diff options
| author | Yuval Adam <yuv.adm@gmail.com> | 2014-10-27 10:52:27 +0200 |
|---|---|---|
| committer | Yuval Adam <yuv.adm@gmail.com> | 2014-10-28 10:23:35 +0200 |
| commit | 31e69072d5e82d8feaf988bc756e634586d70da5 (patch) | |
| tree | 7c9410d498b7d1fd2b6fbf5cadf1b05d5ec3ba4e /notes.xhtml | |
| parent | 69184c342c2daef62e69d98f3ca4b2fa6953ffdb (diff) | |
Move to index.html
Diffstat (limited to 'notes.xhtml')
| -rw-r--r-- | notes.xhtml | 31670 |
1 files changed, 0 insertions, 31670 deletions
diff --git a/notes.xhtml b/notes.xhtml deleted file mode 100644 index 081ddca..0000000 --- a/notes.xhtml +++ /dev/null @@ -1,31670 +0,0 @@ -<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?> -<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.1 plus MathML 2.0//EN" "http://www.w3.org/Math/DTD/mathml2/xhtml-math11-f.dtd"> -<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"> -<head> -<meta name="GENERATOR" content="LyX 2.1.1" /> -<meta http-equiv="Content-type" content="text/html;charset=UTF-8" /> -<title>אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליותד"ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב</title> -<style type='text/css'> -body { - direction: rtl; -} -table { - border: 1px solid black; - display: inline-block; -} - -td { - border: 1px solid black; - padding: 0.5ex; -} - -/* Layout-provided Styles */ - -del.strikeout { - text-decoration: line-through; -} - -h1.title { - font-size: x-large; - margin-bottom: 1ex; - text-align: center; -} - -div.author { - font-size: large; - margin-top: 1.3ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: center; -} - -div.standard { - margin-bottom: 2ex; -} - -blockquote.quote { - margin-top: 0.5ex; - margin-bottom: 0.5ex; - margin-right: 3ex; - margin-left: 3ex; - text-align: right; -} - -h2.section { - font-weight: bold; - font-size: x-large; - margin-top: 1.3ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -ul.itemize { - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - margin-right: 3ex; - text-align: right; -} - -ol.enumerate { - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - margin-right: 3ex; - text-align: right; -} - -div.theorem { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.theorem_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.claim { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.claim_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.proof { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.proof_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.definition { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.definition_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.lemma { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.lemma_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.corollary { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.corollary_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.remarks { - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; - margin-top: 0.7ex; - margin-bottom: 0.7ex; - text-align: right; -} - -span.remarks_label { - font-weight: bold; - font-style: normal; - font-variant: normal; - font-size: medium; -} - -div.plain_layout { - text-align: right; -} - -div.Frameless { - margin: 1em; -} - -div.toc { - margin: 2em 0em; - border-style: solid; - border-width: 2px 0px; - padding: 1em 0em; -} - -h2.tochead { - font-size: x-large; - font-weight: bold; -} - -div.lyxtoc-0 { - margin: 2em 0em 0em 0em; - font-size: xx-large; - font-weight: bold; -} - -div.lyxtoc-1 { - margin: 1em 0em 0em 0em; - font-size: x-large; - font-weight: bold; -} - -div.lyxtoc-2 { - margin: 0em 1em 0em 0.1em; - font-size: large; - font-weight: normal; -} - -div.lyxtoc-3 { - margin: 0em 0.5em 0em 0.1em; - font-size: medium; -} - -div.lyxtoc-4 { - margin: 0em 0.5em 0em 0.1em; -} - -div.lyxtoc-5 { - margin: 0em 0.5em 0em 0.1em; -} - -div.lyxtoc-6 { - margin: 0em 0.5em 0em 0.1em; -} - -a.tocentry { - text-decoration: none; - color: black; -} - -a.tocentry:visited { - color: black; -} - -</style> -</head> -<body> -<h1 class="title"><a id='magicparlabel-1' />אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות -<br /> - -ד"ר אסף חסון, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב</h1> -<div class="author"><a id='magicparlabel-2' />יובל אדם</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-3' /><div class='Frameless'><blockquote class="quote"><a id='magicparlabel-7' /><div class="quote_item">Young man, in mathematics you don't understand things. -<br /> - -You just get used to them.</div> - -<blockquote class="quote"><a id='magicparlabel-8' /><div class="quote_item">- John von Neumann</div> -</blockquote> -</blockquote> -</div></div> - - -<div class='toc'><h2 class='tochead section'>תוכן עניינים</h2> - - -<div class='lyxtoc-1'><div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-10' class='tocentry'>1 פרולוג</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-16' class='tocentry'>2 הגדרות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-42' class='tocentry'>3 תחשיב היחסים</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-76' class='tocentry'>4 קומפקטיות ומסננים</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-97' class='tocentry'>5 מסננים והלמה של צורן</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-117' class='tocentry'>6 מכפלות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-138' class='tocentry'>7 משפט Los והוכחת קומפקטיות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-164' class='tocentry'>8 עקביות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-190' class='tocentry'>9 מערכות היסק ויכיחות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-227' class='tocentry'>10 מערכות היסק - המשך</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-247' class='tocentry'>11 מכונות טיורינג</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-279' class='tocentry'>12 מכונות טיורינג - המשך</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-340' class='tocentry'>13 פונקציות חשיבות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-369' class='tocentry'>14 פונקציות חשיבות - המשך</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-731' class='tocentry'>15 הצפנות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-779' class='tocentry'>16 חשיבות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-815' class='tocentry'>17 מניה רקורסיבית</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-841' class='tocentry'>18 פונקציות יציגות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-889' class='tocentry'>19 פונקציות יציגות</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-922' class='tocentry'>20 הוכחת משפטי אי השלמות של גדל</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-959' class='tocentry'>21 תורת רקורסיה</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-997' class='tocentry'>22 תורת רקורסיה - המשך</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-1025' class='tocentry'>23 תורת רקורסיה - המשך</a> -</div> - -<div class='lyxtoc-2'><a href='#magicparlabel-1047' class='tocentry'>24 תורת רקורסיה - המשך</a> -</div> -</div> -</div> - -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-10' /><span class="section_label">1</span> פרולוג</h2> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-11' /><li class="itemize_item">מספור הקטעים תואם למספור ההרצאות. (נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ להבין מה זה אומר על פרק זה...)</li> -<li class="itemize_item">נא להתחשב בסביבה. נא להדפיס מסמך זה רק אם הדבר הכרחי, ורק את טווח העמודים הנדרש.</li> -<li class="itemize_item">תודה לצביקה סקופינסקי על סיכומים של חלק מהשיעורים.</li> -<li class="itemize_item">הערות/טענות/בקשות - כתובת המייל שלי היא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mi>u</mi><mi>v</mi><mn>.</mn><mi>a</mi><mi>d</mi><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math> ולאחר מכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>l</mi><mn>.</mn><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">שאו ברכה, עלו והצליחו.</li> -</ul> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-16' /><span class="section_label">2</span> הגדרות</h2> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-17' /><li class="itemize_item">יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מבנה לשפה מסדר ראשון <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> השמה ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> שם עצם. אז הערך של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> עבור ההשמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> הוא:</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> משתנה אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> , ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> כנ"ל ותהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> אז ערך האמת של (TRUE או FALSE) של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> עבור ההשמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> מוגדר באינדוקציה באופן הבא: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-22' /><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה אטומית, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עבור הסימן יחס n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> ושמות עצם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אזי <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>.</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> עבור נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>A</mi><mi>L</mi><mi>S</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -<li class="itemize_item">באופן דומה עבור יתר הקשרים הלוגיים</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (כלומר הנוסחה היא מסוג "קיים איקס" וההמשך הוא נוסחה קטנה יותר) אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>a</mi><mo> ∈ </mo><mi>M</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> הינה ההשמה אשר נותנת לכל משתנה אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> שאינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> את הערך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ולמשתנה האישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> את הערך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> (כלומר רק מחליפה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math>). הגדרה שקולה: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mi>a</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כאשר נגדיר שרירותית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo><</mo><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>a</mi><mo> ∈ </mo><mi>M</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>הגדרה שקולה: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mi>a</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>. </li> -</ul> -</li></ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-27' />הערות:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-28' /><li class="enumerate_item">בכל שפה לתחשיב פסוקים נניח שיש סימן יחס דו מקומי מיוחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ≈ </mo> - </mrow></math> אשר תמיד מתפרש כיחס השוויון</li> -<li class="enumerate_item">כמוסכמה: אם אומרים ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> שפה לתחשיב הפסוקים בד"כ לא נציין במפורש את סימן השוויון למרות שבמובלת נניח שהוא שם</li> -<li class="enumerate_item">בקורס הזה לא ניתקל בכך, אבל ניתן לעבוד בתחשיב ללא שוויון. יש משפטים שיותר קל להוכיח בתחשיב שכזה. בכל מקרה, תמיד אפשר לעבור בין תחשיב עם שוויון לתחשיב ללא שוויון וחזרה.</li> -</ol> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-31' /><li class="itemize_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> שפה לתחשיב הפסוקים ותהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת נוסחאות ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> (לאו דווקא סופית). נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה (satisfiable) אם קיים מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> וקיימת השמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>. נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> (לפעמים נשמיט את ההשמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> מן הסימונים). דוגמאות: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-32' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo>{<mi>R</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ¬ </mi><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo> - </mrow> - </mrow></math> זו קבוצת פסוקים ספיקה כי לכל גרף <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> (לא מכוון) נגדיר מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> באופן הבא: העולם של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יהיה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>G</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (קבוצת הקודקודים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>) והיחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> יהיה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>E</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>G</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (קבוצת הקשתות). </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo>{<mo> ≈ </mo>} - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>4</mn> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo> ⋁ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ספיקה כי כל קבוצה בת פחות מ-4 איברים מספקת אותה. </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo>{<mo><</mo>} - </mrow> - </mrow></math> ו- <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>D</mi><mi>L</mi><mi>O</mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> → </mo><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo><</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> ∧ </mo><mi>y</mi><mo><</mo><mi>z</mi><mo> → </mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi> - <mrow> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - </mrow><mi>y</mi><mo> → </mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> ∨ </mo><mi>y</mi><mo><</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mi> ∃ </mi><mi>z</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> → </mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi><mo> ≤ </mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true' lspace='thinmathspace'>}</mo> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> אשר הינו dense linear order אז מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>Q</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>D</mi><mi>L</mi><mi>O</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -</ul> -</li><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> כנ"ל ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מודל של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">תורה זו קבוצה ספיקה של פסוקים.</li> -<li class="itemize_item">פסוק בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> זו נוסחה ללא משתנים חופשיים</li> -<li class="itemize_item">המשתנים החופשיים בשם עצם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math>, נסמנם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>t</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>, הם אוסף כל המשתנים המופיעים ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math>. - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-39' /><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה אטומית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi> □ </mi> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> (קשר לוגי דו מקומי כלשהו) אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∪ </mo><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi> - <mrow> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - </mrow><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> \ </mi> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> אחרת.</li> -</ul> -</li></ul> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-42' /><span class="section_label">3</span> תחשיב היחסים</h2> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-43' /><li class="itemize_item">לפסוק (שאין לו משתנים חופשיים פר הגדרה) יש ערך אמת ברגע שנקבע המבנה, ללא כל תלות בהשמה</li> -<li class="itemize_item">נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> תקרא <u>אמיתית לוגית </u>אם לכל מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> (לשפה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math>) ולכל השמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math>. - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-45' /><li class="itemize_item">דוגמה: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow></math> סימן יחס חד-מקומי אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית. מדוע? יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>מבנה עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>P</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> השמה עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mo> ∨ </mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mo> ∨ </mo> - </mrow> - </msub><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mo> ∨ </mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>Q</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>Q</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> . </li> -<li class="itemize_item">דוגמה: נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נוסחה עם משתנה חופשי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> קבוע אישי שאינו מופיע ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>c</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית (אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>c</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית - ייתכן שזה לא נדרש).</li> -<li class="itemize_item">דוגמה: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - אז לפי הגדרת האמת ולפי הדוגמה הראשונה זהו פסוק אמיתי לוגית. מדוע זו אינה טאוטולוגיה? באינדוקציה על היצירה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> (הטאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים) מראים: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-48' /><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo><mi> ¬ </mi> - <msup> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> ¬ </mi> - <msup> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi> □ </mi> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עבור קשר לוגי דו מקומי אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> □ </mi> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -<li class="itemize_item">אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לפי משפט הקריאה היחידה אינו מהצורה א' או ב' לכן אם הוא מתקבל ע"י החלפה כנ"ל מפסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> של תחשיב הפסוקים, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> הוא בהכרח פסוק יסודי. אבל פסוק יסודי (משתנה פסוקי) אינו טאוטולוגיה.</li> -</ul> -</li></ul> -</li><li class="itemize_item">טאוטולוגיה (הגדרה שקולה לשאלה 5): נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math>היא טאוטולוגיה של תחשיב היחסים אם קיימת טאוטולוגיה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> של תחשיב הפסוקים (הסימון הזה אומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> הם כל המשתנים הפסוקיים המופיעים ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math>) (למשל: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>p</mi><mo> ∨ </mo><mi>q</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi>p</mi><mo> ∧ </mo><mi> ¬ </mi><mi>q</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>) ונוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> (של תחשיב היחסים) כך ש- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מתקבלת ע"י החלפת כל מופע של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">משפט הקריאה היחידה: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה בתחשיב היחסים, אזי בדיוק אחד מן הבאים מתקיים: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-53' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה אטומית</li> -<li class="itemize_item">קיימות נוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> יחידות וקשר לוגי דו מקומי יחיד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> □ </mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi> □ </mi> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">קיימת נוסחה יחידה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ¬ </mi> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">קיימת נוסחה יחידה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">קיימת נוסחה יחידה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> </li> -</ul> -</li><li class="itemize_item">תרגיל לחשוב עליו בבית: ניתן לכתוב תוכנית מחשב (בשפת התכנות החביבה עליכם) שבהינתן נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> בתחשיב הפסוקים בודקת האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> טאוטולוגיה של תחשיב היחסים.</li> -<li class="itemize_item">(רמז) בהינתן נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> של תחשיב הפסוקים יש אלגוריתם הקובע האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> טאוטולוגיה.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-60' />דברים שצריך בשביל העבודה:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-61' /><li class="itemize_item">(שאלה 4) תהיינה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>,</mo><mo> Δ </mo> - </mrow> - </mrow></math> קבוצות פסוקים. נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Δ </mo> - </mrow> - </mrow></math> (גורר) אם לכל מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> ולכל השמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> מתקיים: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Δ </mo> - </mrow> - </mrow></math>. - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-62' /><li class="itemize_item">דוגמה: אם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow></math> יש רק טאוטולוגיות/נוסחאות אמיתיות לוגיות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Δ </mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>. </li> -<li class="itemize_item">ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow></math> כנ"ל אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Δ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> יש רק נוסחאות אמיתיות לוגיות.</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> אינה ספיקה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Δ </mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow></math> (באופן ריק).</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית. הכיוון השני גם נכון.</li> -</ul> -</li><li class="itemize_item">(שאלה 1) אפשר לחשוב על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> כעל מבנה לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>R</mi>} - </mrow> - </mrow></math> עבור יחס דו מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> גרף סופי קיים פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> בשפה הנ"ל כך שלכל מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> בשפה , אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mover accent='false'><mo>=</mo> - <msub><mrow /> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - </msub></mover><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> .</li> -<li class="itemize_item">תזכורת: יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> מבנים לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> של תחשיב היחסים. נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mover accent='false'><mo>=</mo> - <msub><mrow /> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - </msub></mover> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> (איזומורפיים) אם קיימת פונקציה חח"ע ועל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-68' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> לכל קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">לכל סימן יחס n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mtd> - <mtd><mo> ∈ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -<li class="itemize_item">לכל סימן פונקציה n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -</ul> -</li></ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-71' />הכנה לשיעור הבא:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-72' /><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת נוסחאות ספיקה ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ספיקה</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ∪ </mo>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> ספיקה</li> -<li class="itemize_item">אם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> יש פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> שאינו ספיק אז בוודאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> אינה ספיקה</li> -<li class="itemize_item">משפט הקומפקטיות: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת פסוקים סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow></math> (כלומר אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>) אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה אם ורק אם כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ספיקה.</li> -</ul> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-76' /><span class="section_label">4</span> קומפקטיות ומסננים</h2> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-77' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -<u><b>משפט הקומפקטיות</b></u>: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת פסוקים סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow></math> (כלומר אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>) אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה אם ורק אם כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ספיק.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-78' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת פסוקים אזי קיימת קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-79' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ≡ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> כלומר כל מודל של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> הוא מודל של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> ולהיפך</li> -</ol> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-81' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> קבוצת הפסוקים המתקבלת מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> באופן הבא: לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>k</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> , ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> יהיה הפסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>. נשים לב ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow></math>. מדוע? יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> לפי ההגדרה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> יש מספרים טבעיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ופסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> כך ש- <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mstyle> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> ו- <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mstyle> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow> - </msubsup><mo> Θ </mo> - </mrow> - </mstyle><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <msub> - <mrow><mo> Θ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <msubsup> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>i</mi><mo>></mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>מכיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Θ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> גמרנו. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> היא המועמדת שלנו לספק את הטענה ונותר להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ≡ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. מספיק להראות שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ונניח כמו קודם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mstyle> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> כלשהו.</div> -<div class="proof_item">אזי:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> מתקיים אמ"ם לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math>. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-83' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> נקראת ספיקה מקומית אם כל תת קבוצה סופית שלה היא ספיקה.</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-84' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -(משפט הקומפקטיות - נוסח שקול) קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> היא ספיקה מקומית אם ורק אם היא ספיקה.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-85' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נוכיח שמשפט הקומפקטיות גורר את הנוסח הזה. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת פסוקים ספיקה מקומית. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> כמובטח בטענה, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≡ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow></math>. מספיק להראות לפי משפט הקומפקטיות שכל פסוק ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> הוא ספיק. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> . לפי ההנחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה מקומית. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> קבוצת פסוקים ספיקה. לכן יש מודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math> לפי מה שהראנו בהוכחת הטענה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סגורה תחת חיתוך וכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ספיק. לפי משפט הקומפקטיות עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ≡ </mo> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -<div class="proof_item">נוכיח את הכיוון השני (שהנוסח הזה גורר את משפט הקומפקטיות). נניח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> מקיימת את ההנחות כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∧ </mo> - </mrow></math> וכל פסוק בה ספיק. יספיק להראות בעזרת הנוסח השקול ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה מקומית. נוכיח באינדוקציה על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> שכל קבוצת פסוקים מגודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> היא ספיקה. עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> - נתון. נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub>}<mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> והראנו עבור כל קבוצת פסוקים מגודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> שהיא ספיקה. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> סגורה תחת חיתוך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Δ </mo><mo>=</mo>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> היא קבוצה בגודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> ולכן לפי הנחת האינדוקציה היא ספיקה. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Δ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≥ </mo><mn>3</mn> - </mrow> - </mrow></math> וכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> . אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> כנדרש. כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה מקומית וע"ס הנוסח השקול - ספיקה.</div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-87' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה (בד"כ אינסופית אבל לא בהכרח). מסנן (filter) על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> זו קבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>I</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (כלומר אוסף של תת קבוצות של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math>) כך שמתקיים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-88' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo> ∩ </mo> - <msup> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> </li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-91' />אם בנוסף לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>J</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> - אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> נקרא על מסנן.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-92' />דוגמאות:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-93' /><li class="itemize_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה כלשהי. לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> נגדיר על מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> באופן הבא: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi>J</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אמ"ם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo><mi>J</mi> - </mrow> - </mrow></math> .(הערה: על מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> נקרא ראשי אם קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>).</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> סופית אז כל על מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> הוא ראשי. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math>. כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> סופית גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> סופית ולכן באינדוקציה לפי 3: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo>{<mo> ⋂ </mo><mi>J</mi><mo>:</mo><mi>J</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יחידון - גמרנו. נניח בשלילה שזה לא המקרה. אחרת יש 2 איברים שונים ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (לפחות). ניקח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>J</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> שמכילה את הראשון אבל לא את השני. לא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow></math> ולא המשלים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow></math> יכולים להיות ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> כי כל קבוצה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> מכילה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>J</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. </li> -<li class="itemize_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה אינסופית. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>=</mo>{<mi>U</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi><mo>:</mo><mo>|</mo><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>U</mi><mo>|</mo><mo><</mo> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>f</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>i</mi><mi>t</mi><mi>e</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow></math>. תרגיל: זהו מסנן שאינו על מסנן. </li> -</ul> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-96' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה לא ריקה. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> אזי קיים על מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. במילים אחרות כל מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> ניתן להרחבה לעל מסנן. (הוכחה בשיעור הבא).</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-97' /><span class="section_label">5</span> מסננים והלמה של צורן</h2> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-98' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה (לא ריקה) אז <b>מסנן</b> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> זה אוסף של תת קבוצות של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> כך ש:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-99' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ⊆ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> </li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-102' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> הוא על-מסנן אם לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>V</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> .</div> -</div> - -<div class="lemma"><a id='magicparlabel-103' /><div class="lemma_item"><span class="lemma_label">למה #.</span> -<u>הלמה של צורן</u> - תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>I</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> קבוצה סדורה חלקית. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> תקרא שרשרת אם לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ≤ </mo> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ≤ </mo> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אז נניח שלכל שרשרת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> יש חסם מלעיל, כלומר קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>w</mi><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>w</mi><mo> ≥ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> (כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>w</mi><mo> ≥ </mo><mi>v</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>v</mi><mo> ∈ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math>). אזי ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>I</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> יש איבר מירבי, כלומר קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>u</mi><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>u</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi>v</mi><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>u</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ≤ </mo><mi>v</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-104' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה לא ריקה ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math>. אזי קיים על-מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ⊆ </mo><mi>U</mi> - </mrow> - </mrow></math>. במילים אחרות, כל מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> ניתן להרחבה לעל-מסנן.</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-105' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math> קבוצת כל המסננים על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math>. לאינטואיציה: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>I</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo>(</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>I</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>I</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math> אפשר להגדיר סדר חלקי ע"י הכלה. כלומר, ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ≤ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אם לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אפשר לכתוב גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. נרצה להשתמש בלמה של צורן, לכן עלינו להראות שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> שרשרת אז ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow></math> יש חסם מלעיל ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mo> ⋃ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mstyle><mo>=</mo>{<mi>U</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi><mo>:</mo><mi>U</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi><mo>,</mo><mspace width="6px" /><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>r</mi><mspace width="6px" /><mi>s</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>F</mi><mo> ∈ </mo><mi>V</mi>} - </mrow> - </mrow></math>. נראה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא מסנן. </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-106' /><li class="enumerate_item">ברור כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">נניח ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. קיימים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow></math> שרשרת, ב.ה.כ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> . לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכן גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ⊆ </mo><mi>W</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז לפי הגדרה קיים איזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ∈ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>W</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>W</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-109' />הראנו שלכל שרשרת ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math> יש חסם מלעיל, כי ברור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ∈ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> חסם מלעיל ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow></math>. לפי הלמה של צורן, ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math> יש איבר מירבי, נסמנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. נראה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> על מסנן. נניח בשלילה שהוא לא. כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> הוא מסנן ולכן הנחת השלילה מבטיחה שיש קבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>U</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. נשים לב כי במקרה זה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo> ∪ </mo>{<mi>W</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi><mo>:</mo><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo><mi>W</mi><mo>,</mo><mspace width="6px" /><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>r</mi><mspace width="6px" /><mi>s</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>V</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle>} - </mrow> - </mrow></math> הוא מסנן וזאת תהיה סתירה למירביות של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. מדוע <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא מסנן? </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-110' /><li class="enumerate_item">נוכיח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> הרי שהיא מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. אבל אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>U</mi> - </mrow> - </mrow></math> ואז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>U</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> בסתירה.</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> סגורה כלפי מעלה מעצם הגדרתה. </li> -<li class="enumerate_item">נראה כי אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. ב.ה.כ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo><mi>U</mi> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mi>V</mi><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow></math> הזו. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> וכך גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אחרת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> . ואז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. קיבלנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>U</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> סתירה. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> על מסנן. </li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-113' />(הרחבה) אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אוסף המסננים המכילים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>. באופן טריויאלי לכל שרשרת ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יש חסם מלעיל ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'> - <msub> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mstyle> - </mrow></math>(כי כל שרשרת כזו היא שרשרת של איברים שגדולים מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> ולכן אם יש לה חסם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math> הרי שהוא חסם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>מקיימת את הלמה של צורן, לכן יש איבר מירבי גם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>H</mi> - </mstyle> - </mrow></math>וראינו שאלו על מסננים.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-114' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -לכל קבוצה אינסופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> יש על מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> כך שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>|</mo><mi>I</mi><mi> \ </mi><mi>U</mi><mo>|</mo><mo><</mo> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-115' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -<u>מכפלות</u>: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>קבוצה לא ריקה כלשהי ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> זה אוסף כל הפונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mo> Γ </mo><mo> → </mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המקיימות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. הערה: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>=</mo>{<mn>1</mn><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>n</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>=</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-116' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -<u>אקסיומת הבחירה</u>: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>לא ריקה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>.</div> -</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-117' /><span class="section_label">6</span> מכפלות</h2> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-118' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -<u>מכפלות</u>: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצה לא ריקה כלשהי ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אוסף של קבוצות לא ריקות. אז המכפלה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> זה אוסף כל הפונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mo> Γ </mo><mo> → </mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המקיימות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. הערה: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>=</mo>{<mn>1</mn><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>n</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>=</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>.</div> -<div class="definition_item">דוגמה: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>זה פשוט אוסף כל הפונקציות מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-120' /> </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-121' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>לא ריקה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>=</mo><mo> ∏ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> עבור על מסנן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-122' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -בסימונים של ההגדרה האחרונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא יחס שקילות. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-123' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-124' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo>=</mo><mo> Γ </mo><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-125' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo>=</mo>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>U</mi> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> וגם <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>V</mi> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mi>V</mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>U</mi><mo> ∩ </mo><mi>V</mi><mo> ⊆ </mo>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</li></ol> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-127' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצה לא ריקה ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מבנה לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על מסנן (לא ראשי) על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> אז העל מכפלה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ביחס ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> שתסומן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'> - <mrow><mi>M</mi><mo>=</mo> - </mrow> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>/</mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> היא המבנה המוגדר כלהלן: </div> -</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-128' /><li class="enumerate_item">העולם של העל מכפלה הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>/</mo> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> על המכפלה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">לכל קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>c</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> נפרש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow></math> מחלקת השקילות של הסדרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ביחס ל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">לכל סימן יחס n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> . נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> . </li> -<li class="enumerate_item">לכל סימן פונקציה n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>)</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> . הערה: הנ"ל מוגדר היטב. כלומר אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>d</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><munder accent='false'> - <munder> - <mrow> - <mrow><munder accent='false'> - <munder> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow></munder><mo> ∩ </mo><munder accent='false'> - <munder> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>d</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow></munder> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow></munder> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo> ⊆ </mo> - </mtd> - <mtd><munder accent='false'> - <munder> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>d</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow></munder> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>d</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mi>d</mi> - </mrow> - </mrow></math> וזאת בדיוק ההגדרה. </li> -</ol> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-132' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>/</mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נוסחה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> השמה ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. אזי מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם לכל השמות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> (עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> השמה ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>) כך ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>s</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-133' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -באינדוקציה על יצירת הנוסחאות. נתחיל משמות עצם:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-134' /><li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לשם נוחות נקבע השמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mi>s</mi> - </mrow> - </mrow></math>. כלומר לכל משתנה אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> משתנה אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow></munder><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>F</mi> - <msup><mrow /> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>עתה נתחיל בהוכחה עבור נוסחאות:</li> -</ul> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-137' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה אטומית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז אם ורק אם <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> אם ורק אם לפי מה שהראנו עבור שמות עצם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן, <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo> ∈ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> וזה מה שהיינו צריכים .</li> -</ol> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-138' /><span class="section_label">7</span> משפט Los והוכחת קומפקטיות</h2> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-139' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -<u>משפט Los</u> תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> שפה לתחשיב הפסוקים, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצה לא ריקה, לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> השמה עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo>/</mo><mi>F</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נוסחה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math>אם ורק אם לכל השמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> המקיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo> ∈ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> (כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זה הקואורדינטה ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow></math> של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>). </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-140' />תזכורת: כיצד מגדירין ("לכבוד פסח" - א. חסון, חג שמח) מבנה לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mo>(</mo> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo>/</mo><mi>F</mi><mo>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>?</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-141' /><li class="itemize_item">עבור קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> פשוט לוקחים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">עבור סימן יחס n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> נקבע ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אם קיימים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo> ∈ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -<li class="itemize_item">עבור סימן פונקציה n-מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם קיימים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo> ∈ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-144' /><u>תרגיל:</u></div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-145' /><li class="enumerate_item">להוכיח כי זה מוגדר היטב, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> היא אכן פונקציה. ז"א עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow></math> יחיד כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-147' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -ראשית נראה: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> שם עצם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow> - </mrow></math> השמות כבניסוח המשפט אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> באינדוקציה על יציאת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math>.</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-148' /><li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> משתנה אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-151' />הוכחנו עבור שמות עצם. כעת נוכיח את המשפט באינדוקציה על יצירת הנוסחה.</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-152' /><li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה אטומית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> אם ורק אם קיימים נציגים ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נסמנם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. את מי נבחר כנציגים? לפי מה שהראנו עבור שמות עצם אפשר לבחור את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> בתור נציגים לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math>. ז"א <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo>(</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup>} - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> (וזה בדיוק מה שמשפט Los אומר).</li> -<li class="itemize_item">עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>A</mi><mi>L</mi><mi>S</mi><mi>E</mi>} - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>} - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> וזה מתקיים אם ורק אם <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>F</mi><mi>A</mi><mi>L</mi><mi>S</mi><mi>E</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>F</mi><mi>A</mi><mi>L</mi><mi>S</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>.</li> -<li class="itemize_item">המקרים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi> □ </mi> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> דומים מאוד (משתמשים בתכונות של על מסנן).</li> -<li class="itemize_item">נותר המקרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (המקרה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math> נובע מהמקרה הנ"ל וממה שעבר עשינו ע"י השקילות הלוגית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>). - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-156' /><li class="itemize_item">כיוון אחד: נניח כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ז"א שקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נוסיף לשפה קבוע אישי חדש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> ונרשום <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>c</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> הנוסחה המתקבלת מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math>ע"י החלפת של מופע חופשי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> בנוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> . נרחב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>למבנה לשפה המועשרת ע"י כך שנגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math>. אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>c</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אז לפי הנחת האינדוקציה: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>c</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>c</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mo> ⇒ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mi>V</mi><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>R</mi><mi>U</mi><mi>E</mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> </li> -<li class="itemize_item">כיוון שני: נניח כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נגדיר איבר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> באופן הבא: לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> שמעיד על כך. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> שרירותי. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo><mi>a</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> . מההנחה שלנו <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow>{<mi> γ </mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo> ∈ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> γ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mfrac linethickeness='0'> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </mfrac><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>. </li> -</ul> -</li></ul> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-158' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> לא ריקה ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>מבנים לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>, אזי לכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>/</mo><mi>F</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-159' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -<u>משפט הקומפקטיות</u>: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצה פסוקים בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. נניח שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> קיים מודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה כלומר קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-160' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> נבחר מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>P</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo> Γ </mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> הקבוצה המקיימת קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>כך ש: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>V</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi>}<mo> ⊆ </mo><mi>V</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-161' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מסנן על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> .</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-162' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> מהנחתנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi>} - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. ברור ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> סגורה כלפי מעלה. נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>v</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אזי קיימים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub>}<mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> וזה גורר..... <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>V</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-163' />יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> על מסנן שמרחיב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> . לפי המסקנה מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub><mo>)</mo> - </mrow> - </mstyle><mo>/</mo><mi>F</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi>}<mo> ∈ </mo><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אבל מהגדרת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> הקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi> γ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi>}<mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ולכן ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>. מש"ל.</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-164' /><span class="section_label">8</span> עקביות</h2> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-165' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> קס"ח, אזי קיים יחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow></math> (דו-מקומי) כך ש-</div> -</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-166' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> יחס סדר קווי - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-167' /><li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo> ∈ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ≤ </mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-168' />במילים אחרות, קיים סדר קווי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow></math> שמרחיב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow></math>.</div> -</li></ol> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-169' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -<u>הערה:</u> המשפט עבור קבוצה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow></math> איננו קשה. ההוכחה באינדוקציה על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>|</mo><mi>P</mi><mo>|</mo> - </mrow> - </mrow></math>. עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>|</mo><mi>P</mi><mo>|</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> אין מה להוכיח. נניח שהוכחנו עבור כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow></math> עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>|</mo><mi>P</mi><mo>|</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> ונוכיח עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>: תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> קס"ח עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> איברים. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow></math> סופית יש לה איבר מינימלי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>Q</mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mi> \ </mi>{<mi>a</mi>} - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>Q</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> קס"ח עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> איברים ולפי הנחת האינדוקציה יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> סדר קווי על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>Q</mi> - </mrow></math> שמרחיב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>Q</mi> - </mrow></math>. עתה לא קשה לבדוק שאם נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo> ∈ </mo><mi>Q</mi> - </mrow> - </mrow></math> נקבל את המבוקש.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-170' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(מקרה כללי) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> שפה לתחשיב היחסים שבה:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-171' /><li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ∈ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math> יש קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">יחס דו מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math></li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-173' /><u>בלבד.</u> נגדיר קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> באופן הבא:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-174' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi>q</mi><mo> ∈ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> יחס סדר קווי</li> -<li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo> ∈ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ≤ </mo><mi>q</mi> - </mrow> - </mrow></math> אזי יהיה פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-177' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ספיקה (מקומית).</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-178' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -ממשפט הקומפקטיות יספיק להוכיח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ספיקה מקומית. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> סופית. בה"כ האקסיומה (2) "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> יחס סדרי קווי" שייכת ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. בנוסף נשים לב שב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מופיעים רק מספר סופי של קבועים, נאמר: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. נביט בקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo>{ - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub>}<mo> ⊆ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> קס"ח סופית. לכן לפי ההערה יש יחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> שהוא סדר קווי על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> המרחיב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. ברור שאם נפרש את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> כנ"ל ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אז נקבל מודל של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>.</div> -</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-179' />יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>, בפרט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סדר קווי על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> ≤ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המבנה שעולמו הוא הקבועים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> (כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>a</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ∈ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math>). נגדיר יחס סדר חלקי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ≤ </mo><mi>q</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msubsup><mo> ≤ </mo> - <msubsup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo> ∈ </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math> . אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mover accent='false'><mo>=</mo> - <msub><mrow /> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - </msub></mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>N</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> פשוט ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi> - <mrow><mo> mapstochar </mo><mo> → </mo> - </mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>. לכן בה"כ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mo>,</mo><mo> ≤ </mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>N</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. עתה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup><mo>|</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> (צמצום) סדר קווי על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. (לפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>2</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים כי<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> סדר קווי וצמצום של כזה הוא נשאר קווי). כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>3</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ≤ </mo><mi>q</mi> - </mrow> - </mrow></math> אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא אקסיומה ב(3) ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>N</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>R</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-180' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo>{<mi>G</mi>} - </mrow> - </mrow></math> עבור יחס דו מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> התורה שאומרת כי העולם הוא גרף. אזי אין פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> גרף קשיר.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-181' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח בשלילה שיש פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> כזה. נוסיף לשפה קבועים אישיים חדשים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הפסור שאומר שאין מסילה באורך קטן מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> בין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math> נשים לב ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>=</mo>{ - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub>}<mo> ∪ </mo><mi> ψ </mi><mo> ∪ </mo>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> עיקבית מקומית. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> קבוצה סופית של פסוקים מן הקבוצה הנ"ל יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> מירבי כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. ברור שאם נמצא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo><mi> ψ </mi><mo> ∧ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אבל ברור שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> יש גרך המקיים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo><mi> ψ </mi><mo> ∧ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (פחות מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> קודקודים, בפרט אין מסילה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>). ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ספיקה סופית. לפי קומפקטיות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> עקבית. אבל זה לא ייתכן: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> ולכן בין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יש מסילה ובהכרח אורכה סופי, נאמר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. מצד שני <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ולכן אין מסילה באורך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> בין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> וזוהי סתירה להנחת השלילה.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-182' /><u>הערה:</u></div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-183' /><li class="enumerate_item">באופן דומה אפשר להוכיח כי אין פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo>{<mo> ≤ </mo>} - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mo> ≤ </mo>} - </mrow> - </mrow></math> סדר טוב (כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow></math> סדר שווי בלי סדרה אינסופית יורדת). </li> -<li class="enumerate_item">אותה הוכחה בדיוק תעבוד אם ננסה למצוא קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> גרף קשיר/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> סדור היטב (סדר טוב).</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-185' /><u>תזכורת:</u></div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-186' />אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת פסוקים אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם לכל מבנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> .</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-187' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז קיימת קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> סופית כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-188' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נביט בקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ∪ </mo>{<mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> . מהנחתנו קבוצה זו איננה ספיקה. מקומפקטיות יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo><mo> ∪ </mo>{<mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> סופית כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> איננה ספיקה. ברור ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כי אחרת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> עקבית. (אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> איננה עקבית מקומפקטיות יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> שאינה ספיקה ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math>). לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊇ </mo> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi> \ </mi>{<mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> סופית ומקיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (כי אחרת יש מודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> בסתירה לבחירת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>). במילים אחרות ליחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - </mrow></math> יש טבע סופי.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-189' /><u>שאלה מרכזית</u>: בהינתן שפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> וקבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math>, כיצד אפשר לדעת/לבדוק ביחס לפסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> כלשהו האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>? בתור התחלה נשים לב שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז בוודאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. ולכן רצוי שנוכל לענות על השאלה האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>? נניח שהגדרנו מתי קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> היא חשיבה, כלומר ניתן לענות על השאלה מתי פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> שייך ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>. נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת פסוקים חשיבה ונניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> → </mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. באופן כללי יותר אם הראנו למשל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> → </mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> נגררים לוגית ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> אז ניתן להראות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-190' /><span class="section_label">9</span> מערכות היסק ויכיחות</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-191' /><u>בעיה מרכזית:</u> נתונה קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ורוצים לדעת עבור פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-192' />מקרה פרטי: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math>, כלומר רוצים לדעת האם פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית או לא. המקרה הפרטי מנביע את המקרה הכללי. מדוע? בהינתן קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> כלשהו, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math> סופית כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (משפט הקומפקטיות) ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית ואת זה אנחנו יודעים לבדוק.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-193' /><u>שאלה</u>: מתי פסוק הוא אמיתי לוגית?</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-194' /><li class="enumerate_item">אנחנו יודעים שכל טאוטולוגיה היא אמיתית לוגית.</li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית. אפשר לרשום גם: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית.</li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>t</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית לכל שם עצם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math>. אפשר לרשום גם: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>t</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית.</li> -<li class="enumerate_item"><b>אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית. </b>(בכל מערכות ההיסק שנעבוד איתן זה יהיה כלל ההיסק היחיד. זה נקרא <u>כלל הניתוק</u> או Modus Poneus)</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-198' /><u>סימון:</u> בהינתן שפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מסדר ראשון נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>D</mi><mi>e</mi><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אוסף הנוסחאות בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>.</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-199' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -מערכת היסק (לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>) זה זוג סדור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>A</mi> - </mstyle><mo>,</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>I</mi> - </mstyle> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math>כאשר: </div> -</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-200' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>A</mi> - </mstyle><mo> ⊆ </mo><mi>D</mi><mi>e</mi><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (אולי ריקה) שנקראת קבוצת האקסיומות הלוגיות</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>I</mi> - </mstyle><mo> ⊆ </mo> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>><mo> ⋃ </mo> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> זה אוסף הפונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>D</mi><mi>e</mi> - <msup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>D</mi><mi>e</mi><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>I</mi> - </mstyle> - </mrow></math> נקראת אוסף כללי ההיסק.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-202' /><u>הערה:</u> תמיד נדרוש כי:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-203' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>A</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית. במקרה זה נאמר כי האקסיומות הלוגיות <u>תקפות</u>.</li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>I</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub>}<mo> ∈ </mo><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub>} - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. במקרה זה נאמר כי כללי ההיסק <u>נאותים</u>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-205' /><u>סימון</u>: אם נרצה לומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math>מתקבל מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> על ידי אחד מכללי ההיסק נרשום <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mfrac> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mfrac> - </mrow></math> ולא צריך יהיה להסביר באיזה כלל היסק מדובר. </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-206' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -בהינתן מערכת היסק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>A</mi> - </mstyle><mo>,</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>I</mi> - </mstyle> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> וקבוצת נוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> נאמר שנוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> <b>יכיחה</b> (כלומר, ניתנת להוכחה) מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> ,ונסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>, אם קיימת סדרת נוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש:</div> -</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-207' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math> או: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-209' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אקסיומה לוגית. או:</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mo> Γ </mo> - </mrow> - </mrow></math>. או:</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מתקבל מנוסחאות קודמות בסדרה ע"י אחד מכללי ההיסק. במקרה שלנו יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo><</mo><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מתקבל מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ע"י כלל הניתוק.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-212' />הסדרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> המקיימת את התנאים הנ"ל נקראת הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math>.</div> -</li></ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-213' /><u>שאלה:</u> האם קיימת מערכת היסק <u>חשיבה</u> (כלומר שבה אפשר להכריע מתי נוסחה היא אקסיומה לוגית, ומתי נוסחה מתקבלת מנוסחאות קודמות ע"י אחד מכללי ההיסק) כך שכל נוסחה אמיתית לוגית יכיחה (מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ∅ </mi> - </mrow></math>).</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-214' />מעכשיו כל מערכת היסק שנדון בה תכיל את כלל הניתוק ככלל יחיד ואת כל הטאוטולוגיות כאקסיומות לוגיות (אולי גם אקסיומות לוגיות נוספות). </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-215' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> תורה (קבוצת פסוקים ספיקה) כלשהי ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> נוסחה כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo>{<mi> ψ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> ספיקה. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-216' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math> נראה באינדוקציה על אורך ההוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. אם ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> הוכחה באורך 1 אז או ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> אקסיומה לוגית ולכן אמיתי לוגית ולכן מסופק ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>, או ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> ∈ </mo><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math> ובוודאי ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math>). נניח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ואפשר להניח ב.ה.כ ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מתקבל מאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo><</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math> ע"י כלל הניתוק. לפי הנחת האינדוקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. מכיוון שכלל הניתוק הוא נאות, בפרט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub>} - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-217' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -<u>משפט ההיסק: </u>תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> קבוצת נוסחאות ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> נוסחה כלשהי, אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ∪ </mo>{<mi> ψ </mi>}<mo> ⊢ </mo><mi> φ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> → </mo><mi> φ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> φ </mi> - </mrow></math> נוסחה). </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-218' />(ההוכחה היא באינדוקציה על אורך ההוכחה, ונראה זאת עוד מעט).</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-219' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -קבוצת נוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> תקרא עקבית אם היא לא מוכיחה סתירה. (סתירה היא המקבילה של טאוטולוגיה - כלומר הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בסתירה של תחשיב הפסוקים).</div> -</div> - -<div class="remarks"><a id='magicparlabel-220' /><div class="remarks_item"><span class="remarks_label">הערות #.</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Γ </mo> - </mrow></math> אינה עקבית אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-221' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -מהנחתנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊢ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לאיזו סתירה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> → </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> היא טאוטולוגיה (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מתקבלת ע"י הצבה של פסוקים מתחשיב היחסים בפסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Σ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> של תחשיב הפסוקים ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Σ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>P</mi> - </mrow> - </mrow></math> היא טאוטולוגיה של תחשיב הפסוקים). כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊢ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> מכלל הניתוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Γ </mo><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-222' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -(ממשפט ההיסק) לכל תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ולכל נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> או ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> עקבית או ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> עקבית.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-223' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> שתיהן אינן עקביות. לפי ההערה יש סתירה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow><mo> ⊢ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow><mo> ⊢ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> . לפי משפט ההיסק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> . אבל: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> σ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> σ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> σ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זו טאוטולוגיה. שימוש כפול בכלל הניתוק יתן לנו הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>. בסתירה להנחה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ספיקה ולטענה הקודמת.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-224' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -לכל תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> יש קבוצת פסוקים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-225' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> המקיימת לכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> נקראת <u>שלמה</u>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-226' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(של המסקנה) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>T</mi> - </mstyle> - </mrow></math> אוסף כל קבוצות הפסוקים המכילות את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ביחס לסדר ההכלה. קל לבדוק שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> שרשרת עולה של תורות ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>T</mi> - </mstyle> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>T</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. למה? קומפקטיות (צריך לנמק). לכן לפי הלמה של צורן יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>T</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> מירבית. לפי המסקנה הקודמת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> עונה על הדרישות.</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-227' /><span class="section_label">10</span> מערכות היסק - המשך</h2> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-228' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -קבוצת פסוקים עקבית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> היא <b>שלמה</b> אם לכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> או ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> או ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="definition_item">ראינו שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> קבוצת פסוקים עקבית ומירבית כזו ביחס להכלה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שלמה.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-230' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -לכל קבוצת פסוקים עקבית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> יש קבוצת פסוקים שלמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-231' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -הלמה של צורן. כדי להשתמש בלמה של צורן יספיק להראות שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> שרשרת (ביחס להכלה) של קבוצות פסוקים עקביות אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo>=</mo><mo> ⋃ </mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עיקבית. מדוע? אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo> ⊢ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לאיזו סתירה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> אז יש סדרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mover> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> שהיא הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math>. כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא או אקסיומה לוגית או שייך לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> או נובע מאיברים קודמים בסדרה ע"י כלל הניתוק. קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow></math> מירבי כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> כנ"ל או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אקסיומה לוגית או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מתקבל מכלל הניתוק. ז"א ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מתוך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עקבית - סתירה.</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-232' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -קיימת מערכת היסק (שבה כלל הניתוק הוא כלל ההיסק היחיד) וכך שמערכת ההיסק "חשיבה" ומתקיים ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עקבית אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ספיקה.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-233' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -[משפט השלמות] נקבע מערכת היסק כנ"ל. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> קבוצת פסוקים עקבית, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> פסוק כלשהו אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-234' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> הראנו ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (שיעור שעבר). בכיוון השני, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> עקבית. לפי המשפט יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> בסתירה להנחה.</div> -</div> - -<div class="remarks"><a id='magicparlabel-235' /><div class="remarks_item"><span class="remarks_label">הערות #.</span> -המשפט הנ"ל שקול לטענה: קיימת מערכת היסק "חשיבה" כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-236' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח את המשפט ונוכיח את הטענה. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math>מתקיים כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> אמיתי לוגית ומן המסקנה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. בכיוון השני, נניח את הטענה ונוכיח את המשפט. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> תורה עקבית. עלינו להראות (בעזרת הטענה) של<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> יש מודל. נניח שלא. ז"א מקומפקטיות יש תת קבוצה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math> שאין לה מודל. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math>שיקרי לוגית. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אמיתי לוגית. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> איננה עקבית.</div> -</div> - -<div class="remarks"><a id='magicparlabel-237' /><div class="remarks_item"><span class="remarks_label">הערות #.</span> -ממשפט השלמות נובע ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שלמה אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math>. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-238' />דוגמאות לתורות שלמות:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-239' /><li class="enumerate_item">יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מבנה כלשהו לשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. התורה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> היא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo>{<mi> ψ </mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ψ </mi>} - </mrow> - </mrow></math>. מהגדרת האמת, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>T</mi><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ואז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo><mi>T</mi><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -</ol> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-240' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -(לוונהיים-סקולם היורד): יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מבנה אינסופי לשפה (בת מניה) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo><mi>M</mi> - </mrow> - </mrow></math> (בעולם של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow></math>) אזי קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≺ </mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> וכך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>|</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo><mi>A</mi><mo>|</mo><mo>+</mo><mo>|</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo>|</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-241' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> תורה בשפה בת מניה ול<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> יש מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם בעוצמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שלמה (סוג של קריטריון Vaught). </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-242' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח שלא. אזי יש פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi>T</mi><mo> ∪ </mo> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow> - </mrow> - </mrow></math> עקביות. אזי קיימים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. מהמשפט אנחנו יודעים (נשתמש ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>) שיש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo> ≺ </mo> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mo>|</mo> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo>|</mo> - </mrow> - </mrow></math>עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn> - </mrow> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup><mover accent='false'><mo>=</mo> - <msub><mrow /> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - </msub></mover> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>(זאת ההנחה). לפי משפט האיזומורפיזם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi><mo> → </mo> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo> → </mo> - <msubsup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>M</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> - סתירה. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-243' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> - </div> -</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-244' /><li class="enumerate_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo> ≈ </mo> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> התורה בשפה הריקה (ז"א שוויון בלבד) שאומרת שהעולם אינסופי. זו תורה שלמה. </li> -<li class="enumerate_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo>=</mo>{<mo> ≤ </mo>} - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>D</mi><mi>L</mi><mi>O</mi> - </mrow> - </mrow></math> היא התורה של סדר קווי צפוף ללא קצוות. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>D</mi><mi>L</mi><mi>O</mi> - </mrow> - </mrow></math> תורה שלמה. </li> -<li class="enumerate_item">הגרף המקרי (שנתנו אקסיומטיזציה שלו בתרגיל 1 שאלה 2) הוא קטגורי ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (כלומר כל מודל אחר של התורה בעוצמה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> איזומורפי לו) לפי תרגיל 2 שאלה 5. </li> -</ol> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-247' /><span class="section_label">11</span> מכונות טיורינג</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-248' /><u>תזכורת:</u></div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-249' /><li class="itemize_item">תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שלמה אם לכל פסוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> קטגורית ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (כלומר, יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם שעוצמתו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ℵ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>) ול-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> אין מודלים סופיים אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שלמה.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-251' /><u><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow></math> - מחלקת הפונקציות החשיבות:</u></div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-252' /><li class="itemize_item">פונקציות חלקיות (דטרמיניסטיות)</li> -<li class="itemize_item">ניתנות לתיאור סופי</li> -<li class="itemize_item">הקלט הוא מספר טבעי או סדרת סופית של טבעיים</li> -<li class="itemize_item">חלוקה לשלבים, בכל שלב מתבצעת פעולת חישוב אלמנטרית</li> -<li class="itemize_item">כל שלב בחישוב יכול להשתמש בתוצאות חישוב קודמות - "זיכרון"</li> -<li class="itemize_item">זיכרון לא חסום בגודלו, אך בכל שלב בחישוב נעשה שימוש בחלק סופי בלבד של הזכרון</li> -<li class="itemize_item">בכל שלב של החישוב "כמות סופית של אינפורמציה" - מספיקה כדי לתאר את "מצב החישוב"</li> -</ul> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-259' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> א"ב סופי עם תו מיוחד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math>, ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>Q</mi> - </mrow></math> קבוצה סופית (זרה ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>) שנקרא לה "קבוצת המצבים הפנימיים" עם מצב התחלתי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. <b>פקודה</b> זו רביעייה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo><mi>S</mi> - </mrow> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>q</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>Q</mi> - </mrow> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo>{<mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi>}<mo> ∪ </mo><mi>S</mi> - </mrow> - </mrow></math>. <b>מכונת טיורינג</b> זו רביעיה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>M</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>I</mi><mo>,</mo><mi>S</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>Q</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> קבוצה סופית, חסרת סתירות של פקודות. (הערה: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> חסרת סתירות אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mi>q</mi><mi>x</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mi>r</mi><mi>q</mi><mi>y</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> ′ </mi><mi> ′ </mi> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> ′ </mi><mi> ′ </mi> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.)</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-260' />נחשוב בצורה גרפית על מ"ט כעל סרט אינסופי המחולק לאינסוף תאים. בכל תו של הסרט כתובה אחת מאותיות הא"ב כאשר על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math> נחשוב כעל תו המייצג תא ריק. למכונה יש ראש קורא שנמצא תמיד על אחד התאים. הראש הקורא יכול לזהות מהו התו הכתוב בתא בו הוא נמצא. לפי המצב הפנימי של המכונה ולפי הנקרא, יכול הראש הקורא לזוז ימינה ושמאלה תא אחד או לכתוב תו אחר בא"ב באותו התא, ולעבור למצב פנימי חדש. על פקודה נחשב כאומרת: אם הראש הקורא רואה תו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow></math> והמצב הפנימי הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow></math> אז אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo>{<mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi>} - </mrow> - </mrow></math> זוז ימינה או שמאלה תו אחד ועבור למצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo><mi>S</mi> - </mrow> - </mrow></math> כתוב בתא הנוכחי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> ועבור למצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>. לומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> היא סדרת פקודות חסרת סתירה זה פשוט לומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>I</mi> - </mrow></math> היא פונקציה חלקית: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi><mo> × </mo><mi>Q</mi><mo> → </mo><mi>Q</mi><mo> × </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>S</mi><mo> ∪ </mo>{<mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi>} - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-261' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-262' /><li class="enumerate_item"><b>מצב</b> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> של מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שו שלשה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>h</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> כאשר: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-263' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>Z</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> מציין את מיקום הראש הקורא ביחס למיקום ההתחלתי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>q</mi><mo> ∈ </mo><mi>Q</mi> - </mrow> - </mrow></math> המצב הפנימי של המכונה</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>h</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>Z</mi> - </mstyle><mo> → </mo><mi>S</mi> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה המתארת מה כתוב בכל תא של הסרט.</li> -</ol> -</li><li class="enumerate_item">בהינתן מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ומצב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> של המכונה נגדיר את <b>המצב העוקב</b> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> לפי המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> להיות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </msup><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-267' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>h</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ויש פקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mi>q</mi><mi>x</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow></math> הוא אותו מצב פנימי</li> -<li class="enumerate_item">אם (א) מתקיים אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>n</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo><mi>S</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>R</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם (א) מתקיים אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם (א) מתקיים אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>m</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mi>y</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo>{<mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo><mi>S</mi> - </mrow> - </mrow></math> .</li> -</ol> -</li><li class="enumerate_item"><b>ריצה</b> של מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> זו סדרה של מצבים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn> - </mrow> - </mrow></math> המקיימת: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-272' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msup> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>></mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</li><li class="enumerate_item">ריצה של מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> נקראת <b>סופית</b> (או מסתיימת) אם היא מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>M</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> אינו מוגדר.</li> -</ol> -<div class="definition_item"> </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-276' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -בהינתן מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ומספר טבעי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> נגדיר פונקציה (חלקית) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> באופן הבא: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>q</mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> , והסרט נראה כך: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mn>...</mn><mi>B</mi><mi>B</mi><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>1...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></munder><mi>B</mi><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>1...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></munder><mi>B</mi><mn>...</mn><mi>B</mi><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>1...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></munder><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם ריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עם המצב ההתחלתי הנ"ח מסתיימת (אחרת לא מוגדר) ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> היא מספר האחדות על הסרט בתום הריצה.</div> -</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-277' /> </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-278' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> נקראת <b>חשיבה ע"י מ"ט </b>אם קיימת מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo><mi>f</mi> - </mrow> - </mrow></math>, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> מוגדרת בדיוק באותו התחום בו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> מוגדרת ובכל מקום שהן מוגדרות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-279' /><span class="section_label">12</span> מכונות טיורינג - המשך</h2> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-280' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> נקראת <b>חשיבה</b> (ע"י מכונת טיורינג) אם קיימת מכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> הריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> על סרט מהצורה <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mn>...</mn><mi>B</mi><mi>B</mi><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>1...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></munder><mi>B</mi><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>1...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></munder><mi>B</mi><mn>...</mn><mi>B</mi><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>1...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></munder><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd><mrow/> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> מסתיימת אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מוגדר ובמקרה זה מספר האחדות על הסרט בתום הריצה הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="definition_item"><u>תזכורת</u>: סימנו, בהינתן מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> את הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> להיות הפונקציה שעבור קלט כנ"ל מחזירה את מספר האחדות בריצה סופית של המכונה (על הקלט).</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-282' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -לכל מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> יש מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> כך ש:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-283' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">בא"ב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> יש שני תווים מיוחדים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך שבכל ריצה מסתיימת של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> (על קלט תקני) הסרט לאחר הריצה נראה כך: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>...</mn><mi>B</mi><mi>B</mi><mi>S</mi><mn>111...1</mn><mi>E</mi><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">המכונה מעולם לא עברה במהלך הריצה את התא המסומן ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> שמאלה</li> -<li class="enumerate_item">פרט ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> יש רק את התווים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>1</mn><mo>,</mo><mi>B</mi>} - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-287' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-288' /><li class="enumerate_item"> </li> -<li class="enumerate_item">לכל מצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>q</mi><mo> ∈ </mo><mi>Q</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יהיה במכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> מצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>. כל פקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mi>q</mi><mi>x</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>I</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נחליף בפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mi>x</mi><mo>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - <msup> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. נוסיף ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> את הפקודות הבאות: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-290' /><li class="itemize_item">כותב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> משמאל לקלט וחוזר ימינה - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-291' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi>S</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ul> -</li><li class="itemize_item">מטפל בהגעה לסוף הקלט, כותב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> וחוזר להתחלה - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-296' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub><mi>R</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>4</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>4</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - </msub><mi>E</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>*</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow></math> זה או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math>)</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msub><mi>R</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="itemize_item">שלב הסריקה - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-302' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub><mi>R</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>4</mn> - </mrow> - </msub><mi>R</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ul> -</li></ul> -</li></ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-304' />נותר להבטיח שכל האחדות צמודות ושהמכונה יודעת מה לעשות במקרה שהיא נתקלת ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> או ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> בשלב הריצה. נטפל קודם בחלק השני, לכל מצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> נוסיף פקודות:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-305' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mi>B</mi> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mi>L</mi> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mi>S</mi> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi> - <mover> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mi>R</mi> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">באופן אנלוגי מטפלים ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math></li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-310' />נטפל כעט בלהבטיח שכל האחדות צמודות. נניח שכל ריצה מסתיימת של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> מסתיימת במצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow></math> (שאינו מופיע במהלך הריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>). נוסיף פקודות:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-311' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>*</mo> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover><mi>R</mi> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> (כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow></math> הינו כל תו שאינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math>)</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>E</mi> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>*</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mi>E</mi> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> (כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow></math> הינו כל תו שאינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math> ואינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>)</li> -<li class="itemize_item">נטפל במקרה שראינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>אחרי שמחקנו את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math>: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-316' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mi>E</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>E</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msubsup><mi>L</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup><mi>S</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> - מצב סופי</li> -</ul> -</li><li class="itemize_item">וגם: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-320' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mi>E</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow> - </msubsup><mi>L</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>*</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow> - </msubsup><mn>1</mn> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> (כאשר<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow></math>- כל תו שאינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math>)</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow> - </msubsup><mn>1</mn> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msubsup><mi>L</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> </li> -</ul> -</li></ul> -</li><li class="enumerate_item">הטיפול דומה לזה של הסעיף הקודם, פרט לטיפול במה קורה כאשר פוגשים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>. כל פעם שהמכונה פוגשת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> היא תיכנס ל"תת מכונה" שמזיזה את כל הסרט שעד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> ימינה בתו אחד, כותבת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math> במקום הראשון שמימין ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> וחוזרת לריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>. הדבר היחיד שצריך להשתכנע: יש מכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi><mi>h</mi> - </mrow> - </mrow></math> שבהינתן קלט מן הצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>...</mn><mi>B</mi><mi>B</mi><mi>S</mi><mn>...</mn><mi>E</mi><mi>B</mi><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn> - </mrow> - </mrow></math> מעתיקה את כל הקלט בהזזה של תא אחד ימינה. נוסיף לא"ב שלנו תו מיוחד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> , המכונה תרוץ באופן הבא: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-326' /><li class="enumerate_item">תסרוק עד שתגיע ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item">לכל תו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow></math> בא"ב המקורי (כלומר שאינו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>) יהיה מצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. סדרת הפקודות: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-328' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> α </mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - </msub> - <msup> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mi> α </mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> </li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-331' />מעתיקה את התו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow></math> תו אחד מימין למקומו המקורי. צריך טיפול נפרד בתווים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow></math> אבל אין בעיה.</div> -</li></ol> -</li><li class="enumerate_item">אם בא"ב שלנו יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> תווים נבנה מכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> שבה התו ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> בא"ב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ייוצג ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>-יה של תאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>11...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder><mi>i</mi></munder><munder accent='false'> - <munder> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi> - </mrow></munder> - </mrow> - </mrow></math> . קל לבדוק שכל פקודה מהצורה "זוז ימינה" או "זוז שמאלה" ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ניתן לתרגם בקלות לפקודה "זוז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> תווים ימינה/שמאלה" ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>. פקודה מהצורה "כתוב את התו ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> בא"ב בתא הנוכחי" תתרגם לסדרה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> פקודות כתיבה "כתוב במקום ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>-יה שאתה נמצא בתחילתה את ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>-יה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><munder accent='false'> - <munder> - <mrow><mn>11...1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder><mi>i</mi></munder><munder accent='false'> - <munder> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi> - </mrow></munder> - </mrow> - </mrow></math>. כנ"ל לגבי הקריאה. לא קשה לבדוק: אם נייצג את התו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math> בא"ב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><munder accent='false'> - <mrow><mn>1</mn> - <munder> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mi>B</mi><mn>...</mn><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">⏟</mo> - </munder> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow></munder> - </mrow></math>אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. </li> -</ol> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-333' />מעכשיו נניח שכל מכונת טיורינג שנעבוד איתה מקיימת את התנאים 2,3,4 . לפי 1 אם מה שמעניין אותנו זה מחלקת הפונקציות הניתנות לחישוב ע"י מכונת טיורינג הרי שהנחה זו אינה משנה את המחלקה. בנוסף נניח שלכל מכונת טיורינג יש מצב מסיים יחיד שאינו מופיע במהלך הריצה. עוד אפשר להניח שבסיום הריצה הראש הקורא נמצא תו אחד מימין ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>.</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-334' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -נניח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> חשיבות טיורינג אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo> ○ </mo><mi>g</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה טיורינג.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-335' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -תהינה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מכונות כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo><mi>f</mi> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo><mi>g</mi> - </mrow> - </mrow></math> . לכל מצב פנימי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> במכונה החדשה יהיה מצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>. אז המכונה של ההרכבה תהיה:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-336' /><li class="enumerate_item">רשימת הפקודות של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">מוחקים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>, וכותבים במקומו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math>, מוחקים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math>, חוזר להתחלה ועובר למצב פנימי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">רשימת הפקודות של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עם השינוי שכל פקודה מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>*</mo><mi>q</mi><mo> ★ </mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> משתנה לפקודה מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>*</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo> ★ </mo> - <msubsup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-339' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -משפחת הפונקציות החשיבות טיורינג סגורה תחת אופרטור "מיזער": <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>a</mi> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo>*</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>e</mi><mi>d</mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כאשר * הינו תנאי שנגדיר בשיעור הבא....</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-340' /><span class="section_label">13</span> פונקציות חשיבות</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-341' />ראינו שהפונקציות הבאות חשיבות טיורינג:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-342' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math> - הפונקציה הקבועה 1</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow></math> - הפונקציה הקבועה 0</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> - חיבור</li> -<li class="itemize_item">קל לוודא ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo><</mo><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה טיורינג (לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>) </li> -<li class="itemize_item">מה לגבי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ⋅ </mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>? קודם כל יש לוודא שיש מכונה שבהינתן קלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> מעתיקה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> בסוף הקלט. גם כפל פונקציה חשיבה - תרגיל קל.</li> -<li class="itemize_item">מה לגבי הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mn>1</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mn>0</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math>? גם הפונקציה הזו חשיבה (מוחקים כל פעם תו מתחילת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> ומסוף <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math>...)</li> -<li class="itemize_item">ראינו גם: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> חשיבות טיורינג אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo> ○ </mo><mi>g</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה טיורינג.</li> -</ul> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-349' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה טיורינג אם <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> וכל אחת מהפונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה טיורינג.</div> -<div class="definition_item">ברור שזה לא מספיק כדי לתאר את כל הפונקציות החשיבות טיורינג משום שכל הפונקציות המתקבלות מן הרשימה הנ"ל על ידי מספר סופי של הרכבות הן פונקציות שלמות. כלומר מוגדרות על כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> מתאים. לא קשה להשתכנע שיש פונקציות חשיבות טיורינג שאינן שלמות, למשל: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mspace width="6px" /><mi>B</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mspace width="6px" /><mo>*</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi>L</mi> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> (מכונה שלא עוצרת על חלק מהקלטים - על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow></math> במקרה הזה). </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-351' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה כלשהי. נגדיר <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>t</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> ∧ </mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>z</mi><mo><</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>e</mi><mi>d</mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> אזי אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> חשיבה טיורינג גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow></math> חשיבה טיורינג. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow></math> נקרא אופרטור ה"מיזער".</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-352' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(רעיון) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> מכונת טיורינג המחשבת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> (כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo><mi>g</mi> - </mrow> - </mrow></math>). "מטה רעיון" - נריץ את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אם המכונה לא עוצרת זה אומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> לא מוגדרת ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> ולכן גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא מוגדרת כנדרש. אם הריצה מסתיימת נבדוק האם היא הסתיימה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow></math>. אם כן, נחזיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow></math> ואז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> כנדרש. אם לא, נחזור על אותה פעולה עם הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> וכו'. אם המכונה הנ"ל תעצור אי פעם, זה יהיה הטבעי הקטן ביותר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> עבורו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>, בפרט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מוגדרת לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo><</mo><mi>t</mi> - </mrow> - </mrow></math>. מתי הריצה לא מסתיימת? בדיוק אם אחד מהבאים מתקיים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-353' /><li class="enumerate_item">קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא מוגדר ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo><</mo><mi>t</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">הסעיף הקודם לא מתקיים ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>t</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>></mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math>. ואילו במקומות בהם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow></math> לא מוגדרת כך שקיבלנו שיוויון.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-355' />ביתר פירוט: נבנה מכונה הפועלת באופן הבא. המכונה מסמנת את סוף הקלט ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>. בשלב הראשון המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> תעתיק את הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מימין ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> ותוסיף <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow></math> בהתחלה. בשלב הבא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> תחקה את הריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כאשר היא מקפידה (וזה הרי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עושה ממילא) לא לזוז משמאל ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>. אם השלב הזה בריצה הסתיים במקום כלשהו על הסרט מימין ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> יהיה כתוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> (כי כך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עובדת). אם בין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> לא מופיע התו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math>, אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> תחזור עד להתחלת הקלט של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> (משמאל ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math>) תמחק את כל הקלט ותעצור. אם בין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> מופיע התו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math> המכונה תחזור לתחילת הקלט של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>, תכתוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math> לפני ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math> הראשון ותתחיל מההתחלה. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-356' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> תיקרא חשיבה/רקורסיבית אם היא מתקבלת מן הפונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo> ⋅ </mo><mi>y</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn>} - </mrow> - </mrow></math> על ידי מספר סופי של הרכבות והפעלה של האופרטור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. במילים אחרות, משפחת הפונקציות החשיבות זו המשפחה/אוסף הקטנ/ה ביותר של פונקציות מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> שמכיל/ה את הפונקציות הנ"ל וסגור/ה תחת הרכבה והאופרטור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-357' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה אם ורק אם היא חשיבה טיורינג.</div> -<div class="theorem_item">הוכחנו שכל פונקציה חשיבה היא חשיבה טיורינג. <u>תרגיל:</u> הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi> - <mrow><mo> mapstochar </mo><mo> → </mo> - </mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא חשיבה טיורינג. הוכח שהפונקציה חשיבה. שאלה כמעט זהה: מדוע הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>n</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>m</mi><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mn>0</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mspace width="6px" /><mi>o</mi><mi>r</mi><mspace width="6px" /><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה?</div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-359' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> זו הפונקציה המוגדרת על ידי <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mn>1</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mn>0</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> נקראת <b>הפונקציה המציינת</b> של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>.</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-360' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -יחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> נקרא <b>חשיב</b> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> פונקציה חשיבה.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-361' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -משפחת היחסים החשיבים סגורה תחת פעולות בוליאניות, כלומר תחת איחודים, חיתוכים והשלמה.</div> -</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-362' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> - </div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-363' /><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> חשיבה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>,</mo><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ∩ </mo><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ∪ </mo><mi>B</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> או לפי דה-מורגן.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-366' />יוצא, למשל, כי היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo> ≤ </mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיב. זה פשוט איחוד היחסים החשיבים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-367' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(הגדרה לפי מקרים): תהיינה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> פונקציות חשיבות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math>-מקומיות, ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> זרות וחשיבות, כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. אזי הפונקציה <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mi>⋮ - </mi> - </mtd> - <mtd> - <mi>⋮ - </mi> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> חשיבה. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-368' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ∑ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> וזו פונקציה חשיבה כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> חשיבות, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> חשיבות והחיבור והכפל חשיבים.</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-369' /><span class="section_label">14</span> פונקציות חשיבות - המשך</h2> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-370' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> יחס חשיב, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> מקומי. נגדיר אופרטור: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>t</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>t</mi><mo><</mo><mi>z</mi><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>t</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mi>z</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-371' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> יחס חשיב אז הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≡ </mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-372' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -פשוט לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים [אבל צריך מעט להיזהר כי מה הם המקרים?]. לחילופין אפשר נשים לב ש-<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo>=</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo>=</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow></math>, וברור שזו פונקציה חשיבה. נשים לב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> תמיד מוגדרת, כלומר פונקציה שלמה. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-373' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> יחס חשיב אז היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≡ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> הוא חשיב.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-374' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo><mi>B</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>. לכן זו פשוט הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ולפי הטענה האחרונה זו פונקציה חשיבה. מדוע <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>? כיוון ששתי הפונקציות מקבלות רק ערכים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> יספיק להראות שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> . לפי הגדרה <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mn>1</mn> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>h</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-375' />במילים אחרות המסקנה אומרת שמשפחת היחסים החשיבים סגורה תחת כימות חסום. <u>הערה חשובה מאוד</u>: משפחת היחסים החשיבים איננה סגורה תחת כימות (שאינו חסום). </div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-376' /><u>מטרה:</u> לבנות פונקציה חשיבה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל סדרה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow> - </mrow></math> של מספרים טבעיים קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> (קוד הסדרה) המקיים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-377' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">(מסיבות טכניות נרצה גם) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo><</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> .</li> -</ol> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-380' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(טענת עזר 1) קיימת פונקציה חשיבה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> שהיא חח"ע ועל. [יהיה שימושי לשים לב ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow></math> שנמצא מקיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≥ </mo><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi>{<mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi>} - </mrow> - </mrow></math>]. </div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-381' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יהיה המקום של הזוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> במספור הזוגות:</div> -<div class="proof_item"> - - - - - -<table><tbody><tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-530' /><b>0</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-533' /><b>1</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-536' /><b>2</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-539' /><b>3</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-542' /><b>4</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-545' /><b>5</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-548' /><b>6</b></div> -</td> -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-551' /><b>0</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-554' />0</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-557' />1</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-560' />3</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-563' />6</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-566' />10</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-569' />15</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-572' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-575' /><b>1</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-578' />2</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-581' />4</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-584' />7</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-587' />11</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-590' />16</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-593' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-596' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mi>⋮ - </mi> - </mrow></math></div> -</td> -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-599' /><b>2</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-602' />5</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-605' />8</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-608' />12</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-611' />17</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-614' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-617' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mi>⋮ - </mi> - </mrow></math></div> -</td> - - - -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-623' /><b>3</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-626' />9</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-629' />13</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-632' />18</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-635' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-638' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mi>⋮ - </mi> - </mrow></math></div> -</td> - - - - - - -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-647' /><b>4</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-650' />14</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-653' />19</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-656' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-659' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mi>⋮ - </mi> - </mrow></math></div> -</td> - - - - - - - - - -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-671' /><b>5</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-674' />20</div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-677' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-680' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mi>⋮ - </mi> - </mrow></math></div> -</td> - - - - - - - - - - - - -</tr> -<tr><td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-695' /><b>6</b></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-698' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ↙ </mo> - </mrow></math></div> -</td> - -<td align='center' valign='top'><div class="plain_layout"><a id='magicparlabel-701' /><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mi>⋮ - </mi> - </mrow></math></div> -</td> - - - - - - - - - - - - - - - -</tr></tbody> -</table> -</div> -<div class="proof_item">לא קשה לבדוק שהפונקציה הזאת היא פשוט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mfrac> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </mfrac><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לפי התיאור הזה ברור ש:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-718' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה</li> -<li class="enumerate_item">מקיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≥ </mo><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≥ </mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item">לפי התיאור הגרפי היא חח"ע ועל (הוכחה יותר אלגברית - מכירים ממבוא ללוגיקה).</li> -</ol> -</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-721' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-722' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(טענת עזר 2 - משפט השאריות הסיני) יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מספרים טבעיים זרים בזוגות. יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מספרים טבעיים כלשהם (בד"כ מניחים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo><</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אבל זה לא חשוב). אזי קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≡ </mo> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> . </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-723' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -ניקח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ∏ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mstyle> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo><</mo><mi>d</mi> - </mrow> - </mrow></math> נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>b</mi><mspace width="6px" /><mi>m</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mspace width="6px" /> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>b</mi><mspace width="6px" /><mi>m</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mspace width="6px" /> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow> - </mrow></math>. יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow></math> n-יות כאלה. לכן אם נראה שההעתקה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi> - <mrow><mo> mapstochar </mo><mo> → </mo> - </mrow> - <mover> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> חח"ע אזי היא בהכרח על (כהעתקה בין שתי קבוצות מגודל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow></math>). נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo> ≡ </mo> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math>, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>-</mo> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo> ≡ </mo> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>, בפרט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>|</mo> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>-</mo> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> (בה"כ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>></mo> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>) לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>-</mo> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מחלק את המכפלה המשותפת הקטנה ביותר של ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. כיוון שה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> זרים בזוגות המכפלה המשותפת הקטנה ביותר היא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>d</mi> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>-</mo> - <msub> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo><</mo><mi>d</mi> - </mrow> - </mrow></math> וזו סתירה. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-724' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(טענת עזר 3) לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המספרים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo> ⋅ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>זרים בזוגות. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-725' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח בשלילה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> ראשוני מחלק את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ומחלק את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>></mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo>|</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>j</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> . כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> ראשוני הוא מחלק או את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow></math> או את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow> - </mrow></math>. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mi>j</mi><mo><</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> בהכרח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> מחלק את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> אמור לחלק את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> וזה לא ייתכן. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-726' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>e</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>e</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא השארית של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> בחלוקה ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. אזי:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-727' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה. מדוע? יספיק להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>e</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>e</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>|</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>-</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> והיחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>|</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> הוא חשיב, למשל ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mo><</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo> ⋅ </mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">לכל סדרה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> של טבעיים יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. מדוע? נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>></mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> כלשהו ונבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>!</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לפי טענת עזר 3 קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">(טכני) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≤ </mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -</ol> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-730' />הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> המבוקשת תהיה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>b</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. הדבר היחיד שנותר לוודא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> הן פונקציות חשיבות. </div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-731' /><span class="section_label">15</span> הצפנות</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-732' /><u>חזרה:</u> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יחס חשיב אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יחס חשיב. <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>t</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>t</mi><mo>,</mo><mspace width="6px" /><mi>t</mi><mo><</mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mi>z</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> פונקציה שלמה. הפונקציה גם חשיבה כי היא שווה ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo><mi>C</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-733' />נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> מצפינה סדרות סופיות אם לכל סדרה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-734' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><munder accent='false'> - <mrow><mo> mapstochar </mo><mo> → </mo> - </mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow></munder> - <mfrac> - <mrow> - <mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - <msup> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup><mo>+</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </mfrac><mo>+</mo><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math> היא חח"ע ועל מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-735' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-736' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> זרים בזוגות ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> טבעיים יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≡ </mo> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-737' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-738' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המספרים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>n</mi><mo>!</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>n</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זרים בזוגות.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-739' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-740' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>g</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>e</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מקיימת:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-741' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> γ </mi> - </mrow></math> חשיבה</li> -<li class="enumerate_item">לכל סדרה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> קיימים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≤ </mo><mi>z</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-744' />לגבי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow></math> ניקח את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi>{ - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>n</mi> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo><</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math> וניקח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>!</mo> - </mrow> - </mrow></math> . לפי טענה 3 מתקיים כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זרים בזוגות. לפי הטענה השניה יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> שעונה על הדרישה. ביתר דיוק, יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>z</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≡ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אבל בעצם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>e</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo><</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-745' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-746' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא פונקצית זיווג חשיבה כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> . </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-747' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -מטענה 4 ברור כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מצפינה סדרות סופיות. בהינתן סדרה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> טענה 4 סעיף (2) מבטיחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נחליף את הסדרה בסדרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math>, נמצא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כמובטח ונגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> γ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. נשאר רק לוודא ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> β </mi> - </mrow></math> חשיבה. מספיק לוודא ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא חשיבה ומלאה/שלמה. הפונקציה שלמה כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow></math> היא על. הפונקציה חשיבה פשוט כי <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> Π </mo> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo><</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-748' />מעתה ועד עולם נקבע פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> β </mi> - </mrow></math> כנ"ל.</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-749' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין סדרה סופית אם אין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo><</mo><mi>x</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-750' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין סדרה סופית" הוא חשיב. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-751' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msup> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo><</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo><mo>=</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> .</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-752' />מטרתנו, כזכור, להוכיח שבהינתן מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> חשיבה. נקבע אחת ולתמיד מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ונראה כיצד למצוא פונקציה חשיבה שזהה ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math>. נזדקק להרבה טענות עזר. כיוון שאנחנו מעוניינים רק ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> ולא במכונה עצמה אז אפשר לשנות את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> איך שנרצה כל עוד לא נשנה את הפונקציה שהיא מחשבת. לכן, בה"כ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> מכונת טיורניג תקנית:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-753' /><li class="enumerate_item">הא"ב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כולל רק את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>1</mn><mo>,</mo><mi>B</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ונק' ההתחלה והסיום <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>S</mi><mo>,</mo><mi>E</mi>} - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">למכונה יש מצב פנימי יחיד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow></math> שכל ריצה מסתיימת מסתיימת בו, ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow></math> אינו מופיע במהלך הריצה.</li> -<li class="enumerate_item">בתום הריצה הראש הקורא נמצא על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> ובין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math> יש רק אחדות. </li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-756' />מכיוון שמספר המצבים הפנימיים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> סופי לא יזיק להניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>1</mn><mo>,</mo><mi>B</mi>} - </mrow> - </mrow></math> מיוצגים ע"י המספרים הטבעיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn>} - </mrow> - </mrow></math> בהתאמה ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>S</mi><mo>,</mo><mi>E</mi>} - </mrow> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn>} - </mrow> - </mrow></math> בהתאמה והמצבים הפנימיים מיוצגים ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>4</mn><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>k</mi>} - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מיוצג ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>4</mn> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow><mo stretchy="true">ˆ</mo> - </mover> - </mrow></math> מיוצג ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math>. </div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-757' />כזכור, מצב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> זו שלשה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>h</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> המיקום של הראש ביחס ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> שמיקומו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow></math> המצב הפנימי, ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>h</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>Z</mi> - </mstyle><mo> → </mo>{<mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn>} - </mrow> - </mrow></math> מתארת את התאים במכונה. כמובן יספיק להניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow></math> מתארת רק את המספר הסופי של התאים שבין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math>. אפשר לתאר מצב ע"י סדרה מהצורה הבאה:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mspace width="6px" /> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mn>3</mn> - </mrow> - </mrow></math> ולכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo><</mo><mi>i</mi><mo><</mo><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo>{<mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn>} - </mrow> - </mrow></math>. </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-758' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(1) היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב של המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" חשיב. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-759' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -היחס יתואר ע"י חיתוך של הדרישות הבאות:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-760' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - היחס האומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין סדרה.</li> -<li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo>{<mn>0</mn><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>k</mi>} - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>3</mn> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יחיד כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo>{<mn>4</mn><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>k</mi>} - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-764' />כיוון שכל אלה חשיבים - גמרנו.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-765' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(2) היחסים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>, "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב התחלתי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>", "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב סופי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" - כולם חשיבים.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-766' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זה חיתוך של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עם הדרישה הנוספת ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>2</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>4</mn> - </mrow> - </mrow></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כנ"ל עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>2</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-767' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(3) היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> מייצגים מצבים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> המצב העוקב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> לפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" הוא יחס חשיב.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-768' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -זה כמובן חיתוך של התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עם התנאי הנוסף ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> המצב העוקב ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math>. לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ∈ </mo><mi>I</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (לכל פקודה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>) נגדיר יחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> מצבים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> עוקב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> לפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> ובפרט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצב רלוונטי לפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math>. "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצב רלוונטי לפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> " זה פשוט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> וגם אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>></mo><mn>3</mn> - </mrow> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>></mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> פקודה מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>*</mo><mo>*</mo> - </mrow> - </mrow></math>. במילים אחרות אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> היא הרביעייה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi> α </mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> רלוונטי ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> α </mi><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>q</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נסמן זאת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> עוקב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> לפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math> זה לומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עכשיו מתחלק לפי מהות הפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math>. נטפל למשל במקרה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi> α </mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo>{<mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn>} - </mrow> - </mrow></math>. מתי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> יתקבל מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> ע"י הפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow></math>? אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow> - </mrow></math>. פשוט צריך לדרוש:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-769' /><li class="enumerate_item">נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> להיות ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> היחיד כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo>{<mn>4</mn><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>k</mi>} - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">נדרוש ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi> α </mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ובכל מקרה אחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>j</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>j</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-771' />הטיפול בפקודות של תזוזה הוא דומה. זה מקרה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה. לומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> עוקב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> זה פשוט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mo> ⋁ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>p</mi><mo> ∈ </mo><mi>I</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> . </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-772' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(4) היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מקודד ריצה מסתיימת של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" הוא חשיב.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-773' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-774' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין סדרה.</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>S</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כלומר האיבר הראשון בסדרה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין הוא מצב התחלתי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - האיבר האחרון בסדרה הוא מצב סופי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo><</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כלומר כל איבר בסדרה הוא מצב עוקב של המצב המוצפן ע"י האיבר הקודם לו.</li> -</ol> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-778' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(5) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> זו הפונקציה שמחזירה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב סופי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> הפלט של המכונה במצב זה. 0 אחרת. זו פונקציה חשיבה: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>-</mo><mn>3</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> .</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-779' /><span class="section_label">16</span> חשיבות</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-780' />היינו בעיצומה של ההוכחה שכל פונקציה חשיבה טיורינג היא חשיבה.</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-781' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(1) היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב של המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" חשיב. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-782' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-783' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(2) היחסים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>, "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב התחלתי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>", "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב סופי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" - כולם חשיבים.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-784' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-785' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(3) היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> מייצגים מצבים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> המצב העוקב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> לפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" הוא יחס חשיב.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-786' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-787' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(4) היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> האומר "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מקודד ריצה מסתיימת של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>" הוא חשיב.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-788' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-789' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(5) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> זו הפונקציה שמחזירה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצפין מצב סופי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> הפלט של המכונה במצב זה. 0 אחרת. זו פונקציה חשיבה: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⋅ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>-</mo><mn>3</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> . נדרוש ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> אחרת.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-790' /> </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-791' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -היחס "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מקודד מצב התחלתי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שבו הקלט הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>" הוא יחס חשיב. נסמן זאת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-792' />כדי להוכיח את המשפט עלינו להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה חשיבה. נגדיר פונקציה חשיבה באופן הבא: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - האיבר הראשון בסדרה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מקודד, וכאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זה ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> המזערי עבורו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>. </div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-793' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ובפרט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> מוגדרת אם ורק אם ריצת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-794' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -ראשית נבדוק שתחומי ההגדרה של שתי הפונקציות זהים. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עוצרת על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - כלומר קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> המקודד ריצה מסתיימת של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> המתחילה בקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אם נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הקטן ביותר המקיים זאת אז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> כי לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo><</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo> ⋅ </mo> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> מוגדר ולכן מהגדרת האופרטור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math>, ואז <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mover accent='false'><mo>=</mo> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi> - </mrow></mover> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> אינה עוצרת על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לעולם אינו מוגדר ולכן הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ρ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אינה מוגדרת.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-795' />עד עכשיו קודדנו מצבים וריצות של מכונות טיורינג, אבל אין סיבה לא לקודד גם את המכונות עצמן. מכיוון שאנחנו מתעניינים רק בפונקציות החשיבות (טיורינג) ולא במכונות עצמן, אפשר לזהות מכונת טיורינג עם רשימת הפקודות שלה. ומכיוון שהא"ב סופי ורשימת הפקודות סופית (וכבר זיהינו את הא"ב עם המספרים הטבעיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mn>0..</mn><mi>k</mi>} - </mrow> - </mrow></math>). אם רק נוסיף לזיהוי הזה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> כפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> ואת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>2</mn> - </mrow> - </mrow></math> כפקודה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow></math> נוכל לקודד את המכונה על ידי מספר טבעי. נקבע פעם אחת ולתמיד קידוד של כל מכונת טיורינג, ולמכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow></math> את הקוד של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> הוא קוד של מ"ט נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> את המכונה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> מקודד. יהיה נוח להניח שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אינו מקודד מ"ט אז נחליט ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>e</mi> - </mrow> - </mrow></math> מקודד את המכונה שאינה עוצרת על אף קלט.</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-796' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -לא קיימת פונקציה חשיבה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mn>1</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mspace width="6px" /><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>o</mi><mi>n</mi><mspace width="6px" /><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>p</mi><mi>u</mi><mi>t</mi><mspace width="6px" /><mn>0</mn> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mn>0</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-797' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> כנ"ל. נגדיר פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ע"י <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mn>0</mn> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>מההנחה (ומהמשפט האחרון, ומהמשפט על ההגדרה לפי מקרים) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> פונקציה חשיבה (ואפילו שלמה), ומקודדת, נאמר ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. אז: מצד אחד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ומצד שני <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-798' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המוגדר ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mspace width="6px" /><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>s</mi> - </mrow> - </mrow></math> אינו יחס חשיב. מצד שני <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> הנ"ל היא תחום של מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>. הרעיון? המכונה מריצה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ומחזירה את התשובה, אם היא אי פעם מתקבלת. ביתר פירוט, ניקח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle> - </mrow></math> מ"ט אוניברסלית ונשים לב ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>e</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> בתחום של המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-799' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> תיקרא אוניברסלית אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> (ובפרט אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> לא עוצרת על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא מוגדרת).</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-800' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -קיימת מכונת טיורינג אוניברסלית.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-801' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -הרעיון פשוט, ההוכחה מייגעת, ע"י תיאור המכונה. דרך אחרת: בעזרת פונקציות חשיבות. נגדיר את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> באופן הבא. נגדיר את היחסים הבאים:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-802' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> הוא קוד.</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> θ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> הוא קוד של מכונת טיורינג. כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מקודד סדרה סופית של רביעיות של מספרים טבעיים. כל רביעייה היא פקודה ובין הפקודות אין סתירות. </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> קוד של מכונת טיורינג ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מצב קוד של מצב פנימי של המכונה המקודדת על ידי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math>. </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> קוד של מ"ט, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> קודים של המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> הוא העוקב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> לפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math>. </li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-806' />ההמשך זהה בדיוק להוכחת משפט השקילות.</div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-807' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -קבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> תקרא ניתנת למניה חשיבה (נל"ח או נל"ר - ניתנת למניה רקורסיבית) אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> היא התחום של פונקציה חשיבה. </div> -<div class="definition_item">ראינו שקיימות קבוצות נל"ח שאינן חשיבות.</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-809' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -התנאים הבאים שקולים לקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-810' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> נל"ח (תחום של פונקציה חשיבה)</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> היא התמונה של פונקציה חשיבה </li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> היא התמונה של פונקציה חשיבה מלאה</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> היא מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo> - </mrow></math> לאיזה יחס חשיב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> היא מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>}</mo> - </mrow></math>לאיזה יחס חשיב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-815' /><span class="section_label">17</span> מניה רקורסיבית</h2> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-816' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ∅ </mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אזי התנאים הבאים שקולים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-817' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> נל"ח</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> הטווח של פונקציה חשיבה</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> הטווח של פונקציה מלאה</li> -<li class="enumerate_item">קיים יחס חשיב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>=</mo>{<mi>x</mi><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">כנ"ל עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>=</mo>{<mi>x</mi><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-822' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> - </div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-823' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>1</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>2</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מ"ט המחשבת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אפשר לבחור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נגדיר פונקציה חשיבה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> באופן הבא: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub><mspace width="6px" /><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>o</mi><mi>n</mi><mspace width="6px" /><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mspace width="6px" /><mi>a</mi><mi>f</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mspace width="6px" /><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>s</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mspace width="6px" /><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mspace width="6px" /><mi>s</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>p</mi><mi>s</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mi>a</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math>נסמן את התנאי הנ"ל ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow></math>. אנחנו יודעים ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow></math> הוא יחס חשיב לכן גם המשלים חשיב. לכן לפי המשפט על הגדרה לפי מקרים גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> חשיבה. נראה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> עונה על דרישותינו - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז או ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> ואז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> . או ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. אבל אז זה אומר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עוצרת על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow></math> אחרי פחות מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> צעדים. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo><mi>f</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם אגף שמאל מוגדר גם אגף ימין מוגדר, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math>. בכיוון השני, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עוצרת על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>l</mi> - </mrow></math> אחרי איזה מספר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> של צעדים. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ולפי הגדרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>l</mi> - </mrow> - </mrow></math>, כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo><mi>R</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>g</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נשים לב: הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> שלמה.</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>2</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>3</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - מוכיחים באותו אופן. בוחרים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> ומגדירים:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub><mspace width="6px" /><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>o</mi><mi>n</mi><mspace width="6px" /><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mspace width="6px" /><mi>a</mi><mi>f</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mspace width="6px" /><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>s</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mspace width="6px" /><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mspace width="6px" /><mi>s</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>p</mi><mi>s</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mi>a</mi> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>3</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>4</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה (ושלמה) אז היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיב. לכן, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo> ∈ </mo><mi>R</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>e</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>4</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>5</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - אין מה להוכיח (מקרה פרטי). </li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>4</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>1</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - פשוט: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - </msub><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>5</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>4</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>=</mo>{<mi>x</mi><mo>:</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow></math> אז נגדיר יחס <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mi>z</mi><mspace width="6px" /><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>a</mi><mspace width="6px" /><mi>s</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>e</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>o</mi><mi>f</mi><mspace width="6px" /><mi>l</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>h</mi><mspace width="6px" /><mi>k</mi><mspace width="6px" /><mo> ∧ </mo><mi>B</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi> β </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -</ul> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-829' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -(משפט הרקורסיה) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה חשיבה. אזי קיימת מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-830' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -קיימת מכונת טיורינג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כל שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <msub> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>w</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> היא המכונה אשר על הקלט הריק כותבת את המספר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. (ההוכחה - בתרגיל הבית).</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-831' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> תהיה הרכבה של 3 מכונות: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi> - </mrow> - </mrow></math> (מפעילים קודם את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> אח"כ את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math> אח"כ את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow></math>). המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow></math> תחזיר את הפלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>. מה עושה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow></math> על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>? היא כותבת את הקוד של המכונה שכותבת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> [מטענת העזר] ואחריו את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>. מה יהיה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>? <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>. יוצא ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>B</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>A</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>B</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>C</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אבל זה בדיוק מה שהיינו צריכים. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-832' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -(משפט נקודת השבת) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה חשיבה ושלמה. אזי קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-833' /> </div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-834' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -(משפט Rice) נגדיר יחס שקילות של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∼ </mo> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> . תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∼ </mo><mi>e</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> חשיבה אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-835' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח בשלילה שלא. אז יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נגדיר פונקציה חשיבה: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>{</mo> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mi>n</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה ושלמה. לכן ממשפט נקודת השבת יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math> כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow></math>. אבל אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math>. באותו אופן בדיוק גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>L</mi> - </mrow> - </mrow></math> גורר סתירה. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-836' /><u>דוגמה:</u> בעיית העצירה אינה חשיבה. אין מכונת טיורינג המחליטה האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> קוד של מכונה שעוצרת על הקלט הריק. במילים אחרות <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>L</mi> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow>{<mi>e</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo>:</mo><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>a</mi><mspace width="6px" /><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>w</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mspace width="6px" /><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>o</mi><mi>n</mi><mspace width="6px" /><mi>e</mi><mi>m</mi><mi>p</mi><mi>t</mi><mi>y</mi><mspace width="6px" /><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>p</mi><mi>u</mi><mi>t</mi>} - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> אינה חשיבה. ברור ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> סגורה תחת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow></math>. לפי משפט רייס כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>L</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (יש מ"ט שעוצרת על כל קלט ובפרט על הקלט הריק) וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mi> \ </mi><mi>L</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math> (יש מכונות שלא עוצרות על שום קלט). לכן לפי משפט רייס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow></math> אינה חשיבה.</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-837' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(משפט נקודת השבת) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מ"ט אוניברסלית ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow></math> מ"ט. לכן יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>U</mi> - </mstyle><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>C</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>T</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi>T</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="remarks"><a id='magicparlabel-838' /><div class="remarks_item"><span class="remarks_label">הערות #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-839' /><li class="enumerate_item">קבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה היא נל"ח</li> -<li class="enumerate_item">קבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח היא חשיבה אם ורק אם גם המשלים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> נל"ח. <u>הוכחה</u>: אם גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mi> \ </mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח אז יש מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> שמחשבות את איבריהן. אפשר להניח שהן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> והן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> פונקציות שלמות. לכל מספר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> נתחיל לחשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>1</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>2</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn> - </mrow> - </mrow></math> ובמקביל את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>1</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>2</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn> - </mrow> - </mrow></math> (אפשר לסירוגין). המכונה תעצור ברגע שיתקבל פלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mi> \ </mi><mi>A</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>. בכל מקרה אחרי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>2</mn><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math> חישובים המכונה שלנו תיעצר. אם היא עצרה על הריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> אחרת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -</ol> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-841' /><span class="section_label">18</span> פונקציות יציגות</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-842' /><u>תרגיל:</u> תהיינה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח אז:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-843' /><li class="enumerate_item">גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח</li> -<li class="enumerate_item">גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> ∩ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח</li> -<li class="enumerate_item">יש דרך אחת סבירה להגדיר מתי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח ואז הטלה של קבוצה נל"ח היא נל"ח</li> -</ol> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-846' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי שפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> חשיבה. <u>מספור גדל</u> של הנוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>זו פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המוגדרת באינדוקציה באופן הבא:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-847' /><li class="enumerate_item">שם עצם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יקודד ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item">קבוע אישי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יקודד ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item">שם עצם מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יקודד ע"י <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>7</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <mi>⋯ - </mi><mo> ⋅ </mo> - <msubsup> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -<li class="enumerate_item">נוסחה מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יקודד ע"י <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>4</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>7</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <mi>⋯ - </mi><mo> ⋅ </mo> - <msubsup> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></li> -<li class="enumerate_item">נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> תקודד ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo> → </mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> תקודד ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>6</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> תקודד ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mn>7</mn> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msup><mo> ⋅ </mo> - <msup> - <mrow><mn>5</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> (הכמת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ∀ </mi> - </mrow></math> בדומה)</li> -</ol> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-854' /> </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-855' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-856' /><li class="enumerate_item">תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> היא <u>כריעה</u> אם הקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> חשיבה.</li> -<li class="enumerate_item">תורה היא חשיבה אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo><mi>T</mi>} - </mrow> - </mrow></math> חשיבה.</li> -</ol> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-858' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-859' /><li class="enumerate_item">מספור גדל הוא חח"ע (באינדוקציה על יצירת הנוסחה)</li> -<li class="enumerate_item">בהינתן שפה חשיבה (או סופית) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> היחס "<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> מקודד נוסחה בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math>" הוא חשיב.</li> -</ol> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-861' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(רעיון כללי) נשים לב (קל לראות באינדוקציה) שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> נוסחה באורך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>></mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>. בנוסף, אם ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מופיע סימן פונקציה, סימן יחס, קבוע אישי או משתנה עם אינדקס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>></mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז (באינדוקציה) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>></mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="proof_item">לכן השאלה האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> מספר גדל של נוסחה שקולה לשאלה האם קיימת נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> באורך קטן-שווה ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>, שכל הסימנים הלא-לוגיים המופיעים בה הם עם אינדקס קטן או שווה ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. ומספר גדל של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. </div> -<div class="proof_item">אבל קבוצת הנוסחאות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מאורך קטן-שווה ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> , שכל הסימנים בה עם אינדקס קטן-שווה ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> היא סופית, כלומר זהו כימות חסום. לכן מספיק לבדוק שהפונקציה ששולחת נוסחה למספר גדל שלה היא חשיבה טיורינג. (זה עסק מייגע, אבל לא קשה.)</div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-864' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-865' /><li class="enumerate_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> , נאמר שתורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> בשפה המרחיבה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>s</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math> מייצגת (חלש) את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> אם קיימת נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> כל שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <munder> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר הסימון <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>:</mo><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>0</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> פונקציית העוקב.</li> -<li class="enumerate_item">יחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> <u>מיוצג</u> ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מיוצגת ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-867' /> </div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-868' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -<u>תורת פיאנו</u> (Peano Arithmetic) זו קבוצת הפסוקים הבאה בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo>=</mo>{<mn>0</mn><mo>,</mo><mo>+</mo><mo>,</mo><mo> ⋅ </mo><mo>,</mo><mi>s</mi><mo>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-869' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo> ⋅ </mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo> ⋅ </mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mo> ⋅ </mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><u>סכימת האינדוקציה:</u> לכל נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אקסיומה מהצורה:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>[</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ∀ </mi><mi>y</mi><mo>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> ∀ </mi><mi>y</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>]</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-876' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math>. יתר על כן, קיימת תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> סופית כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mo> ⊢ </mo><mi>N</mi> - </mrow> - </mrow></math> וכל פונקציה חשיבה מיוצגת ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-877' /><u>תרגיל</u>: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> שלמה ומיוצגת ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה.</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-878' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -התורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> שמובטחת במשפט, אינה כריעה.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-879' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> הנוסחה האומרת שמ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (שהקוד שלה הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math>) עוצרת על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אחרי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> צעדים.</div> -<div class="proof_item">היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיב [הוכחנו], לכן לפי המשפט מיוצג ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>. כלומר אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> <u>לא עוצרת</u> אז לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -<div class="proof_item">מצד שני, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> <u>עוצרת</u> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math>. נניח בשלילה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> כריעה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת.</div> -<div class="proof_item">אבל מכריעות נקבל שלכל זוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> אפשר לדעם האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> או <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. כלומר אפשר להכריע האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת או לא. אבל לפי משפט רייס זו איננה קבוצה חשיבה. סתירה.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-883' /><u>הערה</u>: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊆ </mo><mi>T</mi> - </mrow> - </mrow></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> התורה המובטחת במשפט) אז:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-884' /><li class="enumerate_item">כל פונקציה חשיבה ניתנת לייצוג ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">לכן, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> איננה כריעה, כי אותה ההוכחה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> אינה כריעה תעבוד עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-886' /><u>הערה</u>: אם תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> היא חשיבה ושלמה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כריעה. להלן אלגוריתם הכרעה:</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-887' />נראה בהמשך שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> חשיבה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub><mo>:</mo><mo>=</mo>{<mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> נל"ח. כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> שלמה, כדי לבדוק האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> נפעיל את המכונה המונה את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>C</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. בכל שלב נבדוק האם האיבר שהמכונה פלטה הוא הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> או הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> . השלמות מבטיחה לנו שאחד מהם יתקבל בזמן סופי. אם מתקבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> - ניצחנו. אם מתקבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> - גם ניצחנו.</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-888' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -כל תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊆ </mo><mi>T</mi><mo> ⊆ </mo><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> מהמסקנה הקודמת אינה כריעה. (למשל תורת המספרים איננה כריעה).</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-889' /><span class="section_label">19</span> פונקציות יציגות</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-890' /><u>תזכורת:</u> פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msup><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> תקרא מיוצגת (חלש) בתורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> (בשפה עם סימן קבוע 0 וסימן פונקציה חד מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math>) אם קיימת נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כך שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>T</mi> - </mtd> - <mtd><mo> ⊢ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <munder> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>0</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-891' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -כל פונקציה חשיבה יציגה בתורת פאנו ואפילו יש תת-תורה סופית של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> שבה כל פונקציה חשיבה יציגה.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-892' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊆ </mo><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> כמובטח במשפט. אזי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> אינה כריעה. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-893' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היחס האומר "המכונה שהקוד שלה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> עצרה על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אחרי לכל היותר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> מהלכים". אז ברור ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> הוא יחס חשיב. מהמשפט נובע שלכל שלשה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo> ∈ </mo> - <msup> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - <mrow><mn>3</mn> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> עומדת ביחס, כלומר המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> עוצרת על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אחרי לא יותר מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow></math> צעדים. לכן אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> עוצרת יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> עוצרת אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. מצד שני, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> לא עוצרת אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow><mi>N</mi> - </mrow> - </mrow></math> . לכן לא ייתכן ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אבל מהנחתנו זה לא מתקיים. יוצא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> עוצרת. לכן אילו הייתה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> כריעה היינו יכולים להכריע את בעיית העצירה: בהינתן זוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> היינו פשוט שואלים אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אם כן - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> עוצרת, ואם לא אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math> לא עוצרת.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-894' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -כל תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊆ </mo><mi>T</mi><mo> ⊆ </mo><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> מהמסקנה הקודמת אינה כריעה.</div> -<div class="corollary_item">ניגש להוכחת המשפט עצמו. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-896' />תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊆ </mo><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> התורה הבאה:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-897' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>1</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>-</mo><mi>P</mi><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>6</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>N</mi><mn>7</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi>x</mi><mo><</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>N</mi><mn>8</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> ∨ </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>N</mi><mn>9</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> ∨ </mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo> ∧ </mo><mi>y</mi><mo><</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> זה קיצור לנוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> ∧ </mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ul> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-902' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mo> ⊢ </mo><mi>N</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-903' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -צריך להוכיח רק את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mo> ⊢ </mo>{<mi>N</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>7</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>N</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>8</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mi>N</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>9</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>} - </mrow> - </mrow></math>. כלומר צריך להוכיח:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo> ⊢ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> → </mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>z</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> → </mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>z</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - <mtr> - <mtd><mrow/> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>z</mi><mo> → </mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mo> ⊢ </mo><mi>z</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> → </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>s</mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן יספיק להוכיח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi><mo> ⊢ </mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. זה יספיק כי אז נקבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>x</mi><mi> ∀ </mi><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>s</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>. ההוכחה ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mn>8</mn> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mn>9</mn> - </mrow> - </mrow></math> דומה מאוד. </div> -</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-904' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נראה שכל פונקציה חשיבה יציגה ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>. לשם כך יספיק להראות: משפחת הפונקציות היציגות ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> מכילה מכילה את הפונקציות החשיבות הבסיסיות וסגורה תחת הרכבות ותחת מזעור.</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-905' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(1) פונקציית ההיטל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> יציגה ע"י <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ≈ </mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-906' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -יש להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>P</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. אבל זה שקול ל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo><mi>y</mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <munder> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-907' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(2) הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> יציגה ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>y</mi><mo> ≈ </mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>. ההוכחה קשה באותה מידה.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-908' /> </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-909' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(3) הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math> יציגה ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mi>z</mi><mo> ≈ </mo><mi>x</mi><mo> ⊕ </mo><mi>y</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-910' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -עלינו להראות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo> ⊕ </mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <munder> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. באינדוקציה על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> . עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> מקבלים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>=</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math>. נניח עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ונוכיח עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo> ⊕ </mo> - <munder> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo> ⊕ </mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo> ⊕ </mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>+</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <munder> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>+</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - </msub><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math></div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-911' />לגבי כפל זה בדיוק אותו דבר.</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-912' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(4) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mo><</mo> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יציגה ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo><</mo><mi>y</mi><mo> ∧ </mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo> ∧ </mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∨ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo> ∧ </mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-913' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -ראשית מראים שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo><</mo><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo><</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math> . באותו אופן אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo><</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo><</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. [למשל באינדוקציה על <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math>: מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mn>7</mn> - </mrow> - </mrow></math> אנחנו יודעים ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo><</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>N</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אז נניח שהוכחנו ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> נתון עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> ונוכיח עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>. אז אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo><</mo><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math> מהנחת האינדוקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo><</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math> ולפי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mn>8</mn> - </mrow> - </mrow></math> גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo><</mo> - <munder> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. המקרה ההפוך דומה].</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-914' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(5) משפחת הפונקציות היציגות ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> סגורה תחת הרכבה. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-915' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יציגה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יציגות ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>. עלינו להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יציגה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>. נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מייצגות את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> , ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>..</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>. נראה ש <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> מייצגת את ההרכבה. כלומר עלינו להראות שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> טבעיים [ובתחום של הפונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>] מתקיים ש<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>N</mi> - </mtd> - <mtd><mo> ⊢ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>(</mo><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <munder> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>. אם נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> [בהנחה שהכל מוגדר] מה שעלינו להראות זה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>r</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. על ידי שנחליף את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> בקבוע שאינו מופיע ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> יספיק להוכיח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>t</mi><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math>. יספיק להוכיח כל כיוון בנפרד. כזכור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo> → </mo><mi> ψ </mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>T</mi><mo> ∪ </mo>{<mi> ϕ </mi>}<mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן עלינו להוכיח:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-916' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ∪ </mo>{<mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo>}<mo> ⊢ </mo><mi>t</mi><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ∪ </mo>{<mi>t</mi><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder>}<mo> ⊢ </mo><mi> θ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-918' />נתחיל מ2. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מייצגת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> בתחום של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. באותו אופן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> מייצגת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> בתחום של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> לכן <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>N</mi> - </mtd> - <mtd><mo> ⊢ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>t</mi><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math>לכן <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd><mi>N</mi> - </mtd> - <mtd><mo> ⊢ </mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math> ולכן <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mtable> - <mtr> - <mtd> - <mrow><mi>N</mi><mo> ∪ </mo>{<mi>t</mi> - </mrow> - </mtd> - <mtd><mo>=</mo> - </mtd> - <mtd> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder>}<mo> ⊢ </mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋀ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <munder> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mtd> - </mtr> - </mtable></math></div> -<div class="proof_item">נסיים עם 1. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מייצגות את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>h</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אנחנו יודעים שמההנחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>p</mi> - </mrow> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אפשר להסיק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ∪ </mo><mi> θ </mi><mo> ⊢ </mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. כיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> מייצגת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> אז מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>q</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> אפשר להסיק מההנחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>z</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ∪ </mo><mi> θ </mi><mo> ⊢ </mo><mi>t</mi><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow> - </mrow></math> כנדרש. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-920' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -(6) משפחת הפונקציות היציגות ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> סגורה תחת מזעור.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-921' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(רעיון ההוכחה) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה יציגה ע"י נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>t</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi> μ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> . איזו נוסחה תייצג את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>? <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∀ </mi> - <msup> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo><</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>,</mo><mn>0</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. ההוכחה שזה אכן מייצג דומה למה שעשינו עד כה.</div> -</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-922' /><span class="section_label">20</span> הוכחת משפטי אי השלמות של גדל</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-923' /><u>תזכורת</u>: הוכחנו אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה (חלקית) אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> יציגה (חלש) ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-924' /><u>תרגיל (מתוך תרגיל 10): </u>אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> יחס חשיב אז הוא יציג ולכן יש נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כך ש:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-925' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> </li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-927' /><u>תזכורת</u>: הגדרנו פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> "מספור גדל" של הנוסחאות בשפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle> - </mrow></math> של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> וראינו שזו פונקציה חשיבה. לשם נוחות הסימון בהינתן נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo> ∈ </mo><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow></math> מספר הגדל של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math>.</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-928' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -(משפט נקודת השבת של גדל): לכל נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> בשפה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> קיימת נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-929' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo> Δ </mo><mo>:</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mstyle mathvariant='script'><mi>L</mi> - </mstyle><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (נוסחאות עם משתנה חופשי אחד לנוסחאות ללא משתנים חופשיים) הפונקציה המקיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> mapstochar </mo><mo> → </mo> - </mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow></math> נקראת פונקציית האלכסון.</div> -<div class="definition_item">קל להשתכנע ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow></math> ניתנת לחישוב ע"י מכונת טיורינג. לכן הפונקציה הבאה חשיבה: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> המוגדרת ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo>(</mo> - <mover> - <mrow> - <mrow><mo> Δ </mo><mo>)</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> מספר גדל של נוסחה במשתנה חופשי אחד, ואם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo>(</mo> - <mover> - <mrow> - <mrow><mo> Δ </mo><mo>)</mo> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mo> Δ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ϕ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> המוגדר ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>m</mi> - </mrow> - </mrow></math> הוא יחס חשיב. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> יציג ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>. לפי התרגיל יש נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="definition_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>=</mo><mo> Δ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi> χ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-932' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-933' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. צריך להראות ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נזכור ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow></math> מספר גדל של נוסחה במשתנה אחד. בנוסף, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא יצוג של היחס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>y</mi><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mo> Δ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> המועמד היחיד שיכול להעיד על כך הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mo> Δ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> . בכיוון השני, נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ועלינו להוכיח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math> . עלינו להראות ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>y</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. יספיק להוכיח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∧ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כלשהו. אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> χ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> δ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מייצגת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mo> Δ </mo> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math> ומהנתון <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נשים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo> - </mrow> - </mrow></math> וגמרנו.</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-934' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -(משפט השלמות הראשון של גדל) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊇ </mo><mi>N</mi> - </mrow> - </mrow></math> תורה חשיבה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ω </mi> - </mrow></math>-שלמה , אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> אינה שלמה. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-935' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -תורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> נקראת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ω </mi> - </mrow></math>-שלמה אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> גורר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ϕ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-936' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נקראת <u>יחס יכיחות</u> אם היא מקיימת את התכונות הבאות:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-937' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> φ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi> φ </mi><mo> → </mo><mi> ψ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -</ol> -</div> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-940' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> יש יחס יכיחות ואם מניחים ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> היא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ω </mi> - </mrow></math>-שלמה אז בנוסף מתקיים: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> φ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-941' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נגדיר יחס דו מקומי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כך ש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> אם:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-942' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> מספר גדל של נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math>, ו-</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> מקודד הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ϕ </mi> - </mrow></math> מתוך <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> . </li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-944' />אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math> יחס חשיב. לכן יש נוסחה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> שמייצגת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math>. כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∈ </mo> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> ומוכיח את השלילה - אחרת. </div> -<div class="proof_item">נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. מדוע, למשל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> φ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>? משום שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi> φ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אז יש הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> φ </mi> - </mrow></math> מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> ויהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> קידוד של ההוכחה הזו. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. בגלל ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מייצגת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>y</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. 2 נובע מ-1, ו-3 הוכח באופן דומה (תרגיל). </div> -<div class="proof_item">כדי לקבל את 4: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ω </mi> - </mrow></math>-שלמה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo> - <munder> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. אבל אז מהגדרת היציגות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>N</mi> - <mrow><mi> | </mi><mi> = </mi> - </mrow> - <mover> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi> - </mrow> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> φ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo>,</mo><mi>m</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> מקודד הוכחה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> φ </mi> - </mrow></math> מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow></math>. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-947' /> </div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-948' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(למשפט השלמות הראשון של גדל) לפי משפט נקודת השבת יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> φ </mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-949' /><li class="itemize_item">מקרה א': <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi><mover accent='false'><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>1</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo></mover><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ⇒ </mo><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo> ⇒ </mo><mo> ⇐ </mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="itemize_item">מקרה ב': <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo> ⇒ </mo><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mover accent='false'><mo> ⇒ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>4</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo></mover><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi><mo> ⇒ </mo><mo> ⇐ </mo> - </mrow> - </mrow></math>יוצא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo>,</mo><mi> ¬ </mi><mi> ϕ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אינם יכיחים ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> אינה שלמה. </li> -</ul> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-951' /><u>סימון:</u> תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> תורה חשיבה. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>C</mi><mi>o</mi> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub><mo>:</mo><mo>=</mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-952' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -(משפט אי השלמות השני של גדל) אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊇ </mo><mi>N</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה ועקבית אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ⊢ </mo><mi>C</mi><mi>o</mi> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. במילים אחרות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עקבית לא יודעת את זה על עצמה. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-953' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math> כמו בהוכחת המשפט הראשון. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אז:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-954' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. מ-2 ומ-3 נקבל:</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">לפי 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">מ-2 ו-3 ביחד נקבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-958' />אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> ψ </mi><mo> → </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo> → </mo> - <munder> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> היא אקסיומה לוגית (ואפילו טאוטולוגיה). לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi><mo> → </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi><mo> → </mo> - <munder> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לפי 1 ו-3 מקבלים: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow><mi> ¬ </mi><mi> ψ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo> - <mrow> - <munder> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder><mo>=</mo> - <munder> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow><mo stretchy="true">¯</mo> - </munder> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לפי כלל 4 וכלל הניתוק <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> → </mo><mi> ¬ </mi><mi>C</mi><mi>o</mi> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כלומר <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>C</mi><mi>o</mi> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub><mo> → </mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אבל לפי בחירת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> ψ </mi> - </mrow></math>, אם מניחים ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>C</mi><mi>o</mi> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אז מכלל הניתוק <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ¬ </mi><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi> ψ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. אבל לפי 1 זה גורר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>T</mi><mo> ⊢ </mo><mi>P</mi><mi>r</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>lceil</mo><mi> ψ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rceil</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - סתירה. </div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-959' /><span class="section_label">21</span> תורת רקורסיה</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-960' />תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>. פונקציה חלקית. מכונת טיורינג עם אוב (אורקל) עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> זו מכונת טיורינג רגילה שלה פקודה נוספת: "חשב את הערך של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> כלשהו". ואז הערך של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מוחזר אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>H</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ואחרת האוב אינו מחזיר תשובה, והחישוב של המכונה אינו מסתיים. </div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-961' />למשל, נוסיף למכונת טיורינג רגילה עוד סרט והפקודה "קרא מן האוב" תתפרש כ-"חשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> עבור הערך שכתוב בסרט בתא מספר 2". מה שחשוב הוא שמ"ט עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> ניתנת לתיאור סופי. לכן בהינתן אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> אפשר לקודד את כל מ"ט עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> בדומה לקידוד של מ"ט רגילות. </div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-962' />המושגים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-963' /><li class="enumerate_item">מצב של מכונה עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">ריצה של מכונה עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">ריצה מסתיימת</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> </li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-967' />כולם מוגדרים באופן זהה להגדרה הרגילה.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-968' />פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> תקרא חשיבה עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> אם קיימת מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow></math> עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math></div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-969' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-970' /><li class="enumerate_item">יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אובות. נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם כל פונקציה חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</div> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-972' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא יחס שקילות.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-973' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -צריך להראות רק שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>. עלינו להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>. מהנחתנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>, אבל אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-974' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> - </div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-975' /><li class="enumerate_item">דרגת טיורינג של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> הינה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>H</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo>/</mo> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mo>[</mo><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo>]</mo> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> דרגות אז נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>H</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>G</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> מתקיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>. [הערה: בהגדרה אפשר להחליף "לכל" ב"קיים"].</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-977' />ברור ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא יחס סדר חלקי על הדרגות. מטרה ראשונה לחקור את המבנה של הקבוצה סדורה חלקית של דרגות טיורינג. </div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-978' />תכונות בסיסיות של הדרגות:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-979' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> חשיבה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>F</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>G</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">בפרט: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-981' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> חשיבה אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math>.</li> -</ol> -</li><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> דרגות כלשהן אז יש להן חסם מלעיל משותף קטן ביותר. - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-984' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -יהיו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. ברור שכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> המקיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> מחשבת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. לכן אם נקח בתור אוב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover><mo>=</mo>{ - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>-אובות) נקבל ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - <mover> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> ומזערי כזה. עכשיו פשוט נחליף את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math> ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> הפועלת באופן הבא: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow><mo stretchy="true">˜</mo> - </mover> - </mrow></math> היא החסם המבוקש.</div> -</div> -</li><li class="enumerate_item">נאמר שסדרת פונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> היא חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> אם הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>. ברור שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> סדרת פונקציות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - <msub> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לכן לכל סדרת פונקציות יש חסם מלעיל. <u>אזהרה: </u>אבל זה לא נכון שלכל סדרת פונקציות יש חסם עליון. </li> -</ol> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-986' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> נל"ח ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> (ונרשום <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>) אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>D</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> לאיזו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-987' />בדיוק כמו במקרה של פונקציות חשיבות לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-988' />בהינתן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נסמן ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> זו מכונת טיורינג אשר (עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>) אשר בהינתן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> קוד של מ"ט עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> וקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow></math> מחשבת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. ברור ישירות מההגדרה ש:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-989' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-991' />מדוע?</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-992' /><li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> שלמה. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>I</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> כאשר על הקוד של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math>. וברור ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. </li> -<li class="enumerate_item">ברור - כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> ולכן הגרף שלה נל"ח מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>. </li> -</ol> - -<div class="definition"><a id='magicparlabel-994' /><div class="definition_item"><span class="definition_label">הגדרה #.</span> -אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> דרגה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז הקפיצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> היא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ומסומנת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>.</div> -<div class="definition_item">שאלה: האם זה מוגדר היטב? אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo> ∼ </mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo> ∼ </mo> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>? מתקיים:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi><munder accent='false'><mo> ⇒ </mo> - <mrow><mi>H</mi><mo> ∼ </mo><mi>G</mi> - </mrow></munder> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכן יספיק להראות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> נל"ח מירבית מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>. לפי הטענה הקודמת עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>,</mo> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> יוצא ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. מסימטריה בין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub> - <msup> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ולכן זה מוגדר היטב.</div> -<div class="definition_item"><u>שאלה</u>: האם קיימת דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>? תשובה: כן!</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-997' /><span class="section_label">22</span> תורת רקורסיה - המשך</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-998' /><u>תזכורת</u>: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> פונקציות (מהטבעיים לטבעיים) אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם כל פונקציה חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. כמו כן נסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo>/</mo> - </mrow> - <mrow><mo> ∼ </mo> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-999' />אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> דרגות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ≤ </mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> אם קיימות פונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אמרנו: אפשר להחליף את "קיימות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>" ב"לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>".</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1000' />מתי נאמר ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>? אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> דרגות אז נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> בדיוק אם קיימות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>. <u>תרגיל</u>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> נל"ח מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mi> \ </mi><mi>A</mi> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1001' />אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> פונקציה כלשהי אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> היא הפונקציה המתאימה למכונת טיורינג אוניברסלית עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>. באופן פורמלי: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> היא הפונקציה המציינת של הקבוצה:<math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{<mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>n</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo>:</mo><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>i</mi><mi>s</mi><mspace width="6px" /><mi>a</mi><mspace width="6px" /><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>r</mi><mspace width="6px" /><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>e</mi><mspace width="6px" /><mi>H</mi><mspace width="6px" /><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mspace width="6px" /> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mspace width="6px" /><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>t</mi><mi>s</mi>} - </mrow> - </mrow></math>ישירות מן ההגדרה נובע שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo> ≤ </mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. <u>כמסקנה</u>: אם נגדיר לדרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> את הדרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> ע"י <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> כלשהי כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1002' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> מוגדר היטב</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> הוא הדרגה המירבית מעל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> שהיא נל"ח ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math>. במילים אחרות, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ≤ </mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. מדוע? אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז לפי הגדרה יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo>=</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>R</mi><mi>E</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo> ≤ </mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi> - <msup> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mover accent='false'><mo>=</mo> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>f</mi> - </mrow></mover> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1004' />ראינו: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo> ∼ </mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> וסימנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1005' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo> ≤ </mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> לכל דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> דרגות אז יש דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> חסם מלעיל קטן ביותר ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">לכל סדרה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>{ - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> יש חסם מלעיל (שהוא פשוט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>) אבל אין חסם עליון.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1008' /><u>תרגיל</u>: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> דרגות אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo><</mo> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> (ללא שיוויון) ואם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ≤ </mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. אבל בהמשך נראה שיש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo><</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> .</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-1009' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -קיימות דרגות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> שאינן ניתנות להשוואה. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-1010' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -קיימת דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo><</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-1011' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -לפי המשפט יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> שאינן ניתנות להשוואה. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1012' />שאלה מרכזית: (הבעיה של Post) האם קיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> כנ"ל שהיא נל"ח?</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1013' /><u>אבחנה:</u> נניח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> חשיבה עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math>. אז לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> σ </mi><mo> ⊆ </mo><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> פונקציה סופית (ז"א תחום של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> סופי) כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ניתן לחישוב מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math>.</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-1014' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(למשפט) נשים לב שגם אם האוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> אינו ידוע לנו עדיין ניתן לרשום את כל הקודים של מכונת טיורינג עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>. בתור התחלה נבנה שתי פונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> וגם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>. כדי למלא את הדרישה הזו עלינו לקיים שני אוספים של תנאים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1015' /><li class="enumerate_item">(e1) מ"ט עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> שהקוד שלה הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> אינה מחשבת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>.</li> -<li class="enumerate_item">(e2) מ"ט עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> שהקוד שלה הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> אינה מחשבת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1017' />אז תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> מניה חשיבה של התנאים הנ"ל. נבנה באופן אינדוקטיבי פונקציות סופיות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ג לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> ואם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> היא תנאי מסוג 1, למשל אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> תבטיח שהפונקציה המחושבת ע"י המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עם האוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> לא תחשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. במילים אחרות המכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עם האוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> על קלט מסויים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> אז תתן ערך ששונה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נניח שהגדרנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ונניח שבה"כ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא תנאי מסוג 1 (התפקידים של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> סימטריים לחלוטין בהוכחה). יהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> הקטן ביותר כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נבחים בין שני מקרים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1018' /><li class="enumerate_item">מקרה א' - קיימת פונקציה סופית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> כך ש: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1019' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מתיישבת עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (כלומר אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>x</mi><mo> ∈ </mo><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi> σ </mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ∩ </mo><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> σ </mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>x</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>)</li> -<li class="enumerate_item">מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> עוצרת על הקלט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1021' />במקרה זה, נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math>. בגלל הנחה (1) - זוהי פונקציה. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> הוא הערך שמ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מחזירה עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>) וזה מוגדר בגלל הנחה (2).</div> -</li><li class="enumerate_item">מקרה ב' - לא מקרה א'. אז נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>. עתה נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mi>F</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo><mi>G</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>. נראה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> (המקרה השני סימטרי לחלוטין). תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> מ"ט כלשהי עם אוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math>. נראה ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> אינה מחשבת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>. לשם כך יספיק למצוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כלשהו כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> [נשים לב ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מוגדרת לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>, פשוט משום שהבניה מבטיחה שנטפל בבניה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math> אינסוף פעמים ובכל פעם אנחנו מגדירים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> קטן ביותר עבורו הפונקציה טרם הוגדרה. לכן בהכרח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>F</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>]. בפרט, אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא עוצרת, נקבל את הדרישה.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1023' />יש שלב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> שבו טיפלנו במכונה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math>. יש שתי אפשרויות. אם היינו במקרה ב' אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אינה עוצרת. אילו הייתה עוצרת, לפי האבחנה שרשמנו היה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> σ </mi><mo> ⊆ </mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> סופי כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת, ומכיוון של<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ול<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> הרחבה משותפת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow></math> הן מתיישבות בסתירה להנחה שאנחנו במקרה ב'. אם היינו במקרה א' אז יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> סופית (שהיא זאת שמופיעה בבניה בשלב ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math>) כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-1024' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אינו ניתן להשוואה עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נותר להראות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-1025' /><span class="section_label">23</span> תורת רקורסיה - המשך</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1026' />התחלנו להוכיח: קיימות דרגות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo> ≤ </mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math> אינן ניתנות להשוואה ונסמן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo>|</mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math>. בנינו שתי פונקציות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math>. נותר לבדוק ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. כדי להבטיח שהפונקציות בלתי ניתנות להשוואה היה צריך להגשים שני סוגי תנאים:</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1027' /><li class="enumerate_item">(e1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -<li class="enumerate_item">(e2) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math></li> -</ol> - -<div class="lemma"><a id='magicparlabel-1029' /><div class="lemma_item"><span class="lemma_label">למה #.</span> -(למת השימוש) תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> מ"ט ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> אובות. נניח שבריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> הפניות לאורקל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow></math> מבקשות בדיוק את הערכים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>H</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>,</mo><mn>...</mn><mo>,</mo><mi>H</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> ונניח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>H</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>1</mn><mo> ≤ </mo><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow></math>. אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. בפרט: אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת אז יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> σ </mi><mo> ⊆ </mo><mi>H</mi> - </mrow> - </mrow></math> סופית כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>H</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -<div class="lemma_item">כדי לבנות את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> מספרנו את התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> בצורה חשיבה. אם בשלב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> עלינו לטפל בתנאי מסוג e1 אז נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> להיות הראשון שאינו ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>o</mi><mi>m</mi> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ונבחין בין שני מקרים. </div> -</div> - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1031' /><li class="enumerate_item">מקרה א' - אם קיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> סופית כך ש: - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1032' /><li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> מתיישבת עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ו-</li> -<li class="enumerate_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1034' />אז נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> ו- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo>{<mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi> σ </mi>} - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</li><li class="enumerate_item">מקרה ב' - אחרת (כלומר, אין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> כנ"ל) נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. אז ראינו ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math>ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>G</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow> - <msub> - <mrow><mo> ≤ </mo> - </mrow> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - </msub><mi>F</mi> - </mrow> - </mrow></math> כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mi>F</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <mrow><mi>G</mi><mo>=</mo> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mstyle> - </mrow></math>. נותר לבדוק ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>G</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>F</mi><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. כלומר עלינו להראות שיש אוב נל"ח שממנו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>F</mi><mo>,</mo><mi>G</mi> - </mrow> - </mrow></math> חשיבות. משיקולי סימטריה יספיק לבדוק שזה נכון עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow></math>.</li> -</ol> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1036' />נגדיר פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> שהיא הבניה: כלומר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> מחזיר לנו קוד עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>F</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow></math>. יספיק לוודא ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> חשיבה מאיזה אוב נל"ח. נניח שאנחנו יודעים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ואנחנו רוצים לחשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. ב.ה.כ השלב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא מסוג e1 . דבר ראשון <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>s</mi> - </mrow></math> צריכה להכריע אם אנחנו במקרה א' או מקרה ב'. ז"א עלינו לדעת להכריע אם קיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> שמתיישבת עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>G</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת (מיהו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> ידוע מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>). דבר ראשון נשים לב שהתנאי בתוך הסוגריים הוא נל"ח [ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math>, אבל מכיוון ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> סופית אז היא ממש נל"ח]. אבל לכל יחס נל"ח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז גם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח. לכן ההכרעה האם אנחנו במקרה א' או במקרה ב' חשיבה מאוב נל"ח. אם נחנו במקרה ב' - אין בעיה, הכל חשיב. אם אנחנו במקרה א' - עלינו למצוא את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math>. זה שוב דבר שהוא חשיב באופן כללי, כי אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> נל"ח ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow></math> כזה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi>x</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mi>A</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover><mo>,</mo> - <mover> - <mrow><mi>y</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אז יש פונקציה חשיבה שמחזירה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mover> - <mrow><mi>x</mi> - </mrow><mo stretchy="true">‾</mo> - </mover> - </mrow></math> שמעיד על כך. לכן בסה"כ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> בעזרת האוב הנל"ח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi> ∃ </mi><mi> σ </mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mn>...</mn><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-1037' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -קיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mn>0</mn><mo><</mo><mi>a</mi><mo><</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="corollary_item">אותה הוכחה בדיוק תראה: לכל דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow></math> קיימת דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> כך ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>c</mi><mo><</mo><mi>a</mi><mo><</mo> - <msup> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -<div class="corollary_item">האם אפשר למצוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> כמו במסקנה שהיא נל"ח? תשובה: כן. ואפשר אפילו לדרוש ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-1040' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -קיימת דרגת טיורינג נל"ח <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-1041' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -(רעיון) נבנה קבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>A</mi><mo> ⊆ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> באינדוקציה. בכל שלב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> נוסיף לקבוצה שבנינו בשלבים הקודמים מספר של איברים. הבניה תהיה כזו שלגבי כל איבר שהכנסנו ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> אנחנו מתחייבים שהוא יישאר ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>. אבל באופן כללי בשום שלב סופי לא נתחייב לגבי שום מספר טבעי שהוא לא ייכנס ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> מתישהו בעתיד. לפי מה אנחנו מחליטים האם להכניס איבר ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> או לא (שזה דבר שלא יקרה)? כדי להבטיח את התנאים נרצה לוודא שהקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> שאנחנו בונים אינה חשיבה. לכן נרצה להבטיח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> שונה מ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> לכל קבוצה חשיבה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>E</mi> - </mrow></math>. </div> -<div class="proof_item">הצרה היא שאנחנו לא יכולים להתמקד בפונקציות מציינות של קבוצות חשיבות. צריך לעבור על כל הפונקציות החשיבות - ובכלל זה אלו שאינן שלמות. מתי נכניס איבר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>? לכל מ"ט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> נתאים מספר טבעי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ונריץ את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אם נקבל 0 עולה החשד ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> פונקציה מציינת של איזו קבוצה ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> חושבת ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא בקבוצה. ליתר בטחון, נכניס את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> וזה יבטיח ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> שונה מהקבוצה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (אולי) מקודדת. הקושי העיקרי - כיצד נדע אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אי פעם תעצור?</div> -<div class="proof_item">כדי להבטיח ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> שנבנה תהיה נל"ח נרצה לוודא שהבניה שאנחנו מנהלים היא חשיבה. לכן שאלות מהסוג "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת" אינן באות בחשבון. מה הפתרון? נשים לב שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> אינה עוצרת ומחזירה 0, לא יקרה שום דבר רע אם אף פעם לא נחליט להכניס את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> כי בסוף פשוט <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא יהיה ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> ואנחנו בסדר. השאלה היא איך לא לתקוע את הבניה אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לא עוצרת. כמו תמיד, נדאג לחזור ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> אינסוף פעמים ובכל פעם לבצע מספר חסום (אבל עולה לאינסוף) של צעדים. אם אי פעם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> תעצור נדע אם עצרה על 0 או לא - אם כן נכניס את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ואם לא - לא נעשה כלום. בדיוק כמו במקרה שבו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow><mi>k</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>e</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> בכלל לא עוצרת.</div> -<div class="proof_item">הדרישה השניה, ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo>(</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mi>A</mi> - <msup> - <mrow><mo>)</mo> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> מצריכה אותנו לטפל בעוד משפחה של תנאים: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math>- צריך להחליט האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת או לא. נניח שרוצים לטפל בתנאים אלה. רוצים לדעת האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת או לא. אבל איפה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> ואיפה אנחנו?? (אליבא ד'חסון). בשלב סופי התחייבנו רק לגבי מספר סופי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> שהם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>. ננסה לחשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - את זה גם כן אי אפשר לחשב. את זה נפתור כמו קודם. נטפל בתנאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אינסוף פעמים וכל פעם נריץ את המכונה עוד קצת. כל זה יעזור בכלל במשהו אם בסוף, לגבי כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow></math> שעליו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> שאלה האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> נקבל בדיוק את אותה התשובה גם ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> (או לחלופין בכל שלב בעתיד בו נחזור לטפל ב<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow></math>.</div> -<div class="proof_item">המכונה שואלת את האוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> שאלות מהצורה "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>?" או "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>?". מהבניה - אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> שאלה "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>?" וקיבלה תשובה חיובית אז היא תמיד תקבל תשובה חיובית לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow></math>. לכן התשובות היחידות שיכולות להשתנות הן תשובות ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> חושב ש<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. ל<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow></math> יש שימוש שלילי בריצה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> פונה לאוב בשאלה "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>?" ומקבלת תשובה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi> - <mrow><mo> ∖ </mo> - </mrow><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. לכל חישוב של ריצה עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> [במילים אחרות, לכל טיפול בתנאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>] נצוות רשימה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> של כל ה<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> בהם נעשה שימוש שלילי בזמן הריצה.</div> -<div class="proof_item">כל עוד <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo> ∧ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo><mi> ∅ </mi> - </mrow> - </mrow></math> - אנחנו בסדר. מה שנרצה הוא להשתדל שלא להכניס איברים מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>. אבל מה נעשה אם פתאום תנאי מסוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow></math> מחליט שהוא רוצה להכניס ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> איבר ששייך לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>? נחליט על סדר קדימויות. נמספר את כל התנאים שלנו (כמו בהוכחת המשפט הקודם) ונרשה לתנאי מסוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> לפצוע קבוצה מסוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>N</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> רק אם המספר הסידורי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> קטן מזה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. </div> -</div> -<h2 class="section"><a id='magicparlabel-1047' /><span class="section_label">24</span> תורת רקורסיה - המשך</h2> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1048' />(המשך רעיון ההוכחה משיעור שעבר)</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-1049' /><li class="itemize_item">תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> רשימה של כל התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כך שכל תנאי מופיע אינסוף פעמים. אין בעיה לייצר רשימה כזו באופן חשיב.</li> -<li class="itemize_item">נבחר פעם אחת ולתמיד חלוקה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow></math> לאינסוף קבוצות אינסופיות זרות. גם את זה אפשר לעשות באופן חשיב. [למשל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mi>P</mi> - <msup> - <mrow><mi>r</mi> - </mrow> - <mrow><mi>L</mi> - </mrow> - </msup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>a</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> - שיטת האלכסון של קושי].</li> -<li class="itemize_item">ראשית, נתאר בהינתן תנאי מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כיצד נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> שעבורו ננסה לחשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math> היא המכונה ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>-ית באיזה מספור (חשיב) של הפונקציות החשיבות אז נבחר את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> . שנית, נדרוש ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> מספיק גדול כך שאינו מופיע בשום <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה שהתקבלה עד כה בבניה.</li> -<li class="itemize_item">עכשיו נתאר את השלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> בבניה: - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-1053' /><li class="itemize_item"><u>מקרה א'</u> - השלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> הוא מהצורה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. - -<ol class="enumerate"><a id='magicparlabel-1054' /><li class="enumerate_item">כבר הכנסנו מספר מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> - לא עושים כלום.</li> -<li class="enumerate_item">אם קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo><</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>, מתקבל אחרי פחות מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> צעדים. בנוסף <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> לא שייך לשום <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה שמספרה הסידורי קטן ממספור הסידורי של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. [ברקע יש לנו מספור חשיב של כל הדרישות שלנו, למשל המספור הסידורי של הדרישה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - במספור שקבענו בהתחלה - יכול להיות האינדקס הראשון <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך שהתנאי ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> שווה לתנאי ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>]. במקרה הזה - נכניס את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> וכמובן ש"נפצע" (נסמן) כל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה שהמספר הסידורי שלה גדול מזה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> שייך להכרזה.</li> -<li class="enumerate_item">אחרת - לא נעשה כלום.</li> -</ol> -</li><li class="itemize_item"><u>מקרה ב'</u> - אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> (כאשר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הקבוצה שחיברנו עד כה) עוצרת אחרי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> צעדים, אז נגיש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה שמתאימה לחישוב. [כלומר מכינים הכרזה ובה כל המספרים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך שבמהלך החישוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> פנתה לאוב ושאלה "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>l</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>" וקיבלה תשובה שלילית].</li> -</ul> -</li></ul> - -<div class="claim"><a id='magicparlabel-1058' /><div class="claim_item"><span class="claim_label">טענה #.</span> -הקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> שנקבל בסוף הבניה עונה על כל התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub><mo>,</mo> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. </div> -</div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-1059' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -נניח שיש לנו תנאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. אם בשלב כלשהו הכנסו ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> מספר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> זה אומר שמצאנו ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math> והכנסנו את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> ואנחנו בסדר.</div> -<div class="proof_item">אז נניח שאין <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> שהוכנס ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>. נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>k</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>R</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> גדול מספיק כדי ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> אינו מופיע באף <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה עם אינדקס קטן מהאינדקס של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mi>i</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. </div> -<div class="proof_item">מדוע יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> כזה? נשים לב שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> הוא האינדקס של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>l</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אז כל תנאי עם אינדקס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo><</mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> יכול "לפצוע" הכרזה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> לכל היותר פעם אחת. אם התנאי עם אינדקס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> פצע הכרזה כלשהי ז"א שהתנאי הכניס איבר כלשהו ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> ולפי (1) של מקרה א' לעולם לא נחזור לטפל בתנאי עם אינדקס <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math>. בסה"כ את ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>l</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הכרזות ניתן "לפצוע" לכל היותר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> פעמים. לכן יש לכל היותר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math> הכרזות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>l</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>. בסה"כ לכל תנאי שהוא יש לכל היותר מספר סופי של הכרזות של תנאים עם אינדקס קטן יותר. לכן יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> כמו שאנחנו רוצים ועבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> כזה לא ייתכן ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>. מדוע? אילו זה היה מתקיים לפי מקרה (א'2) היינו מכניסים את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow></math> ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> בסתירה להנחה. לכן על התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> מתקיימים.</div> -<div class="proof_item">מה בקשר לתנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ? נאמר ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הכרזה היא קבועה אם היא זרה ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>. נראה ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת אם ורק אם קיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הכרזה קבועה. </div> -<div class="proof_item">אם קיימת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הכרזה קבועה ז"א שקיים איזה שלב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> בבניה שבו <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> עצרה (אחרי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> צעדים) ויצרה את ההכרזה. כיוון שההכרזה קבועה, לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msubsup> - </mrow></math> פנתה לאוב בשאלה "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>r</mi><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>?" האוב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> יחזיר את אותה התשובה. לכן לפי עקרון השימוש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת. </div> -<div class="proof_item">בכיוון השני אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת (נאמר אחרי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> צעדים) אז לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך שהתנאי ב-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>></mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math>, הבניה במקרה ב' תייצר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה. (ובתנאי שבשלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> כבר נכנסו ל-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> כל האיברים שבהם נעשה שימוש חיובי בחישוב של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="proof_item">אבל מהדיון הקודם, כל תנאי יכול לייצר לכל היותר מספר סופי של הכרזות. אז האחרונה מביניהן שהכרח לא תשתנה, ז"א תהיה קבועה.</div> -<div class="proof_item">עד עתה: בנינו את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math>, הראנו ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> מקיימת את התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ואת <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (לפי א' הנ"ל) וברור שהבניה חשיבה. כיוון ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> מקיימת את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> לכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow></math>, ברור ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> אינה חשיבה. כיוון שהבניה חשיבה, אם נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> להיות הקבוצה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> שהתקבלה בשלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow></math> של הבנייה נקבל ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> נל"ח, כי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>s</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> חשיבה.</div> -<div class="proof_item">נותר לוודא ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≤ </mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow></math>. ראינו בתרגיל 11 טענה שאומרת שאם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msub> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עבור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> חשיבה מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow></math> אז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math>. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>אם ורק אם בשלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> של הבנייה יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - הכרזה שאיננה פצועה. כיוון שהבניה חשיבה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> יחס חשיב. לפי (א) הנ"ל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>A</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <mrow> - <mrow><mo> ⇐ </mo><mo> ⇒ </mo> - </mrow><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo> ∈ </mo> - <msub> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת אם ורק אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>m</mi> - <msub> - <mrow><mi> χ </mi> - </mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>B</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> - -<div class="theorem"><a id='magicparlabel-1068' /><div class="theorem_item"><span class="theorem_label">משפט #.</span> -לכל דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≤ </mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> קיימת דרגה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∪ </mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -</div> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1069' /><u>רעיון ההוכחה</u>: נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>g</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math>, אפשר לבחור <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> כזו שלמה. נרצה לבנות <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> חשיבה מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∪ </mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> חשיבה מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1070' />נרצה להגשים שני סוגים תנאים:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-1071' /><li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - להחליט האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת</li> -<li class="itemize_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> - לוודא ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> לאיזה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>m</mi><mo> ∈ </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1073' />כרגיל נמספר את התנאים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>c</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub>} - </mrow> - </mrow></math>, ובשלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> אם אנו בתנאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ויש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi> σ </mi><mo>:</mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle><mo> → </mo> - <mstyle mathvariant='bold'><mi>N</mi> - </mstyle> - </mrow> - </mrow></math> סופית שמתיישבת עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת, נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> ואחרת נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>. ואם בשלב ה-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow></math> אנו בתנאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אז נבחר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> מזערי כך שאינו בתחום של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ונגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>m</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>n</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math>. לסיכום: יוצא שהבניה חשיבה מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∪ </mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mi>a</mi> - </mrow> - </mrow></math> וחשיבה גם מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ∪ </mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> - -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1074' /> </div> - -<div class="proof"><a id='magicparlabel-1075' /><div class="proof_item"><span class="proof_label">הוכחה:</span> -תהי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math> כנ"ל ונמצא פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>f</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> תענה על הדרישות.</div> -<div class="proof_item"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>b</mi><mo> ∪ </mo> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≤ </mo> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> ולכן יספיק למצוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≤ </mo><mi>a</mi><mo> ≤ </mo><mi>b</mi> - </mrow> - </mrow></math>. מזה נבטיח שיש שיוויונות לכל אורך הדרך. אז צריך למצוא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> חשיבה מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow></math> ומ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>. </div> -<div class="proof_item">כרגיל נמספר את התנאים (כולם ביחד) במספור חשיב <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow>{ - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - <msubsup> - <mrow>} - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mrow> - </mrow></math> ונניח שלכל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>n</mi> - </mrow> - </mrow></math> בנינו פונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> (עם תחום סופי) כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub><mo> ⊆ </mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>j</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo> ≤ </mo><mi>j</mi> - </mrow> - </mrow></math>.</div> -<div class="proof_item"><u>בניית <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>:</u></div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-1079' /><li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא תנאי מסוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>: נבדוק האם יש <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> סופית שמתיישבת עם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> כך ש-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת. אם כן, נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo><mi> σ </mi> - </mrow> - </mrow></math> אחרת נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">אם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> הוא תנאי מסוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> אז נמצא <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math> מזערי שאיננו בתחום של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> ונגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn> - </mrow> - </mrow> - </msub><mo>=</mo> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>n</mi> - </mrow> - </msub><mo> ∪ </mo><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>langle</mo> - <mrow><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>rangle</mo> - </mrow> - </mrow></math>. נגדיר <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>f</mi><mo>=</mo> - <mstyle displaystyle='true' scriptlevel='0'>> - <msubsup> - <mrow><mo> ⋃ </mo> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn> - </mrow> - </mrow> - <mrow><mi> ∞ </mi> - </mrow> - </msubsup> - </mstyle> - <msub> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mi>i</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow> - </mrow></math> ואז <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow></math> פונקציה שלמה.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1081' />כדי לממש את הבניה:</div> - -<ul class="itemize"><a id='magicparlabel-1082' /><li class="itemize_item">אם אנחנו בתנאי <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>1</mn> - </mrow> - <mrow> - <mrow><mi>e</mi><mo>,</mo><mi>k</mi> - </mrow> - </mrow> - </msub> - </mrow></math> צריך לדעת האם קיים <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi> σ </mi> - </mrow></math> כזה. כדי לענות על השאלה הזו אנו יכולים מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math>.</li> -<li class="itemize_item">אם אנחנו בתנאי מסוג <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msub> - <mrow><mn>2</mn> - </mrow> - <mrow><mi>k</mi> - </mrow> - </msub> - </mrow></math>, אין בעיה למצוא את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>m</mi> - </mrow></math>. כל מה שצריך זה לחשב את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ואת זה אפשר לעשות מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>g</mi> - </mrow></math>.</li> -</ul> -<div class="standard"><a id='magicparlabel-1084' />נשאר להראות כי את <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> ניתן לחשב מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow></math> ומ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> אבל <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>g</mi><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo> - <msup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> ו-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - <mrow><mo>*</mo> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> זהו האוב שעונה לכל שאלה מהצורה "האם <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msubsup> - <mrow><mi>T</mi> - </mrow> - <mrow><mi>e</mi> - </mrow> - <mrow><mi>f</mi> - </mrow> - </msubsup><mo form='prefix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>(</mo><mi>k</mi><mo form='postfix' fence='true' stretchy='true' symmetric='true'>)</mo> - </mrow> - </mrow></math> עוצרת?". ראשית אם אנו יודעים את הבניה של <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow><mi>t</mi> - </mrow></math> אז אנו יודעים לענות על כל השאלות מהצורה הנ"ל. אבל הבניה חשיבה גם מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> וגם מ-<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow></math> (ביחד) ולכן <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow> - <msup> - <mrow><mi>b</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup><mo> ≤ </mo><mi>b</mi><mo> ∪ </mo> - <msup> - <mrow><mn>0</mn> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> כנדרש.</div> -</div> - -<div class="corollary"><a id='magicparlabel-1085' /><div class="corollary_item"><span class="corollary_label">מסקנה #.</span> -הפונקציה <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> - <mrow> - <mrow><mi>a</mi><mo> → </mo> - <msup> - <mrow><mi>a</mi> - </mrow> - <mrow><mi> ′ </mi> - </mrow> - </msup> - </mrow> - </mrow></math> איננה חח"ע.</div> -</div> -</body> -</html> |