\begin_inset Formula $1_{e}$
\end_inset

 ואת 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 )לפי א' הנ"ל( וברור שהבניה חשיבה.
 כיוון ש-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 מקיימת את
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit

\begin_inset Formula $1_{e}$
\end_inset

 לכל 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

, ברור ש-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 אינה חשיבה.
 כיוון שהבניה חשיבה, אם נגדיר 
\begin_inset Formula $s(n)$
\end_inset

 להיות הקבוצה 
\begin_inset Formula $A_{n}$
\end_inset

 שהתקבלה בשלב ה-
\begin_inset Formula $n$
\end_inset

 של הבנייה נקבל ש-
\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 נל"ח, כי 
\begin_inset Formula $s(n)$
\end_inset

 חשיבה.
\end_layout

\begin_layout Proof
נותר לוודא ש-
\begin_inset Formula $deg(A^{*})\le0$
\end_inset

.
 ראינו בתרגיל
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\numeric on
\bar default
\noun default
\color inherit
11
\family roman
\series medium
\shape up
\size normal
\emph off
\numeric off
\bar no
\noun off
\color none
 
\family default
\series default
\shape default
\size default
\emph default
\bar default
\noun default
\color inherit
טענה שאומרת שאם 
\begin_inset Formula $A^{*}=dim(B_{i})$
\end_inset

 עבור 
\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $B_{i}$
\end_inset

 חשיבה מ
\numeric on
-
\numeric off

\begin_inset Formula $A$
\end_inset

 אז 
\begin_inset Formula $deg(A^{*})\le0^{\prime}$
\end_inset

.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$
\end_inset

אם ורק אם בשלב ה-
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 של הבנייה יש 
\begin_inset Formula $2_{e,k}$
\end_inset

 - הכרזה שאיננה פצועה.
 כיוון שהבניה חשיבה 
\begin_inset Formula $B_{i}$
\end_inset

 יחס חשיב.
 לפי )א( הנ"ל 
\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$
\end_inset

 עוצרת אם ורק אם 
\begin_inset Formula $dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Theorem
לכל דרגה 
\begin_inset Formula $0^{\prime}\le a$
\end_inset

 קיימת דרגה 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\bar under
רעיון ההוכחה
\bar default
: נבחר 
\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $deg(g)=a$
\end_inset

, אפשר לבחור 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 כזו שלמה.
 נרצה לבנות 
\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $f^{*}$
\end_inset

 חשיבה מ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup deg(f)$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 חשיבה מ-
\begin_inset Formula $f^{*}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
נרצה להגשים שני סוגים תנאים:
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $1_{e,k}$
\end_inset

 - להחליט האם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{f}(k)$
\end_inset

 עוצרת
\end_layout

\begin_layout Itemize
\begin_inset Formula $2_{n}$
\end_inset

 - לוודא ש-
\begin_inset Formula $f(m)=g(n)$
\end_inset

 לאיזה 
\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
כרגיל נמספר את התנאים 
\begin_inset Formula $\{c_{i}\}$
\end_inset

, ובשלב ה-
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 אם אנו בתנאי 
\begin_inset Formula $1_{e,k}$
\end_inset

 ויש 
\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
\end_inset

 סופית שמתיישבת עם 
\begin_inset Formula $f_{i-1}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
\end_inset

 עוצרת, נגדיר 
\begin_inset Formula $f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$
\end_inset

 ואחרת נגדיר 
\begin_inset Formula $f_{i}=f_{i-1}$
\end_inset

.
 ואם בשלב ה-
\begin_inset Formula $i$
\end_inset

 אנו בתנאי 
\begin_inset Formula $2_{n}$
\end_inset

 אז נבחר 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 מזערי כך שאינו בתחום של 
\begin_inset Formula $f_{i-1}$
\end_inset

 ונגדיר 
\begin_inset Formula $f_{i}(m)=g(n)$
\end_inset

.
 לסיכום: יוצא שהבניה חשיבה מ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup a=a$
\end_inset

 וחשיבה גם מ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup b$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset space ~
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Proof
תהי 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 כנ"ל ונמצא פונקציה 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $deg(f)$
\end_inset

 תענה על הדרישות.
\end_layout

\begin_layout Proof
\begin_inset Formula $b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$
\end_inset

 ולכן יספיק למצוא 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $b^{\prime}\le a\le b$
\end_inset

.
 מזה נבטיח שיש שיוויונות לכל אורך הדרך.
 אז צריך למצוא 
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $b^{\prime}$
\end_inset

 חשיבה מ-
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 ומ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}$
\end_inset

.
 
\end_layout

\begin_layout Proof
כרגיל נמספר את התנאים )כולם ביחד( במספור חשיב 
\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
\end_inset

 ונניח שלכל 
\begin_inset Formula $i\le n$
\end_inset

 בנינו פונקציה 
\begin_inset Formula $f_{i}$
\end_inset

 )עם תחום סופי( כך ש-
\begin_inset Formula $f_{i}\subseteq f_{j}$
\end_inset

 אם 
\begin_inset Formula $i\le j$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Proof

\bar under
בניית 
\begin_inset Formula $f_{n+1}$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_deeper
\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $e_{n+1}$
\end_inset

 הוא תנאי מסוג 
\begin_inset Formula $1_{e,k}$
\end_inset

: נבדוק האם יש 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 סופית שמתיישבת עם 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 כך ש-
\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
\end_inset

 עוצרת.
 אם כן, נגדיר 
\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$
\end_inset

 אחרת נגדיר 
\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם 
\begin_inset Formula $e_{n+1}$
\end_inset

 הוא תנאי מסוג 
\begin_inset Formula $2_{k}$
\end_inset

 אז נמצא 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 מזערי שאיננו בתחום של 
\begin_inset Formula $f_{n}$
\end_inset

 ונגדיר 
\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $
\end_inset

.
 נגדיר 
\begin_inset Formula $f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$
\end_inset

 ואז 
\begin_inset Formula $f$
\end_inset

 פונקציה שלמה.
\end_layout

\begin_layout Standard
כדי לממש את הבניה:
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם אנחנו בתנאי 
\begin_inset Formula $1_{e,k}$
\end_inset

 צריך לדעת האם קיים 
\begin_inset Formula $\sigma$
\end_inset

 כזה.
 כדי לענות על השאלה הזו אנו יכולים מ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Itemize
אם אנחנו בתנאי מסוג 
\begin_inset Formula $2_{k}$
\end_inset

, אין בעיה למצוא את 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

.
 כל מה שצריך זה לחשב את 
\begin_inset Formula $g(k)$
\end_inset

 ואת זה אפשר לעשות מ-
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
נשאר להראות כי את 
\begin_inset Formula $b^{\prime}$
\end_inset

 ניתן לחשב מ-
\begin_inset Formula $b$
\end_inset

 ומ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}$
\end_inset

 אבל 
\begin_inset Formula $b^{\prime}=deg(f^{*})$
\end_inset

 ו-
\begin_inset Formula $f^{*}$
\end_inset

 זהו האוב שעונה לכל שאלה מהצורה "האם 
\begin_inset Formula $T_{e}^{f}(k)$
\end_inset

 עוצרת?".
 ראשית אם אנו יודעים את הבניה של 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 אז אנו יודעים לענות על כל השאלות מהצורה הנ"ל.
 אבל הבניה חשיבה גם מ-
\begin_inset Formula $0^{\prime}$
\end_inset

 וגם מ-
\begin_inset Formula $b^{\prime}$
\end_inset

 )ביחד( ולכן 
\begin_inset Formula $b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$
\end_inset

 כנדרש.
\end_layout

\end_deeper
\begin_layout Corollary
הפונקציה 
\begin_inset Formula $a\rightarrow a^{\prime}$
\end_inset

 איננה חח"ע.
\end_layout

\end_body
\end_document