From 4e8805e241c93f306016a51872362e35ffe13866 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yuval Adam <yuv.adm@gmail.com>
Date: Sun, 26 Oct 2014 17:43:34 +0200
Subject: Initial Lyx, LaTeX and PDF files

---
 notes.lyx | 19565 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 notes.pdf |   Bin 0 -> 379396 bytes
 notes.tex |  3143 ++++++++++
 3 files changed, 22708 insertions(+)
 create mode 100644 notes.lyx
 create mode 100644 notes.pdf
 create mode 100644 notes.tex

diff --git a/notes.lyx b/notes.lyx
new file mode 100644
index 0000000..99e5308
--- /dev/null
+++ b/notes.lyx
@@ -0,0 +1,19565 @@
+#LyX 2.1 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
+\lyxformat 474
+\begin_document
+\begin_header
+\textclass heb-article
+\begin_preamble
+\date{}
+\end_preamble
+\use_default_options true
+\maintain_unincluded_children false
+\language hebrew
+\language_package default
+\inputencoding auto
+\fontencoding global
+\font_roman default
+\font_sans default
+\font_typewriter default
+\font_math auto
+\font_default_family default
+\use_non_tex_fonts false
+\font_sc false
+\font_osf false
+\font_sf_scale 100
+\font_tt_scale 100
+\graphics default
+\default_output_format default
+\output_sync 0
+\bibtex_command default
+\index_command default
+\paperfontsize default
+\spacing single
+\use_hyperref false
+\papersize default
+\use_geometry false
+\use_package amsmath 1
+\use_package amssymb 1
+\use_package cancel 1
+\use_package esint 1
+\use_package mathdots 0
+\use_package mathtools 1
+\use_package mhchem 1
+\use_package stackrel 1
+\use_package stmaryrd 1
+\use_package undertilde 1
+\cite_engine basic
+\cite_engine_type default
+\biblio_style plain
+\use_bibtopic false
+\use_indices false
+\paperorientation portrait
+\suppress_date false
+\justification true
+\use_refstyle 0
+\index אינדקס
+\shortcut idx
+\color #008000
+\end_index
+\secnumdepth 3
+\tocdepth 3
+\paragraph_separation indent
+\paragraph_indentation default
+\quotes_language english
+\papercolumns 1
+\papersides 1
+\paperpagestyle default
+\tracking_changes false
+\output_changes false
+\html_math_output 0
+\html_css_as_file 0
+\html_be_strict false
+\end_header
+
+\begin_body
+
+\begin_layout Title
+אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+ד"ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב
+\end_layout
+
+\begin_layout Author
+יובל אדם
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\lang english
+\begin_inset Box Frameless
+position "t"
+hor_pos "c"
+has_inner_box 1
+inner_pos "t"
+use_parbox 0
+use_makebox 0
+width "100col%"
+special "none"
+height "1in"
+height_special "totalheight"
+status open
+
+\begin_layout Quote
+
+\lang english
+Young man, in mathematics you don't understand things.
+\begin_inset Newline newline
+\end_inset
+
+You just get used to them.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Quote
+
+\lang english
+- John von Neumann
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset CommandInset toc
+LatexCommand tableofcontents
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פרולוג
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות.
+ )נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין מה זה אומר על פרק זה...(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נא להתחשב בסביבה.
+ נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח העמודים הנדרש.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+הערות/טענות/בקשות - כתובת המייל שלי היא 
+\begin_inset Formula $yuv.adm$
+\end_inset
+
+ ולאחר מכן 
+\begin_inset Formula $gmail.com$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+שאו ברכה, עלו והצליחו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+הגדרות
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מבנה לשפה מסדר ראשון 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ שם עצם.
+ אז הערך של 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ עבור ההשמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ הוא:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ אז
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $t=f(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+יהיו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ , ו-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ותהי 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה ב-
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ אז ערך האמת של )
+\lang english
+TRUE
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ או 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+FALSE
+\lang hebrew
+( של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ עבור ההשמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ מוגדר באינדוקציה באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית, כלומר 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ עבור הסימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ ושמות עצם 
+\begin_inset Formula $t_{1},...,t_{n}$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
+\end_inset
+
+ עבור נוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x)\psi$
+\end_inset
+
+ )כלומר הנוסחה היא מסוג "קיים איקס" וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר( אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $s\left[{x\atop a}\right]$
+\end_inset
+
+ הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ שאינו 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ את הערך 
+\begin_inset Formula $s(y)$
+\end_inset
+
+ ולמשתנה האישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ את הערך 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ )כלומר רק מחליפה את 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+(.
+ הגדרה שקולה: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר נגדיר שרירותית 
+\begin_inset Formula $F<T$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\noindent
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\forall x)\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+הגדרה שקולה: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+הערות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס 
+\begin_inset Formula $\approx$
+\end_inset
+
+ אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+כמוסכמה: אם אומרים ש
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב הפסוקים בד"כ לא נציין במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח
+ שהוא שם
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון.
+ יש משפטים שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה.
+ בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב הפסוקים ותהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת נוסחאות ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ )לאו דווקא סופית(.
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+(satisfiable)
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ אם קיים מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ לשפה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ וקיימת השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ )לפעמים נשמיט את ההשמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ מן הסימונים(.
+ דוגמאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $L=\{R\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $
+\end_inset
+
+ זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ )לא מכוון( נגדיר מבנה 
+\begin_inset Formula $M_{G}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: העולם של 
+\begin_inset Formula $M_{G}$
+\end_inset
+
+ יהיה 
+\begin_inset Formula $V(G)$
+\end_inset
+
+ )קבוצת הקודקודים של 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+( והיחס 
+\begin_inset Formula $R^{M_{G}}$
+\end_inset
+
+ יהיה 
+\begin_inset Formula $E(G)$
+\end_inset
+
+ )קבוצת הקשתות(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $L=\{\approx\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T_{3}$
+\end_inset
+
+ ספיקה כי כל קבוצה בת פחות מ-
+\numeric on
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+איברים מספקת אותה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $L=\{<\}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+DLO & = & \left\{ \begin{array}{c}
+\forall x\neg(x,x),\\
+\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\
+\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\
+\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\
+\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y)
+\end{array}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אשר הינו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+dense linear order
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ אז מתקיים 
+\begin_inset Formula $(\mathbb{Q},\le)\models DLO$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ו- 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז נאמר ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מודל של 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+פסוק בשפה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ זו נוסחה ללא משתנים חופשיים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+המשתנים החופשיים בשם עצם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+, נסמנם 
+\begin_inset Formula $Free(t)$
+\end_inset
+
+, הם אוסף כל המשתנים המופיעים ב-
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ )קשר לוגי דו מקומי כלשהו( אז 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x)\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\forall x)\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\psi)$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\notin Free(\psi)$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$
+\end_inset
+
+ אחרת.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+תחשיב היחסים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+לפסוק )שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה( יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה, ללא
+ כל תלות בהשמה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ תקרא 
+\bar under
+אמיתית לוגית 
+\bar default
+אם לכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ )לשפה של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+( ולכל השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: אם 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ סימן יחס חד-מקומי אז 
+\begin_inset Formula $P(x)\vee\neg P(x)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ מדוע? יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+מבנה עבור 
+\begin_inset Formula $\{P\}$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה עבור 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\
+ &  & =TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: נניח ש
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ נוסחה עם משתנה חופשי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי שאינו מופיע ב
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית )אם 
+\begin_inset Formula $\varphi(c)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית - ייתכן שזה לא נדרש(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: 
+\begin_inset Formula $\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$
+\end_inset
+
+ - אז לפי הגדרת האמת ולפי הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית.
+ מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה על היצירה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ )הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים( מראים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\psi=\neg\psi^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ עבור קשר לוגי דו מקומי אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אבל 
+\begin_inset Formula $(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$
+\end_inset
+
+ לפי משפט הקריאה היחידה אינו מהצורה א' או ב' לכן אם הוא מתקבל ע"י החלפה
+ כנ"ל מפסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים, 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ הוא בהכרח פסוק יסודי.
+ אבל פסוק יסודי )משתנה פסוקי( אינו טאוטולוגיה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+טאוטולוגיה )הגדרה שקולה לשאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+5
+\numeric off
+(: נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+היא טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה 
+\begin_inset Formula $\psi(P_{1},...,P_{k})$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים )הסימון הזה אומר ש
+\begin_inset Formula $P_{1},...,P_{k}$
+\end_inset
+
+ הם כל המשתנים הפסוקיים המופיעים ב
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+( )למשל: 
+\begin_inset Formula $\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$
+\end_inset
+
+( ונוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ )של תחשיב היחסים( כך ש- 
+\begin_inset Formula $\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מתקבלת ע"י החלפת כל מופע של 
+\begin_inset Formula $P_{i}$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+משפט הקריאה היחידה: תהי 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק אחד מן הבאים מתקיים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימות נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ יחידות וקשר לוגי דו מקומי יחיד 
+\begin_inset Formula $\square$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימת נוסחה יחידה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימת נוסחה יחידה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\exists x\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קיימת נוסחה יחידה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\varphi=\forall x\varphi_{1}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב )בשפת התכנות החביבה עליכם(
+ שבהינתן נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ בתחשיב הפסוקים בודקת האם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ טאוטולוגיה של תחשיב היחסים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+)רמז( בהינתן נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע האם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ טאוטולוגיה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+דברים שצריך בשביל העבודה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+)שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\numeric off
+( תהיינה 
+\begin_inset Formula $\Gamma,\Delta$
+\end_inset
+
+ קבוצות פסוקים.
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
+\end_inset
+
+ )גורר( אם לכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ ולכל השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ מתקיים: אם 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\Delta$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+דוגמה: אם ב
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ל
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ כנ"ל אם 
+\begin_inset Formula $\Delta\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז ב
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אינה ספיקה אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\Delta$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ )באופן ריק(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi\models\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\models\varphi\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\varphi\models\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ הכיוון השני גם נכון.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+)שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+( אפשר לחשוב על 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ כעל מבנה לשפה 
+\begin_inset Formula $\{R\}$
+\end_inset
+
+ עבור יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ גרף סופי קיים פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi_{G}$
+\end_inset
+
+ בשפה הנ"ל כך שלכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ בשפה , אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{G}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\cong G$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תזכורת: יהיו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M},\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ מבנים לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ של תחשיב היחסים.
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ )איזומורפיים( אם קיימת פונקציה חח"ע ועל 
+\begin_inset Formula $f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ לכל קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+לכל סימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle  & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+לכל סימן פונקציה n-מקומי 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n}))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+הכנה לשיעור הבא:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת נוסחאות ספיקה ו
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+ ספיקה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה ו-
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$
+\end_inset
+
+ ספיקה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם ב
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ יש פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ שאינו ספיק אז בוודאי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אינה ספיקה
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+משפט הקומפקטיות: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ )כלומר אם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+( אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה אם ורק אם כל 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+קומפקטיות ומסננים
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\series bold
+\bar under
+משפט הקומפקטיות
+\series default
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ )כלומר אם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+אז גם 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+( אזי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה אם ורק אם כל 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כלומר כל מודל של 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ הוא מודל של 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ולהיפך
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ קבוצת הפסוקים המתקבלת מ
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: לכל 
+\begin_inset Formula $1\le k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ , ב
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ יהיה הפסוק 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ נשים לב ש
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? יהיו 
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ לפי ההגדרה של 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ יש מספרים טבעיים 
+\begin_inset Formula $1\le k_{1},k_{2}$
+\end_inset
+
+ ופסוקים 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$
+\end_inset
+
+ כך ש- 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\Theta_{i} & = & \begin{cases}
+\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\
+\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+מכיוון ש-
+\begin_inset Formula $\Theta_{i}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ גמרנו.
+ 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש
+\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ מספיק להראות שאם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ונניח כמו קודם 
+\begin_inset Formula $\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ כלשהו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אזי:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ מתקיים אמ"ם לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית שלה היא ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט הקומפקטיות - נוסח שקול( קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ היא ספיקה מקומית אם ורק אם היא ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים ספיקה מקומית.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כמובטח בטענה, כלומר 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+.
+ מספיק להראות לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ הוא ספיק.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי ההנחה 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים ספיקה.
+ לכן יש מודל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+ לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת חיתוך וכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ספיק.
+ לפי משפט הקומפקטיות עבור 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ יש 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נוכיח את הכיוון השני )שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות(.
+ נניח 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ מקיימת את ההנחות כלומר 
+\begin_inset Formula $\Gamma^{\prime}$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\wedge$
+\end_inset
+
+ וכל פסוק בה ספיק.
+ יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית.
+ נוכיח באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ שכל קבוצת פסוקים מגודל 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ היא ספיקה.
+ עבור 
+\begin_inset Formula $k=1$
+\end_inset
+
+ - נתון.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל 
+\begin_inset Formula $k-1$
+\end_inset
+
+ שהיא ספיקה.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת חיתוך 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\begin_inset Formula $\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$
+\end_inset
+
+ היא קבוצה בגודל 
+\begin_inset Formula $k-1$
+\end_inset
+
+ ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה.
+ אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Delta$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i\ge3$
+\end_inset
+
+ וכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ .
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית וע"ס הנוסח השקול - ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה )בד"כ אינסופית אבל לא בהכרח(.
+ מסנן )
+\lang english
+filter
+\lang hebrew
+( על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ זו קבוצה 
+\begin_inset Formula $F\subseteq\mathbb{P}(I)$
+\end_inset
+
+ )כלומר אוסף של תת קבוצות של 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+( כך שמתקיים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $J\in F$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $J\subseteq J^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $J^{\prime}\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $J,J^{\prime}\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $J\cap J^{\prime}\in F$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם בנוסף לכל 
+\begin_inset Formula $J\subseteq I$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $J\not\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $I\backslash J\in F$
+\end_inset
+
+ - אז 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ נקרא על מסנן.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+דוגמאות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה כלשהי.
+ לכל 
+\begin_inset Formula $a\in I$
+\end_inset
+
+ נגדיר על מסנן 
+\begin_inset Formula $F_{a}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: 
+\begin_inset Formula $J\subseteq I,J\in F$
+\end_inset
+
+ אמ"ם 
+\begin_inset Formula $a\in J$
+\end_inset
+
+ .)הערה: על מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ נקרא ראשי אם קיים 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $F=F_{a}$
+\end_inset
+
+(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ סופית אז כל על מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ הוא ראשי.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ סופית גם 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ סופית ולכן באינדוקציה לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\numeric off
+: 
+\begin_inset Formula $J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $J_{F}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $J_{F}$
+\end_inset
+
+ יחידון - גמרנו.
+ נניח בשלילה שזה לא המקרה.
+ אחרת יש
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+איברים שונים ב
+\begin_inset Formula $J_{F}$
+\end_inset
+
+ )לפחות(.
+ ניקח 
+\begin_inset Formula $J\subseteq I$
+\end_inset
+
+ שמכילה את הראשון אבל לא את השני.
+ לא 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ ולא המשלים של 
+\begin_inset Formula $J$
+\end_inset
+
+ יכולים להיות ב
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ כי כל קבוצה ב
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מכילה את 
+\begin_inset Formula $J_{F}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה אינסופית.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$
+\end_inset
+
+.
+ תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה.
+ 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ אזי קיים על מסנן 
+\begin_inset Formula $F\subseteq F^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות כל מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ ניתן להרחבה לעל מסנן.
+ )הוכחה בשיעור הבא(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מסננים והלמה של צורן
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה )לא ריקה( אז 
+\series bold
+מסנן
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ זה אוסף של תת קבוצות של 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $U_{1}\wedge U_{2}\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $U\in F$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $U\subseteq V$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $V\in F$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ הוא על-מסנן אם לכל 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $V\not\in F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $I\backslash V\in F$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Lemma
+
+\bar under
+הלמה של צורן
+\bar default
+ - תהי 
+\begin_inset Formula $(I,\le)$
+\end_inset
+
+ קבוצה סדורה חלקית.
+ 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I$
+\end_inset
+
+ תקרא שרשרת אם לכל 
+\begin_inset Formula $v_{1},v_{2}\in V$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $v_{1}\le v_{2}$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $v_{2}\le v_{1}$
+\end_inset
+
+.
+ אז נניח שלכל שרשרת 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל, כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $w\in I$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $w\ge V$
+\end_inset
+
+ )כלומר 
+\begin_inset Formula $w\ge v$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $v\in V$
+\end_inset
+
+(.
+ אזי ב
+\begin_inset Formula $(I,\le)$
+\end_inset
+
+ יש איבר מירבי, כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $u\in I$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $u\not=v\in I$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $u\not\le v$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה ו- 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ אזי קיים על-מסנן 
+\begin_inset Formula $F\subseteq U$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות, כל מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ ניתן להרחבה לעל-מסנן.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ קבוצת כל המסננים על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+.
+ לאינטואיציה: 
+\begin_inset Formula $F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$
+\end_inset
+
+.
+ על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ אפשר להגדיר סדר חלקי ע"י הכלה.
+ כלומר, ל-
+\begin_inset Formula $F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $F_{1}\le F_{2}$
+\end_inset
+
+ אם לכל 
+\begin_inset Formula $V\in F_{1}$
+\end_inset
+
+ מתקיים גם 
+\begin_inset Formula $V\in F_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ אפשר לכתוב גם 
+\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם 
+\begin_inset Formula $V\subseteq\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ שרשרת אז ל
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $F_{V}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+ברור כי 
+\begin_inset Formula $\emptyset\not\in F_{V}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נניח ש 
+\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in F_{V}$
+\end_inset
+
+.
+ קיימים 
+\begin_inset Formula $F_{1},F_{2}\in V$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $U_{1}\in F_{1}$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $U_{2}\in F_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ שרשרת, ב.ה.כ 
+\begin_inset Formula $F_{1}\subseteq F_{2}$
+\end_inset
+
+ .
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U_{1}\in F_{2}$
+\end_inset
+
+ לכן גם 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $U\in F_{V}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $U\subseteq W$
+\end_inset
+
+ אז לפי הגדרה קיים איזה 
+\begin_inset Formula $F\in V$
+\end_inset
+
+ כך ש- 
+\begin_inset Formula $U\in F$
+\end_inset
+
+.
+ לכן גם 
+\begin_inset Formula $W\in F$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $W\in F_{V}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הראנו שלכל שרשרת ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל, כי ברור 
+\begin_inset Formula $F_{V}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $F\subseteq F_{V}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $F\in V$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $F_{V}$
+\end_inset
+
+ חסם מלעיל ל-
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+.
+ לפי הלמה של צורן, ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ יש איבר מירבי, נסמנו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ על מסנן.
+ נניח בשלילה שהוא לא.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן ולכן הנחת השלילה מבטיחה שיש קבוצה 
+\begin_inset Formula $U\subseteq I$
+\end_inset
+
+ כך ש- 
+\begin_inset Formula $U\not\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $I\backslash U\not\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ נשים לב כי במקרה זה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ הוא מסנן? 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוכיח ש
+\begin_inset Formula $\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ הרי שהיא מהצורה 
+\begin_inset Formula $U\cap V$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אז 
+\begin_inset Formula $V\subseteq I\backslash U$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $I\backslash U\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ בסתירה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נראה כי אם 
+\begin_inset Formula $U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ ב.ה.כ 
+\begin_inset Formula $U_{1}\not\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U\cap V\subseteq U$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $V$
+\end_inset
+
+ הזו.
+ אם 
+\begin_inset Formula $U_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ וכך גם 
+\begin_inset Formula $U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ אחרת 
+\begin_inset Formula $U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $V_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ .
+ ואז 
+\begin_inset Formula $U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+.
+ קיבלנו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$
+\end_inset
+
+ סתירה.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ על מסנן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+)הרחבה( אם 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ אוסף המסננים המכילים את 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ באופן טריויאלי לכל שרשרת ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{H_{F}}$
+\end_inset
+
+)כי כל שרשרת כזו היא שרשרת של איברים שגדולים מ-
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ ולכן אם יש לה חסם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+ הרי שהוא חסם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}_{F}$
+\end_inset
+
+מקיימת את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{H}$
+\end_inset
+
+וראינו שאלו על מסננים.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+לכל קבוצה אינסופית 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ יש על מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ כך שאם 
+\begin_inset Formula $|I\backslash U|<\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $U\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+מכפלות
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+קבוצה לא ריקה כלשהי ו-
+\begin_inset Formula $\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ אוסף של קבוצות לא ריקות.
+ אז המכפלה 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ זה אוסף כל הפונקציות 
+\begin_inset Formula $f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ המקיימות 
+\begin_inset Formula $f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+.
+ הערה: אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma=\{1,...,n\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i,j$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+אקסיומת הבחירה
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+לא ריקה ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מכפלות
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+מכפלות
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה כלשהי ו-
+\begin_inset Formula $\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ אוסף של קבוצות לא ריקות.
+ אז המכפלה 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ זה אוסף כל הפונקציות 
+\begin_inset Formula $f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ המקיימות 
+\begin_inset Formula $f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+.
+ הערה: אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma=\{1,...,n\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i,j$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+דוגמה: אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$
+\end_inset
+
+זה פשוט אוסף כל הפונקציות מ
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+לא ריקה ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+.
+ ל
+\begin_inset Formula $\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $x\sim_{F}y$
+\end_inset
+
+ עבור על מסנן 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+בסימונים של ההגדרה האחרונה 
+\begin_inset Formula $\sim_{F}$
+\end_inset
+
+ הוא יחס שקילות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נניח ש
+\begin_inset Formula $x\sim_{F}y$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y\sim_{F}z$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $U\cap V\in F$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה ולכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ מבנה לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן )לא ראשי( על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז העל מכפלה של 
+\begin_inset Formula $\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ ביחס ל
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ שתסומן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$
+\end_inset
+
+ היא המבנה המוגדר כלהלן: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+העולם של העל מכפלה הוא 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$
+\end_inset
+
+ כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס 
+\begin_inset Formula $\sim_{F}$
+\end_inset
+
+ על המכפלה 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c\in\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ נפרש 
+\begin_inset Formula $[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+ מחלקת השקילות של הסדרה 
+\begin_inset Formula $(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ ביחס ל 
+\begin_inset Formula $\sim_{F}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R\in\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ .
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סימן פונקציה n-מקומי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$
+\end_inset
+
+ .
+ הערה: הנ"ל מוגדר היטב.
+ כלומר אם 
+\begin_inset Formula $[b]=[d]$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+ &  & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\
+ & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $[b]=[d]$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $b\sim_{F}d$
+\end_inset
+
+ וזאת בדיוק ההגדרה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+יהיו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ נוסחה ו-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי מתקיים 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם לכל השמות 
+\begin_inset Formula $(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ )עם 
+\begin_inset Formula $s_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ השמה ל
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+( כך ש 
+\begin_inset Formula $[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$
+\end_inset
+
+ מתקיים ש 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+באינדוקציה על יצירת הנוסחאות.
+ נתחיל משמות עצם:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+.
+ לשם נוחות נקבע השמה 
+\begin_inset Formula $s_{0}$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $[s_{0}]=s$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר לכל משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $[s_{0}(x)]=s(x)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ : 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ פונקציה 
+\begin_inset Formula $t=F(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})]
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית 
+\begin_inset Formula $R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$
+\end_inset
+
+ אז אם ורק אם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\
+ & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם 
+\begin_inset Formula $[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le m$
+\end_inset
+
+.
+ לכן, 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וזה מה שהיינו צריכים .
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+משפט
+\family roman
+\series bold
+\shape up
+\size larger
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Los
+\family roman
+\series bold
+\shape up
+\size larger
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+והוכחת קומפקטיות
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+משפט
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Los
+\bar default
+\lang hebrew
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב הפסוקים, 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה לא ריקה, לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ השמה עבור 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ נוסחה ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$
+\end_inset
+
+אם ורק אם לכל השמה 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ המקיימת 
+\begin_inset Formula $\bar{s}(x)=[s(x)]$
+\end_inset
+
+ מתקיים: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $s(\gamma)(x)$
+\end_inset
+
+ זה הקואורדינטה ה
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+ של 
+\begin_inset Formula $s(x)$
+\end_inset
+
+(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+תזכורת: כיצד מגדירין )"לכבוד פסח" - א.
+ חסון, חג שמח( מבנה לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$
+\end_inset
+
+?
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ פשוט לוקחים את 
+\begin_inset Formula $[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור סימן יחס n-מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ נקבע ש-
+\begin_inset Formula $\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ אם קיימים 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור סימן פונקציה n-מקומי 
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$
+\end_inset
+
+ אם קיימים 
+\begin_inset Formula $b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר 
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ היא אכן פונקציה.
+ ז"א עבור 
+\begin_inset Formula $\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ קיים 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ יחיד כך ש
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ראשית נראה: אם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ שם עצם ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $\bar{s},s$
+\end_inset
+
+ השמות כבניסוח המשפט אז 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+ באינדוקציה על יציאת 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ משתנה אישי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $t=F(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))]
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הוכחנו עבור שמות עצם.
+ כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה אטומית 
+\begin_inset Formula $R(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אם ורק אם קיימים נציגים ל-
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$
+\end_inset
+
+ נסמנם 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את 
+\begin_inset Formula $(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$
+\end_inset
+
+ בתור נציגים לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+ ז"א 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ )וזה בדיוק מה שמשפט
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Los
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אומר(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עבור 
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וזה מתקיים 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+אם ורק אם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+המקרים של 
+\begin_inset Formula $\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ דומים מאוד )משתמשים בתכונות של על מסנן(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נותר המקרה 
+\begin_inset Formula $\varphi=\exists x\psi(x)$
+\end_inset
+
+ )המקרה של 
+\begin_inset Formula $\forall x$
+\end_inset
+
+ נובע מהמקרה הנ"ל וממה שעבר עשינו ע"י השקילות הלוגית 
+\begin_inset Formula $\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$
+\end_inset
+
+(.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+כיוון אחד: נניח כי 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$
+\end_inset
+
+ ז"א שקיים 
+\begin_inset Formula $\bar{a}\in\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$
+\end_inset
+
+.
+ נוסיף לשפה קבוע אישי חדש 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ ונרשום 
+\begin_inset Formula $\psi(c)$
+\end_inset
+
+ הנוסחה המתקבלת מ
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ע"י החלפת של מופע חופשי של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ בנוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ .
+ נרחב את 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+למבנה לשפה המועשרת ע"י כך שנגדיר 
+\begin_inset Formula $c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$
+\end_inset
+
+.
+ אז לפי הנחת האינדוקציה: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\
+ & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+כיוון שני: נניח כי 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר איבר 
+\begin_inset Formula $a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$
+\end_inset
+
+ אז נבחר 
+\begin_inset Formula $a_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ שמעיד על כך.
+ אם 
+\begin_inset Formula $(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$
+\end_inset
+
+ נבחר 
+\begin_inset Formula $a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+ שרירותי.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\bar{a}=[a]$
+\end_inset
+
+ .
+ מההנחה שלנו 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+נניח ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ לא ריקה ו
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\gamma}$
+\end_inset
+
+מבנים לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\gamma\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+, אזי לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Corollary
+
+\bar under
+משפט הקומפקטיות
+\bar default
+: תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצה פסוקים בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ נניח שלכל 
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ גם 
+\begin_inset Formula $\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ קיים מודל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ נבחר מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$
+\end_inset
+
+ הקבוצה המקיימת קיים 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+כך ש: 
+\begin_inset Formula $V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ מסנן על 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ מהנחתנו 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ ברור ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ סגורה כלפי מעלה.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ אזי קיימים 
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$
+\end_inset
+
+ וזה גורר.....
+ 
+\begin_inset Formula $V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+יהי 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ על מסנן שמרחיב את 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי המסקנה מתקיים 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$
+\end_inset
+
+.
+ אבל מהגדרת 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ הקבוצה 
+\begin_inset Formula $\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ ולכן ל-
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ מש"ל.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+עקביות
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+תהי 
+\begin_inset Formula $(P,\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח, אזי קיים יחס 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ )דו-מקומי( כך ש-
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ יחס סדר קווי
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $a,b\in P$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $R(a,b)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+במילים אחרות, קיים סדר קווי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ שמרחיב את 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+הערה:
+\bar default
+ המשפט עבור קבוצה סופית 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ איננו קשה.
+ ההוכחה באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $|P|$
+\end_inset
+
+.
+ עבור 
+\begin_inset Formula $|P|=1$
+\end_inset
+
+ אין מה להוכיח.
+ נניח שהוכחנו עבור כל 
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $|P|=n$
+\end_inset
+
+ ונוכיח עבור 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+: תהי 
+\begin_inset Formula $(P,\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח עם 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+ איברים.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $P$
+\end_inset
+
+ סופית יש לה איבר מינימלי 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $Q=P\backslash\{a\}$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $(Q,\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח עם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ שמרחיב את 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+.
+ עתה לא קשה לבדוק שאם נגדיר 
+\begin_inset Formula $R(a,b)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $b\in Q$
+\end_inset
+
+ נקבל את המבוקש.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)מקרה כללי( תהי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ שפה לתחשיב היחסים שבה:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $p\in P$
+\end_inset
+
+ יש קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c_{p}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+בלבד.
+
+\bar default
+ נגדיר קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $T_{P}$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $c_{p}\not=c_{q}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $p\not=q\in P$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ יחס סדר קווי
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $p,q\in P$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $p\le q$
+\end_inset
+
+ אזי יהיה פסוק 
+\begin_inset Formula $R(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $T_{P}$
+\end_inset
+
+ ספיקה )מקומית(.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש
+\begin_inset Formula $T_{P}$
+\end_inset
+
+ ספיקה מקומית.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T_{0}\subseteq T_{P}$
+\end_inset
+
+ סופית.
+ בה"כ האקסיומה )
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( "
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ יחס סדרי קווי" שייכת ל
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ בנוסף נשים לב שב
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+ מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: 
+\begin_inset Formula $c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ נביט בקבוצה 
+\begin_inset Formula $P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $(P_{0},\le)$
+\end_inset
+
+ קס"ח סופית.
+ לכן לפי ההערה יש יחס 
+\begin_inset Formula $R^{P_{0}}$
+\end_inset
+
+ שהוא סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+ המרחיב את 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שאם נפרש את 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $P_{0}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $R^{P_{0}}$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ו-
+\begin_inset Formula $c_{p_{i}}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $p_{i}$
+\end_inset
+
+ אז נקבל מודל של 
+\begin_inset Formula $T_{0}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T_{P}$
+\end_inset
+
+, בפרט 
+\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}\le\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ המבנה שעולמו הוא הקבועים של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ )כלומר 
+\begin_inset Formula $a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $p\in P$
+\end_inset
+
+(.
+ נגדיר יחס סדר חלקי 
+\begin_inset Formula $\le^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $p,q\in P$
+\end_inset
+
+ .
+ אז 
+\begin_inset Formula $(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$
+\end_inset
+
+ פשוט ע"י 
+\begin_inset Formula $p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן בה"כ 
+\begin_inset Formula $(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$
+\end_inset
+
+.
+ עתה 
+\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+ )צמצום( סדר קווי על 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}$
+\end_inset
+
+.
+ )לפי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models(2)$
+\end_inset
+
+ מתקיים כי
+\begin_inset Formula $R^{\mathcal{M}}$
+\end_inset
+
+ סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי(.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models(3)$
+\end_inset
+
+ אז אם 
+\begin_inset Formula $p\le q$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $p(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+ היא אקסיומה ב)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+תהי 
+\begin_inset Formula $L=\{G\}$
+\end_inset
+
+ עבור יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $T_{G}$
+\end_inset
+
+ התורה שאומרת כי העולם הוא גרף.
+ אזי אין פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ גרף קשיר.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה שיש פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כזה.
+ נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים 
+\begin_inset Formula $c_{1},c_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\varphi_{n}$
+\end_inset
+
+ הפסור שאומר שאין מסילה באורך קטן מ
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בין 
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})]
+\]
+
+\end_inset
+
+ נשים לב ש
+\begin_inset Formula $\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ עיקבית מקומית.
+ אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+ קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה הנ"ל יש 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מירבי כך ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שאם נמצא 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל ברור שלכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ יש גרך המקיים את 
+\begin_inset Formula $\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$
+\end_inset
+
+ )פחות מ
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ קודקודים, בפרט אין מסילה מ
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+(.
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ספיקה סופית.
+ לפי קומפקטיות 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+ אבל זה לא ייתכן: אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ ולכן בין 
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+ יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ מצד שני 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{n}$
+\end_inset
+
+ ולכן אין מסילה באורך 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בין 
+\begin_inset Formula $c_{1}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $c_{2}$
+\end_inset
+
+ וזוהי סתירה להנחת השלילה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ בשפה 
+\begin_inset Formula $L=\{\le\}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\{\le\}$
+\end_inset
+
+ סדר טוב )כלומר 
+\begin_inset Formula $\le$
+\end_inset
+
+ סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ גרף קשיר/
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ סדור היטב )סדר טוב(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+ אם לכל מבנה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+: אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+ אז קיימת קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נביט בקבוצה 
+\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\neg\psi\}$
+\end_inset
+
+ .
+ מהנחתנו קבוצה זו איננה ספיקה.
+ מקומפקטיות יש 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+ איננה ספיקה.
+ ברור ש
+\begin_inset Formula $\neg\psi\in\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+ כי אחרת 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+ )אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ איננה עקבית מקומפקטיות יש 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ שאינה ספיקה ו
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\varphi$
+\end_inset
+
+ לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+(.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$
+\end_inset
+
+ סופית ומקיימת 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
+\end_inset
+
+ )כי אחרת יש מודל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\not\models\psi$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\neg\psi$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+ בסתירה לבחירת 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{1}$
+\end_inset
+
+(.
+ במילים אחרות ליחס 
+\begin_inset Formula $\models$
+\end_inset
+
+ יש טבע סופי.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+שאלה מרכזית
+\bar default
+: בהינתן שפה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ וקבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ב
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כלשהו האם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+? בתור התחלה נשים לב שאם 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז בוודאי 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם 
+\begin_inset Formula $\psi\in\Gamma$
+\end_inset
+
+? נניח שהגדרנו מתי קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה מתי פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ שייך ל
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים חשיבה ונניח ש
+\begin_inset Formula $\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\psi_{1}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ באופן כללי יותר אם הראנו למשל 
+\begin_inset Formula $\psi_{1}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ נגררים לוגית ע"י 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אז ניתן להראות 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi_{2}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מערכות היסק ויכיחות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+בעיה מרכזית:
+\bar default
+ נתונה קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ורוצים לדעת עבור פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ האם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מקרה פרטי: 
+\begin_inset Formula $\Gamma=\emptyset$
+\end_inset
+
+, כלומר רוצים לדעת האם פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית או לא.
+ המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי.
+ מדוע? בהינתן קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כלשהו, אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\models\psi$
+\end_inset
+
+ אז יש 
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש
+\begin_inset Formula $\Gamma_{0}\models\psi$
+\end_inset
+
+ )משפט הקומפקטיות( ולכן 
+\begin_inset Formula $({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+שאלה
+\bar default
+: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית?
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית אז 
+\begin_inset Formula $\forall x\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ אפשר לרשום גם: 
+\begin_inset Formula $\varphi\rightarrow\forall x\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\forall x\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית אז 
+\begin_inset Formula $\varphi(t)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית לכל שם עצם 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ אפשר לרשום גם: 
+\begin_inset Formula $\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית ו
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית אז 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ 
+\series default
+)בכל מערכות ההיסק שנעבוד איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד.
+ זה נקרא 
+\bar under
+כלל הניתוק
+\bar default
+ או
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Modus Poneus
+\lang hebrew
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+סימון:
+\bar default
+ בהינתן שפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ מסדר ראשון נסמן 
+\begin_inset Formula $Def(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ אוסף הנוסחאות בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+מערכת היסק )לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+( זה זוג סדור 
+\begin_inset Formula $\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $
+\end_inset
+
+כאשר: 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ )אולי ריקה( שנקראת קבוצת האקסיומות הלוגיות
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $F_{n}$
+\end_inset
+
+ זה אוסף הפונקציות 
+\begin_inset Formula $f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{I}$
+\end_inset
+
+ נקראת אוסף כללי ההיסק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה:
+\bar default
+ תמיד נדרוש כי:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $\varphi\in\mathcal{A}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ במקרה זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות 
+\bar under
+תקפות
+\bar default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $f\in\mathcal{I}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק 
+\bar under
+נאותים
+\bar default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+סימון
+\bar default
+: אם נרצה לומר ש
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+מתקבל מ
+\begin_inset Formula $\psi_{1},...,\psi_{n}$
+\end_inset
+
+ על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום 
+\begin_inset Formula $\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$
+\end_inset
+
+ ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+בהינתן מערכת היסק 
+\begin_inset Formula $\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ וקבוצת נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ נאמר שנוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ 
+\series bold
+יכיחה
+\series default
+ )כלומר, ניתנת להוכחה( מ
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ ,ונסמן 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
+\end_inset
+
+, אם קיימת סדרת נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\psi=\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+ או:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ אקסיומה לוגית.
+ או:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+ או:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע"י אחד מכללי ההיסק.
+ במקרה שלנו יש 
+\begin_inset Formula $j_{1},j_{2}<i$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מ-
+\begin_inset Formula $\varphi_{j_{1}}$
+\end_inset
+
+ו-
+\begin_inset Formula $\varphi_{j_{2}}$
+\end_inset
+
+ ע"י כלל הניתוק.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הסדרה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ המקיימת את התנאים הנ"ל נקראת הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+שאלה:
+\bar default
+ האם קיימת מערכת היסק 
+\bar under
+חשיבה
+\bar default
+ )כלומר שבה אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות
+ קודמות ע"י אחד מכללי ההיסק( כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה )מ-
+\begin_inset Formula $\emptyset$
+\end_inset
+
+(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל הטאוטולוגיות
+ כאקסיומות לוגיות )אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה )קבוצת פסוקים ספיקה( כלשהי ו
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ נוסחה כך ש-
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $T\cup\{\psi\}$
+\end_inset
+
+ ספיקה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T$
+\end_inset
+
+ נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ אם ל-
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ הוכחה באורך
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אז או ש-
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ אקסיומה לוגית ולכן אמיתי לוגית ולכן מסופק ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+, או ש-
+\begin_inset Formula $\psi\in T$
+\end_inset
+
+ ובוודאי ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+ )כי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T$
+\end_inset
+
+(.
+ נניח ש-
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ואפשר להניח ב.ה.כ ש-
+\begin_inset Formula $\psi=\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מאיזה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $j_{1},j_{2}<k$
+\end_inset
+
+ ע"י כלל הניתוק.
+ לפי הנחת האינדוקציה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$
+\end_inset
+
+.
+ מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט 
+\begin_inset Formula $\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+
+\bar under
+משפט ההיסק: 
+\bar default
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ קבוצת נוסחאות ו-
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ נוסחה כלשהי, אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ נוסחה(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+)ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קבוצת נוסחאות 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה.
+ )סתירה היא המקבילה של טאוטולוגיה - כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה
+ של תחשיב הפסוקים(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+אם 
+\begin_inset Formula $\Gamma$
+\end_inset
+
+ אינה עקבית אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ לכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מהנחתנו 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ לאיזו סתירה 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Gamma\rightarrow\psi$
+\end_inset
+
+ היא טאוטולוגיה )
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתקבלת ע"י הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בפסוק 
+\begin_inset Formula $\Sigma(P_{1},...,P_{n})$
+\end_inset
+
+ של תחשיב הפסוקים ו-
+\begin_inset Formula $\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$
+\end_inset
+
+ היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים(.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ מכלל הניתוק 
+\begin_inset Formula $\Gamma\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+)ממשפט ההיסק( לכל תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ולכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ או ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}$
+\end_inset
+
+ עקבית או ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\varphi}$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\varphi}$
+\end_inset
+
+ שתיהן אינן עקביות.
+ לפי ההערה יש סתירה 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T\cup{\varphi}\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי משפט ההיסק 
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$
+\end_inset
+
+ .
+ אבל: 
+\begin_inset Formula $(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$
+\end_inset
+
+ זו טאוטולוגיה.
+ שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ בסתירה להנחה ש-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ספיקה ולטענה הקודמת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+לכל תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש קבוצת פסוקים 
+\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כך שלכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T^{\prime}\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T^{\prime}\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ המקיימת לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\bar under
+שלמה
+\bar default
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)של המסקנה( תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+ אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות את 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ביחס לסדר ההכלה.
+ קל לבדוק שאם 
+\begin_inset Formula $\{T_{i}\}$
+\end_inset
+
+ שרשרת עולה של תורות ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+.
+ למה? קומפקטיות )צריך לנמק(.
+ לכן לפי הלמה של צורן יש 
+\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$
+\end_inset
+
+ מירבית.
+ לפי המסקנה הקודמת 
+\begin_inset Formula $T^{\prime}$
+\end_inset
+
+ עונה על הדרישות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מערכות היסק - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קבוצת פסוקים עקבית 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ היא 
+\series bold
+שלמה
+\series default
+ אם לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או ש-
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או ש-
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+ראינו שאם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל קבוצת פסוקים עקבית 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש קבוצת פסוקים שלמה 
+\begin_inset Formula $T\subseteq T^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הלמה של צורן.
+ כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם 
+\begin_inset Formula $\{T_{i}\}$
+\end_inset
+
+ שרשרת )ביחס להכלה( של קבוצות פסוקים עקביות אז גם 
+\begin_inset Formula $\tilde{T}=\bigcup T_{i}$
+\end_inset
+
+ עיקבית.
+ מדוע? אם 
+\begin_inset Formula $\tilde{T}\vdash\sigma$
+\end_inset
+
+ לאיזו סתירה 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ אז יש סדרה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$
+\end_inset
+
+ שהיא הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $\tilde{T}$
+\end_inset
+
+.
+ כל 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ הוא או אקסיומה לוגית או שייך לאיזה 
+\begin_inset Formula $T_{j_{i}}$
+\end_inset
+
+ או נובע מאיברים קודמים בסדרה ע"י כלל הניתוק.
+ קיים 
+\begin_inset Formula $j$
+\end_inset
+
+ מירבי כך שלכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ כנ"ל או 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ אקסיומה לוגית או 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}\in T_{j}$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מתקבל מכלל הניתוק.
+ ז"א ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{1},...,\varphi_{k}$
+\end_inset
+
+ הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתוך 
+\begin_inset Formula $T_{j}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $T_{j}$
+\end_inset
+
+ עקבית - סתירה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימת מערכת היסק )שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד( וכך שמערכת ההיסק "חשיבה"
+ ומתקיים ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עקבית אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ספיקה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+]משפט השלמות[ נקבע מערכת היסק כנ"ל.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ קבוצת פסוקים עקבית, 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ פסוק כלשהו אזי 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T\models\psi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ הראנו ש
+\begin_inset Formula $T\models\psi$
+\end_inset
+
+ )שיעור שעבר(.
+ בכיוון השני, אם 
+\begin_inset Formula $T\models\psi$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $T\not\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\cup{\neg\psi}$
+\end_inset
+
+ עקבית.
+ לפי המשפט יש 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$
+\end_inset
+
+ בסתירה להנחה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+המשפט הנ"ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק "חשיבה" כך שלכל 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית מתקיים 
+\begin_inset Formula $\emptyset\vdash\varphi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח את המשפט ונוכיח את הטענה.
+ 
+\begin_inset Formula $\emptyset\models\varphi$
+\end_inset
+
+מתקיים כי 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית ומן המסקנה 
+\begin_inset Formula $\emptyset\vdash\varphi$
+\end_inset
+
+.
+ בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה עקבית.
+ עלינו להראות )בעזרת הטענה( של
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש מודל.
+ נניח שלא.
+ ז"א מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית 
+\begin_inset Formula $T_{0}\subseteq T$
+\end_inset
+
+ שאין לה מודל.
+ יהי 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+שיקרי לוגית.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\neg\psi$
+\end_inset
+
+ אמיתי לוגית.
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ איננה עקבית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+ממשפט השלמות נובע ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T\models\varphi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\models\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+דוגמאות לתורות שלמות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מבנה כלשהו לשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ התורה של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ היא 
+\begin_inset Formula $Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$
+\end_inset
+
+.
+ מהגדרת האמת, אם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\not\models\varphi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}\models\neg\varphi$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)לוונהיים-סקולם היורד(: יהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ מבנה אינסופי לשפה )בת מניה( 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq M$
+\end_inset
+
+ )בעולם של 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+( אזי קיים 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$
+\end_inset
+
+ וכך ש-
+\begin_inset Formula $|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+נניח ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה בשפה בת מניה ול
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם בעוצמה 
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה )סוג של קריטריון
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Vaught
+\lang hebrew
+(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח שלא.
+ אזי יש פסוק 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $T_{1}=T\cup{\varphi}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$
+\end_inset
+
+ עקביות.
+ אזי קיימים 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ מהמשפט אנחנו יודעים )נשתמש ב
+\begin_inset Formula $\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$
+\end_inset
+
+( שיש 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$
+\end_inset
+
+כך ש
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$
+\end_inset
+
+עבור 
+\begin_inset Formula $i=1,2$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}\models T$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$
+\end_inset
+
+)זאת ההנחה(.
+ לפי משפט האיזומורפיזם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ - סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+תהי 
+\begin_inset Formula $T_{\approx}$
+\end_inset
+
+ התורה בשפה הריקה )ז"א שוויון בלבד( שאומרת שהעולם אינסופי.
+ זו תורה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}=\{\le\}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $DLO$
+\end_inset
+
+ היא התורה של סדר קווי צפוף ללא קצוות.
+ אז 
+\begin_inset Formula $DLO$
+\end_inset
+
+ תורה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+הגרף המקרי )שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\numeric off
+( הוא קטגורי ב
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ )כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה 
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ איזומורפי לו( לפי תרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+שאלה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+5
+\numeric off
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מכונות טיורינג
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה אם לכל פסוק 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg\psi$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ קטגורית ב
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+ )כלומר, יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם שעוצמתו 
+\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
+\end_inset
+
+( ול-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אין מודלים סופיים אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ - מחלקת הפונקציות החשיבות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+פונקציות חלקיות )דטרמיניסטיות(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ניתנות לתיאור סופי
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות - "זיכרון"
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד של הזכרון
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+בכל שלב של החישוב "כמות סופית של אינפורמציה" - מספיקה כדי לתאר את "מצב החישוב"
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+יהיו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ א"ב סופי עם תו מיוחד 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+, ו-
+\begin_inset Formula $Q$
+\end_inset
+
+ קבוצה סופית )זרה ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+( שנקרא לה "קבוצת המצבים הפנימיים" עם מצב התחלתי 
+\begin_inset Formula $q_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+פקודה
+\series default
+ זו רביעייה 
+\begin_inset Formula $\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $r\in S$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $q,q^{\prime}\in Q$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}\cup S$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\series bold
+מכונת טיורינג
+\series default
+ זו רביעיה 
+\begin_inset Formula $M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות.
+ )הערה: 
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ חסרת סתירות אם 
+\begin_inset Formula $rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $y=x$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $q^{\prime}=q^{\prime\prime}$
+\end_inset
+
+.(
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נחשוב בצורה גרפית על מ"ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים.
+ בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא"ב כאשר על 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ נחשוב כעל תו המייצג תא ריק.
+ למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים.
+ הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא.
+ לפי המצב הפנימי של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה
+ תא אחד או לכתוב תו אחר בא"ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש.
+ על פקודה נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ והמצב הפנימי הוא 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ אז אם 
+\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}$
+\end_inset
+
+ זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\in S$
+\end_inset
+
+ כתוב בתא הנוכחי 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ועבור למצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ לומר ש
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ היא סדרת פקודות חסרת סתירה זה פשוט לומר ש
+\begin_inset Formula $I$
+\end_inset
+
+ היא פונקציה חלקית: 
+\begin_inset Formula $S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+מצב
+\series default
+ 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ של מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שו שלשה 
+\begin_inset Formula $(n,q,h)$
+\end_inset
+
+ כאשר:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{Z}$
+\end_inset
+
+ מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $q\in Q$
+\end_inset
+
+ המצב הפנימי של המכונה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $h:\mathbb{Z}\rightarrow S$
+\end_inset
+
+ פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של הסרט.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+בהינתן מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ומצב 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ של המכונה נגדיר את 
+\series bold
+המצב העוקב
+\series default
+ ל
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ לפי המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ להיות 
+\begin_inset Formula $m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$
+\end_inset
+
+ כאשר:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $m=(n,q,h)$
+\end_inset
+
+ ויש פקודה 
+\begin_inset Formula $rqxq^{\prime}\in I$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $r=h(n)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ הוא אותו מצב פנימי
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם )א( מתקיים אז 
+\begin_inset Formula $n^{*}=\begin{cases}
+n & x\in S\\
+n+1 & x=R\\
+n-1 & x=L
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם )א( מתקיים אז 
+\begin_inset Formula $q^{*}=q^{\prime}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם )א( מתקיים אז 
+\begin_inset Formula $h^{*}(m)=\begin{cases}
+h(m) & m\not=n\\
+y & m=n
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $y=h(n)$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\in\{L,R\}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y=x$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x\in S$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+
+\series bold
+ריצה
+\series default
+ של מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ זו סדרה של מצבים 
+\begin_inset Formula $m_{0},m_{1},m_{2},...$
+\end_inset
+
+ המקיימת:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$
+\end_inset
+
+ לאיזו 
+\begin_inset Formula $h^{0}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $i>0$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+ריצה של מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+סופית
+\series default
+ )או מסתיימת( אם היא מהצורה 
+\begin_inset Formula $m_{0},m_{1},...,m_{n}$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $M_{n}^{(T)}$
+\end_inset
+
+ אינו מוגדר.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Definition
+בהינתן מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ומספר טבעי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נגדיר פונקציה )חלקית( 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: 
+\begin_inset Formula $n=0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $q=q_{0}$
+\end_inset
+
+ , והסרט נראה כך: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+מתקיים 
+\begin_inset Formula $m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ אם ריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עם המצב ההתחלתי הנ"ח מסתיימת )אחרת לא מוגדר( ו-
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ היא מספר האחדות על הסרט בתום הריצה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+חשיבה ע"י מ"ט 
+\series default
+אם קיימת מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=f$
+\end_inset
+
+, כלומר 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ מוגדרת בדיוק באותו התחום בו 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ מוגדרת ובכל מקום שהן מוגדרות 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מכונות טיורינג - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ פונקציה 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+חשיבה
+\series default
+ )ע"י מכונת טיורינג( אם קיימת מכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ הריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על סרט מהצורה 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ מסתיימת אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $f(n_{1},...,n_{k})$
+\end_inset
+
+ מוגדר ובמקרה זה מספר האחדות על הסרט בתום הריצה הוא 
+\begin_inset Formula $f(n_{1},...,n_{k})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: סימנו, בהינתן מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ את הפונקציה 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ להיות הפונקציה שעבור קלט כנ"ל מחזירה את מספר האחדות בריצה סופית של המכונה
+ )על הקלט(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ יש מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בא"ב של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ יש שני תווים מיוחדים 
+\begin_inset Formula $S,E$
+\end_inset
+
+ כך שבכל ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ )על קלט תקני( הסרט לאחר הריצה נראה כך: 
+\begin_inset Formula $...BBS111...1EBB...$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן ב
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ שמאלה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+פרט ל
+\begin_inset Formula $S,E$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ יש רק את התווים 
+\begin_inset Formula $\{1,B\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q\in Q(T)$
+\end_inset
+
+ יהיה במכונה 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ כל פקודה 
+\begin_inset Formula $rqxq^{\prime}\in I(T)$
+\end_inset
+
+ נחליף בפקודה 
+\begin_inset Formula $rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ נוסיף ל
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ את הפקודות הבאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+כותב 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ משמאל לקלט וחוזר ימינה
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{0}Lq_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{0}Lq_{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{1}Sq_{2}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{2}Lq_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ וחוזר להתחלה
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{3}Rq_{4}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{4}Lq_{5}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{5}Eq_{r}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*q_{r}Lq_{r}$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ זה או 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq_{r}Rq_{0}^{*}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+שלב הסריקה
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{3}Rq_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{4}Rq_{3}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת ב
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ או ב
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ בשלב הריצה.
+ נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{*}$
+\end_inset
+
+ נוסיף פקודות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+באופן אנלוגי מטפלים ב
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות.
+ נניח שכל ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ מסתיימת במצב פנימי 
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )שאינו מופיע במהלך הריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+(.
+ נוסיף פקודות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*\hat{q}R\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ הינו כל תו שאינו 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $E\hat{q}Bq_{w}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{w}Lq_{w}^{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*q_{w}^{1}E\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ הינו כל תו שאינו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ ואינו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נטפל במקרה שראינו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+אחרי שמחקנו את 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$
+\end_inset
+
+ - מצב סופי
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+וגם:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $*q_{w}^{d}1\hat{q}$
+\end_inset
+
+ )כאשר
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+- כל תו שאינו 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ כל פעם שהמכונה פוגשת 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ היא תיכנס ל"תת מכונה" שמזיזה את כל הסרט שעד 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ ימינה בתו אחד, כותבת 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ במקום הראשון שמימין ל-
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ וחוזרת לריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ הדבר היחיד שצריך להשתכנע: יש מכונה 
+\begin_inset Formula $Sh$
+\end_inset
+
+ שבהינתן קלט מן הצורה 
+\begin_inset Formula $...BBS...EBBB...$
+\end_inset
+
+ מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה.
+ נוסיף לא"ב שלנו תו מיוחד 
+\begin_inset Formula $B^{*}$
+\end_inset
+
+ , המכונה תרוץ באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+תסרוק עד שתגיע ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל תו 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ בא"ב המקורי )כלומר שאינו 
+\begin_inset Formula $B^{*}$
+\end_inset
+
+( יהיה מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q_{\alpha}$
+\end_inset
+
+.
+ סדרת הפקודות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מעתיקה את התו 
+\begin_inset Formula $\alpha$
+\end_inset
+
+ תו אחד מימין למקומו המקורי.
+ צריך טיפול נפרד בתווים 
+\begin_inset Formula $S,E$
+\end_inset
+
+ אבל אין בעיה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם בא"ב שלנו יש 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ תווים נבנה מכונה 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ שבה התו ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ בא"ב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ייוצג ע"י 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-יה של תאים 
+\begin_inset Formula $\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$
+\end_inset
+
+ .
+ קל לבדוק שכל פקודה מהצורה "זוז ימינה" או "זוז שמאלה" ב
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ניתן לתרגם בקלות לפקודה "זוז 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ תווים ימינה/שמאלה" ב
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ פקודה מהצורה "כתוב את התו ה
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ בא"ב בתא הנוכחי" תתרגם לסדרה של 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ פקודות כתיבה "כתוב במקום ה
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-יה שאתה נמצא בתחילתה את ה
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-יה 
+\begin_inset Formula $\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$
+\end_inset
+
+.
+ כנ"ל לגבי הקריאה.
+ לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ בא"ב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$
+\end_inset
+
+אז 
+\begin_inset Formula $f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+התנאים
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2,3,4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+.
+ לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות לחישוב ע"י מכונת טיורינג
+ הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה.
+ בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך הריצה.
+ עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל-
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+נניח ש-
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבות טיורינג אז גם 
+\begin_inset Formula $f\circ g$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+תהינה 
+\begin_inset Formula $T_{f},T_{g}$
+\end_inset
+
+ מכונות כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{f}}^{\prime}=f$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $g_{T_{g}}^{\prime}=g$
+\end_inset
+
+ .
+ לכל מצב פנימי של 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ במכונה החדשה יהיה מצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ אז המכונה של ההרכבה תהיה:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+רשימת הפקודות של 
+\begin_inset Formula $T_{g}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מוחקים את 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+, וכותבים במקומו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, מוחקים את 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+, חוזר להתחלה ועובר למצב פנימי 
+\begin_inset Formula $q_{0}^{*}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+רשימת הפקודות של 
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ עם השינוי שכל פקודה מהצורה 
+\begin_inset Formula $*q\star q_{1}$
+\end_inset
+
+ משתנה לפקודה מהצורה 
+\begin_inset Formula $*q^{*}\star q_{1}^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור "מיזער": 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases}
+a & (*)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר * הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא....
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות חשיבות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ - הפונקציה הקבועה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ - הפונקציה הקבועה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $x+y$
+\end_inset
+
+ - חיבור
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+קל לוודא ש
+\begin_inset Formula $\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $k<n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג )לכל 
+\begin_inset Formula $k,n$
+\end_inset
+
+( 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מה לגבי 
+\begin_inset Formula $x\cdot y$
+\end_inset
+
+? קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ מעתיקה את 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ בסוף הקלט.
+ גם כפל פונקציה חשיבה - תרגיל קל.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מה לגבי הפונקציה 
+\begin_inset Formula $C_{<}(x,y)=\begin{cases}
+1 & x<y\\
+0 & else
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+? גם הפונקציה הזו חשיבה )מוחקים כל פעם תו מתחילת 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ומסוף 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+...(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ראינו גם: אם 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$
+\end_inset
+
+ חשיבות טיורינג אז גם 
+\begin_inset Formula $f\circ g$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג אם 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k}))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ וכל אחת מהפונקציות 
+\begin_inset Formula $f_{i}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $1\le i\le m$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל הפונקציות
+ המתקבלות מן הרשימה הנ"ל על ידי מספר סופי של הרכבות הן פונקציות שלמות.
+ כלומר מוגדרות על כל 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מתאים.
+ לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות, למשל: 
+\begin_inset Formula $1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$
+\end_inset
+
+ )מכונה שלא עוצרת על חלק מהקלטים - על 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ במקרה הזה(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ פונקציה כלשהי.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases}
+t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\
+ & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אזי אם 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג גם 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ חשיבה טיורינג.
+ 
+\begin_inset Formula $\mu$
+\end_inset
+
+ נקרא אופרטור ה"מיזער".
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)רעיון( תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ מכונת טיורינג המחשבת את 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ )כלומר 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{k}=g$
+\end_inset
+
+(.
+ "מטה רעיון" - נריץ את 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על הקלט 
+\begin_inset Formula $0,x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+.
+ אם המכונה לא עוצרת זה אומר ש
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת ב
+\begin_inset Formula $(0,x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ ולכן גם 
+\begin_inset Formula $h(x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת כנדרש.
+ אם הריצה מסתיימת נבדוק האם היא הסתיימה ב
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+.
+ אם כן, נחזיר 
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $h(0,x_{2},...,x_{k})=0$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+ אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט 
+\begin_inset Formula $1,x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+ וכו'.
+ אם המכונה הנ"ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ עבורו 
+\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})=0$
+\end_inset
+
+, בפרט 
+\begin_inset Formula $g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ מוגדרת לכל 
+\begin_inset Formula $t^{\prime}<t$
+\end_inset
+
+.
+ מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד מהבאים מתקיים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+קיים 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})$
+\end_inset
+
+ לא מוגדר ו
+\begin_inset Formula $g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $t^{\prime}<t$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+הסעיף הקודם לא מתקיים ו
+\begin_inset Formula $g(t,x_{2},...,x_{k})>0$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+.
+ ואילו במקומות בהם 
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא.
+ המכונה מסמנת את סוף הקלט ב
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ בשלב הראשון המכונה 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ תעתיק את הקלט 
+\begin_inset Formula $x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+ מימין ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ותוסיף 
+\begin_inset Formula $1B$
+\end_inset
+
+ בהתחלה.
+ בשלב הבא 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ תחקה את הריצה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $0,x_{2},...,x_{k}$
+\end_inset
+
+ כאשר היא מקפידה )וזה הרי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עושה ממילא( לא לזוז משמאל ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+.
+ אם השלב הזה בריצה הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ יהיה כתוב 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ )כי כך 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עובדת(.
+ אם בין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ לא מופיע התו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+, אז 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ תחזור עד להתחלת הקלט של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+ )משמאל ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+( תמחק את כל הקלט ותעצור.
+ אם בין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ מופיע התו 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ המכונה תחזור לתחילת הקלט של 
+\begin_inset Formula $T^{*}$
+\end_inset
+
+, תכתוב 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ לפני ה
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ הראשון ותתחיל מההתחלה.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ תיקרא חשיבה/רקורסיבית אם היא מתקבלת מן הפונקציות 
+\begin_inset Formula $\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$
+\end_inset
+
+ על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות
+ מ
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ שמכיל/ה את הפונקציות הנ"ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ חשיבה אם ורק אם היא חשיבה טיורינג.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג.
+ 
+\bar under
+תרגיל:
+\bar default
+ הפונקציה 
+\begin_inset Formula $n\mapsto n!$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה טיורינג.
+ הוכח שהפונקציה חשיבה.
+ שאלה כמעט זהה: מדוע הפונקציה 
+\begin_inset Formula $f(m)=\begin{cases}
+n & m=2^{n}\\
+0 & m=1\, or\, else
+\end{cases}$
+\end_inset
+
+ חשיבה?
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ אזי 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ זו הפונקציה המוגדרת על ידי 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{A}(x) & = & \begin{cases}
+1 & x\in A\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\series bold
+הפונקציה המציינת
+\series default
+ של 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Definition
+יחס 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{m}$
+\end_inset
+
+ נקרא 
+\series bold
+חשיב
+\series default
+ אם 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים, חיתוכים
+ והשלמה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $A,B$
+\end_inset
+
+ חשיבות אז 
+\begin_inset Formula $\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$
+\end_inset
+
+ או לפי דה-מורגן.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+יוצא, למשל, כי היחס 
+\begin_inset Formula $A(x,y)=(x\le y)$
+\end_inset
+
+ חשיב.
+ זה פשוט איחוד היחסים החשיבים 
+\begin_inset Formula $C_{<}(x,y)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $x=y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)הגדרה לפי מקרים(: תהיינה 
+\begin_inset Formula $f_{1},...,f_{n}$
+\end_inset
+
+ פונקציות חשיבות 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+-מקומיות, ו-
+\begin_inset Formula $A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ זרות וחשיבות, כך ש
+\begin_inset Formula $\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי הפונקציה 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x) & = & \begin{cases}
+f_{1}(x) & x\in A_{1}\\
+\vdots & \vdots\\
+f_{n}(x) & x\in A_{n}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$
+\end_inset
+
+ וזו פונקציה חשיבה כי 
+\begin_inset Formula $\chi_{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ חשיבות, 
+\begin_inset Formula $f_{i}$
+\end_inset
+
+ חשיבות והחיבור והכפל חשיבים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות חשיבות - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+יהי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב, 
+\begin_inset Formula $k+1$
+\end_inset
+
+ מקומי.
+ נגדיר אופרטור: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases}
+t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+אם 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז הפונקציה 
+\begin_inset Formula $h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים ]אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם המקרים?[.
+ לחילופין אפשר נשים לב ש-
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $C_{=}(x,z)=0\iff x=z$
+\end_inset
+
+, וברור שזו פונקציה חשיבה.
+ נשים לב 
+\begin_inset Formula $h(z,\bar{y})$
+\end_inset
+
+ תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+אם 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז היחס 
+\begin_inset Formula $B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$
+\end_inset
+
+ הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$
+\end_inset
+
+.
+ לכן זו פשוט הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\chi_{B}$
+\end_inset
+
+ ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה.
+ מדוע 
+\begin_inset Formula $C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$
+\end_inset
+
+? כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים 
+\begin_inset Formula $0,1$
+\end_inset
+
+ יספיק להראות שלכל 
+\begin_inset Formula $(z,\bar{y})$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי הגדרה 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום.
+ 
+\bar under
+הערה חשובה מאוד
+\bar default
+: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות )שאינו חסום(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+מטרה:
+\bar default
+ לבנות פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך שלכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ של מספרים טבעיים קיים 
+\begin_inset Formula $c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ )קוד הסדרה( המקיים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},0)=n$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)מסיבות טכניות נרצה גם( 
+\begin_inset Formula $\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+( קיימת פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ שהיא חח"ע ועל.
+ ]יהיה שימושי לשים לב ש
+\begin_inset Formula $Pr$
+\end_inset
+
+ שנמצא מקיימת 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$
+\end_inset
+
+[.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ יהיה המקום של הזוג 
+\begin_inset Formula $(x,y)$
+\end_inset
+
+ במספור הזוגות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Tabular
+<lyxtabular version="3" rows="8" columns="8">
+<features rotate="0" tabularvalignment="middle">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<column alignment="center" valignment="top">
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+0
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+10
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+15
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+1
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+7
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+11
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+16
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+2
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+8
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+12
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+17
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+3
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+9
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+13
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+18
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+4
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+14
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+19
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+5
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\numeric on
+20
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+<row>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\series bold
+\numeric on
+6
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\swarrow$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+\begin_inset Formula $\vdots$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+<cell alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
+\begin_inset Text
+
+\begin_layout Plain Layout
+
+\end_layout
+
+\end_inset
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$
+\end_inset
+
+.
+ לפי התיאור הזה ברור ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ חשיבה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מקיימת 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge x$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)\ge y$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לפי התיאור הגרפי היא חח"ע ועל )הוכחה יותר אלגברית - מכירים ממבוא ללוגיקה(.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+- משפט השאריות הסיני( יהי 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $m_{1},...,m_{n}$
+\end_inset
+
+ מספרים טבעיים זרים בזוגות.
+ יהיו 
+\begin_inset Formula $k_{1},...,k_{n}$
+\end_inset
+
+ מספרים טבעיים כלשהם )בד"כ מניחים 
+\begin_inset Formula $k_{i}<m_{i}$
+\end_inset
+
+ אבל זה לא חשוב(.
+ אזי קיים 
+\begin_inset Formula $b\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $b\equiv_{m_{i}}k_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ניקח 
+\begin_inset Formula $d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ לכל 
+\begin_inset Formula $b<d$
+\end_inset
+
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ יש 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+ n-יות כאלה.
+ לכן אם נראה שההעתקה 
+\begin_inset Formula $b\mapsto\bar{b}$
+\end_inset
+
+ חח"ע אזי היא בהכרח על )כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+(.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+, כלומר 
+\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$
+\end_inset
+
+, בפרט 
+\begin_inset Formula $m_{i}|b_{1-b_{2}}$
+\end_inset
+
+ )בה"כ 
+\begin_inset Formula $b_{1}>b_{2}$
+\end_inset
+
+( לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}$
+\end_inset
+
+ מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון שה
+\begin_inset Formula $m_{i}$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא 
+\begin_inset Formula $d$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $b_{1}-b_{2}<d$
+\end_inset
+
+ וזו סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\numeric off
+( לכל 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המספרים 
+\begin_inset Formula $\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$
+\end_inset
+
+זרים בזוגות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה ש
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ ראשוני מחלק את 
+\begin_inset Formula $1+i(n!)$
+\end_inset
+
+ ומחלק את 
+\begin_inset Formula $1+j(n!)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $i>j$
+\end_inset
+
+.
+ לכן: 
+\begin_inset Formula $p|(i-j)\cdot(n!)$
+\end_inset
+
+ .
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ ראשוני הוא מחלק או את 
+\begin_inset Formula $i-j$
+\end_inset
+
+ או את 
+\begin_inset Formula $n!$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $i-j<n$
+\end_inset
+
+ בהכרח 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ מחלק את 
+\begin_inset Formula $n!$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ אמור לחלק את 
+\begin_inset Formula $1+i(n!)$
+\end_inset
+
+ וזה לא ייתכן.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+תהי 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})$
+\end_inset
+
+ היא השארית של 
+\begin_inset Formula $t_{1}$
+\end_inset
+
+ בחלוקה ב-
+\begin_inset Formula $t_{2}$
+\end_inset
+
+.
+ אזי:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ מדוע? יספיק להראות ש
+\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$
+\end_inset
+
+ והיחס 
+\begin_inset Formula $t_{2}|t_{1}$
+\end_inset
+
+ הוא חשיב, למשל ע"י 
+\begin_inset Formula $(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ של טבעיים יש 
+\begin_inset Formula $y,z$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $0<i\le n$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? נבחר 
+\begin_inset Formula $k>n$
+\end_inset
+
+ כלשהו ונבחר 
+\begin_inset Formula $y=k!$
+\end_inset
+
+.
+ לפי טענת עזר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+קיים 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)טכני( 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)\le z$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $z,y,i$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\beta(b,i)$
+\end_inset
+
+ המבוקשת תהיה 
+\begin_inset Formula $\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$
+\end_inset
+
+.
+ הדבר היחיד שנותר לוודא 
+\begin_inset Formula $Pr^{L},Pr^{R}$
+\end_inset
+
+ הן פונקציות חשיבות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+הצפנות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+חזרה:
+\bar default
+ אם 
+\begin_inset Formula $A(x,y)$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז 
+\begin_inset Formula $(\exists x<z)A(x,\bar{y})$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב.
+ 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases}
+t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ פונקציה שלמה.
+ הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל
+\begin_inset Formula $\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ מצפינה סדרות סופיות אם לכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ יש 
+\begin_inset Formula $\bar{a}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\beta(\bar{a},0)=n$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $1\le1\le n$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(\bar{a},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$
+\end_inset
+
+ היא חח"ע ועל מ
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}^{2}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל 
+\begin_inset Formula $m_{1},...,m_{k}$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות ולכל 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{k}$
+\end_inset
+
+ טבעיים יש 
+\begin_inset Formula $b\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $b\equiv_{m_{i}}a_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+לכל 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המספרים 
+\begin_inset Formula $1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+נגדיר 
+\begin_inset Formula $\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$
+\end_inset
+
+ מקיימת:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\gamma$
+\end_inset
+
+ חשיבה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ קיימים 
+\begin_inset Formula $z,y$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $a_{i}=\gamma(z,y,i)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\gamma(z,y,i)\le z$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+לגבי 
+\begin_inset Formula $2$
+\end_inset
+
+ ניקח את 
+\begin_inset Formula $max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$
+\end_inset
+
+ וניקח 
+\begin_inset Formula $y=k!$
+\end_inset
+
+ .
+ לפי טענה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+מתקיים כי 
+\begin_inset Formula $1+y(i+1)$
+\end_inset
+
+ זרים בזוגות.
+ לפי הטענה השניה יש 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ שעונה על הדרישה.
+ ביתר דיוק, יש 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל בעצם 
+\begin_inset Formula $a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $a_{i}<1+y(i+1)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$
+\end_inset
+
+ היא פונקצית זיווג חשיבה כאשר 
+\begin_inset Formula $Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מטענה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ברור כי 
+\begin_inset Formula $\beta(y,i)$
+\end_inset
+
+ מצפינה סדרות סופיות.
+ בהינתן סדרה סופית 
+\begin_inset Formula $\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ טענה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+סעיף )
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( מבטיחה 
+\begin_inset Formula $t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ נחליף את הסדרה בסדרה 
+\begin_inset Formula $\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+, נמצא 
+\begin_inset Formula $t_{1},t_{2}$
+\end_inset
+
+ כמובטח ונגדיר 
+\begin_inset Formula $y=Pr(t_{1},t_{2})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ נשאר רק לוודא ש
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ מספיק לוודא ש
+\begin_inset Formula $Pr^{-1}(y)$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה ומלאה/שלמה.
+ הפונקציה שלמה כי 
+\begin_inset Formula $Pr$
+\end_inset
+
+ היא על.
+ הפונקציה חשיבה פשוט כי 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מעתה ועד עולם נקבע פונקציה 
+\begin_inset Formula $\beta$
+\end_inset
+
+ כנ"ל.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה סופית אם אין 
+\begin_inset Formula $x^{\prime}<x$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+היחס 
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה סופית" הוא חשיב.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ הפונקציה 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ נקבע אחת ולתמיד מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+.
+ נזדקק להרבה טענות עזר.
+ כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}$
+\end_inset
+
+ ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ איך שנרצה כל עוד לא נשנה את הפונקציה שהיא מחשבת.
+ לכן, בה"כ, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ מכונת טיורניג תקנית:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+הא"ב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כולל רק את 
+\begin_inset Formula $\{1,B\}$
+\end_inset
+
+ ונק' ההתחלה והסיום 
+\begin_inset Formula $\{S,E\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+למכונה יש מצב פנימי יחיד 
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו, ו
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ אינו מופיע במהלך הריצה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בתום הריצה הראש הקורא נמצא על 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ובין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+ יש רק אחדות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ סופי לא יזיק להניח ש
+\begin_inset Formula $\{1,B\}$
+\end_inset
+
+ מיוצגים ע"י המספרים הטבעיים 
+\begin_inset Formula $\{1,0\}$
+\end_inset
+
+ בהתאמה ו
+\begin_inset Formula $\{S,E\}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\{2,3\}$
+\end_inset
+
+ בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע"י 
+\begin_inset Formula $\{4,...,k\}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $q_{0}$
+\end_inset
+
+ מיוצג ע"י 
+\begin_inset Formula $4$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\hat{q}$
+\end_inset
+
+ מיוצג ע"י 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כזכור, מצב של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ זו שלשה 
+\begin_inset Formula $\left\langle n,q,h\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ המיקום של הראש ביחס ל
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ שמיקומו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $0$
+\end_inset
+
+, 
+\begin_inset Formula $q$
+\end_inset
+
+ המצב הפנימי, ו-
+\begin_inset Formula $h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$
+\end_inset
+
+ מתארת את התאים במכונה.
+ כמובן יספיק להניח ש
+\begin_inset Formula $h$
+\end_inset
+
+ מתארת רק את המספר הסופי של התאים שבין 
+\begin_inset Formula $S$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+ אפשר לתאר מצב ע"י סדרה מהצורה הבאה:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle 
+\]
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$
+\end_inset
+
+ ולכל 
+\begin_inset Formula $1<i<r$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $a_{i}\in\{0,1\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב של המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" חשיב.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+היחס יתואר ע"י חיתוך של הדרישות הבאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ - היחס האומר ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $0<i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\beta(x,1)=2$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,\beta(x,0))=3$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קיים 
+\begin_inset Formula $0<i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ יחיד כך ש
+\begin_inset Formula $\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כיוון שכל אלה חשיבים - גמרנו.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( היחסים 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x)$
+\end_inset
+
+, "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+", "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" - כולם חשיבים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $\varphi_{S}(x)$
+\end_inset
+
+ זה חיתוך של 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ עם הדרישה הנוספת ש
+\begin_inset Formula $\beta(x,2)=4$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)$
+\end_inset
+
+ כנ"ל עם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,2)=k$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ מייצגים מצבים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ המצב העוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא יחס חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+זה כמובן חיתוך של התנאים 
+\begin_inset Formula $\varphi(x),\varphi(y)$
+\end_inset
+
+ עם התנאי הנוסף ש
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ המצב העוקב ל
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+.
+ לכל 
+\begin_inset Formula $p\in I(T)$
+\end_inset
+
+ )לכל פקודה של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+( נגדיר יחס 
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x,y)$
+\end_inset
+
+ האומר 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ מצבים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ עוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ ובפרט 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצב רלוונטי לפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצב רלוונטי לפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ " זה פשוט 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ וגם אם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i)>3$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $i>1$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ פקודה מהצורה 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות אם 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ היא הרביעייה 
+\begin_inset Formula $\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ רלוונטי ל
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$
+\end_inset
+
+.
+ נסמן זאת 
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x)$
+\end_inset
+
+.
+ לומר ש
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ עוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+ זה לומר 
+\begin_inset Formula $\varphi(x),\varphi(y)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x)$
+\end_inset
+
+ עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+.
+ נטפל למשל במקרה ש
+\begin_inset Formula $p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$
+\end_inset
+
+.
+ מתי 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ יתקבל מ
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ע"י הפקודה 
+\begin_inset Formula $p$
+\end_inset
+
+? אם 
+\begin_inset Formula $x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ פשוט צריך לדרוש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+נסמן 
+\begin_inset Formula $i_{0}$
+\end_inset
+
+ להיות ה
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ היחיד כך ש
+\begin_inset Formula $i\le\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נדרוש ש
+\begin_inset Formula $\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ובכל מקרה אחר 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+
+\begin_inset Formula $\beta(y,j)=\beta(x,j)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה.
+ זה מקרה ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{p}(x,y)$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ לומר ש
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ עוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ זה פשוט 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+4
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\rho(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין סדרה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{S}(\beta(x,1))$
+\end_inset
+
+ כלומר האיבר הראשון בסדרה ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין הוא מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$
+\end_inset
+
+ - האיבר האחרון בסדרה הוא מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i<\beta(x,0)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$
+\end_inset
+
+ כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע"י האיבר הקודם לו.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+5
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $f_{E}(x)=n$
+\end_inset
+
+ זו הפונקציה שמחזירה 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ הפלט של המכונה במצב זה.
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אחרת.
+ זו פונקציה חשיבה: 
+\begin_inset Formula $\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+חשיבות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב של המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" חשיב.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( היחסים 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x)$
+\end_inset
+
+, "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+", "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" - כולם חשיבים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ מייצגים מצבים של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ המצב העוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא יחס חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+4
+\numeric off
+( היחס 
+\begin_inset Formula $\rho(x)$
+\end_inset
+
+ האומר "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+" הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+5
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)=n$
+\end_inset
+
+ זו הפונקציה שמחזירה 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצפין מצב סופי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $n-1$
+\end_inset
+
+ הפלט של המכונה במצב זה.
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+אחרת.
+ זו פונקציה חשיבה: 
+\begin_inset Formula $\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$
+\end_inset
+
+ .
+ נדרוש ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{E}(x)=0$
+\end_inset
+
+ אחרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+היחס "
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד מצב התחלתי של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שבו הקלט הוא 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+" הוא יחס חשיב.
+ נסמן זאת 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה.
+ נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$
+\end_inset
+
+ - האיבר הראשון בסדרה ש
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד, וכאשר 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}(A(x,y))$
+\end_inset
+
+ זה ה
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ המזערי עבורו 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}(x,y)=1$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ ובפרט 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ מוגדרת אם ורק אם ריצת 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ על 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים.
+ אם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עוצרת על 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+ אז קיים 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$
+\end_inset
+
+ - כלומר קיים 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ המקודד ריצה מסתיימת של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ המתחילה בקלט 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ אם נבחר 
+\begin_inset Formula $x_{0}$
+\end_inset
+
+ הקטן ביותר המקיים זאת אז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ כי לכל 
+\begin_inset Formula $x^{\prime}<x_{0}$
+\end_inset
+
+ הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$
+\end_inset
+
+ מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}$
+\end_inset
+
+, ואז 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+נניח ש
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אינה עוצרת על 
+\begin_inset Formula $x_{1},...,x_{n}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$
+\end_inset
+
+ לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה 
+\begin_inset Formula $\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$
+\end_inset
+
+ אינה מוגדרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד גם
+ את המכונות עצמן.
+ מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות )טיורינג( ולא במכונות עצמן,
+ אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה.
+ ומכיוון שהא"ב סופי ורשימת הפקודות סופית )וכבר זיהינו את הא"ב עם המספרים
+ הטבעיים 
+\begin_inset Formula $\{0..k\}$
+\end_inset
+
+(.
+ אם רק נוסיף לזיהוי הזה את 
+\begin_inset Formula $k+1$
+\end_inset
+
+ כפקודה 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ ואת 
+\begin_inset Formula $k+2$
+\end_inset
+
+ כפקודה 
+\begin_inset Formula $R$
+\end_inset
+
+ נוכל לקודד את המכונה על ידי מספר טבעי.
+ נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $\left\lceil T\right\rceil $
+\end_inset
+
+ את הקוד של 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $e\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ הוא קוד של מ"ט נסמן 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ את המכונה ש-
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ מקודד.
+ יהיה נוח להניח שאם 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ אינו מקודד מ"ט אז נחליט ש
+\begin_inset Formula $n-e$
+\end_inset
+
+ מקודד את המכונה שאינה עוצרת על אף קלט.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+לא קיימת פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+f(e) & = & \begin{cases}
+1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה שקיימת פונקציה 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ כנ"ל.
+ נגדיר פונקציה 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(e) & = & \begin{cases}
+T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+מההנחה )ומהמשפט האחרון, ומהמשפט על ההגדרה לפי מקרים( 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה )ואפילו שלמה(, ומקודדת, נאמר ע"י 
+\begin_inset Formula $e_{0}$
+\end_inset
+
+.
+ אז: מצד אחד 
+\begin_inset Formula $T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$
+\end_inset
+
+ ומצד שני 
+\begin_inset Formula $g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+היחס 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המוגדר ע"י 
+\begin_inset Formula $e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$
+\end_inset
+
+ אינו יחס חשיב.
+ מצד שני 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ הנ"ל היא תחום של מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+ הרעיון? המכונה מריצה את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(e)$
+\end_inset
+
+ ומחזירה את התשובה, אם היא אי פעם מתקבלת.
+ ביתר פירוט, ניקח 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}$
+\end_inset
+
+ מ"ט אוניברסלית ונשים לב ש
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(e,e)$
+\end_inset
+
+ עוצרת אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $e\in A$
+\end_inset
+
+.
+ לכן יש 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ בתחום של המכונה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(x,x)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תיקרא אוניברסלית אם 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$
+\end_inset
+
+ )ובפרט אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ לא עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)$
+\end_inset
+
+ לא מוגדרת(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימת מכונת טיורינג אוניברסלית.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הרעיון פשוט, ההוכחה מייגעת, ע"י תיאור המכונה.
+ דרך אחרת: בעזרת פונקציות חשיבות.
+ נגדיר את 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{2}(e,n)$
+\end_inset
+
+ באופן הבא.
+ נגדיר את היחסים הבאים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\theta(x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ הוא קוד.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\theta_{1}(x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ הוא קוד של מכונת טיורינג.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מקודד סדרה סופית של רביעיות של מספרים טבעיים.
+ כל רביעייה היא פקודה ובין הפקודות אין סתירות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\varphi(e,x)$
+\end_inset
+
+ - 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מכונת טיורינג ו-
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מצב קוד של מצב פנימי של המכונה המקודדת על ידי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $\varphi(e,x,y)$
+\end_inset
+
+- 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מ"ט, 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+ קודים של המכונה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ הוא העוקב של 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ לפי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ההמשך זהה בדיוק להוכחת משפט השקילות.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Definition
+קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ תקרא ניתנת למניה חשיבה )נל"ח או נל"ר - ניתנת למניה רקורסיבית( אם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא התחום של פונקציה חשיבה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+ראינו שקיימות קבוצות נל"ח שאינן חשיבות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+התנאים הבאים שקולים לקבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח )תחום של פונקציה חשיבה(
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא התמונה של פונקציה חשיבה 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא התמונה של פונקציה חשיבה מלאה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא מהצורה 
+\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $
+\end_inset
+
+ לאיזה יחס חשיב 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ היא מהצורה 
+\begin_inset Formula $\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $
+\end_inset
+
+לאיזה יחס חשיב 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+מניה רקורסיבית
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+תהי 
+\begin_inset Formula $\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ אזי התנאים הבאים שקולים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ הטווח של פונקציה חשיבה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ הטווח של פונקציה מלאה
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קיים יחס חשיב 
+\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{N}^{2}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+כנ"ל עבור 
+\begin_inset Formula $B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(1)\Rightarrow(2)$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $A=dom(f)$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ מ"ט המחשבת את 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $f=f_{T_{f}}^{1}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $A\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ אפשר לבחור 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר פונקציה חשיבה 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ באופן הבא: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+נסמן את התנאי הנ"ל ב
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+.
+ אנחנו יודעים ש
+\begin_inset Formula $*$
+\end_inset
+
+ הוא יחס חשיב לכן גם המשלים חשיב.
+ לכן לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים גם 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ עונה על דרישותינו - 
+\begin_inset Formula $g(\mathbb{N})=A$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $l\in g(\mathbb{N})$
+\end_inset
+
+ אז או ש
+\begin_inset Formula $l=a$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $l\in A$
+\end_inset
+
+ .
+ או ש
+\begin_inset Formula $l=Pr^{L}(n)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אז זה אומר ש
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ אחרי פחות מ
+\begin_inset Formula $Pr^{R}(n)$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{f}}^{1}=f$
+\end_inset
+
+ אם אגף שמאל מוגדר גם אגף ימין מוגדר, כלומר 
+\begin_inset Formula $l\in Dom(f)=A$
+\end_inset
+
+.
+ בכיוון השני, אם 
+\begin_inset Formula $l\in Dom(f)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T_{f}$
+\end_inset
+
+ עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $l$
+\end_inset
+
+ אחרי איזה מספר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ של צעדים.
+ אז 
+\begin_inset Formula $n=Pr(l,k+1)$
+\end_inset
+
+ ולפי הגדרה 
+\begin_inset Formula $g(n)=Pr^{L}(n)=l$
+\end_inset
+
+, כלומר 
+\begin_inset Formula $l\in Range(g)$
+\end_inset
+
+.
+ נשים לב: הפונקציה 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(2)\Rightarrow(3)$
+\end_inset
+
+ - מוכיחים באותו אופן.
+ בוחרים 
+\begin_inset Formula $a\in A$
+\end_inset
+
+ ומגדירים:
+\begin_inset Formula 
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(3)\Rightarrow(4)$
+\end_inset
+
+ - אם 
+\begin_inset Formula $A=Range(f)$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה )ושלמה( אז היחס 
+\begin_inset Formula $B(x,f(x))$
+\end_inset
+
+ חשיב.
+ לכן, 
+\begin_inset Formula $y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(5)$
+\end_inset
+
+ - אין מה להוכיח )מקרה פרטי(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(4)\Rightarrow(1)$
+\end_inset
+
+ - פשוט: 
+\begin_inset Formula $f(x)=\mu_{y}B(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(5)\Rightarrow(4)$
+\end_inset
+
+ - אם 
+\begin_inset Formula $A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$
+\end_inset
+
+ אז נגדיר יחס 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+)משפט הרקורסיה( תהי 
+\begin_inset Formula $C(x,y)$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה.
+ אזי קיימת מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+קיימת מכונת טיורינג 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כל שלכל 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $w_{n}$
+\end_inset
+
+ היא המכונה אשר על הקלט הריק כותבת את המספר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ )ההוכחה - בתרגיל הבית(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+המכונה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תהיה הרכבה של
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ מכונות: 
+\begin_inset Formula $ABC$
+\end_inset
+
+ )מפעילים קודם את 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אח"כ את 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ אח"כ את 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+(.
+ המכונה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ על הקלט 
+\begin_inset Formula $y$
+\end_inset
+
+ תחזיר את הפלט 
+\begin_inset Formula $\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$
+\end_inset
+
+.
+ מה עושה 
+\begin_inset Formula $B$
+\end_inset
+
+ על הקלט 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+? היא כותבת את הקוד של המכונה שכותבת 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ ]מטענת העזר[ ואחריו את 
+\begin_inset Formula $x,y$
+\end_inset
+
+.
+ מה יהיה 
+\begin_inset Formula $B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+? 
+\begin_inset Formula $B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$
+\end_inset
+
+.
+ יוצא ש-
+\begin_inset Formula $C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+ אבל זה בדיוק מה שהיינו צריכים.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+)משפט נקודת השבת( תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ פונקציה חשיבה ושלמה.
+ אזי קיים 
+\begin_inset Formula $e\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+)משפט
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Rice
+\lang hebrew
+( נגדיר יחס שקילות של 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $e_{1}\sim e_{2}$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$
+\end_inset
+
+ .
+ תהי 
+\begin_inset Formula $L\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $e\in L$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $e^{\prime}\sim e$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $e^{\prime}\in L$
+\end_inset
+
+.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ חשיבה אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $L=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $L=\emptyset$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח בשלילה שלא.
+ אז יש 
+\begin_inset Formula $e_{0}\in L$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $e_{1}\not\in L$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר פונקציה חשיבה: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+f(n)=\begin{cases}
+e_{1} & n\in L\\
+e_{0} & n\not\in L
+\end{cases}
+\]
+
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה ושלמה.
+ לכן ממשפט נקודת השבת יש 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $e\in L$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $f(e)\in L$
+\end_inset
+
+ כי 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\sim$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אם 
+\begin_inset Formula $e\in L$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $e_{1}=f(e)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $e_{1}\not\in L$
+\end_inset
+
+.
+ באותו אופן בדיוק גם 
+\begin_inset Formula $e\not\in L$
+\end_inset
+
+ גורר סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+דוגמה:
+\bar default
+ בעיית העצירה אינה חשיבה.
+ אין מכונת טיורינג המחליטה האם 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מכונה שעוצרת על הקלט הריק.
+ במילים אחרות 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אינה חשיבה.
+ ברור ש-
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת 
+\begin_inset Formula $\sim$
+\end_inset
+
+.
+ לפי משפט רייס כיוון ש-
+\begin_inset Formula $L\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ )יש מ"ט שעוצרת על כל קלט ובפרט על הקלט הריק( וגם 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$
+\end_inset
+
+ )יש מכונות שלא עוצרות על שום קלט(.
+ לכן לפי משפט רייס 
+\begin_inset Formula $L$
+\end_inset
+
+ אינה חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)משפט נקודת השבת( תהי 
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(x,y)$
+\end_inset
+
+ מ"ט אוניברסלית ו-
+\begin_inset Formula $C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $C$
+\end_inset
+
+ מ"ט.
+ לכן יש 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $e=\left\lceil T\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Remarks
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה היא נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ נל"ח היא חשיבה אם ורק אם גם המשלים של 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח.
+ 
+\bar under
+הוכחה
+\bar default
+: אם גם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A$
+\end_inset
+
+ נל"ח אז יש מ"ט 
+\begin_inset Formula $T_{1},T_{2}$
+\end_inset
+
+ שמחשבות את איבריהן.
+ אפשר להניח שהן 
+\begin_inset Formula $f_{T_{1}}^{1}$
+\end_inset
+
+ והן 
+\begin_inset Formula $f_{T_{2}}^{1}$
+\end_inset
+
+ פונקציות שלמות.
+ לכל מספר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נתחיל לחשב את 
+\begin_inset Formula $T_{1}(1),T_{1}(2),...$
+\end_inset
+
+ ובמקביל את 
+\begin_inset Formula $T_{2}(1),T_{2}(2),...$
+\end_inset
+
+ )אפשר לסירוגין(.
+ המכונה תעצור ברגע שיתקבל פלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$
+\end_inset
+
+ קיים 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f_{T_{1}}^{1}(m)=n$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $f_{T_{2}}^{1}(m)=n$
+\end_inset
+
+.
+ בכל מקרה אחרי 
+\begin_inset Formula $2m$
+\end_inset
+
+ חישובים המכונה שלנו תיעצר.
+ אם היא עצרה על הריצה של 
+\begin_inset Formula $T_{1}(m)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $n\in A$
+\end_inset
+
+ אחרת 
+\begin_inset Formula $n\not\in A$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות יציגות
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל:
+\bar default
+ תהיינה 
+\begin_inset Formula $A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ נל"ח אז:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+גם 
+\begin_inset Formula $A_{1}\cup A_{2}$
+\end_inset
+
+ נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+גם 
+\begin_inset Formula $A_{1}\cap A_{2}$
+\end_inset
+
+ נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יש דרך אחת סבירה להגדיר מתי 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}^{k}$
+\end_inset
+
+ נל"ח ואז הטלה של קבוצה נל"ח היא נל"ח
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי שפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+ 
+\bar under
+מספור גדל
+\bar default
+ של הנוסחאות 
+\begin_inset Formula $F(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+זו פונקציה 
+\begin_inset Formula $g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המוגדרת באינדוקציה באופן הבא:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+שם עצם 
+\begin_inset Formula $x_{i}$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+קבוע אישי 
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+שם עצם מהצורה 
+\begin_inset Formula $F_{i}(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה מהצורה 
+\begin_inset Formula $R_{i}(t_{1},...,t_{n})$
+\end_inset
+
+ יקודד ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $\varphi=\neg\psi$
+\end_inset
+
+ תקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$
+\end_inset
+
+ תקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מהצורה 
+\begin_inset Formula $\varphi=(\exists x_{i})\psi$
+\end_inset
+
+ תקודד ע"י 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$
+\end_inset
+
+ )הכמת 
+\begin_inset Formula $\forall$
+\end_inset
+
+ בדומה(
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ היא 
+\bar under
+כריעה
+\bar default
+ אם הקבוצה 
+\begin_inset Formula $\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+תורה היא חשיבה אם 
+\begin_inset Formula $\{g(\varphi):\varphi\in T\}$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+מספור גדל הוא חח"ע )באינדוקציה על יצירת הנוסחה(
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בהינתן שפה חשיבה )או סופית( 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ היחס "
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מקודד נוסחה בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+" הוא חשיב.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+)רעיון כללי( נשים לב )קל לראות באינדוקציה( שאם 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ נוסחה באורך 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)>n$
+\end_inset
+
+.
+ בנוסף, אם ב-
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מופיע סימן פונקציה, סימן יחס, קבוע אישי או משתנה עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $i>n$
+\end_inset
+
+ אז )באינדוקציה( 
+\begin_inset Formula $g(\varphi)>n$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+לכן השאלה האם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה שקולה לשאלה האם קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ באורך קטן-שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, שכל הסימנים הלא-לוגיים המופיעים בה הם עם אינדקס קטן או שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ ומספר גדל של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ הוא 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אבל קבוצת הנוסחאות 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מאורך קטן-שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ , שכל הסימנים בה עם אינדקס קטן-שווה ל-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ היא סופית, כלומר זהו כימות חסום.
+ לכן מספיק לבדוק שהפונקציה ששולחת נוסחה למספר גדל שלה היא חשיבה טיורינג.
+ )זה עסק מייגע, אבל לא קשה.(
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+תהי 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ , נאמר שתורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ בשפה המרחיבה את 
+\begin_inset Formula $(0,s)$
+\end_inset
+
+ מייצגת )חלש( את 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ אם קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ כל שלכל 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(f)$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$
+\end_inset
+
+ כאשר הסימון 
+\begin_inset Formula $\underline{n}:=s^{n}(0)$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ פונקציית העוקב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+יחס 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ 
+\bar under
+מיוצג
+\bar default
+ ב-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ מיוצגת ב
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+תורת פיאנו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+(Peano Arithmetic)
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+\lang hebrew
+ זו קבוצת הפסוקים הבאה בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x)(s(x)\not=0)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x)(x+0=x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x)(x\cdot0=0)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\bar under
+סכימת האינדוקציה:
+\bar default
+ לכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ אקסיומה מהצורה:
+\begin_inset Formula 
+\[
+(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))]
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Theorem
+כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+.
+ יתר על כן, קיימת תורה 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש-
+\begin_inset Formula $PA\vdash N$
+\end_inset
+
+ וכל פונקציה חשיבה מיוצגת ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ שלמה ומיוצגת ב-
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+התורה 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ שמובטחת במשפט, אינה כריעה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ הנוסחה האומרת שמ"ט 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ )שהקוד שלה הוא 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+( עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אחרי 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+היחס 
+\begin_inset Formula $\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ חשיב ]הוכחנו[, לכן לפי המשפט מיוצג ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ 
+\bar under
+לא עוצרת
+\bar default
+ אז לכל 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מצד שני, אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ 
+\bar under
+עוצרת
+\bar default
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+.
+ נניח בשלילה ש-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ כריעה אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אבל מכריעות נקבל שלכל זוג 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ אפשר לדעם האם 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+ או 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר אפשר להכריע האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(n)$
+\end_inset
+
+ עוצרת או לא.
+ אבל לפי משפט רייס זו איננה קבוצה חשיבה.
+ סתירה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $N\subseteq T$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ התורה המובטחת במשפט( אז:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכן, 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ איננה כריעה, כי אותה ההוכחה ש-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ אינה כריעה תעבוד עבור 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+הערה
+\bar default
+: אם תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה ושלמה אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כריעה.
+ להלן אלגוריתם הכרעה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נראה בהמשך שאם 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$
+\end_inset
+
+ נל"ח.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ שלמה, כדי לבדוק האם 
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi$
+\end_inset
+
+ נפעיל את המכונה המונה את 
+\begin_inset Formula $C_{T}$
+\end_inset
+
+.
+ בכל שלב נבדוק האם האיבר שהמכונה פלטה הוא הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ או הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ .
+ השלמות מבטיחה לנו שאחד מהם יתקבל בזמן סופי.
+ אם מתקבל 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ - ניצחנו.
+ אם מתקבל 
+\begin_inset Formula $\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ - גם ניצחנו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+כל תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $N\subseteq T\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.
+ )למשל תורת המספרים איננה כריעה(.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+פונקציות יציגות
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת:
+\bar default
+ פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ תקרא מיוצגת )חלש( בתורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ )בשפה עם סימן קבוע
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+וסימן פונקציה חד מקומי 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+( אם קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y)$
+\end_inset
+
+ כך שלכל 
+\begin_inset Formula $\bar{n}\in Dom(f)$
+\end_inset
+
+ מתקיים
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+כאשר 
+\begin_inset Formula $\underline{n}=s^{n}(0)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+כל פונקציה חשיבה יציגה בתורת פאנו ואפילו יש תת-תורה סופית של 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ שבה כל פונקציה חשיבה יציגה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+תהי 
+\begin_inset Formula $N\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ כמובטח במשפט.
+ אזי 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ אינה כריעה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+יהי 
+\begin_inset Formula $\varphi(e,n,z)$
+\end_inset
+
+ היחס האומר "המכונה שהקוד שלה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ עצרה על הקלט 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אחרי לכל היותר 
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ מהלכים".
+ אז ברור ש-
+\begin_inset Formula $\varphi(e,n,z)$
+\end_inset
+
+ הוא יחס חשיב.
+ מהמשפט נובע שלכל שלשה 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(e,n,z)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n,z\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עומדת ביחס, כלומר המכונה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ עוצרת על 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אחרי לא יותר מ
+\begin_inset Formula $z$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+ לכן אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת יש 
+\begin_inset Formula $z_{0}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$
+\end_inset
+
+.
+ לכן אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת אז 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+.
+ מצד שני, אם 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ לא עוצרת אז 
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+
+\begin_inset Formula $N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $\underline{z_{0}}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\models PA$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\models N$
+\end_inset
+
+ .
+ לכן לא ייתכן ש
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+ אבל מהנחתנו זה לא מתקיים.
+ יוצא 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+ לכן אילו הייתה 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ כריעה היינו יכולים להכריע את בעיית העצירה: בהינתן זוג 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ היינו פשוט שואלים אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$
+\end_inset
+
+.
+ אם כן - 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ עוצרת, ואם לא אז 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,n\right\rangle $
+\end_inset
+
+ לא עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+כל תורה 
+\begin_inset Formula $N\subseteq T\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+ניגש להוכחת המשפט עצמו.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+תהי 
+\begin_inset Formula $N\subseteq PA$
+\end_inset
+
+ התורה הבאה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $PA(1)-PA(6)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(N7)$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(\forall x)(\neg x<0)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(N8)$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $(N9)$
+\end_inset
+
+: 
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+כאשר 
+\begin_inset Formula $x<y$
+\end_inset
+
+ זה קיצור לנוסחה 
+\begin_inset Formula $(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $PA\vdash N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+צריך להוכיח רק את 
+\begin_inset Formula $PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר צריך להוכיח:
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$
+\end_inset
+
+.
+ לכן יספיק להוכיח ש-
+\begin_inset Formula $PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$
+\end_inset
+
+.
+ זה יספיק כי אז נקבל 
+\begin_inset Formula $(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$
+\end_inset
+
+.
+ ההוכחה ל-
+\begin_inset Formula $N8$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $N9$
+\end_inset
+
+ דומה מאוד.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+נראה שכל פונקציה חשיבה יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ לשם כך יספיק להראות: משפחת הפונקציות היציגות ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ מכילה מכילה את הפונקציות החשיבות הבסיסיות וסגורה תחת הרכבות ותחת מזעור.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( פונקציית ההיטל 
+\begin_inset Formula $P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$
+\end_inset
+
+ יציגה ע"י 
+\begin_inset Formula 
+\[
+\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y
+\]
+
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+יש להראות ש
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל זה שקול ל 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( הפונקציה 
+\begin_inset Formula $c_{0}(x)=0$
+\end_inset
+
+ יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y):=y\approx0$
+\end_inset
+
+.
+ ההוכחה קשה באותה מידה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+3
+\numeric off
+( הפונקציה 
+\begin_inset Formula $x+y$
+\end_inset
+
+ יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+עלינו להראות 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$
+\end_inset
+
+.
+ באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $n_{2}$
+\end_inset
+
+ .
+ עבור 
+\begin_inset Formula $n_{2}=0$
+\end_inset
+
+ מקבלים 
+\begin_inset Formula $\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$
+\end_inset
+
+.
+ נניח עבור 
+\begin_inset Formula $n_{2}$
+\end_inset
+
+ ונוכיח עבור 
+\begin_inset Formula $n_{2}+1$
+\end_inset
+
+:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1}
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+לגבי כפל זה בדיוק אותו דבר.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+4
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $c_{<}(x,y)$
+\end_inset
+
+ יציגה ב-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+ראשית מראים שלכל 
+\begin_inset Formula $n,m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n<m$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m}$
+\end_inset
+
+ .
+ באותו אופן אם 
+\begin_inset Formula $\neg(n<m)$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$
+\end_inset
+
+.
+ ]למשל באינדוקציה על 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+: מ
+\begin_inset Formula $N7$
+\end_inset
+
+ אנחנו יודעים ש
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg(n<0)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $n\in N$
+\end_inset
+
+.
+ אז נניח שהוכחנו ל
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נתון עבור 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ ונוכיח עבור 
+\begin_inset Formula $m+1$
+\end_inset
+
+.
+ אז אם 
+\begin_inset Formula $n<m$
+\end_inset
+
+ מהנחת האינדוקציה 
+\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m}$
+\end_inset
+
+ ולפי 
+\begin_inset Formula $N8$
+\end_inset
+
+ גם 
+\begin_inset Formula $N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$
+\end_inset
+
+.
+ המקרה ההפוך דומה[.
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+5
+\numeric off
+( משפחת הפונקציות היציגות ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת הרכבה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח ש
+\begin_inset Formula $G(x_{1},...x_{n})$
+\end_inset
+
+ יציגה ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $h_{i}(y_{1},...,y_{m})$
+\end_inset
+
+ יציגות ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+.
+ עלינו להראות ש
+\begin_inset Formula $G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$
+\end_inset
+
+ יציגה ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$
+\end_inset
+
+ מייצגות את 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ , ו
+\begin_inset Formula $\psi(z_{1},..,z_{n},t)$
+\end_inset
+
+ את 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ מייצגת את ההרכבה.
+ כלומר עלינו להראות שלכל 
+\begin_inset Formula $p_{1},...,p_{m}$
+\end_inset
+
+ טבעיים ]ובתחום של הפונקציות 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+[ מתקיים ש
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+.
+ אם נסמן 
+\begin_inset Formula $q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $r=G(q_{1},...,q_{n})$
+\end_inset
+
+ ]בהנחה שהכל מוגדר[ מה שעלינו להראות זה ש
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$
+\end_inset
+
+.
+ על ידי שנחליף את 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ בקבוע שאינו מופיע ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ יספיק להוכיח 
+\begin_inset Formula $N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+.
+ יספיק להוכיח כל כיוון בנפרד.
+ כזכור 
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ לכן עלינו להוכיח:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נתחיל מ
+\numeric on
+2
+\numeric off
+.
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $p_{1},...,p_{m}$
+\end_inset
+
+ בתחום של 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ באותו אופן 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $q_{1},...,q_{n}$
+\end_inset
+
+ בתחום של 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+לכן 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula 
+\begin{eqnarray*}
+N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t)
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+נסיים עם
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}$
+\end_inset
+
+ מייצגות את 
+\begin_inset Formula $h_{i}$
+\end_inset
+
+ אנחנו יודעים שמההנחה 
+\begin_inset Formula $\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$
+\end_inset
+
+ אפשר להסיק 
+\begin_inset Formula $z_{i}=q_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ כיוון ש
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ אז מ
+\begin_inset Formula $z_{i}=q_{i}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $1\le i\le n$
+\end_inset
+
+ אפשר להסיק מההנחה 
+\begin_inset Formula $\psi(z_{1},...,z_{n},t)$
+\end_inset
+
+ ש
+\begin_inset Formula $t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+)
+\numeric on
+6
+\numeric off
+( משפחת הפונקציות היציגות ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ סגורה תחת מזעור.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)רעיון ההוכחה( תהי 
+\begin_inset Formula $G(x_{1},...,x_{n},y)$
+\end_inset
+
+ פונקציה יציגה ע"י נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$
+\end_inset
+
+.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$
+\end_inset
+
+ .
+ איזו נוסחה תייצג את 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+? 
+\begin_inset Formula $\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$
+\end_inset
+
+.
+ ההוכחה שזה אכן מייצג דומה למה שעשינו עד כה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+הוכחת משפטי אי השלמות של גדל
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: הוכחנו אם 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה )חלקית( אז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ יציגה )חלש( ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל )מתוך תרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\noun default
+\color inherit
+10
+\numeric off
+(: 
+\bar default
+אם 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב אז הוא יציג ולכן יש נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\underline{n})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n\in A$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n\not\in A$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: הגדרנו פונקציה 
+\begin_inset Formula $g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ "מספור גדל" של הנוסחאות בשפה 
+\begin_inset Formula $\mathcal{L}$
+\end_inset
+
+ של 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ וראינו שזו פונקציה חשיבה.
+ לשם נוחות הסימון בהינתן נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi\in F(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ נסמן 
+\begin_inset Formula $\left\lceil \varphi\right\rceil $
+\end_inset
+
+ מספר הגדל של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט נקודת השבת של גדל(: לכל נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ בשפה של 
+\begin_inset Formula $PA$
+\end_inset
+
+ קיימת נוסחה 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$
+\end_inset
+
+ )נוסחאות עם משתנה חופשי אחד לנוסחאות ללא משתנים חופשיים( הפונקציה המקיימת
+ 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ נקראת פונקציית האלכסון.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+קל להשתכנע ש-
+\begin_inset Formula $\Delta$
+\end_inset
+
+ ניתנת לחישוב ע"י מכונת טיורינג.
+ לכן הפונקציה הבאה חשיבה: 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ המוגדרת ע"י 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta)}$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה במשתנה חופשי אחד, ואם 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta)}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $
+\end_inset
+
+ ו
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ לכן היחס 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n,m)$
+\end_inset
+
+ המוגדר ע"י 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(\tilde{\Delta})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(n)=m$
+\end_inset
+
+ הוא יחס חשיב.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(x,y)$
+\end_inset
+
+ יציג ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ לפי התרגיל יש נוסחה 
+\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{\Delta}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תהי 
+\begin_inset Formula $\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ צריך להראות ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+.
+ נזכור ש
+\begin_inset Formula $\left\lceil \chi\right\rceil $
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה במשתנה אחד.
+ בנוסף, 
+\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
+\end_inset
+
+ היא יצוג של היחס 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ לכן אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+ המועמד היחיד שיכול להעיד על כך הוא 
+\begin_inset Formula $\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ .
+ בכיוון השני, נניח ש
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ ועלינו להוכיח 
+\begin_inset Formula $N\vdash\psi$
+\end_inset
+
+ .
+ עלינו להראות ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$
+\end_inset
+
+.
+ יספיק להוכיח ש-
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $y_{0}$
+\end_inset
+
+ כלשהו.
+ אבל 
+\begin_inset Formula $N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ - כי 
+\begin_inset Formula $\delta(x,y)$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $\tilde{\Delta}$
+\end_inset
+
+ ומהנתון 
+\begin_inset Formula $N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ נשים 
+\begin_inset Formula $y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $
+\end_inset
+
+ וגמרנו.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט השלמות הראשון של גדל( תהי 
+\begin_inset Formula $T\supseteq N$
+\end_inset
+
+ תורה חשיבה ו-
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה , אז 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אינה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+תורה 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash(\exists x)\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ לאיזה נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi(x)$
+\end_inset
+
+ גורר ש
+\begin_inset Formula $T\vdash\varphi(\underline{n})$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Definition
+נוסחה 
+\begin_inset Formula $Pr(x)$
+\end_inset
+
+ נקראת 
+\bar under
+יחס יכיחות
+\bar default
+ אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+ב
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ יש יחס יכיחות ואם מניחים ש
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ היא 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה אז בנוסף מתקיים: אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נגדיר יחס דו מקומי 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}(x,y)$
+\end_inset
+
+ כך ש 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ אם:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מספר גדל של נוסחה 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+, ו-
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ מקודד הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\varphi$
+\end_inset
+
+ מתוך 
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ .
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אז 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב.
+ לכן יש נוסחה 
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ שמייצגת את 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $(n,m)\in\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ ומוכיח את השלילה - אחרת.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Proof
+נגדיר 
+\begin_inset Formula $Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע, למשל 
+\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+? משום שאם 
+\begin_inset Formula $N\vdash\phi$
+\end_inset
+
+ אז יש הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ מ
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ ויהי 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ קידוד של ההוכחה הזו.
+ אז 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
+\end_inset
+
+.
+ בגלל ש
+\begin_inset Formula $Pr(x,y)$
+\end_inset
+
+ מייצגת את 
+\begin_inset Formula $\tilde{Pr}$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
+\end_inset
+
+ לכן 
+\begin_inset Formula $N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$
+\end_inset
+
+.
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+נובע מ-
+\numeric on
+1
+\numeric off
+, ו-
+\numeric on
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+הוכח באופן דומה )תרגיל(.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כדי לקבל את
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\numeric off
+: אם 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+ 
+\begin_inset Formula $\omega$
+\end_inset
+
+-שלמה אז 
+\begin_inset Formula $N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל אז מהגדרת היציגות 
+\begin_inset Formula $N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ מקודד הוכחה של 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ מ
+\begin_inset Formula $N$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)למשפט השלמות הראשון של גדל( לפי משפט נקודת השבת יש 
+\begin_inset Formula $\phi$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+מקרה א': 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+מקרה ב': 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+
+\end_inset
+
+יוצא 
+\begin_inset Formula $\psi,\neg\varphi$
+\end_inset
+
+ אינם יכיחים ב
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ אינה שלמה.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+סימון:
+\bar default
+ תהי 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ תורה חשיבה.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+)משפט אי השלמות השני של גדל( אם 
+\begin_inset Formula $T\supseteq N$
+\end_inset
+
+ חשיבה ועקבית אז 
+\begin_inset Formula $T\not\vdash Con_{T}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עקבית לא יודעת את זה על עצמה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נבחר 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+ כמו בהוכחת המשפט הראשון.
+ 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+ אז:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$
+\end_inset
+
+.
+ מ-
+\numeric on
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ומ-
+\numeric on
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+נקבל:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\numeric off
+ 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מ-
+\numeric on
+2
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ו-
+\numeric on
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+ביחד נקבל 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אבל 
+\begin_inset Formula $\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$
+\end_inset
+
+ היא אקסיומה לוגית )ואפילו טאוטולוגיה(.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$
+\end_inset
+
+.
+ לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ ו-
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+3
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+מקבלים: 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil ))
+\]
+
+\end_inset
+
+ לפי כלל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+4
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+וכלל הניתוק 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T}
+\]
+
+\end_inset
+
+ כלומר 
+\begin_inset Formula 
+\[
+T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )
+\]
+
+\end_inset
+
+ אבל לפי בחירת 
+\begin_inset Formula $\psi$
+\end_inset
+
+, אם מניחים ש
+\begin_inset Formula $T\vdash Con_{T}$
+\end_inset
+
+ אז מכלל הניתוק 
+\begin_inset Formula $T\vdash\neg Pr(\psi)$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $T\vdash\psi$
+\end_inset
+
+.
+ אבל לפי
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+זה גורר 
+\begin_inset Formula $T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$
+\end_inset
+
+ - סתירה.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+תהי 
+\begin_inset Formula $H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+ פונקציה חלקית.
+ מכונת טיורינג עם אוב )אורקל( עבור 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ זו מכונת טיורינג רגילה שלה פקודה נוספת: "חשב את הערך של 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ כלשהו".
+ ואז הערך של 
+\begin_inset Formula $H(n)$
+\end_inset
+
+ מוחזר אם 
+\begin_inset Formula $n\in Dom(H)$
+\end_inset
+
+ ואחרת האוב אינו מחזיר תשובה, והחישוב של המכונה אינו מסתיים.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+למשל, נוסיף למכונת טיורינג רגילה עוד סרט והפקודה "קרא מן האוב" תתפרש כ-"חשב
+ את 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ עבור הערך שכתוב בסרט בתא מספר
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+2
+\numeric off
+".
+ מה שחשוב הוא שמ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ ניתנת לתיאור סופי.
+ לכן בהינתן אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ אפשר לקודד את כל מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ בדומה לקידוד של מ"ט רגילות.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+המושגים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מצב של מכונה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+ריצה של מכונה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+ריצה מסתיימת
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $f_{T}^{n}(\bar{x})$
+\end_inset
+
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כולם מוגדרים באופן זהה להגדרה הרגילה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+פונקציה 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ תקרא חשיבה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ אם קיימת מ"ט 
+\begin_inset Formula $T$
+\end_inset
+
+ עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $f=f_{T}^{1}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+יהיו 
+\begin_inset Formula $H,G$
+\end_inset
+
+ אובות.
+ נאמר ש
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם כל פונקציה חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $H\sim_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\le_{R}H$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+\begin_inset Formula $\sim_{R}$
+\end_inset
+
+ הוא יחס שקילות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+צריך להראות רק שאם 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G\le_{R}F$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}F$
+\end_inset
+
+.
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ עלינו להראות ש
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ מהנחתנו 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+, אבל אז גם 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+דרגת טיורינג של 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ הינה 
+\begin_inset Formula $deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז נאמר ש
+\begin_inset Formula $a\le_{R}b$
+\end_inset
+
+ אם לכל 
+\begin_inset Formula $H,G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $deg(H)=a,deg(G)=b$
+\end_inset
+
+ מתקיים 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+ ]הערה: בהגדרה אפשר להחליף "לכל" ב"קיים"[.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ברור ש
+\begin_inset Formula $\le_{R}$
+\end_inset
+
+ הוא יחס סדר חלקי על הדרגות.
+ מטרה ראשונה לחקור את המבנה של הקבוצה סדורה חלקית של דרגות טיורינג.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+תכונות בסיסיות של הדרגות:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $deg(F)\le_{R}deg(G)$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+בפרט:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ חשיבות אז 
+\begin_inset Formula $F\sim_{R}G$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם נסמן 
+\begin_inset Formula $0=degF$
+\end_inset
+
+ ל
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ חשיבה אז 
+\begin_inset Formula $0\le_{R}a$
+\end_inset
+
+ לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $a_{1},...,a_{n}$
+\end_inset
+
+ דרגות כלשהן אז יש להן חסם מלעיל משותף קטן ביותר.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+יהיו 
+\begin_inset Formula $F_{1},...,F_{n}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degF_{i}=a_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שכל 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ המקיימת 
+\begin_inset Formula $F_{i}\le_{R}H$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ מחשבת את 
+\begin_inset Formula $F_{1},...,F_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ לכן אם נקח בתור אוב את 
+\begin_inset Formula $\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$
+\end_inset
+
+ )
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-אובות( נקבל ש
+\begin_inset Formula $F_{i}\le_{R}\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ ומזערי כזה.
+ עכשיו פשוט נחליף את 
+\begin_inset Formula $\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ ב-
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ הפועלת באופן הבא: 
+\begin_inset Formula $H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\tilde{H}$
+\end_inset
+
+ היא החסם המבוקש.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+נאמר שסדרת פונקציות 
+\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ היא חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ אם הפונקציה 
+\begin_inset Formula $F(n,x)=F_{n}(x)$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ ברור שאם 
+\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ סדרת פונקציות אז 
+\begin_inset Formula $\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F(n,x)$
+\end_inset
+
+.
+ לכן לכל סדרת פונקציות יש חסם מלעיל.
+ 
+\bar under
+אזהרה: 
+\bar default
+אבל זה לא נכון שלכל סדרת פונקציות יש חסם עליון.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+נאמר ש
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ נל"ח ב
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ )ונרשום 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+( אם 
+\begin_inset Formula $Dom(f)=H$
+\end_inset
+
+ לאיזו 
+\begin_inset Formula $f\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+בדיוק כמו במקרה של פונקציות חשיבות לכל 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+יש 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $H\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+בהינתן 
+\begin_inset Formula $G(x)$
+\end_inset
+
+ נסמן ב
+\begin_inset Formula $G^{*}(e,x)$
+\end_inset
+
+ זו מכונת טיורינג אשר )עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+( אשר בהינתן 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ קוד של מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ וקלט 
+\begin_inset Formula $x$
+\end_inset
+
+ מחשבת את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(x)$
+\end_inset
+
+.
+ ברור ישירות מההגדרה ש:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $H\le_{R}G^{*}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $G^{*}\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מדוע?
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $H\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+ אז יש 
+\begin_inset Formula $f\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $H=Im(f)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ שלמה.
+ אז 
+\begin_inset Formula $H=Im(G^{*}(e_{f},x))$
+\end_inset
+
+ כאשר על הקוד של 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+.
+ וברור ש
+\begin_inset Formula $G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+ברור - כי 
+\begin_inset Formula $G^{*}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ולכן הגרף שלה נל"ח מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+אם 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ דרגה ו-
+\begin_inset Formula $a=degH$
+\end_inset
+
+ אז הקפיצה של 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ היא 
+\begin_inset Formula $degH^{*}$
+\end_inset
+
+ ומסומנת 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+שאלה: האם זה מוגדר היטב? אם 
+\begin_inset Formula $H\sim G$
+\end_inset
+
+ האם 
+\begin_inset Formula $H^{*}\sim G^{*}$
+\end_inset
+
+? מתקיים:
+\begin_inset Formula 
+\[
+G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H
+\]
+
+\end_inset
+
+ לכן יספיק להראות ש
+\begin_inset Formula $G^{*}$
+\end_inset
+
+ נל"ח מירבית מ
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ לפי הטענה הקודמת עבור 
+\begin_inset Formula $H,H^{*}$
+\end_inset
+
+ יוצא ש
+\begin_inset Formula $G^{*}\le_{R}H^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ מסימטריה בין 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ו-
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ גם 
+\begin_inset Formula $H^{*}\le_{R}G^{*}$
+\end_inset
+
+ ולכן זה מוגדר היטב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Definition
+
+\bar under
+שאלה
+\bar default
+: האם קיימת דרגה 
+\begin_inset Formula $0<a$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+? תשובה: כן!
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תזכורת
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ פונקציות )מהטבעיים לטבעיים( אז 
+\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם כל פונקציה חשיבה מ
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\begin_inset Formula $F\sim_{R}G$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\le_{R}F$
+\end_inset
+
+.
+ כמו כן נסמן 
+\begin_inset Formula $F/_{\sim}=degF$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ אם קיימות פונקציות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degF=a,degG=b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $F\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+ אמרנו: אפשר להחליף את "קיימות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+" ב"לכל 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+".
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+מתי נאמר ש
+\begin_inset Formula $F\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+? אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז נגדיר 
+\begin_inset Formula $a\le_{RE}b$
+\end_inset
+
+ בדיוק אם קיימות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degF=a,degG=b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $F\le_{RE}G$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\bar under
+תרגיל
+\bar default
+: 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ חשיבה ב
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}\backslash A$
+\end_inset
+
+ נל"ח מ
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אם 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ פונקציה כלשהי אז 
+\begin_inset Formula $H^{*}$
+\end_inset
+
+ היא הפונקציה המתאימה למכונת טיורינג אוניברסלית עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ באופן פורמלי: 
+\begin_inset Formula $H^{*}$
+\end_inset
+
+ היא הפונקציה המציינת של הקבוצה:
+\begin_inset Formula 
+\[
+\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\}
+\]
+
+\end_inset
+
+ישירות מן ההגדרה נובע שאם 
+\begin_inset Formula $G\le_{RE}H$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $degG\le degH^{*}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\bar under
+כמסקנה
+\bar default
+: אם נגדיר לדרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ את הדרגה 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ע"י 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=degH^{*}$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ כלשהי כך ש
+\begin_inset Formula $a=degH$
+\end_inset
+
+ אז:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ מוגדר היטב
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ הוא הדרגה המירבית מעל 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ שהיא נל"ח ב
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות, אם 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $b\le_{RE}a$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $b\le a^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? אם 
+\begin_inset Formula $b\le_{RE}a$
+\end_inset
+
+ אז לפי הגדרה יש 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $degG=b$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\le_{RE}H$
+\end_inset
+
+.
+ לכן 
+\begin_inset Formula $degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+ראינו: אם 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ חשיבות אז 
+\begin_inset Formula $F\sim G$
+\end_inset
+
+ וסימנו
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\begin_inset Formula $degF=0$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $0\le a$
+\end_inset
+
+ לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז יש דרגה 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ חסם מלעיל קטן ביותר ל
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+לכל סדרה 
+\begin_inset Formula $F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ יש חסם מלעיל )שהוא פשוט 
+\begin_inset Formula $F(y,x)$
+\end_inset
+
+( אבל אין חסם עליון.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+תרגיל
+\bar default
+: אם 
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ דרגות אז 
+\begin_inset Formula $a<a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ )ללא שיוויון( ואם 
+\begin_inset Formula $a\le b$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $a^{\prime}\le b^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ אבל בהמשך נראה שיש 
+\begin_inset Formula $a<b$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ .
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימות דרגות 
+\begin_inset Formula $a,b\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ שאינן ניתנות להשוואה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+קיימת דרגה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $0<a<0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Proof
+לפי המשפט יש 
+\begin_inset Formula $a,b\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ שאינן ניתנות להשוואה.
+ אז 
+\begin_inset Formula $a,b\not=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $a,b\not=0$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Standard
+שאלה מרכזית: )הבעיה של
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+\lang english
+Post
+\lang hebrew
+( האם קיימת 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כנ"ל שהיא נל"ח?
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+אבחנה:
+\bar default
+ נניח ש
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ חשיבה עם אוב 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+.
+ אז לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ יש 
+\begin_inset Formula $\sigma\subseteq H$
+\end_inset
+
+ פונקציה סופית )ז"א תחום של 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופי( כך ש
+\begin_inset Formula $f(n)$
+\end_inset
+
+ ניתן לחישוב מ
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)למשפט( נשים לב שגם אם האוב 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ אינו ידוע לנו עדיין ניתן לרשום את כל הקודים של מכונת טיורינג עם אוב 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ בתור התחלה נבנה שתי פונקציות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
+\end_inset
+
+ וגם 
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+.
+ כדי למלא את הדרישה הזו עלינו לקיים שני אוספים של תנאים:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ שהקוד שלה הוא 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינה מחשבת את 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( מ"ט עם אוב 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ שהקוד שלה הוא 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינה מחשבת 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אז תהי 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ מניה חשיבה של התנאים הנ"ל.
+ נבנה באופן אינדוקטיבי פונקציות סופיות 
+\begin_inset Formula $F_{i},G_{i}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$
+\end_inset
+
+ ג לכל 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ ואם 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ היא תנאי מסוג
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\numeric off
+, למשל אז 
+\begin_inset Formula $F_{i+1}$
+\end_inset
+
+ תבטיח שהפונקציה המחושבת ע"י המכונה 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם האוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ לא תחשב את 
+\begin_inset Formula $F_{i+1}$
+\end_inset
+
+.
+ במילים אחרות המכונה 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם האוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ על קלט מסויים 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ אז תתן ערך ששונה מ
+\begin_inset Formula $F_{i+1}(n)$
+\end_inset
+
+.
+ נניח שהגדרנו 
+\begin_inset Formula $F_{i},G_{i}$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $F_{i-1}\subseteq F_{i}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G_{i-1}=G_{i}$
+\end_inset
+
+ ונניח שבה"כ 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ הוא תנאי מסוג
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+)התפקידים של 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ סימטריים לחלוטין בהוכחה(.
+ יהי 
+\begin_inset Formula $n_{i}\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ הקטן ביותר כך ש
+\begin_inset Formula $n_{i}\not\in dom(F_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ נבחים בין שני מקרים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מקרה א' - קיימת פונקציה סופית 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $G_{i}$
+\end_inset
+
+ )כלומר אם 
+\begin_inset Formula $x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $\sigma(x)=G_{i}(x)$
+\end_inset
+
+(
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+מ"ט 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם אוב 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ עוצרת על הקלט 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+במקרה זה, נגדיר 
+\begin_inset Formula $G_{i}\subseteq G_{i+1}$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+.
+ בגלל הנחה )
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( - זוהי פונקציה.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}$
+\end_inset
+
+ הוא הערך שמ"ט 
+\begin_inset Formula $e_{i}$
+\end_inset
+
+ עם אוב 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מחזירה עבור 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+( וזה מוגדר בגלל הנחה )
+\numeric on
+2
+\numeric off
+(.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+מקרה ב' - לא מקרה א'.
+ אז נגדיר 
+\begin_inset Formula $G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$
+\end_inset
+
+.
+ עתה נגדיר 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ )המקרה השני סימטרי לחלוטין(.
+ תהי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ מ"ט כלשהי עם אוב 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינה מחשבת את 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+ לשם כך יספיק למצוא 
+\begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כלשהו כך ש
+\begin_inset Formula $F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$
+\end_inset
+
+ ]נשים לב ש
+\begin_inset Formula $F(n)$
+\end_inset
+
+ מוגדרת לכל 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+, פשוט משום שהבניה מבטיחה שנטפל בבניה של 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+ אינסוף פעמים ובכל פעם אנחנו מגדירים את 
+\begin_inset Formula $F_{i+1}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $n_{i}$
+\end_inset
+
+ קטן ביותר עבורו הפונקציה טרם הוגדרה.
+ לכן בהכרח 
+\begin_inset Formula $dom(F)=\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+[.
+ בפרט, אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{G}(n)$
+\end_inset
+
+ לא עוצרת, נקבל את הדרישה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+יש שלב 
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ שבו טיפלנו במכונה 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+.
+ יש שתי אפשרויות.
+ אם היינו במקרה ב' אז 
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ אינה עוצרת.
+ אילו הייתה עוצרת, לפי האבחנה שרשמנו היה 
+\begin_inset Formula $\sigma\subseteq G$
+\end_inset
+
+ סופי כך ש
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$
+\end_inset
+
+ עוצרת, ומכיוון של
+\begin_inset Formula $G_{i}$
+\end_inset
+
+ ול
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ הרחבה משותפת 
+\begin_inset Formula $G$
+\end_inset
+
+ הן מתיישבות בסתירה להנחה שאנחנו במקרה ב'.
+ אם היינו במקרה א' אז יש 
+\begin_inset Formula $\sigma_{i}\subseteq G$
+\end_inset
+
+ סופית )שהיא זאת שמופיעה בבניה בשלב ה
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+( כך ש
+\begin_inset Formula $F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+\begin_inset Formula $degG$
+\end_inset
+
+ אינו ניתן להשוואה עם 
+\begin_inset Formula $degF$
+\end_inset
+
+.
+ נותר להראות 
+\begin_inset Formula $degF\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+התחלנו להוכיח: קיימות דרגות 
+\begin_inset Formula $0\le a,b\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $a,b$
+\end_inset
+
+ אינן ניתנות להשוואה ונסמן 
+\begin_inset Formula $a|b$
+\end_inset
+
+.
+ בנינו שתי פונקציות 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
+\end_inset
+
+.
+ נותר לבדוק ש-
+\begin_inset Formula $degF,degG\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ כדי להבטיח שהפונקציות בלתי ניתנות להשוואה היה צריך להגשים שני סוגי תנאים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $F\not=f_{T_{e}^{G}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+)e
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( 
+\begin_inset Formula $G\not=f_{T_{e}^{F}}$
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Lemma
+)למת השימוש( תהי 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ מ"ט ו-
+\begin_inset Formula $H,G$
+\end_inset
+
+ אובות.
+ נניח שבריצה של 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)$
+\end_inset
+
+ הפניות לאורקל 
+\begin_inset Formula $H$
+\end_inset
+
+ מבקשות בדיוק את הערכים 
+\begin_inset Formula $H(r_{1}),...,H(r_{k})$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $k\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ ונניח ש-
+\begin_inset Formula $G(r_{i})=H(r_{i})$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $1\le i\le k$
+\end_inset
+
+.
+ אז 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$
+\end_inset
+
+.
+ בפרט: אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)$
+\end_inset
+
+ עוצרת אז יש 
+\begin_inset Formula $\sigma\subseteq H$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Lemma
+כדי לבנות את 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ מספרנו את התנאים 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ בצורה חשיבה.
+ אם בשלב 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ עלינו לטפל בתנאי מסוג e
+\numeric on
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ אז נבחר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ להיות הראשון שאינו ב
+\begin_inset Formula $domF_{n}$
+\end_inset
+
+ ונבחין בין שני מקרים.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+מקרה א' - אם קיימת 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופית כך ש:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ מתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $G_{n}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+אז נגדיר 
+\begin_inset Formula $G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+ ו- 
+\begin_inset Formula $F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula $r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Enumerate
+מקרה ב' - אחרת )כלומר, אין 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כנ"ל( נגדיר 
+\begin_inset Formula $F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$
+\end_inset
+
+.
+ אז ראינו ש-
+\begin_inset Formula $F\not\le_{R}G$
+\end_inset
+
+ו-
+\begin_inset Formula $G\not\le_{R}F$
+\end_inset
+
+ כאשר 
+\begin_inset Formula ${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula ${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ נותר לבדוק ש-
+\begin_inset Formula $degG,degF\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ כלומר עלינו להראות שיש אוב נל"ח שממנו 
+\begin_inset Formula $F,G$
+\end_inset
+
+ חשיבות.
+ משיקולי סימטריה יספיק לבדוק שזה נכון עבור 
+\begin_inset Formula $F$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נגדיר פונקציה 
+\begin_inset Formula $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ שהיא הבניה: כלומר 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ מחזיר לנו קוד עבור 
+\begin_inset Formula $\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ יספיק לוודא ש-
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ חשיבה מאיזה אוב נל"ח.
+ נניח שאנחנו יודעים את 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ ואנחנו רוצים לחשב את 
+\begin_inset Formula $s(n+1)$
+\end_inset
+
+.
+ ב.ה.כ השלב 
+\begin_inset Formula $e_{n+1}$
+\end_inset
+
+ הוא מסוג e
+\numeric on
+1
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+.
+ דבר ראשון 
+\begin_inset Formula $s$
+\end_inset
+
+ צריכה להכריע אם אנחנו במקרה א' או מקרה ב'.
+ ז"א עלינו לדעת להכריע אם קיימת 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ שמתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $G_{n}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{e+1}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת )מיהו 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ידוע מ
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+(.
+ דבר ראשון נשים לב שהתנאי בתוך הסוגריים הוא נל"ח ]ב
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+, אבל מכיוון ש
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופית אז היא ממש נל"ח[.
+ אבל לכל יחס נל"ח 
+\begin_inset Formula $A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ אז גם 
+\begin_inset Formula $(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ נל"ח.
+ לכן ההכרעה האם אנחנו במקרה א' או במקרה ב' חשיבה מאוב נל"ח.
+ אם נחנו במקרה ב' - אין בעיה, הכל חשיב.
+ אם אנחנו במקרה א' - עלינו למצוא את 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+.
+ זה שוב דבר שהוא חשיב באופן כללי, כי אם 
+\begin_inset Formula $A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ נל"ח ו-
+\begin_inset Formula $\bar{y}$
+\end_inset
+
+ כזה ש-
+\begin_inset Formula $(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$
+\end_inset
+
+ אז יש פונקציה חשיבה שמחזירה 
+\begin_inset Formula $\bar{x}$
+\end_inset
+
+ שמעיד על כך.
+ לכן בסה"כ 
+\begin_inset Formula $s(n+1)$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ בעזרת האוב הנל"ח 
+\begin_inset Formula $(\exists\sigma)(...)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+קיימת 
+\begin_inset Formula $0<a<0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+אותה הוכחה בדיוק תראה: לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $c$
+\end_inset
+
+ קיימת דרגה 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כך ש
+\begin_inset Formula $c<a<c^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Corollary
+האם אפשר למצוא 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כמו במסקנה שהיא נל"ח? תשובה: כן.
+ ואפשר אפילו לדרוש ש-
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+קיימת דרגת טיורינג נל"ח 
+\begin_inset Formula $a$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $a\not=0$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $a^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+)רעיון( נבנה קבוצה 
+\begin_inset Formula $A\subseteq\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ באינדוקציה.
+ בכל שלב 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ נוסיף לקבוצה שבנינו בשלבים הקודמים מספר של איברים.
+ הבניה תהיה כזו שלגבי כל איבר שהכנסנו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אנחנו מתחייבים שהוא יישאר ב-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ אבל באופן כללי בשום שלב סופי לא נתחייב לגבי שום מספר טבעי שהוא לא ייכנס
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מתישהו בעתיד.
+ לפי מה אנחנו מחליטים האם להכניס איבר ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ או לא )שזה דבר שלא יקרה(? כדי להבטיח את התנאים נרצה לוודא שהקבוצה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שאנחנו בונים אינה חשיבה.
+ לכן נרצה להבטיח ש-
+\begin_inset Formula $\chi_{A}$
+\end_inset
+
+ שונה מ
+\begin_inset Formula $\chi_{E}$
+\end_inset
+
+ לכל קבוצה חשיבה 
+\begin_inset Formula $E$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הצרה היא שאנחנו לא יכולים להתמקד בפונקציות מציינות של קבוצות חשיבות.
+ צריך לעבור על כל הפונקציות החשיבות - ובכלל זה אלו שאינן שלמות.
+ מתי נכניס איבר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+? לכל מ"ט 
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ נתאים מספר טבעי 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ונריץ את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+.
+ אם נקבל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+עולה החשד ש
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ פונקציה מציינת של איזו קבוצה ו-
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ חושבת ש-
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ לא בקבוצה.
+ ליתר בטחון, נכניס את 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ וזה יבטיח ש
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שונה מהקבוצה ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}$
+\end_inset
+
+ )אולי( מקודדת.
+ הקושי העיקרי - כיצד נדע אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ אי פעם תעצור?
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כדי להבטיח ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שנבנה תהיה נל"ח נרצה לוודא שהבניה שאנחנו מנהלים היא חשיבה.
+ לכן שאלות מהסוג "האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ עוצרת" אינן באות בחשבון.
+ מה הפתרון? נשים לב שאם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ אינה עוצרת ומחזירה
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\numeric off
+, לא יקרה שום דבר רע אם אף פעם לא נחליט להכניס את 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ כי בסוף פשוט 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ לא יהיה ב
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ואנחנו בסדר.
+ השאלה היא איך לא לתקוע את הבניה אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ לא עוצרת.
+ כמו תמיד, נדאג לחזור ל
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ אינסוף פעמים ובכל פעם לבצע מספר חסום )אבל עולה לאינסוף( של צעדים.
+ אם אי פעם 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ תעצור נדע אם עצרה על
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+0
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+או לא - אם כן נכניס את 
+\begin_inset Formula $k(e)$
+\end_inset
+
+ ואם לא - לא נעשה כלום.
+ בדיוק כמו במקרה שבו 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k(e))$
+\end_inset
+
+ בכלל לא עוצרת.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+הדרישה השניה, ש-
+\begin_inset Formula $(degA)^{\prime}=0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ מצריכה אותנו לטפל בעוד משפחה של תנאים: 
+\begin_inset Formula $(2_{e,k})$
+\end_inset
+
+- צריך להחליט האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת או לא.
+ נניח שרוצים לטפל בתנאים אלה.
+ רוצים לדעת האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת או לא.
+ אבל איפה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ואיפה אנחנו?? )אליבא ד'חסון(.
+ בשלב סופי התחייבנו רק לגבי מספר סופי של 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ שהם ב
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ ננסה לחשב את 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ - את זה גם כן אי אפשר לחשב.
+ את זה נפתור כמו קודם.
+ נטפל בתנאי 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ אינסוף פעמים וכל פעם נריץ את המכונה עוד קצת.
+ כל זה יעזור בכלל במשהו אם בסוף, לגבי כל 
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ שעליו 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ שאלה האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+ נקבל בדיוק את אותה התשובה גם ב
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ )או לחלופין בכל שלב בעתיד בו נחזור לטפל ב
+\begin_inset Formula $(2_{e,k})$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+המכונה שואלת את האוב 
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ שאלות מהצורה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?" או "האם 
+\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?".
+ מהבניה - אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ שאלה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?" וקיבלה תשובה חיובית אז היא תמיד תקבל תשובה חיובית לכל 
+\begin_inset Formula $A_{j}$
+\end_inset
+
+ עם 
+\begin_inset Formula $i\le j$
+\end_inset
+
+.
+ לכן התשובות היחידות שיכולות להשתנות הן תשובות ש
+\begin_inset Formula $A_{i}$
+\end_inset
+
+ חושב ש
+\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ ל
+\begin_inset Formula $r$
+\end_inset
+
+ יש שימוש שלילי בריצה של 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ פונה לאוב בשאלה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{i}$
+\end_inset
+
+?" ומקבלת תשובה 
+\begin_inset Formula $r\not\in A_{i}$
+\end_inset
+
+.
+ לכל חישוב של ריצה עבור 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{i}}$
+\end_inset
+
+ ]במילים אחרות, לכל טיפול בתנאי 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+[ נצוות רשימה 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+ של כל ה
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ בהם נעשה שימוש שלילי בזמן הריצה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כל עוד 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$
+\end_inset
+
+ - אנחנו בסדר.
+ מה שנרצה הוא להשתדל שלא להכניס איברים מ-
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ אבל מה נעשה אם פתאום תנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $1$
+\end_inset
+
+ מחליט שהוא רוצה להכניס ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ איבר ששייך לאיזה 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+? נחליט על סדר קדימויות.
+ נמספר את כל התנאים שלנו )כמו בהוכחת המשפט הקודם( ונרשה לתנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ לפצוע קבוצה מסוג 
+\begin_inset Formula $N_{e,k}$
+\end_inset
+
+ רק אם המספר הסידורי של 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ קטן מזה של 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+תורת רקורסיה - המשך
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+)המשך רעיון ההוכחה משיעור שעבר(
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+תהי 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ רשימה של כל התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e},2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ כך שכל תנאי מופיע אינסוף פעמים.
+ אין בעיה לייצר רשימה כזו באופן חשיב.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+נבחר פעם אחת ולתמיד חלוקה של 
+\begin_inset Formula $\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ לאינסוף קבוצות אינסופיות זרות.
+ גם את זה אפשר לעשות באופן חשיב.
+ ]למשל 
+\begin_inset Formula $a\in A_{n}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $n=Pr^{L}(a)$
+\end_inset
+
+ - שיטת האלכסון של קושי[.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+ראשית, נתאר בהינתן תנאי מהצורה 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ כיצד נבחר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ שעבורו ננסה לחשב את 
+\begin_inset Formula $T_{e}(k)$
+\end_inset
+
+.
+ אם 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+ היא המכונה ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+-ית באיזה מספור )חשיב( של הפונקציות החשיבות אז נבחר את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $A_{n}$
+\end_inset
+
+ .
+ שנית, נדרוש ש-
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מספיק גדול כך שאינו מופיע בשום 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שהתקבלה עד כה בבניה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+עכשיו נתאר את השלב ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בבניה:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\bar under
+מקרה א'
+\bar default
+ - השלב ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ הוא מהצורה 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Enumerate
+כבר הכנסנו מספר מ-
+\begin_inset Formula $R_{i}$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ - לא עושים כלום.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אם קיים 
+\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $k<n$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $T_{ei}(k)=0$
+\end_inset
+
+, מתקבל אחרי פחות מ-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים.
+ בנוסף 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ לא שייך לשום 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שמספרה הסידורי קטן ממספור הסידורי של 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+.
+ ]ברקע יש לנו מספור חשיב של כל הדרישות שלנו, למשל המספור הסידורי של הדרישה
+ 
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ - במספור שקבענו בהתחלה - יכול להיות האינדקס הראשון 
+\begin_inset Formula $i_{0}$
+\end_inset
+
+ כך שהתנאי ב-
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ שווה לתנאי ב-
+\begin_inset Formula $c_{i_{0}}$
+\end_inset
+
+[.
+ במקרה הזה - נכניס את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ וכמובן ש"נפצע" )נסמן( כל 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שהמספר הסידורי שלה גדול מזה של 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ שייך להכרזה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Enumerate
+אחרת - לא נעשה כלום.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Itemize
+
+\bar under
+מקרה ב'
+\bar default
+ - אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}(k)$
+\end_inset
+
+ )כאשר 
+\begin_inset Formula $A_{n-1}$
+\end_inset
+
+ הקבוצה שחיברנו עד כה( עוצרת אחרי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים, אז נגיש 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שמתאימה לחישוב.
+ ]כלומר מכינים הכרזה ובה כל המספרים 
+\begin_inset Formula $l\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך שבמהלך החישוב 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}(k)$
+\end_inset
+
+ פנתה לאוב ושאלה "האם 
+\begin_inset Formula $l\in A_{n-1}$
+\end_inset
+
+" וקיבלה תשובה שלילית[.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Claim
+הקבוצה 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ שנקבל בסוף הבניה עונה על כל התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e},2_{e,k}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נניח שיש לנו תנאי 
+\begin_inset Formula $1_{e_{i}}$
+\end_inset
+
+.
+ אם בשלב כלשהו הכנסו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מספר 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ מ-
+\begin_inset Formula $R_{i}$
+\end_inset
+
+ זה אומר שמצאנו ש-
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}(k)=0$
+\end_inset
+
+ והכנסנו את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ולכן 
+\begin_inset Formula $\chi_{A}(k)=1$
+\end_inset
+
+ ואנחנו בסדר.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אז נניח שאין 
+\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
+\end_inset
+
+ שהוכנס ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ נבחר 
+\begin_inset Formula $k\in R_{i}$
+\end_inset
+
+ גדול מספיק כדי ש-
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ אינו מופיע באף 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה עם אינדקס קטן מהאינדקס של 
+\begin_inset Formula $1_{ei}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מדוע יש 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ כזה? נשים לב שאם 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ הוא האינדקס של 
+\begin_inset Formula $2_{e,l}$
+\end_inset
+
+ אז כל תנאי עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $m<n$
+\end_inset
+
+ יכול "לפצוע" הכרזה של 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ לכל היותר פעם אחת.
+ אם התנאי עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ פצע הכרזה כלשהי ז"א שהתנאי הכניס איבר כלשהו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ ולפי )
+\numeric on
+1
+\numeric off
+( של מקרה א' לעולם לא נחזור לטפל בתנאי עם אינדקס 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+.
+ בסה"כ את ה-
+\begin_inset Formula $2_{e,l}$
+\end_inset
+
+ הכרזות ניתן "לפצוע" לכל היותר 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ פעמים.
+ לכן יש לכל היותר 
+\begin_inset Formula $n+1$
+\end_inset
+
+ הכרזות 
+\begin_inset Formula $2_{e,l}$
+\end_inset
+
+.
+ בסה"כ לכל תנאי שהוא יש לכל היותר מספר סופי של הכרזות של תנאים עם אינדקס
+ קטן יותר.
+ לכן יש 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ כמו שאנחנו רוצים ועבור 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ כזה לא ייתכן ש-
+\begin_inset Formula $T_{e_{i}}(k)=0$
+\end_inset
+
+.
+ מדוע? אילו זה היה מתקיים לפי מקרה )א'
+\numeric on
+2
+\numeric off
+( היינו מכניסים את 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+ ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ בסתירה להנחה.
+ לכן על התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ מתקיימים.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+מה בקשר לתנאים 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ? נאמר ש-
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ הכרזה היא קבועה אם היא זרה ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+.
+ נראה ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת אם ורק אם קיימת 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ הכרזה קבועה.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אם קיימת 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ הכרזה קבועה ז"א שקיים איזה שלב 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ בבניה שבו 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}$
+\end_inset
+
+ עצרה )אחרי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים( ויצרה את ההכרזה.
+ כיוון שההכרזה קבועה, לכל 
+\begin_inset Formula $r\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A_{n-1}}$
+\end_inset
+
+ פנתה לאוב בשאלה "האם 
+\begin_inset Formula $r\in A_{n-1}$
+\end_inset
+
+?" האוב 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ יחזיר את אותה התשובה.
+ לכן לפי עקרון השימוש 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+בכיוון השני אם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת )נאמר אחרי 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ צעדים( אז לכל 
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ כך שהתנאי ב-
+\begin_inset Formula $c_{i}$
+\end_inset
+
+ הוא 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $i>n$
+\end_inset
+
+, הבניה במקרה ב' תייצר 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה.
+ )ובתנאי שבשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ כבר נכנסו ל-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ כל האיברים שבהם נעשה שימוש חיובי בחישוב של 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+אבל מהדיון הקודם, כל תנאי יכול לייצר לכל היותר מספר סופי של הכרזות.
+ אז האחרונה מביניהן שהכרח לא תשתנה, ז"א תהיה קבועה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+עד עתה: בנינו את 
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+, הראנו ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מקיימת את התנאים 
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ ואת 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ )לפי א' הנ"ל( וברור שהבניה חשיבה.
+ כיוון ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ מקיימת את
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+
+\begin_inset Formula $1_{e}$
+\end_inset
+
+ לכל 
+\begin_inset Formula $e$
+\end_inset
+
+, ברור ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אינה חשיבה.
+ כיוון שהבניה חשיבה, אם נגדיר 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ להיות הקבוצה 
+\begin_inset Formula $A_{n}$
+\end_inset
+
+ שהתקבלה בשלב ה-
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ של הבנייה נקבל ש-
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ נל"ח, כי 
+\begin_inset Formula $s(n)$
+\end_inset
+
+ חשיבה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+נותר לוודא ש-
+\begin_inset Formula $deg(A^{*})\le0$
+\end_inset
+
+.
+ ראינו בתרגיל
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\numeric on
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+11
+\family roman
+\series medium
+\shape up
+\size normal
+\emph off
+\numeric off
+\bar no
+\noun off
+\color none
+ 
+\family default
+\series default
+\shape default
+\size default
+\emph default
+\bar default
+\noun default
+\color inherit
+טענה שאומרת שאם 
+\begin_inset Formula $A^{*}=dim(B_{i})$
+\end_inset
+
+ עבור 
+\begin_inset Formula $i\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $B_{i}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ
+\numeric on
+-
+\numeric off
+
+\begin_inset Formula $A$
+\end_inset
+
+ אז 
+\begin_inset Formula $deg(A^{*})\le0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$
+\end_inset
+
+אם ורק אם בשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ של הבנייה יש 
+\begin_inset Formula $2_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - הכרזה שאיננה פצועה.
+ כיוון שהבניה חשיבה 
+\begin_inset Formula $B_{i}$
+\end_inset
+
+ יחס חשיב.
+ לפי )א( הנ"ל 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$
+\end_inset
+
+ עוצרת אם ורק אם 
+\begin_inset Formula $dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Theorem
+לכל דרגה 
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\le a$
+\end_inset
+
+ קיימת דרגה 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+
+\bar under
+רעיון ההוכחה
+\bar default
+: נבחר 
+\begin_inset Formula $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $deg(g)=a$
+\end_inset
+
+, אפשר לבחור 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ כזו שלמה.
+ נרצה לבנות 
+\begin_inset Formula $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $f^{*}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup deg(f)$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $f^{*}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נרצה להגשים שני סוגים תנאים:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+ - להחליט האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{f}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+\begin_inset Formula $2_{n}$
+\end_inset
+
+ - לוודא ש-
+\begin_inset Formula $f(m)=g(n)$
+\end_inset
+
+ לאיזה 
+\begin_inset Formula $m\in\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כרגיל נמספר את התנאים 
+\begin_inset Formula $\{c_{i}\}$
+\end_inset
+
+, ובשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ אם אנו בתנאי 
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+ ויש 
+\begin_inset Formula $\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
+\end_inset
+
+ סופית שמתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $f_{i-1}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת, נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+ ואחרת נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{i}=f_{i-1}$
+\end_inset
+
+.
+ ואם בשלב ה-
+\begin_inset Formula $i$
+\end_inset
+
+ אנו בתנאי 
+\begin_inset Formula $2_{n}$
+\end_inset
+
+ אז נבחר 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ מזערי כך שאינו בתחום של 
+\begin_inset Formula $f_{i-1}$
+\end_inset
+
+ ונגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{i}(m)=g(n)$
+\end_inset
+
+.
+ לסיכום: יוצא שהבניה חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup a=a$
+\end_inset
+
+ וחשיבה גם מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}\cup b$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset space ~
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+תהי 
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+ כנ"ל ונמצא פונקציה 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $deg(f)$
+\end_inset
+
+ תענה על הדרישות.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+\begin_inset Formula $b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ולכן יספיק למצוא 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}\le a\le b$
+\end_inset
+
+.
+ מזה נבטיח שיש שיוויונות לכל אורך הדרך.
+ אז צריך למצוא 
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ חשיבה מ-
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ ומ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+ 
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+כרגיל נמספר את התנאים )כולם ביחד( במספור חשיב 
+\begin_inset Formula $\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$
+\end_inset
+
+ ונניח שלכל 
+\begin_inset Formula $i\le n$
+\end_inset
+
+ בנינו פונקציה 
+\begin_inset Formula $f_{i}$
+\end_inset
+
+ )עם תחום סופי( כך ש-
+\begin_inset Formula $f_{i}\subseteq f_{j}$
+\end_inset
+
+ אם 
+\begin_inset Formula $i\le j$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Proof
+
+\bar under
+בניית 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_deeper
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $e_{n+1}$
+\end_inset
+
+ הוא תנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+: נבדוק האם יש 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ סופית שמתיישבת עם 
+\begin_inset Formula $f_{n}$
+\end_inset
+
+ כך ש-
+\begin_inset Formula $T_{e}^{\sigma}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת.
+ אם כן, נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$
+\end_inset
+
+ אחרת נגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם 
+\begin_inset Formula $e_{n+1}$
+\end_inset
+
+ הוא תנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $2_{k}$
+\end_inset
+
+ אז נמצא 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+ מזערי שאיננו בתחום של 
+\begin_inset Formula $f_{n}$
+\end_inset
+
+ ונגדיר 
+\begin_inset Formula $f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $
+\end_inset
+
+.
+ נגדיר 
+\begin_inset Formula $f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$
+\end_inset
+
+ ואז 
+\begin_inset Formula $f$
+\end_inset
+
+ פונקציה שלמה.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+כדי לממש את הבניה:
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם אנחנו בתנאי 
+\begin_inset Formula $1_{e,k}$
+\end_inset
+
+ צריך לדעת האם קיים 
+\begin_inset Formula $\sigma$
+\end_inset
+
+ כזה.
+ כדי לענות על השאלה הזו אנו יכולים מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Itemize
+אם אנחנו בתנאי מסוג 
+\begin_inset Formula $2_{k}$
+\end_inset
+
+, אין בעיה למצוא את 
+\begin_inset Formula $m$
+\end_inset
+
+.
+ כל מה שצריך זה לחשב את 
+\begin_inset Formula $g(k)$
+\end_inset
+
+ ואת זה אפשר לעשות מ-
+\begin_inset Formula $g$
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+נשאר להראות כי את 
+\begin_inset Formula $b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ ניתן לחשב מ-
+\begin_inset Formula $b$
+\end_inset
+
+ ומ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ אבל 
+\begin_inset Formula $b^{\prime}=deg(f^{*})$
+\end_inset
+
+ ו-
+\begin_inset Formula $f^{*}$
+\end_inset
+
+ זהו האוב שעונה לכל שאלה מהצורה "האם 
+\begin_inset Formula $T_{e}^{f}(k)$
+\end_inset
+
+ עוצרת?".
+ ראשית אם אנו יודעים את הבניה של 
+\begin_inset Formula $t$
+\end_inset
+
+ אז אנו יודעים לענות על כל השאלות מהצורה הנ"ל.
+ אבל הבניה חשיבה גם מ-
+\begin_inset Formula $0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ וגם מ-
+\begin_inset Formula $b^{\prime}$
+\end_inset
+
+ )ביחד( ולכן 
+\begin_inset Formula $b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$
+\end_inset
+
+ כנדרש.
+\end_layout
+
+\end_deeper
+\begin_layout Corollary
+הפונקציה 
+\begin_inset Formula $a\rightarrow a^{\prime}$
+\end_inset
+
+ איננה חח"ע.
+\end_layout
+
+\end_body
+\end_document
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
new file mode 100644
index 0000000..970b073
Binary files /dev/null and b/notes.pdf differ
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
new file mode 100644
index 0000000..695f74c
--- /dev/null
+++ b/notes.tex
@@ -0,0 +1,3143 @@
+%% LyX 2.1.1 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
+%% Do not edit unless you really know what you are doing.
+\documentclass[english,hebrew]{article}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[latin9,cp1255]{inputenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\PassOptionsToPackage{normalem}{ulem}
+\usepackage{ulem}
+
+\makeatletter
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
+%% Because html converters don't know tabularnewline
+\providecommand{\tabularnewline}{\\}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
+\usepackage{theorem}
+\theorembodyfont{\upshape}
+\newtheorem{theorem}{\R{����}}[section]
+\AtBeginDocument{\make@lr\thetheorem}
+
+% The following chunk fixes export with XeTeX.
+% It is needed because polyglossia is used by default
+% and \make@lr is only defined by babel.
+\@ifundefined{make@lr}
+{\def\make@lr#1{\begingroup
+    \toks@=\expandafter{#1}%
+    \edef\x{\endgroup
+  \def\noexpand#1{\noexpand\@number{\the\toks@}}}%
+  \x}}{\relax}
+\newtheorem{claim}[theorem]{\R{����}}
+\newenvironment{proof}%
+{\R{\textbf{�����:}}}%
+{\hfill\rule{2mm}{2mm}\par\vspace{2mm}}
+\newtheorem{definition}[theorem]{\R{�����}}
+\newtheorem{lemma}[theorem]{\R{���}}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{\R{�����}}
+\newtheorem{remark}[theorem]{\R{����}}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
+\date{}
+
+\makeatother
+
+\usepackage{babel}
+\begin{document}
+
+\title{�� ����� ��� ������ ����� ��������\\
+�\char`\"{}� ��� ����, ���������� ��-������ ����}
+
+
+\author{���� ���}
+
+\maketitle
+\selectlanguage{english}%
+\inputencoding{latin9}\begin{minipage}[t]{1\columnwidth}%
+\selectlanguage{english}%
+\begin{quote}
+Young man, in mathematics you don't understand things.\\
+You just get used to them.
+\begin{quote}
+- John von Neumann\end{quote}
+\end{quote}
+%
+\end{minipage}
+
+\selectlanguage{hebrew}%
+\inputencoding{cp1255}\tableofcontents{}
+
+
+\section{������}
+\begin{itemize}
+\item ����� ������ ���� ������ �������. )����� ������ ����� ����� �����
+�� �� ���� �� ��� ��...(
+\item �� ������ ������. �� ������ ���� �� �� �� ���� �����, ��� �� ����
+������� �����.
+\item ���� ������ ��������� �� ������� �� ��� ���������.
+\item �����/�����/����� - ����� ����� ��� ��� \L{$yuv.adm$} ����� ��� \L{$gmail.com$}
+\item ��� ����, ��� �������.
+\end{itemize}
+
+\section{������}
+\begin{itemize}
+\item ��� \L{$\mathcal{M}$} ���� ���� ���� ����� \L{$L$}, \L{$s$} ����
+�\L{$\mathcal{M}$} �-\L{$t$} �� ���. �� ���� �� \L{$t$} �-\L{$\mathcal{M}$}
+���� ����� \L{$s$} ���:
+\item �� \L{$t$} ���� ���� \L{$c$} �� \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=c^{\mathcal{M}}$}
+\item �� \L{$t$} ����� ���� \L{$x$} �� \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=s(x)$}
+\item �� \L{$t=f(t_{1},...,t_{n})$} �� \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=f^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))$}
+\item \noindent ���� \L{$\mathcal{M}$}, \L{$L$} , �-\L{$s$} ��\char`\"{}�
+���� \L{$\varphi$} ����� �-\L{$L$} �� ��� ���� �� )\inputencoding{latin9}\L{TRUE}\inputencoding{cp1255}
+�� \inputencoding{latin9}\L{FALSE}\inputencoding{cp1255}( �� \L{$\varphi$}
+�\L{$\mathcal{M}$} ���� ����� \L{$s$} ����� ���������� ����� ���:
+
+\begin{itemize}
+\item \noindent �� \L{$\varphi$} ����� ������, ����� \L{$\varphi$} ������
+\L{$R(t_{1},...,t_{n})$} ���� ����� ��� n-����� \L{$R$} ����� ���
+\L{$t_{1},...,t_{n}$} ��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff\left\langle Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+}.
+\item \noindent �� \L{$\varphi=\neg\psi$} ���� ����� \L{$\psi$} �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff Val_{\mathcal{M}}(\psi,s)=FALSE
+\end{eqnarray*}
+}
+\item \noindent ����� ���� ���� ��� ������ �������
+\item \noindent �� \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} )����� ������ ��� ����
+\char`\"{}���� ����\char`\"{} ������ ��� ����� ���� ����( �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\exists a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+} ���� \L{$s\left[{x\atop a}\right]$} ���� ����� ��� ����� ��� �����
+���� \L{$y$} ����� \L{$x$} �� ���� \L{$s(y)$} ������� ����� \L{$x$}
+�� ���� \L{$a$} )����� �� ������ �� \L{$x$}(. ����� �����: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff max\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+} ���� ����� �������� \L{$F<T$}. 
+\item \noindent �� \L{$\varphi=(\forall x)\psi$} �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff(\forall a\in M)Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right])=TRUE
+\end{eqnarray*}
+}����� �����: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\iff min\left\{ Val_{\mathcal{M}}(\psi,s\left[{x\atop a}\right]):a\in\mathcal{M}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+}. 
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+�����:
+\begin{enumerate}
+\item ��� ��� ������ ������ ���� ��� ���� ��� �� ����� ����� \L{$\approx$}
+��� ���� ����� ���� �������
+\item �������: �� ������ �\L{$L$} ��� ������ ������� ��\char`\"{}� �� �����
+������ �� ���� ������� ����� ������� ���� ���� ��
+\item ����� ��� �� ����� ���, ��� ���� ����� ������ ��� ������. �� ������
+����� �� ������ ������ ����. ��� ����, ���� ���� ����� ��� ����� ��
+������ ������ ��� ������ �����.\end{enumerate}
+\begin{itemize}
+\item ��� \L{$L$} ��� ������ ������� ���� \L{$\Gamma$} ����� ������� �\L{$L$}
+)��� ����� �����(. ���� �\L{$\Gamma$} ����� \inputencoding{latin9}\L{(satisfiable)}\inputencoding{cp1255}
+�� ���� ���� \L{$\mathcal{M}$} ���� \L{$L$} ������ ���� \L{$s$}
+�\L{$\mathcal{M}$} �� �\L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} ���
+\L{$\varphi\in\Gamma$}. ���� \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
+)������ ����� �� ����� \L{$s$} �� ��������(. �������:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$L=\{R\}$} �-\L{$\Gamma=\left\{ (\forall x)\neg R(x,x),(\forall x\forall y)(R(x,y)\rightarrow R(y,x))\right\} $}
+�� ����� ������ ����� �� ��� ��� \L{$G$} )�� �����( ����� ���� \L{$M_{G}$}
+�\L{$L$} ����� ���: ����� �� \L{$M_{G}$} ���� \L{$V(G)$} )�����
+��������� �� \L{$G$}( ����� \L{$R^{M_{G}}$} ���� \L{$E(G)$} )�����
+������(. 
+\item \L{$L=\{\approx\}$} �-\L{$T_{3}=\left\{ \forall x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigvee_{i,j}(x_{i}=x_{j})\right\} $}
+�� \L{$T_{3}$} ����� �� �� ����� �� ���� �-{\beginL 4\endL} ������
+����� ����. 
+\item \L{$L=\{<\}$} �- \L{
+\begin{eqnarray*}
+DLO & = & \left\{ \begin{array}{c}
+\forall x\neg(x,x),\\
+\forall x,y(x<y\rightarrow\neg(y<x)),\\
+\forall x,y,z(x<y\wedge y<z\rightarrow x<z),\\
+\forall x,y(x\neq y\rightarrow x<y\vee y<x),\\
+\forall x,y\exists z(x<y\rightarrow x<z\le y)
+\end{array}\right\} 
+\end{eqnarray*}
+} ��� ���� \inputencoding{latin9}\L{dense linear order}\inputencoding{cp1255}
+�� ������ \L{$(\mathbb{Q},\le)\models DLO$}. 
+\end{itemize}
+\item �� \L{$L$} �-\L{$\Gamma$} ��\char`\"{}� �- \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
+�� ���� �\L{$\mathcal{M}$} ���� �� \L{$\Gamma$}.
+\item ���� �� ����� ����� �� ������.
+\item ���� ���� \L{$L$} �� ����� ��� ������ �������
+\item ������� �������� ��� ��� \L{$t$}, ����� \L{$Free(t)$}, �� ���� ��
+������� �������� �-\L{$t$}. 
+
+\begin{itemize}
+\item �� \L{$\varphi$} ����� ������ \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} �� \L{$Free(\varphi)={\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}t_{i}}$}.
+\item �� \L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$} )��� ���� �� �����
+�����( �� \L{$Free(\varphi)=Free(\varphi_{1})\cup Free(\varphi_{2})$}
+\item �� \L{$\varphi=(\exists x)\psi$} �� \L{$\varphi=(\forall x)\psi$}
+�� \L{$Free(\varphi)=Free(\psi)$} �� \L{$x\notin Free(\psi)$} �-
+\L{$Free(\varphi)=Free(\psi)\backslash{x}$} ����.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\section{����� ������}
+\begin{itemize}
+\item ����� )���� �� ������ ������� �� �����( �� ��� ��� ���� ����� �����,
+��� �� ���� �����
+\item ����� \L{$\varphi$} ���� \uline{������ ����� }�� ��� ���� \L{$\mathcal{M}$}
+)���� �� \L{$\varphi$}( ���� ���� \L{$s$} ���� \L{$\mathcal{M}$}
+������ \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$}. 
+
+\begin{itemize}
+\item �����: �� \L{$P$} ���� ��� ��-����� �� \L{$P(x)\vee\neg P(x)$} �����
+�����. ����? ��� \L{$\mathcal{M}$}���� ���� \L{$\{P\}$} �\L{$s$}
+���� ���� \L{$\mathcal{M}$}. \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(P(x)\vee\neg P(x),s) & = & t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),Val_{\mathcal{M}}(\neg P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s),t_{\neg}(Val_{\mathcal{M}}(P(x),s))\\
+ &  & =t_{\vee}(Q,t_{\neg}(Q))\\
+ &  & =TRUE
+\end{eqnarray*}
+} . 
+\item �����: ���� �\L{$\varphi(x)$} ����� �� ����� ����� \L{$x$} �-\L{$c$}
+���� ���� ����� ����� �\L{$\varphi(x)$}. �� \L{$\varphi(c)\rightarrow(\forall x)\varphi(x)$}
+����� ����� )�� \L{$\varphi(c)$} ����� ����� - ����� ��� �� ����(.
+\item �����: \L{$\forall x(P(x)\vee\neg P(x))$} - �� ��� ����� ���� ����
+������ ������� ��� ���� ����� �����. ���� �� ���� ����������? ����������
+�� ������ �� \L{$\psi$} )����������� �� ����� �������( �����:
+
+\begin{itemize}
+\item �� \L{$\psi=\neg\psi^{\prime}$} �� \L{$\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})=\neg\psi^{\prime}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$}
+\item �� \L{$\psi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} ���� ��� ���� �� ����� �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k}) & = & \psi_{1}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})\square\psi_{2}(\varphi_{1},...,\varphi_{k})
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ��� \L{$(\forall x)(P(x)\vee\neg P(x))$} ��� ���� ������ ������ ����
+������ �' �� �' ��� �� ��� ����� �\char`\"{}� ����� ��\char`\"{}�
+����� \L{$\psi$} �� ����� �������, \L{$\psi$} ��� ����� ���� �����.
+��� ���� ����� )����� �����( ���� ����������.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\item ���������� )����� ����� ����� {\beginL 5\endL}(: ����� \L{$\varphi$}���
+���������� �� ����� ������ �� ����� ���������� \L{$\psi(P_{1},...,P_{k})$}
+�� ����� ������� )������ ��� ���� �\L{$P_{1},...,P_{k}$} �� �� �������
+�������� �������� �\L{$\psi$}( )����: \L{$\psi(p,q)=\neg(p\vee q)\iff(\neg p\wedge\neg q)$}(
+�������� \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} )�� ����� ������( �� �-
+\L{$\varphi=\psi(\varphi_{1},...,\varphi_{k})$} �-\L{$\varphi$}
+������ �\char`\"{}� ����� �� ���� �� \L{$P_{i}$} �-\L{$\varphi_{i}$}.
+\item ���� ������ ������: ��� \L{$\varphi$} ����� ������ ������, ��� �����
+��� �� ����� ������:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$\varphi$} ����� ������
+\item ������ ������� \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}$} ������ ���� ���� ��
+����� ���� \L{$\square$} �� �-\L{$\varphi=\varphi_{1}\square\varphi_{2}$}
+\item ����� ����� ����� \L{$\varphi_{1}$} �� �-\L{$\varphi=\neg\varphi_{1}$}
+\item ����� ����� ����� \L{$\varphi_{1}$} �� �-\L{$\varphi=\exists x\varphi_{1}$}
+\item ����� ����� ����� \L{$\varphi_{1}$} �� �-\L{$\varphi=\forall x\varphi_{1}$} 
+\end{itemize}
+\item ����� ����� ���� ����: ���� ����� ������ ���� )���� ������ ������
+�����( ������� ����� \L{$\varphi$} ������ ������� ����� ��� \L{$\varphi$}
+���������� �� ����� ������.
+\item )���( ������ ����� \L{$\varphi$} �� ����� ������� �� �������� �����
+��� \L{$\varphi$} ����������.
+\end{itemize}
+����� ����� ����� ������:
+\begin{itemize}
+\item )���� {\beginL 4\endL}( ������ \L{$\Gamma,\Delta$} ������ ������.
+���� \L{$\Gamma\models\Delta$} )����( �� ��� ���� \L{$\mathcal{M}$}
+���� ���� \L{$s$} ������: �� \L{$(\mathcal{M},s)\models\Gamma$}
+�� \L{$(\mathcal{M},s)\models\Delta$}. 
+
+\begin{itemize}
+\item �����: �� �\L{$\Delta$} �� �� �����������/������� ������� ������
+�� \L{$\Gamma\models\Delta$} ��� \L{$\Gamma$}. 
+\item �\L{$\Delta$} ��\char`\"{}� �� \L{$\Delta\models\Gamma$} �� �\L{$\Gamma$}
+�� �� ������� ������� ������.
+\item �� \L{$\Gamma$} ���� ����� �� \L{$\Gamma\models\Delta$} ��� \L{$\Delta$}
+)����� ���(.
+\item �� \L{$\varphi\models\psi$} �� \L{$\models\varphi\rightarrow\psi$}
+����� \L{$\varphi\models\psi$} ����� �����. ������ ���� �� ����.
+\end{itemize}
+\item )���� {\beginL 1\endL}( ���� ����� �� \L{$G$} ��� ���� ���� \L{$\{R\}$}
+���� ��� �� ����� \L{$R$}. �� \L{$G$} ��� ���� ���� ���� \L{$\varphi_{G}$}
+���� ��\char`\"{}� �� ���� ���� \L{$\mathcal{M}$} ���� , �� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{G}$}
+�� \L{$\mathcal{M}\cong G$} .
+\item ������: ���� \L{$\mathcal{M},\mathcal{N}$} ����� ���� \L{$\mathcal{L}$}
+�� ����� ������. ���� �\L{$\mathcal{M}\cong\mathcal{N}$} )�����������(
+�� ����� ������� ��\char`\"{}� ��� \L{$f:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{N}$}
+�� �:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$f(c^{\mathcal{M}})=c^{\mathcal{N}}$} ��� ���� ���� \L{$c$}
+\item ��� ���� ��� n-����� \L{$R$} ���� \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$}
+������ \L{
+\begin{eqnarray*}
+\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle  & \in & R^{\mathcal{M}}\iff\left\langle f(a_{1}),...,f(a_{n})\right\rangle \in R^{\mathcal{N}}
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ��� ���� ������� n-����� \L{$G$} ���� \L{$(a_{1},...,a_{n})\in\mathcal{M}^{\mathcal{N}}$}
+������ \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(G^{\mathcal{M}}(a_{1},...,a_{n})) & = & G^{\mathcal{N}}(f(a_{1}),...,f(a_{n}))
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+���� ������ ���:
+\begin{itemize}
+\item �� \L{$\Gamma$} ����� ������� ����� �\L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
+�� \L{$\Gamma_{0}$} �����
+\item �� \L{$\Gamma$} ����� �-\L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} ��
+�� \L{$\Gamma\cup\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\}$} �����
+\item �� �\L{$\Gamma$} �� ���� \L{$\varphi$} ����� ���� �� ������ \L{$\Gamma$}
+���� �����
+\item ���� ����������: ��� \L{$\Gamma$} ����� ������ ����� ��� \L{$\wedge$}
+)����� �� \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$} �� �� \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}(
+�� \L{$\Gamma$} ����� �� ��� �� �� \L{$\varphi\in\Gamma$} �����.
+\end{itemize}
+
+\section{��������� �������}
+\begin{theorem}
+\textbf{\uline{���� ����������}}: ��� \L{$\Gamma$} ����� ������
+����� ��� \L{$\wedge$} )����� �� \L{$\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Gamma$}��
+�� \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$}( ��� \L{$\Gamma$}
+����� �� ��� �� �� \L{$\varphi\in\Gamma$} ����.\end{theorem}
+\begin{claim}
+��� \L{$\Gamma$} ����� ������ ��� ����� ����� ������ \L{$\Gamma\subseteq\Gamma^{\prime}$}
+�� �-
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\Gamma^{\prime}$} ����� ��� \L{$\wedge$} 
+\item \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} ����� �� ���� �� \L{$\Gamma$}
+��� ���� �� \L{$\Gamma^{\prime}$} ������
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+��� \L{$\Gamma^{\prime}$} ����� ������� ������� �\L{$\Gamma$} �����
+���: ��� \L{$1\le k\in\mathbb{N}$} ���� \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$}
+, �\L{$\Gamma^{\prime}$} ���� ����� \L{${\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}.
+���� �� �\L{$\Gamma^{\prime}$} ����� ��� \L{$\wedge$}. ����? ����
+\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma^{\prime}$} ��� ������ �� \L{$\Gamma^{\prime}$}
+�� ������ ������ \L{$1\le k_{1},k_{2}$} ������� \L{$\varphi_{1}^{1},...,\varphi_{k_{1}}^{1}$}
+�- \L{$\varphi_{1}^{2},...,\varphi_{k_{2}}^{2}$} �� �- \L{
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{1}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}}\varphi_{i}^{1}}
+\end{eqnarray*}
+} �- \L{
+\begin{eqnarray*}
+{\displaystyle \psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{2}}\varphi_{i}^{2}}
+\end{eqnarray*}
+}�� \L{${\displaystyle \psi_{1}\wedge\psi_{2}=\bigwedge_{i=1}^{k_{1}+k_{2}}\Theta}i$}
+���� \L{
+\begin{eqnarray*}
+\Theta_{i} & = & \begin{cases}
+\varphi_{i}^{1} & i\le k_{1}\\
+\varphi_{i-k_{1}}^{2} & i>k_{1}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}������ �-\L{$\Theta_{i}\in\Gamma$} ��� \L{$i$} �����. \L{$\Gamma^{\prime}$}
+��� ������� ���� ���� �� ����� ����� ������ �\L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$}.
+����� ������ ��� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} �� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}.
+��� \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ����� ��� ���� \L{$\psi={\displaystyle \bigwedge_{i=1}^{k}}\varphi_{i}$}
+���� \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$} �����.
+
+���:\L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi) & = & Val_{\mathcal{M}}(\bigwedge\varphi_{i})=t_{\wedge}(Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{1}),...Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{k}))=TRUE
+\end{eqnarray*}
+} ������ ��\char`\"{}� ��� \L{$1\le i\le k$} \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi_{i})=TRUE$}.
+����� �\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} �� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$}
+��� \L{$i$} ���� \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof}
+\begin{definition}
+����� ������ \L{$\Gamma$} ����� ����� ������ �� �� �� ����� �����
+��� ��� �����.\end{definition}
+\begin{theorem}
+)���� ���������� - ���� ����( ����� ������ \L{$\Gamma$} ��� �����
+������ �� ��� �� ��� �����.\end{theorem}
+\begin{proof}
+����� ����� ���������� ���� �� ����� ���. ��� \L{$\Gamma$} �����
+������ ����� ������. ��� \L{$\Gamma^{\prime}$} ������ �����, �����
+\L{$\Gamma^{\prime}\equiv\Gamma$} �\L{$\Gamma^{\prime}$} ����� ���
+\L{$\wedge$}. ����� ������ ��� ���� ���������� ��� ���� �\L{$\Gamma^{\prime}$}
+��� ����. ��� \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} �� \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{i=1}^{k}\varphi_{i}}$}
+����� \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\Gamma$} . ��� ����� \L{$\Gamma$}
+����� ������. ��� \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} ����� ������
+�����. ��� �� ���� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$} ��� \L{$1\le i\le k$}
+��� �� ������ ������ ����� \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. ��� \L{$\Gamma^{\prime}$}
+����� ��� ����� ��� \L{$\psi\in\Gamma^{\prime}$} ����. ��� ���� ����������
+���� \L{$\Gamma^{\prime}$} �� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}
+��� \L{$\Gamma\equiv\Gamma^{\prime}$} ��� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma^{\prime}$}. 
+
+����� �� ������ ���� )������ ��� ���� �� ���� ����������(. ���� \L{$\Gamma$}
+������ �� ������ ����� \L{$\Gamma^{\prime}$} ����� ��� \L{$\wedge$}
+��� ���� �� ����. ����� ������ ����� ����� ����� �\L{$\Gamma$} �����
+������. ����� ���������� �� \L{$k$} ��� ����� ������ ����� \L{$k$}
+�-\L{$\Gamma$} ��� �����. ���� \L{$k=1$} - ����. ���� �\L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}\subseteq\Gamma$}
+������ ���� �� ����� ������ ����� \L{$k-1$} ���� �����. ����� �\L{$\Gamma$}
+����� ��� ����� \L{$\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\in\Gamma$} . \L{$\Delta=\{\varphi_{1}\wedge\varphi_{2},\varphi_{3},...,\varphi_{k}\}$}
+��� ����� ����� \L{$k-1$} ���� ��� ���� ���������� ��� �����. ��
+\L{$\mathcal{M}\models\Delta$} �� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{i}$}
+��� \L{$i\ge3$} ��� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}$}
+. ��� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\varphi_{2}\iff\mathcal{M}\models\varphi_{1}\wedge\mathcal{M}\models\varphi_{2}$}
+���� \L{$\mathcal{M}\models\{\varphi_{1},...,\varphi_{k}\}$} �����.
+����� \L{$\Gamma$} ����� ������ ��\char`\"{}� ����� ����� - �����.\end{proof}
+\begin{definition}
+��� \L{$I$} ����� )��\char`\"{}� �������� ��� �� �����(. ���� )\inputencoding{latin9}\L{filter}\inputencoding{cp1255}(
+�� \L{$I$} �� ����� \L{$F\subseteq\mathbb{P}(I)$} )����� ���� ��
+�� ������ �� \L{$I$}( �� �������:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\emptyset\not\in F$}
+\item �� \L{$J\in F$} �-\L{$J\subseteq J^{\prime}$} �� \L{$J^{\prime}\in F$}
+\item �� \L{$J,J^{\prime}\in F$} �� \L{$J\cap J^{\prime}\in F$} 
+\end{enumerate}
+
+�� ����� ��� \L{$J\subseteq I$} �� \L{$J\not\in F$} �� \L{$I\backslash J\in F$}
+- �� \L{$F$} ���� �� ����.
+
+\end{definition}
+�������:
+\begin{itemize}
+\item ��� \L{$I$} ����� �����. ��� \L{$a\in I$} ����� �� ���� \L{$F_{a}$}
+����� ���: \L{$J\subseteq I,J\in F$} ��\char`\"{}� \L{$a\in J$}
+.)����: �� ���� \L{$F$} �� \L{$I$} ���� ���� �� ���� \L{$I$} ��
+�-\L{$F=F_{a}$}(.
+\item �� \L{$I$} ����� �� �� �� ���� �� \L{$I$} ��� ����. ��� \L{$F$}
+�� ���� �� \L{$I$}. ����� �-\L{$I$} ����� �� \L{$F$} ����� ����
+���������� ��� {\beginL 3\endL}: \L{$J_{F}=\{\bigcap J:J\in F\}$}
+�-\L{$J_{F}\in F$}. �� \L{$J_{F}$} ������ - �����. ���� ������ ���
+�� �����. ���� �� {\beginL 2\endL} ������ ����� �\L{$J_{F}$} )�����(.
+���� \L{$J\subseteq I$} ������ �� ������ ��� �� �� ����. �� \L{$J$}
+��� ������ �� \L{$J$} ������ ����� �\L{$F$} �� �� ����� �\L{$F$}
+����� �� \L{$J_{F}$}. 
+\item ��� \L{$I$} ����� ��������. ����� \L{$F=\{U\subseteq I:|I\backslash U|<\aleph_{0}(finite)\}$}.
+�����: ��� ���� ����� �� ����. \end{itemize}
+\begin{claim}
+��� \L{$I$} ����� �� ����. \L{$F$} ���� �� \L{$I$} ��� ���� ��
+���� \L{$F\subseteq F^{\prime}$}. ������ ����� �� ���� �� \L{$I$}
+���� ������ ��� ����. )����� ������ ���(.
+\end{claim}
+
+\section{������ ����� �� ����}
+\begin{definition}
+��� \L{$I$} ����� )�� ����( �� \textbf{����} \L{$F$} �� \L{$I$}
+�� ���� �� �� ������ �� \L{$I$} �� �:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\emptyset\not\in F$}
+\item �� \L{$U_{1},U_{2}\in F$} �� \L{$U_{1}\wedge U_{2}\in F$}
+\item �� \L{$U\in F$} �- \L{$U\subseteq V$} �� \L{$V\in F$} 
+\end{enumerate}
+
+\L{$F$} ��� ��-���� �� ��� \L{$V\subseteq I$} �� \L{$V\not\in F$}
+�� \L{$I\backslash V\in F$} .
+
+\end{definition}
+\begin{lemma}
+\uline{���� �� ����} - ��� \L{$(I,\le)$} ����� ����� �����. \L{$V\subseteq I$}
+���� ����� �� ��� \L{$v_{1},v_{2}\in V$} �� \L{$v_{1}\le v_{2}$}
+�� \L{$v_{2}\le v_{1}$}. �� ���� ���� ����� \L{$V\subseteq I$} ��
+��� �����, ����� ���� \L{$w\in I$} �� �-\L{$w\ge V$} )����� \L{$w\ge v$}
+��� \L{$v\in V$}(. ��� �\L{$(I,\le)$} �� ���� �����, ����� ����
+\L{$u\in I$} �� ���� \L{$u\not=v\in I$} ������ \L{$u\not\le v$}.\end{lemma}
+\begin{claim}
+��� \L{$I$} ����� �� ���� �- \L{$F$} ���� �� \L{$I$}. ��� ����
+��-���� \L{$F\subseteq U$}. ������ �����, �� ���� \L{$F$} �� \L{$I$}
+���� ������ ���-����.
+\begin{proof}
+��� \L{$\mathcal{H}$} ����� �� ������� �� \L{$I$}. �����������:
+\L{$F\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(I))$} �� \L{$\mathcal{H}\subseteq\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)$}
+�� \L{$\mathcal{H}\in\mathbb{P}(\mathbb{P}(\mathbb{P}(I)))$}. ��
+\L{$\mathcal{H}$} ���� ������ ��� ���� �\char`\"{}� ����. �����,
+�-\L{$F_{1},F_{2}\in\mathcal{H}$} ���� �\L{$F_{1}\le F_{2}$} ��
+��� \L{$V\in F_{1}$} ������ �� \L{$V\in F_{2}$}. ���� ����� �� \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$}.
+���� ������ ���� �� ����, ��� ����� ������ ��� \L{$V\subseteq\mathcal{H}$}
+����� �� �\L{$V$} �� ��� ����� �\L{$\mathcal{H}$}. ����� \L{$F_{V}={\displaystyle \bigcup V}=\{U\subseteq I:U\in F,\, for\, some\, F\in V\}$}.
+���� �\L{$F_{V}$} ��� ����. 
+\begin{enumerate}
+\item ���� �� \L{$\emptyset\not\in F_{V}$}
+\item ���� � \L{$U_{1},U_{2}\in F_{V}$}. ������ \L{$F_{1},F_{2}\in V$}
+�� � \L{$U_{1}\in F_{1}$} ��� \L{$U_{2}\in F_{2}$}. ����� �-\L{$V$}
+�����, �.�.� \L{$F_{1}\subseteq F_{2}$} . ��� \L{$U_{1}\in F_{2}$}
+��� �� \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{2}$} ���� \L{$U_{1}\cap U_{2}\in F_{V}$}.
+\item �� \L{$U\in F_{V}$} �- \L{$U\subseteq W$} �� ��� ����� ���� ����
+\L{$F\in V$} �� �- \L{$U\in F$}. ��� �� \L{$W\in F$} ���� \L{$W\in F_{V}$}.
+\end{enumerate}
+
+����� ���� ����� �\L{$\mathcal{H}$} �� ��� �����, �� ���� \L{$F_{V}\in\mathcal{H}$}
+�- \L{$F\subseteq F_{V}$} ��� \L{$F\in V$} ����� \L{$F_{V}$} ���
+����� �-\L{$V$}. ��� ���� �� ����, �-\L{$\mathcal{H}$} �� ���� �����,
+����� \L{$\mathcal{U}$}. ���� �\L{$\mathcal{U}$} �� ����. ���� ������
+���� ��. ����� �-\L{$\mathcal{U}\in\mathcal{H}$} ��� ���� ���� ����
+������ ������ ��� ����� \L{$U\subseteq I$} �� �- \L{$U\not\in\mathcal{U}$}
+�- \L{$I\backslash U\not\in\mathcal{U}$}. ���� �� �� ����� �� \L{$\mathcal{U}_{U}=\mathcal{U}\cup\{W\subseteq I:U\cap V\subseteq W,\, for\, some\, V\in\mathcal{U}\}$}
+��� ���� ���� ���� ����� �������� �� \L{$\mathcal{U}$} �� \L{$\mathcal{U}\not\subseteq\mathcal{U}_{U}$}.
+���� \L{$\mathcal{U}_{U}$} ��� ����? 
+\begin{enumerate}
+\item ����� �\L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}. �� \L{$\emptyset\in\mathcal{U}_{U}$}
+��� ���� ������ \L{$U\cap V$} ����� \L{$V\in\mathcal{U}$}. ��� ��
+\L{$V\subseteq I\backslash U$} ��� \L{$I\backslash U\in\mathcal{U}$}
+������.
+\item \L{$\mathcal{U}_{U}$} ����� ���� ���� ���� ������. 
+\item ���� �� �� \L{$U_{1},U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$} �� �� \L{$U_{1}\cap U_{2}\in\mathcal{U}_{U}$}.
+�.�.� \L{$U_{1}\not\in\mathcal{U}$}. ��� \L{$U\cap V\subseteq U$}
+����� \L{$V\in\mathcal{U}$}. ��� \L{$U\cap V\cap U_{2}\subseteq U_{2}\cap U_{1}$}
+���� \L{$V$} ���. �� \L{$U_{2}\in\mathcal{U}$} �� \L{$V\cap U_{2}\in\mathcal{U}$}
+���� \L{$U\cap(V\cap U_{2})\in\mathcal{U}_{U}$} ��� �� \L{$U_{1}\cap U_{2}$}.
+���� \L{$U\cap V_{2}\subseteq U_{2}$} ����� \L{$V_{2}\in\mathcal{U}$}
+. ��� \L{$U\cap(V\cap V_{2})\subseteq U_{1}\cap U_{2}$} ��� \L{$U\cap(V\cap V_{2})\in\mathcal{U}_{U}$}.
+������ \L{$\mathcal{U}_{U}\in\mathcal{H}$} �-\L{$\mathcal{U}\not\in\mathcal{U}_{U}$}
+�����. ��� \L{$\mathcal{U}$} �� ����. 
+\end{enumerate}
+
+)�����( �� \L{$F$} ���� �� \L{$I$} ����� \L{$\mathcal{H}_{F}\subseteq\mathcal{H}$}
+���� ������� ������� �� \L{$F$}. ����� �������� ��� ����� �-\L{$\mathcal{H}_{F}$}
+�� ��� ����� �-\L{$\mathcal{H_{F}}$})�� �� ����� ��� ��� ����� ��
+������ ������� �-\L{$F$} ���� �� �� �� ��� �\L{$\mathcal{H}$} ���
+���� ��� �\L{$\mathcal{H}_{F}$}. ��� \L{$\mathcal{H}_{F}$}������
+�� ���� �� ����, ��� �� ���� ����� �� �\L{$\mathcal{H}$}������ ����
+�� ������.
+
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+��� ����� �������� \L{$I$} �� �� ���� \L{$F$} �� \L{$I$} �� ���
+\L{$|I\backslash U|<\aleph_{0}$} �� \L{$U\in F$}.\end{corollary}
+\begin{definition}
+\uline{������}: ��� \L{$\Gamma$}����� �� ���� ����� �-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
+���� �� ������ �� �����. �� ������ \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�� ���� �� ��������� \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�������� \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. ����: �� \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$}
+�-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} ��� \L{$i,j$} �� \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.\end{definition}
+\begin{theorem}
+\uline{������� ������}: �� \L{$\Gamma$}�� ���� �-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$}
+��� \L{$\gamma\in\Gamma$} �� \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset}$}.
+\end{theorem}
+
+\section{������}
+
+\end{claim}
+\begin{definition}
+\uline{������}: ��� \L{$\Gamma$} ����� �� ���� ����� �-\L{$\{M_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
+���� �� ������ �� �����. �� ������ \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�� ���� �� ��������� \L{$f:\Gamma\rightarrow{\displaystyle \bigcup_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�������� \L{$f(\gamma)\in\mathcal{M}_{\gamma}$}. ����: �� \L{$\Gamma=\{1,...,n\}$}
+�-\L{$\mathcal{M}_{i}=\mathcal{M}_{j}$} ��� \L{$i,j$} �� \L{${\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\mathcal{M}=\mathcal{M}^{n}}$}.
+
+�����: �� \L{$\mathcal{M}_{\gamma}=\mathcal{M}$} ��� \L{$\mathcal{M}$}
+�� \L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}=M^{\Gamma}}$}��
+���� ���� �� ��������� �\L{$\Gamma$} �\L{$\mathcal{M}$}. 
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+�� \L{$\Gamma$}�� ���� �-\L{$\mathcal{M}_{\gamma}\not=\emptyset$}
+��� \L{$\gamma\in\Gamma$}. ��� \L{$\mathcal{M}=\prod\mathcal{M}_{\gamma}$}.
+�\L{$\bar{x},\bar{y}\in\mathcal{M}$} ����� \L{$x\sim_{F}y$} ����
+�� ���� \L{$F$} �� \L{$\Gamma$} �� \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F$}. \end{definition}
+\begin{claim}
+�������� �� ������ ������� \L{$\sim_{F}$} ��� ��� ������. \end{claim}
+\begin{proof}
+~
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\Gamma\in F$}
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}=\{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{x}(\gamma)\}$}
+\item ���� �\L{$x\sim_{F}y$} �-\L{$y\sim_{F}z$} �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+U & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{y}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} ��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+V & = & \{\gamma\in\Gamma:\bar{y}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} ��� \L{$U\cap V\in F$} ��� \L{$U\cap V\subseteq\{\gamma\in\Gamma:\bar{x}(\gamma)=\bar{z}(\gamma)\}\in F$}.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{definition}
+��� \L{$\Gamma$} ����� �� ���� ���� \L{$\gamma\in\Gamma$} ��� \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}
+���� ���� \L{$\mathcal{L}$}. ��� \L{$F$} �� ���� )�� ����( �� \L{$\Gamma$}
+�� ��� ����� �� \L{$\{\mathcal{M}_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$}
+���� �\L{$F$} ������ \L{$\mathcal{M=}({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$}
+��� ����� ������ �����: \end{definition}
+\begin{enumerate}
+\item ����� �� ��� ����� ��� \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/\sim_{F}$}
+����� ���� ������ ������� �� ���� \L{$\sim_{F}$} �� ������ \L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})$}
+\item ��� ���� ���� \L{$c\in\mathcal{L}$} ���� \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}
+����� ������� �� ����� \L{$(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}$}
+���� � \L{$\sim_{F}$}.
+\item ��� ���� ��� n-����� \L{$R\in\mathcal{L}$} . ���� �\L{$[\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}]\in R^{\mathcal{M}}$}
+�� \L{$\{\gamma\in\Gamma:(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+. 
+\item ��� ���� ������� n-����� \L{$F$}���� �\L{$F^{\mathcal{M}}[(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n})}]=[b]$}
+�� \L{$\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F$}
+. ����: ��\char`\"{}� ����� ����. ����� �� \L{$[b]=[d]$} �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+ &  & \underset{\in F}{\underbrace{\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}}(\gamma),...,\bar{a_{n}}(\gamma))=b(\gamma)\}}}\cap\underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:d(\gamma)=b(\gamma)\}}}}}\\
+ & \subseteq & \underset{\in F}{\underbrace{\{\gamma\in\Gamma:F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}(\gamma))=d(\gamma)\}}}
+\end{eqnarray*}
+} �� \L{$[b]=[d]$} ����� \L{$b\sim_{F}d$} ���� ����� ������. \end{enumerate}
+\begin{theorem}
+���� \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F$}
+�-\L{$\varphi(x_{1},...,x_{n})$} ����� �-\L{$s$} ���� �\L{$\mathcal{M}$}.
+��� ������ \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s)=TRUE$} �� ��� �� ���
+����� \L{$(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}$} )�� \L{$s_{\gamma}$}
+���� �\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}( �� � \L{$[(s_{\gamma})_{\gamma\in\Gamma}]\sim_{F}[s]$}
+������ � \L{$\{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s_{\gamma})=TRUE\}\in F$}.\end{theorem}
+\begin{proof}
+���������� �� ����� ��������. ����� ����� ���:
+\begin{itemize}
+\item ���� \L{$t$} ���� ���� \L{$c$} ������ \L{$Val_{\mathcal{M}}(c,s)=c^{\mathcal{M}}=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s)_{\gamma\in\Gamma}]$}.
+��� ����� ���� ���� \L{$s_{0}$} �-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�� �-\L{$[s_{0}]=s$}. ����� ��� ����� ���� \L{$x$} ������ \L{$[s_{0}(x)]=s(x)$}. 
+\item ���� \L{$t$} ����� ���� \L{$x$} : \L{$Val_{\mathcal{M}}(x,s)=\underset{=[s_{\gamma}(x)]}{\underbrace{[s_{0}(x)]}}=s(x)$}
+\item ���� \L{$t$} ������� \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$} �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(F(t_{1},...,t_{n}),s) & = & F{}^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma})],...,[Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})])\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}_{\gamma}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s_{\gamma})]
+\end{eqnarray*}
+}��� ����� ������ ���� �������:\end{itemize}
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$\varphi$} ����� ������ \L{$R(t_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,t_{m}(x_{1},...,x_{n}))$}
+�� �� ��� �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...,t_{n}),s) & = & TRUE\\
+ & \iff & (Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s))\in R^{\mathcal{M}}\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s)(\gamma),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s)(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} �� ��� �� ��� �� ������ ���� ���� ��� \L{$[Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s)]=[(Val_{\mathcal{M}}(t_{i},s_{\gamma})(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+��� \L{$1\le i\le m$}. ���, \L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s_{\gamma}),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{m},s_{\gamma}))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} ��� �� ������ ������ .
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\section{���� \L{Los} ������ ���������}
+\begin{theorem}
+\uline{���� }\inputencoding{latin9}\L{\uline{Los}}\inputencoding{cp1255}
+��� \L{$\mathcal{L}$} ��� ������ �������, \L{$\Gamma$} ����� ��
+����, ��� \L{$\gamma\in\Gamma$} ���� \L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}
+���� \L{$\mathcal{L}$}. ��� \L{$F$} �� ���� �� \L{$\Gamma$} �-\L{$s$}
+���� ���� \L{$\mathcal{M}=({\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}
+�- \L{$\varphi(x)$} ����� �\L{$\mathcal{L}$}. ��� \L{$Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=TRUE$}��
+��� �� ��� ���� \L{$s$} �-\L{${\displaystyle \prod_{\gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+������� \L{$\bar{s}(x)=[s(x)]$} ������: \L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} )���� \L{$s(\gamma)(x)$} �� ����������� �\L{$\gamma$} �� \L{$s(x)$}(. 
+\end{theorem}
+������: ���� ������� )\char`\"{}����� ���\char`\"{} - �. ����, ��
+���( ���� ���� \L{$\mathcal{L}$} �� \L{${\displaystyle (\prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}/F)$}?
+\begin{itemize}
+\item ���� ���� ���� \L{$c$} ���� ������ �� \L{$[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]$}.
+\item ���� ���� ��� n-����� \L{$R$} ���� �-\L{$\left\langle \bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n}\right\rangle \in R^{\mathcal{M}}$}
+�� ������ \L{$a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�� � \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} �� �-\L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ���� ���� ������� n-����� \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a}_{1},...,\bar{a}_{n})=b$}
+�� ������ \L{$b,a_{1},...,a_{n}\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+�� � \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}},[b]=b$} �� �
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...a_{n}(\gamma))=b(\gamma)\}\in F
+\end{eqnarray*}
+}.
+\end{itemize}
+\uline{�����:}
+\begin{enumerate}
+\item ������ �� �� ����� ����, ����� \L{$F^{\mathcal{M}}$} ��� ��� �������.
+�\char`\"{}� ���� \L{$\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}}\in\mathcal{M}$}
+���� \L{$b$} ���� �� �\L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1},}...,\bar{a_{n}})=b$}.
+\item �� \L{$[a_{1}]=\bar{a_{1}},...,[a_{n}]=\bar{a_{n}}$} �� \L{$F^{\mathcal{M}}(\bar{a_{1}},...,\bar{a_{n}})=[F^{\mathcal{M}}(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))_{\gamma\in\Gamma}]$}\end{enumerate}
+\begin{proof}
+����� ����: �� \L{$t$} �� ��� �\L{$\mathcal{L}$}, \L{$\bar{s},s$}
+����� ������� ����� �� \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+���������� �� ����� \L{$t$}.
+\begin{itemize}
+\item ���� \L{$t$} ���� ���� \L{$c$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})=[(c^{\mathcal{M}_{\gamma}})_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(c,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+\item ���� \L{$t$} ����� ���� \L{$x$}: \L{$Val_{\mathcal{M}}(t,s)=\bar{s}(x)=[s(\gamma)(x)_{\gamma\in\Gamma}]=[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t,s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]$}
+\item ���� \L{$t=F(t_{1},...,t_{n})$}: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(f(t_{1},...t_{n}),\bar{s})\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},s),...,Val_{\mathcal{M}}(t_{n},s))\\
+ & = & F^{\mathcal{M}}([(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}],...,[(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}]\\
+ & = & [F^{\mathcal{M}}(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))]
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{itemize}
+
+������ ���� ���� ���. ��� ����� �� ����� ���������� �� ����� ������.
+\begin{itemize}
+\item ���� \L{$\varphi$} ����� ������ \L{$R(t_{1},...,t_{n})$} ������
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(R(t_{1},...t_{n}),\bar{s}) & = & TRUE\iff(Val_{\mathcal{M}}(t_{1},\bar{s}),...Val_{\mathcal{M}}(t_{n},\bar{s}))\in R^{\mathcal{M}}
+\end{eqnarray*}
+} �� ��� �� ������ ������ �-\L{$Val_{\mathcal{M}}(t,\bar{s})$} �����
+\L{$a_{1},...,a_{n}$} �� �\L{$\{\gamma\in\Gamma:(a_{1}(\gamma),...,a_{n}(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}\in F$}.
+�� �� ���� �������? ��� �� ������ ���� ���� ��� ���� ����� �� \L{$(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{i},s(\gamma)))_{\gamma\in\Gamma}$}
+���� ������ ��� \L{$i$}. �\char`\"{}� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\varphi,s) & = & TRUE\\
+ &  & \iff\{\gamma\in\Gamma:(Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{1},s(\gamma)),...,Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(t_{n},s(\gamma))\in R^{\mathcal{M}_{\gamma}}\}
+\end{eqnarray*}
+} )��� ����� �� ����� \inputencoding{latin9}\L{Los}\inputencoding{cp1255}
+����(.
+\item ���� \L{$\varphi=\neg\psi$} ������ \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi,s(\gamma))=FALSE\}\not\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\neg\psi,s(\gamma))=TRUE\}\not\in F
+\end{eqnarray*}
+} ��� ������ �� ��� �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\neg\psi,\bar{s}) & = & FALSE\iff Val_{\mathcal{M}}(\varphi,\bar{s})=FALSE
+\end{eqnarray*}
+}.
+\item ������ �� \L{$\varphi=\psi_{1}\square\psi_{2}$} ����� ���� )�������
+������� �� �� ����(.
+\item ���� ����� \L{$\varphi=\exists x\psi(x)$} )����� �� \L{$\forall x$}
+���� ������ ��\char`\"{}� ���� ���� ����� �\char`\"{}� ������� ������
+\L{$\forall x\psi(x)=\neg\exists x\neg\psi(x)$}(.
+
+\begin{itemize}
+\item ����� ���: ���� �� \L{$(\mathcal{M},s)\models(\exists x)\psi(x)$}
+�\char`\"{}� ����� \L{$\bar{a}\in\mathcal{M}$} �� �\L{$(\mathcal{M},s)\models\psi(\bar{a})$}.
+����� ���� ���� ���� ��� \L{$c$} ������ \L{$\psi(c)$} ������ �������
+�\L{$\psi$}�\char`\"{}� ����� �� ���� ����� �� \L{$x$} ������ \L{$\psi$}
+�\L{$c$} . ���� �� \L{$\mathcal{M}$}����� ���� ������� �\char`\"{}�
+�� ������ \L{$c^{\mathcal{M}}=\bar{a}$}. ��� \L{$Val_{\mathcal{M}}(\psi,\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])=Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),s)$}.
+�� ��� ���� ����������: \L{
+\begin{eqnarray*}
+Val_{\mathcal{M}}(\psi(c),\bar{s}) & = & TRUE\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(c),s(\gamma))=TRUE\}\in F\\
+ & \iff & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\psi(x),s(\gamma)([{x\atop c^{\mathcal{M}_{\gamma}}}]))=TRUE\}\in F\\
+ & \Rightarrow & \{\gamma\in\Gamma:Val_{\mathcal{M}_{\gamma}}(\exists x\psi(x),s(\gamma))=TRUE\}\in F
+\end{eqnarray*}
+} 
+\item ����� ���: ���� �� \L{$\{\gamma\in\Gamma:(M_{\gamma},s)\models(\exists x)\psi(x)\}\in F$}.
+����� ���� \L{$a\in{\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}}$}
+����� ���: ��� \L{$\gamma\in\Gamma$} �� \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\models\exists x\psi(x)$}
+�� ���� \L{$a_{\gamma}$} ����� �� ��. �� \L{$(\mathcal{M}_{\gamma},s)\not\models\exists x\psi(x)$}
+���� \L{$a_{\gamma}\in\mathcal{M}_{\gamma}$} �������. ����� \L{$\bar{a}=[a]$}
+. ������ ���� \L{
+\begin{eqnarray*}
+\{\gamma & \in & \Gamma:(\mathcal{M}_{\gamma},s(\gamma)[{x\atop a_{\gamma}}])\models\psi(x)\}\in F\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s}[{x\atop \bar{a}}])\models\psi(x)\\
+ &  & \iff(\mathcal{M},\bar{s})\models(\exists x)\psi(x)
+\end{eqnarray*}
+}. 
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+���� �\L{$\Gamma$} �� ���� �\L{$\mathcal{M}_{\gamma}$}����� ����
+\L{$\mathcal{L}$} ��� \L{$\gamma\in\Gamma$} �-\L{$F$} �� ���� ��
+\L{$\Gamma$}, ��� ��� ���� \L{$\psi$} �\L{$\mathcal{L}$} ������
+\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma}})/F\models\psi$}
+�� ��� �� \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}.
+\begin{corollary}
+\uline{���� ����������}: ��� \L{$\Gamma$} ����� ������ ���� \L{$\mathcal{L}$}.
+���� ���� \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} �� \L{$\psi_{1}\wedge\psi_{2}\in\Gamma$}
+���� \L{$\psi\in\Gamma$} ���� ���� \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}
+��� \L{$\Gamma$} ����� ����� ���� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$}. \end{corollary}
+\begin{proof}
+��� \L{$\psi\in\Gamma$} ���� ���� \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}.
+��� \L{$\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}(\Gamma)$} ������ ������� ����
+\L{$\psi\in\Gamma$}�� �: \L{$V\in\mathcal{U}\iff\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\subseteq V$}. 
+\end{proof}
+\end{corollary}
+\begin{claim}
+\L{$\mathcal{U}$} ���� �� \L{$\Gamma$} .\end{claim}
+\begin{proof}
+��� \L{$\psi\in\Gamma$} ������� \L{$\mathcal{M}_{\psi}\models\psi$}
+��� \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\not=\emptyset$}.
+��� \L{$\mathcal{U}\not=\emptyset$}. ���� �\L{$\mathcal{U}$} �����
+���� ����. ���� �\L{$v_{1},v_{2}\in\mathcal{U}$} ��� ������ \L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$}
+�� �-\L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi_{i}\}\subseteq V_{i}$}
+��� ����..... \L{$V_{1}\cap V_{2}\in\mathcal{U}$}. 
+\end{proof}
+��� \L{$F$} �� ���� ������ �� \L{$\mathcal{U}$} . ��� ������ ������
+\L{$({\displaystyle \prod_{\gamma\in\Gamma}\mathcal{M}_{\gamma})}/F\models\psi$}
+�� ��� �� \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in F$}.
+��� ������ \L{$\mathcal{U}$} ��� \L{$\psi\in\Gamma$} ������ \L{$\{\gamma\in\Gamma:\mathcal{M}_{\gamma}\models\psi\}\in\mathcal{U}$}
+���� �-\L{$F$}. ��\char`\"{}�.
+
+
+\section{������}
+\begin{theorem}
+��� \L{$(P,\le)$} ��\char`\"{}�, ��� ���� ��� \L{$R$} �� \L{$P$}
+)��-�����( �� �-\end{theorem}
+\begin{enumerate}
+\item \L{$R$} ��� ��� ����
+
+\begin{enumerate}
+\item ��� \L{$a,b\in P$} �� \L{$a\le b$} �� \L{$R(a,b)$}.
+\end{enumerate}
+
+������ �����, ���� ��� ���� \L{$R$} �� \L{$P$} ������ �� \L{$\le$}.
+
+\end{enumerate}
+\begin{theorem}
+\uline{����:} ����� ���� ����� ����� \L{$P$} ����� ���. ������
+���������� �� \L{$|P|$}. ���� \L{$|P|=1$} ��� �� ������. ���� �������
+���� �� \L{$P$} �� \L{$|P|=n$} ������ ���� \L{$n+1$}: ��� \L{$(P,\le)$}
+��\char`\"{}� �� \L{$n+1$} ������. ����� �\L{$P$} ����� �� �� ����
+������� \L{$a$}. ��� \L{$Q=P\backslash\{a\}$}. �� \L{$(Q,\le)$}
+��\char`\"{}� �� \L{$n$} ������ ���� ���� ���������� �� \L{$R$}
+��� ���� �� \L{$Q$} ������ �� \L{$\le$} �� \L{$Q$}. ��� �� ���
+����� ��� ����� \L{$R(a,b)$} ��� \L{$b\in Q$} ���� �� ������.\end{theorem}
+\begin{proof}
+)���� ����( ��� \L{$L$} ��� ������ ������ ���:
+\begin{enumerate}
+\item ��� \L{$p\in P$} �� ���� ���� \L{$c_{p}$}
+\item ��� �� ����� \L{$R$}
+\end{enumerate}
+
+\uline{����.} ����� ����� ������ \L{$T_{P}$} �\L{$L$} ����� ���:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$c_{p}\not=c_{q}$} ��� \L{$p\not=q\in P$} 
+\item \L{$R$} ��� ��� ����
+\item ��� \L{$p,q\in P$} �� \L{$p\le q$} ��� ���� ���� \L{$R(c_{p},c_{q})$}.\end{enumerate}
+\begin{claim}
+\L{$T_{P}$} ����� )������(.
+\begin{proof}
+����� ���������� ����� ������ �\L{$T_{P}$} ����� ������. ��� \L{$T_{0}\subseteq T_{P}$}
+�����. ��\char`\"{}� �������� ){\beginL 2\endL}( \char`\"{}\L{$R$}
+��� ���� ����\char`\"{} ����� �\L{$T_{0}$}. ����� ���� �� ��\L{$T_{0}$}
+������� �� ���� ���� �� ������, ����: \L{$c_{P_{1}},...,c_{p_{n}}$}.
+���� ������ \L{$P_{0}=\{p_{1},...,p_{n}\}\subseteq P$}. �� \L{$(P_{0},\le)$}
+��\char`\"{}� �����. ��� ��� ����� �� ��� \L{$R^{P_{0}}$} ���� ���
+���� �� \L{$P_{0}$} ������ �� \L{$\le$} �� \L{$P_{0}$}. ���� ���
+���� �� \L{$R$} �\L{$P_{0}$} �\char`\"{}� \L{$R^{P_{0}}$} ��\char`\"{}�
+�-\L{$c_{p_{i}}$} �\char`\"{}� \L{$p_{i}$} �� ���� ���� �� \L{$T_{0}$}.
+\end{proof}
+\end{claim}
+
+��� \L{$\mathcal{M}\models T_{P}$}, ���� \L{$R^{\mathcal{M}}$} ���
+���� �� \L{$\mathcal{M}$}. ��� \L{$\mathcal{N}\le\mathcal{M}$} �����
+������ ��� ������� �� \L{$\mathcal{M}$} )����� \L{$a\in\mathcal{N}\iff a=c_{p}^{\mathcal{M}}$}
+����� \L{$p\in P$}(. ����� ��� ��� ���� \L{$\le^{\mathcal{N}}$}��
+\L{$\mathcal{N}$} �\char`\"{}� \L{$p\le q\iff c_{p}^{\mathcal{N}}\le c_{q}^{\mathcal{N}}$}
+��� \L{$p,q\in P$} . �� \L{$(P,\le)\cong(N,\le^{\mathcal{N}})$}
+���� �\char`\"{}� \L{$p\mapsto c_{p}^{\mathcal{N}}$}. ��� ��\char`\"{}�
+\L{$(P,\le)=(N,\le^{\mathcal{N}})$}. ��� \L{$R^{\mathcal{M}}|\mathcal{N}$}
+)�����( ��� ���� �� \L{$\mathcal{N}$}. )��� \L{$\mathcal{M}\models(2)$}
+������ ��\L{$R^{\mathcal{M}}$} ��� ���� ������ �� ��� ��� ���� ����(.
+����� �-\L{$\mathcal{M}\models(3)$} �� �� \L{$p\le q$} ��� \L{$p(c_{p},c_{q})$}
+��� ������� �){\beginL 3\endL}( ���� \L{$\mathcal{M}\models R(c_{p},c_{q})$}
+���� \L{$\mathcal{N}\models R(c_{p},c_{q})$}. 
+
+\end{proof}
+\begin{theorem}
+��� \L{$L=\{G\}$} ���� ��� �� ����� \L{$G$}. \L{$T_{G}$} �����
+������ �� ����� ��� ���. ��� ��� ���� \L{$\psi$} �\L{$L$} �� �\L{$\mathcal{M}\models\psi$}
+�� ��� �� \L{$\mathcal{M}$} ��� ����.\end{theorem}
+\begin{proof}
+���� ������ ��� ���� \L{$\psi$} ���. ����� ���� ������ ������ �����
+\L{$c_{1},c_{2}$}. ��� \L{$\varphi_{n}$} ����� ����� ���� �����
+����� ��� �\L{$n$} ��� \L{$c_{1}$} �\L{$c_{2}$}:\L{
+\[
+\neg(\exists x_{1},...,x_{n})[G(c_{1},x_{1})\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(G(x_{i},x_{i+1})\vee x_{i}=x_{i+1})\wedge G(c_{2},x_{n})]
+\]
+} ���� �� �\L{$\Gamma=\{c_{1},c_{2}\}\cup\psi\cup\{\varphi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$}
+������ ������. �� \L{$\Gamma_{0}$} ����� ����� �� ������ �� ������
+��\char`\"{}� �� \L{$n$} ����� �� �\L{$\varphi_{n}\in\Gamma_{0}$}.
+���� ��� ���� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$}
+�� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}. ��� ���� ���� \L{$n$} ��
+��� ������ �� \L{$\varphi_{n}\wedge\psi\wedge(c_{1}\not=c_{2})$}
+)���� �\L{$n$} ��������, ���� ��� ����� �\L{$c_{1}$}�\L{$c_{2}$}(.
+���� \L{$\Gamma$} ����� �����. ��� ��������� \L{$\Gamma$} �����.
+��� �� �� �����: �� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} �� \L{$\mathcal{M}\models\psi$}
+���� ��� \L{$c_{1}$} �\L{$c_{2}$} �� ����� ������ ����� ����, ����
+\L{$n$}. ��� ��� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{n}$} ���� ��� �����
+����� \L{$n$} ��� \L{$c_{1}$} �\L{$c_{2}$} ����� ����� ����� ������.
+\end{proof}
+\uline{����:}
+\begin{enumerate}
+\item ����� ���� ���� ������ �� ��� ���� \L{$\psi$} ���� \L{$L=\{\le\}$}
+�� �\L{$\mathcal{M}\models\psi$} �� ��� �� \L{$\{\le\}$} ��� ���
+)����� \L{$\le$} ��� ���� ��� ���� �������� �����(. 
+\item ���� ����� ����� ����� �� ���� ����� ����� ������ \L{$\Gamma$} ��
+�\L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} �� ��� �� \L{$\mathcal{M}$} ���
+����/\L{$\mathcal{M}$} ���� ���� )��� ���(.
+\end{enumerate}
+\uline{������:}
+
+�� \L{$\Gamma$} ����� ������ �� \L{$\Gamma\models\psi$} �� ��� ����
+\L{$\mathcal{M}$}: �� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma$} �� \L{$\mathcal{M}\models\psi$}
+.
+\begin{corollary}
+�� \L{$\Gamma\models\psi$} �� ����� ����� ������ \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
+����� �� �\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}. \end{corollary}
+\begin{proof}
+���� ������ \L{$\Gamma\cup\{\neg\psi\}$} . ������� ����� �� �����
+�����. ���������� �� \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma\cup\{\neg\psi\}$}
+����� �� �\L{$\Gamma_{1}$} ����� �����. ���� �\L{$\neg\psi\in\Gamma_{1}$}
+�� ���� \L{$\Gamma_{1}\subseteq\Gamma$} �\L{$\Gamma$} �����. )��
+\L{$\Gamma$} ����� ����� ���������� �� \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$}
+����� ����� �\L{$\Gamma_{0}\models\varphi$} ��� ���� \L{$\varphi$}(.
+��� \L{$\Gamma\supseteq\Gamma_{0}=\Gamma_{1}\backslash\{\neg\psi\}$}
+����� ������� \L{$\Gamma_{0}\models\psi$} )�� ���� �� ���� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{0}$}
+�-\L{$\mathcal{M}\not\models\psi$} ����� \L{$\mathcal{M}\models\neg\psi$}
+����� \L{$\mathcal{M}\models\Gamma_{1}$} ������ ������ \L{$\Gamma_{1}$}(.
+������ ����� ���� \L{$\models$} �� ��� ����.
+\end{proof}
+\uline{���� ������}: ������ ��� \L{$L$} ������ ������ \L{$\Gamma$}
+�\L{$L$}, ���� ���� ����/����� ���� ����� \L{$\psi$} ����� ��� \L{$\Gamma\models\psi$}?
+���� ����� ���� �� ��� \L{$\psi\in\Gamma$} �� ������ \L{$\Gamma\models\psi$}.
+���� ���� ����� ����� �� ����� ��� \L{$\psi\in\Gamma$}? ���� �������
+��� ����� ������ \L{$\Gamma$} ��� �����, ����� ���� ����� �� �����
+��� ���� \L{$\psi$} ���� �\L{$\Gamma$}. ���� �\L{$\Gamma$} �����
+������ ����� ����� �\L{$\psi_{1},\psi_{2}\in\Gamma$} �� \L{$\Gamma\models\psi_{1}\wedge\psi_{2}$}.
+���� �\L{$\psi_{1}\in\Gamma$} �\L{$\Gamma\models\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$}
+�� \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}. ����� ���� ���� �� ����� ���� \L{$\psi_{1}$}
+�-\L{$\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$} ������ ����� �\char`\"{}� \L{$\Gamma$}
+�� ���� ������ \L{$\Gamma\models\psi_{2}$}.
+
+
+\section{������ ���� �������}
+
+\uline{���� ������:} ����� ����� ������ \L{$\Gamma$} ������ ����
+���� ���� \L{$\psi$} ��� \L{$\Gamma\models\psi$}. 
+
+���� ����: \L{$\Gamma=\emptyset$}, ����� ����� ���� ��� ���� \L{$\psi$}
+����� ����� �� ��. ����� ����� ����� �� ����� �����. ����? ������
+����� ������ \L{$\Gamma$} �\L{$\psi$} �����, �� \L{$\Gamma\models\psi$}
+�� �� \L{$\Gamma_{0}\subseteq\Gamma$} ����� �� �\L{$\Gamma_{0}\models\psi$}
+)���� ����������( ���� \L{$({\displaystyle \bigwedge_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi})\rightarrow\psi$}
+����� ����� ��� �� ����� ������ �����.
+
+\uline{����}: ��� ���� ��� ����� �����?
+\begin{enumerate}
+\item ����� ������ ��� ���������� ��� ������ �����.
+\item �� \L{$\varphi$} ����� ����� �� \L{$\forall x\varphi$} ����� �����.
+���� ����� ��: \L{$\varphi\rightarrow\forall x\varphi$} ����� �����.
+\item �� \L{$\forall x\varphi(x)$} ����� ����� �� \L{$\varphi(t)$} �����
+����� ��� �� ��� \L{$t$}. ���� ����� ��: \L{$\forall x\varphi(x)\rightarrow\varphi(t)$}
+����� �����.
+\item \textbf{�� \L{$\varphi\rightarrow\psi$} ����� ����� �\L{$\varphi$}
+����� ����� �� \L{$\psi$} ����� �����. })��� ������ ����� ������
+���� �� ���� ��� ����� �����. �� ���� \uline{��� ������} �� \inputencoding{latin9}\L{Modus
+Poneus}\inputencoding{cp1255}(
+\end{enumerate}
+\uline{�����:} ������ ��� \L{$\mathcal{L}$} ���� ����� ���� \L{$Def(\mathcal{L})$}
+���� �������� ���� \L{$\mathcal{L}$}.
+\begin{definition}
+����� ���� )���� \L{$\mathcal{L}$}( �� ��� ���� \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}����: \end{definition}
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\mathcal{A}\subseteq Def(\mathcal{L})$} )���� ����( ������ �����
+��������� �������
+\item \L{${\displaystyle \mathcal{I}\subseteq{\displaystyle \bigcup}_{i=1}^{\infty}F_{i}}$}
+���� \L{$F_{n}$} �� ���� ��������� \L{$f:Def^{n}(\mathcal{L})\rightarrow Def(\mathcal{L})$}
+�-\L{$\mathcal{I}$} ����� ���� ���� �����.
+\end{enumerate}
+\uline{����:} ���� ����� ��:
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$\varphi\in\mathcal{A}$} �� \L{$\varphi$} ����� �����. �����
+�� ���� �� ��������� ������� \uline{�����}.
+\item �� \L{$f\in\mathcal{I}$} �- \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\in dom(f)$}
+�� \L{$\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}\models f(\varphi_{1},...,\varphi_{n})$}.
+����� �� ���� �� ���� ����� \uline{������}.
+\end{enumerate}
+\uline{�����}: �� ���� ���� �\L{$\psi$}����� �\L{$\psi_{1},...,\psi_{n}$}
+�� ��� ��� ����� ����� ����� \L{$\frac{\psi_{1},...,\psi_{n}}{\psi}$}
+��� ���� ���� ������ ����� ��� ���� �����. 
+\begin{definition}
+������ ����� ���� \L{$\left\langle \mathcal{A},\mathcal{I}\right\rangle $}
+������ ������� \L{$\Gamma$} ���� ������ \L{$\psi$} \textbf{�����}
+)�����, ����� ������( �\L{$\Gamma$} ,����� \L{$\Gamma\vdash\psi$},
+�� ����� ���� ������� \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} ����� \L{$k\in\mathbb{N}$}
+�� �:\end{definition}
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\psi=\varphi_{k}$}
+\item ��� \L{$1\le i\le k$} ��:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\varphi_{i}$} ������� �����. ��:
+\item \L{$\varphi_{i}\in\Gamma$}. ��:
+\item \L{$\varphi_{i}$} ����� �������� ������ ����� �\char`\"{}� ��� �����
+�����. ����� ���� �� \L{$j_{1},j_{2}<i$} �� �\L{$\varphi_{i}$} �����
+�-\L{$\varphi_{j_{1}}$}�-\L{$\varphi_{j_{2}}$} �\char`\"{}� ���
+������.
+\end{enumerate}
+
+����� \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} ������� �� ������ ��\char`\"{}�
+����� ����� �� \L{$\psi$} �-\L{$\Gamma$}.
+
+\end{enumerate}
+\uline{����:} ��� ����� ����� ���� \uline{�����} )����� ���
+���� ������ ��� ����� ��� ������� �����, ���� ����� ������ ��������
+������ �\char`\"{}� ��� ����� �����( �� ��� ����� ������ ����� �����
+)�-\L{$\emptyset$}(.
+
+������ �� ����� ���� ����� �� ���� �� ��� ������ ���� ���� ��� ��
+������������ ��������� ������ )���� �� �������� ������ ������(. 
+\begin{claim}
+��� \L{$T$} ���� )����� ������ �����( ����� �\L{$\psi$} ����� ��
+�-\L{$T\vdash\psi$} ��� \L{$T\cup\{\psi\}$} �����. \end{claim}
+\begin{proof}
+��� \L{$\mathcal{M}\models T$} ���� ���������� �� ���� ������ ��
+\L{$\psi$} �-\L{$T$} �-\L{$\mathcal{M}\models\psi$}. �� �-\L{$\psi$}
+����� ����� {\beginL 1\endL} �� �� �-\L{$\psi$} ������� ����� ����
+����� ����� ���� ����� �-\L{$\mathcal{M}$}, �� �-\L{$\psi\in T$}
+������� �-\L{$\mathcal{M}\models\psi$} )�� \L{$\mathcal{M}\models T$}(.
+���� �-\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$} ����� �� \L{$\psi$} �-\L{$T$}
+����� ����� �.�.� �-\L{$\psi=\varphi_{k}$} ����� ����� \L{$\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}$}
+�� \L{$j_{1},j_{2}<k$} �\char`\"{}� ��� ������. ��� ���� ����������
+\L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{1}}$} ��� \L{$\mathcal{M}\models\varphi_{j_{2}}$}.
+������ ���� ������ ��� ����, ���� \L{$\{\varphi_{j_{1}},\varphi_{j_{2}}\}\models\psi$}
+���� \L{$\mathcal{M}\models\psi$}. \end{proof}
+\begin{theorem}
+\uline{���� �����: }��� \L{$\Gamma$} ����� ������� �-\L{$\psi$}
+����� �����, �� \L{$\Gamma\cup\{\psi\}\vdash\phi$} �� ��� �� \L{$\Gamma\vdash(\psi\rightarrow\phi)$}
+)\L{$\phi$} �����(. 
+\end{theorem}
+)������ ��� ���������� �� ���� ������, ����� ��� ��� ���(.
+\begin{definition}
+����� ������� \L{$\Gamma$} ���� ����� �� ��� �� ������ �����. )�����
+��� ������� �� ���������� - ����� ���� �� ������ ������ ������ ������
+�� ����� �������(.\end{definition}
+\begin{remark}
+�� \L{$\Gamma$} ���� ����� �� \L{$\Gamma\vdash\psi$} ��� ����� \L{$\psi$}. \end{remark}
+\begin{proof}
+������� \L{$\Gamma\vdash\sigma$} ����� ����� \L{$\sigma$}. �� \L{$\Gamma\rightarrow\psi$}
+��� ���������� )\L{$\sigma$} ������ �\char`\"{}� ���� �� ������ ������
+������ ����� \L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})$} �� ����� ������� �-\L{$\Sigma(P_{1},...,P_{n})\rightarrow P$}
+��� ���������� �� ����� �������(. ����� �\L{$\Gamma\vdash\sigma$}
+���� ������ \L{$\Gamma\vdash\psi$}. \end{proof}
+\begin{corollary}
+)����� �����( ��� ���� \L{$T$} ���� ����� \L{$\varphi$} �� �-\L{$T\cup{\varphi}$}
+����� �� �-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} �����.\end{corollary}
+\begin{proof}
+���� �-\L{$T\cup{\varphi}$} �-\L{$T\cup{\neg\varphi}$} ����� ����
+������. ��� ����� �� ����� \L{$\sigma$} �� �-\L{$T\cup{\varphi}\vdash\sigma$}
+�-\L{$T\cup{\neg\sigma}\vdash\sigma$} . ��� ���� ����� \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\sigma$}
+�-\L{$T\vdash\neg\varphi\rightarrow\sigma$} . ���: \L{$(\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow((\neg\varphi\rightarrow\sigma)\rightarrow\sigma)$}
+�� ����������. ����� ���� ���� ������ ��� ��� ����� �� \L{$\sigma$}
+�-\L{$T$}. ������ ����� �-\L{$T$} ����� ������ ������.\end{proof}
+\begin{corollary}
+��� ���� \L{$T$} �� ����� ������ \L{$T\subseteq T^{\prime}$} ��
+���� ���� \L{$\psi$} �� \L{$T^{\prime}\vdash\psi$} �� \L{$T^{\prime}\vdash\neg\psi$}. \end{corollary}
+\begin{definition}
+���� \L{$T$} ������� ��� ���� \L{$\psi$} �� \L{$T\vdash\psi$} ��
+\L{$T\vdash\neg\psi$} ����� \uline{����}.\end{definition}
+\begin{proof}
+)�� ������( ��� \L{$\mathcal{T}$} ���� �� ������ ������� �������
+�� \L{$T$} ���� ���� �����. �� ����� ��� \L{$\{T_{i}\}$} ����� ����
+�� ����� �-\L{$\mathcal{T}$} �� \L{$\bigcup T_{i}\in\mathcal{T}$}.
+���? ��������� )���� ����(. ��� ��� ���� �� ���� �� \L{$T\subseteq T^{\prime}\in\mathcal{T}$}
+������. ��� ������ ������ \L{$T^{\prime}$} ���� �� �������.
+\end{proof}
+
+\section{������ ���� - ����}
+\begin{definition}
+����� ������ ����� \L{$T$} ��� \textbf{����} �� ��� ���� \L{$\psi$}
+�� �-\L{$T\vdash\psi$} �� �-\L{$T\vdash\neg\psi$}.
+
+����� ��� \L{$T$} ����� ������ ����� ������� ��� ���� ����� �� \L{$T$}
+����.\end{definition}
+\begin{claim}
+��� ����� ������ ����� \L{$T$} �� ����� ������ ���� \L{$T\subseteq T^{\prime}$}.\end{claim}
+\begin{proof}
+���� �� ����. ��� ������ ���� �� ���� ����� ������ ��� \L{$\{T_{i}\}$}
+����� )���� �����( �� ������ ������ ������ �� �� \L{$\tilde{T}=\bigcup T_{i}$}
+������. ����? �� \L{$\tilde{T}\vdash\sigma$} ����� ����� \L{$\sigma$}
+�� �� ���� \L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}\in\tilde{T}$} ���� �����
+�� \L{$\sigma$} �-\L{$\tilde{T}$}. �� \L{$\varphi_{i}$} ��� ��
+������� ����� �� ���� ����� \L{$T_{j_{i}}$} �� ���� ������� ������
+����� �\char`\"{}� ��� ������. ���� \L{$j$} ����� �� ���� \L{$i$}
+��\char`\"{}� �� \L{$\varphi_{i}$} ������� ����� �� \L{$\varphi_{i}\in T_{j}$}
+�� \L{$\varphi_{i}$} ����� ���� ������. �\char`\"{}� �\L{$\varphi_{1},...,\varphi_{k}$}
+����� �� \L{$\sigma$} ���� \L{$T_{j}$}. ��� \L{$T_{j}$} ����� -
+�����.\end{proof}
+\begin{theorem}
+����� ����� ���� )��� ��� ������ ��� ��� ����� �����( ��� ������ �����
+\char`\"{}�����\char`\"{} ������� �\L{$T$} ����� �� ��� �� \L{$T$}
+�����.\end{theorem}
+\begin{corollary}
+{]}���� ������{[} ���� ����� ���� ��\char`\"{}�. ��� \L{$T$} �����
+������ �����, \L{$\psi$} ���� ����� ��� \L{$T\vdash\psi$} �� ���
+�� \L{$T\models\psi$}.\end{corollary}
+\begin{proof}
+�� \L{$T\vdash\psi$} ����� �\L{$T\models\psi$} )����� ����(. ������
+����, �� \L{$T\models\psi$} ��� \L{$T\not\vdash\psi$} �� \L{$T\cup{\neg\psi}$}
+�����. ��� ����� �� \L{$\mathcal{M}\models T\cup{\neg\psi}$} ������
+�����.\end{proof}
+\begin{remark}
+����� ��\char`\"{}� ���� �����: ����� ����� ���� \char`\"{}�����\char`\"{}
+�� ���� \L{$\varphi$} ����� ����� ������ \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.\end{remark}
+\begin{proof}
+���� �� ����� ������ �� �����. \L{$\emptyset\models\varphi$}������
+�� \L{$\varphi$} ����� ����� ��� ������ \L{$\emptyset\vdash\varphi$}.
+������ ����, ���� �� ����� ������ �� �����. ��� \L{$T$} ���� �����.
+����� ������ )����� �����( ��\L{$T$} �� ����. ���� ���. �\char`\"{}�
+���������� �� �� ����� ����� \L{$T_{0}\subseteq T$} ���� �� ����.
+��� \L{${\displaystyle \psi=\bigwedge_{\varphi\in T_{0}}\varphi}$}.
+�� \L{$\psi$}����� �����. �� \L{$\neg\psi$} ����� �����. �� \L{$T\vdash\neg\psi$}.
+��� \L{$T\vdash\psi$} �� \L{$T$} ����� �����.\end{proof}
+\begin{remark}
+����� ������ ���� �\L{$T$} ���� �� ��� �� \L{$T\models\varphi$}
+�� \L{$T\models\neg\varphi$} ��� ���� \L{$\varphi$}. 
+\end{remark}
+������� ������ �����:
+\begin{enumerate}
+\item ��� \L{$\mathcal{M}$} ���� ����� ���� \L{$\mathcal{L}$}. ����� ��
+\L{$\mathcal{M}$} ��� \L{$Th(\mathcal{M})=\{\psi:\mathcal{M}\models\psi\}$}.
+������ ����, �� \L{$\mathcal{M}\not\models\varphi$} �� \L{$\mathcal{M}\models\neg\varphi$}.
+����� \L{$\varphi\not\in Th(\mathcal{M})$} ��� \L{$\neg\varphi\in Th(\mathcal{M})$}. \end{enumerate}
+\begin{theorem}
+)��������-����� �����(: ��� \L{$\mathcal{M}$} ���� ������� ���� )��
+����( \L{$\mathcal{L}$}. ��� \L{$A\subseteq M$} )����� �� \L{$\mathcal{M}$}(
+��� ���� \L{$A\subseteq\mathcal{M}^{\prime}\prec\mathcal{M}$} ���
+�-\L{$|\mathcal{M}^{\prime}|=|A|+|\mathcal{L}|$}. \end{theorem}
+\begin{corollary}
+���� �\L{$T$} ���� ���� �� ���� ��\L{$T$} �� ���� ���� �� ��� �����������
+������ \L{$\aleph_{0}$}. ��� \L{$T$} ���� )��� �� �������� \inputencoding{latin9}\L{Vaught}\inputencoding{cp1255}(. \end{corollary}
+\begin{proof}
+���� ���. ��� �� ���� \L{$\varphi$} �� �\L{$T_{1}=T\cup{\varphi}$}
+�-\L{$T_{2}=T\cup{\neg\varphi}$} ������. ��� ������ \L{$\mathcal{M}_{1}\models T_{1}$}
+�-\L{$\mathcal{M}_{2}\models T_{2}$}. ������ ����� ������ )�����
+�\L{$\emptyset=A\subseteq\mathcal{M}_{i}$}( ��� \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\prec\mathcal{M}_{i}$}��
+�\L{$\aleph_{0}=|\mathcal{M}_{i}^{\prime}|$}���� \L{$i=1,2$}. ���
+\L{$\mathcal{M}_{i}\models T$} ���� \L{$\mathcal{M}_{i}^{\prime}\models T$}.
+��� \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\cong\mathcal{M}_{1}^{\prime}$})���
+�����(. ��� ���� ������������ \L{$\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\varphi\iff\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$}
+��� \L{$\mathcal{M}_{1}\models\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{1}^{\prime}\models\varphi$}
+��� \L{$\mathcal{M}_{2}\models\neg\varphi\rightarrow\mathcal{M}_{2}^{\prime}\models\neg\varphi$}
+- �����. \end{proof}
+\begin{corollary}
+~\end{corollary}
+\begin{enumerate}
+\item ��� \L{$T_{\approx}$} ����� ���� ����� )�\char`\"{}� ������ ����(
+������ ������ �������. �� ���� ����. 
+\item ��� \L{$\mathcal{L}=\{\le\}$} �- \L{$DLO$} ��� ����� �� ��� ����
+���� ��� �����. �� \L{$DLO$} ���� ����. 
+\item ���� ����� )����� ������������ ��� ������ {\beginL 1\endL} ���� {\beginL 2\endL}(
+��� ������ �\L{$\aleph_{0}$} )����� �� ���� ��� �� ����� ������ \L{$\aleph_{0}$}
+��������� ��( ��� ����� {\beginL 2\endL} ���� {\beginL 5\endL}. 
+\end{enumerate}
+
+\section{������ �������}
+
+\uline{������:}
+\begin{itemize}
+\item ���� \L{$T$} ���� �� ��� ���� \L{$\psi$} �� \L{$T\vdash\psi$} ��
+\L{$T\vdash\neg\psi$}
+\item �� \L{$T$} ������� �\L{$\aleph_{0}$} )�����, �� �� ���� ���� ��
+��� ����������� ������� \L{$\aleph_{0}$}( ��-\L{$T$} ��� ������
+������ �� \L{$T$} ����.
+\end{itemize}
+\uline{\L{$C$} - ����� ��������� �������:}
+\begin{itemize}
+\item �������� ������ )������������(
+\item ������ ������ ����
+\item ���� ��� ���� ���� �� ���� ����� �� ������
+\item ����� ������, ��� ��� ������ ����� ����� ��������
+\item �� ��� ������ ���� ������ ������� ����� ������ - \char`\"{}������\char`\"{}
+\item ������ �� ���� ������, �� ��� ��� ������ ���� ����� ���� ���� ����
+�� ������
+\item ��� ��� �� ������ \char`\"{}���� ����� �� ����������\char`\"{} - ������
+��� ���� �� \char`\"{}��� ������\char`\"{}\end{itemize}
+\begin{definition}
+���� \L{$S$} �\char`\"{}� ���� �� �� ����� \L{$B$}, �-\L{$Q$} �����
+����� )��� �\L{$S$}( ����� �� \char`\"{}����� ������ ��������\char`\"{}
+�� ��� ������ \L{$q_{0}$}. \textbf{�����} �� ������� \L{$\left\langle r,q,x,q^{\prime}\right\rangle $}
+���� \L{$r\in S$}, \L{$q,q^{\prime}\in Q$}, \L{$x\in\{L,R\}\cup S$}.
+\textbf{����� �������} �� ������ \L{$M=\left\langle I,S,q_{0},Q\right\rangle $}
+���� \L{$I$} ����� �����, ���� ������ �� ������. )����: \L{$I$}
+���� ������ �� \L{$rqxq^{\prime},rqyq^{\prime\prime}\in I$} �� \L{$y=x$}
+�-\L{$q^{\prime}=q^{\prime\prime}$}.(
+\end{definition}
+����� ����� ����� �� �\char`\"{}� ��� ��� ������� ������ ������� ����.
+��� �� �� ���� ����� ��� ������� ��\char`\"{}� ���� �� \L{$B$} �����
+��� �� ������ �� ���. ������ �� ��� ���� ����� ���� �� ��� �����.
+���� ����� ���� ����� ��� ��� ����� ��� �� ��� ����. ��� ���� ������
+�� ������ ���� �����, ���� ���� ����� ���� ����� ������ �� ��� ��
+����� �� ��� ��\char`\"{}� ����� ���, ������ ���� ����� ���. �� �����
+���� ������: �� ���� ����� ���� �� \L{$r$} ����� ������ ��� \L{$q$}
+�� �� \L{$x\in\{L,R\}$} ��� ����� �� ����� �� ��� ����� ���� �����
+\L{$q^{\prime}$}. �� \L{$x\in S$} ���� ��� ������ \L{$x$} �����
+���� ����� \L{$q^{\prime}$}. ���� �\L{$I$} ��� ���� ������ ����
+����� �� ���� ���� �\L{$I$} ��� ������� �����: \L{$S\times Q\rightarrow Q\times(S\cup\{L,R\})$}. 
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item \textbf{���} \L{$m$} �� ����� ������� \L{$T$} �� ���� \L{$(n,q,h)$}
+����:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$n\in\mathbb{Z}$} ����� �� ����� ���� ����� ���� ������ �������
+\L{$n=0$}.
+\item \L{$q\in Q$} ���� ������ �� ������
+\item \L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow S$} ������� ������ �� ���� ��� �� ��
+����.
+\end{enumerate}
+\item ������ �\char`\"{}� \L{$T$} ���� \L{$m$} �� ������ ����� �� \textbf{����
+�����} �\L{$m$} ��� ������ \L{$T$} ����� \L{$m^{(T)}=(n^{*},q^{*},h^{*})$}
+����:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$m=(n,q,h)$} ��� ����� \L{$rqxq^{\prime}\in I$} �� �\L{$r=h(n)$}
+�-\L{$q$} ��� ���� ��� �����
+\item �� )�( ������ �� \L{$n^{*}=\begin{cases}
+n & x\in S\\
+n+1 & x=R\\
+n-1 & x=L
+\end{cases}$}
+\item �� )�( ������ �� \L{$q^{*}=q^{\prime}$}
+\item �� )�( ������ �� \L{$h^{*}(m)=\begin{cases}
+h(m) & m\not=n\\
+y & m=n
+\end{cases}$} ���� \L{$y=h(n)$} �� \L{$x\in\{L,R\}$} �-\L{$y=x$} �� \L{$x\in S$}
+.
+\end{enumerate}
+\item \textbf{����} �� �\char`\"{}� \L{$T$} �� ���� �� ����� \L{$m_{0},m_{1},m_{2},...$}
+�������:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$m_{0}=(0,q_{0},h^{0})$} ����� \L{$h^{0}$}
+\item ��� \L{$i>0$} ������ \L{$m_{i}=m_{i-1}^{(T)}$}.
+\end{enumerate}
+\item ���� �� �\char`\"{}� \L{$T$} ����� \textbf{�����} )�� �������( ��
+��� ������ \L{$m_{0},m_{1},...,m_{n}$} ����� \L{$n\in\mathbb{N}$}
+�-\L{$M_{n}^{(T)}$} ���� �����.
+\end{enumerate}
+~
+\begin{definition}
+������ �\char`\"{}� \L{$T$} ����� ���� \L{$n$} ����� ������� )�����(
+\L{$f_{T}^{n}=\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} ����� ���: \L{$n=0$},
+\L{$q=q_{0}$} , ����� ���� ��: \L{
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+x_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+x_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+x_{n}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+}������ \L{$m=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} �� ���� �� \L{$T$} ��
+���� ������� ��\char`\"{}� ������� )���� �� �����( �-\L{$m$} ���
+���� ������ �� ���� ���� �����.
+\end{definition}
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+������� \L{$f:\mathbb{N}^{n}\rightarrow\mathbb{N}$} ����� \textbf{�����
+�\char`\"{}� �\char`\"{}� }�� ����� �\char`\"{}� \L{$T$} �� �\L{$f_{T}^{n}=f$},
+����� \L{$f$} ������ ����� ����� ����� �� \L{$f_{T}^{n}$} ������
+���� ���� ��� ������� \L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})=f(x_{1},...,x_{n})$}. 
+\end{definition}
+
+\section{������ ������� - ����}
+\begin{definition}
+��� \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$} ������� \L{$f$}
+����� \textbf{�����} )�\char`\"{}� ����� �������( �� ����� ����� \L{$T$}
+�� ���� \L{$(n_{1},...,n_{k})\in\mathbb{N}^{k}$} ����� �� \L{$T$}
+�� ��� ������ \L{
+\begin{eqnarray*}
+...BB\underset{1+n_{1}}{\underbrace{1...1}}B\underset{1+n_{2}}{\underbrace{1...1}}B...B\underset{1+n_{k}}{\underbrace{1...1}}BB...
+\end{eqnarray*}
+} ������� �� ��� �� \L{$f(n_{1},...,n_{k})$} ����� ������ �� ����
+������ �� ���� ���� ����� ��� \L{$f(n_{1},...,n_{k})$}.
+
+\uline{������}: �����, ������ �\char`\"{}� \L{$T$} �� ��������
+\L{$f_{T}^{n}$} ����� �������� ����� ��� ��\char`\"{}� ������ ��
+���� ������ ����� ����� �� ������ )�� ����(.\end{definition}
+\begin{claim}
+��� ����� ������� \L{$T$} �� ����� ������� \L{$T^{*}$} �� �:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$f_{T}^{n}=f_{T^{*}}^{n}$} ��� \L{$n$}
+\item ��\char`\"{}� �� \L{$T^{*}$} �� ��� ����� ������� \L{$S,E$} �� ����
+���� ������� �� \L{$T^{*}$} )�� ��� ����( ���� ���� ����� ���� ��:
+\L{$...BBS111...1EBB...$}
+\item ������ ����� �� ���� ����� ����� �� ��� ������ �\L{$S$} �����
+\item ��� �\L{$S,E$} �-\L{$T^{*}$} �� �� �� ������ \L{$\{1,B\}$}.
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ~
+\item ��� ��� ����� \L{$q\in Q(T)$} ���� ������ \L{$T^{*}$} ��� �����
+\L{$q^{*}$}. �� ����� \L{$rqxq^{\prime}\in I(T)$} ����� ������ \L{$rq^{*}x(q^{\prime})^{*}$}.
+����� �\L{$T^{*}$} �� ������� �����:
+
+\begin{itemize}
+\item ���� \L{$S$} ����� ���� ����� �����
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$Bq_{0}Lq_{1}$}
+\item \L{$1q_{0}Lq_{1}$}
+\item \L{$Bq_{1}Sq_{2}$}
+\item \L{$Bq_{2}Lq_{3}$}
+\end{itemize}
+\item ���� ����� ���� ����, ���� \L{$E$} ����� ������
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$Bq_{3}Rq_{4}$}
+\item \L{$Bq_{4}Lq_{5}$}
+\item \L{$Bq_{5}Eq_{r}$}
+\item \L{$*q_{r}Lq_{r}$} )\L{$*$} �� �� \L{$B$} �� \L{$1$}(
+\item \L{$Sq_{r}Rq_{0}^{*}$} 
+\item ��� ������
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$1q_{3}Rq_{3}$}
+\item \L{$1q_{4}Rq_{3}$}
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+���� ������ ��� ������ ������ �������� ����� �� ����� ����� ���� �����
+�\L{$S$} �� �\L{$E$} ���� �����. ���� ���� ���� ����, ��� ��� �����
+\L{$q^{*}$} ����� ������:
+\begin{itemize}
+\item \L{$Sq^{*}B\tilde{q_{1}}$}
+\item \L{$B\tilde{q_{1}}L\tilde{q_{2}}$}
+\item \L{$B\tilde{q_{2}}S\tilde{q_{3}}$}
+\item \L{$S\tilde{q_{3}}Rq^{*}$}
+\item ����� ������ ������ �\L{$E$}
+\end{itemize}
+
+���� ��� ������� ��� ������ ������. ���� ��� ���� ������� �� \L{$T$}
+������� ���� ����� \L{$\hat{q}$} )����� ����� ����� ����� �� \L{$T$}(.
+����� ������:
+\begin{itemize}
+\item \L{$*\hat{q}R\hat{q}$} )���� \L{$*$} ���� �� �� ����� \L{$E$}(
+\item \L{$E\hat{q}Bq_{w}$} 
+\item \L{$Bq_{w}Lq_{w}^{1}$}
+\item \L{$*q_{w}^{1}E\hat{q}$} )���� \L{$*$} ���� �� �� ����� \L{$1$}
+����� \L{$S$}(
+\item ���� ����� ������ \L{$S$}���� ������ �� \L{$E$}:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$Sq_{w}^{1}Eq_{w}^{s}$}
+\item \L{$Eq_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$}
+\item \L{$Bq_{w}^{s_{1}}Sq_{w}^{s_{2}}$} - ��� ����
+\end{itemize}
+\item ���:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$1q_{w}^{1}Eq_{w}^{d}$}
+\item \L{$1q_{w}^{d}Lq_{w}^{d}$}
+\item \L{$*q_{w}^{d}1\hat{q}$} )����\L{$*$}- �� �� ����� \L{$S$} �� \L{$1$}(
+\item \L{$Sq_{w}^{d}1q_{w}^{s}$}
+\item \L{$1q_{w}^{s}Lq_{w}^{s_{1}}$} 
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\item ������ ���� ��� �� ����� �����, ��� ������ ��� ���� ���� ������ \L{$S$}.
+�� ��� ������� ����� \L{$S$} ��� ����� �\char`\"{}�� �����\char`\"{}
+������ �� �� ���� ��� \L{$E$} ����� ��� ���, ����� \L{$B$} �����
+������ ������ �-\L{$S$} ������ ����� �� \L{$T$}. ���� ����� �����
+�������: �� ����� \L{$Sh$} ������� ��� �� ����� \L{$...BBS...EBBB...$}
+������ �� �� ���� ����� �� �� ��� �����. ����� ��\char`\"{}� ����
+�� ����� \L{$B^{*}$} , ������ ���� ����� ���:
+
+\begin{enumerate}
+\item ����� �� ����� �\L{$E$} 
+\item ��� �� \L{$\alpha$} ��\char`\"{}� ������ )����� ����� \L{$B^{*}$}(
+���� ��� ����� \L{$q_{\alpha}$}. ���� �������:
+
+\begin{itemize}
+\item \L{$\alpha q_{w}B^{*}q_{\alpha}$}
+\item \L{$Bq_{\alpha}Lq_{\alpha}^{1}$}
+\item \L{$B^{*}q_{\alpha}^{1}\alpha q_{w}$} 
+\end{itemize}
+
+������ �� ��� \L{$\alpha$} �� ��� ����� ������ ������. ���� �����
+���� ������ \L{$S,E$} ��� ��� ����.
+
+\end{enumerate}
+\item �� ��\char`\"{}� ���� �� \L{$n$} ����� ���� ����� \L{$T^{*}$} ���
+��� �-\L{$i$} ��\char`\"{}� �� \L{$T$} ����� �\char`\"{}� \L{$n$}-��
+�� ���� \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}
+. �� ����� ��� ����� ������ \char`\"{}��� �����\char`\"{} �� \char`\"{}���
+�����\char`\"{} �\L{$T$} ���� ����� ����� ������ \char`\"{}��� \L{$n$}
+����� �����/�����\char`\"{} �\L{$T^{*}$}. ����� ������ \char`\"{}����
+�� ��� �\L{$i$} ��\char`\"{}� ��� ������\char`\"{} ����� ����� ��
+\L{$n$} ������ ����� \char`\"{}���� ����� �\L{$n$}-�� ���� ����
+������� �� �\L{$n$}-�� \L{$\underset{i}{\underbrace{11...1}}\underset{n-i}{\underbrace{BB...B}}$}.
+��\char`\"{}� ���� ������. �� ��� �����: �� ����� �� ��� \L{$1$}
+��\char`\"{}� �� \L{$T$} �\char`\"{}� \L{$\underset{n-1}{1\underbrace{BB...B}}$}��
+\L{$f_{T^{*}}^{n}=f_{T}^{n}$} ��� \L{$n$}. 
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+������ ���� ��� ����� ������� ������ ���� ������ �� ������ {\beginL 2,3,4\endL}
+. ��� {\beginL 1\endL} �� �� ������� ����� �� ����� ��������� �������
+������ �\char`\"{}� ����� ������� ��� ����� �� ���� ���� �� ������.
+����� ���� ���� ����� ������� �� ��� ����� ���� ����� ����� �����
+�����. ��� ���� ����� ������ ����� ���� ����� ���� �� ��� ����� �-\L{$S$}.
+\begin{claim}
+���� �-\L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} �- \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+������ ������� �� �� \L{$f\circ g$} ����� �������.\end{claim}
+\begin{proof}
+����� \L{$T_{f},T_{g}$} ������ �� �\L{$f_{T_{f}}^{\prime}=f$} ���
+\L{$g_{T_{g}}^{\prime}=g$} . ��� ��� ����� �� \L{$f$} ������ �����
+���� ��� ����� \L{$q^{*}$}. �� ������ �� ������ ����:
+\begin{enumerate}
+\item ����� ������� �� \L{$T_{g}$}. 
+\item ������ �� \L{$S$}, ������� ������ \L{$1$}, ������ �� \L{$E$}, ����
+������ ����� ���� ����� \L{$q_{0}^{*}$}
+\item ����� ������� �� \L{$T_{f}$} �� ������ ��� ����� ������ \L{$*q\star q_{1}$}
+����� ������ ������ \L{$*q^{*}\star q_{1}^{*}$}.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{claim}
+����� ��������� ������� ������� ����� ��� ������� \char`\"{}�����\char`\"{}:
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{n})) & = & \begin{cases}
+a & (*)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} ���� {*} ���� ���� ������ ������ ���....
+\end{claim}
+
+\section{�������� ������}
+
+����� ���������� ����� ������ �������:
+\begin{itemize}
+\item \L{$1$} - �������� ������ {\beginL 1\endL}
+\item \L{$0$} - �������� ������ {\beginL 0\endL}
+\item \L{$x+y$} - �����
+\item �� ����� �\L{$\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n})=x_{k}$} ���� \L{$k<n\in\mathbb{N}$}
+����� ������� )��� \L{$k,n$}( 
+\item �� ���� \L{$x\cdot y$}? ���� �� �� ����� ��� ����� ������� ��� \L{$y$}
+������ �� \L{$y$} ���� ����. �� ��� ������� ����� - ����� ��.
+\item �� ���� �������� \L{$C_{<}(x,y)=\begin{cases}
+1 & x<y\\
+0 & else
+\end{cases}$}? �� �������� ��� ����� )������ �� ��� �� ������ \L{$x$} ����� \L{$y$}...(
+\item ����� ��: �� \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} �-\L{$g:\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}^{r}$}
+������ ������� �� �� \L{$f\circ g$} ����� �������.\end{itemize}
+\begin{definition}
+\L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} ����� ������� ��
+\L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{k}) & = & (f_{1}(x_{1},...,x_{k}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{k}))
+\end{eqnarray*}
+} ��� ��� ���������� \L{$f_{i}$} ���� \L{$1\le i\le m$} ����� �������.
+
+���� ��� �� ����� ��� ���� �� �� ��������� ������� ������� ���� ���
+��������� �������� �� ������ ��\char`\"{}� �� ��� ���� ���� �� ������
+�� �������� �����. ����� ������� �� �� \L{$\mathbb{N}^{k}$} ����
+\L{$k$} �����. �� ��� ������� ��� �������� ������ ������� ����� �����,
+����: \L{$1q_{0}Lq_{2},\, Bq_{2}Lq_{1},\,*q_{1}Lq_{1}$} )����� ���
+����� �� ��� ������� - �� \L{$0$} ����� ���(. \end{definition}
+\begin{claim}
+��� \L{$g(x_{1},...,x_{n}):\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$}
+������� �����. ����� \L{
+\begin{eqnarray*}
+h(x_{2},...,x_{k}) & = & \mu_{x_{1}}(g(x_{1},...,x_{k}))=\begin{cases}
+t & g(t,x_{2},...,x_{k})=0\wedge\\
+ & (\forall z<t)(g(z,x_{2},...,x_{k})>0)\\
+undefined & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} ��� �� \L{$g$} ����� ������� �� \L{$h$} ����� �������. \L{$\mu$}
+���� ������� �\char`\"{}�����\char`\"{}.\end{claim}
+\begin{proof}
+)�����( ��� \L{$T$} ����� ������� ������ �� \L{$g$} )����� \L{$f_{T}^{k}=g$}(.
+\char`\"{}��� �����\char`\"{} - ���� �� \L{$T$} �� ���� \L{$0,x_{2},...,x_{k}$}.
+�� ������ �� ����� �� ���� �\L{$g$} �� ������ �\L{$(0,x_{2},...,x_{k})$}
+���� �� \L{$h(x_{2},...,x_{k})$} �� ������ �����. �� ����� �������
+����� ��� ��� ������� �\L{$0$}. �� ��, ����� \L{$0$} ��� \L{$h(0,x_{2},...,x_{k})=0$}
+�����. �� ��, ����� �� ���� ����� �� ���� \L{$1,x_{2},...,x_{k}$}
+���'. �� ������ ��\char`\"{}� ����� �� ���, �� ���� ����� ���� �����
+\L{$t$} ����� \L{$g(t,x_{2},...,x_{k})=0$}, ���� \L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})$}
+������ ��� \L{$t^{\prime}<t$}. ��� ����� �� �������? ����� �� ���
+������ ������:
+\begin{enumerate}
+\item ���� \L{$t$} �� �\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})$} �� ����� �\L{$g(t^{\prime},x_{2},...,x_{k})>0$}
+��� \L{$t^{\prime}<t$}.
+\item ����� ����� �� ������ �\L{$g(t,x_{2},...,x_{k})>0$} ��� \L{$t$}.
+����� ������� ��� \L{$h$} �� ������ �� ������� �������.
+\end{enumerate}
+
+���� �����: ���� ����� ������ ����� ���. ������ ����� �� ��� ����
+�\L{$S$}. ���� ������ ������ \L{$T^{*}$} ����� �� ���� \L{$x_{2},...,x_{k}$}
+����� �\L{$S$} ������ \L{$1B$} ������. ���� ��� \L{$T^{*}$} ����
+�� ����� �� \L{$T$} �� \L{$0,x_{2},...,x_{k}$} ���� ��� ������ )���
+��� \L{$T$} ���� �����( �� ���� ����� �\L{$S$}. �� ���� ��� �����
+������ ����� ����� �� ���� ����� �\L{$S$} ���� ���� \L{$E$} )��
+�� \L{$T$} �����(. �� ��� \L{$S$} �\L{$E$} �� ����� ��� \L{$1$},
+�� \L{$T^{*}$} ����� �� ������ ���� �� \L{$T^{*}$} )����� �\L{$S$}(
+���� �� �� ���� ������. �� ��� \L{$S$} �\L{$E$} ����� ��� \L{$1$}
+������ ����� ������ ���� �� \L{$T^{*}$}, ����� \L{$1$} ���� �\L{$B$}
+������ ������ �������. 
+
+\end{proof}
+\begin{definition}
+������� \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} ����� �����/���������
+�� ��� ������ �� ��������� \L{$\{x+y,x\cdot y,C_{<}(x,y),\Pi_{k}^{n}(x_{1},...,x_{n}),1,0\}$}
+�� ��� ���� ���� �� ������ ������ �� �������� \L{$\mu_{x}$}. ������
+�����, ����� ��������� ������� �� ������/���� ����/� ����� �� ��������
+�\L{$\mathbb{N}^{k}$} �\L{$\mathbb{N}^{m}$} �����/� �� ���������
+��\char`\"{}� �����/� ��� ����� ��������� \L{$\mu_{x}$}. \end{definition}
+\begin{theorem}
+������� \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}^{m}$} ����� ��
+��� �� ��� ����� �������.
+
+������ ��� ������� ����� ��� ����� �������. \uline{�����:} ��������
+\L{$n\mapsto n!$} ��� ����� �������. ���� ��������� �����. ���� ����
+���: ���� �������� \L{$f(m)=\begin{cases}
+n & m=2^{n}\\
+0 & m=1\, or\, else
+\end{cases}$} �����?\end{theorem}
+\begin{definition}
+��� \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} ��� \L{$\chi_{A}=\mathbb{N}^{m}\rightarrow\mathbb{N}$}
+�� �������� ������� �� ��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{A}(x) & = & \begin{cases}
+1 & x\in A\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}. \L{$\chi_{A}$} ����� \textbf{�������� �������} �� \L{$A$}.
+\begin{definition}
+��� \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{m}$} ���� \textbf{����} �� \L{$\chi_{A}$}
+������� �����.\end{definition}
+\begin{claim}
+����� ������ ������� ����� ��� ������ ���������, ����� ��� �������,
+������� ������.
+\end{claim}
+\end{definition}
+\begin{proof}
+~
+\begin{itemize}
+\item �� \L{$A$} ����� �� \L{$\chi_{A}(x)=C_{<}(\chi_{A}(x),1)$}.
+\item �� \L{$A,B$} ������ �� \L{$\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\cdot\chi_{B}(x)$}.
+\item \L{$\chi_{A\cup B}(x)=C_{<}(0,\chi_{A}(x)+\chi_{B}(x))$} �� ��� ��-�����.
+\end{itemize}
+
+����, ����, �� ���� \L{$A(x,y)=(x\le y)$} ����. �� ���� ����� ������
+������� \L{$C_{<}(x,y)$} �-\L{$x=y$}. 
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+)����� ��� �����(: ������ \L{$f_{1},...,f_{n}$} �������� ������ \L{$k$}-�������,
+�-\L{$A_{1},...,A_{n}\subseteq\mathbb{N}^{k}$} ���� �������, �� �\L{$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=\mathbb{N}^{k}$}.
+��� �������� \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x) & = & \begin{cases}
+f_{1}(x) & x\in A_{1}\\
+\vdots & \vdots\\
+f_{n}(x) & x\in A_{n}
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} �����. \end{claim}
+\begin{proof}
+\L{$\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)\cdot\chi_{A_{i}}(x)$} ��� ������� �����
+�� \L{$\chi_{A_{i}}$} ������, \L{$f_{i}$} ������ ������� ����� ������.
+\end{proof}
+
+\section{�������� ������ - ����}
+\begin{definition}
+��� \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} ��� ����, \L{$k+1$} �����.
+����� �������: \L{
+\begin{eqnarray*}
+\mu_{x<z}(A(x,\bar{y})) & = & \begin{cases}
+t & t<z\wedge\mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}.\end{definition}
+\begin{claim}
+�� \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} ��� ���� �� �������� \L{$h(z,\bar{y})\equiv\mu_{x<z}(A(x,\bar{y}))$}
+�����.\end{claim}
+\begin{proof}
+���� ��� ����� �� ����� ��� ����� {]}��� ���� ��� ������ �� �� ��
+������?{[}. �������� ���� ���� �� �-\L{
+\begin{eqnarray*}
+h(z,\bar{y}) & = & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y})\cdot C_{=}(x,z))
+\end{eqnarray*}
+} ���� \L{$C_{=}(x,z)=0\iff x=z$}, ����� ��� ������� �����. ���� ��
+\L{$h(z,\bar{y})$} ���� ������, ����� ������� ����. \end{proof}
+\begin{corollary}
+�� \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} ��� ���� �� ���� \L{$B(z,\bar{y})\equiv(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))$}
+��� ����.\end{corollary}
+\begin{proof}
+\L{$(z,\bar{y})\in B\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}. ��� �� ���� ��������
+\L{$\chi_{B}$} ���� ����� ������� �� ������� �����. ���� \L{$C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=\chi_{B}$}?
+����� ���� ��������� ������ �� ����� \L{$0,1$} ����� ������ ����
+\L{$(z,\bar{y})$} ������ \L{$\chi_{B}(z,\bar{y})=1\iff C_{<}(h(z,\bar{y}),z)=1$}
+. ��� ����� \L{
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{B}(z,\bar{y}) & = & 1\iff(\exists x<z)(A(x,\bar{y}))\iff h(z,\bar{y})<z
+\end{eqnarray*}
+}.
+\end{proof}
+������ ����� ������ ����� ������ ������ ������� ����� ��� ����� ����.
+\uline{���� ����� ����}: ����� ������ ������� ����� ����� ��� �����
+)����� ����(. 
+
+\uline{����:} ����� ������� ����� \L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$}
+�� ���� ���� ����� \L{$\bar{a}=\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
+�� ������ ������ ���� \L{$c_{\bar{a}}\in\mathbb{N}$} )��� �����(
+������:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\beta(c_{\bar{a}},0)=n$}
+\item ��� \L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} ������ \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)=a_{i}$}
+\item )������ ������ ���� ��( \L{$\beta(c_{\bar{a}},i)<c_{\bar{a}}$} ���
+\L{$i\le\beta(c_{\bar{a}},0)$} .\end{enumerate}
+\begin{claim}
+)���� ��� {\beginL 1\endL}( ����� ������� ����� \L{$Pr:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$}
+���� ��\char`\"{}� ���. {]}���� ������ ���� �� �\L{$Pr$} ����� ������
+\L{$Pr(x,y)\ge max\{x,y\}$}{[}. 
+\begin{proof}
+\L{$Pr(x,y)$} ���� ����� �� ���� \L{$(x,y)$} ������ ������:
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+ & \R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL \textbf{6}\endL}}\tabularnewline
+\hline 
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{0}\endL}} & \R{{\beginL 0\endL}} & \R{{\beginL 1\endL}} & \R{{\beginL 3\endL}} & \R{{\beginL 6\endL}} & \R{{\beginL 10\endL}} & \R{{\beginL 15\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}}\tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{1}\endL}} & \R{{\beginL 2\endL}} & \R{{\beginL 4\endL}} & \R{{\beginL 7\endL}} & \R{{\beginL 11\endL}} & \R{{\beginL 16\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}}\tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{2}\endL}} & \R{{\beginL 5\endL}} & \R{{\beginL 8\endL}} & \R{{\beginL 12\endL}} & \R{{\beginL 17\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{3}\endL}} & \R{{\beginL 9\endL}} & \R{{\beginL 13\endL}} & \R{{\beginL 18\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{4}\endL}} & \R{{\beginL 14\endL}} & \R{{\beginL 19\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{5}\endL}} & \R{{\beginL 20\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  &  & \tabularnewline
+\hline 
+\R{{\beginL \textbf{6}\endL}} & \R{\L{$\swarrow$}} & \R{\L{$\vdots$}} &  &  &  &  & \tabularnewline
+\hline 
+\end{tabular}
+
+�� ��� ����� ��������� ���� ��� ���� \L{$\frac{1}{2}(x+y)\cdot(x+y+1)+x$}.
+��� ������ ��� ���� �:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$Pr(x,y)$} �����
+\item ������ \L{$Pr(x,y)\ge x$} ��� \L{$Pr(x,y)\ge y$} 
+\item ��� ������ ����� ��� ��\char`\"{}� ��� )����� ���� ������� - ������
+����� �������(.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+)���� ��� {\beginL 2\endL} - ���� ������� �����( ��� \L{$n\in\mathbb{N}$},
+\L{$m_{1},...,m_{n}$} ������ ������ ���� ������. ���� \L{$k_{1},...,k_{n}$}
+������ ������ ����� )��\char`\"{}� ������ \L{$k_{i}<m_{i}$} ��� ��
+�� ����(. ��� ���� \L{$b\in\mathbb{N}$} �� �\L{$b\equiv_{m_{i}}k_{i}$}
+��� \L{$1\le i\le n$} . \end{claim}
+\begin{proof}
+���� \L{$d{\displaystyle =\prod_{i=1}^{n}}m_{i}$}. ��� \L{$b<d$}
+����� \L{$\bar{b}=\left\langle b\, mod\, m_{1},...,b\, mod\, m_{n}\right\rangle $}.
+�� \L{$d$} n-��� ����. ��� �� ���� ������� \L{$b\mapsto\bar{b}$}
+��\char`\"{}� ��� ��� ����� �� )������ ��� ��� ������ ����� \L{$d$}(.
+���� �\L{$\bar{b}_{1}=\bar{b}_{2}$} ����� \L{$b_{1}\equiv_{m_{i}}b_{2}$}
+��� \L{$i$}, ����� \L{$b_{1}-b_{2}\equiv_{m_{i}}0$}, ���� \L{$m_{i}|b_{1-b_{2}}$}
+)��\char`\"{}� \L{$b_{1}>b_{2}$}( ��� \L{$1\le i\le n$}. ��� \L{$b_{1}-b_{2}$}
+���� �� ������ ������� ����� ����� �� �\L{$m_{i}$}. ����� ��\L{$m_{i}$}
+���� ������ ������ ������� ����� ����� ��� \L{$d$}. ��� \L{$b_{1}-b_{2}<d$}
+��� �����. \end{proof}
+\begin{claim}
+)���� ��� {\beginL 3\endL}( ��� \L{$n\in\mathbb{N}$} ������� \L{$\{1+i\cdot(n!)\}_{i=1}^{n}$}����
+������. \end{claim}
+\begin{proof}
+���� ������ �\L{$p$} ������ ���� �� \L{$1+i(n!)$} ����� �� \L{$1+j(n!)$}
+����� \L{$i>j$}. ���: \L{$p|(i-j)\cdot(n!)$} . ����� �\L{$p$} ������
+��� ���� �� �� \L{$i-j$} �� �� \L{$n!$}. ����� �\L{$i-j<n$} �����
+\L{$p$} ���� �� \L{$n!$}. ��� \L{$p$} ���� ���� �� \L{$1+i(n!)$}
+��� �� �����. \end{proof}
+\begin{claim}
+��� \L{$\gamma(z,y,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} ���� \L{$Rem(t_{1},t_{2})$}
+��� ������ �� \L{$t_{1}$} ������ �-\L{$t_{2}$}. ���:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\gamma(z,y,i)$} �����. ����? ����� ������ �\L{$Rem(t_{1},t_{2})$}
+�����. ��� \L{$Rem(t_{1},t_{2})=\mu_{z}(t_{2}|t_{1}-z)$} ����� \L{$t_{2}|t_{1}$}
+��� ����, ���� �\char`\"{}� \L{$(\exists x<t_{2})(x\cdot t_{2}=t_{1})$}. 
+\item ��� ���� ����� \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} ��
+������ �� \L{$y,z$} �� ���� \L{$0<i\le n$} ������ \L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$}.
+����? ���� \L{$k>n$} ����� ����� \L{$y=k!$}. ��� ���� ��� {\beginL 3\endL}
+���� \L{$z$} �� �\L{$\gamma(z,y,i)=a_{i}$} ��� \L{$i\le n$}. 
+\item )����( \L{$\gamma(z,y,i)\le z$} ��� \L{$z,y,i$}. 
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+�������� \L{$\beta(b,i)$} ������� ���� \L{$\gamma(Pr^{L}(b),Pr^{R}(b),i)$}
+���� \L{$Pr^{L}(b)=\Pi_{1}(Pr^{-1}(b))$} �-\L{$Pr^{R}(b)=\Pi_{2}(Pr^{-1}(b))$}.
+���� ����� ����� ����� \L{$Pr^{L},Pr^{R}$} �� �������� ������. 
+
+
+\section{������}
+
+\uline{����:} �� \L{$A(x,y)$} ��� ���� �� \L{$(\exists x<z)A(x,\bar{y})$}
+��� ����. \L{
+\begin{eqnarray*}
+(\mu_{x<z})A(x,\bar{y}) & = & \begin{cases}
+t & \mu_{x}(\chi_{A}(x,\bar{y}))=t,\, t<z\\
+z & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+} ������� ����. �������� �� ����� �� ��� ���� �\L{$\mu_{x}(\chi_{\neg A}(x,\bar{y})\cdot C=(x,z))$}.
+
+���� �\L{$\beta:\mathbb{N}^{2}\rightarrow\mathbb{N}$} ������ �����
+������ �� ��� ���� ����� \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
+�� \L{$\bar{a}\in\mathbb{N}$} �� �\L{$\beta(\bar{a},0)=n$} ����
+\L{$1\le1\le n$} ������ \L{$\beta(\bar{a},i)=a_{i}$}.
+\begin{claim}
+�������� \L{$(x,y)\underset{Pr}{\mapsto}\frac{(x+y)^{2}+(x+y)}{2}+x$}
+��� ��\char`\"{}� ��� �\L{$\mathbb{N}^{2}$} �\L{$\mathbb{N}$}.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+��� \L{$m_{1},...,m_{k}$} ���� ������ ���� \L{$a_{1},...,a_{k}$}
+������ �� \L{$b\in\mathbb{N}$} �� �\L{$b\equiv_{m_{i}}a_{i}$} ���
+\L{$i$}.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+��� \L{$n\in\mathbb{N}$} ������� \L{$1+n!,1+2(n!),...,1+n(n!)$}
+���� ������.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+����� \L{$\gamma(z,g,i)=Rem(z,1+y(i+1))$} ������:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\gamma$} �����
+\item ��� ���� ����� \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $} ������
+\L{$z,y$} �� ���� \L{$1\le i\le n$} ������ \L{$a_{i}=\gamma(z,y,i)$}
+\item \L{$\gamma(z,y,i)\le z$}
+\end{enumerate}
+
+���� \L{$2$} ���� �� \L{$max\{a_{i},n\}_{i=1}^{n}<k$} ����� \L{$y=k!$}
+. ��� ���� {\beginL 3\endL} ������ �� \L{$1+y(i+1)$} ���� ������.
+��� ����� ����� �� \L{$z$} ����� �� ������. ���� ����, �� \L{$z$}
+�� ���� \L{$i$} ������ \L{$z\equiv_{i+y(i+1)}a_{i}$}. ��� ���� \L{$a_{i}=Rem(z,1+y(i+1))$}
+�� \L{$a_{i}<1+y(i+1)$}. 
+
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+�������� \L{$\beta(y,i)=\gamma(Pr^{L}(y),Pr^{R}(y),i)$} ��� �������
+����� ����� ���� \L{$Pr^{L}(y)=\Pi_{1}Pr^{-1}(y)$} �\L{$Pr^{R}(y)=\Pi_{2}Pr^{-1}(y)$}
+. \end{claim}
+\begin{proof}
+����� {\beginL 4\endL} ���� �� \L{$\beta(y,i)$} ������ ����� ������.
+������ ���� ����� \L{$\left\langle a_{1},...,a_{n}\right\rangle $}
+���� {\beginL 4\endL} ���� ){\beginL 2\endL}( ������ \L{$t_{1},t_{2}\in\mathbb{N}$}
+�� �\L{$\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$} ��� \L{$1\le i\le n$}. �����
+�� ����� ����� \L{$\left\langle n,a_{1},...,a_{n}\right\rangle $},
+���� \L{$t_{1},t_{2}$} ������ ������ \L{$y=Pr(t_{1},t_{2})$} ��
+\L{$\beta(y,0)=\gamma(t_{1},t_{2},0)=n$} ��� \L{$\beta(y,i)=\gamma(t_{1},t_{2},i)=a_{i}$}.
+���� �� ����� �\L{$\beta$} �����. ����� ����� �\L{$Pr^{-1}(y)$}
+��� ����� �����/����. �������� ���� �� \L{$Pr$} ��� ��. ��������
+����� ���� �� \L{
+\begin{eqnarray*}
+\Pi_{1}(Pr^{-1}(y)) & = & \mu_{t_{1}}[(\exists t_{2})Pr(t_{1},t_{2})=y]=\mu_{t_{1}}((\exists t_{2}<y)Pr(t_{1},t_{2})=y)
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{proof}
+���� ��� ���� ���� ������� \L{$\beta$} ��\char`\"{}�.
+\begin{definition}
+���� �\L{$x$} ����� ���� ����� �� ��� \L{$x^{\prime}<x$} �� �\L{$\beta(x^{\prime},0)=\beta(x,0)$}
+���� \L{$i\le\beta(x,0)$} ������ \L{$\beta(x^{\prime},i)=\beta(x,i)$}. \end{definition}
+\begin{claim}
+���� \L{$\theta(x)$} ����� \char`\"{}\L{$x$} ����� ���� �����\char`\"{}
+��� ����. \end{claim}
+\begin{proof}
+\L{$\theta(x)=\neg(\exists x^{\prime}<x)[i\le\beta(x,0)\rightarrow\beta(x^{\prime},i)]=\beta(x,i)$}
+.
+\end{proof}
+������, �����, ������ ������� ����� ������� \L{$T$} �\L{$n\in\mathbb{N}$}
+�������� \L{$f_{T}^{n}$} �����. ���� ��� ������ ����� ������� \L{$T$}
+�\L{$n\in\mathbb{N}$} ����� ���� ����� ������� ����� ���� �\L{$f_{T}^{n}$}.
+����� ����� ����� ���. ����� ������ ��������� �� �\L{$f_{T}^{n}$}
+��� ������ ���� �� ���� ����� �� \L{$T$} ��� ����� �� ��� �� ����
+�� �������� ���� �����. ���, ��\char`\"{}�, \L{$T$} ����� �������
+�����:
+\begin{enumerate}
+\item ��\char`\"{}� �� \L{$T$} ���� �� �� \L{$\{1,B\}$} ���' ������ ������
+\L{$\{S,E\}$}. 
+\item ������ �� ��� ����� ���� \L{$\hat{q}$} ��� ���� ������� ������� ��,
+�\L{$\hat{q}$} ���� ����� ����� �����.
+\item ���� ����� ���� ����� ���� �� \L{$S$} ���� \L{$S$} �\L{$E$} ��
+�� �����. 
+\end{enumerate}
+������ ����� ������ �������� �� \L{$T$} ���� �� ���� ����� �\L{$\{1,B\}$}
+������� �\char`\"{}� ������� ������� \L{$\{1,0\}$} ������ �\L{$\{S,E\}$}
+�\char`\"{}� \L{$\{2,3\}$} ������ ������� �������� ������� �\char`\"{}�
+\L{$\{4,...,k\}$} ���� \L{$q_{0}$} ����� �\char`\"{}� \L{$4$} �\L{$\hat{q}$}
+����� �\char`\"{}� \L{$k$}. 
+
+�����, ��� �� \L{$T$} �� ���� \L{$\left\langle n,q,h\right\rangle $}
+���� \L{$n$} ������ �� ���� ���� �\L{$S$} ������� \L{$0$}, \L{$q$}
+���� ������, �-\L{$h:\mathbb{Z}\rightarrow\{0,1,2,3\}$} ����� ��
+����� ������. ����� ����� ����� �\L{$h$} ����� �� �� ����� �����
+�� ����� ���� \L{$S$} �\L{$E$}. ���� ���� ��� �\char`\"{}� ����
+������ ����:\L{
+\[
+\left\langle \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},q,\alpha_{n+1},...,\alpha_{r}\right\rangle 
+\]
+} ���� \L{$\alpha_{1}=2,\, a_{r}=3$} ���� \L{$1<i<r$} ������ \L{$a_{i}\in\{0,1\}$}. 
+\begin{claim}
+){\beginL 1\endL}( ���� \L{$\varphi(x)$} ����� \char`\"{}\L{$x$}
+����� ��� �� ������ \L{$T$}\char`\"{} ����. \end{claim}
+\begin{proof}
+���� ����� �\char`\"{}� ����� �� ������� �����:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\theta(x)$} - ���� ����� �\L{$x$} ����� ����.
+\item ��� \L{$0<i\le\beta(x,0)$} ������ \L{$\beta(x,i)\in\{0,...,k\}$}
+\item \L{$\beta(x,1)=2$} ��� \L{$\beta(x,\beta(x,0))=3$}
+\item ���� \L{$0<i\le\beta(x,0)$} ���� �� �\L{$\beta(x,i)\in\{4,...,k\}$}.
+\end{enumerate}
+
+����� ��� ��� ������ - �����.
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 2\endL}( ������ \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$}
+����� ��� ������ �� \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} ����� ���
+���� �� \L{$T$}\char`\"{} - ���� ������.\end{claim}
+\begin{proof}
+\L{$\varphi_{S}(x)$} �� ����� �� \L{$\varphi(x)$} �� ������ ������
+�\L{$\beta(x,2)=4$}. \L{$\varphi_{E}(x)$} ��\char`\"{}� �� \L{$\beta(x,2)=k$}. \end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 3\endL}( ���� \L{$\varphi(x,y)$} ����� \char`\"{}\L{$x,y$}
+������� ����� �� \L{$T$} �\L{$y$} ���� ����� �� \L{$x$} ��� \L{$T$}\char`\"{}
+��� ��� ����.\end{claim}
+\begin{proof}
+�� ����� ����� �� ������ \L{$\varphi(x),\varphi(y)$} �� ����� �����
+�\L{$y$} ���� ����� �\L{$x$}. ��� \L{$p\in I(T)$} )��� ����� ��
+\L{$T$}( ����� ��� \L{$\varphi_{p}(x,y)$} ����� \L{$x,y$} �����
+�� \L{$T$} �-\L{$y$} ���� �� \L{$x$} ��� \L{$p$} ����� \L{$x$}
+��� ������� ������ \L{$p$}. \char`\"{}\L{$x$} ��� ������� ������
+\L{$p$} \char`\"{} �� ���� \L{$\varphi(x)$} ��� �� \L{$\beta(x,i)>3$}
+�\L{$i>1$} �� \L{$p$} ����� ������ \L{$\beta(x,i-1)\beta(x,i)**$}.
+������ ����� �� \L{$p$} ��� �������� \L{$\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $}
+�� \L{$x$} ������� �\L{$p$} �� \L{$\beta(x,i-1)=\alpha,\beta(x,i)=q$}.
+���� ��� \L{$\varphi_{p}(x)$}. ���� �\L{$y$} ���� �� \L{$x$} ���
+\L{$p$} �� ���� \L{$\varphi(x),\varphi(y)$}. \L{$\varphi_{p}(x)$}
+����� ����� ��� ���� ������ \L{$p$}. ���� ���� ����� �\L{$p=\left\langle \alpha,q,\alpha^{\prime},q^{\prime}\right\rangle $}
+���� \L{$\alpha^{\prime}\in\{0,1\}$}. ��� \L{$y$} ����� �\L{$x$}
+�\char`\"{}� ������ \L{$p$}? �� \L{$x=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q,\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle ,y=\left\langle \alpha_{1},...,\alpha_{i},q^{\prime},\alpha_{i+1},...,\alpha_{k}\right\rangle $}.
+���� ���� �����:
+\begin{enumerate}
+\item ���� \L{$i_{0}$} ����� �\L{$i$} ����� �� �\L{$i\le\beta(x,0)$}
+�-\L{$\beta(x,i_{0})\in\{4,...,k\}$}. 
+\item ����� �\L{$\beta(y,i_{0})=q^{\prime},\beta(y,i_{0}-1)=\alpha^{\prime}$}
+���� ���� ��� \L{$\beta(y,j)=\beta(x,j)$}.
+\end{enumerate}
+
+������ ������� �� ����� ��� ����. �� ���� �\L{$\varphi_{p}(x,y)$}
+�����. ���� �\L{$y$} ���� �� \L{$x$} �� ���� \L{${\displaystyle \varphi(x)\wedge\varphi(y)\wedge\bigvee_{p\in I}\varphi_{p}(x,y)}$}
+. 
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 4\endL}( ���� \L{$\rho(x)$} ����� \char`\"{}\L{$x$} �����
+���� ������� �� \L{$T$}\char`\"{} ��� ����.\end{claim}
+\begin{proof}
+~
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} ����� ����.
+\item \L{$\varphi_{S}(\beta(x,1))$} ����� ����� ������ ����� �\L{$x$}
+����� ��� ��� ������ �� \L{$T$}.
+\item \L{$\varphi_{E}(\beta(x,\beta(x,0)))$} - ����� ������ ����� ��� ���
+���� �� \L{$T$}.
+\item ��� \L{$1\le i<\beta(x,0)$} ������ \L{$\varphi(\beta(x,i),\beta(x,i+1))$}
+����� �� ���� ����� ��� ��� ���� �� ���� ������ �\char`\"{}� �����
+����� ��.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 5\endL}( \L{$f_{E}(x)=n$} �� �������� ������� \L{$n$}
+�� \L{$x$} ����� ��� ���� �� \L{$T$} �\L{$n$} ���� �� ������ ����
+��. {\beginL 0\endL} ����. �� ������� �����: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$}
+.
+\end{claim}
+
+\section{������}
+
+����� ������� �� ������ ��� ������� ����� ������� ��� �����.
+\begin{claim}
+){\beginL 1\endL}( ���� \L{$\varphi(x)$} ����� \char`\"{}\L{$x$}
+����� ��� �� ������ \L{$T$}\char`\"{} ����. 
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 2\endL}( ������ \L{$\varphi_{s}(x)$}, \char`\"{}\L{$x$}
+����� ��� ������ �� \L{$T$}\char`\"{}, \char`\"{}\L{$x$} ����� ���
+���� �� \L{$T$}\char`\"{} - ���� ������.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 3\endL}( ���� \L{$\varphi(x,y)$} ����� \char`\"{}\L{$x,y$}
+������� ����� �� \L{$T$} �\L{$y$} ���� ����� �� \L{$x$} ��� \L{$T$}\char`\"{}
+��� ��� ����.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 4\endL}( ���� \L{$\rho(x)$} ����� \char`\"{}\L{$x$} �����
+���� ������� �� \L{$T$}\char`\"{} ��� ����.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+){\beginL 5\endL}( \L{$\varphi_{E}(x)=n$} �� �������� ������� \L{$n$}
+�� \L{$x$} ����� ��� ���� �� \L{$T$} �\L{$n-1$} ���� �� ������
+���� ��. {\beginL 0\endL} ����. �� ������� �����: \L{$\chi_{\varphi_{E}}(x)\cdot(\beta(x,0)-3)$}
+. ����� �\L{$\varphi_{E}(x)=0$} ����.
+\end{claim}
+~
+\begin{claim}
+���� \char`\"{}\L{$x$} ����� ��� ������ �� \L{$T$} ��� ���� ���
+\L{$x_{1},...,x_{n}$}\char`\"{} ��� ��� ����. ���� ��� \L{$\varphi_{s}(x,x_{1},...,x_{n})$}.
+\end{claim}
+��� ������ �� ����� ����� ������ �\L{$f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$}
+������� �����. ����� ������� ����� ����� ���: \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},...,x_{n}) & = & \varphi_{E}(\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})))
+\end{eqnarray*}
+} ���� \L{$\varphi_{s,0}(x)=\beta(x,1)$} - ����� ������ ����� �\L{$x$}
+�����, ����� \L{$\mu_{x}^{*}(A(x,y))$} �� �\L{$x$} ������ �����
+\L{$\chi_{A}(x,y)=1$}. 
+\begin{claim}
+\L{$f(x_{1},...,x_{n})=f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})$} ����� \L{$f$}
+������ �� ��� �� ���� \L{$T$} �� \L{$x_{1},...,x_{n}$} �����.\end{claim}
+\begin{proof}
+����� ����� ������ ������ �� ��� ��������� ����. �� \L{$T$} �����
+�� \L{$x_{1},...,x_{n}$} �� ���� \L{$x$} �� �\L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x_{1},...,x_{n}))$}
+- ����� ���� \L{$x$} ������ ���� ������� �� \L{$T$} ������� ����
+\L{$x_{1},...,x_{n}$}. �� ���� \L{$x_{0}$} ���� ����� ������ ���
+�� \L{
+\begin{eqnarray*}
+x_{0} & = & \mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))
+\end{eqnarray*}
+} �� ��� \L{$x^{\prime}<x_{0}$} �������� \L{$\chi_{\rho(x)}\cdot\chi_{\varphi_{s}}$}
+����� ���� ������ �������� \L{$\mu_{x}^{*}$}, ��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+f(x_{1},x_{n}) & = & \varphi_{E}(x_{0})\overset{def}{=}f_{T}^{n}(x_{1},...,x_{n})
+\end{eqnarray*}
+}���� �\L{$T$} ���� ����� �� \L{$x_{1},...,x_{n}$} �� \L{$\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n})$}
+����� ���� ����� ���� �������� \L{$\mu_{x}^{*}(\rho(x)\wedge\varphi_{s}(\varphi_{s,0}(x),x_{1},...,x_{n}))$}
+���� ������.
+\end{proof}
+�� ����� ������ ����� ������ �� ������ �������, ��� ��� ���� �� �����
+�� �� ������� ����. ������ ������ ��������� �� ��������� ������� )�������(
+��� ������� ����, ���� ����� ����� ������� �� ����� ������� ���. �������
+���\char`\"{}� ���� ������ ������� ����� )���� ������ �� ��\char`\"{}�
+�� ������� ������� \L{$\{0..k\}$}(. �� �� ����� ������ ��� �� \L{$k+1$}
+������ \L{$L$} ��� \L{$k+2$} ������ \L{$R$} ���� ����� �� ������
+�� ��� ���� ����. ���� ��� ��� ������ ����� �� �� ����� �������, �������
+\L{$T$} ���� \L{$\left\lceil T\right\rceil $} �� ���� �� \L{$T$}.
+�� \L{$e\in\mathbb{N}$} ��� ��� �� �\char`\"{}� ���� \L{$T_{e}$}
+�� ������ �-\L{$e$} �����. ���� ��� ����� ��� \L{$n\in\mathbb{N}$}
+���� ����� �\char`\"{}� �� ����� �\L{$n-e$} ����� �� ������ �����
+����� �� �� ���.
+\begin{theorem}
+�� ����� ������� ����� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ��
+�\L{
+\begin{eqnarray*}
+f(e) & = & \begin{cases}
+1 & T_{e}\, halts\, on\, input\,0\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}\end{theorem}
+\begin{proof}
+���� ������ ������ ������� \L{$f$} ��\char`\"{}�. ����� ������� \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+�\char`\"{}� \L{
+\begin{eqnarray*}
+g(e) & = & \begin{cases}
+T_{e}(e)+1 & f(e)=1\\
+0 & else
+\end{cases}
+\end{eqnarray*}
+}������ )������� ������, ������� �� ������ ��� �����( \L{$g$} �������
+����� )������ ����(, �������, ���� �\char`\"{}� \L{$e_{0}$}. ��:
+��� ��� \L{$T_{e_{0}}(e_{0})=g(e_{0})$} ���� ��� \L{$g(e_{0})=T_{e_{0}}(e_{0})+1$}.\end{proof}
+\begin{corollary}
+���� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ������ �\char`\"{}� \L{$e\in A\iff T_{e}(e)\, halts$}
+���� ��� ����. ��� ��� \L{$A$} ��\char`\"{}� ��� ���� �� ����� �������
+\L{$T$}. ������? ������ ����� �� \L{$T_{e}(e)$} ������� �� ������,
+�� ��� �� ��� ������. ���� �����, ���� \L{$\mathcal{U}$} �\char`\"{}�
+���������� ����� �� �\L{$\mathcal{U}(e,e)$} ����� �� ��� �� \L{$e\in A$}.
+��� �� \L{$e$} ����� �� ������ \L{$\mathcal{U}(x,x)$}. \end{corollary}
+\begin{definition}
+����� ������� \L{$T$} ����� ���������� �� \L{$f_{T}^{2}(e,n)=T_{e}(n)$}
+��� \L{$(e,n)\in\mathbb{N}^{2}$} )����� �� \L{$T_{e}$} �� �����
+�� ���� \L{$n$} �� \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} �� ������(.\end{definition}
+\begin{theorem}
+����� ����� ������� ����������.\end{theorem}
+\begin{proof}
+������ ����, ������ ������, �\char`\"{}� ����� ������. ��� ����: �����
+�������� ������. ����� �� \L{$f_{T}^{2}(e,n)$} ����� ���. ����� ��
+������ �����:
+\begin{itemize}
+\item \L{$\theta(x)$} - \L{$x$} ��� ���.
+\item \L{$\theta_{1}(x)$} - \L{$x$} ��� ��� �� ����� �������. ����� \L{$x$}
+����� ���� ����� �� ������� �� ������ ������. �� ������� ��� �����
+���� ������� ��� ������. 
+\item \L{$\varphi(e,x)$} - \L{$e$} ��� �� ����� ������� �-\L{$x$} ���
+��� �� ��� ����� �� ������ ������� �� ��� \L{$e$}. 
+\item \L{$\varphi(e,x,y)$}- \L{$e$} ��� �� �\char`\"{}�, \L{$x,y$} �����
+�� ������ \L{$e$} �-\L{$y$} ��� ����� �� \L{$x$} ��� \L{$e$}. 
+\end{itemize}
+
+����� ��� ����� ������ ���� �������.
+
+\end{proof}
+\begin{definition}
+����� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ���� ����� ����� ����� )��\char`\"{}�
+�� ��\char`\"{}� - ����� ����� ���������( �� \L{$A$} ��� ����� ��
+������� �����. 
+
+����� ������� ������ ��\char`\"{}� ����� ������.\end{definition}
+\begin{theorem}
+������ ����� ������ ������ \L{$A\subseteq\mathbb{N}$}:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$A$} ��\char`\"{}� )���� �� ������� �����(
+\item \L{$A$} ��� ������ �� ������� ����� 
+\item \L{$A$} ��� ������ �� ������� ����� ����
+\item \L{$A$} ��� ������ \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists y)\varphi(x,y)\right\} $}
+����� ��� ���� \L{$\varphi(x,y)$}. 
+\item \L{$A$} ��� ������ \L{$\left\{ x\in\mathbb{N}:(\exists\bar{y})\varphi(x,\bar{y})\right\} $}�����
+��� ���� \L{$\varphi(x,y)$}
+\end{enumerate}
+
+\section{���� ���������}
+
+��� \L{$\emptyset\not=A\subseteq\mathbb{N}$} ��� ������ ����� ������:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$A$} ��\char`\"{}�
+\item \L{$A$} ����� �� ������� �����
+\item \L{$A$} ����� �� ������� ����
+\item ���� ��� ���� \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{2}$} �� �\L{$A=\{x:(\exists y)B(x,y)\}$}
+\item ��\char`\"{}� ���� \L{$B\subseteq\mathbb{N}^{k+1}$} �-\L{$A=\{x:(\exists y_{1},...,y_{k})B(x,y_{1},...,y_{k})\}$}
+\end{enumerate}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+~
+\begin{itemize}
+\item \L{$(1)\Rightarrow(2)$}. ��� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+�� �\L{$A=dom(f)$}. ��� \L{$T_{f}$} �\char`\"{}� ������ �� \L{$f$}
+����� \L{$f=f_{T_{f}}^{1}$}. ����� �\L{$A\not=\emptyset$} ���� �����
+\L{$a\in A$}. ����� ������� ����� \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+����� ���: \L{
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+Pr^{L}(n) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+}���� �� ����� ��\char`\"{}� �\L{$*$}. ����� ������ �\L{$*$} ���
+��� ���� ��� �� ������ ����. ��� ��� ����� �� ����� ��� ����� �� \L{$g$}
+�����. ���� �\L{$g$} ���� �� ��������� - \L{$g(\mathbb{N})=A$}.
+�� \L{$l\in g(\mathbb{N})$} �� �� �\L{$l=a$} ��� \L{$l\in A$} .
+�� �\L{$l=Pr^{L}(n)$} ����� \L{$n\in\mathbb{N}$}. ��� �� �� ����
+�\L{$T_{f}$} ����� �� ���� \L{$l$} ���� ���� �\L{$Pr^{R}(n)$} �����.
+����� �\L{$f_{T_{f}}^{1}=f$} �� ��� ���� ����� �� ��� ���� �����,
+����� \L{$l\in Dom(f)=A$}. ������ ����, �� \L{$l\in Dom(f)$} ��
+\L{$T_{f}$} ����� �� ���� \L{$l$} ���� ���� ���� \L{$k$} �� �����.
+�� \L{$n=Pr(l,k+1)$} ���� ����� \L{$g(n)=Pr^{L}(n)=l$}, ����� \L{$l\in Range(g)$}.
+���� ��: �������� \L{$g$} ����.
+\item \L{$(2)\Rightarrow(3)$} - ������� ����� ����. ������ \L{$a\in A$}
+��������:\L{
+\[
+g(n)=\begin{cases}
+f(Pr^{L}(n)) & T_{f}\, halts\, on\, Pr^{L}(n)\, after\, less\, than\, Pr^{R}(n)\, steps\\
+a & else
+\end{cases}
+\]
+} 
+\item \L{$(3)\Rightarrow(4)$} - �� \L{$A=Range(f)$} ���� \L{$f$} �����
+)�����( �� ���� \L{$B(x,f(x))$} ����. ���, \L{$y\in Range(f)\iff(\exists x)(B(x,y))$}.
+\item \L{$(4)\Rightarrow(5)$} - ��� �� ������ )���� ����(. 
+\item \L{$(4)\Rightarrow(1)$} - ����: \L{$f(x)=\mu_{y}B(x,y)$}.
+\item \L{$(5)\Rightarrow(4)$} - �� \L{$A=\{x:(\exists y_{1},...y_{k})B(x,\bar{y})\}$}
+�� ����� ��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+C(x,z) & = & \{(x,z):z\, encodes\, a\, series\, of\, length\, k\,\wedge B(x,\beta(z,1),...,\beta(z,k)\}
+\end{eqnarray*}
+}
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{theorem}
+)���� ��������( ��� \L{$C(x,y)$} ������� �����. ��� ����� �\char`\"{}�
+\L{$T$} �� �-\L{$C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)=f_{T}^{1}(y)$}
+��� \L{$y$}. \end{theorem}
+\begin{claim}
+����� ����� ������� \L{$T$} �� ���� \L{$n\in\mathbb{N}$} ������
+\L{$f_{T}^{1}(n)=\left\lceil w_{n}\right\rceil $} ���� \L{$w_{n}$}
+��� ������ ��� �� ���� ���� ����� �� ����� \L{$n$}. )������ - ������
+����(.\end{claim}
+\begin{proof}
+������ \L{$T$} ���� ����� �� {\beginL 3\endL} ������: \L{$ABC$}
+)������� ���� �� \L{$A$} ��\char`\"{}� �� \L{$B$} ��\char`\"{}�
+�� \L{$C$}(. ������ \L{$A$} �� ���� \L{$y$} ����� �� ���� \L{$\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}.
+�� ���� \L{$B$} �� ���� \L{$x,y$}? ��� ����� �� ���� �� ������ ������
+\L{$x$} {]}����� ����{[} ������ �� \L{$x,y$}. �� ���� \L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}?
+\L{$B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)=\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y$}.
+���� �-\L{$C(B(A(y)))=C(B(\left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y))=C(\left\lceil A\right\rceil \left\lceil B\right\rceil \left\lceil C\right\rceil ,y)$}
+��� �� ����� �� ������ ������. \end{proof}
+\begin{corollary}
+)���� ����� ����( ��� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} �������
+����� �����. ��� ���� \L{$e\in\mathbb{N}$} �� �\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}.
+\end{corollary}
+~
+\begin{corollary}
+)���� \inputencoding{latin9}\L{Rice}\inputencoding{cp1255}( �����
+��� ������ �� \L{$\mathbb{N}$} �\char`\"{}� \L{$e_{1}\sim e_{2}$}
+�� ��� �� \L{$f_{T_{e_{1}}}^{1}=f_{T_{e_{2}}}^{1}$} . ��� \L{$L\subseteq\mathbb{N}$}
+�� ���� \L{$e\in L$} �� \L{$e^{\prime}\sim e$} �� \L{$e^{\prime}\in L$}.
+��� \L{$L$} ����� �� ��� �� \L{$L=\mathbb{N}$} �� \L{$L=\emptyset$}. \end{corollary}
+\begin{proof}
+���� ������ ���. �� �� \L{$e_{0}\in L$} �-\L{$e_{1}\not\in L$}.
+����� ������� �����: \L{
+\[
+f(n)=\begin{cases}
+e_{1} & n\in L\\
+e_{0} & n\not\in L
+\end{cases}
+\]
+} �� \L{$f$} ����� �����. ��� ����� ����� ���� �� \L{$e$} �� �-\L{$f_{T_{e}}^{1}=f_{T_{f(e)}}^{1}$}.
+�� \L{$e\in L$} �� �� \L{$f(e)\in L$} �� \L{$L$} ����� ��� \L{$\sim$}.
+��� �� \L{$e\in L$} �� \L{$e_{1}=f(e)$} �-\L{$e_{1}\not\in L$}.
+����� ���� ����� �� \L{$e\not\in L$} ���� �����. 
+\end{proof}
+\uline{�����:} ����� ������ ���� �����. ��� ����� ������� �������
+��� \L{$e$} ��� �� ����� ������ �� ���� ����. ������ ����� \L{
+\begin{eqnarray*}
+L & = & \{e\in\mathbb{N}:e\, encodes\, a\, machine\, which\, halts\, on\, empty\, input\}
+\end{eqnarray*}
+} ���� �����. ���� �-\L{$L$} ����� ��� \L{$\sim$}. ��� ���� ����
+����� �-\L{$L\not=\emptyset$} )�� �\char`\"{}� ������ �� �� ��� �����
+�� ���� ����( ��� \L{$\mathbb{N}\backslash L\not=\emptyset$} )��
+������ ��� ������ �� ��� ���(. ��� ��� ���� ���� \L{$L$} ���� �����.
+\begin{proof}
+)���� ����� ����( ��� \L{$\mathcal{U}(x,y)$} �\char`\"{}� ����������
+�-\L{$C(x,y)=\mathcal{U}(f(x),y)$}. �� \L{$C$} �\char`\"{}�. ���
+�� \L{$T$} �� �-\L{$\mathcal{U}(f(\left\lceil T\right\rceil ),y)=C(\left\lceil T\right\rceil ,y)=T(y)$}.
+�� \L{$e=\left\lceil T\right\rceil $}. \end{proof}
+\begin{remark}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ����� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ����� ��� ��\char`\"{}�
+\item ����� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ��\char`\"{}� ��� ����� �� ��� ��
+�� ������ �� \L{$A$} ��\char`\"{}�. \uline{�����}: �� �� \L{$A$}
+��� \L{$\mathbb{N}\backslash A$} ��\char`\"{}� �� �� �\char`\"{}�
+\L{$T_{1},T_{2}$} ������� �� �������. ���� ����� ��� \L{$f_{T_{1}}^{1}$}
+��� \L{$f_{T_{2}}^{1}$} �������� �����. ��� ���� \L{$n$} ����� ����
+�� \L{$T_{1}(1),T_{1}(2),...$} ������� �� \L{$T_{2}(1),T_{2}(2),...$}
+)���� ��������(. ������ ����� ���� ������ ��� \L{$n$}. ����� �\L{$A=f_{T_{1}}^{1}(\mathbb{N})$}
+��� \L{$\mathbb{N}\backslash A=f_{T_{2}}^{1}(\mathbb{N})$} ���� \L{$m\in\mathbb{N}$}
+�� �\L{$f_{T_{1}}^{1}(m)=n$} �� \L{$f_{T_{2}}^{1}(m)=n$}. ��� ����
+���� \L{$2m$} ������� ������ ���� �����. �� ��� ���� �� ����� ��
+\L{$T_{1}(m)$} �� \L{$n\in A$} ���� \L{$n\not\in A$}. 
+\end{enumerate}
+
+\section{�������� ������}
+
+\end{remark}
+\uline{�����:} ������ \L{$A_{1},A_{2}\subseteq\mathbb{N}$} ��\char`\"{}�
+��:
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$A_{1}\cup A_{2}$} ��\char`\"{}�
+\item �� \L{$A_{1}\cap A_{2}$} ��\char`\"{}�
+\item �� ��� ��� ����� ������ ��� \L{$A\subseteq\mathbb{N}^{k}$} ��\char`\"{}�
+��� ���� �� ����� ��\char`\"{}� ��� ��\char`\"{}�\end{enumerate}
+\begin{definition}
+��� ��� \L{$\mathcal{L}$} �����. \uline{����� ���} �� ��������
+\L{$F(\mathcal{L})$} �-\L{$\mathcal{L}$}�� ������� \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$}
+������� ���������� ����� ���:
+\begin{enumerate}
+\item �� ��� \L{$x_{i}$} ����� �\char`\"{}� \L{$g(x_{i})=2^{1}\cdot3^{i}$} 
+\item ���� ���� \L{$c_{i}$} ����� �\char`\"{}� \L{$g(c_{i})=2^{2}\cdot3^{i}$} 
+\item �� ��� ������ \L{$F_{i}(t_{1},...,t_{n})$} ����� �\char`\"{}� \L{
+\begin{eqnarray*}
+g(F_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{3}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ����� ������ \L{$R_{i}(t_{1},...,t_{n})$} ����� �\char`\"{}� \L{
+\begin{eqnarray*}
+g(R_{i}(t_{1},...,t_{n})) & = & 2^{4}\cdot3^{i}\cdot5^{g(t_{1})}\cdot7^{g(t_{2})}\cdot\cdots\cdot P_{n+2}^{g(t_{n})}
+\end{eqnarray*}
+}
+\item ����� \L{$\varphi$} ������ \L{$\varphi=\neg\psi$} ����� �\char`\"{}�
+\L{$g(\varphi)=2^{5}\cdot3^{g(\psi)}$}
+\item ����� \L{$\varphi$} ������ \L{$\varphi=\psi_{1}\rightarrow\psi_{2}$}
+����� �\char`\"{}� \L{$g(\varphi)=2^{6}\cdot3^{g(\psi_{1})}\cdot5^{g(\psi_{2})}$}
+\item ����� \L{$\varphi$} ������ \L{$\varphi=(\exists x_{i})\psi$} �����
+�\char`\"{}� \L{$g(\varphi)=2^{7}\cdot3^{i}\cdot5^{g(\psi)}$} )����
+\L{$\forall$} �����(
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ���� \L{$T$} ���� \L{$\mathcal{L}$} ��� \uline{�����} �� ������
+\L{$\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$} �����.
+\item ���� ��� ����� �� \L{$\{g(\varphi):\varphi\in T\}$} �����.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{claim}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ����� ��� ��� ��\char`\"{}� )���������� �� ����� ������(
+\item ������ ��� ����� )�� �����( \L{$\mathcal{L}$} ���� \char`\"{}\L{$n$}
+����� ����� ���� \L{$\mathcal{L}$}\char`\"{} ��� ����.
+\end{enumerate}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+)����� ����( ���� �� )�� ����� ����������( ��� \L{$\varphi$} �����
+����� \L{$n$} �� \L{$g(\varphi)>n$}. �����, �� �-\L{$\varphi$}
+����� ���� �������, ���� ���, ���� ���� �� ����� �� ������ \L{$i>n$}
+�� )����������( \L{$g(\varphi)>n$}.
+
+��� ����� ��� \L{$n$} ���� ��� �� ����� ����� ����� ��� ����� �����
+\L{$\varphi$} ����� ���-���� �-\L{$n$}, ��� ������� ���-������ ��������
+�� �� �� ������ ��� �� ���� �-\L{$n$}. ����� ��� �� \L{$\varphi$}
+��� \L{$n$}. 
+
+��� ����� �������� \L{$\varphi$} ����� ���-���� �-\L{$n$} , ���
+������� �� �� ������ ���-���� �-\L{$n$} ��� �����, ����� ��� �����
+����. ��� ����� ����� ��������� ������ ����� ����� ��� ��� ��� �����
+�������. )�� ��� �����, ��� �� ���.(\end{proof}
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ��� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} , ���� ����� \L{$T$}
+���� ������� �� \L{$(0,s)$} ������ )���( �� \L{$f$} �� ����� �����
+\L{$\varphi(x,y)$} ���� \L{$\mathcal{L}$} �� ���� \L{$n\in Dom(f)$}
+������ \L{$T\vdash(\forall y)(\varphi(\underline{n},y)\iff\underline{f(n)})$}
+���� ������ \L{$\underline{n}:=s^{n}(0)$} ���� \L{$s$} ��������
+�����.
+\item ��� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} \uline{�����} �-\L{$T$} �� \L{$\chi_{A}$}
+������ �\L{$T$}.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+~
+\begin{definition}
+\uline{���� �����} \inputencoding{latin9}\L{(Peano Arithmetic)}\inputencoding{cp1255}
+�� ����� ������� ���� ���� \L{$\mathcal{L}=\{0,+,\cdot,s)$}:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$(\forall x)(s(x)\not=0)$}
+\item \L{$(\forall x\forall y)(s(x)=s(y)\rightarrow x=y)$}
+\item \L{$(\forall x)(x+0=x)$}
+\item \L{$(\forall x\forall y)(x+s(y)=s(x+y))$}
+\item \L{$(\forall x)(x\cdot0=0)$}
+\item \L{$(\forall x\forall y)(x\cdot s(y)=x\cdot y+x)$}
+\item \uline{����� ����������:} ��� ����� \L{$\varphi(x,y)$} �������
+������:\L{
+\[
+(\forall x)[\varphi(\bar{x},0)\wedge\forall y(\varphi(\bar{x},y)\rightarrow\varphi(\bar{x},s(y))\rightarrow\forall y(\varphi(\bar{x},y))]
+\]
+}
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{theorem}
+�� ������� ����� ����� ������ �-\L{$PA$}. ��� �� ��, ����� ���� \L{$N$}
+����� �� �-\L{$PA\vdash N$} ��� ������� ����� ������ �-\L{$N$}.
+\end{theorem}
+\uline{�����}: �� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ����
+������� �-\L{$PA$} �� \L{$f$} �����.
+\begin{corollary}
+����� \L{$N$} ������� �����, ���� �����.\end{corollary}
+\begin{proof}
+��� \L{$\varphi(e,z,n)$} ������ ������ ��\char`\"{}� \L{$T_{e}$}
+)����� ��� ��� \L{$e$}( ����� �� ���� \L{$n$} ���� \L{$z$} �����.
+
+���� \L{$\varphi(e,z,n)$} ���� {]}������{[}, ��� ��� ����� �����
+�-\L{$N$}. ����� �� \L{$T_{e}(n)$} \uline{�� �����} �� ��� \L{$z$}
+������ \L{$N\vdash\neg\varphi(e,z,n)$}. 
+
+��� ���, �� \L{$T_{e}(n)$} \uline{�����} �� \L{$N\vdash\varphi(e,z,n)$}
+����� \L{$z$}. ���� ������ �-\L{$N$} ����� �� \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$}
+�� ��� �� \L{$T_{e}(n)$} �����.
+
+��� ������� ���� ���� ��� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} ����
+���� ��� \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(e,z,n)$} �� \L{$N\vdash(\neg\exists z)\varphi(e,z,n)$}.
+����� ���� ������ ��� \L{$T_{e}(n)$} ����� �� ��. ��� ��� ���� ����
+�� ����� ����� �����. �����.
+\end{proof}
+\uline{����}: �� \L{$N\subseteq T$} )\L{$N$} ����� ������� �����(
+��:
+\begin{enumerate}
+\item �� ������� ����� ����� ������ �-\L{$T$}
+\item ���, \L{$T$} ����� �����, �� ���� ������ �-\L{$N$} ���� ����� �����
+���� \L{$T$}.
+\end{enumerate}
+\uline{����}: �� ���� \L{$T$} ��� ����� ����� �� \L{$T$} �����.
+���� �������� �����:
+
+���� ����� ��� \L{$T$} ����� �� \L{$C_{T}:=\{g(\varphi):T\vdash\varphi\}$}
+��\char`\"{}�. ����� �-\L{$T$} ����, ��� ����� ��� \L{$T\vdash\varphi$}
+����� �� ������ ����� �� \L{$C_{T}$}. ��� ��� ����� ��� ����� �������
+���� ��� ����� �� \L{$\varphi$} �� ����� �� \L{$\neg\varphi$} .
+������ ������ ��� ���� ��� ����� ���� ����. �� ����� \L{$\varphi$}
+- ������. �� ����� \L{$\neg\varphi$} - �� ������.
+\begin{corollary}
+�� ���� \L{$T$} �� �-\L{$N\subseteq T\subseteq PA$} ������� ������
+���� �����. )���� ���� ������� ����� �����(.
+\end{corollary}
+
+\section{�������� ������}
+
+\uline{������:} ������� \L{$f:\mathbb{N}^{k}\rightarrow\mathbb{N}$}
+���� ������ )���( ����� \L{$T$} )���� �� ���� ���� {\beginL 0\endL}
+����� ������� �� ����� \L{$s$}( �� ����� ����� \L{$\varphi(x,y)$}
+�� ���� \L{$\bar{n}\in Dom(f)$} ������\L{
+\begin{eqnarray*}
+T & \vdash & (\forall y)(\varphi(\underline{\bar{n}},y)\iff\underline{f(n)}=y)
+\end{eqnarray*}
+}���� \L{$\underline{n}=s^{n}(0)$}. 
+\begin{theorem}
+�� ������� ����� ����� ����� ���� ������ �� ��-���� ����� �� \L{$PA$}
+��� �� ������� ����� �����.\end{theorem}
+\begin{corollary}
+��� \L{$N\subseteq PA$} ������ �����. ��� \L{$N$} ���� �����. \end{corollary}
+\begin{proof}
+��� \L{$\varphi(e,n,z)$} ���� ����� \char`\"{}������ ����� ��� \L{$e$}
+���� �� ���� \L{$n$} ���� ��� ����� \L{$z$} ������\char`\"{}. ��
+���� �-\L{$\varphi(e,n,z)$} ��� ��� ����. ������ ���� ���� ���� \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle \in\mathbb{N}^{3}$}
+������ \L{$N\vdash\varphi(e,n,z)$} �� ��� �� \L{$\left\langle e,n,z\right\rangle $}
+����� ����, ����� ������ \L{$e$} ����� �� \L{$n$} ���� �� ���� �\L{$z$}
+�����. ��� �� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} ����� �� \L{$z_{0}$}
+�� �\L{$N\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}.
+��� �� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} ����� �� \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}.
+��� ���, �� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} �� ����� �� \L{$N\not\vdash\varphi(\underline{e},\underline{n},\underline{z_{0}})$}
+��� \L{$\underline{z_{0}}$}. ��� \L{$\mathbb{N}\models PA$} ����
+\L{$\mathbb{N}\models N$} . ��� �� ����� �\L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}
+��� ������� �� �� ������. ���� \L{$N\vdash(\exists z)\varphi(\underline{e},\underline{n},z)$}
+�� ��� �� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} �����. ��� ���� �����
+\L{$N$} ����� ����� ������ ������ �� ����� ������: ������ ��� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $}
+����� ���� ������ �� \L{$N\vdash(\exists z)(\underline{e},\underline{n},z)$}.
+�� �� - \L{$\left\langle e,n\right\rangle $} �����, ��� �� �� \L{$\left\langle e,n\right\rangle $}
+�� �����.\end{proof}
+\begin{corollary}
+�� ���� \L{$N\subseteq T\subseteq PA$} ������� ������ ���� �����.
+
+���� ������ ����� ����. 
+\end{corollary}
+��� \L{$N\subseteq PA$} ����� ����:
+\begin{itemize}
+\item \L{$PA(1)-PA(6)$}
+\item \L{$(N7)$}: \L{$(\forall x)(\neg x<0)$}
+\item \L{$(N8)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<s(y)\iff x<y\vee x=y)$}
+\item \L{$(N9)$}: \L{$(\forall x\forall y)(x<y\vee x=y\wedge y<x)$}
+\item ���� \L{$x<y$} �� ����� ������ \L{$(\exists z)(z\not=0\wedge x+z=y)$}\end{itemize}
+\begin{claim}
+\L{$PA\vdash N$}.
+\begin{proof}
+���� ������ �� �� \L{$PA\vdash\{N(7),N(8),N(9)\}$}. ����� ���� ������:\L{
+\begin{eqnarray*}
+PA & \vdash & (\forall x)\neg(x<0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(x+z=0\rightarrow z=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)(z\not=0\rightarrow x+z\not=0)\\
+ & \iff & (\forall x\forall z)((\exists y)s(y)=z\rightarrow x+s(y)\not=0)
+\end{eqnarray*}
+} ��� \L{$PA\vdash z\not=0\rightarrow(\exists y)((sy)=z)$}. ��� �����
+������ �-\L{$PA\vdash x+s(y)=s(x+y)$}. �� ����� �� �� ���� \L{$(\forall x\forall z)((\exists y)(sy=z))\rightarrow s(x+y)\not=0$}.
+������ �-\L{$N8$} �-\L{$N9$} ���� ����. 
+\end{proof}
+\end{claim}
+\begin{proof}
+���� ��� ������� ����� ����� �-\L{$N$}. ��� �� ����� ������: �����
+��������� ������� �-\L{$N$} ����� ����� �� ��������� ������� ��������
+������ ��� ������ ���� �����.
+\begin{claim}
+){\beginL 1\endL}( �������� ����� \L{$P_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$}
+����� �\char`\"{}� \L{
+\[
+\varphi(x_{1},...,x_{n},y):=x_{i}\approx y
+\]
+} \end{claim}
+\begin{proof}
+�� ������ �\L{$N\vdash(\forall y)\varphi(\underline{k_{1}},...,\underline{k_{n}},y)\iff P_{i}(k_{1},...k_{n})=y$}
+��� \L{$k_{1},...,k_{n}\in\mathbb{N}$}. ��� �� ���� � \L{$N\vdash(\forall y)\underline{k_{i}}=y\iff\underline{k_{i}=y}$}.\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 2\endL}( �������� \L{$c_{0}(x)=0$} ����� �-\L{$N$} �\char`\"{}�
+\L{$\varphi(x,y):=y\approx0$}. ������ ��� ����� ����.
+\end{claim}
+
+~
+
+\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 3\endL}( �������� \L{$x+y$} ����� �-\L{$N$} �\char`\"{}�
+\L{$\varphi(x,y,z):=z\approx x\oplus y$}.
+\begin{proof}
+����� ������ \L{$N\vdash(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}}=\underline{n_{1}+n_{2}})$}.
+���������� �� \L{$n_{2}$} . ���� \L{$n_{2}=0$} ������ \L{$\underline{n_{1}}+0=\underline{n_{1}}$}.
+���� ���� \L{$n_{2}$} ������ ���� \L{$n_{2}+1$}:\L{
+\[
+\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}+1}=\underline{n_{1}}\oplus s(\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}\oplus\underline{n_{2}})=s(\underline{n_{1}}+\underline{n_{2}})=\underline{n_{1}+n_{2}+1}
+\]
+}
+\end{proof}
+
+���� ��� �� ����� ���� ���.
+\begin{claim}
+){\beginL 4\endL}( \L{$c_{<}(x,y)$} ����� �-\L{$N$} �\char`\"{}�
+\L{$\varphi(x,y,z)\vdash(x<y\wedge z=1)\vee(y<x\wedge z=0)\vee(x=y\wedge z=0)$}.\end{claim}
+\begin{proof}
+����� ����� ���� \L{$n,m\in\mathbb{N}$} �� \L{$n<m$} �� \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$}
+. ����� ���� �� \L{$\neg(n<m)$} �� \L{$N\vdash\neg(\underline{n}<\underline{m})$}.
+{]}���� ���������� �� \L{$m$}: �\L{$N7$} ����� ������ �\L{$N\vdash\neg(n<0)$}
+��� \L{$n\in N$}. �� ���� ������� �\L{$n$} ���� ���� \L{$m$} ������
+���� \L{$m+1$}. �� �� \L{$n<m$} ����� ���������� \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m}$}
+���� \L{$N8$} �� \L{$N\vdash\underline{n}<\underline{m+1}=s(\underline{m})$}.
+����� ����� ����{[}.\end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 5\endL}( ����� ��������� ������� �\L{$N$} ����� ��� �����. \end{claim}
+\begin{proof}
+���� �\L{$G(x_{1},...x_{n})$} ����� �\L{$N$} �\L{$h_{i}(y_{1},...,y_{m})$}
+������ �\L{$N$} �\L{$1\le i\le n$}. ����� ������ �\L{$G(h_{1}(y_{1},...,y_{m}),...,h_{n}(y_{1},...,y_{m}))$}
+����� �\L{$N$}. ���� �\L{$\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})$} �������
+�� \L{$h_{i}$} �\L{$1\le i\le n$} , �\L{$\psi(z_{1},..,z_{n},t)$}
+�� \L{$G$}. ���� � \L{
+\begin{eqnarray*}
+\theta(y_{1},...,y_{m},t): & = & (\exists z_{1},...,z_{n})\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(y_{1},...,y_{m},z_{i})\wedge\psi(z_{1},...,z_{m},t)
+\end{eqnarray*}
+} ������ �� ������. ����� ����� ������ ���� \L{$p_{1},...,p_{m}$}
+������ {]}������ �� ��������� \L{$h_{i}$}{[} ������ �\L{
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\iff t=G(\underline{h_{1}(p_{1},...,p_{m}),...,h_{n}(p_{1},...,p_{m})})
+\end{eqnarray*}
+}. �� ���� \L{$q_{i}=h_{i}(p_{1},...,p_{m})$} �-\L{$r=G(q_{1},...,q_{n})$}
+{]}����� ���� �����{[} �� ������ ������ �� �\L{$N\vdash(\forall t)(\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=r)$}.
+�� ��� ������ �� \L{$t$} ����� ����� ����� �\L{$N$} ����� ������
+\L{$N\vdash\theta(p_{1},...,p_{m},t)\iff t=\underline{r}$}. �����
+������ �� ����� �����. ����� \L{$T\vdash\varphi\rightarrow\psi\iff T\cup\{\varphi\}\vdash\psi$}.
+��� ����� ������:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$N\cup\{\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)\}\vdash t=\underline{r}$}
+\item \L{$N\cup\{t=\underline{r}\}\vdash\theta(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},t)$}
+\end{enumerate}
+
+����� �{\beginL 2\endL}. \L{$\varphi_{i}$} ������ �� \L{$h_{i}$}
+�\L{$p_{1},...,p_{m}$} ����� �� \L{$h_{i}$} ��� \L{$N\vdash(\forall z_{i})(\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})\iff z_{i}=q_{i})$}.
+����� ���� \L{$\psi$} ������ �� \L{$G$} �-\L{$q_{1},...,q_{n}$}
+����� �� \L{$G$} ��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & (\forall t)(\psi(q_{1},...,q_{m},t)\iff t=\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+}��� \L{
+\begin{eqnarray*}
+N & \vdash & \bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},\underline{r})
+\end{eqnarray*}
+} ���� \L{
+\begin{eqnarray*}
+N\cup\{t & = & \underline{r}\}\vdash\bigwedge_{i=1}^{n}\varphi_{i}(\underline{p_{1}},...,\underline{p_{m}},q_{i})\wedge\psi(\underline{q_{1}},...,\underline{q_{n}},t)
+\end{eqnarray*}
+}
+
+����� �� {\beginL 1\endL}. ����� �\L{$\varphi_{i}$} ������� �� \L{$h_{i}$}
+����� ������ ������� \L{$\varphi_{i}(p_{1},...,p_{m},z_{i})$} ����
+����� \L{$z_{i}=q_{i}$}. ����� \L{$N\cup\theta\vdash z_{i}=q_{i}$}.
+����� �\L{$\psi$} ������ �� \L{$G$} �� �\L{$z_{i}=q_{i}$} ����
+\L{$1\le i\le n$} ���� ����� ������ \L{$\psi(z_{1},...,z_{n},t)$}
+�\L{$t=\underline{r}$}. ��� \L{$N\cup\theta\vdash t=\underline{r}$}
+�����. \end{proof}
+\begin{claim}
+){\beginL 6\endL}( ����� ��������� ������� �\L{$N$} ����� ��� �����.\end{claim}
+\begin{proof}
+)����� ������( ��� \L{$G(x_{1},...,x_{n},y)$} ������� ����� �\char`\"{}�
+����� \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,t)$}. ��� \L{$H(x_{1},...,x_{n})=\mu_{y}(G(x_{1},...,x_{n},y))$}
+. ���� ����� ����� �� \L{$H$}? \L{$\varphi(x_{1},...,x_{n},y,0)\wedge(\forall y^{\prime}<y)(\neg\varphi(x_{1},...,x_{n},y^{\prime},0))$}.
+������ ��� ��� ����� ���� ��� ������ �� ��.
+\end{proof}
+
+\section{����� ����� �� ������ �� ���}
+
+\end{claim}
+\uline{������}: ������ �� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+����� )�����( �� \L{$f$} ����� )���( �\L{$N$}.
+
+\uline{����� )���� ����� }{\beginL \uline{10}\endL}\uline{(:
+}�� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ��� ���� �� ��� ���� ���� �� �����
+\L{$\varphi(x)$} �� �:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$N\vdash\varphi(\underline{n})$} �� \L{$n\in A$} 
+\item \L{$N\vdash\neg\varphi(\underline{n})$} �� \L{$n\not\in A$}
+\end{enumerate}
+\uline{������}: ������ ������� \L{$g:F(\mathcal{L})\rightarrow\mathbb{N}$}
+\char`\"{}����� ���\char`\"{} �� �������� ���� \L{$\mathcal{L}$}
+�� \L{$PA$} ������ ��� ������� �����. ��� ����� ������ ������ �����
+\L{$\varphi\in F(\mathcal{L})$} ���� \L{$\left\lceil \varphi\right\rceil $}
+���� ���� �� \L{$\varphi$}.
+\begin{theorem}
+)���� ����� ���� �� ���(: ��� ����� \L{$\varphi(x)$} ���� �� \L{$PA$}
+����� ����� \L{$\psi$} �� �-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}. \end{theorem}
+\begin{definition}
+��� \L{$\Delta:F_{1}(\mathcal{L})\rightarrow F_{0}(\mathcal{L})$}
+)������� �� ����� ����� ��� �������� ��� ������ �������( ��������
+������� \L{$\varphi(x)\mapsto\varphi(\left\lceil \varphi\right\rceil )$}.
+�� \L{$\Delta$} ����� �������� �������.
+
+�� ������� �-\L{$\Delta$} ����� ������ �\char`\"{}� ����� �������.
+��� �������� ���� �����: \L{$\tilde{\Delta}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+������� �\char`\"{}� \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$} �� ��� �� \L{$n$}
+���� ��� �� ����� ������ ����� ���, ��� \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta)}$}
+�� \L{$n=\left\lceil \varphi(x)\right\rceil $} �\L{$\tilde{\Delta}(n)=\left\lceil \Delta(\varphi)\right\rceil $}.
+��� ���� \L{$\tilde{\Delta}(n,m)$} ������ �\char`\"{}� \L{$n\in Dom(\tilde{\Delta})$}
+�-\L{$\tilde{\Delta}(n)=m$} ��� ��� ����. ��� \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}
+���� �\L{$N$}. ��� ������ �� ����� \L{$\delta(x,y)$} �� �-\L{$N\vdash\delta(\underline{n},\underline{m})$}
+�� \L{$(n,m)\in\tilde{\Delta}$} �-\L{$N\vdash\neg\delta(\underline{n},\underline{m})$}
+�� \L{$(n,m)\not\in\tilde{\Delta}$}.
+
+��� \L{$\chi_{x}=(\exists y)(\delta(x,y)\wedge\varphi(y))$}. ���
+\L{$\psi=\Delta(\chi)=\chi(\left\lceil \chi\right\rceil )$}. \end{definition}
+\begin{claim}
+\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )\iff\psi$}.\end{claim}
+\begin{proof}
+���� �-\L{$N\vdash\psi$}. ���� ������ �-\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
+��� \L{$\psi:=(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}.
+����� �\L{$\left\lceil \chi\right\rceil $} ���� ��� �� ����� ������
+���. �����, \L{$\delta(x,y)$} ��� ���� �� ���� \L{$\tilde{\Delta}(x,y)$}.
+��� \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)$} �� ��� ��
+\L{$y=\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}. ��� �� \L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}
+������ ����� ����� ����� �� �� ��� \L{$\left\lceil \psi\right\rceil =\left\lceil \Delta(\chi)\right\rceil $}.
+��� \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} . ������
+����, ���� �\L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$} ������
+������ \L{$N\vdash\psi$} . ����� ������ �-\L{$N\vdash(\exists y)(\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y)\wedge\varphi(y))$}.
+����� ������ �-\L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,y_{0})\wedge\varphi(y_{0})$}
+���� \L{$y_{0}$} �����. ��� \L{$N\vdash\delta(\left\lceil \chi\right\rceil ,\left\lceil \psi\right\rceil )$}
+- �� \L{$\delta(x,y)$} ������ �� \L{$\tilde{\Delta}$} ������� \L{$N\vdash\varphi(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
+���� \L{$y_{0}=\left\lceil \psi\right\rceil $} ������.\end{proof}
+\begin{theorem}
+)���� ������ ������ �� ���( ��� \L{$T\supseteq N$} ���� ����� �-\L{$\omega$}-����
+, �� \L{$T$} ���� ����. \end{theorem}
+\begin{definition}
+���� \L{$T$} ����� \L{$\omega$}-���� �� \L{$T\vdash(\exists x)\varphi(x)$}
+����� ����� \L{$\varphi(x)$} ���� �\L{$T\vdash\varphi(\underline{n})$}
+����� \L{$n\in\mathbb{N}$}.
+\begin{definition}
+����� \L{$Pr(x)$} ����� \uline{��� ������} �� ��� ������ �� �������
+�����:
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$T\vdash\phi$} �� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
+\item �� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$} �� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\right\rceil )$}.
+\item �� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\rightarrow\psi\right\rceil )$}
+�� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )\iff Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}. 
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\end{definition}
+\begin{claim}
+�\L{$N$} �� ��� ������ ��� ������ �\L{$N$} ��� \L{$\omega$}-����
+�� ����� ������: �� \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
+�� \L{$N\vdash\phi$}. \end{claim}
+\begin{proof}
+����� ��� �� ����� \L{$\tilde{Pr}(x,y)$} �� � \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$}
+��:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$n$} ���� ��� �� ����� \L{$\varphi$}, �-
+\item \L{$n$} ����� ����� �� \L{$\varphi$} ���� \L{$N$} . 
+\end{enumerate}
+
+�� \L{$\tilde{Pr}$} ��� ����. ��� �� ����� \L{$Pr(x,y)$} �������
+�� \L{$\tilde{Pr}$}. ����� \L{$N\vdash Pr(\underline{n},\underline{m})$}
+�� \L{$(n,m)\in\tilde{Pr}$} ������ �� ������ - ����. 
+
+����� \L{$Pr(x):=(\exists y)Pr(x,y)$}. ����, ���� \L{$N\vdash\phi$}
+�� \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}? ���� ��� \L{$N\vdash\phi$}
+�� �� ����� �� \L{$\phi$} �\L{$N$} ���� \L{$m$} ����� �� ������
+���. �� \L{$\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}. ���� �\L{$Pr(x,y)$}
+������ �� \L{$\tilde{Pr}$} �� \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}
+��� \L{$N\vdash(\exists y)Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,y)$}.
+{\beginL 2\endL} ���� �-{\beginL 1\endL}, �-{\beginL 3\endL} ����
+����� ���� )�����(. 
+
+��� ���� �� {\beginL 4\endL}: �� \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil )$}
+�-\L{$N$} \L{$\omega$}-���� �� \L{$N\vdash Pr(\left\lceil \phi\right\rceil ,\underline{m})$}
+����� \L{$m\in\mathbb{N}$}. ��� �� ������ ������� \L{$N\models\tilde{Pr}(\left\lceil \phi\right\rceil ,m)$}
+����� \L{$m$} ����� ����� �� \L{$\phi$} �\L{$N$}. 
+\end{proof}
+~
+\begin{proof}
+)����� ������ ������ �� ���( ��� ���� ����� ���� �� \L{$\phi$} ��
+�\L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\psi)$}.
+\begin{itemize}
+\item ���� �': \L{
+\[
+T\vdash\psi\overset{(1)}{\Rightarrow}T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\Rightarrow T\vdash\neg\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+}
+\item ���� �': \L{
+\[
+T\vdash\neg\psi\Rightarrow T\vdash Pr(\psi)\overset{(4)}{\Rightarrow}T\vdash\psi\Rightarrow\Leftarrow
+\]
+}���� \L{$\psi,\neg\varphi$} ���� ������ �\L{$T$} ���� \L{$T$} ����
+����. 
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\uline{�����:} ��� \L{$T$} ���� �����. ����� \L{$Con_{T}:=\neg Pr(\underline{0}=\underline{1})$}.
+\begin{theorem}
+)���� �� ������ ���� �� ���( �� \L{$T\supseteq N$} ����� ������ ��
+\L{$T\not\vdash Con_{T}$}. ������ ����� \L{$T$} ����� �� ����� ��
+�� �� ����. \end{theorem}
+\begin{proof}
+���� \L{$\psi$} ��� ������ ����� ������. \L{$T\vdash\psi\iff\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}.
+��:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow\neg\psi$}.
+�-{\beginL 2\endL} ��-{\beginL 3\endL} ����:
+\item \L{$T\vdash Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}
+\item ��� {\beginL 2\endL} \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\right\rceil )$}.
+\item �-{\beginL 2\endL} �-{\beginL 3\endL} ���� ���� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )$}.
+\end{enumerate}
+
+��� \L{$\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}
+��� ������� ����� )������ ����������(. ��� \L{$T\vdash\psi\rightarrow(\neg\psi\rightarrow\underline{0}=\underline{1})$}.
+��� {\beginL 1\endL} �-{\beginL 3\endL} ������: \L{
+\[
+T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )\rightarrow(Pr(\left\lceil \neg\psi\right\rceil )\rightarrow Pr(\left\lceil \underline{0}=\underline{1}\right\rceil ))
+\]
+} ��� ��� {\beginL 4\endL} ���� ������ \L{
+\[
+T\vdash Pr(\psi)\rightarrow\neg Con_{T}
+\]
+} ����� \L{
+\[
+T\vdash Con_{T}\rightarrow\neg Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )
+\]
+} ��� ��� ����� \L{$\psi$}, �� ������ �\L{$T\vdash Con_{T}$} �� ����
+������ \L{$T\vdash\neg Pr(\psi)$} ���� \L{$T\vdash\psi$}. ��� ���
+{\beginL 1\endL} �� ���� \L{$T\vdash Pr(\left\lceil \psi\right\rceil )$}
+- �����. 
+
+\end{proof}
+
+\section{���� �������}
+
+��� \L{$H:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}. ������� �����. �����
+������� �� ��� )�����( ���� \L{$H$} �� ����� ������� ����� ��� �����
+�����: \char`\"{}��� �� ���� �� \L{$H$} ���� \L{$n$} �����\char`\"{}.
+��� ���� �� \L{$H(n)$} ����� �� \L{$n\in Dom(H)$} ����� ���� ����
+����� �����, ������� �� ������ ���� ������. 
+
+����, ����� ������ ������� ����� ��� ��� ������� \char`\"{}��� ��
+����\char`\"{} ����� �-\char`\"{}��� �� \L{$H$} ���� ���� ����� ����
+��� ���� {\beginL 2\endL}\char`\"{}. �� ����� ��� ��\char`\"{}� ��
+��� \L{$H$} ����� ������ ����. ��� ������ ��� \L{$H$} ���� �����
+�� �� �\char`\"{}� �� ��� \L{$H$} ����� ������ �� �\char`\"{}� ������. 
+
+�������:
+\begin{enumerate}
+\item ��� �� ����� �� ��� \L{$H$}
+\item ���� �� ����� �� ��� \L{$H$}
+\item ���� �������
+\item \L{$f_{T}^{n}(\bar{x})$} 
+\end{enumerate}
+���� ������� ����� ��� ������ ������.
+
+������� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ���� ����� �� ���
+\L{$H$} �� ����� �\char`\"{}� \L{$T$} �� ��� \L{$H$} �� �\L{$f=f_{T}^{1}$}
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ���� \L{$H,G$} �����. ���� �\L{$H\le_{R}G$} �� �� ������� �����
+�\L{$H$} ����� �\L{$G$}. 
+\item ���� �\L{$H\sim_{R}G$} �� \L{$H\le_{R}G$} �-\L{$G\le_{R}H$}.
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{claim}
+\L{$\sim_{R}$} ��� ��� ������.\end{claim}
+\begin{proof}
+���� ������ �� ��� \L{$H\le_{R}G\le_{R}F$} �� \L{$H\le_{R}F$}. ����
+�\L{$f$} ����� �\L{$H$}. ����� ������ �\L{$f$} ����� �\L{$F$}.
+������� \L{$f$} ����� �\L{$G$}, ��� �� �� \L{$f$} ����� �\L{$F$}. \end{proof}
+\begin{definition}
+~
+\begin{enumerate}
+\item ���� ������� �� \L{$H$} ���� \L{$deg(H)=H/_{\sim_{R}}=[H]_{\sim_{R}}$}. 
+\item �� \L{$a,b$} ����� �� ���� �\L{$a\le_{R}b$} �� ��� \L{$H,G$} ��
+�\L{$deg(H)=a,deg(G)=b$} ������ \L{$H\le_{R}G$}. {]}����: ������
+���� ������ \char`\"{}���\char`\"{} �\char`\"{}����\char`\"{}{[}.
+\end{enumerate}
+
+���� �\L{$\le_{R}$} ��� ��� ��� ���� �� ������. ���� ������ �����
+�� ����� �� ������ ����� ����� �� ����� �������. 
+
+\end{definition}
+������ ������� �� ������:
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$F$} ����� �� \L{$deg(F)\le_{R}deg(G)$} ��� \L{$G$}.
+\item ����:
+
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$F,G$} ������ �� \L{$F\sim_{R}G$}
+\item �� ���� \L{$0=degF$} �\L{$F$} ����� �� \L{$0\le_{R}a$} ��� ����
+\L{$a$}.
+\end{enumerate}
+\item �� \L{$a_{1},...,a_{n}$} ����� ����� �� �� ��� ��� ����� ����� ���
+�����.
+
+\begin{proof}
+���� \L{$F_{1},...,F_{n}$} �� �\L{$degF_{i}=a_{i}$}. ���� ��� \L{$H$}
+������� \L{$F_{i}\le_{R}H$} ��� \L{$i$} ����� �� \L{$F_{1},...,F_{n}$}.
+��� �� ��� ���� ��� �� \L{$\tilde{H}=\{F_{1},...,F_{n}\}$} )\L{$n$}-�����(
+���� �\L{$F_{i}\le_{R}\tilde{H}$} ��� \L{$i$} ������ ���. �����
+���� ����� �� \L{$\tilde{H}$} �-\L{$H$} ������ ����� ���: \L{$H(m)=F_{Pr^{L}(m)}(Pr^{R}(m))$}.
+\L{$H$} ����� �\L{$\tilde{H}$} ���� \L{$\tilde{H}$} ��� ���� ������.
+\end{proof}
+\item ���� ����� �������� \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} ��� ����� �\L{$H$}
+�� �������� \L{$F(n,x)=F_{n}(x)$} ����� �\L{$H$}. ���� ��� \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$}
+���� �������� �� \L{$\{F_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$} ����� �\L{$F(n,x)$}.
+��� ��� ���� �������� �� ��� �����. \uline{�����: }��� �� �� ����
+���� ���� �������� �� ��� �����. \end{enumerate}
+\begin{definition}
+���� �\L{$H$} ��\char`\"{}� �\L{$G$} )������ \L{$H\le_{RE}G$}(
+�� \L{$Dom(f)=H$} ����� \L{$f\le_{R}G$}.
+\end{definition}
+����� ��� ����� �� �������� ������ ��� \L{$G$}�� \L{$H\le_{RE}G$}
+�� �\L{$H\not\le_{R}G$}.
+
+������ \L{$G(x)$} ���� �\L{$G^{*}(e,x)$} �� ����� ������� ��� )��
+��� \L{$G$}( ��� ������ \L{$e$} ��� �� �\char`\"{}� �� ��� \L{$G$}
+���� \L{$x$} ����� �� \L{$T_{e}(x)$}. ���� ������ ������� �:
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$H\le_{RE}G$} �� \L{$H\le_{R}G^{*}$}
+\item \L{$G^{*}\le_{RE}G$}.
+\end{enumerate}
+����?
+\begin{enumerate}
+\item �� \L{$H\le_{RE}G$} �� �� \L{$f\le_{R}G$} �� �\L{$H=Im(f)$} �-\L{$f$}
+����. �� \L{$H=Im(G^{*}(e_{f},x))$} ���� �� ���� �� \L{$f$}. �����
+�\L{$G^{*}(e_{f},x)\le_{R}G^{*}$}. 
+\item ���� - �� \L{$G^{*}$} ����� �\L{$G$} ���� ���� ��� ��\char`\"{}�
+�\L{$G$}. \end{enumerate}
+\begin{definition}
+�� \L{$a$} ���� �-\L{$a=degH$} �� ������ �� \L{$a$} ��� \L{$degH^{*}$}
+������� \L{$a^{\prime}$}.
+
+����: ��� �� ����� ����? �� \L{$H\sim G$} ��� \L{$H^{*}\sim G^{*}$}?
+������:\L{
+\[
+G^{*}\le_{RE}G\underset{H\sim G}{\Rightarrow}G^{*}\le_{RE}H
+\]
+} ��� ����� ������ �\L{$G^{*}$} ��\char`\"{}� ������ �\L{$H$}. ���
+����� ������ ���� \L{$H,H^{*}$} ���� �\L{$G^{*}\le_{R}H^{*}$}. ��������
+��� \L{$H$}�-\L{$G$} �� \L{$H^{*}\le_{R}G^{*}$} ���� �� ����� ����.
+
+\uline{����}: ��� ����� ���� \L{$0<a$} �� �\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}?
+�����: ��!
+\end{definition}
+
+\section{���� ������� - ����}
+
+\uline{������}: �� \L{$F,G$} �������� )�������� �������( �� \L{$F\le_{R}G$}
+�� �� ������� ����� �\L{$F$} ����� �\L{$G$}. \L{$F\sim_{R}G$} ��
+\L{$F\le_{R}G$} �-\L{$G\le_{R}F$}. ��� �� ���� \L{$F/_{\sim}=degF$}.
+
+�� \L{$a,b$} ����� �� \L{$a\le b$} �� ������ �������� \L{$F,G$}
+�� �\L{$degF=a,degG=b$} �-\L{$F\le_{R}G$}. �����: ���� ������ ��
+\char`\"{}������ \L{$F,G$}\char`\"{} �\char`\"{}��� \L{$F,G$}\char`\"{}.
+
+��� ���� �\L{$F\le_{RE}G$}? �� \L{$a,b$} ����� �� ����� \L{$a\le_{RE}b$}
+����� �� ������ \L{$F,G$} �� �\L{$degF=a,degG=b$} �-\L{$F\le_{RE}G$}.
+\uline{�����}: \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ����� �\L{$G$} �� ���
+�� \L{$A$} ��\char`\"{}� �\L{$G$} �-\L{$\mathbb{N}\backslash A$}
+��\char`\"{}� �\L{$G$}.
+
+�� \L{$H$} ������� ����� �� \L{$H^{*}$} ��� �������� ������� ������
+������� ���������� �� ��� \L{$H$}. ����� ������: \L{$H^{*}$} ���
+�������� ������� �� ������:\L{
+\[
+\{\left\langle e,n\right\rangle :e\, is\, a\, code\, for\, machine\, H\, and\, T_{e}(n)\, halts\}
+\]
+}������ �� ������ ���� ��� \L{$G\le_{RE}H$} �� \L{$degG\le degH^{*}$}.
+\uline{������}: �� ����� ����� \L{$a$} �� ����� \L{$a^{\prime}$}
+�\char`\"{}� \L{$a^{\prime}=degH^{*}$} ���� \L{$H$} ����� �� �\L{$a=degH$}
+��:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$a^{\prime}$} ����� ����
+\item \L{$a^{\prime}$} ��� ����� ������� ��� \L{$a$} ���� ��\char`\"{}�
+�\L{$a$}. ������ �����, �� \L{$a\le b$} �-\L{$b\le_{RE}a$} �� \L{$b\le a^{\prime}$}.
+����? �� \L{$b\le_{RE}a$} �� ��� ����� �� \L{$G$} �� �\L{$degG=b$}
+�-\L{$G\le_{RE}H$}. ��� \L{$degG\le degH^{*}\overset{def}{=}a^{\prime}$}.
+\end{enumerate}
+�����: �� \L{$F,G$} ������ �� \L{$F\sim G$} ������ \L{$degF=0$}:
+\begin{enumerate}
+\item \L{$0\le a$} ��� ���� \L{$a$}
+\item �� \L{$a,b$} ����� �� �� ���� \L{$c$} �� �-\L{$c$} ��� ����� ���
+����� �\L{$a,b$}.
+\item ��� ���� \L{$F(y,x):=\{F_{n}\}_{n=1}^{\infty}$} �� ��� ����� )����
+���� \L{$F(y,x)$}( ��� ��� ��� �����.
+\end{enumerate}
+\uline{�����}: �� \L{$a,b$} ����� �� \L{$a<a^{\prime}$} )���
+�������( ��� \L{$a\le b$} �� \L{$a^{\prime}\le b^{\prime}$}. ���
+����� ���� ��� \L{$a<b$} �� �\L{$a^{\prime}=b^{\prime}$} .
+\begin{theorem}
+������ ����� \L{$a,b\le0^{\prime}$} ����� ������ �������. \end{theorem}
+\begin{corollary}
+����� ���� \L{$0<a<0^{\prime}$}.
+\begin{proof}
+��� ����� �� \L{$a,b\le0^{\prime}$} ����� ������ �������. �� \L{$a,b\not=0^{\prime}$}
+�-\L{$a,b\not=0$}.
+\end{proof}
+\end{corollary}
+���� ������: )����� �� \inputencoding{latin9}\L{Post}\inputencoding{cp1255}(
+��� ����� \L{$a$} ��\char`\"{}� ���� ��\char`\"{}�?
+
+\uline{�����:} ���� �\L{$f$} ����� �� ��� \L{$H$}. �� ��� \L{$n$}
+�� \L{$\sigma\subseteq H$} ������� ����� )�\char`\"{}� ���� �� \L{$\sigma$}
+����( �� �\L{$f(n)$} ���� ������ �\L{$\sigma$}.
+\begin{proof}
+)�����( ���� �� ��� �� ���� \L{$F$} ���� ���� ��� ����� ���� �����
+�� �� ������ �� ����� ������� �� ��� \L{$F$}. ���� ����� ���� ���
+�������� \L{$F,G$} �� �-\L{$G\not\le_{R}F$} ��� \L{$F\not\le_{R}G$}.
+��� ���� �� ������ ��� ����� ����� ��� ������ �� �����:
+\begin{enumerate}
+\item )e{\beginL 1\endL}( �\char`\"{}� �� ��� \L{$G$} ����� ��� ��� \L{$e$}
+���� ����� �� \L{$F$}.
+\item )e{\beginL 2\endL}( �\char`\"{}� �� ��� \L{$F$} ����� ��� ��� \L{$e$}
+���� ����� \L{$G$}.
+\end{enumerate}
+
+�� ��� \L{$\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty}$} ���� ����� �� ������ ��\char`\"{}�.
+���� ����� ���������� �������� ������ \L{$F_{i},G_{i}$} �� �\L{$F_{i}\subseteq F_{i+1},G_{i}\subseteq G_{i+1}$}
+� ��� \L{$i$} ��� \L{$e_{i}$} ��� ���� ���� {\beginL 1\endL}, ����
+�� \L{$F_{i+1}$} ����� ��������� ������� �\char`\"{}� ������ \L{$e_{i}$}
+�� ���� \L{$G$} �� ���� �� \L{$F_{i+1}$}. ������ ����� ������ \L{$e_{i}$}
+�� ���� \L{$G$} �� ��� ������ \L{$n$} �� ��� ��� ����� �\L{$F_{i+1}(n)$}.
+���� ������� \L{$F_{i},G_{i}$} �� �\L{$F_{i-1}\subseteq F_{i}$}
+�-\L{$G_{i-1}=G_{i}$} ����� ���\char`\"{}� \L{$e_{i}$} ��� ����
+���� {\beginL 1\endL} )�������� �� \L{$F,G$} �������� ������� ������(.
+��� \L{$n_{i}\in\mathbb{N}$} ���� ����� �� �\L{$n_{i}\not\in dom(F_{i})$}.
+����� ��� ��� �����:
+\begin{enumerate}
+\item ���� �' - ����� ������� ����� \L{$\sigma$} �� �:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\sigma$} ������� �� \L{$G_{i}$} )����� �� \L{$x\in dom(\sigma)\cap dom(G_{i})$}
+�� \L{$\sigma(x)=G_{i}(x)$}(
+\item �\char`\"{}� \L{$e_{i}$} �� ��� \L{$\sigma$} ����� �� ���� \L{$n_{i}$}.
+\end{enumerate}
+
+����� ��, ����� \L{$G_{i}\subseteq G_{i+1}$} �� \L{$G_{i+1}=G_{i}\cup\sigma$}.
+���� ���� ){\beginL 1\endL}( - ���� �������. ����� \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1=F_{i+1}(n_{i})$}
+)���� \L{$T_{e_{i}}^{\sigma}$} ��� ���� ��\char`\"{}� \L{$e_{i}$}
+�� ��� \L{$\sigma$} ������ ���� \L{$n_{i}$}( ��� ����� ���� ����
+){\beginL 2\endL}(.
+
+\item ���� �' - �� ���� �'. �� ����� \L{$G_{i+1}=G_{i},F_{i+1}(n_{i})=0$}.
+��� ����� \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i},G=\bigcup_{i=1}^{\infty}G_{i}}$}.
+���� �\L{$F\not\le_{R}G$} )����� ���� ������ �������(. ��� \L{$e$}
+�\char`\"{}� ����� �� ��� \L{$G$}. ���� �\L{$e$} ���� ����� �� \L{$F$}.
+��� �� ����� ����� \L{$n\in\mathbb{N}$} ����� �� �\L{$F(n)\not=T_{e}^{G}(n)$}
+{]}���� �� �\L{$F(n)$} ������ ��� \L{$n$}, ���� ���� ������ ������
+����� ����� �� \L{$F$} ������ ����� ���� ��� ����� ������� �� \L{$F_{i+1}(n_{i})$}
+���� \L{$n_{i}$} ��� ����� ����� �������� ��� ������. ��� ����� \L{$dom(F)=\mathbb{N}$}{[}.
+����, �� \L{$T_{e}^{G}(n)$} �� �����, ���� �� ������.
+\end{enumerate}
+
+�� ��� \L{$i$} ��� ������ ������ \L{$e$}. �� ��� ��������. �� �����
+����� �' �� \L{$T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$} ���� �����. ���� ����� �����,
+��� ������ ������ ��� \L{$\sigma\subseteq G$} ���� �� �\L{$T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})$}
+�����, ������� ��\L{$G_{i}$} ��\L{$\sigma$} ����� ������ \L{$G$}
+�� �������� ������ ����� ������ ����� �'. �� ����� ����� �' �� ��
+\L{$\sigma_{i}\subseteq G$} ����� )���� ��� ������� ����� ���� �\L{$i$}(
+�� �\L{$F(n)=F_{i+1}(n_{i})=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})+1\not=T_{e_{i}}^{\sigma}(n_{i})=T_{e_{i}}^{G}(n_{i})$}. 
+
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+\L{$degG$} ���� ���� ������� �� \L{$degF$}. ���� ������ \L{$degF\le0^{\prime}$}.
+\end{corollary}
+
+\section{���� ������� - ����}
+
+������ ������: ������ ����� \L{$0\le a,b\le0^{\prime}$} �� �-\L{$a,b$}
+���� ������ ������� ����� \L{$a|b$}. ����� ��� �������� \L{$F,G$}
+�� �-\L{$F\not\le_{R}G$} �-\L{$G\not\le_{R}F$}. ���� ����� �-\L{$degF,degG\le0^{\prime}$}.
+��� ������ ���������� ���� ������ ������� ��� ���� ������ ��� ����
+�����:
+\begin{enumerate}
+\item )e{\beginL 1\endL}( \L{$F\not=f_{T_{e}^{G}}$}
+\item )e{\beginL 2\endL}( \L{$G\not=f_{T_{e}^{F}}$}\end{enumerate}
+\begin{lemma}
+)��� ������( ��� \L{$e$} �\char`\"{}� �-\L{$H,G$} �����. ���� ������
+�� \L{$T_{e}^{H}(n)$} ������ ������ \L{$H$} ������ ����� �� ������
+\L{$H(r_{1}),...,H(r_{k})$} ����� \L{$k\in\mathbb{N}$} ����� �-\L{$G(r_{i})=H(r_{i})$}
+��� \L{$1\le i\le k$}. �� \L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{G}(n)$}. ����:
+�� \L{$T_{e}^{H}(n)$} ����� �� �� \L{$\sigma\subseteq H$} �����
+�� �-\L{$T_{e}^{H}(n)=T_{e}^{\sigma}(n)$}. 
+
+��� ����� �� \L{$F,G$} ������ �� ������ \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$}
+����� �����. �� ���� \L{$n$} ����� ���� ����� ���� e{\beginL 1\endL}
+�� ���� \L{$k$} ����� ������ ����� �\L{$domF_{n}$} ������ ��� ���
+�����. \end{lemma}
+\begin{enumerate}
+\item ���� �' - �� ����� \L{$\sigma$} ����� �� �:
+
+\begin{enumerate}
+\item \L{$\sigma$} ������� �� \L{$G_{n}$} �-
+\item \L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} �����
+\end{enumerate}
+
+�� ����� \L{$G_{n+1}=G_{n}\cup\sigma$} �- \L{$F_{n+1}=F_{n}\cup\{(k,\sigma\}$}
+���� \L{$r=f_{T_{e}^{\sigma}}(k)+1$}.
+
+\item ���� �' - ���� )�����, ��� \L{$\sigma$} ��\char`\"{}�( ����� \L{$F_{n+1}(k)=0,G_{n+1}=G_{n}$}.
+�� ����� �-\L{$F\not\le_{R}G$}�-\L{$G\not\le_{R}F$} ���� \L{${\displaystyle F=\bigcup_{i=0}^{\infty}F_{i}}$}
+�-\L{${\displaystyle G=\bigcup_{i=0}^{\infty}G_{i}}$}. ���� �����
+�-\L{$degG,degF\le0^{\prime}$}. ����� ����� ������ ��� ��� ��\char`\"{}�
+����� \L{$F,G$} ������. ������� ������� ����� ����� ��� ���� ����
+\L{$F$}.
+\end{enumerate}
+����� ������� \L{$s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} ���� �����:
+����� \L{$s(n)$} ����� ��� ��� ���� \L{$\left\langle F_{n},G_{n},e_{n}\right\rangle $}.
+����� ����� �-\L{$s$} ����� ����� ��� ��\char`\"{}�. ���� ������
+������ �� \L{$s(n)$} ������ ����� ���� �� \L{$s(n+1)$}. �.�.� ����
+\L{$e_{n+1}$} ��� ���� e{\beginL 1\endL} . ��� ����� \L{$s$} �����
+������ �� ����� ����� �' �� ���� �'. �\char`\"{}� ����� ���� ������
+�� ����� \L{$\sigma$} �������� �� \L{$G_{n}$} �-\L{$T_{e+1}^{\sigma}(k)$}
+����� )���� \L{$k$} ���� �\L{$s(n)$}(. ��� ����� ���� �� ������
+���� �������� ��� ��\char`\"{}� {]}�\L{$\sigma$}, ��� ������ �\L{$\sigma$}
+����� �� ��� ��� ��\char`\"{}�{[}. ��� ��� ��� ��\char`\"{}� \L{$A(\bar{x},\bar{y})$}
+�� �� \L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} ��\char`\"{}�. ��� ������
+��� ����� ����� �' �� ����� �' ����� ���� ��\char`\"{}�. �� ���� �����
+�' - ��� ����, ��� ����. �� ����� ����� �' - ����� ����� �� \L{$\sigma$}.
+�� ��� ��� ���� ���� ����� ����, �� �� \L{$A(\bar{x},\bar{y})$} ��\char`\"{}�
+�-\L{$\bar{y}$} ��� �-\L{$(\exists x)A(\bar{x},\bar{y})$} �� ��
+������� ����� ������� \L{$\bar{x}$} ����� �� ��. ��� ���\char`\"{}�
+\L{$s(n+1)$} ����� �\L{$s(n)$} ����� ���� ���\char`\"{}� \L{$(\exists\sigma)(...)$}.
+\begin{corollary}
+����� \L{$0<a<0^{\prime}$}.
+
+���� ����� ����� ����: ��� ���� \L{$c$} ����� ���� \L{$a$} �� �\L{$c<a<c^{\prime}$}. 
+
+��� ���� ����� \L{$a$} ��� ������ ���� ��\char`\"{}�? �����: ��.
+����� ����� ����� �-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}. \end{corollary}
+\begin{theorem}
+����� ���� ������� ��\char`\"{}� \L{$a$} �� �-\L{$a\not=0$} �-\L{$a^{\prime}=0^{\prime}$}.\end{theorem}
+\begin{proof}
+)�����( ���� ����� \L{$A\subseteq\mathbb{N}$} ����������. ��� ���
+\L{$n$} ����� ������ ������ ������ ������� ���� �� ������. �����
+���� ��� ����� �� ���� ������� �-\L{$A$} ����� �������� ���� �����
+�-\L{$A$}. ��� ����� ���� ���� ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ����
+���� �� ����� �-\L{$A$} ������ �����. ��� �� ����� ������� ��� ������
+���� �-\L{$A$} �� �� )��� ��� ��� ����(? ��� ������ �� ������ ����
+����� ������� \L{$A$} ������ ����� ���� �����. ��� ���� ������ �-\L{$\chi_{A}$}
+���� �\L{$\chi_{E}$} ��� ����� ����� \L{$E$}. 
+
+���� ��� ������ �� ������ ������ ��������� ������� �� ������ ������.
+���� ����� �� �� ��������� ������� - ����� �� ��� ����� �����. ���
+����� ���� \L{$k$} �-\L{$A$}? ��� �\char`\"{}� \L{$T_{e}$} �����
+���� ���� \L{$k(e)$} ����� �� \L{$T_{e}(k(e))$}. �� ���� {\beginL 0\endL}
+���� ���� �\L{$T_{e}$} ������� ������ �� ���� ����� �-\L{$T_{e}$}
+����� �-\L{$k(e)$} �� ������. ���� �����, ����� �� \L{$k(e)$} �-\L{$A$}
+��� ����� �\L{$A$} ���� ������� �-\L{$T_{e}$} )����( ������. �����
+������ - ���� ��� �� \L{$T_{e}(k(e))$} �� ��� �����?
+
+��� ������ �-\L{$A$} ����� ���� ��\char`\"{}� ���� ����� ������ ������
+������ ��� �����. ��� ����� ����� \char`\"{}��� \L{$T_{e}(k(e))$}
+�����\char`\"{} ���� ���� ������. �� ������? ���� �� ��� \L{$T_{e}(k(e))$}
+���� ����� ������� {\beginL 0\endL}, �� ���� ��� ��� �� �� �� ���
+�� ����� ������ �� \L{$k(e)$} �-\L{$A$} �� ���� ���� \L{$k(e)$}
+�� ���� �\L{$A$} ������ ����. ����� ��� ��� �� ����� �� ����� ��
+\L{$T_{e}(k(e))$} �� �����. ��� ����, ���� ����� �\L{$e$} ������
+����� ���� ��� ���� ���� ���� )��� ���� �������( �� �����. �� �� ���
+\L{$T_{e}(k(e))$} ����� ��� �� ���� �� {\beginL 0\endL} �� �� - ��
+�� ����� �� \L{$k(e)$} ��� �� - �� ���� ����. ����� ��� ����� ���
+\L{$T_{e}(k(e))$} ���� �� �����.
+
+������ �����, �-\L{$(degA)^{\prime}=0^{\prime}$} ������ ����� ����
+���� ����� �� �����: \L{$(2_{e,k})$}- ���� ������ ��� \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+����� �� ��. ���� ������ ���� ������ ���. ����� ���� ��� \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+����� �� ��. ��� ���� \L{$A$} ����� �����?? )����� �'����(. ����
+���� �������� �� ���� ���� ���� �� \L{$A_{i}$} ��� �\L{$A$}. ����
+���� �� \L{$T_{e}^{A}(k)$} - �� �� �� �� �� ���� ����. �� �� �����
+��� ����. ���� ����� \L{$2_{e,k}$} ������ ����� ��� ��� ���� �� ������
+��� ���. �� �� ����� ���� ����� �� ����, ���� �� \L{$r$} ����� \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+���� ��� \L{$r\in A_{i}$} ���� ����� �� ���� ������ �� �\L{$A$}
+)�� ������� ��� ��� ����� �� ����� ���� �\L{$(2_{e,k})$}.
+
+������ ����� �� ���� \L{$A_{i}$} ����� ������ \char`\"{}��� \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{}
+�� \char`\"{}��� \L{$r\not\in A_{i}$}?\char`\"{}. ������ - �� \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
+���� \char`\"{}��� \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} ������ ����� ������
+�� ��� ���� ���� ����� ������ ��� \L{$A_{j}$} �� \L{$i\le j$}. ���
+������� ������� ������� ������� �� ������ �\L{$A_{i}$} ���� �\L{$r\not\in A_{i}$}.
+�\L{$r$} �� ����� ����� ����� �� \L{$T_{e}^{A_{i}}$} �� \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
+���� ���� ����� \char`\"{}��� \L{$r\in A_{i}$}?\char`\"{} ������
+����� \L{$r\not\in A_{i}$}. ��� ����� �� ���� ���� \L{$T_{e}^{A_{i}}$}
+{]}������ �����, ��� ����� ����� \L{$2_{e,k}$}{[} ����� ����� \L{$N_{e,k}$}
+�� �� �\L{$r\in\mathbb{N}$} ��� ���� ����� ����� ���� �����.
+
+�� ��� \L{$N_{e,k}\wedge A_{j}=\emptyset$} - ����� ����. �� �����
+��� ������ ��� ������ ������ �-\L{$N_{e,k}$} �-\L{$A$}. ��� �� ����
+�� ����� ���� ���� \L{$1$} ����� ���� ���� ������ �-\L{$A$} ����
+����� ����� \L{$N_{e,k}$}? ����� �� ��� ��������. ����� �� �� ������
+���� )��� ������ ����� �����( ����� ����� ���� \L{$1_{e}$} �����
+����� ���� \L{$N_{e,k}$} �� �� ����� ������� �� \L{$1_{e}$} ���
+��� �� \L{$2_{e,k}$}. 
+\end{proof}
+
+\section{���� ������� - ����}
+
+)���� ����� ������ ������ ����(
+\begin{itemize}
+\item ��� \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$} ����� �� �� ������ \L{$1_{e},2_{e,k}$}
+�� ��� ���� ����� ������ �����. ��� ���� ����� ����� ��� ����� ����.
+\item ���� ��� ��� ������ ����� �� \L{$\mathbb{N}$} ������� ������ ���������
+����. �� �� �� ���� ����� ����� ����. {]}���� \L{$a\in A_{n}$} ��
+\L{$n=Pr^{L}(a)$} - ���� ������� �� ����{[}.
+\item �����, ���� ������ ���� ������ \L{$1_{e}$} ���� ���� \L{$k$} ������
+���� ���� �� \L{$T_{e}(k)$}. �� \L{$e$} ��� ������ �-\L{$n$}-��
+����� ����� )����( �� ��������� ������� �� ���� �� \L{$k$} �-\L{$A_{n}$}
+. ����, ����� �-\L{$k$} ����� ���� �� ����� ����� ���� \L{$2_{e,k}$}
+- ����� ������� �� �� �����.
+\item ����� ���� �� ���� �-\L{$n$} �����:
+
+\begin{itemize}
+\item \uline{���� �'} - ���� �-\L{$n$} ��� ������ \L{$1_{ei}$}.
+
+\begin{enumerate}
+\item ��� ������ ���� �-\L{$R_{i}$} �-\L{$A$} - �� ����� ����.
+\item �� ���� \L{$k\in R_{i}$} �� �-\L{$k<n$} �-\L{$T_{ei}(k)=0$}, �����
+���� ���� �-\L{$n$} �����. ����� \L{$k$} �� ���� ���� \L{$2_{e,k}$}
+- ����� ������ ������� ��� ������ ������� �� \L{$1_{ei}$}. {]}����
+�� ��� ����� ���� �� �� ������� ����, ���� ������ ������� �� ������
+\L{$c_{i}$} - ������ ������ ������ - ���� ����� ������� ������ \L{$i_{0}$}
+�� ������ �-\L{$c_{i}$} ���� ����� �-\L{$c_{i_{0}}$}{[}. ����� ���
+- ����� �� \L{$k$} �-\L{$A$} ������ �\char`\"{}����\char`\"{} )����(
+�� \L{$2_{e,k}$} - ����� ������ ������� ��� ���� ��� �� \L{$1_{ei}$}
+�-\L{$k$} ���� ������.
+\item ���� - �� ���� ����.
+\end{enumerate}
+\item \uline{���� �'} - �� \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} )���� \L{$A_{n-1}$}
+������ ������� �� ��( ����� ���� \L{$n$} �����, �� ���� \L{$2_{e,k}$}
+- ����� ������� ������. {]}����� ������ ����� ��� �� ������� \L{$l\in\mathbb{N}$}
+�� ������ ������ \L{$T_{e}^{A_{n-1}}(k)$} ���� ���� ����� \char`\"{}���
+\L{$l\in A_{n-1}$}\char`\"{} ������ ����� ������{[}.
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+\begin{claim}
+������ \L{$A$} ����� ���� ����� ���� �� �� ������ \L{$1_{e},2_{e,k}$}. \end{claim}
+\begin{proof}
+���� ��� ��� ���� \L{$1_{e_{i}}$}. �� ���� ����� ����� �-\L{$A$}
+���� \L{$k$} �-\L{$R_{i}$} �� ���� ������ �-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}
+������� �� \L{$k$} �-\L{$A$} ���� \L{$\chi_{A}(k)=1$} ������ ����.
+
+�� ���� ���� \L{$k\in R_{i}$} ������ �-\L{$A$}. ���� \L{$k\in R_{i}$}
+���� ����� ��� �-\L{$k$} ���� ����� ��� \L{$2_{e,k}$} - ����� ��
+������ ��� �������� �� \L{$1_{ei}$}. 
+
+���� �� \L{$k$} ���? ���� �� ��� \L{$n$} ��� ������� �� \L{$2_{e,l}$}
+�� �� ���� �� ������ \L{$m<n$} ���� \char`\"{}�����\char`\"{} �����
+�� \L{$n$} ��� ����� ��� ���. �� ����� �� ������ \L{$n$} ��� �����
+����� �\char`\"{}� ������ ����� ���� ����� �-\L{$A$} ���� ){\beginL 1\endL}(
+�� ���� �' ����� �� ����� ���� ����� �� ������ \L{$n$}. ���\char`\"{}�
+�� �-\L{$2_{e,l}$} ������ ���� \char`\"{}�����\char`\"{} ��� �����
+\L{$n$} �����. ��� �� ��� ����� \L{$n+1$} ������ \L{$2_{e,l}$}.
+���\char`\"{}� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ���� �� ������ �� �����
+�� ������ ��� ����. ��� �� \L{$k$} ��� ������ ����� ����� \L{$k$}
+��� �� ����� �-\L{$T_{e_{i}}(k)=0$}. ����? ���� �� ��� ������ ���
+���� )�'{\beginL 2\endL}( ����� ������� �� \L{$k$} �-\L{$A$} ������
+�����. ��� �� ������ \L{$1_{e}$} ��������.
+
+�� ���� ������ \L{$2_{e,k}$} ? ���� �-\L{$2_{e,k}$} ����� ��� �����
+�� ��� ��� �-\L{$A$}. ���� �-\L{$T_{e}^{A}(k)$} ����� �� ��� ��
+����� \L{$2_{e,k}$} ����� �����. 
+
+�� ����� \L{$2_{e,k}$} ����� ����� �\char`\"{}� ����� ���� ��� \L{$n$}
+����� ��� \L{$T_{e}^{A_{n-1}}$} ���� )���� \L{$n$} �����( �����
+�� ������. ����� ������� �����, ��� \L{$r\in\mathbb{N}$} �� �-\L{$T_{e}^{A_{n-1}}$}
+���� ���� ����� \char`\"{}��� \L{$r\in A_{n-1}$}?\char`\"{} ����
+\L{$A$} ����� �� ���� ������. ��� ��� ����� ������ \L{$T_{e}^{A}(k)$}
+�����. 
+
+������ ���� �� \L{$T_{e}^{A}(k)$} ����� )���� ���� \L{$n$} �����(
+�� ��� \L{$c_{i}$} �� ������ �-\L{$c_{i}$} ��� \L{$2_{e,k}$} �-\L{$i>n$},
+����� ����� �' ����� \L{$2_{e,k}$} - �����. )������ ����� �-\L{$i$}
+��� ����� �-\L{$A$} �� ������� ���� ���� ����� ����� ������ �� \L{$T_{e}^{A}(k)$}.
+
+��� ������ �����, �� ���� ���� ����� ��� ����� ���� ���� �� ������.
+�� ������� ������� ����� �� �����, �\char`\"{}� ���� �����.
+
+�� ���: ����� �� \L{$A$}, ����� �-\L{$A$} ������ �� ������ \L{$1_{e}$}
+��� \L{$2_{e,k}$} )��� �' ��\char`\"{}�( ����� ������ �����. �����
+�-\L{$A$} ������ �� \L{$1_{e}$} ��� \L{$e$}, ���� �-\L{$A$} ����
+�����. ����� ������ �����, �� ����� \L{$s(n)$} ����� ������ \L{$A_{n}$}
+������� ���� �-\L{$n$} �� ������ ���� �-\L{$A$} ��\char`\"{}�, ��
+\L{$s(n)$} �����.
+
+���� ����� �-\L{$deg(A^{*})\le0$}. ����� ������ {\beginL 11\endL}
+���� ������ ��� \L{$A^{*}=dim(B_{i})$} ���� \L{$i\in\mathbb{N}$}
+�� �-\L{$B_{i}$} ����� �{\beginL -\endL}\L{$A$} �� \L{$deg(A^{*})\le0^{\prime}$}.
+����� \L{$\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i}$}�� ��� �� ����
+�-\L{$i$} �� ������ �� \L{$2_{e,k}$} - ����� ������ �����. �����
+������ ����� \L{$B_{i}$} ��� ����. ��� )�( ��\char`\"{}� \L{$T_{e}^{A}(k)(\iff\left\langle e,k\right\rangle \in B_{i})$}
+����� �� ��� �� \L{$dim\chi_{B_{i}}(\left\langle e,k\right\rangle )=1$}.\end{proof}
+\begin{theorem}
+��� ���� \L{$0^{\prime}\le a$} ����� ���� \L{$b$} �� �-\L{$b^{\prime}=0^{\prime}\cup b=a$}.
+\end{theorem}
+\uline{����� ������}: ���� \L{$g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+�� �-\L{$deg(g)=a$}, ���� ����� \L{$g$} ��� ����. ���� ����� \L{$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}
+�� �-\L{$f^{*}$} ����� �-\L{$0^{\prime}\cup deg(f)$} �-\L{$g$}
+����� �-\L{$f^{*}$}.
+
+���� ������ ��� ����� �����:
+\begin{itemize}
+\item \L{$1_{e,k}$} - ������ ��� \L{$T_{e}^{f}(k)$} �����
+\item \L{$2_{n}$} - ����� �-\L{$f(m)=g(n)$} ����� \L{$m\in\mathbb{N}$}.
+\end{itemize}
+����� ����� �� ������ \L{$\{c_{i}\}$}, ����� �-\L{$i$} �� ��� �����
+\L{$1_{e,k}$} ��� \L{$\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$} �����
+�������� �� \L{$f_{i-1}$} �� �-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} �����, �����
+\L{$f_{i}=f_{i-1}\cup\sigma$} ����� ����� \L{$f_{i}=f_{i-1}$}. ���
+���� �-\L{$i$} ��� ����� \L{$2_{n}$} �� ���� \L{$m$} ����� �� �����
+����� �� \L{$f_{i-1}$} ������ \L{$f_{i}(m)=g(n)$}. ������: ����
+������ ����� �-\L{$0^{\prime}\cup a=a$} ������ �� �-\L{$0^{\prime}\cup b$}.
+
+~
+\begin{proof}
+��� \L{$g$} ��\char`\"{}� ����� ������� \L{$f$} �� �-\L{$deg(f)$}
+���� �� �������.
+
+\L{$b\cup b^{\prime}\le b^{\prime}$} ���� ����� ����� \L{$b$} ��
+�-\L{$b^{\prime}\le a\le b$}. ��� ����� ��� ��������� ��� ���� ����.
+�� ���� ����� \L{$b$} �� �-\L{$b^{\prime}$} ����� �-\L{$b$} ��-\L{$0^{\prime}$}. 
+
+����� ����� �� ������ )���� ����( ������ ���� \L{$\{e_{i}\}_{i=0}^{\infty}$}
+����� ���� \L{$i\le n$} ����� ������� \L{$f_{i}$} )�� ���� ����(
+�� �-\L{$f_{i}\subseteq f_{j}$} �� \L{$i\le j$}.
+
+\uline{����� \L{$f_{n+1}$}:}
+\begin{itemize}
+\item �� \L{$e_{n+1}$} ��� ���� ���� \L{$1_{e,k}$}: ����� ��� �� \L{$\sigma$}
+����� �������� �� \L{$f_{n}$} �� �-\L{$T_{e}^{\sigma}(k)$} �����.
+�� ��, ����� \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\sigma$} ���� ����� \L{$f_{n+1}=f_{n}$}.
+\item �� \L{$e_{n+1}$} ��� ���� ���� \L{$2_{k}$} �� ���� \L{$m$} �����
+������ ����� �� \L{$f_{n}$} ������ \L{$f_{n+1}=f_{n}\cup\left\langle m,g(k)\right\rangle $}.
+����� \L{$f={\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}}f_{i}$} ��� \L{$f$}
+������� ����.
+\end{itemize}
+
+��� ���� �� �����:
+\begin{itemize}
+\item �� ����� ����� \L{$1_{e,k}$} ���� ���� ��� ���� \L{$\sigma$} ���.
+��� ����� �� ����� ��� ��� ������ �-\L{$0^{\prime}$}.
+\item �� ����� ����� ���� \L{$2_{k}$}, ��� ���� ����� �� \L{$m$}. �� ��
+����� �� ���� �� \L{$g(k)$} ��� �� ���� ����� �-\L{$g$}.
+\end{itemize}
+
+���� ������ �� �� \L{$b^{\prime}$} ���� ���� �-\L{$b$} ��-\L{$0^{\prime}$}
+��� \L{$b^{\prime}=deg(f^{*})$} �-\L{$f^{*}$} ��� ���� ����� ���
+���� ������ \char`\"{}��� \L{$T_{e}^{f}(k)$} �����?\char`\"{}. �����
+�� ��� ������ �� ����� �� \L{$t$} �� ��� ������ ����� �� �� ������
+������ ��\char`\"{}�. ��� ����� ����� �� �-\L{$0^{\prime}$} ��� �-\L{$b^{\prime}$}
+)����( ���� \L{$b^{\prime}\le b\cup0^{\prime}$} �����.
+
+\end{proof}
+\begin{corollary}
+�������� \L{$a\rightarrow a^{\prime}$} ����� ��\char`\"{}�.\end{corollary}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.3.1