From 4e8805e241c93f306016a51872362e35ffe13866 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yuval Adam <yuv.adm@gmail.com>
Date: Sun, 26 Oct 2014 17:43:34 +0200
Subject: Initial Lyx, LaTeX and PDF files

---
 notes.tex | 3143 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 3143 insertions(+)
 create mode 100644 notes.tex

(limited to 'notes.tex')

diff --git a/notes.tex b/notes.tex
new file mode 100644
index 0000000..695f74c
--- /dev/null
+++ b/notes.tex
@@ -0,0 +1,3143 @@
+%% LyX 2.1.1 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
+%% Do not edit unless you really know what you are doing.
+\documentclass[english,hebrew]{article}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[latin9,cp1255]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
+\usepackage{ulem}
+
+\makeatletter
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
+%% Because html converters don't know tabularnewline
+\providecommand{\tabularnewline}{\\}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
+\usepackage{theorem}
+\theorembodyfont{\upshape}
+\newtheorem{theorem}{\R{îùôè}}[section]
+\AtBeginDocument{\make@lr\thetheorem}
+
+% The following chunk fixes export with XeTeX.
+% It is needed because polyglossia is used by default
+% and \make@lr is only defined by babel.
+\@ifundefined{make@lr}
+{\def\make@lr#1{\begingroup
+    \toks@=\expandafter{#1}%
+    \edef\x{\endgroup
+  \def\noexpand#1{\noexpand\@number{\the\toks@}}}%
+  \x}}{\relax}
+\newtheorem{claim}[theorem]{\R{èòðä}}
+\newenvironment{proof}%
+{\R{\textbf{äåëçä:}}}%
+{\hfill\rule{2mm}{2mm}\par\vspace{2mm}}
+\newtheorem{definition}[theorem]{\R{äâãøä}}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{\R{ìîä}}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{\R{îñ÷ðä}}
+\newtheorem{remark}[theorem]{\R{äòøä}}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
+\date{}
+
+\makeatother
+
+\usepackage{babel}
+\begin{document}
+
+\title{àé ùìîåú åàé ëøéòåú áùôåú ôåøîìéåú\\
+ã\char`\"{}ø àñó çñåï, àåðéáøñéèú áï-âåøéåï áðâá}
+
+
+\author{éåáì àãí}
+
+\maketitle
+\selectlanguage{english}%
+\inputencoding{latin9}\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}%
+\selectlanguage{english}%
+\begin{quote}
+Young man, in mathematics you don't understand things.\\
+You just get used to them.
+\begin{quote}
+- John von Neumann\end{quote}
+\end{quote}
+%
+\end{minipage}
+
+\selectlanguage{hebrew}%
+\inputencoding{cp1255}\tableofcontents{}
+
+
+\section{ôøåìåâ}
+\begin{itemize}
+\item îñôåø ä÷èòéí úåàí ìîñôåø ääøöàåú. )ðùàéø ëúøâéì ì÷åøà äçøåõ ìäáéï
+îä æä àåîø òì ôø÷ æä...(
+\item ðà ìäúçùá áñáéáä. ðà ìäãôéñ îñîê æä ø÷ àí äãáø äëøçé, åø÷ àú èååç
+äòîåãéí äðãøù.
+\item úåãä ìöáé÷ä ñ÷åôéðñ÷é òì ñéëåîéí ùì çì÷ îäùéòåøéí.
+\item äòøåú/èòðåú/á÷ùåú - ëúåáú äîééì ùìé äéà \L{$yuv.adm$} åìàçø îëï \L{$gmail.com$}
+\item ùàå áøëä, òìå åäöìéçå.
+\end{itemize}
+
+\section{äâãøåú}
+\begin{itemize}
+\item éäé \L{$\mathcal{M}$} îáðä ìùôä îñãø øàùåï \L{$L$}, \L{$s$} äùîä
+ì\L{$\mathcal{M}$} å-\L{$t$} ùí òöí. àæ äòøê ùì \L{$t$} á-\L{$\mathcal{M}$}
+òáåø ääùîä \L{$s$} äåà:
+\item àí \L{$t$} ÷áåò àéùé \L{$c$} àæ \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$}
+\item àí \L{$t$} îùúðä àéùé \L{$x$} àæ \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$}
+\item àí \L{$t=f(t_{1},...,t_{n})$} àæ \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$}
+\item \noindent éäéå \L{$\mathcal{M}$}, \L{$L$} , å-\L{$s$} ëð\char`\"{}ì
+åúäé \L{$\varphi$} ðåñçä á-\L{$L$} àæ òøê äàîú ùì )\inputencoding{latin9}\L{TRUE}\inputencoding{cp1255}
+àå \inputencoding{latin9}\L{FALSE}\inputencoding{cp1255}( ùì \L{$\varphi$}
+á\L{$\mathcal{M}$} òáåø ääùîä \L{$s$} îåâãø áàéðãå÷öéä áàåôï äáà:
+
+\begin{itemize}
+\item \noindent àí \L{$\varphi$} ðåñçä àèåîéú, ëìåîø \L{$\varphi$} îäöåøä
+\L{$R(t_{1},...,t_{n})$} òáåø äñéîï éçñ n-î÷åîé \L{$R$} åùîåú òöí
+\L{$t_{1},...,t_{n}$} àæé \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+}.
+\item \noindent àí \L{$\varphi=\neg\psi$} òáåø ðåñçä \L{$\psi$} àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE
+\end{eqnarray*}
+}
+\item \noindent áàåôï ãåîä òáåø éúø ä÷ùøéí äìåâééí
+\item \noindent àí \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} )ëìåîø äðåñçä äéà îñåâ
+\char`\"{}÷ééí àé÷ñ\char`\"{} åääîùê äåà ðåñçä ÷èðä éåúø( àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+} ëàùø \L{$s\left[{x\atop a}\right]$} äéðä ääùîä àùø ðåúðú ìëì îùúðä
+àéùé \L{$y$} ùàéðå \L{$x$} àú äòøê \L{$s(y)$} åìîùúðä äàéùé \L{$x$}
+àú äòøê \L{$a$} )ëìåîø ø÷ îçìéôä àú \L{$x$}(. äâãøä ù÷åìä: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+} ëàùø ðâãéø ùøéøåúéú \L{$F<T$}. 
+\item \noindent àí \L{$\varphi=(\forall x)\psi$} àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+}äâãøä ù÷åìä: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+}. 
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+äòøåú:
+\begin{enumerate}
+\item áëì ùôä ìúçùéá ôñå÷éí ððéç ùéù ñéîï éçñ ãå î÷åîé îéåçñ \L{$\approx$}
+àùø úîéã îúôøù ëéçñ äùååéåï
+\item ëîåñëîä: àí àåîøéí ù\L{$L$} ùôä ìúçùéá äôñå÷éí áã\char`\"{}ë ìà ðöééï
+áîôåøù àú ñéîï äùååéåï ìîøåú ùáîåáìú ððéç ùäåà ùí
+\item á÷åøñ äæä ìà ðéú÷ì áëê, àáì ðéúï ìòáåã áúçùéá ììà ùååéåï. éù îùôèéí
+ùéåúø ÷ì ìäåëéç áúçùéá ùëæä. áëì î÷øä, úîéã àôùø ìòáåø áéï úçùéá òí
+ùååéåï ìúçùéá ììà ùååéåï åçæøä.\end{enumerate}
+\begin{itemize}
+\item úäé \L{$L$} ùôä ìúçùéá äôñå÷éí åúäé \L{$\Gamma$} ÷áåöú ðåñçàåú á\L{$L$}
+)ìàå ãåå÷à ñåôéú(. ðàîø ù\L{$\Gamma$} ñôé÷ä \inputencoding{latin9}\L{(satisfiable)}\inputencoding{cp1255}
+àí ÷ééí îáðä \L{$\mathcal{M}$} ìùôä \L{$L$} å÷ééîú äùîä \L{$s$}
+ì\L{$\mathcal{M}$} ëê ù\L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} ìëì
+\L{$\varphi\in\Gamma$}. ðñîï \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
+)ìôòîéí ðùîéè àú ääùîä \L{$s$} îï äñéîåðéí(. ãåâîàåú:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$L=\{R\}$} å-\L{$\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $}
+æå ÷áåöú ôñå÷éí ñôé÷ä ëé ìëì âøó \L{$G$} )ìà îëååï( ðâãéø îáðä \L{$M_{G}$}
+ì\L{$L$} áàåôï äáà: äòåìí ùì \L{$M_{G}$} éäéä \L{$V(G)$} )÷áåöú
+ä÷åã÷åãéí ùì \L{$G$}( åäéçñ \L{$R^{M_{G}}$} éäéä \L{$E(G)$} )÷áåöú
+ä÷ùúåú(. 
+\item \L{$L=\{\approx\}$} å-\L{$T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $}
+àæ \L{$T_{3}$} ñôé÷ä ëé ëì ÷áåöä áú ôçåú î-{\beginL 4\endL} àéáøéí
+îñô÷ú àåúä. 
+\item \L{$L=\{<\}$} å- \L{
+\begin{eqnarray*}
+DLO & = & \left\{ \begin{array}{c}
+\forall x\neg(x,x),\\
+\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\
+\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\
+\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\
+\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y)
+\end{array}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+} àùø äéðå \inputencoding{latin9}\L{dense linear order}\inputencoding{cp1255}
+àæ îú÷ééí \L{$(\mathbb{Q},\le)\models DLO$}. 
+\end{itemize}
+\item àí \L{$L$} å-\L{$\Gamma$} ëð\char`\"{}ì å- \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
+àæ ðàîø ù\L{$\mathcal{M}$} îåãì ùì \L{$\Gamma$}.
+\item úåøä æå ÷áåöä ñôé÷ä ùì ôñå÷éí.
+\item ôñå÷ áùôä \L{$L$} æå ðåñçä ììà îùúðéí çåôùééí
+\item äîùúðéí äçåôùééí áùí òöí \L{$t$}, ðñîðí \L{$Free(t)$}, äí àåñó ëì
+äîùúðéí äîåôéòéí á-\L{$t$}. 
+
+\begin{itemize}
+\item àí \L{$\varphi$} ðåñçä àèåîéú \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} àæ \L{$Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$}.
+\item àí \L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$} )÷ùø ìåâé ãå î÷åîé
+ëìùäå( àæ \L{$Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$}
+\item àí \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} àå \L{$\varphi=(\forall x)\psi$}
+àæ \L{$Free(\varphi)=Free(\psi)$} àí \L{$x\notin Free(\psi)$} å-
+\L{$Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$} àçøú.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\section{úçùéá äéçñéí}
+\begin{itemize}
+\item ìôñå÷ )ùàéï ìå îùúðéí çåôùééí ôø äâãøä( éù òøê àîú áøâò ùð÷áò äîáðä,
+ììà ëì úìåú áäùîä
+\item ðåñçä \L{$\varphi$} ú÷øà \uline{àîéúéú ìåâéú }àí ìëì îáðä \L{$\mathcal{M}$}
+)ìùôä ùì \L{$\varphi$}( åìëì äùîä \L{$s$} òáåø \L{$\mathcal{M}$}
+îú÷ééí \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$}. 
+
+\begin{itemize}
+\item ãåâîä: àí \L{$P$} ñéîï éçñ çã-î÷åîé àæ \L{$P(x)\vee\neg P(x)$} àîéúé
+ìåâéú. îãåò? éäé \L{$\mathcal{M}$}îáðä òáåø \L{$\{P\}$} å\L{$s$}
+äùîä òáåø \L{$\mathcal{M}$}. \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\
+ &  & =TRUE
+\end{eqnarray*}
+} . 
+\item ãåâîä: ððéç ù\L{$\varphi(x)$} ðåñçä òí îùúðä çåôùé \L{$x$} å-\L{$c$}
+÷áåò àéùé ùàéðå îåôéò á\L{$\varphi(x)$}. àæ \L{$\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$}
+àîéúé ìåâéú )àí \L{$\varphi(c)$} àîéúé ìåâéú - ééúëï ùæä ìà ðãøù(.
+\item ãåâîä: \L{$\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$} - àæ ìôé äâãøú äàîú åìôé
+äãåâîä äøàùåðä æäå ôñå÷ àîéúé ìåâéú. îãåò æå àéðä èàåèåìåâéä? áàéðãå÷öéä
+òì äéöéøä ùì \L{$\psi$} )äèàåèåìåâéä ùì úçùéá äôñå÷éí( îøàéí:
+
+\begin{itemize}
+\item àí \L{$\psi=\neg\psi^{\prime}$} àæ \L{$\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$}
+\item àí \L{$\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} òáåø ÷ùø ìåâé ãå î÷åîé àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})
+\end{eqnarray*}
+}
+\item àáì \L{$(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$} ìôé îùôè ä÷øéàä äéçéãä àéðå
+îäöåøä à' àå á' ìëï àí äåà îú÷áì ò\char`\"{}é äçìôä ëð\char`\"{}ì
+îôñå÷ \L{$\psi$} ùì úçùéá äôñå÷éí, \L{$\psi$} äåà áäëøç ôñå÷ éñåãé.
+àáì ôñå÷ éñåãé )îùúðä ôñå÷é( àéðå èàåèåìåâéä.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\item èàåèåìåâéä )äâãøä ù÷åìä ìùàìä {\beginL 5\endL}(: ðåñçä \L{$\varphi$}äéà
+èàåèåìåâéä ùì úçùéá äéçñéí àí ÷ééîú èàåèåìåâéä \L{$\psi(P_{1},...,P_{k})$}
+ùì úçùéá äôñå÷éí )äñéîåï äæä àåîø ù\L{$P_{1},...,P_{k}$} äí ëì äîùúðéí
+äôñå÷ééí äîåôéòéí á\L{$\psi$}( )ìîùì: \L{$\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$}(
+åðåñçàåú \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} )ùì úçùéá äéçñéí( ëê ù-
+\L{$\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$} å-\L{$\varphi$}
+îú÷áìú ò\char`\"{}é äçìôú ëì îåôò ùì \L{$P_{i}$} á-\L{$\varphi_{i}$}.
+\item îùôè ä÷øéàä äéçéãä: úäé \L{$\varphi$} ðåñçä áúçùéá äéçñéí, àæé áãéå÷
+àçã îï äáàéí îú÷ééí:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$\varphi$} ðåñçä àèåîéú
+\item ÷ééîåú ðåñçàåú \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}$} éçéãåú å÷ùø ìåâé ãå
+î÷åîé éçéã \L{$\square$} ëê ù-\L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$}
+\item ÷ééîú ðåñçä éçéãä \L{$\varphi_{1}$} ëê ù-\L{$\varphi=\neg\varphi_{1}$}
+\item ÷ééîú ðåñçä éçéãä \L{$\varphi_{1}$} ëê ù-\L{$\varphi=\exists x\varphi_{1}$}
+\item ÷ééîú ðåñçä éçéãä \L{$\varphi_{1}$} ëê ù-\L{$\varphi=\forall x\varphi_{1}$} 
+\end{itemize}
+\item úøâéì ìçùåá òìéå ááéú: ðéúï ìëúåá úåëðéú îçùá )áùôú äúëðåú äçáéáä
+òìéëí( ùáäéðúï ðåñçä \L{$\varphi$} áúçùéá äôñå÷éí áåã÷ú äàí \L{$\varphi$}
+èàåèåìåâéä ùì úçùéá äéçñéí.
+\item )øîæ( áäéðúï ðåñçä \L{$\varphi$} ùì úçùéá äôñå÷éí éù àìâåøéúí ä÷åáò
+äàí \L{$\varphi$} èàåèåìåâéä.
+\end{itemize}
+ãáøéí ùöøéê áùáéì äòáåãä:
+\begin{itemize}
+\item )ùàìä {\beginL 4\endL}( úäééðä \L{$\Gamma,\Delta$} ÷áåöåú ôñå÷éí.
+ðñîï \L{$\Gamma\models\Delta$} )âåøø( àí ìëì îáðä \L{$\mathcal{M}$}
+åìëì äùîä \L{$s$} îú÷ééí: àí \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
+àæ \L{$(\mathcal{M},s)\models\Delta$}. 
+
+\begin{itemize}
+\item ãåâîä: àí á\L{$\Delta$} éù ø÷ èàåèåìåâéåú/ðåñçàåú àîéúéåú ìåâéåú
+àæ \L{$\Gamma\models\Delta$} ìëì \L{$\Gamma$}. 
+\item ì\L{$\Delta$} ëð\char`\"{}ì àí \L{$\Delta\models\Gamma$} àæ á\L{$\Gamma$}
+éù ø÷ ðåñçàåú àîéúéåú ìåâéåú.
+\item àí \L{$\Gamma$} àéðä ñôé÷ä àæ \L{$\Gamma\models\Delta$} ìëì \L{$\Delta$}
+)áàåôï øé÷(.
+\item àí \L{$\varphi\models\psi$} àæ \L{$\models\varphi\rightarrow\psi$}
+ëìåîø \L{$\varphi\models\psi$} àîéúé ìåâéú. äëéååï äùðé âí ðëåï.
+\end{itemize}
+\item )ùàìä {\beginL 1\endL}( àôùø ìçùåá òì \L{$G$} ëòì îáðä ìùôä \L{$\{R\}$}
+òáåø éçñ ãå î÷åîé \L{$R$}. àí \L{$G$} âøó ñåôé ÷ééí ôñå÷ \L{$\varphi_{G}$}
+áùôä äð\char`\"{}ì ëê ùìëì îáðä \L{$\mathcal{M}$} áùôä , àí \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{G}$}
+àæ \L{$\mathcal{M}\cong G$} .
+\item úæëåøú: éäéå \L{$\mathcal{M},\mathcal{N}$} îáðéí ìùôä \L{$\mathcal{L}$}
+ùì úçùéá äéçñéí. ðàîø ù\L{$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$} )àéæåîåøôééí(
+àí ÷ééîú ôåð÷öéä çç\char`\"{}ò åòì \L{$f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$}
+ëê ù:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$} ìëì ÷áåò àéùé \L{$c$}
+\item ìëì ñéîï éçñ n-î÷åîé \L{$R$} åìëì \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$}
+îú÷ééí \L{
+\begin{eqnarray*}
+\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle  & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}}
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ìëì ñéîï ôåð÷öéä n-î÷åîé \L{$G$} åìëì \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$}
+îú÷ééí \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n}))
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+äëðä ìùéòåø äáà:
+\begin{itemize}
+\item àí \L{$\Gamma$} ÷áåöú ðåñçàåú ñôé÷ä å\L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
+àæ \L{$\Gamma_{0}$} ñôé÷ä
+\item àí \L{$\Gamma$} ñôé÷ä å-\L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} àæ
+âí \L{$\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$} ñôé÷ä
+\item àí á\L{$\Gamma$} éù ôñå÷ \L{$\varphi$} ùàéðå ñôé÷ àæ áååãàé \L{$\Gamma$}
+àéðä ñôé÷ä
+\item îùôè ä÷åîô÷èéåú: úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöú ôñå÷éí ñâåøä úçú \L{$\wedge$}
+)ëìåîø àí \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} àæ âí \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}(
+àæ \L{$\Gamma$} ñôé÷ä àí åø÷ àí ëì \L{$\varphi\in\Gamma$} ñôé÷ä.
+\end{itemize}
+
+\section{÷åîô÷èéåú åîñððéí}
+\begin{theorem}
+\textbf{\uline{îùôè ä÷åîô÷èéåú}}: úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöú ôñå÷éí
+ñâåøä úçú \L{$\wedge$} )ëìåîø àí \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$}àæ
+âí \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}( àæé \L{$\Gamma$}
+ñôé÷ä àí åø÷ àí ëì \L{$\varphi\in\Gamma$} ñôé÷.\end{theorem}
+\begin{claim}
+úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöú ôñå÷éí àæé ÷ééîú ÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$}
+ëê ù-
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\Gamma^{\prime}$} ñâåøä úçú \L{$\wedge$} 
+\item \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} ëìåîø ëì îåãì ùì \L{$\Gamma$}
+äåà îåãì ùì \L{$\Gamma^{\prime}$} åìäéôê
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+úäé \L{$\Gamma^{\prime}$} ÷áåöú äôñå÷éí äîú÷áìú î\L{$\Gamma$} áàåôï
+äáà: ìëì \L{$1\le k\in\mathbb{N}$} åìëì \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$}
+, á\L{$\Gamma^{\prime}$} éäéä äôñå÷ \L{${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}.
+ðùéí ìá ù\L{$\Gamma^{\prime}$} ñâåøä úçú \L{$\wedge$}. îãåò? éäéå
+\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$} ìôé ääâãøä ùì \L{$\Gamma^{\prime}$}
+éù îñôøéí èáòééí \L{$1\le k_{1},k_{2}$} åôñå÷éí \L{$\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$}
+å- \L{$\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$} ëê ù- \L{
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}}
+\end{eqnarray*}
+} å- \L{
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}}
+\end{eqnarray*}
+}àæ \L{${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$}
+ëàùø \L{
+\begin{eqnarray*}
+\Theta_{i} & = & \begin{cases}
+\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\
+\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}îëéååï ù-\L{$\Theta_{i}\in\Gamma$} ìëì \L{$i$} âîøðå. \L{$\Gamma^{\prime}$}
+äéà äîåòîãú ùìðå ìñô÷ àú äèòðä åðåúø ìäøàåú ù\L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$}.
+îñôé÷ ìäøàåú ùàí \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} àæ \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}.
+éäé \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} åððéç ëîå ÷åãí \L{$\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$}
+òáåø \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$} ëìùäå.
+
+àæé:\L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE
+\end{eqnarray*}
+} îú÷ééí àî\char`\"{}í ìëì \L{$1\le i\le k$} \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$}.
+ëéååï ù\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} àæ \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$}
+ìëì \L{$i$} åìëï \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof}
+\begin{definition}
+÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$} ð÷øàú ñôé÷ä î÷åîéú àí ëì úú ÷áåöä ñåôéú
+ùìä äéà ñôé÷ä.\end{definition}
+\begin{theorem}
+)îùôè ä÷åîô÷èéåú - ðåñç ù÷åì( ÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$} äéà ñôé÷ä
+î÷åîéú àí åø÷ àí äéà ñôé÷ä.\end{theorem}
+\begin{proof}
+ðåëéç ùîùôè ä÷åîô÷èéåú âåøø àú äðåñç äæä. úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöú
+ôñå÷éí ñôé÷ä î÷åîéú. úäé \L{$\Gamma^{\prime}$} ëîåáèç áèòðä, ëìåîø
+\L{$\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$} å\L{$\Gamma^{\prime}$} ñâåøä úçú
+\L{$\wedge$}. îñôé÷ ìäøàåú ìôé îùôè ä÷åîô÷èéåú ùëì ôñå÷ á\L{$\Gamma^{\prime}$}
+äåà ñôé÷. éäé \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} àæ \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}
+ìàéæä \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$} . ìôé ääðçä \L{$\Gamma$}
+ñôé÷ä î÷åîéú. ìëï \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} ÷áåöú ôñå÷éí
+ñôé÷ä. ìëï éù îåãì \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$} ìëì \L{$1\le i\le k$}
+ìôé îä ùäøàðå áäåëçú äèòðä \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. ìëï \L{$\Gamma^{\prime}$}
+ñâåøä úçú çéúåê åëì \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ñôé÷. ìôé îùôè ä÷åîô÷èéåú
+òáåø \L{$\Gamma^{\prime}$} éù \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}
+àáì \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} ìëï \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}. 
+
+ðåëéç àú äëéååï äùðé )ùäðåñç äæä âåøø àú îùôè ä÷åîô÷èéåú(. ððéç \L{$\Gamma$}
+î÷ééîú àú ääðçåú ëìåîø \L{$\Gamma^{\prime}$} ñâåøä úçú \L{$\wedge$}
+åëì ôñå÷ áä ñôé÷. éñôé÷ ìäøàåú áòæøú äðåñç äù÷åì ù\L{$\Gamma$} ñôé÷ä
+î÷åîéú. ðåëéç áàéðãå÷öéä òì \L{$k$} ùëì ÷áåöú ôñå÷éí îâåãì \L{$k$}
+á-\L{$\Gamma$} äéà ñôé÷ä. òáåø \L{$k=1$} - ðúåï. ððéç ù\L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$}
+åäøàðå òáåø ëì ÷áåöú ôñå÷éí îâåãì \L{$k-1$} ùäéà ñôé÷ä. ëéååï ù\L{$\Gamma$}
+ñâåøä úçú çéúåê \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$} . \L{$\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$}
+äéà ÷áåöä áâåãì \L{$k-1$} åìëï ìôé äðçú äàéðãå÷öéä äéà ñôé÷ä. àí
+\L{$\mathcal{M}\models\Delta$} àæ \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$}
+ìëì \L{$i\ge3$} åëï \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$}
+. àáì \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$}
+åìëï \L{$\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} ëðãøù.
+ëìåîø \L{$\Gamma$} ñôé÷ä î÷åîéú åò\char`\"{}ñ äðåñç äù÷åì - ñôé÷ä.\end{proof}
+\begin{definition}
+úäé \L{$I$} ÷áåöä )áã\char`\"{}ë àéðñåôéú àáì ìà áäëøç(. îñðï )\inputencoding{latin9}\L{filter}\inputencoding{cp1255}(
+òì \L{$I$} æå ÷áåöä \L{$F\subseteq\mathbb{P}(I)$} )ëìåîø àåñó ùì
+úú ÷áåöåú ùì \L{$I$}( ëê ùîú÷ééí:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\emptyset\not\in F$}
+\item àí \L{$J\in F$} å-\L{$J\subseteq J^{\prime}$} àæ \L{$J^{\prime}\in F$}
+\item àí \L{$J,J^{\prime}\in F$} àæ \L{$J\cap J^{\prime}\in F$} 
+\end{enumerate}
+
+àí áðåñó ìëì \L{$J\subseteq I$} àí \L{$J\not\in F$} àæ \L{$I\backslash J\in F$}
+- àæ \L{$F$} ð÷øà òì îñðï.
+
+\end{definition}
+ãåâîàåú:
+\begin{itemize}
+\item úäé \L{$I$} ÷áåöä ëìùäé. ìëì \L{$a\in I$} ðâãéø òì îñðï \L{$F_{a}$}
+áàåôï äáà: \L{$J\subseteq I,J\in F$} àî\char`\"{}í \L{$a\in J$}
+.)äòøä: òì îñðï \L{$F$} òì \L{$I$} ð÷øà øàùé àí ÷ééí \L{$I$} ëê
+ù-\L{$F=F_{a}$}(.
+\item àí \L{$I$} ñåôéú àæ ëì òì îñðï òì \L{$I$} äåà øàùé. éäé \L{$F$}
+òì îñðï òì \L{$I$}. ëéååï ù-\L{$I$} ñåôéú âí \L{$F$} ñåôéú åìëï
+áàéðãå÷öéä ìôé {\beginL 3\endL}: \L{$J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$}
+å-\L{$J_{F}\in F$}. àí \L{$J_{F}$} éçéãåï - âîøðå. ððéç áùìéìä ùæä
+ìà äî÷øä. àçøú éù {\beginL 2\endL} àéáøéí ùåðéí á\L{$J_{F}$} )ìôçåú(.
+ðé÷ç \L{$J\subseteq I$} ùîëéìä àú äøàùåï àáì ìà àú äùðé. ìà \L{$J$}
+åìà äîùìéí ùì \L{$J$} éëåìéí ìäéåú á\L{$F$} ëé ëì ÷áåöä á\L{$F$}
+îëéìä àú \L{$J_{F}$}. 
+\item úäé \L{$I$} ÷áåöä àéðñåôéú. ðâãéø \L{$F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$}.
+úøâéì: æäå îñðï ùàéðå òì îñðï. \end{itemize}
+\begin{claim}
+úäé \L{$I$} ÷áåöä ìà øé÷ä. \L{$F$} îñðï òì \L{$I$} àæé ÷ééí òì
+îñðï \L{$F\subseteq F^{\prime}$}. áîéìéí àçøåú ëì îñðï òì \L{$I$}
+ðéúï ìäøçáä ìòì îñðï. )äåëçä áùéòåø äáà(.
+\end{claim}
+
+\section{îñððéí åäìîä ùì öåøï}
+\begin{definition}
+úäé \L{$I$} ÷áåöä )ìà øé÷ä( àæ \textbf{îñðï} \L{$F$} òì \L{$I$}
+æä àåñó ùì úú ÷áåöåú ùì \L{$I$} ëê ù:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\emptyset\not\in F$}
+\item àí \L{$U_{1},U_{2}\in F$} àæ \L{$U_{1}\wedge U_{2}\in F$}
+\item àí \L{$U\in F$} å- \L{$U\subseteq V$} àæ \L{$V\in F$} 
+\end{enumerate}
+
+\L{$F$} äåà òì-îñðï àí ìëì \L{$V\subseteq I$} àí \L{$V\not\in F$}
+àæ \L{$I\backslash V\in F$} .
+
+\end{definition}
+\begin{lemma}
+\uline{äìîä ùì öåøï} - úäé \L{$(I,\le)$} ÷áåöä ñãåøä çì÷éú. \L{$V\subseteq I$}
+ú÷øà ùøùøú àí ìëì \L{$v_{1},v_{2}\in V$} àå \L{$v_{1}\le v_{2}$}
+àå \L{$v_{2}\le v_{1}$}. àæ ððéç ùìëì ùøùøú \L{$V\subseteq I$} éù
+çñí îìòéì, ëìåîø ÷ééí \L{$w\in I$} ëê ù-\L{$w\ge V$} )ëìåîø \L{$w\ge v$}
+ìëì \L{$v\in V$}(. àæé á\L{$(I,\le)$} éù àéáø îéøáé, ëìåîø ÷ééí
+\L{$u\in I$} ëê ùìëì \L{$u\not=v\in I$} îú÷ééí \L{$u\not\le v$}.\end{lemma}
+\begin{claim}
+úäé \L{$I$} ÷áåöä ìà øé÷ä å- \L{$F$} îñðï òì \L{$I$}. àæé ÷ééí
+òì-îñðï \L{$F\subseteq U$}. áîéìéí àçøåú, ëì îñðï \L{$F$} òì \L{$I$}
+ðéúï ìäøçáä ìòì-îñðï.
+\begin{proof}
+úäé \L{$\mathcal{H}$} ÷áåöú ëì äîñððéí òì \L{$I$}. ìàéðèåàéöéä:
+\L{$F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$} àæ \L{$\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$}
+àå \L{$\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$}. òì
+\L{$\mathcal{H}$} àôùø ìäâãéø ñãø çì÷é ò\char`\"{}é äëìä. ëìåîø,
+ì-\L{$F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$} ðàîø ù\L{$F_{1}\le F_{2}$} àí
+ìëì \L{$V\in F_{1}$} îú÷ééí âí \L{$V\in F_{2}$}. àôùø ìëúåá âí \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$}.
+ðøöä ìäùúîù áìîä ùì öåøï, ìëï òìéðå ìäøàåú ùàí \L{$V\subseteq\mathcal{H}$}
+ùøùøú àæ ì\L{$V$} éù çñí îìòéì á\L{$\mathcal{H}$}. ðâãéø \L{$F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$}.
+ðøàä ù\L{$F_{V}$} äåà îñðï. 
+\begin{enumerate}
+\item áøåø ëé \L{$\emptyset\not\in F_{V}$}
+\item ððéç ù \L{$U_{1},U_{2}\in F_{V}$}. ÷ééîéí \L{$F_{1},F_{2}\in V$}
+ëê ù \L{$U_{1}\in F_{1}$} åâí \L{$U_{2}\in F_{2}$}. ëéååï ù-\L{$V$}
+ùøùøú, á.ä.ë \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$} . ìëï \L{$U_{1}\in F_{2}$}
+ìëï âí \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$} åìëï \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$}.
+\item àí \L{$U\in F_{V}$} å- \L{$U\subseteq W$} àæ ìôé äâãøä ÷ééí àéæä
+\L{$F\in V$} ëê ù- \L{$U\in F$}. ìëï âí \L{$W\in F$} åìëï \L{$W\in F_{V}$}.
+\end{enumerate}
+
+äøàðå ùìëì ùøùøú á\L{$\mathcal{H}$} éù çñí îìòéì, ëé áøåø \L{$F_{V}\in\mathcal{H}$}
+å- \L{$F\subseteq F_{V}$} ìëì \L{$F\in V$} ëìåîø \L{$F_{V}$} çñí
+îìòéì ì-\L{$V$}. ìôé äìîä ùì öåøï, á-\L{$\mathcal{H}$} éù àéáø îéøáé,
+ðñîðå \L{$\mathcal{U}$}. ðøàä ù\L{$\mathcal{U}$} òì îñðï. ððéç áùìéìä
+ùäåà ìà. ëéååï ù-\L{$\mathcal{U}\in\mathcal{H}$} äåà îñðï åìëï äðçú
+äùìéìä îáèéçä ùéù ÷áåöä \L{$U\subseteq I$} ëê ù- \L{$U\not\in\mathcal{U}$}
+å- \L{$I\backslash U\not\in\mathcal{U}$}. ðùéí ìá ëé áî÷øä æä \L{$\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$}
+äåà îñðï åæàú úäéä ñúéøä ìîéøáéåú ùì \L{$\mathcal{U}$} ëé \L{$\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$}.
+îãåò \L{$\mathcal{U}_{U}$} äåà îñðï? 
+\begin{enumerate}
+\item ðåëéç ù\L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}. àí \L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}
+äøé ùäéà îäöåøä \L{$U\cap V$} ìàéæä \L{$V\in\mathcal{U}$}. àáì àæ
+\L{$V\subseteq I\backslash U$} åàæ \L{$I\backslash U\in\mathcal{U}$}
+áñúéøä.
+\item \L{$\mathcal{U}_{U}$} ñâåøä ëìôé îòìä îòöí äâãøúä. 
+\item ðøàä ëé àí \L{$U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$} àæ âí \L{$U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$}.
+á.ä.ë \L{$U_{1}\not\in\mathcal{U}$}. ìëï \L{$U\cap V\subseteq U$}
+ìàéæä \L{$V\in\mathcal{U}$}. ìëï \L{$U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$}
+òáåø \L{$V$} äæå. àí \L{$U_{2}\in\mathcal{U}$} àæ \L{$V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$}
+åìëï \L{$U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$} åëê âí \L{$U_{1}\cap U_{2}$}.
+àçøú \L{$U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$} ìàéæä \L{$V_{2}\in\mathcal{U}$}
+. åàæ \L{$U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$} åâí \L{$U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$}.
+÷éáìðå \L{$\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$} å-\L{$\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$}
+ñúéøä. ìëï \L{$\mathcal{U}$} òì îñðï. 
+\end{enumerate}
+
+)äøçáä( àí \L{$F$} îñðï òì \L{$I$} ðâãéø \L{$\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$}
+àåñó äîñððéí äîëéìéí àú \L{$F$}. áàåôï èøéåéàìé ìëì ùøùøú á-\L{$\mathcal{H}_{F}$}
+éù çñí îìòéì á-\L{$\mathcal{H_{F}}$})ëé ëì ùøùøú ëæå äéà ùøùøú ùì
+àéáøéí ùâãåìéí î-\L{$F$} åìëï àí éù ìä çñí á\L{$\mathcal{H}$} äøé
+ùäåà çñí á\L{$\mathcal{H}_{F}$}. ìëï \L{$\mathcal{H}_{F}$}î÷ééîú
+àú äìîä ùì öåøï, ìëï éù àéáø îéøáé âí á\L{$\mathcal{H}$}åøàéðå ùàìå
+òì îñððéí.
+
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+ìëì ÷áåöä àéðñåôéú \L{$I$} éù òì îñðï \L{$F$} òì \L{$I$} ëê ùàí
+\L{$|I\backslash U|<\aleph_{0}$} àæ \L{$U\in F$}.\end{corollary}
+\begin{definition}
+\uline{îëôìåú}: úäé \L{$\Gamma$}÷áåöä ìà øé÷ä ëìùäé å-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
+àåñó ùì ÷áåöåú ìà øé÷åú. àæ äîëôìä \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+æä àåñó ëì äôåð÷öéåú \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+äî÷ééîåú \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. äòøä: àí \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$}
+å-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} ìëì \L{$i,j$} àæ \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.\end{definition}
+\begin{theorem}
+\uline{à÷ñéåîú äáçéøä}: àí \L{$\Gamma$}ìà øé÷ä å-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$}
+ìëì \L{$\gamma\in\Gamma$} àæ \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$}.
+\end{theorem}
+
+\section{îëôìåú}
+
+\end{claim}
+\begin{definition}
+\uline{îëôìåú}: úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöä ìà øé÷ä ëìùäé å-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
+àåñó ùì ÷áåöåú ìà øé÷åú. àæ äîëôìä \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+æä àåñó ëì äôåð÷öéåú \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+äî÷ééîåú \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. äòøä: àí \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$}
+å-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} ìëì \L{$i,j$} àæ \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.
+
+ãåâîä: àí \L{$\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$} ìëì \L{$\mathcal{M}$}
+àæ \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$}æä
+ôùåè àåñó ëì äôåð÷öéåú î\L{$\Gamma$} ì\L{$\mathcal{M}$}. 
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+àí \L{$\Gamma$}ìà øé÷ä å-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$}
+ìëì \L{$\gamma\in\Gamma$}. úäé \L{$\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$}.
+ì\L{$\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$} ðâãéø \L{$x\sim_{F}y$} òáåø
+òì îñðï \L{$F$} òì \L{$\Gamma$} àí \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$}. \end{definition}
+\begin{claim}
+áñéîåðéí ùì ääâãøä äàçøåðä \L{$\sim_{F}$} äåà éçñ ù÷éìåú. \end{claim}
+\begin{proof}
+~
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$}
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$}
+\item ððéç ù\L{$x\sim_{F}y$} å-\L{$y\sim_{F}z$} àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} åâí \L{
+\begin{eqnarray*}
+V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} ìëï \L{$U\cap V\in F$} àáì \L{$U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$}.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{definition}
+úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöä ìà øé÷ä åìëì \L{$\gamma\in\Gamma$} éäé \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}
+îáðä ìùôä \L{$\mathcal{L}$}. éäé \L{$F$} òì îñðï )ìà øàùé( òì \L{$\Gamma$}
+àæ äòì îëôìä ùì \L{$\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
+áéçñ ì\L{$F$} ùúñåîï \L{$\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$}
+äéà äîáðä äîåâãø ëìäìï: \end{definition}
+\begin{enumerate}
+\item äòåìí ùì äòì îëôìä äåà \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$}
+ëìåîø àåñó îçì÷åú äù÷éìåú ùì äéçñ \L{$\sim_{F}$} òì äîëôìä \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$}
+\item ìëì ÷áåò àéùé \L{$c\in\mathcal{L}$} ðôøù \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}
+îçì÷ú äù÷éìåú ùì äñãøä \L{$(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$}
+áéçñ ì \L{$\sim_{F}$}.
+\item ìëì ñéîï éçñ n-î÷åîé \L{$R\in\mathcal{L}$} . ðàîø ù\L{$[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$}
+àí \L{$\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+. 
+\item ìëì ñéîï ôåð÷öéä n-î÷åîé \L{$F$}ðàîø ù\L{$F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$}
+àí \L{$\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$}
+. äòøä: äð\char`\"{}ì îåâãø äéèá. ëìåîø àí \L{$[b]=[d]$} àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+ &  & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\
+ & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}}
+\end{eqnarray*}
+} ëé \L{$[b]=[d]$} ëìåîø \L{$b\sim_{F}d$} åæàú áãéå÷ ääâãøä. \end{enumerate}
+\begin{theorem}
+éäéå \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$}
+å-\L{$\varphi(x_{1},...,x_{n})$} ðåñçä å-\L{$s$} äùîä ì\L{$\mathcal{M}$}.
+àæé îú÷ééí \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} àí åø÷ àí ìëì
+äùîåú \L{$(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$} )òí \L{$s_{\gamma}$}
+äùîä ì\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}( ëê ù \L{$[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$}
+îú÷ééí ù \L{$\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$}.\end{theorem}
+\begin{proof}
+áàéðãå÷öéä òì éöéøú äðåñçàåú. ðúçéì îùîåú òöí:
+\begin{itemize}
+\item òáåø \L{$t$} ÷áåò àéùé \L{$c$} îú÷ééí \L{$Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$}.
+ìùí ðåçåú ð÷áò äùîä \L{$s_{0}$} ì-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+ëê ù-\L{$[s_{0}]=s$}. ëìåîø ìëì îùúðä àéùé \L{$x$} îú÷ééí \L{$[s_{0}(x)]=s(x)$}. 
+\item òáåø \L{$t$} îùúðä àéùé \L{$x$} : \L{$Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$}
+\item òáåø \L{$t$} ôåð÷öéä \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$} àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})]
+\end{eqnarray*}
+}òúä ðúçéì áäåëçä òáåø ðåñçàåú:\end{itemize}
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$\varphi$} ðåñçä àèåîéú \L{$R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$}
+àæ àí åø÷ àí \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\
+ & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} àí åø÷ àí ìôé îä ùäøàðå òáåø ùîåú òöí \L{$[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+ìëì \L{$1\le i\le m$}. ìëï, \L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} åæä îä ùäééðå öøéëéí .
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\section{îùôè \L{Los} åäåëçú ÷åîô÷èéåú}
+\begin{theorem}
+\uline{îùôè }\inputencoding{latin9}\L{\uline{Los}}\inputencoding{cp1255}
+úäé \L{$\mathcal{L}$} ùôä ìúçùéá äôñå÷éí, \L{$\Gamma$} ÷áåöä ìà
+øé÷ä, ìëì \L{$\gamma\in\Gamma$} îáðä \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}
+ìùôä \L{$\mathcal{L}$}. éäé \L{$F$} òì îñðï òì \L{$\Gamma$} å-\L{$s$}
+äùîä òáåø \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}
+å- \L{$\varphi(x)$} ðåñçä á\L{$\mathcal{L}$}. àæé \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$}àí
+åø÷ àí ìëì äùîä \L{$s$} ì-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+äî÷ééîú \L{$\bar{s}(x)=[s(x)]$} îú÷ééí: \L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} )ëàùø \L{$s(\gamma)(x)$} æä ä÷åàåøãéðèä ä\L{$\gamma$} ùì \L{$s(x)$}(. 
+\end{theorem}
+úæëåøú: ëéöã îâãéøéï )\char`\"{}ìëáåã ôñç\char`\"{} - à. çñåï, çâ
+ùîç( îáðä ìùôä \L{$\mathcal{L}$} òì \L{${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}?
+\begin{itemize}
+\item òáåø ÷áåò àéùé \L{$c$} ôùåè ìå÷çéí àú \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}.
+\item òáåø ñéîï éçñ n-î÷åîé \L{$R$} ð÷áò ù-\L{$\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$}
+àí ÷ééîéí \L{$a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+ëê ù \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} ëê ù-\L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+}
+\item òáåø ñéîï ôåð÷öéä n-î÷åîé \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$}
+àí ÷ééîéí \L{$b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+ëê ù \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$} ëê ù
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+}.
+\end{itemize}
+\uline{úøâéì:}
+\begin{enumerate}
+\item ìäåëéç ëé æä îåâãø äéèá, ëìåîø \L{$F^{\mathcal{M}}$} äéà àëï ôåð÷öéä.
+æ\char`\"{}à òáåø \L{$\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$}
+÷ééí \L{$b$} éçéã ëê ù\L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$}.
+\item àí \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} àæ \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}\end{enumerate}
+\begin{proof}
+øàùéú ðøàä: àí \L{$t$} ùí òöí á\L{$\mathcal{L}$}, \L{$\bar{s},s$}
+äùîåú ëáðéñåç äîùôè àæ \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+áàéðãå÷öéä òì éöéàú \L{$t$}.
+\begin{itemize}
+\item òáåø \L{$t$} ÷áåò àéùé \L{$c$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+\item òáåø \L{$t$} îùúðä àéùé \L{$x$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+\item òáåø \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$}: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))]
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{itemize}
+
+äåëçðå òáåø ùîåú òöí. ëòú ðåëéç àú äîùôè áàéðãå÷öéä òì éöéøú äðåñçä.
+\begin{itemize}
+\item òáåø \L{$\varphi$} ðåñçä àèåîéú \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} îú÷ééí
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+} àí åø÷ àí ÷ééîéí ðöéâéí ì-\L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$} ðñîðí
+\L{$a_{1},...,a_{n}$} ëê ù\L{$\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$}.
+àú îé ðáçø ëðöéâéí? ìôé îä ùäøàðå òáåø ùîåú òöí àôùø ìáçåø àú \L{$(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$}
+áúåø ðöéâéí ìëì \L{$i$}. æ\char`\"{}à \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}
+\end{eqnarray*}
+} )åæä áãéå÷ îä ùîùôè \inputencoding{latin9}\L{Los}\inputencoding{cp1255}
+àåîø(.
+\item òáåø \L{$\varphi=\neg\psi$} îú÷ééí \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F
+\end{eqnarray*}
+} åæä îú÷ééí àí åø÷ àí \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE
+\end{eqnarray*}
+}.
+\item äî÷øéí ùì \L{$\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} ãåîéí îàåã )îùúîùéí
+áúëåðåú ùì òì îñðï(.
+\item ðåúø äî÷øä \L{$\varphi=\exists x\psi(x)$} )äî÷øä ùì \L{$\forall x$}
+ðåáò îäî÷øä äð\char`\"{}ì åîîä ùòáø òùéðå ò\char`\"{}é äù÷éìåú äìåâéú
+\L{$\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$}(.
+
+\begin{itemize}
+\item ëéååï àçã: ððéç ëé \L{$(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$}
+æ\char`\"{}à ù÷ééí \L{$\bar{a}\in\mathcal{M}$} ëê ù\L{$(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$}.
+ðåñéó ìùôä ÷áåò àéùé çãù \L{$c$} åðøùåí \L{$\psi(c)$} äðåñçä äîú÷áìú
+î\L{$\psi$}ò\char`\"{}é äçìôú ùì îåôò çåôùé ùì \L{$x$} áðåñçä \L{$\psi$}
+á\L{$c$} . ðøçá àú \L{$\mathcal{M}$}ìîáðä ìùôä äîåòùøú ò\char`\"{}é
+ëê ùðâãéø \L{$c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$}. àæé \L{$Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$}.
+àæ ìôé äðçú äàéðãå÷öéä: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\
+ & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} 
+\item ëéååï ùðé: ððéç ëé \L{$\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$}.
+ðâãéø àéáø \L{$a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+áàåôï äáà: ìëì \L{$\gamma\in\Gamma$} àí \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$}
+àæ ðáçø \L{$a_{\gamma}$} ùîòéã òì ëê. àí \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$}
+ðáçø \L{$a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$} ùøéøåúé. ðâãéø \L{$\bar{a}=[a]$}
+. îääðçä ùìðå \L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x)
+\end{eqnarray*}
+}. 
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+ððéç ù\L{$\Gamma$} ìà øé÷ä å\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}îáðéí ìùôä
+\L{$\mathcal{L}$} ìëì \L{$\gamma\in\Gamma$} å-\L{$F$} òì îñðï òì
+\L{$\Gamma$}, àæé ìëì ôñå÷ \L{$\psi$} á\L{$\mathcal{L}$} îú÷ééí
+\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$}
+àí åø÷ àí \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}.
+\begin{corollary}
+\uline{îùôè ä÷åîô÷èéåú}: úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöä ôñå÷éí áùôä \L{$\mathcal{L}$}.
+ððéç ùìëì \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} âí \L{$\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$}
+åìëì \L{$\psi\in\Gamma$} ÷ééí îåãì \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}
+àæé \L{$\Gamma$} ñôé÷ä ëìåîø ÷ééí \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$}. \end{corollary}
+\begin{proof}
+ìëì \L{$\psi\in\Gamma$} ðáçø îáðä \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}.
+úäé \L{$\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$} ä÷áåöä äî÷ééîú ÷ééí
+\L{$\psi\in\Gamma$}ëê ù: \L{$V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$}. 
+\end{proof}
+\end{corollary}
+\begin{claim}
+\L{$\mathcal{U}$} îñðï òì \L{$\Gamma$} .\end{claim}
+\begin{proof}
+ìëì \L{$\psi\in\Gamma$} îäðçúðå \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}
+ìëï \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$}.
+ìëï \L{$\mathcal{U}\not=\emptyset$}. áøåø ù\L{$\mathcal{U}$} ñâåøä
+ëìôé îòìä. ððéç ù\L{$v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$} àæé ÷ééîéí \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$}
+ëê ù-\L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$}
+åæä âåøø..... \L{$V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$}. 
+\end{proof}
+éäé \L{$F$} òì îñðï ùîøçéá àú \L{$\mathcal{U}$} . ìôé äîñ÷ðä îú÷ééí
+\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$}
+àí åø÷ àí \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}.
+àáì îäâãøú \L{$\mathcal{U}$} ìëì \L{$\psi\in\Gamma$} ä÷áåöä \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$}
+åìëï ì-\L{$F$}. îù\char`\"{}ì.
+
+
+\section{ò÷áéåú}
+\begin{theorem}
+úäé \L{$(P,\le)$} ÷ñ\char`\"{}ç, àæé ÷ééí éçñ \L{$R$} òì \L{$P$}
+)ãå-î÷åîé( ëê ù-\end{theorem}
+\begin{enumerate}
+\item \L{$R$} éçñ ñãø ÷ååé
+
+\begin{enumerate}
+\item ìëì \L{$a,b\in P$} àí \L{$a\le b$} àæ \L{$R(a,b)$}.
+\end{enumerate}
+
+áîéìéí àçøåú, ÷ééí ñãø ÷ååé \L{$R$} òì \L{$P$} ùîøçéá àú \L{$\le$}.
+
+\end{enumerate}
+\begin{theorem}
+\uline{äòøä:} äîùôè òáåø ÷áåöä ñåôéú \L{$P$} àéððå ÷ùä. ääåëçä
+áàéðãå÷öéä òì \L{$|P|$}. òáåø \L{$|P|=1$} àéï îä ìäåëéç. ððéç ùäåëçðå
+òáåø ëì \L{$P$} òí \L{$|P|=n$} åðåëéç òáåø \L{$n+1$}: úäé \L{$(P,\le)$}
+÷ñ\char`\"{}ç òí \L{$n+1$} àéáøéí. ëéååï ù\L{$P$} ñåôéú éù ìä àéáø
+îéðéîìé \L{$a$}. úäé \L{$Q=P\backslash\{a\}$}. àæ \L{$(Q,\le)$}
+÷ñ\char`\"{}ç òí \L{$n$} àéáøéí åìôé äðçú äàéðãå÷öéä éù \L{$R$}
+ñãø ÷ååé òì \L{$Q$} ùîøçéá àú \L{$\le$} òì \L{$Q$}. òúä ìà ÷ùä
+ìáãå÷ ùàí ðâãéø \L{$R(a,b)$} ìëì \L{$b\in Q$} ð÷áì àú äîáå÷ù.\end{theorem}
+\begin{proof}
+)î÷øä ëììé( úäé \L{$L$} ùôä ìúçùéá äéçñéí ùáä:
+\begin{enumerate}
+\item ìëì \L{$p\in P$} éù ÷áåò àéùé \L{$c_{p}$}
+\item éçñ ãå î÷åîé \L{$R$}
+\end{enumerate}
+
+\uline{áìáã.} ðâãéø ÷áåöú ôñå÷éí \L{$T_{P}$} á\L{$L$} áàåôï äáà:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$c_{p}\not=c_{q}$} ìëì \L{$p\not=q\in P$} 
+\item \L{$R$} éçñ ñãø ÷ååé
+\item ìëì \L{$p,q\in P$} àí \L{$p\le q$} àæé éäéä ôñå÷ \L{$R(c_{p},c_{q})$}.\end{enumerate}
+\begin{claim}
+\L{$T_{P}$} ñôé÷ä )î÷åîéú(.
+\begin{proof}
+îîùôè ä÷åîô÷èéåú éñôé÷ ìäåëéç ù\L{$T_{P}$} ñôé÷ä î÷åîéú. úäé \L{$T_{0}\subseteq T_{P}$}
+ñåôéú. áä\char`\"{}ë äà÷ñéåîä ){\beginL 2\endL}( \char`\"{}\L{$R$}
+éçñ ñãøé ÷ååé\char`\"{} ùééëú ì\L{$T_{0}$}. áðåñó ðùéí ìá ùá\L{$T_{0}$}
+îåôéòéí ø÷ îñôø ñåôé ùì ÷áåòéí, ðàîø: \L{$c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$}.
+ðáéè á÷áåöä \L{$P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$}. àæ \L{$(P_{0},\le)$}
+÷ñ\char`\"{}ç ñåôéú. ìëï ìôé ääòøä éù éçñ \L{$R^{P_{0}}$} ùäåà ñãø
+÷ååé òì \L{$P_{0}$} äîøçéá àú \L{$\le$} òì \L{$P_{0}$}. áøåø ùàí
+ðôøù àú \L{$R$} á\L{$P_{0}$} ò\char`\"{}é \L{$R^{P_{0}}$} ëð\char`\"{}ì
+å-\L{$c_{p_{i}}$} ò\char`\"{}é \L{$p_{i}$} àæ ð÷áì îåãì ùì \L{$T_{0}$}.
+\end{proof}
+\end{claim}
+
+éäé \L{$\mathcal{M}\models T_{P}$}, áôøè \L{$R^{\mathcal{M}}$} ñãø
+÷ååé òì \L{$\mathcal{M}$}. éäé \L{$\mathcal{N}\le\mathcal{M}$} äîáðä
+ùòåìîå äåà ä÷áåòéí ùì \L{$\mathcal{M}$} )ëìåîø \L{$a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$}
+ìàéæä \L{$p\in P$}(. ðâãéø éçñ ñãø çì÷é \L{$\le^{\mathcal{N}}$}òì
+\L{$\mathcal{N}$} ò\char`\"{}é \L{$p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$}
+ìëì \L{$p,q\in P$} . àæ \L{$(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$}
+ôùåè ò\char`\"{}é \L{$p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$}. ìëï áä\char`\"{}ë
+\L{$(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$}. òúä \L{$R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$}
+)öîöåí( ñãø ÷ååé òì \L{$\mathcal{N}$}. )ìôé \L{$\mathcal{M}\models(2)$}
+îú÷ééí ëé\L{$R^{\mathcal{M}}$} ñãø ÷ååé åöîöåí ùì ëæä äåà ðùàø ÷ååé(.
+ëéååï ù-\L{$\mathcal{M}\models(3)$} àæ àí \L{$p\le q$} àæé \L{$p(c_{p},c_{q})$}
+äéà à÷ñéåîä á){\beginL 3\endL}( åìëï \L{$\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$}
+åìëï \L{$\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$}. 
+
+\end{proof}
+\begin{theorem}
+úäé \L{$L=\{G\}$} òáåø éçñ ãå î÷åîé \L{$G$}. \L{$T_{G}$} äúåøä
+ùàåîøú ëé äòåìí äåà âøó. àæé àéï ôñå÷ \L{$\psi$} á\L{$L$} ëê ù\L{$\mathcal{M}\models\psi$}
+àí åø÷ àí \L{$\mathcal{M}$} âøó ÷ùéø.\end{theorem}
+\begin{proof}
+ððéç áùìéìä ùéù ôñå÷ \L{$\psi$} ëæä. ðåñéó ìùôä ÷áåòéí àéùééí çãùéí
+\L{$c_{1},c_{2}$}. éäé \L{$\varphi_{n}$} äôñåø ùàåîø ùàéï îñéìä
+áàåøê ÷èï î\L{$n$} áéï \L{$c_{1}$} ì\L{$c_{2}$}:\L{
+\[
+\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})]
+\]
+} ðùéí ìá ù\L{$\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$}
+òé÷áéú î÷åîéú. àí \L{$\Gamma_{0}$} ÷áåöä ñåôéú ùì ôñå÷éí îï ä÷áåöä
+äð\char`\"{}ì éù \L{$n$} îéøáé ëê ù\L{$\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$}.
+áøåø ùàí ðîöà \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$}
+àæ \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}. àáì áøåø ùìëì \L{$n$} éù
+âøê äî÷ééí àú \L{$\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$}
+)ôçåú î\L{$n$} ÷åã÷åãéí, áôøè àéï îñéìä î\L{$c_{1}$}ì\L{$c_{2}$}(.
+åìëï \L{$\Gamma$} ñôé÷ä ñåôéú. ìôé ÷åîô÷èéåú \L{$\Gamma$} ò÷áéú.
+àáì æä ìà ééúëï: àí \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} àæ \L{$\mathcal{M}\models\psi$}
+åìëï áéï \L{$c_{1}$} ì\L{$c_{2}$} éù îñéìä åáäëøç àåøëä ñåôé, ðàîø
+\L{$n$}. îöã ùðé \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}$} åìëï àéï îñéìä
+áàåøê \L{$n$} áéï \L{$c_{1}$} ì\L{$c_{2}$} åæåäé ñúéøä ìäðçú äùìéìä.
+\end{proof}
+\uline{äòøä:}
+\begin{enumerate}
+\item áàåôï ãåîä àôùø ìäåëéç ëé àéï ôñå÷ \L{$\psi$} áùôä \L{$L=\{\le\}$}
+ëê ù\L{$\mathcal{M}\models\psi$} àí åø÷ àí \L{$\{\le\}$} ñãø èåá
+)ëìåîø \L{$\le$} ñãø ùååé áìé ñãøä àéðñåôéú éåøãú(. 
+\item àåúä äåëçä áãéå÷ úòáåã àí ððñä ìîöåà ÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$} ëê
+ù\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} àí åø÷ àí \L{$\mathcal{M}$} âøó
+÷ùéø/\L{$\mathcal{M}$} ñãåø äéèá )ñãø èåá(.
+\end{enumerate}
+\uline{úæëåøú:}
+
+àí \L{$\Gamma$} ÷áåöú ôñå÷éí àæ \L{$\Gamma\models\psi$} àí ìëì îáðä
+\L{$\mathcal{M}$}: àí \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} àæ \L{$\mathcal{M}\models\psi$}
+.
+\begin{corollary}
+àí \L{$\Gamma\models\psi$} àæ ÷ééîú ÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
+ñåôéú ëê ù\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}. \end{corollary}
+\begin{proof}
+ðáéè á÷áåöä \L{$\Gamma\cup\{\neg\psi\}$} . îäðçúðå ÷áåöä æå àéððä
+ñôé÷ä. î÷åîô÷èéåú éù \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$}
+ñåôéú ëê ù\L{$\Gamma_{1}$} àéððä ñôé÷ä. áøåø ù\L{$\neg\psi\in\Gamma_{1}$}
+ëé àçøú \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$} å\L{$\Gamma$} ò÷áéú. )àí
+\L{$\Gamma$} àéððä ò÷áéú î÷åîô÷èéåú éù \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
+ùàéðä ñôé÷ä å\L{$\Gamma_{0}\models\varphi$} ìëì ôñå÷ \L{$\varphi$}(.
+ìëï \L{$\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$}
+ñåôéú åî÷ééîú \L{$\Gamma_{0}\models\psi$} )ëé àçøú éù îåãì \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}
+å-\L{$\mathcal{M}\not\models\psi$} ëìåîø \L{$\mathcal{M}\models\neg\psi$}
+ëìåîø \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$} áñúéøä ìáçéøú \L{$\Gamma_{1}$}(.
+áîéìéí àçøåú ìéçñ \L{$\models$} éù èáò ñåôé.
+\end{proof}
+\uline{ùàìä îøëæéú}: áäéðúï ùôä \L{$L$} å÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$}
+á\L{$L$}, ëéöã àôùø ìãòú/ìáãå÷ áéçñ ìôñå÷ \L{$\psi$} ëìùäå äàí \L{$\Gamma\models\psi$}?
+áúåø äúçìä ðùéí ìá ùàí \L{$\psi\in\Gamma$} àæ áååãàé \L{$\Gamma\models\psi$}.
+åìëï øöåé ùðåëì ìòðåú òì äùàìä äàí \L{$\psi\in\Gamma$}? ððéç ùäâãøðå
+îúé ÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$} äéà çùéáä, ëìåîø ðéúï ìòðåú òì äùàìä
+îúé ôñå÷ \L{$\psi$} ùééê ì\L{$\Gamma$}. ððéç ù\L{$\Gamma$} ÷áåöú
+ôñå÷éí çùéáä åððéç ù\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} àæ \L{$\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$}.
+ððéç ù\L{$\psi_{1}\in\Gamma$} å\L{$\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$}
+àæ \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}. áàåôï ëììé éåúø àí äøàðå ìîùì \L{$\psi_{1}$}
+å-\L{$\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$} ðâøøéí ìåâéú ò\char`\"{}é \L{$\Gamma$}
+àæ ðéúï ìäøàåú \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}.
+
+
+\section{îòøëåú äéñ÷ åéëéçåú}
+
+\uline{áòéä îøëæéú:} ðúåðä ÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$} åøåöéí ìãòú
+òáåø ôñå÷ \L{$\psi$} äàí \L{$\Gamma\models\psi$}. 
+
+î÷øä ôøèé: \L{$\Gamma=\emptyset$}, ëìåîø øåöéí ìãòú äàí ôñå÷ \L{$\psi$}
+àîéúé ìåâéú àå ìà. äî÷øä äôøèé îðáéò àú äî÷øä äëììé. îãåò? áäéðúï
+÷áåöú ôñå÷éí \L{$\Gamma$} å\L{$\psi$} ëìùäå, àí \L{$\Gamma\models\psi$}
+àæ éù \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} ñåôéú ëê ù\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}
+)îùôè ä÷åîô÷èéåú( åìëï \L{$({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$}
+àîéúé ìåâéú åàú æä àðçðå éåãòéí ìáãå÷.
+
+\uline{ùàìä}: îúé ôñå÷ äåà àîéúé ìåâéú?
+\begin{enumerate}
+\item àðçðå éåãòéí ùëì èàåèåìåâéä äéà àîéúéú ìåâéú.
+\item àí \L{$\varphi$} àîéúé ìåâéú àæ \L{$\forall x\varphi$} àîéúé ìåâéú.
+àôùø ìøùåí âí: \L{$\varphi\rightarrow\forall x\varphi$} àîéúé ìåâéú.
+\item àí \L{$\forall x\varphi(x)$} àîéúé ìåâéú àæ \L{$\varphi(t)$} àîéúé
+ìåâéú ìëì ùí òöí \L{$t$}. àôùø ìøùåí âí: \L{$\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$}
+àîéúé ìåâéú.
+\item \textbf{àí \L{$\varphi\rightarrow\psi$} àîéúé ìåâéú å\L{$\varphi$}
+àîéúé ìåâéú àæ \L{$\psi$} àîéúé ìåâéú. })áëì îòøëåú ääéñ÷ ùðòáåã
+àéúï æä éäéä ëìì ääéñ÷ äéçéã. æä ð÷øà \uline{ëìì äðéúå÷} àå \inputencoding{latin9}\L{Modus
+Poneus}\inputencoding{cp1255}(
+\end{enumerate}
+\uline{ñéîåï:} áäéðúï ùôä \L{$\mathcal{L}$} îñãø øàùåï ðñîï \L{$Def(\mathcal{L})$}
+àåñó äðåñçàåú áùôä \L{$\mathcal{L}$}.
+\begin{definition}
+îòøëú äéñ÷ )ìùôä \L{$\mathcal{L}$}( æä æåâ ñãåø \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}ëàùø: \end{definition}
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$} )àåìé øé÷ä( ùð÷øàú ÷áåöú
+äà÷ñéåîåú äìåâéåú
+\item \L{${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$}
+ëàùø \L{$F_{n}$} æä àåñó äôåð÷öéåú \L{$f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$}
+å-\L{$\mathcal{I}$} ð÷øàú àåñó ëììé ääéñ÷.
+\end{enumerate}
+\uline{äòøä:} úîéã ðãøåù ëé:
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$\varphi\in\mathcal{A}$} àæ \L{$\varphi$} àîéúé ìåâéú. áî÷øä
+æä ðàîø ëé äà÷ñéåîåú äìåâéåú \uline{ú÷ôåú}.
+\item àí \L{$f\in\mathcal{I}$} å- \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$}
+àæ \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$}.
+áî÷øä æä ðàîø ëé ëììé ääéñ÷ \uline{ðàåúéí}.
+\end{enumerate}
+\uline{ñéîåï}: àí ðøöä ìåîø ù\L{$\psi$}îú÷áì î\L{$\psi_{1},...,\psi_{n}$}
+òì éãé àçã îëììé ääéñ÷ ðøùåí \L{$\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$}
+åìà öøéê éäéä ìäñáéø áàéæä ëìì äéñ÷ îãåáø. 
+\begin{definition}
+áäéðúï îòøëú äéñ÷ \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}
+å÷áåöú ðåñçàåú \L{$\Gamma$} ðàîø ùðåñçä \L{$\psi$} \textbf{éëéçä}
+)ëìåîø, ðéúðú ìäåëçä( î\L{$\Gamma$} ,åðñîï \L{$\Gamma\vdash\psi$},
+àí ÷ééîú ñãøú ðåñçàåú \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} ìàéæä \L{$k\in\mathbb{N}$}
+ëê ù:\end{definition}
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\psi=\varphi_{k}$}
+\item ìëì \L{$1\le i\le k$} àå:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\varphi_{i}$} à÷ñéåîä ìåâéú. àå:
+\item \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$}. àå:
+\item \L{$\varphi_{i}$} îú÷áì îðåñçàåú ÷åãîåú áñãøä ò\char`\"{}é àçã îëììé
+ääéñ÷. áî÷øä ùìðå éù \L{$j_{1},j_{2}<i$} ëê ù\L{$\varphi_{i}$} îú÷áì
+î-\L{$\varphi_{j_{1}}$}å-\L{$\varphi_{j_{2}}$} ò\char`\"{}é ëìì
+äðéúå÷.
+\end{enumerate}
+
+äñãøä \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} äî÷ééîú àú äúðàéí äð\char`\"{}ì
+ð÷øàú äåëçä ùì \L{$\psi$} î-\L{$\Gamma$}.
+
+\end{enumerate}
+\uline{ùàìä:} äàí ÷ééîú îòøëú äéñ÷ \uline{çùéáä} )ëìåîø ùáä
+àôùø ìäëøéò îúé ðåñçä äéà à÷ñéåîä ìåâéú, åîúé ðåñçä îú÷áìú îðåñçàåú
+÷åãîåú ò\char`\"{}é àçã îëììé ääéñ÷( ëê ùëì ðåñçä àîéúéú ìåâéú éëéçä
+)î-\L{$\emptyset$}(.
+
+îòëùéå ëì îòøëú äéñ÷ ùðãåï áä úëéì àú ëìì äðéúå÷ ëëìì éçéã åàú ëì
+äèàåèåìåâéåú ëà÷ñéåîåú ìåâéåú )àåìé âí à÷ñéåîåú ìåâéåú ðåñôåú(. 
+\begin{claim}
+úäé \L{$T$} úåøä )÷áåöú ôñå÷éí ñôé÷ä( ëìùäé å\L{$\psi$} ðåñçä ëê
+ù-\L{$T\vdash\psi$} àæé \L{$T\cup\{\psi\}$} ñôé÷ä. \end{claim}
+\begin{proof}
+éäé \L{$\mathcal{M}\models T$} ðøàä áàéðãå÷öéä òì àåøê ääåëçä ùì
+\L{$\psi$} î-\L{$T$} ù-\L{$\mathcal{M}\models\psi$}. àí ì-\L{$\psi$}
+äåëçä áàåøê {\beginL 1\endL} àæ àå ù-\L{$\psi$} à÷ñéåîä ìåâéú åìëï
+àîéúé ìåâéú åìëï îñåô÷ á-\L{$\mathcal{M}$}, àå ù-\L{$\psi\in T$}
+åáååãàé ù-\L{$\mathcal{M}\models\psi$} )ëé \L{$\mathcal{M}\models T$}(.
+ððéç ù-\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} äåëçä ùì \L{$\psi$} î-\L{$T$}
+åàôùø ìäðéç á.ä.ë ù-\L{$\psi=\varphi_{k}$} îú÷áì îàéæä \L{$\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$}
+òí \L{$j_{1},j_{2}<k$} ò\char`\"{}é ëìì äðéúå÷. ìôé äðçú äàéðãå÷öéä
+\L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$} åâí \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$}.
+îëéååï ùëìì äðéúå÷ äåà ðàåú, áôøè \L{$\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$}
+åìëï \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof}
+\begin{theorem}
+\uline{îùôè ääéñ÷: }úäé \L{$\Gamma$} ÷áåöú ðåñçàåú å-\L{$\psi$}
+ðåñçä ëìùäé, àæ \L{$\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$} àí åø÷ àí \L{$\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$}
+)\L{$\phi$} ðåñçä(. 
+\end{theorem}
+)ääåëçä äéà áàéðãå÷öéä òì àåøê ääåëçä, åðøàä æàú òåã îòè(.
+\begin{definition}
+÷áåöú ðåñçàåú \L{$\Gamma$} ú÷øà ò÷áéú àí äéà ìà îåëéçä ñúéøä. )ñúéøä
+äéà äî÷áéìä ùì èàåèåìåâéä - ëìåîø äöáä ùì ôñå÷éí îúçùéá äéçñéí áñúéøä
+ùì úçùéá äôñå÷éí(.\end{definition}
+\begin{remark}
+àí \L{$\Gamma$} àéðä ò÷áéú àæ \L{$\Gamma\vdash\psi$} ìëì ðåñçä \L{$\psi$}. \end{remark}
+\begin{proof}
+îäðçúðå \L{$\Gamma\vdash\sigma$} ìàéæå ñúéøä \L{$\sigma$}. àæ \L{$\Gamma\rightarrow\psi$}
+äéà èàåèåìåâéä )\L{$\sigma$} îú÷áìú ò\char`\"{}é äöáä ùì ôñå÷éí îúçùéá
+äéçñéí áôñå÷ \L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})$} ùì úçùéá äôñå÷éí å-\L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$}
+äéà èàåèåìåâéä ùì úçùéá äôñå÷éí(. ëéååï ù\L{$\Gamma\vdash\sigma$}
+îëìì äðéúå÷ \L{$\Gamma\vdash\psi$}. \end{proof}
+\begin{corollary}
+)îîùôè ääéñ÷( ìëì úåøä \L{$T$} åìëì ðåñçä \L{$\varphi$} àå ù-\L{$T\cup{\varphi}$}
+ò÷áéú àå ù-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} ò÷áéú.\end{corollary}
+\begin{proof}
+ððéç ù-\L{$T\cup{\varphi}$} å-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} ùúéäï àéðï
+ò÷áéåú. ìôé ääòøä éù ñúéøä \L{$\sigma$} ëê ù-\L{$T\cup{\varphi}\vdash\sigma$}
+å-\L{$T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$} . ìôé îùôè ääéñ÷ \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$}
+å-\L{$T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$} . àáì: \L{$(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$}
+æå èàåèåìåâéä. ùéîåù ëôåì áëìì äðéúå÷ éúï ìðå äåëçä ùì \L{$\sigma$}
+î-\L{$T$}. áñúéøä ìäðçä ù-\L{$T$} ñôé÷ä åìèòðä ä÷åãîú.\end{proof}
+\begin{corollary}
+ìëì úåøä \L{$T$} éù ÷áåöú ôñå÷éí \L{$T\subseteq T^{\prime}$} ëê
+ùìëì ôñå÷ \L{$\psi$} àå \L{$T^{\prime}\vdash\psi$} àå \L{$T^{\prime}\vdash\neg\psi$}. \end{corollary}
+\begin{definition}
+úåøä \L{$T$} äî÷ééîú ìëì ôñå÷ \L{$\psi$} àå \L{$T\vdash\psi$} àå
+\L{$T\vdash\neg\psi$} ð÷øàú \uline{ùìîä}.\end{definition}
+\begin{proof}
+)ùì äîñ÷ðä( úäé \L{$\mathcal{T}$} àåñó ëì ÷áåöåú äôñå÷éí äîëéìåú
+àú \L{$T$} áéçñ ìñãø ääëìä. ÷ì ìáãå÷ ùàí \L{$\{T_{i}\}$} ùøùøú òåìä
+ùì úåøåú á-\L{$\mathcal{T}$} àæ \L{$\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$}.
+ìîä? ÷åîô÷èéåú )öøéê ìðî÷(. ìëï ìôé äìîä ùì öåøï éù \L{$T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$}
+îéøáéú. ìôé äîñ÷ðä ä÷åãîú \L{$T^{\prime}$} òåðä òì äãøéùåú.
+\end{proof}
+
+\section{îòøëåú äéñ÷ - äîùê}
+\begin{definition}
+÷áåöú ôñå÷éí ò÷áéú \L{$T$} äéà \textbf{ùìîä} àí ìëì ôñå÷ \L{$\psi$}
+àå ù-\L{$T\vdash\psi$} àå ù-\L{$T\vdash\neg\psi$}.
+
+øàéðå ùàí \L{$T$} ÷áåöú ôñå÷éí ò÷áéú åîéøáéú ëæå áéçñ ìäëìä àæ \L{$T$}
+ùìîä.\end{definition}
+\begin{claim}
+ìëì ÷áåöú ôñå÷éí ò÷áéú \L{$T$} éù ÷áåöú ôñå÷éí ùìîä \L{$T\subseteq T^{\prime}$}.\end{claim}
+\begin{proof}
+äìîä ùì öåøï. ëãé ìäùúîù áìîä ùì öåøï éñôé÷ ìäøàåú ùàí \L{$\{T_{i}\}$}
+ùøùøú )áéçñ ìäëìä( ùì ÷áåöåú ôñå÷éí ò÷áéåú àæ âí \L{$\tilde{T}=\bigcup T_{i}$}
+òé÷áéú. îãåò? àí \L{$\tilde{T}\vdash\sigma$} ìàéæå ñúéøä \L{$\sigma$}
+àæ éù ñãøä \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$} ùäéà äåëçä
+ùì \L{$\sigma$} î-\L{$\tilde{T}$}. ëì \L{$\varphi_{i}$} äåà àå
+à÷ñéåîä ìåâéú àå ùééê ìàéæä \L{$T_{j_{i}}$} àå ðåáò îàéáøéí ÷åãîéí
+áñãøä ò\char`\"{}é ëìì äðéúå÷. ÷ééí \L{$j$} îéøáé ëê ùìëì \L{$i$}
+ëð\char`\"{}ì àå \L{$\varphi_{i}$} à÷ñéåîä ìåâéú àå \L{$\varphi_{i}\in T_{j}$}
+àå \L{$\varphi_{i}$} îú÷áì îëìì äðéúå÷. æ\char`\"{}à ù\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$}
+äåëçä ùì \L{$\sigma$} îúåê \L{$T_{j}$}. àáì \L{$T_{j}$} ò÷áéú -
+ñúéøä.\end{proof}
+\begin{theorem}
+÷ééîú îòøëú äéñ÷ )ùáä ëìì äðéúå÷ äåà ëìì ääéñ÷ äéçéã( åëê ùîòøëú ääéñ÷
+\char`\"{}çùéáä\char`\"{} åîú÷ééí ù\L{$T$} ò÷áéú àí åø÷ àí \L{$T$}
+ñôé÷ä.\end{theorem}
+\begin{corollary}
+{]}îùôè äùìîåú{[} ð÷áò îòøëú äéñ÷ ëð\char`\"{}ì. úäé \L{$T$} ÷áåöú
+ôñå÷éí ò÷áéú, \L{$\psi$} ôñå÷ ëìùäå àæé \L{$T\vdash\psi$} àí åø÷
+àí \L{$T\models\psi$}.\end{corollary}
+\begin{proof}
+àí \L{$T\vdash\psi$} äøàðå ù\L{$T\models\psi$} )ùéòåø ùòáø(. áëéååï
+äùðé, àí \L{$T\models\psi$} àáì \L{$T\not\vdash\psi$} àæ \L{$T\cup{\neg\psi}$}
+ò÷áéú. ìôé äîùôè éù \L{$\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$} áñúéøä
+ìäðçä.\end{proof}
+\begin{remark}
+äîùôè äð\char`\"{}ì ù÷åì ìèòðä: ÷ééîú îòøëú äéñ÷ \char`\"{}çùéáä\char`\"{}
+ëê ùìëì \L{$\varphi$} àîéúé ìåâéú îú÷ééí \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.\end{remark}
+\begin{proof}
+ððéç àú äîùôè åðåëéç àú äèòðä. \L{$\emptyset\models\varphi$}îú÷ééí
+ëé \L{$\varphi$} àîéúé ìåâéú åîï äîñ÷ðä \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.
+áëéååï äùðé, ððéç àú äèòðä åðåëéç àú äîùôè. úäé \L{$T$} úåøä ò÷áéú.
+òìéðå ìäøàåú )áòæøú äèòðä( ùì\L{$T$} éù îåãì. ððéç ùìà. æ\char`\"{}à
+î÷åîô÷èéåú éù úú ÷áåöä ñåôéú \L{$T_{0}\subseteq T$} ùàéï ìä îåãì.
+éäé \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$}.
+àæ \L{$\psi$}ùé÷øé ìåâéú. àæ \L{$\neg\psi$} àîéúé ìåâéú. àæ \L{$T\vdash\neg\psi$}.
+àáì \L{$T\vdash\psi$} àæ \L{$T$} àéððä ò÷áéú.\end{proof}
+\begin{remark}
+îîùôè äùìîåú ðåáò ù\L{$T$} ùìîä àí åø÷ àí \L{$T\models\varphi$}
+àå \L{$T\models\neg\varphi$} ìëì ôñå÷ \L{$\varphi$}. 
+\end{remark}
+ãåâîàåú ìúåøåú ùìîåú:
+\begin{enumerate}
+\item éäé \L{$\mathcal{M}$} îáðä ëìùäå ìùôä \L{$\mathcal{L}$}. äúåøä ùì
+\L{$\mathcal{M}$} äéà \L{$Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$}.
+îäâãøú äàîú, àí \L{$\mathcal{M}\not\models\varphi$} àæ \L{$\mathcal{M}\models\neg\varphi$}.
+ëìåîø \L{$\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$} åàæ \L{$\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$}. \end{enumerate}
+\begin{theorem}
+)ìååðäééí-ñ÷åìí äéåøã(: éäé \L{$\mathcal{M}$} îáðä àéðñåôé ìùôä )áú
+îðéä( \L{$\mathcal{L}$}. úäé \L{$A\subseteq M$} )áòåìí ùì \L{$\mathcal{M}$}(
+àæé ÷ééí \L{$A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$} åëê
+ù-\L{$|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$}. \end{theorem}
+\begin{corollary}
+ððéç ù\L{$T$} úåøä áùôä áú îðéä åì\L{$T$} éù îåãì éçéã òã ëãé àéæåîåøôéæí
+áòåöîä \L{$\aleph_{0}$}. àæé \L{$T$} ùìîä )ñåâ ùì ÷øéèøéåï \inputencoding{latin9}\L{Vaught}\inputencoding{cp1255}(. \end{corollary}
+\begin{proof}
+ððéç ùìà. àæé éù ôñå÷ \L{$\varphi$} ëê ù\L{$T_{1}=T\cup{\varphi}$}
+å-\L{$T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$} ò÷áéåú. àæé ÷ééîéí \L{$\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$}
+å-\L{$\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$}. îäîùôè àðçðå éåãòéí )ðùúîù
+á\L{$\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$}( ùéù \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$}ëê
+ù\L{$\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$}òáåø \L{$i=1,2$}. àáì
+\L{$\mathcal{M}_{i}\models T$} åìëï \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$}.
+ìëï \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$})æàú
+ääðçä(. ìôé îùôè äàéæåîåøôéæí \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$}
+àáì \L{$\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$}
+åâí \L{$\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$}
+- ñúéøä. \end{proof}
+\begin{corollary}
+~\end{corollary}
+\begin{enumerate}
+\item úäé \L{$T_{\approx}$} äúåøä áùôä äøé÷ä )æ\char`\"{}à ùååéåï áìáã(
+ùàåîøú ùäòåìí àéðñåôé. æå úåøä ùìîä. 
+\item úäé \L{$\mathcal{L}=\{\le\}$} å- \L{$DLO$} äéà äúåøä ùì ñãø ÷ååé
+öôåó ììà ÷öååú. àæ \L{$DLO$} úåøä ùìîä. 
+\item äâøó äî÷øé )ùðúðå à÷ñéåîèéæöéä ùìå áúøâéì {\beginL 1\endL} ùàìä {\beginL 2\endL}(
+äåà ÷èâåøé á\L{$\aleph_{0}$} )ëìåîø ëì îåãì àçø ùì äúåøä áòåöîä \L{$\aleph_{0}$}
+àéæåîåøôé ìå( ìôé úøâéì {\beginL 2\endL} ùàìä {\beginL 5\endL}. 
+\end{enumerate}
+
+\section{îëåðåú èéåøéðâ}
+
+\uline{úæëåøú:}
+\begin{itemize}
+\item úåøä \L{$T$} ùìîä àí ìëì ôñå÷ \L{$\psi$} àå \L{$T\vdash\psi$} àå
+\L{$T\vdash\neg\psi$}
+\item àí \L{$T$} ÷èâåøéú á\L{$\aleph_{0}$} )ëìåîø, éù ìä îåãì éçéã òã
+ëãé àéæåîåøôéæí ùòåöîúå \L{$\aleph_{0}$}( åì-\L{$T$} àéï îåãìéí
+ñåôééí àæ \L{$T$} ùìîä.
+\end{itemize}
+\uline{\L{$C$} - îçì÷ú äôåð÷öéåú äçùéáåú:}
+\begin{itemize}
+\item ôåð÷öéåú çì÷éåú )ãèøîéðéñèéåú(
+\item ðéúðåú ìúéàåø ñåôé
+\item ä÷ìè äåà îñôø èáòé àå ñãøú ñåôéú ùì èáòééí
+\item çìå÷ä ìùìáéí, áëì ùìá îúáöòú ôòåìú çéùåá àìîðèøéú
+\item ëì ùìá áçéùåá éëåì ìäùúîù áúåöàåú çéùåá ÷åãîåú - \char`\"{}æéëøåï\char`\"{}
+\item æéëøåï ìà çñåí áâåãìå, àê áëì ùìá áçéùåá ðòùä ùéîåù áçì÷ ñåôé áìáã
+ùì äæëøåï
+\item áëì ùìá ùì äçéùåá \char`\"{}ëîåú ñåôéú ùì àéðôåøîöéä\char`\"{} - îñôé÷ä
+ëãé ìúàø àú \char`\"{}îöá äçéùåá\char`\"{}\end{itemize}
+\begin{definition}
+éäéå \L{$S$} à\char`\"{}á ñåôé òí úå îéåçã \L{$B$}, å-\L{$Q$} ÷áåöä
+ñåôéú )æøä ì\L{$S$}( ùð÷øà ìä \char`\"{}÷áåöú äîöáéí äôðéîééí\char`\"{}
+òí îöá äúçìúé \L{$q_{0}$}. \textbf{ô÷åãä} æå øáéòééä \L{$\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $}
+ëàùø \L{$r\in S$}, \L{$q,q^{\prime}\in Q$}, \L{$x\in\{L,R\}\cup S$}.
+\textbf{îëåðú èéåøéðâ} æå øáéòéä \L{$M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $}
+ëàùø \L{$I$} ÷áåöä ñåôéú, çñøú ñúéøåú ùì ô÷åãåú. )äòøä: \L{$I$}
+çñøú ñúéøåú àí \L{$rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$} àæ \L{$y=x$}
+å-\L{$q^{\prime}=q^{\prime\prime}$}.(
+\end{definition}
+ðçùåá áöåøä âøôéú òì î\char`\"{}è ëòì ñøè àéðñåôé äîçåì÷ ìàéðñåó úàéí.
+áëì úå ùì äñøè ëúåáä àçú îàåúéåú äà\char`\"{}á ëàùø òì \L{$B$} ðçùåá
+ëòì úå äîééöâ úà øé÷. ìîëåðä éù øàù ÷åøà ùðîöà úîéã òì àçã äúàéí.
+äøàù ä÷åøà éëåì ìæäåú îäå äúå äëúåá áúà áå äåà ðîöà. ìôé äîöá äôðéîé
+ùì äîëåðä åìôé äð÷øà, éëåì äøàù ä÷åøà ìæåæ éîéðä åùîàìä úà àçã àå
+ìëúåá úå àçø áà\char`\"{}á áàåúå äúà, åìòáåø ìîöá ôðéîé çãù. òì ô÷åãä
+ðçùá ëàåîøú: àí äøàù ä÷åøà øåàä úå \L{$r$} åäîöá äôðéîé äåà \L{$q$}
+àæ àí \L{$x\in\{L,R\}$} æåæ éîéðä àå ùîàìä úå àçã åòáåø ìîöá ôðéîé
+\L{$q^{\prime}$}. àí \L{$x\in S$} ëúåá áúà äðåëçé \L{$x$} åòáåø
+ìîöá ôðéîé \L{$q^{\prime}$}. ìåîø ù\L{$I$} äéà ñãøú ô÷åãåú çñøú
+ñúéøä æä ôùåè ìåîø ù\L{$I$} äéà ôåð÷öéä çì÷éú: \L{$S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$}. 
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item \textbf{îöá} \L{$m$} ùì îëåðú èéåøéðâ \L{$T$} ùå ùìùä \L{$(n,q,h)$}
+ëàùø:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$n\in\mathbb{Z}$} îöééï àú îé÷åí äøàù ä÷åøà áéçñ ìîé÷åí ääúçìúé
+\L{$n=0$}.
+\item \L{$q\in Q$} äîöá äôðéîé ùì äîëåðä
+\item \L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow S$} ôåð÷öéä äîúàøú îä ëúåá áëì úà ùì
+äñøè.
+\end{enumerate}
+\item áäéðúï î\char`\"{}è \L{$T$} åîöá \L{$m$} ùì äîëåðä ðâãéø àú \textbf{äîöá
+äòå÷á} ì\L{$m$} ìôé äîëåðä \L{$T$} ìäéåú \L{$m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$}
+ëàùø:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$m=(n,q,h)$} åéù ô÷åãä \L{$rqxq^{\prime}\in I$} ëê ù\L{$r=h(n)$}
+å-\L{$q$} äåà àåúå îöá ôðéîé
+\item àí )à( îú÷ééí àæ \L{$n^{*}=\begin{cases}
+n & x\in S\\
+n+1 & x=R\\
+n-1 & x=L
+\end{cases}$}
+\item àí )à( îú÷ééí àæ \L{$q^{*}=q^{\prime}$}
+\item àí )à( îú÷ééí àæ \L{$h^{*}(m)=\begin{cases}
+h(m) & m\not=n\\
+y & m=n
+\end{cases}$} ëàùø \L{$y=h(n)$} àí \L{$x\in\{L,R\}$} å-\L{$y=x$} àí \L{$x\in S$}
+.
+\end{enumerate}
+\item \textbf{øéöä} ùì î\char`\"{}è \L{$T$} æå ñãøä ùì îöáéí \L{$m_{0},m_{1},m_{2},...$}
+äî÷ééîú:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$} ìàéæå \L{$h^{0}$}
+\item ìëì \L{$i>0$} îú÷ééí \L{$m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$}.
+\end{enumerate}
+\item øéöä ùì î\char`\"{}è \L{$T$} ð÷øàú \textbf{ñåôéú} )àå îñúééîú( àí
+äéà îäöåøä \L{$m_{0},m_{1},...,m_{n}$} ìàéæä \L{$n\in\mathbb{N}$}
+å-\L{$M_{n}^{(T)}$} àéðå îåâãø.
+\end{enumerate}
+~
+\begin{definition}
+áäéðúï î\char`\"{}è \L{$T$} åîñôø èáòé \L{$n$} ðâãéø ôåð÷öéä )çì÷éú(
+\L{$f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} áàåôï äáà: \L{$n=0$},
+\L{$q=q_{0}$} , åäñøè ðøàä ëê: \L{
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+}îú÷ééí \L{$m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} àí øéöä ùì \L{$T$} òí
+äîöá ääúçìúé äð\char`\"{}ç îñúééîú )àçøú ìà îåâãø( å-\L{$m$} äéà
+îñôø äàçãåú òì äñøè áúåí äøéöä.
+\end{definition}
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+ôåð÷öéä \L{$f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} ð÷øàú \textbf{çùéáä
+ò\char`\"{}é î\char`\"{}è }àí ÷ééîú î\char`\"{}è \L{$T$} ëê ù\L{$f_{T}^{n}=f$},
+ëìåîø \L{$f$} îåâãøú áãéå÷ áàåúå äúçåí áå \L{$f_{T}^{n}$} îåâãøú
+åáëì î÷åí ùäï îåâãøåú \L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$}. 
+\end{definition}
+
+\section{îëåðåú èéåøéðâ - äîùê}
+\begin{definition}
+úäé \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$} ôåð÷öéä \L{$f$}
+ð÷øàú \textbf{çùéáä} )ò\char`\"{}é îëåðú èéåøéðâ( àí ÷ééîú îëåðä \L{$T$}
+ëê ùìëì \L{$(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$} äøéöä ùì \L{$T$}
+òì ñøè îäöåøä \L{
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+} îñúééîú àí åø÷ àí \L{$f(n_{1},...,n_{k})$} îåâãø åáî÷øä æä îñôø
+äàçãåú òì äñøè áúåí äøéöä äåà \L{$f(n_{1},...,n_{k})$}.
+
+\uline{úæëåøú}: ñéîðå, áäéðúï î\char`\"{}è \L{$T$} àú äôåð÷öéä
+\L{$f_{T}^{n}$} ìäéåú äôåð÷öéä ùòáåø ÷ìè ëð\char`\"{}ì îçæéøä àú
+îñôø äàçãåú áøéöä ñåôéú ùì äîëåðä )òì ä÷ìè(.\end{definition}
+\begin{claim}
+ìëì îëåðú èéåøéðâ \L{$T$} éù îëåðú èéåøéðâ \L{$T^{*}$} ëê ù:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$} ìëì \L{$n$}
+\item áà\char`\"{}á ùì \L{$T^{*}$} éù ùðé úååéí îéåçãéí \L{$S,E$} ëê ùáëì
+øéöä îñúééîú ùì \L{$T^{*}$} )òì ÷ìè ú÷ðé( äñøè ìàçø äøéöä ðøàä ëê:
+\L{$...BBS111...1EBB...$}
+\item äîëåðä îòåìí ìà òáøä áîäìê äøéöä àú äúà äîñåîï á\L{$S$} ùîàìä
+\item ôøè ì\L{$S,E$} ì-\L{$T^{*}$} éù ø÷ àú äúååéí \L{$\{1,B\}$}.
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ~
+\item ìëì îöá ôðéîé \L{$q\in Q(T)$} éäéä áîëåðä \L{$T^{*}$} îöá ôðéîé
+\L{$q^{*}$}. ëì ô÷åãä \L{$rqxq^{\prime}\in I(T)$} ðçìéó áô÷åãä \L{$rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$}.
+ðåñéó ì\L{$T^{*}$} àú äô÷åãåú äáàåú:
+
+\begin{itemize}
+\item ëåúá \L{$S$} îùîàì ì÷ìè åçåæø éîéðä
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$Bq_{0}Lq_{1}$}
+\item \L{$1q_{0}Lq_{1}$}
+\item \L{$Bq_{1}Sq_{2}$}
+\item \L{$Bq_{2}Lq_{3}$}
+\end{itemize}
+\item îèôì áäâòä ìñåó ä÷ìè, ëåúá \L{$E$} åçåæø ìäúçìä
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$Bq_{3}Rq_{4}$}
+\item \L{$Bq_{4}Lq_{5}$}
+\item \L{$Bq_{5}Eq_{r}$}
+\item \L{$*q_{r}Lq_{r}$} )\L{$*$} æä àå \L{$B$} àå \L{$1$}(
+\item \L{$Sq_{r}Rq_{0}^{*}$} 
+\item ùìá äñøé÷ä
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$1q_{3}Rq_{3}$}
+\item \L{$1q_{4}Rq_{3}$}
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+ðåúø ìäáèéç ùëì äàçãåú öîåãåú åùäîëåðä éåãòú îä ìòùåú áî÷øä ùäéà ðú÷ìú
+á\L{$S$} àå á\L{$E$} áùìá äøéöä. ðèôì ÷åãí áçì÷ äùðé, ìëì îöá ôðéîé
+\L{$q^{*}$} ðåñéó ô÷åãåú:
+\begin{itemize}
+\item \L{$Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$}
+\item \L{$B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$}
+\item \L{$B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$}
+\item \L{$S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$}
+\item áàåôï àðìåâé îèôìéí á\L{$E$}
+\end{itemize}
+
+ðèôì ëòè áìäáèéç ùëì äàçãåú öîåãåú. ððéç ùëì øéöä îñúééîú ùì \L{$T$}
+îñúééîú áîöá ôðéîé \L{$\hat{q}$} )ùàéðå îåôéò áîäìê äøéöä ùì \L{$T$}(.
+ðåñéó ô÷åãåú:
+\begin{itemize}
+\item \L{$*\hat{q}R\hat{q}$} )ëàùø \L{$*$} äéðå ëì úå ùàéðå \L{$E$}(
+\item \L{$E\hat{q}Bq_{w}$} 
+\item \L{$Bq_{w}Lq_{w}^{1}$}
+\item \L{$*q_{w}^{1}E\hat{q}$} )ëàùø \L{$*$} äéðå ëì úå ùàéðå \L{$1$}
+åàéðå \L{$S$}(
+\item ðèôì áî÷øä ùøàéðå \L{$S$}àçøé ùîç÷ðå àú \L{$E$}:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$}
+\item \L{$Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$}
+\item \L{$Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$} - îöá ñåôé
+\end{itemize}
+\item åâí:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$}
+\item \L{$1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$}
+\item \L{$*q_{w}^{d}1\hat{q}$} )ëàùø\L{$*$}- ëì úå ùàéðå \L{$S$} àå \L{$1$}(
+\item \L{$Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$}
+\item \L{$1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$} 
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\item äèéôåì ãåîä ìæä ùì äñòéó ä÷åãí, ôøè ìèéôåì áîä ÷åøä ëàùø ôåâùéí \L{$S$}.
+ëì ôòí ùäîëåðä ôåâùú \L{$S$} äéà úéëðñ ì\char`\"{}úú îëåðä\char`\"{}
+ùîæéæä àú ëì äñøè ùòã \L{$E$} éîéðä áúå àçã, ëåúáú \L{$B$} áî÷åí
+äøàùåï ùîéîéï ì-\L{$S$} åçåæøú ìøéöä ùì \L{$T$}. äãáø äéçéã ùöøéê
+ìäùúëðò: éù îëåðä \L{$Sh$} ùáäéðúï ÷ìè îï äöåøä \L{$...BBS...EBBB...$}
+îòúé÷ä àú ëì ä÷ìè áäææä ùì úà àçã éîéðä. ðåñéó ìà\char`\"{}á ùìðå
+úå îéåçã \L{$B^{*}$} , äîëåðä úøåõ áàåôï äáà:
+
+\begin{enumerate}
+\item úñøå÷ òã ùúâéò ì\L{$E$} 
+\item ìëì úå \L{$\alpha$} áà\char`\"{}á äî÷åøé )ëìåîø ùàéðå \L{$B^{*}$}(
+éäéä îöá ôðéîé \L{$q_{\alpha}$}. ñãøú äô÷åãåú:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$}
+\item \L{$Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$}
+\item \L{$B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$} 
+\end{itemize}
+
+îòúé÷ä àú äúå \L{$\alpha$} úå àçã îéîéï ìî÷åîå äî÷åøé. öøéê èéôåì
+ðôøã áúååéí \L{$S,E$} àáì àéï áòéä.
+
+\end{enumerate}
+\item àí áà\char`\"{}á ùìðå éù \L{$n$} úååéí ðáðä îëåðä \L{$T^{*}$} ùáä
+äúå ä-\L{$i$} áà\char`\"{}á ùì \L{$T$} ééåöâ ò\char`\"{}é \L{$n$}-éä
+ùì úàéí \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}
+. ÷ì ìáãå÷ ùëì ô÷åãä îäöåøä \char`\"{}æåæ éîéðä\char`\"{} àå \char`\"{}æåæ
+ùîàìä\char`\"{} á\L{$T$} ðéúï ìúøâí á÷ìåú ìô÷åãä \char`\"{}æåæ \L{$n$}
+úååéí éîéðä/ùîàìä\char`\"{} á\L{$T^{*}$}. ô÷åãä îäöåøä \char`\"{}ëúåá
+àú äúå ä\L{$i$} áà\char`\"{}á áúà äðåëçé\char`\"{} úúøâí ìñãøä ùì
+\L{$n$} ô÷åãåú ëúéáä \char`\"{}ëúåá áî÷åí ä\L{$n$}-éä ùàúä ðîöà
+áúçéìúä àú ä\L{$n$}-éä \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}.
+ëð\char`\"{}ì ìâáé ä÷øéàä. ìà ÷ùä ìáãå÷: àí ðééöâ àú äúå \L{$1$}
+áà\char`\"{}á ùì \L{$T$} ò\char`\"{}é \L{$\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$}àæ
+\L{$f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$} ìëì \L{$n$}. 
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+îòëùéå ððéç ùëì îëåðú èéåøéðâ ùðòáåã àéúä î÷ééîú àú äúðàéí {\beginL 2,3,4\endL}
+. ìôé {\beginL 1\endL} àí îä ùîòðééï àåúðå æä îçì÷ú äôåð÷öéåú äðéúðåú
+ìçéùåá ò\char`\"{}é îëåðú èéåøéðâ äøé ùäðçä æå àéðä îùðä àú äîçì÷ä.
+áðåñó ððéç ùìëì îëåðú èéåøéðâ éù îöá îñééí éçéã ùàéðå îåôéò áîäìê
+äøéöä. òåã àôùø ìäðéç ùáñéåí äøéöä äøàù ä÷åøà ðîöà úå àçã îéîéï ì-\L{$S$}.
+\begin{claim}
+ððéç ù-\L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} å- \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+çùéáåú èéåøéðâ àæ âí \L{$f\circ g$} çùéáä èéåøéðâ.\end{claim}
+\begin{proof}
+úäéðä \L{$T_{f},T_{g}$} îëåðåú ëê ù\L{$f_{T_{f}}^{\prime}=f$} åâí
+\L{$g_{T_{g}}^{\prime}=g$} . ìëì îöá ôðéîé ùì \L{$f$} áîëåðä äçãùä
+éäéä îöá ôðéîé \L{$q^{*}$}. àæ äîëåðä ùì ääøëáä úäéä:
+\begin{enumerate}
+\item øùéîú äô÷åãåú ùì \L{$T_{g}$}. 
+\item îåç÷éí àú \L{$S$}, åëåúáéí áî÷åîå \L{$1$}, îåç÷éí àú \L{$E$}, çåæø
+ìäúçìä åòåáø ìîöá ôðéîé \L{$q_{0}^{*}$}
+\item øùéîú äô÷åãåú ùì \L{$T_{f}$} òí äùéðåé ùëì ô÷åãä îäöåøä \L{$*q\star q_{1}$}
+îùúðä ìô÷åãä îäöåøä \L{$*q^{*}\star q_{1}^{*}$}.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{claim}
+îùôçú äôåð÷öéåú äçùéáåú èéåøéðâ ñâåøä úçú àåôøèåø \char`\"{}îéæòø\char`\"{}:
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases}
+a & (*)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} ëàùø {*} äéðå úðàé ùðâãéø áùéòåø äáà....
+\end{claim}
+
+\section{ôåð÷öéåú çùéáåú}
+
+øàéðå ùäôåð÷öéåú äáàåú çùéáåú èéåøéðâ:
+\begin{itemize}
+\item \L{$1$} - äôåð÷öéä ä÷áåòä {\beginL 1\endL}
+\item \L{$0$} - äôåð÷öéä ä÷áåòä {\beginL 0\endL}
+\item \L{$x+y$} - çéáåø
+\item ÷ì ìååãà ù\L{$\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$} òáåø \L{$k<n\in\mathbb{N}$}
+çùéáä èéåøéðâ )ìëì \L{$k,n$}( 
+\item îä ìâáé \L{$x\cdot y$}? ÷åãí ëì éù ìååãà ùéù îëåðä ùáäéðúï ÷ìè \L{$y$}
+îòúé÷ä àú \L{$y$} áñåó ä÷ìè. âí ëôì ôåð÷öéä çùéáä - úøâéì ÷ì.
+\item îä ìâáé äôåð÷öéä \L{$C_{<}(x,y)=\begin{cases}
+1 & x<y\\
+0 & else
+\end{cases}$}? âí äôåð÷öéä äæå çùéáä )îåç÷éí ëì ôòí úå îúçéìú \L{$x$} åîñåó \L{$y$}...(
+\item øàéðå âí: àí \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} å-\L{$g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$}
+çùéáåú èéåøéðâ àæ âí \L{$f\circ g$} çùéáä èéåøéðâ.\end{itemize}
+\begin{definition}
+\L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} çùéáä èéåøéðâ àí
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k}))
+\end{eqnarray*}
+} åëì àçú îäôåð÷öéåú \L{$f_{i}$} òáåø \L{$1\le i\le m$} çùéáä èéåøéðâ.
+
+áøåø ùæä ìà îñôé÷ ëãé ìúàø àú ëì äôåð÷öéåú äçùéáåú èéåøéðâ îùåí ùëì
+äôåð÷öéåú äîú÷áìåú îï äøùéîä äð\char`\"{}ì òì éãé îñôø ñåôé ùì äøëáåú
+äï ôåð÷öéåú ùìîåú. ëìåîø îåâãøåú òì ëì \L{$\mathbb{N}^{k}$} òáåø
+\L{$k$} îúàéí. ìà ÷ùä ìäùúëðò ùéù ôåð÷öéåú çùéáåú èéåøéðâ ùàéðï ùìîåú,
+ìîùì: \L{$1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$} )îëåðä ùìà
+òåöøú òì çì÷ îä÷ìèéí - òì \L{$0$} áî÷øä äæä(. \end{definition}
+\begin{claim}
+úäé \L{$g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ôåð÷öéä ëìùäé. ðâãéø \L{
+\begin{eqnarray*}
+h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases}
+t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\
+ & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} àæé àí \L{$g$} çùéáä èéåøéðâ âí \L{$h$} çùéáä èéåøéðâ. \L{$\mu$}
+ð÷øà àåôøèåø ä\char`\"{}îéæòø\char`\"{}.\end{claim}
+\begin{proof}
+)øòéåï( úäé \L{$T$} îëåðú èéåøéðâ äîçùáú àú \L{$g$} )ëìåîø \L{$f_{T}^{k}=g$}(.
+\char`\"{}îèä øòéåï\char`\"{} - ðøéõ àú \L{$T$} òì ä÷ìè \L{$0,x_{2},...,x_{k}$}.
+àí äîëåðä ìà òåöøú æä àåîø ù\L{$g$} ìà îåâãøú á\L{$(0,x_{2},...,x_{k})$}
+åìëï âí \L{$h(x_{2},...,x_{k})$} ìà îåâãøú ëðãøù. àí äøéöä îñúééîú
+ðáãå÷ äàí äéà äñúééîä á\L{$0$}. àí ëï, ðçæéø \L{$0$} åàæ \L{$h(0,x_{2},...,x_{k})=0$}
+ëðãøù. àí ìà, ðçæåø òì àåúä ôòåìä òí ä÷ìè \L{$1,x_{2},...,x_{k}$}
+åëå'. àí äîëåðä äð\char`\"{}ì úòöåø àé ôòí, æä éäéä äèáòé ä÷èï áéåúø
+\L{$t$} òáåøå \L{$g(t,x_{2},...,x_{k})=0$}, áôøè \L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$}
+îåâãøú ìëì \L{$t^{\prime}<t$}. îúé äøéöä ìà îñúééîú? áãéå÷ àí àçã
+îäáàéí îú÷ééí:
+\begin{enumerate}
+\item ÷ééí \L{$t$} ëê ù\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})$} ìà îåâãø å\L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$}
+ìëì \L{$t^{\prime}<t$}.
+\item äñòéó ä÷åãí ìà îú÷ééí å\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})>0$} ìëì \L{$t$}.
+åàéìå áî÷åîåú áäí \L{$h$} ìà îåâãøú ëê ù÷éáìðå ùéååéåï.
+\end{enumerate}
+
+áéúø ôéøåè: ðáðä îëåðä äôåòìú áàåôï äáà. äîëåðä îñîðú àú ñåó ä÷ìè
+á\L{$S$}. áùìá äøàùåï äîëåðä \L{$T^{*}$} úòúé÷ àú ä÷ìè \L{$x_{2},...,x_{k}$}
+îéîéï ì\L{$S$} åúåñéó \L{$1B$} áäúçìä. áùìá äáà \L{$T^{*}$} úç÷ä
+àú äøéöä ùì \L{$T$} òì \L{$0,x_{2},...,x_{k}$} ëàùø äéà î÷ôéãä )åæä
+äøé \L{$T$} òåùä îîéìà( ìà ìæåæ îùîàì ì\L{$S$}. àí äùìá äæä áøéöä
+äñúééí áî÷åí ëìùäå òì äñøè îéîéï ì\L{$S$} éäéä ëúåá \L{$E$} )ëé
+ëê \L{$T$} òåáãú(. àí áéï \L{$S$} ì\L{$E$} ìà îåôéò äúå \L{$1$},
+àæ \L{$T^{*}$} úçæåø òã ìäúçìú ä÷ìè ùì \L{$T^{*}$} )îùîàì ì\L{$S$}(
+úîç÷ àú ëì ä÷ìè åúòöåø. àí áéï \L{$S$} ì\L{$E$} îåôéò äúå \L{$1$}
+äîëåðä úçæåø ìúçéìú ä÷ìè ùì \L{$T^{*}$}, úëúåá \L{$1$} ìôðé ä\L{$B$}
+äøàùåï åúúçéì îääúçìä. 
+
+\end{proof}
+\begin{definition}
+ôåð÷öéä \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} úé÷øà çùéáä/ø÷åøñéáéú
+àí äéà îú÷áìú îï äôåð÷öéåú \L{$\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$}
+òì éãé îñôø ñåôé ùì äøëáåú åäôòìä ùì äàåôøèåø \L{$\mu_{x}$}. áîéìéí
+àçøåú, îùôçú äôåð÷öéåú äçùéáåú æå äîùôçä/àåñó ä÷èð/ä áéåúø ùì ôåð÷öéåú
+î\L{$\mathbb{N}^{k}$} ì\L{$\mathbb{N}^{m}$} ùîëéì/ä àú äôåð÷öéåú
+äð\char`\"{}ì åñâåø/ä úçú äøëáä åäàåôøèåø \L{$\mu_{x}$}. \end{definition}
+\begin{theorem}
+ôåð÷öéä \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} çùéáä àí
+åø÷ àí äéà çùéáä èéåøéðâ.
+
+äåëçðå ùëì ôåð÷öéä çùéáä äéà çùéáä èéåøéðâ. \uline{úøâéì:} äôåð÷öéä
+\L{$n\mapsto n!$} äéà çùéáä èéåøéðâ. äåëç ùäôåð÷öéä çùéáä. ùàìä ëîòè
+æää: îãåò äôåð÷öéä \L{$f(m)=\begin{cases}
+n & m=2^{n}\\
+0 & m=1\, or\, else
+\end{cases}$} çùéáä?\end{theorem}
+\begin{definition}
+úäé \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} àæé \L{$\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$}
+æå äôåð÷öéä äîåâãøú òì éãé \L{
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{A}(x) & = & \begin{cases}
+1 & x\in A\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}. \L{$\chi_{A}$} ð÷øàú \textbf{äôåð÷öéä äîöééðú} ùì \L{$A$}.
+\begin{definition}
+éçñ \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} ð÷øà \textbf{çùéá} àí \L{$\chi_{A}$}
+ôåð÷öéä çùéáä.\end{definition}
+\begin{claim}
+îùôçú äéçñéí äçùéáéí ñâåøä úçú ôòåìåú áåìéàðéåú, ëìåîø úçú àéçåãéí,
+çéúåëéí åäùìîä.
+\end{claim}
+\end{definition}
+\begin{proof}
+~
+\begin{itemize}
+\item àí \L{$A$} çùéáä àæ \L{$\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$}.
+\item àí \L{$A,B$} çùéáåú àæ \L{$\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$}.
+\item \L{$\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$} àå ìôé ãä-îåøâï.
+\end{itemize}
+
+éåöà, ìîùì, ëé äéçñ \L{$A(x,y)=(x\le y)$} çùéá. æä ôùåè àéçåã äéçñéí
+äçùéáéí \L{$C_{<}(x,y)$} å-\L{$x=y$}. 
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+)äâãøä ìôé î÷øéí(: úäééðä \L{$f_{1},...,f_{n}$} ôåð÷öéåú çùéáåú \L{$k$}-î÷åîéåú,
+å-\L{$A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$} æøåú åçùéáåú, ëê ù\L{$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$}.
+àæé äôåð÷öéä \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x) & = & \begin{cases}
+f_{1}(x) & x\in A_{1}\\
+\vdots & \vdots\\
+f_{n}(x) & x\in A_{n}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} çùéáä. \end{claim}
+\begin{proof}
+\L{$\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$} åæå ôåð÷öéä çùéáä
+ëé \L{$\chi_{A_{i}}$} çùéáåú, \L{$f_{i}$} çùéáåú åäçéáåø åäëôì çùéáéí.
+\end{proof}
+
+\section{ôåð÷öéåú çùéáåú - äîùê}
+\begin{definition}
+éäé \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} éçñ çùéá, \L{$k+1$} î÷åîé.
+ðâãéø àåôøèåø: \L{
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases}
+t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}.\end{definition}
+\begin{claim}
+àí \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} éçñ çùéá àæ äôåð÷öéä \L{$h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$}
+çùéáä.\end{claim}
+\begin{proof}
+ôùåè ìôé äîùôè òì äâãøä ìôé î÷øéí {]}àáì öøéê îòè ìäéæäø ëé îä äí
+äî÷øéí?{[}. ìçéìåôéï àôùø ðùéí ìá ù-\L{
+\begin{eqnarray*}
+h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z))
+\end{eqnarray*}
+} ëàùø \L{$C_{=}(x,z)=0\iff x=z$}, åáøåø ùæå ôåð÷öéä çùéáä. ðùéí ìá
+\L{$h(z,\bar{y})$} úîéã îåâãøú, ëìåîø ôåð÷öéä ùìîä. \end{proof}
+\begin{corollary}
+àí \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} éçñ çùéá àæ äéçñ \L{$B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$}
+äåà çùéá.\end{corollary}
+\begin{proof}
+\L{$(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}. ìëï æå ôùåè äôåð÷öéä
+\L{$\chi_{B}$} åìôé äèòðä äàçøåðä æå ôåð÷öéä çùéáä. îãåò \L{$C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$}?
+ëéååï ùùúé äôåð÷öéåú î÷áìåú ø÷ òøëéí \L{$0,1$} éñôé÷ ìäøàåú ùìëì
+\L{$(z,\bar{y})$} îú÷ééí \L{$\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}
+. ìôé äâãøä \L{
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z
+\end{eqnarray*}
+}.
+\end{proof}
+áîéìéí àçøåú äîñ÷ðä àåîøú ùîùôçú äéçñéí äçùéáéí ñâåøä úçú ëéîåú çñåí.
+\uline{äòøä çùåáä îàåã}: îùôçú äéçñéí äçùéáéí àéððä ñâåøä úçú ëéîåú
+)ùàéðå çñåí(. 
+
+\uline{îèøä:} ìáðåú ôåð÷öéä çùéáä \L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ëê ùìëì ñãøä ñåôéú \L{$\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
+ùì îñôøéí èáòééí ÷ééí \L{$c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$} )÷åã äñãøä(
+äî÷ééí:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\beta(c_{\bar{a}},0)=n$}
+\item ìëì \L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} îú÷ééí \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$}
+\item )îñéáåú èëðéåú ðøöä âí( \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$} ìëì
+\L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} .\end{enumerate}
+\begin{claim}
+)èòðú òæø {\beginL 1\endL}( ÷ééîú ôåð÷öéä çùéáä \L{$Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ùäéà çç\char`\"{}ò åòì. {]}éäéä ùéîåùé ìùéí ìá ù\L{$Pr$} ùðîöà î÷ééîú
+\L{$Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$}{[}. 
+\begin{proof}
+\L{$Pr(x,y)$} éäéä äî÷åí ùì äæåâ \L{$(x,y)$} áîñôåø äæåâåú:
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+ & \R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{6}\endL}}\tabularnewline
+\hline 
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL 0\endL}} & \R{{\beginL 1\endL}} & \R{{\beginL 3\endL}} & \R{{\beginL 6\endL}} & \R{{\beginL 10\endL}} & \R{{\beginL 15\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}}\tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL 2\endL}} & \R{{\beginL 4\endL}} & \R{{\beginL 7\endL}} & \R{{\beginL 11\endL}} & \R{{\beginL 16\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}}\tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL 5\endL}} & \R{{\beginL 8\endL}} & \R{{\beginL 12\endL}} & \R{{\beginL 17\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL 9\endL}} & \R{{\beginL 13\endL}} & \R{{\beginL 18\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL 14\endL}} & \R{{\beginL 19\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL 20\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  &  & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{6}\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  &  &  & \tabularnewline
+\hline 
+\end{tabular}
+
+ìà ÷ùä ìáãå÷ ùäôåð÷öéä äæàú äéà ôùåè \L{$\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$}.
+ìôé äúéàåø äæä áøåø ù:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$Pr(x,y)$} çùéáä
+\item î÷ééîú \L{$Pr(x,y)\ge x$} åâí \L{$Pr(x,y)\ge y$} 
+\item ìôé äúéàåø äâøôé äéà çç\char`\"{}ò åòì )äåëçä éåúø àìâáøéú - îëéøéí
+îîáåà ììåâé÷ä(.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+)èòðú òæø {\beginL 2\endL} - îùôè äùàøéåú äñéðé( éäé \L{$n\in\mathbb{N}$},
+\L{$m_{1},...,m_{n}$} îñôøéí èáòééí æøéí áæåâåú. éäéå \L{$k_{1},...,k_{n}$}
+îñôøéí èáòééí ëìùäí )áã\char`\"{}ë îðéçéí \L{$k_{i}<m_{i}$} àáì æä
+ìà çùåá(. àæé ÷ééí \L{$b\in\mathbb{N}$} ëê ù\L{$b\equiv_{m_{i}}k_{i}$}
+ìëì \L{$1\le i\le n$} . \end{claim}
+\begin{proof}
+ðé÷ç \L{$d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$}. ìëì \L{$b<d$}
+ðâãéø \L{$\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $}.
+éù \L{$d$} n-éåú ëàìä. ìëï àí ðøàä ùääòú÷ä \L{$b\mapsto\bar{b}$}
+çç\char`\"{}ò àæé äéà áäëøç òì )ëäòú÷ä áéï ùúé ÷áåöåú îâåãì \L{$d$}(.
+ððéç ù\L{$\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$} ëìåîø \L{$b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$}
+ìëì \L{$i$}, ëìåîø \L{$b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$}, áôøè \L{$m_{i}|b_{1-b_{2}}$}
+)áä\char`\"{}ë \L{$b_{1}>b_{2}$}( ìëì \L{$1\le i\le n$}. ìëï \L{$b_{1}-b_{2}$}
+îçì÷ àú äîëôìä äîùåúôú ä÷èðä áéåúø ùì ä\L{$m_{i}$}. ëéååï ùä\L{$m_{i}$}
+æøéí áæåâåú äîëôìä äîùåúôú ä÷èðä áéåúø äéà \L{$d$}. àáì \L{$b_{1}-b_{2}<d$}
+åæå ñúéøä. \end{proof}
+\begin{claim}
+)èòðú òæø {\beginL 3\endL}( ìëì \L{$n\in\mathbb{N}$} äîñôøéí \L{$\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$}æøéí
+áæåâåú. \end{claim}
+\begin{proof}
+ððéç áùìéìä ù\L{$p$} øàùåðé îçì÷ àú \L{$1+i(n!)$} åîçì÷ àú \L{$1+j(n!)$}
+ìàéæä \L{$i>j$}. ìëï: \L{$p|(i-j)\cdot(n!)$} . ëéååï ù\L{$p$} øàùåðé
+äåà îçì÷ àå àú \L{$i-j$} àå àú \L{$n!$}. ëéååï ù\L{$i-j<n$} áäëøç
+\L{$p$} îçì÷ àú \L{$n!$}. àáì \L{$p$} àîåø ìçì÷ àú \L{$1+i(n!)$}
+åæä ìà ééúëï. \end{proof}
+\begin{claim}
+úäé \L{$\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} ëàùø \L{$Rem(t_{1},t_{2})$}
+äéà äùàøéú ùì \L{$t_{1}$} áçìå÷ä á-\L{$t_{2}$}. àæé:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\gamma(z,y,i)$} çùéáä. îãåò? éñôé÷ ìäøàåú ù\L{$Rem(t_{1},t_{2})$}
+çùéáä. àáì \L{$Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$} åäéçñ \L{$t_{2}|t_{1}$}
+äåà çùéá, ìîùì ò\char`\"{}é \L{$(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$}. 
+\item ìëì ñãøä ñåôéú \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} ùì
+èáòééí éù \L{$y,z$} ëê ùìëì \L{$0<i\le n$} îú÷ééí \L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$}.
+îãåò? ðáçø \L{$k>n$} ëìùäå åðáçø \L{$y=k!$}. ìôé èòðú òæø {\beginL 3\endL}
+÷ééí \L{$z$} ëê ù\L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$} ìëì \L{$i\le n$}. 
+\item )èëðé( \L{$\gamma(z,y,i)\le z$} ìëì \L{$z,y,i$}. 
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+äôåð÷öéä \L{$\beta(b,i)$} äîáå÷ùú úäéä \L{$\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$}
+ëàùø \L{$Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$} å-\L{$Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$}.
+äãáø äéçéã ùðåúø ìååãà \L{$Pr^{L},Pr^{R}$} äï ôåð÷öéåú çùéáåú. 
+
+
+\section{äöôðåú}
+
+\uline{çæøä:} àí \L{$A(x,y)$} éçñ çùéá àæ \L{$(\exists x<z)A(x,\bar{y})$}
+éçñ çùéá. \L{
+\begin{eqnarray*}
+(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases}
+t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} ôåð÷öéä ùìîä. äôåð÷öéä âí çùéáä ëé äéà ùååä ì\L{$\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$}.
+
+ðàîø ù\L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$} îöôéðä ñãøåú
+ñåôéåú àí ìëì ñãøä ñåôéú \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
+éù \L{$\bar{a}\in\mathbb{N}$} ëê ù\L{$\beta(\bar{a},0)=n$} åìëì
+\L{$1\le1\le n$} îú÷ééí \L{$\beta(\bar{a},i)=a_{i}$}.
+\begin{claim}
+äôåð÷öéä \L{$(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$}
+äéà çç\char`\"{}ò åòì î\L{$\mathbb{N}^{2}$} ì\L{$\mathbb{N}$}.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+ìëì \L{$m_{1},...,m_{k}$} æøéí áæåâåú åìëì \L{$a_{1},...,a_{k}$}
+èáòééí éù \L{$b\in\mathbb{N}$} ëê ù\L{$b\equiv_{m_{i}}a_{i}$} ìëì
+\L{$i$}.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+ìëì \L{$n\in\mathbb{N}$} äîñôøéí \L{$1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$}
+æøéí áæåâåú.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+ðâãéø \L{$\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} î÷ééîú:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\gamma$} çùéáä
+\item ìëì ñãøä ñåôéú \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} ÷ééîéí
+\L{$z,y$} ëê ùìëì \L{$1\le i\le n$} îú÷ééí \L{$a_{i}=\gamma(z,y,i)$}
+\item \L{$\gamma(z,y,i)\le z$}
+\end{enumerate}
+
+ìâáé \L{$2$} ðé÷ç àú \L{$max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$} åðé÷ç \L{$y=k!$}
+. ìôé èòðä {\beginL 3\endL} îú÷ééí ëé \L{$1+y(i+1)$} æøéí áæåâåú.
+ìôé äèòðä äùðéä éù \L{$z$} ùòåðä òì äãøéùä. áéúø ãéå÷, éù \L{$z$}
+ëê ùìëì \L{$i$} îú÷ééí \L{$z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$}. àáì áòöí \L{$a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$}
+ëé \L{$a_{i}<1+y(i+1)$}. 
+
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+äôåð÷öéä \L{$\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$} äéà ôåð÷öéú
+æéååâ çùéáä ëàùø \L{$Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$} å\L{$Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$}
+. \end{claim}
+\begin{proof}
+îèòðä {\beginL 4\endL} áøåø ëé \L{$\beta(y,i)$} îöôéðä ñãøåú ñåôéåú.
+áäéðúï ñãøä ñåôéú \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
+èòðä {\beginL 4\endL} ñòéó ){\beginL 2\endL}( îáèéçä \L{$t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$}
+ëê ù\L{$\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$} ìëì \L{$1\le i\le n$}. ðçìéó
+àú äñãøä áñãøä \L{$\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $},
+ðîöà \L{$t_{1},t_{2}$} ëîåáèç åðâãéø \L{$y=Pr(t_{1},t_{2})$} àæ
+\L{$\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$} åâí \L{$\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$}.
+ðùàø ø÷ ìååãà ù\L{$\beta$} çùéáä. îñôé÷ ìååãà ù\L{$Pr^{-1}(y)$}
+äéà çùéáä åîìàä/ùìîä. äôåð÷öéä ùìîä ëé \L{$Pr$} äéà òì. äôåð÷öéä
+çùéáä ôùåè ëé \L{
+\begin{eqnarray*}
+\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y)
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{proof}
+îòúä åòã òåìí ð÷áò ôåð÷öéä \L{$\beta$} ëð\char`\"{}ì.
+\begin{definition}
+ðàîø ù\L{$x$} îöôéï ñãøä ñåôéú àí àéï \L{$x^{\prime}<x$} ëê ù\L{$\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$}
+åìëì \L{$i\le\beta(x,0)$} îú÷ééí \L{$\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$}. \end{definition}
+\begin{claim}
+äéçñ \L{$\theta(x)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x$} îöôéï ñãøä ñåôéú\char`\"{}
+äåà çùéá. \end{claim}
+\begin{proof}
+\L{$\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$}
+.
+\end{proof}
+îèøúðå, ëæëåø, ìäåëéç ùáäéðúï îëåðú èéåøéðâ \L{$T$} å\L{$n\in\mathbb{N}$}
+äôåð÷öéä \L{$f_{T}^{n}$} çùéáä. ð÷áò àçú åìúîéã îëåðú èéåøéðâ \L{$T$}
+å\L{$n\in\mathbb{N}$} åðøàä ëéöã ìîöåà ôåð÷öéä çùéáä ùæää ì\L{$f_{T}^{n}$}.
+ðæã÷÷ ìäøáä èòðåú òæø. ëéååï ùàðçðå îòåðééðéí ø÷ á\L{$f_{T}^{n}$}
+åìà áîëåðä òöîä àæ àôùø ìùðåú àú \L{$T$} àéê ùðøöä ëì òåã ìà ðùðä
+àú äôåð÷öéä ùäéà îçùáú. ìëï, áä\char`\"{}ë, \L{$T$} îëåðú èéåøðéâ
+ú÷ðéú:
+\begin{enumerate}
+\item äà\char`\"{}á ùì \L{$T$} ëåìì ø÷ àú \L{$\{1,B\}$} åð÷' ääúçìä åäñéåí
+\L{$\{S,E\}$}. 
+\item ìîëåðä éù îöá ôðéîé éçéã \L{$\hat{q}$} ùëì øéöä îñúééîú îñúééîú áå,
+å\L{$\hat{q}$} àéðå îåôéò áîäìê äøéöä.
+\item áúåí äøéöä äøàù ä÷åøà ðîöà òì \L{$S$} åáéï \L{$S$} ì\L{$E$} éù
+ø÷ àçãåú. 
+\end{enumerate}
+îëéååï ùîñôø äîöáéí äôðéîééí ùì \L{$T$} ñåôé ìà éæé÷ ìäðéç ù\L{$\{1,B\}$}
+îéåöâéí ò\char`\"{}é äîñôøéí äèáòééí \L{$\{1,0\}$} áäúàîä å\L{$\{S,E\}$}
+ò\char`\"{}é \L{$\{2,3\}$} áäúàîä åäîöáéí äôðéîééí îéåöâéí ò\char`\"{}é
+\L{$\{4,...,k\}$} ëàùø \L{$q_{0}$} îéåöâ ò\char`\"{}é \L{$4$} å\L{$\hat{q}$}
+îéåöâ ò\char`\"{}é \L{$k$}. 
+
+ëæëåø, îöá ùì \L{$T$} æå ùìùä \L{$\left\langle n,q,h\right\rangle $}
+ëàùø \L{$n$} äîé÷åí ùì äøàù áéçñ ì\L{$S$} ùîé÷åîå \L{$0$}, \L{$q$}
+äîöá äôðéîé, å-\L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$} îúàøú àú
+äúàéí áîëåðä. ëîåáï éñôé÷ ìäðéç ù\L{$h$} îúàøú ø÷ àú äîñôø äñåôé
+ùì äúàéí ùáéï \L{$S$} ì\L{$E$}. àôùø ìúàø îöá ò\char`\"{}é ñãøä
+îäöåøä äáàä:\L{
+\[
+\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle 
+\]
+} ëàùø \L{$\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$} åìëì \L{$1<i<r$} îú÷ééí \L{$a_{i}\in\{0,1\}$}. 
+\begin{claim}
+){\beginL 1\endL}( äéçñ \L{$\varphi(x)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x$}
+îöôéï îöá ùì äîëåðä \L{$T$}\char`\"{} çùéá. \end{claim}
+\begin{proof}
+äéçñ éúåàø ò\char`\"{}é çéúåê ùì äãøéùåú äáàåú:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\theta(x)$} - äéçñ äàåîø ù\L{$x$} îöôéï ñãøä.
+\item ìëì \L{$0<i\le\beta(x,0)$} îú÷ééí \L{$\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$}
+\item \L{$\beta(x,1)=2$} åâí \L{$\beta(x,\beta(x,0))=3$}
+\item ÷ééí \L{$0<i\le\beta(x,0)$} éçéã ëê ù\L{$\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$}.
+\end{enumerate}
+
+ëéååï ùëì àìä çùéáéí - âîøðå.
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 2\endL}( äéçñéí \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$}
+îöôéï îöá äúçìúé ùì \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} îöôéï îöá
+ñåôé ùì \L{$T$}\char`\"{} - ëåìí çùéáéí.\end{claim}
+\begin{proof}
+\L{$\varphi_{S}(x)$} æä çéúåê ùì \L{$\varphi(x)$} òí äãøéùä äðåñôú
+ù\L{$\beta(x,2)=4$}. \L{$\varphi_{E}(x)$} ëð\char`\"{}ì òí \L{$\beta(x,2)=k$}. \end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 3\endL}( äéçñ \L{$\varphi(x,y)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x,y$}
+îééöâéí îöáéí ùì \L{$T$} å\L{$y$} äîöá äòå÷á ùì \L{$x$} ìôé \L{$T$}\char`\"{}
+äåà éçñ çùéá.\end{claim}
+\begin{proof}
+æä ëîåáï çéúåê ùì äúðàéí \L{$\varphi(x),\varphi(y)$} òí äúðàé äðåñó
+ù\L{$y$} äîöá äòå÷á ì\L{$x$}. ìëì \L{$p\in I(T)$} )ìëì ô÷åãä ùì
+\L{$T$}( ðâãéø éçñ \L{$\varphi_{p}(x,y)$} äàåîø \L{$x,y$} îöáéí
+ùì \L{$T$} å-\L{$y$} òå÷á ùì \L{$x$} ìôé \L{$p$} åáôøè \L{$x$}
+îöá øìååðèé ìô÷åãä \L{$p$}. \char`\"{}\L{$x$} îöá øìååðèé ìô÷åãä
+\L{$p$} \char`\"{} æä ôùåè \L{$\varphi(x)$} åâí àí \L{$\beta(x,i)>3$}
+ì\L{$i>1$} àæ \L{$p$} ô÷åãä îäöåøä \L{$\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$}.
+áîéìéí àçøåú àí \L{$p$} äéà äøáéòééä \L{$\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $}
+àæ \L{$x$} øìååðèé ì\L{$p$} àí \L{$\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$}.
+ðñîï æàú \L{$\varphi_{p}(x)$}. ìåîø ù\L{$y$} òå÷á ùì \L{$x$} ìôé
+\L{$p$} æä ìåîø \L{$\varphi(x),\varphi(y)$}. \L{$\varphi_{p}(x)$}
+òëùéå îúçì÷ ìôé îäåú äô÷åãä \L{$p$}. ðèôì ìîùì áî÷øä ù\L{$p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $}
+ëàùø \L{$\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$}. îúé \L{$y$} éú÷áì î\L{$x$}
+ò\char`\"{}é äô÷åãä \L{$p$}? àí \L{$x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $}.
+ôùåè öøéê ìãøåù:
+\begin{enumerate}
+\item ðñîï \L{$i_{0}$} ìäéåú ä\L{$i$} äéçéã ëê ù\L{$i\le\beta(x,0)$}
+å-\L{$\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$}. 
+\item ðãøåù ù\L{$\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$}
+åáëì î÷øä àçø \L{$\beta(y,j)=\beta(x,j)$}.
+\end{enumerate}
+
+äèéôåì áô÷åãåú ùì úæåæä äåà ãåîä. æä î÷øä ù\L{$\varphi_{p}(x,y)$}
+çùéáä. ìåîø ù\L{$y$} òå÷á ùì \L{$x$} æä ôùåè \L{${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$}
+. 
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 4\endL}( äéçñ \L{$\rho(x)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x$} î÷åãã
+øéöä îñúééîú ùì \L{$T$}\char`\"{} äåà çùéá.\end{claim}
+\begin{proof}
+~
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} îöôéï ñãøä.
+\item \L{$\varphi_{S}(\beta(x,1))$} ëìåîø äàéáø äøàùåï áñãøä ù\L{$x$}
+îöôéï äåà îöá äúçìúé ùì \L{$T$}.
+\item \L{$\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$} - äàéáø äàçøåï áñãøä äåà îöá
+ñåôé ùì \L{$T$}.
+\item ìëì \L{$1\le i<\beta(x,0)$} îú÷ééí \L{$\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$}
+ëìåîø ëì àéáø áñãøä äåà îöá òå÷á ùì äîöá äîåöôï ò\char`\"{}é äàéáø
+ä÷åãí ìå.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 5\endL}( \L{$f_{E}(x)=n$} æå äôåð÷öéä ùîçæéøä \L{$n$}
+àí \L{$x$} îöôéï îöá ñåôé ùì \L{$T$} å\L{$n$} äôìè ùì äîëåðä áîöá
+æä. {\beginL 0\endL} àçøú. æå ôåð÷öéä çùéáä: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$}
+.
+\end{claim}
+
+\section{çùéáåú}
+
+äééðå áòéöåîä ùì ääåëçä ùëì ôåð÷öéä çùéáä èéåøéðâ äéà çùéáä.
+\begin{claim}
+){\beginL 1\endL}( äéçñ \L{$\varphi(x)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x$}
+îöôéï îöá ùì äîëåðä \L{$T$}\char`\"{} çùéá. 
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 2\endL}( äéçñéí \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$}
+îöôéï îöá äúçìúé ùì \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} îöôéï îöá
+ñåôé ùì \L{$T$}\char`\"{} - ëåìí çùéáéí.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 3\endL}( äéçñ \L{$\varphi(x,y)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x,y$}
+îééöâéí îöáéí ùì \L{$T$} å\L{$y$} äîöá äòå÷á ùì \L{$x$} ìôé \L{$T$}\char`\"{}
+äåà éçñ çùéá.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 4\endL}( äéçñ \L{$\rho(x)$} äàåîø \char`\"{}\L{$x$} î÷åãã
+øéöä îñúééîú ùì \L{$T$}\char`\"{} äåà çùéá.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 5\endL}( \L{$\varphi_{E}(x)=n$} æå äôåð÷öéä ùîçæéøä \L{$n$}
+àí \L{$x$} îöôéï îöá ñåôé ùì \L{$T$} å\L{$n-1$} äôìè ùì äîëåðä
+áîöá æä. {\beginL 0\endL} àçøú. æå ôåð÷öéä çùéáä: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$}
+. ðãøåù ù\L{$\varphi_{E}(x)=0$} àçøú.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+äéçñ \char`\"{}\L{$x$} î÷åãã îöá äúçìúé ùì \L{$T$} ùáå ä÷ìè äåà
+\L{$x_{1},...,x_{n}$}\char`\"{} äåà éçñ çùéá. ðñîï æàú \L{$\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$}.
+\end{claim}
+ëãé ìäåëéç àú äîùôè òìéðå ìäøàåú ù\L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$}
+ôåð÷öéä çùéáä. ðâãéø ôåð÷öéä çùéáä áàåôï äáà: \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})))
+\end{eqnarray*}
+} ëàùø \L{$\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$} - äàéáø äøàùåï áñãøä ù\L{$x$}
+î÷åãã, åëàùø \L{$\mu_{x}^{*}(A(x,y))$} æä ä\L{$x$} äîæòøé òáåøå
+\L{$\chi_{A}(x,y)=1$}. 
+\begin{claim}
+\L{$f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} åáôøè \L{$f$}
+îåâãøú àí åø÷ àí øéöú \L{$T$} òì \L{$x_{1},...,x_{n}$} òåöøú.\end{claim}
+\begin{proof}
+øàùéú ðáãå÷ ùúçåîé ääâãøä ùì ùúé äôåð÷öéåú æäéí. àí \L{$T$} òåöøú
+òì \L{$x_{1},...,x_{n}$} àæ ÷ééí \L{$x$} ëê ù\L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$}
+- ëìåîø ÷ééí \L{$x$} äî÷åãã øéöä îñúééîú ùì \L{$T$} äîúçéìä á÷ìè
+\L{$x_{1},...,x_{n}$}. àí ðáçø \L{$x_{0}$} ä÷èï áéåúø äî÷ééí æàú
+àæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))
+\end{eqnarray*}
+} ëé ìëì \L{$x^{\prime}<x_{0}$} äôåð÷öéä \L{$\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$}
+îåâãø åìëï îäâãøú äàåôøèåø \L{$\mu_{x}^{*}$}, åàæ \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})
+\end{eqnarray*}
+}ððéç ù\L{$T$} àéðä òåöøú òì \L{$x_{1},...,x_{n}$} àæ \L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$}
+ìòåìí àéðå îåâãø åìëï äôåð÷öéä \L{$\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$}
+àéðä îåâãøú.
+\end{proof}
+òã òëùéå ÷åããðå îöáéí åøéöåú ùì îëåðåú èéåøéðâ, àáì àéï ñéáä ìà ì÷åãã
+âí àú äîëåðåú òöîï. îëéååï ùàðçðå îúòðééðéí ø÷ áôåð÷öéåú äçùéáåú )èéåøéðâ(
+åìà áîëåðåú òöîï, àôùø ìæäåú îëåðú èéåøéðâ òí øùéîú äô÷åãåú ùìä. åîëéååï
+ùäà\char`\"{}á ñåôé åøùéîú äô÷åãåú ñåôéú )åëáø æéäéðå àú äà\char`\"{}á
+òí äîñôøéí äèáòééí \L{$\{0..k\}$}(. àí ø÷ ðåñéó ìæéäåé äæä àú \L{$k+1$}
+ëô÷åãä \L{$L$} åàú \L{$k+2$} ëô÷åãä \L{$R$} ðåëì ì÷åãã àú äîëåðä
+òì éãé îñôø èáòé. ð÷áò ôòí àçú åìúîéã ÷éãåã ùì ëì îëåðú èéåøéðâ, åìîëåðä
+\L{$T$} ðñîï \L{$\left\lceil T\right\rceil $} àú ä÷åã ùì \L{$T$}.
+àí \L{$e\in\mathbb{N}$} äåà ÷åã ùì î\char`\"{}è ðñîï \L{$T_{e}$}
+àú äîëåðä ù-\L{$e$} î÷åãã. éäéä ðåç ìäðéç ùàí \L{$n\in\mathbb{N}$}
+àéðå î÷åãã î\char`\"{}è àæ ðçìéè ù\L{$n-e$} î÷åãã àú äîëåðä ùàéðä
+òåöøú òì àó ÷ìè.
+\begin{theorem}
+ìà ÷ééîú ôåð÷öéä çùéáä \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ëê
+ù\L{
+\begin{eqnarray*}
+f(e) & = & \begin{cases}
+1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}\end{theorem}
+\begin{proof}
+ððéç áùìéìä ù÷ééîú ôåð÷öéä \L{$f$} ëð\char`\"{}ì. ðâãéø ôåð÷öéä \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ò\char`\"{}é \L{
+\begin{eqnarray*}
+g(e) & = & \begin{cases}
+T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}îääðçä )åîäîùôè äàçøåï, åîäîùôè òì ääâãøä ìôé î÷øéí( \L{$g$} ôåð÷öéä
+çùéáä )åàôéìå ùìîä(, åî÷åããú, ðàîø ò\char`\"{}é \L{$e_{0}$}. àæ:
+îöã àçã \L{$T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$} åîöã ùðé \L{$g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$}.\end{proof}
+\begin{corollary}
+äéçñ \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} äîåâãø ò\char`\"{}é \L{$e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$}
+àéðå éçñ çùéá. îöã ùðé \L{$A$} äð\char`\"{}ì äéà úçåí ùì îëåðú èéåøéðâ
+\L{$T$}. äøòéåï? äîëåðä îøéöä àú \L{$T_{e}(e)$} åîçæéøä àú äúùåáä,
+àí äéà àé ôòí îú÷áìú. áéúø ôéøåè, ðé÷ç \L{$\mathcal{U}$} î\char`\"{}è
+àåðéáøñìéú åðùéí ìá ù\L{$\mathcal{U}(e,e)$} òåöøú àí åø÷ àí \L{$e\in A$}.
+ìëï éù \L{$e$} áúçåí ùì äîëåðä \L{$\mathcal{U}(x,x)$}. \end{corollary}
+\begin{definition}
+îëåðú èéåøéðâ \L{$T$} úé÷øà àåðéáøñìéú àí \L{$f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$}
+ìëì \L{$(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$} )åáôøè àí \L{$T_{e}$} ìà òåöøú
+òì ä÷ìè \L{$n$} àæ \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} ìà îåâãøú(.\end{definition}
+\begin{theorem}
+÷ééîú îëåðú èéåøéðâ àåðéáøñìéú.\end{theorem}
+\begin{proof}
+äøòéåï ôùåè, ääåëçä îééâòú, ò\char`\"{}é úéàåø äîëåðä. ãøê àçøú: áòæøú
+ôåð÷öéåú çùéáåú. ðâãéø àú \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} áàåôï äáà. ðâãéø àú
+äéçñéí äáàéí:
+\begin{itemize}
+\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} äåà ÷åã.
+\item \L{$\theta_{1}(x)$} - \L{$x$} äåà ÷åã ùì îëåðú èéåøéðâ. ëìåîø \L{$x$}
+î÷åãã ñãøä ñåôéú ùì øáéòéåú ùì îñôøéí èáòééí. ëì øáéòééä äéà ô÷åãä
+åáéï äô÷åãåú àéï ñúéøåú. 
+\item \L{$\varphi(e,x)$} - \L{$e$} ÷åã ùì îëåðú èéåøéðâ å-\L{$x$} îöá
+÷åã ùì îöá ôðéîé ùì äîëåðä äî÷åããú òì éãé \L{$e$}. 
+\item \L{$\varphi(e,x,y)$}- \L{$e$} ÷åã ùì î\char`\"{}è, \L{$x,y$} ÷åãéí
+ùì äîëåðä \L{$e$} å-\L{$y$} äåà äòå÷á ùì \L{$x$} ìôé \L{$e$}. 
+\end{itemize}
+
+ääîùê æää áãéå÷ ìäåëçú îùôè äù÷éìåú.
+
+\end{proof}
+\begin{definition}
+÷áåöä \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ú÷øà ðéúðú ìîðéä çùéáä )ðì\char`\"{}ç
+àå ðì\char`\"{}ø - ðéúðú ìîðéä ø÷åøñéáéú( àí \L{$A$} äéà äúçåí ùì
+ôåð÷öéä çùéáä. 
+
+øàéðå ù÷ééîåú ÷áåöåú ðì\char`\"{}ç ùàéðï çùéáåú.\end{definition}
+\begin{theorem}
+äúðàéí äáàéí ù÷åìéí ì÷áåöä \L{$A\subseteq\mathbb{N}$}:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$A$} ðì\char`\"{}ç )úçåí ùì ôåð÷öéä çùéáä(
+\item \L{$A$} äéà äúîåðä ùì ôåð÷öéä çùéáä 
+\item \L{$A$} äéà äúîåðä ùì ôåð÷öéä çùéáä îìàä
+\item \L{$A$} äéà îäöåøä \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $}
+ìàéæä éçñ çùéá \L{$\varphi(x,y)$}. 
+\item \L{$A$} äéà îäöåøä \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $}ìàéæä
+éçñ çùéá \L{$\varphi(x,y)$}
+\end{enumerate}
+
+\section{îðéä ø÷åøñéáéú}
+
+úäé \L{$\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$} àæé äúðàéí äáàéí ù÷åìéí:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$A$} ðì\char`\"{}ç
+\item \L{$A$} äèååç ùì ôåð÷öéä çùéáä
+\item \L{$A$} äèååç ùì ôåð÷öéä îìàä
+\item ÷ééí éçñ çùéá \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{2}$} ëê ù\L{$A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$}
+\item ëð\char`\"{}ì òáåø \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} å-\L{$A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$}
+\end{enumerate}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+~
+\begin{itemize}
+\item \L{$(1)\Rightarrow(2)$}. úäé \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ëê ù\L{$A=dom(f)$}. úäé \L{$T_{f}$} î\char`\"{}è äîçùáú àú \L{$f$}
+ëìåîø \L{$f=f_{T_{f}}^{1}$}. ëéååï ù\L{$A\not=\emptyset$} àôùø ìáçåø
+\L{$a\in A$}. ðâãéø ôåð÷öéä çùéáä \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+áàåôï äáà: \L{
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+}ðñîï àú äúðàé äð\char`\"{}ì á\L{$*$}. àðçðå éåãòéí ù\L{$*$} äåà
+éçñ çùéá ìëï âí äîùìéí çùéá. ìëï ìôé äîùôè òì äâãøä ìôé î÷øéí âí \L{$g$}
+çùéáä. ðøàä ù\L{$g$} òåðä òì ãøéùåúéðå - \L{$g(\mathbb{N})=A$}.
+àí \L{$l\in g(\mathbb{N})$} àæ àå ù\L{$l=a$} åàæ \L{$l\in A$} .
+àå ù\L{$l=Pr^{L}(n)$} ìàéæä \L{$n\in\mathbb{N}$}. àáì àæ æä àåîø
+ù\L{$T_{f}$} òåöøú òì ä÷ìè \L{$l$} àçøé ôçåú î\L{$Pr^{R}(n)$} öòãéí.
+ëéååï ù\L{$f_{T_{f}}^{1}=f$} àí àâó ùîàì îåâãø âí àâó éîéï îåâãø,
+ëìåîø \L{$l\in Dom(f)=A$}. áëéååï äùðé, àí \L{$l\in Dom(f)$} àæ
+\L{$T_{f}$} òåöøú òì ä÷ìè \L{$l$} àçøé àéæä îñôø \L{$k$} ùì öòãéí.
+àæ \L{$n=Pr(l,k+1)$} åìôé äâãøä \L{$g(n)=Pr^{L}(n)=l$}, ëìåîø \L{$l\in Range(g)$}.
+ðùéí ìá: äôåð÷öéä \L{$g$} ùìîä.
+\item \L{$(2)\Rightarrow(3)$} - îåëéçéí áàåúå àåôï. áåçøéí \L{$a\in A$}
+åîâãéøéí:\L{
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+} 
+\item \L{$(3)\Rightarrow(4)$} - àí \L{$A=Range(f)$} òáåø \L{$f$} çùéáä
+)åùìîä( àæ äéçñ \L{$B(x,f(x))$} çùéá. ìëï, \L{$y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$}.
+\item \L{$(4)\Rightarrow(5)$} - àéï îä ìäåëéç )î÷øä ôøèé(. 
+\item \L{$(4)\Rightarrow(1)$} - ôùåè: \L{$f(x)=\mu_{y}B(x,y)$}.
+\item \L{$(5)\Rightarrow(4)$} - àí \L{$A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$}
+àæ ðâãéø éçñ \L{
+\begin{eqnarray*}
+C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\}
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{theorem}
+)îùôè äø÷åøñéä( úäé \L{$C(x,y)$} ôåð÷öéä çùéáä. àæé ÷ééîú î\char`\"{}è
+\L{$T$} ëê ù-\L{$C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$}
+ìëì \L{$y$}. \end{theorem}
+\begin{claim}
+÷ééîú îëåðú èéåøéðâ \L{$T$} ëì ùìëì \L{$n\in\mathbb{N}$} îú÷ééí
+\L{$f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $} ëàùø \L{$w_{n}$}
+äéà äîëåðä àùø òì ä÷ìè äøé÷ ëåúáú àú äîñôø \L{$n$}. )ääåëçä - áúøâéì
+äáéú(.\end{claim}
+\begin{proof}
+äîëåðä \L{$T$} úäéä äøëáä ùì {\beginL 3\endL} îëåðåú: \L{$ABC$}
+)îôòéìéí ÷åãí àú \L{$A$} àç\char`\"{}ë àú \L{$B$} àç\char`\"{}ë
+àú \L{$C$}(. äîëåðä \L{$A$} òì ä÷ìè \L{$y$} úçæéø àú äôìè \L{$\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}.
+îä òåùä \L{$B$} òì ä÷ìè \L{$x,y$}? äéà ëåúáú àú ä÷åã ùì äîëåðä ùëåúáú
+\L{$x$} {]}îèòðú äòæø{[} åàçøéå àú \L{$x,y$}. îä éäéä \L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}?
+\L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}.
+éåöà ù-\L{$C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}
+àáì æä áãéå÷ îä ùäééðå öøéëéí. \end{proof}
+\begin{corollary}
+)îùôè ð÷åãú äùáú( úäé \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ôåð÷öéä
+çùéáä åùìîä. àæé ÷ééí \L{$e\in\mathbb{N}$} ëê ù\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}.
+\end{corollary}
+~
+\begin{corollary}
+)îùôè \inputencoding{latin9}\L{Rice}\inputencoding{cp1255}( ðâãéø
+éçñ ù÷éìåú ùì \L{$\mathbb{N}$} ò\char`\"{}é \L{$e_{1}\sim e_{2}$}
+àí åø÷ àí \L{$f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$} . úäé \L{$L\subseteq\mathbb{N}$}
+ëê ùìëì \L{$e\in L$} àí \L{$e^{\prime}\sim e$} àæ \L{$e^{\prime}\in L$}.
+àæé \L{$L$} çùéáä àí åø÷ àí \L{$L=\mathbb{N}$} àå \L{$L=\emptyset$}. \end{corollary}
+\begin{proof}
+ððéç áùìéìä ùìà. àæ éù \L{$e_{0}\in L$} å-\L{$e_{1}\not\in L$}.
+ðâãéø ôåð÷öéä çùéáä: \L{
+\[
+f(n)=\begin{cases}
+e_{1} & n\in L\\
+e_{0} & n\not\in L
+\end{cases}
+\]
+} àæ \L{$f$} çùéáä åùìîä. ìëï îîùôè ð÷åãú äùáú éù \L{$e$} ëê ù-\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}.
+àí \L{$e\in L$} àæ âí \L{$f(e)\in L$} ëé \L{$L$} ñâåøä úçú \L{$\sim$}.
+àáì àí \L{$e\in L$} àæ \L{$e_{1}=f(e)$} å-\L{$e_{1}\not\in L$}.
+áàåúå àåôï áãéå÷ âí \L{$e\not\in L$} âåøø ñúéøä. 
+\end{proof}
+\uline{ãåâîä:} áòééú äòöéøä àéðä çùéáä. àéï îëåðú èéåøéðâ äîçìéèä
+äàí \L{$e$} ÷åã ùì îëåðä ùòåöøú òì ä÷ìè äøé÷. áîéìéí àçøåú \L{
+\begin{eqnarray*}
+L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\}
+\end{eqnarray*}
+} àéðä çùéáä. áøåø ù-\L{$L$} ñâåøä úçú \L{$\sim$}. ìôé îùôè øééñ
+ëéååï ù-\L{$L\not=\emptyset$} )éù î\char`\"{}è ùòåöøú òì ëì ÷ìè åáôøè
+òì ä÷ìè äøé÷( åâí \L{$\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$} )éù
+îëåðåú ùìà òåöøåú òì ùåí ÷ìè(. ìëï ìôé îùôè øééñ \L{$L$} àéðä çùéáä.
+\begin{proof}
+)îùôè ð÷åãú äùáú( úäé \L{$\mathcal{U}(x,y)$} î\char`\"{}è àåðéáøñìéú
+å-\L{$C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$}. àæ \L{$C$} î\char`\"{}è. ìëï
+éù \L{$T$} ëê ù-\L{$\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$}.
+àæ \L{$e=\left\lceil T\right\rceil $}. \end{proof}
+\begin{remark}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ÷áåöä \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} çùéáä äéà ðì\char`\"{}ç
+\item ÷áåöä \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ðì\char`\"{}ç äéà çùéáä àí åø÷ àí
+âí äîùìéí ùì \L{$A$} ðì\char`\"{}ç. \uline{äåëçä}: àí âí \L{$A$}
+åâí \L{$\mathbb{N}\backslash A$} ðì\char`\"{}ç àæ éù î\char`\"{}è
+\L{$T_{1},T_{2}$} ùîçùáåú àú àéáøéäï. àôùø ìäðéç ùäï \L{$f_{T_{1}}^{1}$}
+åäï \L{$f_{T_{2}}^{1}$} ôåð÷öéåú ùìîåú. ìëì îñôø \L{$n$} ðúçéì ìçùá
+àú \L{$T_{1}(1),T_{1}(2),...$} åáî÷áéì àú \L{$T_{2}(1),T_{2}(2),...$}
+)àôùø ìñéøåâéï(. äîëåðä úòöåø áøâò ùéú÷áì ôìè \L{$n$}. ëéååï ù\L{$A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$}
+åâí \L{$\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$} ÷ééí \L{$m\in\mathbb{N}$}
+ëê ù\L{$f_{T_{1}}^{1}(m)=n$} àå \L{$f_{T_{2}}^{1}(m)=n$}. áëì î÷øä
+àçøé \L{$2m$} çéùåáéí äîëåðä ùìðå úéòöø. àí äéà òöøä òì äøéöä ùì
+\L{$T_{1}(m)$} àæ \L{$n\in A$} àçøú \L{$n\not\in A$}. 
+\end{enumerate}
+
+\section{ôåð÷öéåú éöéâåú}
+
+\end{remark}
+\uline{úøâéì:} úäééðä \L{$A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$} ðì\char`\"{}ç
+àæ:
+\begin{enumerate}
+\item âí \L{$A_{1}\cup A_{2}$} ðì\char`\"{}ç
+\item âí \L{$A_{1}\cap A_{2}$} ðì\char`\"{}ç
+\item éù ãøê àçú ñáéøä ìäâãéø îúé \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k}$} ðì\char`\"{}ç
+åàæ äèìä ùì ÷áåöä ðì\char`\"{}ç äéà ðì\char`\"{}ç\end{enumerate}
+\begin{definition}
+úäé ùôä \L{$\mathcal{L}$} çùéáä. \uline{îñôåø âãì} ùì äðåñçàåú
+\L{$F(\mathcal{L})$} á-\L{$\mathcal{L}$}æå ôåð÷öéä \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$}
+äîåâãøú áàéðãå÷öéä áàåôï äáà:
+\begin{enumerate}
+\item ùí òöí \L{$x_{i}$} é÷åãã ò\char`\"{}é \L{$g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$} 
+\item ÷áåò àéùé \L{$c_{i}$} é÷åãã ò\char`\"{}é \L{$g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$} 
+\item ùí òöí îäöåøä \L{$F_{i}(t_{1},...,t_{n})$} é÷åãã ò\char`\"{}é \L{
+\begin{eqnarray*}
+g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ðåñçä îäöåøä \L{$R_{i}(t_{1},...,t_{n})$} é÷åãã ò\char`\"{}é \L{
+\begin{eqnarray*}
+g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ðåñçä \L{$\varphi$} îäöåøä \L{$\varphi=\neg\psi$} ú÷åãã ò\char`\"{}é
+\L{$g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$}
+\item ðåñçä \L{$\varphi$} îäöåøä \L{$\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$}
+ú÷åãã ò\char`\"{}é \L{$g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$}
+\item ðåñçä \L{$\varphi$} îäöåøä \L{$\varphi=(\exists x_{i})\psi$} ú÷åãã
+ò\char`\"{}é \L{$g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$} )äëîú
+\L{$\forall$} áãåîä(
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item úåøä \L{$T$} áùôä \L{$\mathcal{L}$} äéà \uline{ëøéòä} àí ä÷áåöä
+\L{$\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$} çùéáä.
+\item úåøä äéà çùéáä àí \L{$\{g(\varphi):\varphi\in T\}$} çùéáä.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{claim}
+~
+\begin{enumerate}
+\item îñôåø âãì äåà çç\char`\"{}ò )áàéðãå÷öéä òì éöéøú äðåñçä(
+\item áäéðúï ùôä çùéáä )àå ñåôéú( \L{$\mathcal{L}$} äéçñ \char`\"{}\L{$n$}
+î÷åãã ðåñçä áùôä \L{$\mathcal{L}$}\char`\"{} äåà çùéá.
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+)øòéåï ëììé( ðùéí ìá )÷ì ìøàåú áàéðãå÷öéä( ùàí \L{$\varphi$} ðåñçä
+áàåøê \L{$n$} àæ \L{$g(\varphi)>n$}. áðåñó, àí á-\L{$\varphi$}
+îåôéò ñéîï ôåð÷öéä, ñéîï éçñ, ÷áåò àéùé àå îùúðä òí àéðã÷ñ \L{$i>n$}
+àæ )áàéðãå÷öéä( \L{$g(\varphi)>n$}.
+
+ìëï äùàìä äàí \L{$n$} îñôø âãì ùì ðåñçä ù÷åìä ìùàìä äàí ÷ééîú ðåñçä
+\L{$\varphi$} áàåøê ÷èï-ùååä ì-\L{$n$}, ùëì äñéîðéí äìà-ìåâééí äîåôéòéí
+áä äí òí àéðã÷ñ ÷èï àå ùååä ì-\L{$n$}. åîñôø âãì ùì \L{$\varphi$}
+äåà \L{$n$}. 
+
+àáì ÷áåöú äðåñçàåú \L{$\varphi$} îàåøê ÷èï-ùååä ì-\L{$n$} , ùëì
+äñéîðéí áä òí àéðã÷ñ ÷èï-ùååä ì-\L{$n$} äéà ñåôéú, ëìåîø æäå ëéîåú
+çñåí. ìëï îñôé÷ ìáãå÷ ùäôåð÷öéä ùùåìçú ðåñçä ìîñôø âãì ùìä äéà çùéáä
+èéåøéðâ. )æä òñ÷ îééâò, àáì ìà ÷ùä.(\end{proof}
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item úäé \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} , ðàîø ùúåøä \L{$T$}
+áùôä äîøçéáä àú \L{$(0,s)$} îééöâú )çìù( àú \L{$f$} àí ÷ééîú ðåñçä
+\L{$\varphi(x,y)$} áùôä \L{$\mathcal{L}$} ëì ùìëì \L{$n\in Dom(f)$}
+îú÷ééí \L{$T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$}
+ëàùø äñéîåï \L{$\underline{n}:=s^{n}(0)$} òáåø \L{$s$} ôåð÷öééú
+äòå÷á.
+\item éçñ \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} \uline{îéåöâ} á-\L{$T$} àí \L{$\chi_{A}$}
+îéåöâú á\L{$T$}.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+\uline{úåøú ôéàðå} \inputencoding{latin9}\L{(Peano Arithmetic)}\inputencoding{cp1255}
+æå ÷áåöú äôñå÷éí äáàä áùôä \L{$\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$}:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$(\forall x)(s(x)\not=0)$}
+\item \L{$(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$}
+\item \L{$(\forall x)(x+0=x)$}
+\item \L{$(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$}
+\item \L{$(\forall x)(x\cdot0=0)$}
+\item \L{$(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$}
+\item \uline{ñëéîú äàéðãå÷öéä:} ìëì ðåñçä \L{$\varphi(x,y)$} à÷ñéåîä
+îäöåøä:\L{
+\[
+(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))]
+\]
+}
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{theorem}
+ëì ôåð÷öéä çùéáä ðéúðú ìééöåâ á-\L{$PA$}. éúø òì ëï, ÷ééîú úåøä \L{$N$}
+ñåôéú ëê ù-\L{$PA\vdash N$} åëì ôåð÷öéä çùéáä îéåöâú á-\L{$N$}.
+\end{theorem}
+\uline{úøâéì}: àí \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ùìîä
+åîéåöâú á-\L{$PA$} àæ \L{$f$} çùéáä.
+\begin{corollary}
+äúåøä \L{$N$} ùîåáèçú áîùôè, àéðä ëøéòä.\end{corollary}
+\begin{proof}
+úäé \L{$\varphi(e,z,n)$} äðåñçä äàåîøú ùî\char`\"{}è \L{$T_{e}$}
+)ùä÷åã ùìä äåà \L{$e$}( òåöøú òì ä÷ìè \L{$n$} àçøé \L{$z$} öòãéí.
+
+äéçñ \L{$\varphi(e,z,n)$} çùéá {]}äåëçðå{[}, ìëï ìôé äîùôè îéåöâ
+á-\L{$N$}. ëìåîø àí \L{$T_{e}(n)$} \uline{ìà òåöøú} àæ ìëì \L{$z$}
+îú÷ééí \L{$N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$}. 
+
+îöã ùðé, àí \L{$T_{e}(n)$} \uline{òåöøú} àæ \L{$N\vdash\varphi(e,z,n)$}
+ìàéæä \L{$z$}. ððéç áùìéìä ù-\L{$N$} ëøéòä àæ \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$}
+àí åø÷ àí \L{$T_{e}(n)$} òåöøú.
+
+àáì îëøéòåú ð÷áì ùìëì æåâ \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} àôùø
+ìãòí äàí \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$} àå \L{$N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$}.
+ëìåîø àôùø ìäëøéò äàí \L{$T_{e}(n)$} òåöøú àå ìà. àáì ìôé îùôè øééñ
+æå àéððä ÷áåöä çùéáä. ñúéøä.
+\end{proof}
+\uline{äòøä}: àí \L{$N\subseteq T$} )\L{$N$} äúåøä äîåáèçú áîùôè(
+àæ:
+\begin{enumerate}
+\item ëì ôåð÷öéä çùéáä ðéúðú ìééöåâ á-\L{$T$}
+\item ìëï, \L{$T$} àéððä ëøéòä, ëé àåúä ääåëçä ù-\L{$N$} àéðä ëøéòä úòáåã
+òáåø \L{$T$}.
+\end{enumerate}
+\uline{äòøä}: àí úåøä \L{$T$} äéà çùéáä åùìîä àæ \L{$T$} ëøéòä.
+ìäìï àìâåøéúí äëøòä:
+
+ðøàä áäîùê ùàí \L{$T$} çùéáä àæ \L{$C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$}
+ðì\char`\"{}ç. ëéååï ù-\L{$T$} ùìîä, ëãé ìáãå÷ äàí \L{$T\vdash\varphi$}
+ðôòéì àú äîëåðä äîåðä àú \L{$C_{T}$}. áëì ùìá ðáãå÷ äàí äàéáø ùäîëåðä
+ôìèä äåà äåëçä ùì \L{$\varphi$} àå äåëçä ùì \L{$\neg\varphi$} .
+äùìîåú îáèéçä ìðå ùàçã îäí éú÷áì áæîï ñåôé. àí îú÷áì \L{$\varphi$}
+- ðéöçðå. àí îú÷áì \L{$\neg\varphi$} - âí ðéöçðå.
+\begin{corollary}
+ëì úåøä \L{$T$} ëê ù-\L{$N\subseteq T\subseteq PA$} îäîñ÷ðä ä÷åãîú
+àéðä ëøéòä. )ìîùì úåøú äîñôøéí àéððä ëøéòä(.
+\end{corollary}
+
+\section{ôåð÷öéåú éöéâåú}
+
+\uline{úæëåøú:} ôåð÷öéä \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ú÷øà îéåöâú )çìù( áúåøä \L{$T$} )áùôä òí ñéîï ÷áåò {\beginL 0\endL}
+åñéîï ôåð÷öéä çã î÷åîé \L{$s$}( àí ÷ééîú ðåñçä \L{$\varphi(x,y)$}
+ëê ùìëì \L{$\bar{n}\in Dom(f)$} îú÷ééí\L{
+\begin{eqnarray*}
+T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y)
+\end{eqnarray*}
+}ëàùø \L{$\underline{n}=s^{n}(0)$}. 
+\begin{theorem}
+ëì ôåð÷öéä çùéáä éöéâä áúåøú ôàðå åàôéìå éù úú-úåøä ñåôéú ùì \L{$PA$}
+ùáä ëì ôåð÷öéä çùéáä éöéâä.\end{theorem}
+\begin{corollary}
+úäé \L{$N\subseteq PA$} ëîåáèç áîùôè. àæé \L{$N$} àéðä ëøéòä. \end{corollary}
+\begin{proof}
+éäé \L{$\varphi(e,n,z)$} äéçñ äàåîø \char`\"{}äîëåðä ùä÷åã ùìä \L{$e$}
+òöøä òì ä÷ìè \L{$n$} àçøé ìëì äéåúø \L{$z$} îäìëéí\char`\"{}. àæ
+áøåø ù-\L{$\varphi(e,n,z)$} äåà éçñ çùéá. îäîùôè ðåáò ùìëì ùìùä \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$}
+îú÷ééí \L{$N\vdash\varphi(e,n,z)$} àí åø÷ àí \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle $}
+òåîãú áéçñ, ëìåîø äîëåðä \L{$e$} òåöøú òì \L{$n$} àçøé ìà éåúø î\L{$z$}
+öòãéí. ìëï àí \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} òåöøú éù \L{$z_{0}$}
+ëê ù\L{$N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}.
+ìëï àí \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} òåöøú àæ \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}.
+îöã ùðé, àí \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} ìà òåöøú àæ \L{$N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}
+ìëì \L{$\underline{z_{0}}$}. àáì \L{$\mathbb{N}\models PA$} åìëï
+\L{$\mathbb{N}\models N$} . ìëï ìà ééúëï ù\L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}
+àáì îäðçúðå æä ìà îú÷ééí. éåöà \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}
+àí åø÷ àí \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} òåöøú. ìëï àéìå äééúä
+\L{$N$} ëøéòä äééðå éëåìéí ìäëøéò àú áòééú äòöéøä: áäéðúï æåâ \L{$\left\langle e,n\right\rangle $}
+äééðå ôùåè ùåàìéí àí \L{$N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$}.
+àí ëï - \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} òåöøú, åàí ìà àæ \L{$\left\langle e,n\right\rangle $}
+ìà òåöøú.\end{proof}
+\begin{corollary}
+ëì úåøä \L{$N\subseteq T\subseteq PA$} îäîñ÷ðä ä÷åãîú àéðä ëøéòä.
+
+ðéâù ìäåëçú äîùôè òöîå. 
+\end{corollary}
+úäé \L{$N\subseteq PA$} äúåøä äáàä:
+\begin{itemize}
+\item \L{$PA(1)-PA(6)$}
+\item \L{$(N7)$}: \L{$(\forall x)(\neg x<0)$}
+\item \L{$(N8)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$}
+\item \L{$(N9)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$}
+\item ëàùø \L{$x<y$} æä ÷éöåø ìðåñçä \L{$(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$}\end{itemize}
+\begin{claim}
+\L{$PA\vdash N$}.
+\begin{proof}
+öøéê ìäåëéç ø÷ àú \L{$PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$}. ëìåîø öøéê ìäåëéç:\L{
+\begin{eqnarray*}
+PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0)
+\end{eqnarray*}
+} àáì \L{$PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$}. ìëï éñôé÷
+ìäåëéç ù-\L{$PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$}. æä éñôé÷ ëé àæ ð÷áì \L{$(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$}.
+ääåëçä ì-\L{$N8$} å-\L{$N9$} ãåîä îàåã. 
+\end{proof}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+ðøàä ùëì ôåð÷öéä çùéáä éöéâä á-\L{$N$}. ìùí ëê éñôé÷ ìäøàåú: îùôçú
+äôåð÷öéåú äéöéâåú á-\L{$N$} îëéìä îëéìä àú äôåð÷öéåú äçùéáåú äáñéñéåú
+åñâåøä úçú äøëáåú åúçú îæòåø.
+\begin{claim}
+){\beginL 1\endL}( ôåð÷öééú ääéèì \L{$P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$}
+éöéâä ò\char`\"{}é \L{
+\[
+\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y
+\]
+} \end{claim}
+\begin{proof}
+éù ìäøàåú ù\L{$N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$}
+ìëì \L{$k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$}. àáì æä ù÷åì ì \L{$N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$}.\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 2\endL}( äôåð÷öéä \L{$c_{0}(x)=0$} éöéâä á-\L{$N$} ò\char`\"{}é
+\L{$\varphi(x,y):=y\approx0$}. ääåëçä ÷ùä áàåúä îéãä.
+\end{claim}
+
+~
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 3\endL}( äôåð÷öéä \L{$x+y$} éöéâä á-\L{$N$} ò\char`\"{}é
+\L{$\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$}.
+\begin{proof}
+òìéðå ìäøàåú \L{$N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$}.
+áàéðãå÷öéä òì \L{$n_{2}$} . òáåø \L{$n_{2}=0$} î÷áìéí \L{$\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$}.
+ððéç òáåø \L{$n_{2}$} åðåëéç òáåø \L{$n_{2}+1$}:\L{
+\[
+\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1}
+\]
+}
+\end{proof}
+
+ìâáé ëôì æä áãéå÷ àåúå ãáø.
+\begin{claim}
+){\beginL 4\endL}( \L{$c_{<}(x,y)$} éöéâä á-\L{$N$} ò\char`\"{}é
+\L{$\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$}.\end{claim}
+\begin{proof}
+øàùéú îøàéí ùìëì \L{$n,m\in\mathbb{N}$} àí \L{$n<m$} àæ \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$}
+. áàåúå àåôï àí \L{$\neg(n<m)$} àæ \L{$N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$}.
+{]}ìîùì áàéðãå÷öéä òì \L{$m$}: î\L{$N7$} àðçðå éåãòéí ù\L{$N\vdash\neg(n<0)$}
+ìëì \L{$n\in N$}. àæ ððéç ùäåëçðå ì\L{$n$} ðúåï òáåø \L{$m$} åðåëéç
+òáåø \L{$m+1$}. àæ àí \L{$n<m$} îäðçú äàéðãå÷öéä \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$}
+åìôé \L{$N8$} âí \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$}.
+äî÷øä ääôåê ãåîä{[}.\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 5\endL}( îùôçú äôåð÷öéåú äéöéâåú á\L{$N$} ñâåøä úçú äøëáä. \end{claim}
+\begin{proof}
+ððéç ù\L{$G(x_{1},...x_{n})$} éöéâä á\L{$N$} å\L{$h_{i}(y_{1},...,y_{m})$}
+éöéâåú á\L{$N$} ì\L{$1\le i\le n$}. òìéðå ìäøàåú ù\L{$G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$}
+éöéâä á\L{$N$}. ððéç ù\L{$\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$} îééöâåú
+àú \L{$h_{i}$} ì\L{$1\le i\le n$} , å\L{$\psi(z_{1},..,z_{n},t)$}
+àú \L{$G$}. ðøàä ù \L{
+\begin{eqnarray*}
+\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t)
+\end{eqnarray*}
+} îééöâú àú ääøëáä. ëìåîø òìéðå ìäøàåú ùìëì \L{$p_{1},...,p_{m}$}
+èáòééí {]}åáúçåí ùì äôåð÷öéåú \L{$h_{i}$}{[} îú÷ééí ù\L{
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})})
+\end{eqnarray*}
+}. àí ðñîï \L{$q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$} å-\L{$r=G(q_{1},...,q_{n})$}
+{]}áäðçä ùäëì îåâãø{[} îä ùòìéðå ìäøàåú æä ù\L{$N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$}.
+òì éãé ùðçìéó àú \L{$t$} á÷áåò ùàéðå îåôéò á\L{$N$} éñôé÷ ìäåëéç
+\L{$N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$}. éñôé÷
+ìäåëéç ëì ëéååï áðôøã. ëæëåø \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$}.
+ìëï òìéðå ìäåëéç:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$}
+\item \L{$N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$}
+\end{enumerate}
+
+ðúçéì î{\beginL 2\endL}. \L{$\varphi_{i}$} îééöâú àú \L{$h_{i}$}
+å\L{$p_{1},...,p_{m}$} áúçåí ùì \L{$h_{i}$} ìëï \L{$N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$}.
+áàåúå àåôï \L{$\psi$} îééöâú àú \L{$G$} å-\L{$q_{1},...,q_{n}$}
+áúçåí ùì \L{$G$} ìëï \L{
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+}ìëï \L{
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+} åìëï \L{
+\begin{eqnarray*}
+N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t)
+\end{eqnarray*}
+}
+
+ðñééí òí {\beginL 1\endL}. ëéååï ù\L{$\varphi_{i}$} îééöâåú àú \L{$h_{i}$}
+àðçðå éåãòéí ùîääðçä \L{$\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$} àôùø
+ìäñé÷ \L{$z_{i}=q_{i}$}. ëìåîø \L{$N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$}.
+ëéååï ù\L{$\psi$} îééöâú àú \L{$G$} àæ î\L{$z_{i}=q_{i}$} òáåø
+\L{$1\le i\le n$} àôùø ìäñé÷ îääðçä \L{$\psi(z_{1},...,z_{n},t)$}
+ù\L{$t=\underline{r}$}. ìëï \L{$N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$}
+ëðãøù. \end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 6\endL}( îùôçú äôåð÷öéåú äéöéâåú á\L{$N$} ñâåøä úçú îæòåø.\end{claim}
+\begin{proof}
+)øòéåï ääåëçä( úäé \L{$G(x_{1},...,x_{n},y)$} ôåð÷öéä éöéâä ò\char`\"{}é
+ðåñçä \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$}. úäé \L{$H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$}
+. àéæå ðåñçä úééöâ àú \L{$H$}? \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$}.
+ääåëçä ùæä àëï îééöâ ãåîä ìîä ùòùéðå òã ëä.
+\end{proof}
+
+\section{äåëçú îùôèé àé äùìîåú ùì âãì}
+
+\end{claim}
+\uline{úæëåøú}: äåëçðå àí \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+çùéáä )çì÷éú( àæ \L{$f$} éöéâä )çìù( á\L{$N$}.
+
+\uline{úøâéì )îúåê úøâéì }{\beginL \uline{10}\endL}\uline{(:
+}àí \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} éçñ çùéá àæ äåà éöéâ åìëï éù ðåñçä
+\L{$\varphi(x)$} ëê ù:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$N\vdash\varphi(\underline{n})$} àí \L{$n\in A$} 
+\item \L{$N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$} àí \L{$n\not\in A$}
+\end{enumerate}
+\uline{úæëåøú}: äâãøðå ôåð÷öéä \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$}
+\char`\"{}îñôåø âãì\char`\"{} ùì äðåñçàåú áùôä \L{$\mathcal{L}$}
+ùì \L{$PA$} åøàéðå ùæå ôåð÷öéä çùéáä. ìùí ðåçåú äñéîåï áäéðúï ðåñçä
+\L{$\varphi\in F(\mathcal{L})$} ðñîï \L{$\left\lceil \varphi\right\rceil $}
+îñôø äâãì ùì \L{$\varphi$}.
+\begin{theorem}
+)îùôè ð÷åãú äùáú ùì âãì(: ìëì ðåñçä \L{$\varphi(x)$} áùôä ùì \L{$PA$}
+÷ééîú ðåñçä \L{$\psi$} ëê ù-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}. \end{theorem}
+\begin{definition}
+úäé \L{$\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$}
+)ðåñçàåú òí îùúðä çåôùé àçã ìðåñçàåú ììà îùúðéí çåôùééí( äôåð÷öéä
+äî÷ééîú \L{$\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$}.
+àæ \L{$\Delta$} ð÷øàú ôåð÷öééú äàìëñåï.
+
+÷ì ìäùúëðò ù-\L{$\Delta$} ðéúðú ìçéùåá ò\char`\"{}é îëåðú èéåøéðâ.
+ìëï äôåð÷öéä äáàä çùéáä: \L{$\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+äîåâãøú ò\char`\"{}é \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$} àí åø÷ àí \L{$n$}
+îñôø âãì ùì ðåñçä áîùúðä çåôùé àçã, åàí \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$}
+àæ \L{$n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $} å\L{$\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $}.
+ìëï äéçñ \L{$\tilde{\Delta}(n,m)$} äîåâãø ò\char`\"{}é \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta})$}
+å-\L{$\tilde{\Delta}(n)=m$} äåà éçñ çùéá. ìëï \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}
+éöéâ á\L{$N$}. ìôé äúøâéì éù ðåñçä \L{$\delta(x,y)$} ëê ù-\L{$N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$}
+àí \L{$(n,m)\in\tilde{\Delta}$} å-\L{$N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$}
+àí \L{$(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$}.
+
+úäé \L{$\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$}. éäé
+\L{$\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$}. \end{definition}
+\begin{claim}
+\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}.\end{claim}
+\begin{proof}
+ððéç ù-\L{$N\vdash\psi$}. öøéê ìäøàåú ù-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
+àáì \L{$\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}.
+ðæëåø ù\L{$\left\lceil \chi\right\rceil $} îñôø âãì ùì ðåñçä áîùúðä
+àçã. áðåñó, \L{$\delta(x,y)$} äéà éöåâ ùì äéçñ \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}.
+ìëï \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$} àí åø÷ àí
+\L{$y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}. ìëï àí \L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}
+äîåòîã äéçéã ùéëåì ìäòéã òì ëê äåà \L{$\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}.
+ìëï \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} . áëéååï
+äùðé, ððéç ù\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} åòìéðå
+ìäåëéç \L{$N\vdash\psi$} . òìéðå ìäøàåú ù-\L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}.
+éñôé÷ ìäåëéç ù-\L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$}
+òáåø \L{$y_{0}$} ëìùäå. àáì \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$}
+- ëé \L{$\delta(x,y)$} îééöâú àú \L{$\tilde{\Delta}$} åîäðúåï \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
+ðùéí \L{$y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $} åâîøðå.\end{proof}
+\begin{theorem}
+)îùôè äùìîåú äøàùåï ùì âãì( úäé \L{$T\supseteq N$} úåøä çùéáä å-\L{$\omega$}-ùìîä
+, àæ \L{$T$} àéðä ùìîä. \end{theorem}
+\begin{definition}
+úåøä \L{$T$} ð÷øàú \L{$\omega$}-ùìîä àí \L{$T\vdash(\exists x)\varphi(x)$}
+ìàéæä ðåñçä \L{$\varphi(x)$} âåøø ù\L{$T\vdash\varphi(\underline{n})$}
+ìàéæä \L{$n\in\mathbb{N}$}.
+\begin{definition}
+ðåñçä \L{$Pr(x)$} ð÷øàú \uline{éçñ éëéçåú} àí äéà î÷ééîú àú äúëåðåú
+äáàåú:
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$T\vdash\phi$} àæ \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
+\item àí \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} àæ \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$}.
+\item àí \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$}
+àæ \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. 
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\end{definition}
+\begin{claim}
+á\L{$N$} éù éçñ éëéçåú åàí îðéçéí ù\L{$N$} äéà \L{$\omega$}-ùìîä
+àæ áðåñó îú÷ééí: àí \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
+àæ \L{$N\vdash\phi$}. \end{claim}
+\begin{proof}
+ðâãéø éçñ ãå î÷åîé \L{$\tilde{Pr}(x,y)$} ëê ù \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$}
+àí:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$n$} îñôø âãì ùì ðåñçä \L{$\varphi$}, å-
+\item \L{$n$} î÷åãã äåëçä ùì \L{$\varphi$} îúåê \L{$N$} . 
+\end{enumerate}
+
+àæ \L{$\tilde{Pr}$} éçñ çùéá. ìëï éù ðåñçä \L{$Pr(x,y)$} ùîééöâú
+àú \L{$\tilde{Pr}$}. ëìåîø \L{$N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$}
+àí \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$} åîåëéç àú äùìéìä - àçøú. 
+
+ðâãéø \L{$Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$}. îãåò, ìîùì \L{$N\vdash\phi$}
+àæ \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}? îùåí ùàí \L{$N\vdash\phi$}
+àæ éù äåëçä ùì \L{$\phi$} î\L{$N$} åéäé \L{$m$} ÷éãåã ùì ääåëçä
+äæå. àæ \L{$\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}. áâìì ù\L{$Pr(x,y)$}
+îééöâú àú \L{$\tilde{Pr}$} àæ \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}
+ìëï \L{$N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$}.
+{\beginL 2\endL} ðåáò î-{\beginL 1\endL}, å-{\beginL 3\endL} äåëç
+áàåôï ãåîä )úøâéì(. 
+
+ëãé ì÷áì àú {\beginL 4\endL}: àí \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
+å-\L{$N$} \L{$\omega$}-ùìîä àæ \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$}
+ìàéæä \L{$m\in\mathbb{N}$}. àáì àæ îäâãøú äéöéâåú \L{$N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}
+ëìåîø \L{$m$} î÷åãã äåëçä ùì \L{$\phi$} î\L{$N$}. 
+\end{proof}
+~
+\begin{proof}
+)ìîùôè äùìîåú äøàùåï ùì âãì( ìôé îùôè ð÷åãú äùáú éù \L{$\phi$} ëê
+ù\L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$}.
+\begin{itemize}
+\item î÷øä à': \L{
+\[
+T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+}
+\item î÷øä á': \L{
+\[
+T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+}éåöà \L{$\psi,\neg\varphi$} àéðí éëéçéí á\L{$T$} åìëï \L{$T$} àéðä
+ùìîä. 
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\uline{ñéîåï:} úäé \L{$T$} úåøä çùéáä. ðâãéø \L{$Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$}.
+\begin{theorem}
+)îùôè àé äùìîåú äùðé ùì âãì( àí \L{$T\supseteq N$} çùéáä åò÷áéú àæ
+\L{$T\not\vdash Con_{T}$}. áîéìéí àçøåú \L{$T$} ò÷áéú ìà éåãòú àú
+æä òì òöîä. \end{theorem}
+\begin{proof}
+ðáçø \L{$\psi$} ëîå áäåëçú äîùôè äøàùåï. \L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
+àæ:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$}.
+î-{\beginL 2\endL} åî-{\beginL 3\endL} ð÷áì:
+\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}
+\item ìôé {\beginL 2\endL} \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$}.
+\item î-{\beginL 2\endL} å-{\beginL 3\endL} áéçã ð÷áì \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}.
+\end{enumerate}
+
+àáì \L{$\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}
+äéà à÷ñéåîä ìåâéú )åàôéìå èàåèåìåâéä(. ìëï \L{$T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}.
+ìôé {\beginL 1\endL} å-{\beginL 3\endL} î÷áìéí: \L{
+\[
+T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil ))
+\]
+} ìôé ëìì {\beginL 4\endL} åëìì äðéúå÷ \L{
+\[
+T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T}
+\]
+} ëìåîø \L{
+\[
+T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )
+\]
+} àáì ìôé áçéøú \L{$\psi$}, àí îðéçéí ù\L{$T\vdash Con_{T}$} àæ îëìì
+äðéúå÷ \L{$T\vdash\neg Pr(\psi)$} åìëï \L{$T\vdash\psi$}. àáì ìôé
+{\beginL 1\endL} æä âåøø \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}
+- ñúéøä. 
+
+\end{proof}
+
+\section{úåøú ø÷åøñéä}
+
+úäé \L{$H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}. ôåð÷öéä çì÷éú. îëåðú
+èéåøéðâ òí àåá )àåø÷ì( òáåø \L{$H$} æå îëåðú èéåøéðâ øâéìä ùìä ô÷åãä
+ðåñôú: \char`\"{}çùá àú äòøê ùì \L{$H$} òáåø \L{$n$} ëìùäå\char`\"{}.
+åàæ äòøê ùì \L{$H(n)$} îåçæø àí \L{$n\in Dom(H)$} åàçøú äàåá àéðå
+îçæéø úùåáä, åäçéùåá ùì äîëåðä àéðå îñúééí. 
+
+ìîùì, ðåñéó ìîëåðú èéåøéðâ øâéìä òåã ñøè åäô÷åãä \char`\"{}÷øà îï
+äàåá\char`\"{} úúôøù ë-\char`\"{}çùá àú \L{$H$} òáåø äòøê ùëúåá áñøè
+áúà îñôø {\beginL 2\endL}\char`\"{}. îä ùçùåá äåà ùî\char`\"{}è òí
+àåá \L{$H$} ðéúðú ìúéàåø ñåôé. ìëï áäéðúï àåá \L{$H$} àôùø ì÷åãã
+àú ëì î\char`\"{}è òí àåá \L{$H$} áãåîä ì÷éãåã ùì î\char`\"{}è øâéìåú. 
+
+äîåùâéí:
+\begin{enumerate}
+\item îöá ùì îëåðä òí àåá \L{$H$}
+\item øéöä ùì îëåðä òí àåá \L{$H$}
+\item øéöä îñúééîú
+\item \L{$f_{T}^{n}(\bar{x})$} 
+\end{enumerate}
+ëåìí îåâãøéí áàåôï æää ìäâãøä äøâéìä.
+
+ôåð÷öéä \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ú÷øà çùéáä òí àåá
+\L{$H$} àí ÷ééîú î\char`\"{}è \L{$T$} òí àåá \L{$H$} ëê ù\L{$f=f_{T}^{1}$}
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item éäéå \L{$H,G$} àåáåú. ðàîø ù\L{$H\le_{R}G$} àí ëì ôåð÷öéä çùéáä
+î\L{$H$} çùéáä î\L{$G$}. 
+\item ðàîø ù\L{$H\sim_{R}G$} àí \L{$H\le_{R}G$} å-\L{$G\le_{R}H$}.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{claim}
+\L{$\sim_{R}$} äåà éçñ ù÷éìåú.\end{claim}
+\begin{proof}
+öøéê ìäøàåú ø÷ ùàí \L{$H\le_{R}G\le_{R}F$} àæ \L{$H\le_{R}F$}. ððéç
+ù\L{$f$} çùéáä î\L{$H$}. òìéðå ìäøàåú ù\L{$f$} çùéáä î\L{$F$}.
+îäðçúðå \L{$f$} çùéáä î\L{$G$}, àáì àæ âí \L{$f$} çùéáä î\L{$F$}. \end{proof}
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ãøâú èéåøéðâ ùì \L{$H$} äéðä \L{$deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$}. 
+\item àí \L{$a,b$} ãøâåú àæ ðàîø ù\L{$a\le_{R}b$} àí ìëì \L{$H,G$} ëê
+ù\L{$deg(H)=a,deg(G)=b$} îú÷ééí \L{$H\le_{R}G$}. {]}äòøä: áäâãøä
+àôùø ìäçìéó \char`\"{}ìëì\char`\"{} á\char`\"{}÷ééí\char`\"{}{[}.
+\end{enumerate}
+
+áøåø ù\L{$\le_{R}$} äåà éçñ ñãø çì÷é òì äãøâåú. îèøä øàùåðä ìç÷åø
+àú äîáðä ùì ä÷áåöä ñãåøä çì÷éú ùì ãøâåú èéåøéðâ. 
+
+\end{definition}
+úëåðåú áñéñéåú ùì äãøâåú:
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$F$} çùéáä àæ \L{$deg(F)\le_{R}deg(G)$} ìëì \L{$G$}.
+\item áôøè:
+
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$F,G$} çùéáåú àæ \L{$F\sim_{R}G$}
+\item àí ðñîï \L{$0=degF$} ì\L{$F$} çùéáä àæ \L{$0\le_{R}a$} ìëì ãøâä
+\L{$a$}.
+\end{enumerate}
+\item àí \L{$a_{1},...,a_{n}$} ãøâåú ëìùäï àæ éù ìäï çñí îìòéì îùåúó ÷èï
+áéåúø.
+
+\begin{proof}
+éäéå \L{$F_{1},...,F_{n}$} ëê ù\L{$degF_{i}=a_{i}$}. áøåø ùëì \L{$H$}
+äî÷ééîú \L{$F_{i}\le_{R}H$} ìëì \L{$i$} îçùáú àú \L{$F_{1},...,F_{n}$}.
+ìëï àí ð÷ç áúåø àåá àú \L{$\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$} )\L{$n$}-àåáåú(
+ð÷áì ù\L{$F_{i}\le_{R}\tilde{H}$} ìëì \L{$i$} åîæòøé ëæä. òëùéå
+ôùåè ðçìéó àú \L{$\tilde{H}$} á-\L{$H$} äôåòìú áàåôï äáà: \L{$H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$}.
+\L{$H$} çùéáä î\L{$\tilde{H}$} åìëï \L{$\tilde{H}$} äéà äçñí äîáå÷ù.
+\end{proof}
+\item ðàîø ùñãøú ôåð÷öéåú \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} äéà çùéáä î\L{$H$}
+àí äôåð÷öéä \L{$F(n,x)=F_{n}(x)$} çùéáä î\L{$H$}. áøåø ùàí \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$}
+ñãøú ôåð÷öéåú àæ \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} çùéáä î\L{$F(n,x)$}.
+ìëï ìëì ñãøú ôåð÷öéåú éù çñí îìòéì. \uline{àæäøä: }àáì æä ìà ðëåï
+ùìëì ñãøú ôåð÷öéåú éù çñí òìéåï. \end{enumerate}
+\begin{definition}
+ðàîø ù\L{$H$} ðì\char`\"{}ç á\L{$G$} )åðøùåí \L{$H\le_{RE}G$}(
+àí \L{$Dom(f)=H$} ìàéæå \L{$f\le_{R}G$}.
+\end{definition}
+áãéå÷ ëîå áî÷øä ùì ôåð÷öéåú çùéáåú ìëì \L{$G$}éù \L{$H\le_{RE}G$}
+ëê ù\L{$H\not\le_{R}G$}.
+
+áäéðúï \L{$G(x)$} ðñîï á\L{$G^{*}(e,x)$} æå îëåðú èéåøéðâ àùø )òí
+àåá \L{$G$}( àùø áäéðúï \L{$e$} ÷åã ùì î\char`\"{}è òí àåá \L{$G$}
+å÷ìè \L{$x$} îçùáú àú \L{$T_{e}(x)$}. áøåø éùéøåú îääâãøä ù:
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$H\le_{RE}G$} àæ \L{$H\le_{R}G^{*}$}
+\item \L{$G^{*}\le_{RE}G$}.
+\end{enumerate}
+îãåò?
+\begin{enumerate}
+\item àí \L{$H\le_{RE}G$} àæ éù \L{$f\le_{R}G$} ëê ù\L{$H=Im(f)$} å-\L{$f$}
+ùìîä. àæ \L{$H=Im(G^{*}(e_{f},x))$} ëàùø òì ä÷åã ùì \L{$f$}. åáøåø
+ù\L{$G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$}. 
+\item áøåø - ëé \L{$G^{*}$} çùéáä î\L{$G$} åìëï äâøó ùìä ðì\char`\"{}ç
+î\L{$G$}. \end{enumerate}
+\begin{definition}
+àí \L{$a$} ãøâä å-\L{$a=degH$} àæ ä÷ôéöä ùì \L{$a$} äéà \L{$degH^{*}$}
+åîñåîðú \L{$a^{\prime}$}.
+
+ùàìä: äàí æä îåâãø äéèá? àí \L{$H\sim G$} äàí \L{$H^{*}\sim G^{*}$}?
+îú÷ééí:\L{
+\[
+G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H
+\]
+} ìëï éñôé÷ ìäøàåú ù\L{$G^{*}$} ðì\char`\"{}ç îéøáéú î\L{$H$}. ìôé
+äèòðä ä÷åãîú òáåø \L{$H,H^{*}$} éåöà ù\L{$G^{*}\le_{R}H^{*}$}. îñéîèøéä
+áéï \L{$H$}å-\L{$G$} âí \L{$H^{*}\le_{R}G^{*}$} åìëï æä îåâãø äéèá.
+
+\uline{ùàìä}: äàí ÷ééîú ãøâä \L{$0<a$} ëê ù\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}?
+úùåáä: ëï!
+\end{definition}
+
+\section{úåøú ø÷åøñéä - äîùê}
+
+\uline{úæëåøú}: àí \L{$F,G$} ôåð÷öéåú )îäèáòééí ìèáòééí( àæ \L{$F\le_{R}G$}
+àí ëì ôåð÷öéä çùéáä î\L{$F$} çùéáä î\L{$G$}. \L{$F\sim_{R}G$} àí
+\L{$F\le_{R}G$} å-\L{$G\le_{R}F$}. ëîå ëï ðñîï \L{$F/_{\sim}=degF$}.
+
+àí \L{$a,b$} ãøâåú àæ \L{$a\le b$} àí ÷ééîåú ôåð÷öéåú \L{$F,G$}
+ëê ù\L{$degF=a,degG=b$} å-\L{$F\le_{R}G$}. àîøðå: àôùø ìäçìéó àú
+\char`\"{}÷ééîåú \L{$F,G$}\char`\"{} á\char`\"{}ìëì \L{$F,G$}\char`\"{}.
+
+îúé ðàîø ù\L{$F\le_{RE}G$}? àí \L{$a,b$} ãøâåú àæ ðâãéø \L{$a\le_{RE}b$}
+áãéå÷ àí ÷ééîåú \L{$F,G$} ëê ù\L{$degF=a,degG=b$} å-\L{$F\le_{RE}G$}.
+\uline{úøâéì}: \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} çùéáä á\L{$G$} àí åø÷
+àí \L{$A$} ðì\char`\"{}ç î\L{$G$} å-\L{$\mathbb{N}\backslash A$}
+ðì\char`\"{}ç î\L{$G$}.
+
+àí \L{$H$} ôåð÷öéä ëìùäé àæ \L{$H^{*}$} äéà äôåð÷öéä äîúàéîä ìîëåðú
+èéåøéðâ àåðéáøñìéú òí àåá \L{$H$}. áàåôï ôåøîìé: \L{$H^{*}$} äéà
+äôåð÷öéä äîöééðú ùì ä÷áåöä:\L{
+\[
+\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\}
+\]
+}éùéøåú îï ääâãøä ðåáò ùàí \L{$G\le_{RE}H$} àæ \L{$degG\le degH^{*}$}.
+\uline{ëîñ÷ðä}: àí ðâãéø ìãøâä \L{$a$} àú äãøâä \L{$a^{\prime}$}
+ò\char`\"{}é \L{$a^{\prime}=degH^{*}$} òáåø \L{$H$} ëìùäé ëê ù\L{$a=degH$}
+àæ:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$a^{\prime}$} îåâãø äéèá
+\item \L{$a^{\prime}$} äåà äãøâä äîéøáéú îòì \L{$a$} ùäéà ðì\char`\"{}ç
+á\L{$a$}. áîéìéí àçøåú, àí \L{$a\le b$} å-\L{$b\le_{RE}a$} àæ \L{$b\le a^{\prime}$}.
+îãåò? àí \L{$b\le_{RE}a$} àæ ìôé äâãøä éù \L{$G$} ëê ù\L{$degG=b$}
+å-\L{$G\le_{RE}H$}. ìëï \L{$degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$}.
+\end{enumerate}
+øàéðå: àí \L{$F,G$} çùéáåú àæ \L{$F\sim G$} åñéîðå \L{$degF=0$}:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$0\le a$} ìëì ãøâä \L{$a$}
+\item àí \L{$a,b$} ãøâåú àæ éù ãøâä \L{$c$} ëê ù-\L{$c$} çñí îìòéì ÷èï
+áéåúø ì\L{$a,b$}.
+\item ìëì ñãøä \L{$F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$} éù çñí îìòéì )ùäåà
+ôùåè \L{$F(y,x)$}( àáì àéï çñí òìéåï.
+\end{enumerate}
+\uline{úøâéì}: àí \L{$a,b$} ãøâåú àæ \L{$a<a^{\prime}$} )ììà
+ùéååéåï( åàí \L{$a\le b$} àæ \L{$a^{\prime}\le b^{\prime}$}. àáì
+áäîùê ðøàä ùéù \L{$a<b$} ëê ù\L{$a^{\prime}=b^{\prime}$} .
+\begin{theorem}
+÷ééîåú ãøâåú \L{$a,b\le0^{\prime}$} ùàéðï ðéúðåú ìäùååàä. \end{theorem}
+\begin{corollary}
+÷ééîú ãøâä \L{$0<a<0^{\prime}$}.
+\begin{proof}
+ìôé äîùôè éù \L{$a,b\le0^{\prime}$} ùàéðï ðéúðåú ìäùååàä. àæ \L{$a,b\not=0^{\prime}$}
+å-\L{$a,b\not=0$}.
+\end{proof}
+\end{corollary}
+ùàìä îøëæéú: )äáòéä ùì \inputencoding{latin9}\L{Post}\inputencoding{cp1255}(
+äàí ÷ééîú \L{$a$} ëð\char`\"{}ì ùäéà ðì\char`\"{}ç?
+
+\uline{àáçðä:} ððéç ù\L{$f$} çùéáä òí àåá \L{$H$}. àæ ìëì \L{$n$}
+éù \L{$\sigma\subseteq H$} ôåð÷öéä ñåôéú )æ\char`\"{}à úçåí ùì \L{$\sigma$}
+ñåôé( ëê ù\L{$f(n)$} ðéúï ìçéùåá î\L{$\sigma$}.
+\begin{proof}
+)ìîùôè( ðùéí ìá ùâí àí äàåá \L{$F$} àéðå éãåò ìðå òãééï ðéúï ìøùåí
+àú ëì ä÷åãéí ùì îëåðú èéåøéðâ òí àåá \L{$F$}. áúåø äúçìä ðáðä ùúé
+ôåð÷öéåú \L{$F,G$} ëê ù-\L{$G\not\le_{R}F$} åâí \L{$F\not\le_{R}G$}.
+ëãé ìîìà àú äãøéùä äæå òìéðå ì÷ééí ùðé àåñôéí ùì úðàéí:
+\begin{enumerate}
+\item )e{\beginL 1\endL}( î\char`\"{}è òí àåá \L{$G$} ùä÷åã ùìä äåà \L{$e$}
+àéðä îçùáú àú \L{$F$}.
+\item )e{\beginL 2\endL}( î\char`\"{}è òí àåá \L{$F$} ùä÷åã ùìä äåà \L{$e$}
+àéðä îçùáú \L{$G$}.
+\end{enumerate}
+
+àæ úäé \L{$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$} îðéä çùéáä ùì äúðàéí äð\char`\"{}ì.
+ðáðä áàåôï àéðãå÷èéáé ôåð÷öéåú ñåôéåú \L{$F_{i},G_{i}$} ëê ù\L{$F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$}
+â ìëì \L{$i$} åàí \L{$e_{i}$} äéà úðàé îñåâ {\beginL 1\endL}, ìîùì
+àæ \L{$F_{i+1}$} úáèéç ùäôåð÷öéä äîçåùáú ò\char`\"{}é äîëåðä \L{$e_{i}$}
+òí äàåá \L{$G$} ìà úçùá àú \L{$F_{i+1}$}. áîéìéí àçøåú äîëåðä \L{$e_{i}$}
+òí äàåá \L{$G$} òì ÷ìè îñåééí \L{$n$} àæ úúï òøê ùùåðä î\L{$F_{i+1}(n)$}.
+ððéç ùäâãøðå \L{$F_{i},G_{i}$} ëê ù\L{$F_{i-1}\subseteq F_{i}$}
+å-\L{$G_{i-1}=G_{i}$} åððéç ùáä\char`\"{}ë \L{$e_{i}$} äåà úðàé
+îñåâ {\beginL 1\endL} )äúô÷éãéí ùì \L{$F,G$} ñéîèøééí ìçìåèéï áäåëçä(.
+éäé \L{$n_{i}\in\mathbb{N}$} ä÷èï áéåúø ëê ù\L{$n_{i}\not\in dom(F_{i})$}.
+ðáçéí áéï ùðé î÷øéí:
+\begin{enumerate}
+\item î÷øä à' - ÷ééîú ôåð÷öéä ñåôéú \L{$\sigma$} ëê ù:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\sigma$} îúééùáú òí \L{$G_{i}$} )ëìåîø àí \L{$x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$}
+àæ \L{$\sigma(x)=G_{i}(x)$}(
+\item î\char`\"{}è \L{$e_{i}$} òí àåá \L{$\sigma$} òåöøú òì ä÷ìè \L{$n_{i}$}.
+\end{enumerate}
+
+áî÷øä æä, ðâãéø \L{$G_{i}\subseteq G_{i+1}$} òí \L{$G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$}.
+áâìì äðçä ){\beginL 1\endL}( - æåäé ôåð÷öéä. ðâãéø \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$}
+)ëàùø \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}$} äåà äòøê ùî\char`\"{}è \L{$e_{i}$}
+òí àåá \L{$\sigma$} îçæéøä òáåø \L{$n_{i}$}( åæä îåâãø áâìì äðçä
+){\beginL 2\endL}(.
+
+\item î÷øä á' - ìà î÷øä à'. àæ ðâãéø \L{$G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$}.
+òúä ðâãéø \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$}.
+ðøàä ù\L{$F\not\le_{R}G$} )äî÷øä äùðé ñéîèøé ìçìåèéï(. úäé \L{$e$}
+î\char`\"{}è ëìùäé òí àåá \L{$G$}. ðøàä ù\L{$e$} àéðä îçùáú àú \L{$F$}.
+ìùí ëê éñôé÷ ìîöåà \L{$n\in\mathbb{N}$} ëìùäå ëê ù\L{$F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$}
+{]}ðùéí ìá ù\L{$F(n)$} îåâãøú ìëì \L{$n$}, ôùåè îùåí ùäáðéä îáèéçä
+ùðèôì ááðéä ùì \L{$F$} àéðñåó ôòîéí åáëì ôòí àðçðå îâãéøéí àú \L{$F_{i+1}(n_{i})$}
+òáåø \L{$n_{i}$} ÷èï áéåúø òáåøå äôåð÷öéä èøí äåâãøä. ìëï áäëøç \L{$dom(F)=\mathbb{N}$}{[}.
+áôøè, àí \L{$T_{e}^{G}(n)$} ìà òåöøú, ð÷áì àú äãøéùä.
+\end{enumerate}
+
+éù ùìá \L{$i$} ùáå èéôìðå áîëåðä \L{$e$}. éù ùúé àôùøåéåú. àí äééðå
+áî÷øä á' àæ \L{$T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$} àéðä òåöøú. àéìå äééúä òåöøú,
+ìôé äàáçðä ùøùîðå äéä \L{$\sigma\subseteq G$} ñåôé ëê ù\L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$}
+òåöøú, åîëéååï ùì\L{$G_{i}$} åì\L{$\sigma$} äøçáä îùåúôú \L{$G$}
+äï îúééùáåú áñúéøä ìäðçä ùàðçðå áî÷øä á'. àí äééðå áî÷øä à' àæ éù
+\L{$\sigma_{i}\subseteq G$} ñåôéú )ùäéà æàú ùîåôéòä ááðéä áùìá ä\L{$i$}(
+ëê ù\L{$F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$}. 
+
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+\L{$degG$} àéðå ðéúï ìäùååàä òí \L{$degF$}. ðåúø ìäøàåú \L{$degF\le0^{\prime}$}.
+\end{corollary}
+
+\section{úåøú ø÷åøñéä - äîùê}
+
+äúçìðå ìäåëéç: ÷ééîåú ãøâåú \L{$0\le a,b\le0^{\prime}$} ëê ù-\L{$a,b$}
+àéðï ðéúðåú ìäùååàä åðñîï \L{$a|b$}. áðéðå ùúé ôåð÷öéåú \L{$F,G$}
+ëê ù-\L{$F\not\le_{R}G$} å-\L{$G\not\le_{R}F$}. ðåúø ìáãå÷ ù-\L{$degF,degG\le0^{\prime}$}.
+ëãé ìäáèéç ùäôåð÷öéåú áìúé ðéúðåú ìäùååàä äéä öøéê ìäâùéí ùðé ñåâé
+úðàéí:
+\begin{enumerate}
+\item )e{\beginL 1\endL}( \L{$F\not=f_{T_{e}^{G}}$}
+\item )e{\beginL 2\endL}( \L{$G\not=f_{T_{e}^{F}}$}\end{enumerate}
+\begin{lemma}
+)ìîú äùéîåù( úäé \L{$e$} î\char`\"{}è å-\L{$H,G$} àåáåú. ððéç ùáøéöä
+ùì \L{$T_{e}^{H}(n)$} äôðéåú ìàåø÷ì \L{$H$} îá÷ùåú áãéå÷ àú äòøëéí
+\L{$H(r_{1}),...,H(r_{k})$} ìàéæä \L{$k\in\mathbb{N}$} åððéç ù-\L{$G(r_{i})=H(r_{i})$}
+ìëì \L{$1\le i\le k$}. àæ \L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$}. áôøè:
+àí \L{$T_{e}^{H}(n)$} òåöøú àæ éù \L{$\sigma\subseteq H$} ñåôéú
+ëê ù-\L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$}. 
+
+ëãé ìáðåú àú \L{$F,G$} îñôøðå àú äúðàéí \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$}
+áöåøä çùéáä. àí áùìá \L{$n$} òìéðå ìèôì áúðàé îñåâ e{\beginL 1\endL}
+àæ ðáçø \L{$k$} ìäéåú äøàùåï ùàéðå á\L{$domF_{n}$} åðáçéï áéï ùðé
+î÷øéí. \end{lemma}
+\begin{enumerate}
+\item î÷øä à' - àí ÷ééîú \L{$\sigma$} ñåôéú ëê ù:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\sigma$} îúééùáú òí \L{$G_{n}$} å-
+\item \L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} òåöøú
+\end{enumerate}
+
+àæ ðâãéø \L{$G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$} å- \L{$F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$}
+ëàùø \L{$r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$}.
+
+\item î÷øä á' - àçøú )ëìåîø, àéï \L{$\sigma$} ëð\char`\"{}ì( ðâãéø \L{$F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$}.
+àæ øàéðå ù-\L{$F\not\le_{R}G$}å-\L{$G\not\le_{R}F$} ëàùø \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$}
+å-\L{${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$}. ðåúø ìáãå÷
+ù-\L{$degG,degF\le0^{\prime}$}. ëìåîø òìéðå ìäøàåú ùéù àåá ðì\char`\"{}ç
+ùîîðå \L{$F,G$} çùéáåú. îùé÷åìé ñéîèøéä éñôé÷ ìáãå÷ ùæä ðëåï òáåø
+\L{$F$}.
+\end{enumerate}
+ðâãéø ôåð÷öéä \L{$s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ùäéà äáðéä:
+ëìåîø \L{$s(n)$} îçæéø ìðå ÷åã òáåø \L{$\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $}.
+éñôé÷ ìååãà ù-\L{$s$} çùéáä îàéæä àåá ðì\char`\"{}ç. ððéç ùàðçðå
+éåãòéí àú \L{$s(n)$} åàðçðå øåöéí ìçùá àú \L{$s(n+1)$}. á.ä.ë äùìá
+\L{$e_{n+1}$} äåà îñåâ e{\beginL 1\endL} . ãáø øàùåï \L{$s$} öøéëä
+ìäëøéò àí àðçðå áî÷øä à' àå î÷øä á'. æ\char`\"{}à òìéðå ìãòú ìäëøéò
+àí ÷ééîú \L{$\sigma$} ùîúééùáú òí \L{$G_{n}$} å-\L{$T_{e+1}^{\sigma}(k)$}
+òåöøú )îéäå \L{$k$} éãåò î\L{$s(n)$}(. ãáø øàùåï ðùéí ìá ùäúðàé
+áúåê äñåâøééí äåà ðì\char`\"{}ç {]}á\L{$\sigma$}, àáì îëéååï ù\L{$\sigma$}
+ñåôéú àæ äéà îîù ðì\char`\"{}ç{[}. àáì ìëì éçñ ðì\char`\"{}ç \L{$A(\bar{x},\bar{y})$}
+àæ âí \L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} ðì\char`\"{}ç. ìëï ääëøòä
+äàí àðçðå áî÷øä à' àå áî÷øä á' çùéáä îàåá ðì\char`\"{}ç. àí ðçðå áî÷øä
+á' - àéï áòéä, äëì çùéá. àí àðçðå áî÷øä à' - òìéðå ìîöåà àú \L{$\sigma$}.
+æä ùåá ãáø ùäåà çùéá áàåôï ëììé, ëé àí \L{$A(\bar{x},\bar{y})$} ðì\char`\"{}ç
+å-\L{$\bar{y}$} ëæä ù-\L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} àæ éù
+ôåð÷öéä çùéáä ùîçæéøä \L{$\bar{x}$} ùîòéã òì ëê. ìëï áñä\char`\"{}ë
+\L{$s(n+1)$} çùéáä î\L{$s(n)$} áòæøú äàåá äðì\char`\"{}ç \L{$(\exists\sigma)(...)$}.
+\begin{corollary}
+÷ééîú \L{$0<a<0^{\prime}$}.
+
+àåúä äåëçä áãéå÷ úøàä: ìëì ãøâä \L{$c$} ÷ééîú ãøâä \L{$a$} ëê ù\L{$c<a<c^{\prime}$}. 
+
+äàí àôùø ìîöåà \L{$a$} ëîå áîñ÷ðä ùäéà ðì\char`\"{}ç? úùåáä: ëï.
+åàôùø àôéìå ìãøåù ù-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}. \end{corollary}
+\begin{theorem}
+÷ééîú ãøâú èéåøéðâ ðì\char`\"{}ç \L{$a$} ëê ù-\L{$a\not=0$} å-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}.\end{theorem}
+\begin{proof}
+)øòéåï( ðáðä ÷áåöä \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} áàéðãå÷öéä. áëì ùìá
+\L{$n$} ðåñéó ì÷áåöä ùáðéðå áùìáéí ä÷åãîéí îñôø ùì àéáøéí. äáðéä
+úäéä ëæå ùìâáé ëì àéáø ùäëðñðå ì-\L{$A$} àðçðå îúçééáéí ùäåà ééùàø
+á-\L{$A$}. àáì áàåôï ëììé áùåí ùìá ñåôé ìà ðúçééá ìâáé ùåí îñôø èáòé
+ùäåà ìà ééëðñ ì-\L{$A$} îúéùäå áòúéã. ìôé îä àðçðå îçìéèéí äàí ìäëðéñ
+àéáø ì-\L{$A$} àå ìà )ùæä ãáø ùìà é÷øä(? ëãé ìäáèéç àú äúðàéí ðøöä
+ìååãà ùä÷áåöä \L{$A$} ùàðçðå áåðéí àéðä çùéáä. ìëï ðøöä ìäáèéç ù-\L{$\chi_{A}$}
+ùåðä î\L{$\chi_{E}$} ìëì ÷áåöä çùéáä \L{$E$}. 
+
+äöøä äéà ùàðçðå ìà éëåìéí ìäúî÷ã áôåð÷öéåú îöééðåú ùì ÷áåöåú çùéáåú.
+öøéê ìòáåø òì ëì äôåð÷öéåú äçùéáåú - åáëìì æä àìå ùàéðï ùìîåú. îúé
+ðëðéñ àéáø \L{$k$} ì-\L{$A$}? ìëì î\char`\"{}è \L{$T_{e}$} ðúàéí
+îñôø èáòé \L{$k(e)$} åðøéõ àú \L{$T_{e}(k(e))$}. àí ð÷áì {\beginL 0\endL}
+òåìä äçùã ù\L{$T_{e}$} ôåð÷öéä îöééðú ùì àéæå ÷áåöä å-\L{$T_{e}$}
+çåùáú ù-\L{$k(e)$} ìà á÷áåöä. ìéúø áèçåï, ðëðéñ àú \L{$k(e)$} ì-\L{$A$}
+åæä éáèéç ù\L{$A$} ùåðä îä÷áåöä ù-\L{$T_{e}$} )àåìé( î÷åããú. ä÷åùé
+äòé÷øé - ëéöã ðãò àí \L{$T_{e}(k(e))$} àé ôòí úòöåø?
+
+ëãé ìäáèéç ù-\L{$A$} ùðáðä úäéä ðì\char`\"{}ç ðøöä ìååãà ùäáðéä ùàðçðå
+îðäìéí äéà çùéáä. ìëï ùàìåú îäñåâ \char`\"{}äàí \L{$T_{e}(k(e))$}
+òåöøú\char`\"{} àéðï áàåú áçùáåï. îä äôúøåï? ðùéí ìá ùàí \L{$T_{e}(k(e))$}
+àéðä òåöøú åîçæéøä {\beginL 0\endL}, ìà é÷øä ùåí ãáø øò àí àó ôòí
+ìà ðçìéè ìäëðéñ àú \L{$k(e)$} ì-\L{$A$} ëé áñåó ôùåè \L{$k(e)$}
+ìà éäéä á\L{$A$} åàðçðå áñãø. äùàìä äéà àéê ìà ìú÷åò àú äáðéä àí
+\L{$T_{e}(k(e))$} ìà òåöøú. ëîå úîéã, ðãàâ ìçæåø ì\L{$e$} àéðñåó
+ôòîéí åáëì ôòí ìáöò îñôø çñåí )àáì òåìä ìàéðñåó( ùì öòãéí. àí àé ôòí
+\L{$T_{e}(k(e))$} úòöåø ðãò àí òöøä òì {\beginL 0\endL} àå ìà - àí
+ëï ðëðéñ àú \L{$k(e)$} åàí ìà - ìà ðòùä ëìåí. áãéå÷ ëîå áî÷øä ùáå
+\L{$T_{e}(k(e))$} áëìì ìà òåöøú.
+
+äãøéùä äùðéä, ù-\L{$(degA)^{\prime}=0^{\prime}$} îöøéëä àåúðå ìèôì
+áòåã îùôçä ùì úðàéí: \L{$(2_{e,k})$}- öøéê ìäçìéè äàí \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+òåöøú àå ìà. ððéç ùøåöéí ìèôì áúðàéí àìä. øåöéí ìãòú äàí \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+òåöøú àå ìà. àáì àéôä \L{$A$} åàéôä àðçðå?? )àìéáà ã'çñåï(. áùìá
+ñåôé äúçééáðå ø÷ ìâáé îñôø ñåôé ùì \L{$A_{i}$} ùäí á\L{$A$}. ððñä
+ìçùá àú \L{$T_{e}^{A}(k)$} - àú æä âí ëï àé àôùø ìçùá. àú æä ðôúåø
+ëîå ÷åãí. ðèôì áúðàé \L{$2_{e,k}$} àéðñåó ôòîéí åëì ôòí ðøéõ àú äîëåðä
+òåã ÷öú. ëì æä éòæåø áëìì áîùäå àí áñåó, ìâáé ëì \L{$r$} ùòìéå \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+ùàìä äàí \L{$r\in A_{i}$} ð÷áì áãéå÷ àú àåúä äúùåáä âí á\L{$A$}
+)àå ìçìåôéï áëì ùìá áòúéã áå ðçæåø ìèôì á\L{$(2_{e,k})$}.
+
+äîëåðä ùåàìú àú äàåá \L{$A_{i}$} ùàìåú îäöåøä \char`\"{}äàí \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{}
+àå \char`\"{}äàí \L{$r\not\in A_{i}$}?\char`\"{}. îäáðéä - àí \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
+ùàìä \char`\"{}äàí \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} å÷éáìä úùåáä çéåáéú
+àæ äéà úîéã ú÷áì úùåáä çéåáéú ìëì \L{$A_{j}$} òí \L{$i\le j$}. ìëï
+äúùåáåú äéçéãåú ùéëåìåú ìäùúðåú äï úùåáåú ù\L{$A_{i}$} çåùá ù\L{$r\not\in A_{i}$}.
+ì\L{$r$} éù ùéîåù ùìéìé áøéöä ùì \L{$T_{e}^{A_{i}}$} àí \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
+ôåðä ìàåá áùàìä \char`\"{}äàí \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} åî÷áìú
+úùåáä \L{$r\not\in A_{i}$}. ìëì çéùåá ùì øéöä òáåø \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
+{]}áîéìéí àçøåú, ìëì èéôåì áúðàé \L{$2_{e,k}$}{[} ðöååú øùéîä \L{$N_{e,k}$}
+ùì ëì ä\L{$r\in\mathbb{N}$} áäí ðòùä ùéîåù ùìéìé áæîï äøéöä.
+
+ëì òåã \L{$N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$} - àðçðå áñãø. îä ùðøöä
+äåà ìäùúãì ùìà ìäëðéñ àéáøéí î-\L{$N_{e,k}$} ì-\L{$A$}. àáì îä ðòùä
+àí ôúàåí úðàé îñåâ \L{$1$} îçìéè ùäåà øåöä ìäëðéñ ì-\L{$A$} àéáø
+ùùééê ìàéæä \L{$N_{e,k}$}? ðçìéè òì ñãø ÷ãéîåéåú. ðîñôø àú ëì äúðàéí
+ùìðå )ëîå áäåëçú äîùôè ä÷åãí( åðøùä ìúðàé îñåâ \L{$1_{e}$} ìôöåò
+÷áåöä îñåâ \L{$N_{e,k}$} ø÷ àí äîñôø äñéãåøé ùì \L{$1_{e}$} ÷èï
+îæä ùì \L{$2_{e,k}$}. 
+\end{proof}
+
+\section{úåøú ø÷åøñéä - äîùê}
+
+)äîùê øòéåï ääåëçä îùéòåø ùòáø(
+\begin{itemize}
+\item úäé \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$} øùéîä ùì ëì äúðàéí \L{$1_{e},2_{e,k}$}
+ëê ùëì úðàé îåôéò àéðñåó ôòîéí. àéï áòéä ìééöø øùéîä ëæå áàåôï çùéá.
+\item ðáçø ôòí àçú åìúîéã çìå÷ä ùì \L{$\mathbb{N}$} ìàéðñåó ÷áåöåú àéðñåôéåú
+æøåú. âí àú æä àôùø ìòùåú áàåôï çùéá. {]}ìîùì \L{$a\in A_{n}$} àí
+\L{$n=Pr^{L}(a)$} - ùéèú äàìëñåï ùì ÷åùé{[}.
+\item øàùéú, ðúàø áäéðúï úðàé îäöåøä \L{$1_{e}$} ëéöã ðáçø \L{$k$} ùòáåøå
+ððñä ìçùá àú \L{$T_{e}(k)$}. àí \L{$e$} äéà äîëåðä ä-\L{$n$}-éú
+áàéæä îñôåø )çùéá( ùì äôåð÷öéåú äçùéáåú àæ ðáçø àú \L{$k$} î-\L{$A_{n}$}
+. ùðéú, ðãøåù ù-\L{$k$} îñôé÷ âãåì ëê ùàéðå îåôéò áùåí \L{$2_{e,k}$}
+- äëøæä ùäú÷áìä òã ëä ááðéä.
+\item òëùéå ðúàø àú äùìá ä-\L{$n$} ááðéä:
+
+\begin{itemize}
+\item \uline{î÷øä à'} - äùìá ä-\L{$n$} äåà îäöåøä \L{$1_{ei}$}.
+
+\begin{enumerate}
+\item ëáø äëðñðå îñôø î-\L{$R_{i}$} ì-\L{$A$} - ìà òåùéí ëìåí.
+\item àí ÷ééí \L{$k\in R_{i}$} ëê ù-\L{$k<n$} å-\L{$T_{ei}(k)=0$}, îú÷áì
+àçøé ôçåú î-\L{$n$} öòãéí. áðåñó \L{$k$} ìà ùééê ìùåí \L{$2_{e,k}$}
+- äëøæä ùîñôøä äñéãåøé ÷èï îîñôåø äñéãåøé ùì \L{$1_{ei}$}. {]}áø÷ò
+éù ìðå îñôåø çùéá ùì ëì äãøéùåú ùìðå, ìîùì äîñôåø äñéãåøé ùì äãøéùä
+\L{$c_{i}$} - áîñôåø ù÷áòðå áäúçìä - éëåì ìäéåú äàéðã÷ñ äøàùåï \L{$i_{0}$}
+ëê ùäúðàé á-\L{$c_{i}$} ùååä ìúðàé á-\L{$c_{i_{0}}$}{[}. áî÷øä äæä
+- ðëðéñ àú \L{$k$} ì-\L{$A$} åëîåáï ù\char`\"{}ðôöò\char`\"{} )ðñîï(
+ëì \L{$2_{e,k}$} - äëøæä ùäîñôø äñéãåøé ùìä âãåì îæä ùì \L{$1_{ei}$}
+å-\L{$k$} ùééê ìäëøæä.
+\item àçøú - ìà ðòùä ëìåí.
+\end{enumerate}
+\item \uline{î÷øä á'} - àí \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} )ëàùø \L{$A_{n-1}$}
+ä÷áåöä ùçéáøðå òã ëä( òåöøú àçøé \L{$n$} öòãéí, àæ ðâéù \L{$2_{e,k}$}
+- äëøæä ùîúàéîä ìçéùåá. {]}ëìåîø îëéðéí äëøæä åáä ëì äîñôøéí \L{$l\in\mathbb{N}$}
+ëê ùáîäìê äçéùåá \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} ôðúä ìàåá åùàìä \char`\"{}äàí
+\L{$l\in A_{n-1}$}\char`\"{} å÷éáìä úùåáä ùìéìéú{[}.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\begin{claim}
+ä÷áåöä \L{$A$} ùð÷áì áñåó äáðéä òåðä òì ëì äúðàéí \L{$1_{e},2_{e,k}$}. \end{claim}
+\begin{proof}
+ððéç ùéù ìðå úðàé \L{$1_{e_{i}}$}. àí áùìá ëìùäå äëðñå ì-\L{$A$}
+îñôø \L{$k$} î-\L{$R_{i}$} æä àåîø ùîöàðå ù-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}
+åäëðñðå àú \L{$k$} ì-\L{$A$} åìëï \L{$\chi_{A}(k)=1$} åàðçðå áñãø.
+
+àæ ððéç ùàéï \L{$k\in R_{i}$} ùäåëðñ ì-\L{$A$}. ðáçø \L{$k\in R_{i}$}
+âãåì îñôé÷ ëãé ù-\L{$k$} àéðå îåôéò áàó \L{$2_{e,k}$} - äëøæä òí
+àéðã÷ñ ÷èï îäàéðã÷ñ ùì \L{$1_{ei}$}. 
+
+îãåò éù \L{$k$} ëæä? ðùéí ìá ùàí \L{$n$} äåà äàéðã÷ñ ùì \L{$2_{e,l}$}
+àæ ëì úðàé òí àéðã÷ñ \L{$m<n$} éëåì \char`\"{}ìôöåò\char`\"{} äëøæä
+ùì \L{$n$} ìëì äéåúø ôòí àçú. àí äúðàé òí àéðã÷ñ \L{$n$} ôöò äëøæä
+ëìùäé æ\char`\"{}à ùäúðàé äëðéñ àéáø ëìùäå ì-\L{$A$} åìôé ){\beginL 1\endL}(
+ùì î÷øä à' ìòåìí ìà ðçæåø ìèôì áúðàé òí àéðã÷ñ \L{$n$}. áñä\char`\"{}ë
+àú ä-\L{$2_{e,l}$} äëøæåú ðéúï \char`\"{}ìôöåò\char`\"{} ìëì äéåúø
+\L{$n$} ôòîéí. ìëï éù ìëì äéåúø \L{$n+1$} äëøæåú \L{$2_{e,l}$}.
+áñä\char`\"{}ë ìëì úðàé ùäåà éù ìëì äéåúø îñôø ñåôé ùì äëøæåú ùì úðàéí
+òí àéðã÷ñ ÷èï éåúø. ìëï éù \L{$k$} ëîå ùàðçðå øåöéí åòáåø \L{$k$}
+ëæä ìà ééúëï ù-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}. îãåò? àéìå æä äéä îú÷ééí ìôé
+î÷øä )à'{\beginL 2\endL}( äééðå îëðéñéí àú \L{$k$} ì-\L{$A$} áñúéøä
+ìäðçä. ìëï òì äúðàéí \L{$1_{e}$} îú÷ééîéí.
+
+îä á÷ùø ìúðàéí \L{$2_{e,k}$} ? ðàîø ù-\L{$2_{e,k}$} äëøæä äéà ÷áåòä
+àí äéà æøä ì-\L{$A$}. ðøàä ù-\L{$T_{e}^{A}(k)$} òåöøú àí åø÷ àí
+÷ééîú \L{$2_{e,k}$} äëøæä ÷áåòä. 
+
+àí ÷ééîú \L{$2_{e,k}$} äëøæä ÷áåòä æ\char`\"{}à ù÷ééí àéæä ùìá \L{$n$}
+ááðéä ùáå \L{$T_{e}^{A_{n-1}}$} òöøä )àçøé \L{$n$} öòãéí( åéöøä
+àú ääëøæä. ëéååï ùääëøæä ÷áåòä, ìëì \L{$r\in\mathbb{N}$} ëê ù-\L{$T_{e}^{A_{n-1}}$}
+ôðúä ìàåá áùàìä \char`\"{}äàí \L{$r\in A_{n-1}$}?\char`\"{} äàåá
+\L{$A$} éçæéø àú àåúä äúùåáä. ìëï ìôé ò÷øåï äùéîåù \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+òåöøú. 
+
+áëéååï äùðé àí \L{$T_{e}^{A}(k)$} òåöøú )ðàîø àçøé \L{$n$} öòãéí(
+àæ ìëì \L{$c_{i}$} ëê ùäúðàé á-\L{$c_{i}$} äåà \L{$2_{e,k}$} å-\L{$i>n$},
+äáðéä áî÷øä á' úééöø \L{$2_{e,k}$} - äëøæä. )åáúðàé ùáùìá ä-\L{$i$}
+ëáø ðëðñå ì-\L{$A$} ëì äàéáøéí ùáäí ðòùä ùéîåù çéåáé áçéùåá ùì \L{$T_{e}^{A}(k)$}.
+
+àáì îäãéåï ä÷åãí, ëì úðàé éëåì ìééöø ìëì äéåúø îñôø ñåôé ùì äëøæåú.
+àæ äàçøåðä îáéðéäï ùäëøç ìà úùúðä, æ\char`\"{}à úäéä ÷áåòä.
+
+òã òúä: áðéðå àú \L{$A$}, äøàðå ù-\L{$A$} î÷ééîú àú äúðàéí \L{$1_{e}$}
+åàú \L{$2_{e,k}$} )ìôé à' äð\char`\"{}ì( åáøåø ùäáðéä çùéáä. ëéååï
+ù-\L{$A$} î÷ééîú àú \L{$1_{e}$} ìëì \L{$e$}, áøåø ù-\L{$A$} àéðä
+çùéáä. ëéååï ùäáðéä çùéáä, àí ðâãéø \L{$s(n)$} ìäéåú ä÷áåöä \L{$A_{n}$}
+ùäú÷áìä áùìá ä-\L{$n$} ùì äáðééä ð÷áì ù-\L{$A$} ðì\char`\"{}ç, ëé
+\L{$s(n)$} çùéáä.
+
+ðåúø ìååãà ù-\L{$deg(A^{*})\le0$}. øàéðå áúøâéì {\beginL 11\endL}
+èòðä ùàåîøú ùàí \L{$A^{*}=dim(B_{i})$} òáåø \L{$i\in\mathbb{N}$}
+ëê ù-\L{$B_{i}$} çùéáä î{\beginL -\endL}\L{$A$} àæ \L{$deg(A^{*})\le0^{\prime}$}.
+ðâãéø \L{$\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$}àí åø÷ àí áùìá
+ä-\L{$i$} ùì äáðééä éù \L{$2_{e,k}$} - äëøæä ùàéððä ôöåòä. ëéååï
+ùäáðéä çùéáä \L{$B_{i}$} éçñ çùéá. ìôé )à( äð\char`\"{}ì \L{$T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$}
+òåöøú àí åø÷ àí \L{$dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$}.\end{proof}
+\begin{theorem}
+ìëì ãøâä \L{$0^{\prime}\le a$} ÷ééîú ãøâä \L{$b$} ëê ù-\L{$b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$}.
+\end{theorem}
+\uline{øòéåï ääåëçä}: ðáçø \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ëê ù-\L{$deg(g)=a$}, àôùø ìáçåø \L{$g$} ëæå ùìîä. ðøöä ìáðåú \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+ëê ù-\L{$f^{*}$} çùéáä î-\L{$0^{\prime}\cup deg(f)$} å-\L{$g$}
+çùéáä î-\L{$f^{*}$}.
+
+ðøöä ìäâùéí ùðé ñåâéí úðàéí:
+\begin{itemize}
+\item \L{$1_{e,k}$} - ìäçìéè äàí \L{$T_{e}^{f}(k)$} òåöøú
+\item \L{$2_{n}$} - ìååãà ù-\L{$f(m)=g(n)$} ìàéæä \L{$m\in\mathbb{N}$}.
+\end{itemize}
+ëøâéì ðîñôø àú äúðàéí \L{$\{c_{i}\}$}, åáùìá ä-\L{$i$} àí àðå áúðàé
+\L{$1_{e,k}$} åéù \L{$\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ñåôéú
+ùîúééùáú òí \L{$f_{i-1}$} ëê ù-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} òåöøú, ðâãéø
+\L{$f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$} åàçøú ðâãéø \L{$f_{i}=f_{i-1}$}. åàí
+áùìá ä-\L{$i$} àðå áúðàé \L{$2_{n}$} àæ ðáçø \L{$m$} îæòøé ëê ùàéðå
+áúçåí ùì \L{$f_{i-1}$} åðâãéø \L{$f_{i}(m)=g(n)$}. ìñéëåí: éåöà
+ùäáðéä çùéáä î-\L{$0^{\prime}\cup a=a$} åçùéáä âí î-\L{$0^{\prime}\cup b$}.
+
+~
+\begin{proof}
+úäé \L{$g$} ëð\char`\"{}ì åðîöà ôåð÷öéä \L{$f$} ëê ù-\L{$deg(f)$}
+úòðä òì äãøéùåú.
+
+\L{$b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$} åìëï éñôé÷ ìîöåà \L{$b$} ëê
+ù-\L{$b^{\prime}\le a\le b$}. îæä ðáèéç ùéù ùéååéåðåú ìëì àåøê äãøê.
+àæ öøéê ìîöåà \L{$b$} ëê ù-\L{$b^{\prime}$} çùéáä î-\L{$b$} åî-\L{$0^{\prime}$}. 
+
+ëøâéì ðîñôø àú äúðàéí )ëåìí áéçã( áîñôåø çùéá \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$}
+åððéç ùìëì \L{$i\le n$} áðéðå ôåð÷öéä \L{$f_{i}$} )òí úçåí ñåôé(
+ëê ù-\L{$f_{i}\subseteq f_{j}$} àí \L{$i\le j$}.
+
+\uline{áðééú \L{$f_{n+1}$}:}
+\begin{itemize}
+\item àí \L{$e_{n+1}$} äåà úðàé îñåâ \L{$1_{e,k}$}: ðáãå÷ äàí éù \L{$\sigma$}
+ñåôéú ùîúééùáú òí \L{$f_{n}$} ëê ù-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} òåöøú.
+àí ëï, ðâãéø \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$} àçøú ðâãéø \L{$f_{n+1}=f_{n}$}.
+\item àí \L{$e_{n+1}$} äåà úðàé îñåâ \L{$2_{k}$} àæ ðîöà \L{$m$} îæòøé
+ùàéððå áúçåí ùì \L{$f_{n}$} åðâãéø \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $}.
+ðâãéø \L{$f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$} åàæ \L{$f$}
+ôåð÷öéä ùìîä.
+\end{itemize}
+
+ëãé ìîîù àú äáðéä:
+\begin{itemize}
+\item àí àðçðå áúðàé \L{$1_{e,k}$} öøéê ìãòú äàí ÷ééí \L{$\sigma$} ëæä.
+ëãé ìòðåú òì äùàìä äæå àðå éëåìéí î-\L{$0^{\prime}$}.
+\item àí àðçðå áúðàé îñåâ \L{$2_{k}$}, àéï áòéä ìîöåà àú \L{$m$}. ëì îä
+ùöøéê æä ìçùá àú \L{$g(k)$} åàú æä àôùø ìòùåú î-\L{$g$}.
+\end{itemize}
+
+ðùàø ìäøàåú ëé àú \L{$b^{\prime}$} ðéúï ìçùá î-\L{$b$} åî-\L{$0^{\prime}$}
+àáì \L{$b^{\prime}=deg(f^{*})$} å-\L{$f^{*}$} æäå äàåá ùòåðä ìëì
+ùàìä îäöåøä \char`\"{}äàí \L{$T_{e}^{f}(k)$} òåöøú?\char`\"{}. øàùéú
+àí àðå éåãòéí àú äáðéä ùì \L{$t$} àæ àðå éåãòéí ìòðåú òì ëì äùàìåú
+îäöåøä äð\char`\"{}ì. àáì äáðéä çùéáä âí î-\L{$0^{\prime}$} åâí î-\L{$b^{\prime}$}
+)áéçã( åìëï \L{$b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$} ëðãøù.
+
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+äôåð÷öéä \L{$a\rightarrow a^{\prime}$} àéððä çç\char`\"{}ò.\end{corollary}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.3.1

